合肥工业大学高数习题册上册答案
习题11- 函数
1．设函数2,0,
()2,0,x x x f x x +≤?=?>?
，求
（1）(1)f -，(0)f ，(1)f ； （2）
()(0)f x f x
?-?，()(0)
f x f x -?-?（0x ?>）．
【解】（1）2|2)1(,2|)2()0(,1|)2()1(101===+==+=-==-=x x x x f x f x f ；
（2）
()(0)f x f x ?-????????-=??
?????-=??.0,
1,0,220,2)2(,0,22x x x x x x x x x
x ()(0)f x f x
-?-?)0(12
)2(>?-=?-?-=x x x 。■
2．已知21
()1f x x x
=+()f x ．
【解】令x t 1=，则2111)(t t t f +
+=，故2
111)(x x x f ++=。■ 3．证明：()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数． 【证】方法1（定义法）
∵对任意2121),,(,x x x x <+∞-∞∈，有
)sin 2()sin 2()()(112212x x x x x f x f +-+=-
2
sin 2cos
2)(2sin sin )(21221121212x
x x x x x x x x x -++-=-+-= 2)1(2)(22sin )1(2)(212121212x
x x x x x x x -?-?+->-?-?+-≥
012>-=x x ，其中用到)0(sin ,cos 1>≤≤-x x x x ，
∴()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数。 方法2（导数法）
∵)
(0cos 2)(+∞<<-∞>-='x x x f
∴),()(+∞-∞∈↑x f 。■
4．设()f x 在[,]a a -上是奇函数，证明：若()f x 在[0,]a 上递增，则()f x 在[,0]a -上也递增．
【证】∵对任意0,],0,[,2121><-∈a x x a x x ，有2121],,0[,x x a x x ->-∈--，
∴由()f x 在)0](,0[>a a 上单调增加可得：)()(21x f x f ->-。 又∵()f x 在[,]a a -上是奇函数，即)()(),()(2211x f x f x f x f -=--=-， ∴)()(21x f x f ->-，即)()(21x f x f <，故()f x 在[,0]a -上也是单调增加。■
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习题21- 极限
1．
求下列极限：
11
(2)3(1)lim
(2)3n n
n n n ++→∞-+-+； 【解】分之分母同除n 3，利用四则运算极限法则和幂极限可得
3
13)3
2
)(2(1
)32
(lim =+--+-=∞→n n n L 。■
222111
(2)lim(1)(1)(1)23n n
→∞--???-； 【解】∵)1
1]()1(11[)411)(311)(211(22222n
n ------
22222222221)1(1)1(414313212n n n n -?----?-?-= 2
2222)
1)(1()1()2(453342231n
n n n n n +-?-?-?????= n
n n n 21111111121+=+???=
， ∴2
121lim =+=∞→n n L n
。■ 22(3)lim[(1)(1)
(1)]n
n r r r →∞
+++ (1)r <；
【解】∵r
r r r r r r r n
n
-+++-=
+++1)
1()1)(1)(1()1()1)(1(22
22
r
r r r r r n n
--==-++-=+111)1()1)(1(1
2222 ，
∴r
r
r r
r
L n n n n -=
--=
--=++∞
→∞→11
1lim 111lim
1
1
2
2。■
(4)lim
x ；
【解】∵)1()
1)(1()1(x x x x x x x
x x x ++++-+=-+1111
1++=
++=
x
x
x x
， ∴21
1
1
11lim
=++=+∞
→x
L x 。■ 3
1
31
(5)lim(
)11
x x x →--++． 【解】)1)(1()
2)(1(lim 1
2lim 1)1(3lim 21321321x x x x x x x x x x x L x x x +-+-+=+-+=++--=-→-→-→ 13
312lim
21==+--=-→x x x x 。■
2．求常数a 和b
，使得02
lim
1x x
→-=．
【解】∵0
1x →=，0lim 0=→x x ，
∴02)2(lim
=-=-+→b b ax x ，即4=b 。 于是，())
24()
24)(24(lim
2lim
0000
++++-+=-+→→ax x ax ax x b ax x x 14
241lim )24(lim
00==++=++=→→a
ax a ax x ax x x ， ∴4==b a 。■
3．若1
11()1x x
e f x e
+=
-，求0lim ()x f x -
→，0lim ()x f x +
→，0
lim ()x f x →．
【解】∵-∞=-→x x 1lim 0，+∞=+→x
x 1
lim 0，∴0lim 10=-→x x e ，+∞=+→x x e 1
0lim 。
从而，1lim 1lim 111lim
)(lim 10
10
11
00=-+=
-+=---
-
→→→→x
x x x x
x x x e
e
e
e x
f ，
111lim 11lim 1111lim 11lim 11lim )(lim 1
110
0-=-+=-+=-+=-+=+∞→+∞→+∞→+∞→=→→++t t t t t t t t t
t x
t x x x x e e e
e e e e e x
f ， 故0
lim ()x f x →不存在。■
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习题22- 无穷小与无穷大
1．利用等价无穷小的代换求下列极限：
0tan(2)ln(1)
(1)lim
sin(3)arctan(2)
x x x x x →?+?； 【解】3
1
232lim
=??=→x x x x L x 。■
20
(2)lim
sin x x
→
【解】)
cos 12()
cos 12)(cos 12(lim
20x x x x L x ++?+++-=→ 2
4122121lim cos 121lim cos 1lim 220020=?=++?-=→→→x x
x x x x x x 。■ 2
1cos(sin )
(3)lim
x x x →-． 【解】2
1)sin lim (21sin 21lim 20220===→→x x x x
L x x 。■ 2
．设ln(12)
,0,(),10,x x x
f x x x +?>??=?-≤
确定正数a 的值，使得0
lim ()x f x →存在．
【解】∵a
x a x a x x a x a x f x x x 1
2lim lim
)(lim 000=
-++=--+=--
-
→→→， 22lim )21ln(lim
)(lim 000==+=+
++
→→→x
x
x x x f x x x ， ∴当
21=a
，即41
=a 时，0lim ()x f x →存在。■
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习题23- 极限存在准则
1．计算下列极限：
3
0tan sin (1)lim
x x x
x →-； 【解】200020cos 1lim cos 1lim sin lim )cos 1cos 1sin (lim x
x
x x x x x x x x L x x x x -=-??=→→→→ 2
1
2111=??=。■
22sin(2)(2)lim 4
x x x →--； 【解】4
1
41121lim 2)2sin(lim 22=?=+--=→→x x x L x x 。■ 2(3)lim()x
x x x →∞-； 【解】22
222])211(lim [])211[(lim ---∞→--∞→=-+=-+=e x
x L x
x x
x 。■ 2
221(4)lim()1
x x x x →∞+-． 【解】212
2
2222
2
)11(lim )
11(lim 1111lim e e e x x x x L x x x x x x ==-+=????
?
?
??
-+
=-∞→∞→∞→。■ 2．设110,x
=1n x +=(1,2,3,)n =???，试证数列{}n x 的极限存在，并求此数列极
限．
【证】（1）证明极限的存在性
·单调性：
∵46,10121=+==x x x ，∴010412<-=-x x 。 ∵11
1
116666----+-<+++-=
+-+=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x ，
∴由数学归纳法可知：01<-+n n x x ，即),2,1(1 =<+n x x n n ，故{}n x 为单调减少数列。 ·有界性：只需证明有下界。
显然，0>n x 。或者由数学归纳法
∵,3101>=x 34612>=+=x x ，310623>=+=x x ，
396106634=+>+=+=x x ，
33661=+>+=-n n x x ，
∴{}n x 有下界。
于是，由单调有界收敛准则知：存在极限n n x ∞
→lim 。
（2）求极限：设a x n n =∞
→lim ，则由16-+=n n x x 求极限可得a a +=6，即
0)3)(2(62=-+=--a a a a ，
解得：3,2-=a 。注意到0>n x ，故3=a 。■
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习题24- 连续函数及其性质
1．求函数11()1x x
f x e
-=
-的间断点，并说明其类型．
【解】显然，当1,0=x 时，函数无定义，故1,0=x 均为间断点。
∵011)1(lim 0*
*1lim
*
10
0=-=-=---→→e e e x
x x
x x x ，
∴∞=→)(lim 0
x f x ，即0=x 为第二类间断点，且为无穷间断点。
∵-∞=-=-=-∞+--→-→-
e e
e x
x
x
x x x 11)1(lim 1lim
111，
10111)1(lim 1lim
11
1=-=-=-=-∞---→+→+e e
e
x x x
x x x ，
∴1)(lim ,0)(lim 11==+
-
→→x f x f x x ，即1=x 为第一类间断点，且为跳跃间断点。■
注：*极限四则运算法则，**x e 的连续性。
2．设221()lim
1n
n
n x f x x x →∞-=+，试求函数()f x 的表达式，若有间断点，并说明其类型． 【解】∵??
?
??>∞+=<=∞
→,1||,,1||,1,1||,0lim 2x x x x n n ∴??
?
??>-=<=+-∞
→,
1||,1,1||,0,
1||,111lim 22x x x x x n
n
n 即?????>-=<=。1||,,1||,0,1||,)(x x x x x x f
由图形易知：1±=x 为第一类间断点，且为跳跃间断点。■
3．设21cos ,0,
(),0,
x x f x x
a x x ?
>?=??+≤? 要使()f x 在(),-∞+∞内连续，确定常数a ． 【解】显然，函数在),0(),0,(+∞-∞内为初等函数，故连续。
只需讨论分界点0=x 处函数的连续性。 ∵a x a x f x x =+=-
-
→→)(lim )(lim 200，
01
cos lim )(lim 00==-+→→x
x x f x x （无穷小与有界函数积）， ∴当0=a 时，()f x 在(),-∞+∞内连续。■
4
．讨论sin ,0,()1,0,1),0x
x x f x x x x ?
??
==??
?>??
的连续性． 【解】显然，只需讨论分界点0=x 处函数的连续性。
∵1sin lim
)(lim 00==--
→→x
x
x f x x ，
11
12
lim )11(2lim )(lim 00
=-+=-+=++
+→→→x x x x f x x x ， ∴)0(1)(lim 0
f x f x ==→，即()f x 在(),-∞+∞内连续。■
5．求下列极限：
0ln(1)
(1)lim
x x x
α→+(α为常数）； 【解】方法1 由等价无穷小可得：αα==→x
x
L x 0
lim
。
方法2 由重要极限与连续性可得：
αααα==+=+=→→e x x L x
x x
x ln )1(lim ln )1ln(lim 10
10
。■
sin sin (2)lim
x a x a
x a
→--； 【解】由三角函数公式、重要极限与连续性可得：
a a
x a
x a x a x a x a x L a x a x a
x cos 2
2sin lim 2cos lim 2sin 2cos
2lim
=--+=--+=→→→。■
0(3)lim x x
x e e x
αβ→-(,αβ为常数）． 【解】显然，当βα=时，0=L 。
当βα≠时，x
e x e x e x e L x x x x x x x 1
lim 1lim )11(lim 000---=---=→→→βαβα βαβα-=-=→→x
x
x
x
x x 0
lim
lim
。■
6．设函数()f x 在[]0,2π上连续，且(0)(2)f f π=，证明在[]0,π上至少存在一点ξ