最新4支足球队进行单循环比赛.pdf
排列组合(教师版)
组合一、课堂目标1．理解组合的定义，掌握组合数公式及性质的应用．2．掌握常见的组合问题的模型及应用．【备注】【教师指导】1.本讲的重点是理解组合的定义，掌握组合数公式及性质的应用；难点是掌握常见的组合问题的模型及应用；重点题型是利用组合数及性质进行计算、组合问题的常见模型解决计数问题以及排列与组合的综合应用.2.排列组合与二项式定理属于历年高考必考题，在期中期末也属于常考题，属于重点内容.对于排列与组合的考查，有时难度比较大，学生也不好理解，在求解时会漏掉一些情况或者多数一些情况.对于这些问题，学生要理解对应的模型，熟练掌握对应模型的应用.二、知识讲解问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名取参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，有多少种不同的选法？【备注】【教师指导】1.本模块为【知识引入】环节.2.问题1：，从3个元素中取出2个元素的一个排列，此时是有顺序的；问题2：甲乙，甲丙，乙丙，从3个不同元素中取出2个元素合成一组，此时是没有顺序的.从而引出本节课要学习的新知识：组合.1. 组合的定义知识精讲1.组合的定义一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.2.排列与组合的联系与区别共同点：都是从n个不同元素中取出个元素.不同点：排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合.，，，，【备注】【教师指导】对于排列与组合的不同点：只有元素相同且顺序相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.例如，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但是元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，但不是相同的排序.知识点睛1.组合的定义中有两个要点（1）取出元素，且要求个元素是不同的；（2）“只取不排”，即取出的个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质.2.两个组合相同只要两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何.经典例题1.【解析】给出下列问题：（）从，，，四名学生中选名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？（）从，，，四名学生中选名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？（），，，四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？（），，，四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？（）某人射击枪，命中枪，且命中的枪均为枪连中，不同的结果有多少种？（）某人射击枪，命中枪，且命中的枪中恰有枪连中，不同的结果有多少种？在上述问题中， 是组合问题， 是排列问题．【答案】（）（）（） ; （）（）（）（）名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．（）名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．【备注】【教师指导】考查排列和组合的定义及区别，要求学生掌握排列与组合的联系及区别.【标注】（）单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．（）冠亚军是有顺序的，是排列问题．（）命中的枪均为枪连中，没有顺序，是组合问题．（）命中的枪中恰有枪连中，即连中枪和单中枪，有顺序，是排列问题．【知识点】排列；组合巩固练习（1）（2）（3）（4）（5）2.（1）（2）（3）（4）（5）【解析】【标注】判断下列问题是组合问题还是排列问题．设集合，则集合的含有个元素的子集有多少个？某铁路线上有个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？从本不同的书中取出本给某同学．个人去做种不同的工作，每人做一种，有多少种分工方法？把本相同的书分给个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？【答案】（1）（2）（3）（4）（5）组合问题．排列问题．组合问题．排列问题．组合问题．因为集合的任一个含个元素的子集与元素顺序无关，故它是组合问题．车票与起点终点顺序有关，例如“甲乙”与”“乙甲”的车票不同，故它是排列问题．从本不同的书中取出本给某同学，取出的本书并不考虑书的顺序，故它是组合问题．因为一种分工方法就是从种不同工作中取出种，按一定顺序分给人去干，故它是排列问题．因为本书是相同的，把本书无论分给哪三个人都不需要考虑顺序，故它是组合问题．【知识点】组合；排列2. 组合数及公式知识精讲1.组合数从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示.注意：（1）组合数与组合是两个不同的概念，组合是从个不同的元素中任取个元素并成一组，它是一件事，而组合数是一个数.（2）从集合的角度来看，从个不同的元素中任取个元素并成一组的组合的全体构成一个集合，组合数就是这个集合中元素的个数.，，，，，，2.组合数公式①连乘表示：.②阶乘表示：.规定：.注意：组合数公式①体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到.组合数公式②的主要作用有：计算较大时的组合数；对含有字母的组合数式子进行变形.，，，【备注】【教师指导】组合数公式的推导一般地，求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以分如下两步：第1步，求从个元素中取出个元素的组合数；第2步，求每一个组合中个元素的全排列数.根据分步乘法计数原理得：，因此有.经典例题3.【标注】计算： ．【答案】【知识点】组合【备注】【教师指导】本题考查的是组合数公式的直接运用.巩固练习4.【解析】【标注】 ．【答案】．【知识点】组合数计算经典例题5.【标注】计算：．【答案】【知识点】组合【备注】【教师指导】本题考查排列数公式和组合数公式的综合运算，要提醒学生注意二者计算公式的差异.A.B.C.D.6.【解析】【标注】已知，则的值是（ ）．【答案】C ∵，∴，化简得，解得或（不合题意，舍去），∴的值是．故选：．【知识点】组合【备注】【教师指导】本题考查排列数公式和组合数公式的综合运算，要求学生熟记且灵活应用公式.巩固练习7.【解析】【标注】若，则 ．【答案】由题意如：，，解得：或（舍），∴．【知识点】组合；排列经典例题8.【解析】【标注】设，，，求证：．【答案】证明见解析．由组合数公式知，．【知识点】组合数计算【备注】【教师指导】对公式的直接考查，利用组合数的公式进行证明等式成立问题.巩固练习A. B. C. D. 9.【解析】下列等式正确的是（ ）．【答案】ABD通过计算得到选项，，的左右两边都是相等的．对于选项，，所以选项是错误的．故选．【备注】【教师指导】此题为多选题，是新高考形式下的新题型.【标注】【知识点】组合数计算；排列数计算3. 组合数的性质知识精讲1.性质1：【备注】【教师指导】下列内容，可板书展示给学生：1.性质1的证明：2.性质1的意义：由于，因此该等式在时也成立．该性质反映了组合数的对称性．其组合意义是从个不同的元素中任取个元素的组合与任取个元素的组合是一一对应的．因为从个不同元素中取出个元素后，就剩下个元素，因此从个不同元素中取出个元素的方法，与从个不同元素中取出个元素的方法是一一对应的，因此取法是一样多的，就是说从个不同元素中取出个元素的每一个组合，都对应着从个不同元素中取出个元素的唯一的一个组合，反过来也一样．即从个不同元素中取出个元素的组合数等于从个不同元素中取出个元素的组合数”，也就是．3．等式特点：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标．4．应用：（1）简化计算，当时，通常将计算转化为计算，如；（2）列等式，由，可得或，如若则或，故或．2.性质2：【备注】【教师指导】下列内容，可板书展示给学生：1.性质2的证明：2.性质2的意义：性质2可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从个不同元素中取出个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的个元素中再取个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的个元素中取出个元素，有种取法.由分类加法计数原理可得：.3.等式特点：下标相同而上标相差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的上标相同的一个组合数．4．应用：恒等变形，简化运算．，，经典例题A.B.C.D.10.方程的解集为（ ）．【答案】C【备注】【教师指导】本题是对性质1：的直接考查，要注意有两种情况.【解析】【标注】由得或， ∴或， 经检验知和均符合题意． 故选．【知识点】组合11.【解析】【标注】若，则 ．【答案】若，则．故答案为：.【知识点】组合【备注】【教师指导】本题是对性质1：的逆运用.巩固练习12.【解析】【标注】方程的解为 ．【答案】或已知，∵或，∴或，∴或．【知识点】组合经典例题A.B.C.D.13.若，则等于（ ）．【答案】C【备注】【教师指导】本题是对性质2：的直接运用.【解析】【标注】，即，所以，即．故选．【知识点】组合数计算14.【解析】【标注】计算 ．【答案】∵，∴原式．故答案为：．【知识点】组合数计算【备注】【教师指导】本题是对性质2：的运用吗，但需要利用进行一步配凑.巩固练习（1）15.（1）（2）【解析】求值：．【答案】（1）（2）．．．【标注】．【知识点】组合数计算4. 组合问题模型—分组分配问题知识精讲在日常生活中，常会将一些物品分发出去，这种问题称为分组分配问题.通常采用先分组后分配的方法解决.题型主要涉及：①平均分组；②部分平均分组；③不均匀分组.（1）平均分组例题：按下列要求分配6本不同的书，有多少种不同方法？①平均分3组；②平均分给甲、乙、丙三人.解析：①平均分成3组：有种方法；②平均分给甲、乙、丙三人：有种方法.注意：先分组，后分配；平均分成组，一定要除以.（2）部分平均分组例题：按下列要求分配6本不同的书，有多少种不同的方法？①一份4本，另两份各1本；②甲、乙各得1本，丙得4本.解析：①有两组是平均分配的，有：种方法；②可以先按第①问分组，因为甲、乙分别得到哪本书不同，故需对甲、乙排序，共有：种方法.（3）不均匀分组例题：按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同分配方式？①一份1本，一份2本，1份3本；②甲、乙、丙三人中一人1本，一人2本，一人3三本.解析：①因为不涉及均匀分配问题，直接利用乘法原理即可：种分配方式；②甲、乙、丙三人中谁得到一本，二本，三本是不清楚的，需要再次排列，所以共有种分配方式.经典例题（1）（2）（3）16.（1）（2）（3）【解析】【标注】按下列要求把个人分成个小组，各有多少种不同的分法？各组人数分别为，，人；平均分成个小组；平均分成个小组，进入个不同车间．【答案】（1）（2）（3）种．种．种．．．分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有种不同的分法．【知识点】分组分配法【备注】【教师指导】本题的第（1）问考查的是不均匀分组，不需要考虑排列；第（2）问考查的是均匀分组，不需要考虑排列；第（3）问考查的是均匀分组，需要考虑排列.巩固练习17.【解析】【标注】将本不同的书分成堆，每堆本，有 种不同的分法．【答案】．【知识点】分组分配法18.【解析】将名男生，名女生分成两组，每组人，参加两项不同的活动，每组名男生和名女生，则不同的分配方法有 种．【答案】【标注】先将名男生，名女生分成两组，每组人，有不同的两组，然后将这两组分配到两项不同的活动中，则不同的分配方法有种．故答案为：．【知识点】分组分配法经典例题19.【解析】【标注】将位心智助教分成组，其中两个组各人，另两个组各人，分赴四个不同班级服务，不同的分配方案有 种？（用数字作答）【答案】将人分成，，，人数的四组，则分配方案有：种．故答案为：．【知识点】分组分配法；排列【备注】【教师指导】本题考查的是部分平均分组，并且要考虑排列问题.巩固练习A. B. C. D.20.【解析】若有本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是（ ）．【答案】B根据题意，分步进行分析：①将本不同的书分成组，若分成、、的三组，有种分组方法；若分成、、的三组，有种分组方法；则有种分组方法；②将分好的三组全排列，对应三人，有种情况，则有种不同的分法．【标注】故选．【知识点】分步乘法计数原理；分组分配法21.【解析】【标注】年月日是第六届世界肾脏日，某社区服务站将位志愿者分成组，其中两组各人，另一组人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，拯救心脏”，不同的分配方案有 种．（用数字作答）【答案】不同的分配方案有（种）．【知识点】分组分配法5. 组合问题模型—相同元素隔板法知识精讲个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题——把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有．经典例题22.【解析】【标注】个名额分配到八个班，每班至少一个名额，则有多少种不同的分配方法?【答案】．由挡板法可得，.【知识点】隔板法【备注】【教师指导】本题是对组合问题模型—相同元素隔板法直接考查：10个相同元素形成9个空，再在9个位置放置7个挡板一共有多少种结果.巩固练习23.有个三好学生名额，分配到高三年级的个班里，要求每班至少个名额，共有 种不同的分配方案．【解析】【标注】【答案】把个相同的元素放到个班中，每班至少一个，可以用挡板法来解，把个元素一字排列形成个空，再在个位置放置个挡板共有种结果．【知识点】隔板法24.【解析】【标注】为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资．爱心人士向某市捐赠了箱相同规格的医用外科口罩，现需将这箱口罩分配给家医院，每家医院至少箱，则不同的分法共有 种．【答案】将箱相同口罩分配给家医院，采用隔板法，在个空中隔个板即可，∴不同的分法共有种．故答案为．【知识点】隔板法6. “先选后排”解排列组合综合问题知识精讲解决先选后排问题，应遵循三大原则：(1)先特殊后一般；(2)先组合后排列；(3)先分类后分步.经典例题A.B.C.D.25.从名学生中选出名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）．【答案】D【备注】【教师指导】先特殊再一般，是对特殊元素甲先排，再排其他的元素.【解析】【标注】根据题意，从名学生中选出名分别参加竞赛，分种情况讨论：①选出的人没有甲，即选出其他人即可，有种情况，②选出的人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有种选法，在剩余人中任选人，参加剩下的三科竞赛，有种选法，则此时共有种选法，则有种不同的参赛方案；故选：．【知识点】特殊元素优先法巩固练习26.【解析】【标注】某地奥运火炬接力传递路线共分段，传递活动分别由名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）【答案】从特殊位置入手分类和分步完成，从最后一棒分类．甲为最后一棒，再考虑第一棒，再考虑其余位置，依次有；乙为最后一棒，再考虑第一棒，再考虑其余位置，依次有，则有．故答案为：．【知识点】特殊元素优先法；分类加法计数原理；分步乘法计数原理【素养】逻辑推理；数学运算经典例题A.种B.种C.种D.种27.将甲，乙等位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这所大学就读，则每所大学至少保送人的不同保送方法数共有（ ）．【备注】【教师指导】先组合后排列：先将四名同学进行分组，再将这三组同学进行排列，分配到三所学校中.【解析】【标注】将名同学分为组，共有种分法，再将这组分配给所学校，共有种分法，∴总共有种方法．故选．【知识点】分组分配法巩固练习28.【解析】【标注】将位志愿者分成组，其中两个组各人，另两个组各人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种．（用数字作答）．【答案】先分组 ,再排列．【知识点】分组分配法经典例题A.B.C.D.29.【解析】某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是（ ）．【答案】B根据题意，分步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种情况，②将这个整体与英语全排列，有种顺序，排好后，有个空位，③数学课不排第一节，有个空位可选，在剩下的个空位中任选个，安排物理，有种情况，则数学、物理的安排方法有种，则不同排课法的种数是种．【备注】【教师指导】先分类后分步，是对分类加法原理和分步乘法原理综合考查.【标注】【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；加法原理与乘法原理的综合运用巩固练习A.本B.本C.本D.本30.【解析】【标注】给一些书编号，准备用个字符，其中首字符用，，后两个字符用，，（允许重复），则不同编号的书共有（ ）．【答案】D 分两步：第一步：选定首字符，有种可能；第二步：选后两个字符，又分两小步：第二字符，有种可能，第三个字符，也有种可能，所以利用乘法原理，最终就有种不同的组合情况，也就是说可以编本书．故选．【知识点】分步乘法计数原理三、思维导图你学会了吗？请你画出本节课的思维导图．【备注】四、出门测A.B.C.D.31.【解析】【标注】（ ）．【答案】D ，故选：．【知识点】组合数计算A.或B.C.D.32.【解析】【标注】方程的解为（ ）．【答案】A 当时，解得；当时，解得．故选：．【知识点】组合A.B.C.D.33.【解析】【标注】将个相同名额分给个不同的班级，每班至少得到一个名额的不同分法种数是（ ）．【答案】D将个相同元素分成组，用隔板法即可，即每班至少得到一个名额的不同分法种数是，故选：．【知识点】隔板法（1）（2）34.（1）（2）【解析】【标注】王华同学有课外参考书若干本，其中有本不同的外语书，本不同的数学书，本不同的物理书．若从这些参考书中选本不同学科的参考书带到图书馆，则有多少种不同的带法？将本不同的外语书全部分享给名室友，每人至少一本，有多少种分法？【答案】（1）（2）种．种．带本外语书和本数学书时有种带法；同样地，带外语书，物理书各本，有种带法；带数学书，物理书各本，有种带法，故有种带法．先把本外语书分组分三组：①三组本数分别为，，，种方法，②三组本数分别为，，，种方法，再分配给三个人，共种分法．【知识点】加法原理与乘法原理的综合运用；分步乘法计数原理；排列；分组分配法。
四年级第8讲A
A、B、C、D、E五位同学一起比赛象棋，每两人都 五位同学一起比赛象棋， 要比赛一盘。到现在为止， 已经赛4 要比赛一盘。到现在为止，A已经赛4盘，B赛3盘， 此时E同学赛了几盘？ C赛2盘，D赛1盘。问：此时E同学赛了几盘？
八一队、北京队、江苏队、山东队、广东队五队进 八一队、北京队、江苏队、山东队、 行象棋友谊赛，每两个队都要赛一场，一个月过后， 行象棋友谊赛，每两个队都要赛一场，一个月过后， 八一队赛了4场，北京队赛了3场，江苏队赛了2场， 八一队赛了4 北京队赛了3 江苏队赛了2 山东队赛了1场。那么广东队赛了几场？ 山东队赛了1 那么广东队赛了几场？
拓展 基础、提高、尖子】 例1 【基础、提高、尖子】 基础、提高、尖子】 例2 【基础、提高、尖子】 基础、提高、尖子】 例3 【基础、提高、尖子】 基础、提高、尖子】 例4 【基础、提高、尖子】 基础、提高、尖子】 例5 【基础、提高、尖子】 基础、提高、尖子】 例6 【基础、提高、尖子】 基础、提高、尖子】 例7 【基础、提高、尖子】 基础、提高、尖子】 例8 【基础、提高、尖子】 基础、提高、尖子】 例9 【基础、提高、尖子】 基础、提高、尖子】 例10 【基础、提高、尖子】
小猴、小兔、小刺猬、小松鼠四个人比赛下五子棋， 小猴、小兔、小刺猬、小松鼠四个人比赛下五子棋， 两两都要赛一场，只知道小猴输给了小兔，小兔、 两两都要赛一场，只知道小猴输给了小兔，小兔、 小刺猬、小松鼠三人胜的场数相等， 小刺猬、小松鼠三人胜的场数相等，那么聪明的小 朋友，你知道小猴胜了几场吗？ 朋友，你知道小猴胜了几场吗？
六个人参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一场， 六个人参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一场，胜 者得2 负者得0 比赛结果， 者得2分，负者得0分。比赛结果，第二名和第五名 都是两人并列。 第一名和第四名各得多少分？ 都是两人并列。问：第一名和第四名各得多少分？
新教材人教b版选择性必修第二册3131组合与组合数组合数的性质课件4
C3n 21n
.
提示：(1)
C140 C37
1098 7 7 65 43 21 3 21
175.
38 n 3n,
(2)因为 3n 2所1以n, n=10，
n N
所以
C38n 3n
C3n 21n
C28 30
C30 31
C320
C131
30 29 31 466. 21
2.证明：(1) mCmn
【解析】选A.分两个步骤：先从甲工厂的100件不同的产品中抽取10件，有
C10 100
种方法，再从乙工厂的50件不同的产品中抽取5件，有
C550
种方法，所以由
分步乘法计数原理得抽取方法有
· C10 100
C550
种.
主题2 组合数公式、组合数的两个性质
1.计算：(1) C140 C37 .
(2) C38n 3n
提示：(1)从100个不同对象中选取10个对象组成一组，与顺序无关，是组合 问题. (2)从6个不同对象中选取6个对象排成一列，与顺序有关，是排列问题. (3)从8个不同对象中选取4个对象组成一组，与顺序无关，是组合问题. (4)从20个不同元素中选取18个元素排成一列，与顺序有关，是排列问题.
2.从ABCDEF中任选三个字母，写出所有的选法.
组合与组合数 第1课时 组合与组合数、组合数的 性质
基础预习初探
主题1 组合与组合数 1.判断下列问题是排列问题还是组合问题？ (1)从100名优秀教师中选取10名教师去西藏地区支教一年，有多少种不同的 选法？ (2)6个同学站成一队，有多少种方法？ (3)从空间的8个点中选取4个点，最多可以构成多少个四面体？ (4)20个元素组成的集合中选取18个元素放入18个盒子内，不允许空盒，有多 少种方法？
小学数学6年级培优奥数讲义 第29讲 综合推理(学生版)
第29讲综合推理学习目标①学会对一个问题进行分析、推理；②利用我们的推理来解决一些较简单的问题；③通过学生解决问题的过程,激发学生的创新思维,培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。
知识梳理解数学题,从已知条件到未知的结果需要推理,也需要计算,通常是计算与推理交替进行,而且这种推理不仅是单纯的逻辑推理,而是综合运用了数学知识和专门的生活常识相结合来运用。
这种综合推理的问题形式多样、妙趣横生,也是小学数学竞赛中比较流行的题型。
解答综合推理问题,要恰当地选择一个或几个条件作为突破口。
统称从已知条件出发可以推出两个或两个以上结论,而又一时难以肯定或否定其中任何一个时,这就要善于运用排除法、反证法逐一试验。
当感到题中条件不够时,要注意生活常识、数的性质、数量关系和数学规律等方面寻找隐蔽条件。
典例分析例1、甲、乙两队进行象棋对抗赛,甲队的三人是张、王、李,乙队的三人是赵、钱、孙,按照以往的比赛成绩看,张能胜钱,钱能胜李,李能胜孙,但是第一轮的三场比赛他们都没有成为对手．请问:第一轮比赛的分别是谁对谁？例2、甲、乙、丙三名选手参加马拉松比赛,起跑后甲处在第一的位置,在整个比赛过程中,甲的位置共发生了7次变化．比赛结束时甲是第几名？(注:整个比赛过程中没有出现三人跑在同一位置的情形．)例3、6支足球队进行单循环比赛,即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分,负者得0分,平局各得1分,请问:(1)各队总分之和最多是多少分？最少是多少分？(2)如果在比赛中出现了6场平局,那么各队总分之和是多少？例4、编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛,每2个人都要赛1盘．现在编号为1、2、3、4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等．请问:编号为6的同学赛了几盘？例5、甲、乙、丙、丁、戊五个同学的各科考试成绩如表,已知:①每门功课五个人的分数恰巧分别为l、2、3、4、5；②五个人的总分互不相同,且从高到低的顺序排列是:甲、乙、丙、丁、戊；③丙有四门功课的分数相同．请你把表格补充完整．语文数学英语音乐美术总分田24乙丙丁 4戊 3 5例6、九个外表完全相同的小球,重量分别是1,2,…,9．为了加以区分,它们都被贴上了数字标签,可是有一天,不知被哪个调皮鬼重新乱贴了一通．我们用天平做了两次称量,得到如下结果:(1)①②＞③④⑤⑥⑦；(2)③⑧=⑦,请问:⑨号小球的重量是多少？例7、在一次射击练习中,甲、乙、丙三位战士打了四发子弹,全部中靶,其中命中情况如下:(1)每人四发子弹命中的环数各不相同；(2)每人四发子弹命中的总环数均为17环；(3)乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样,乙另外两发命中的环数与丙其中两发一样；(4)甲与丙只有一发环数相同；(5)每人每发子弹的最好成绩不超过7环．问:甲与丙命中的相同环数是几？例8、9个小朋友从前到后站成一列．现在将红黄蓝三种颜色的帽子各三顶分别戴在这些小朋友的头上．每个小朋友都只能看到站在他前面的小朋友帽子的颜色．后来统计了一下,发现他们看到的红颜色帽子的总次数等于他们看到的黄颜色帽子的总次数,也等于他们看到的蓝颜色帽子的总次数．已知从前往后数第三个小朋友戴着红帽子,第六个小朋友戴着黄帽子,请问:最后一个小朋友戴着什么颜色的帽子？例9、现有A、B、C共3支足球队举行单循环比赛,即每两队之间都要比赛一场．比赛积分的规定是胜一场积2分,平一场积1分,负一场积0分,表1是一张记有比赛详细情况表格,但是,经过核对,发现表中恰好有4个数字是错误的,请你把正确的结果填入表2中．表1场数胜负平进球失球积分A 2 2 0 1 0 2 3B 2 1 1 0 3 6 2C 1 2 1 2 0 1 1表2场数胜负平进球失球积分ABC实战演练➢课堂狙击1.甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋,每两人都要比赛一盘．到现在为止,甲已经赛了4盘,乙赛了3盘,丙赛了2盘,丁赛了1 盘．问:小强已经赛了几盘？分别与谁赛过？2.有10名选手参加乒乓球单打比赛,每名选手都要和其它选手各赛一场,而且每场比赛都分出胜负,请问:(1)总共有多少场比赛？(2)这10名选手胜的场数能否全都相同？(3)这10名选手胜的场数能否两两不同？3. 5支球队进行单循环赛,每两队之间比赛一场,每场比赛胜者得3分,负者得0分,打平则双方各得1分,最后5支球队的积分各不相同,第三名得了7分,并且和第一名打平．请问:这5支球队的得分,从高到低依次是多少？4. 红、黄、蓝三支乒乓球队进行比赛,每队派出3名队员参赛．比赛规则如下:参赛的9名队员进行单循环赛决出名次,按照获胜场数进行排名,并按照排名获得一定的分数,第一名得9分,第二名得8分,…,第九名得1分；除产生个人名次外,每个队伍还会计算各自队员的得分总和,按团体总分的高低评出团体名次．最后,比赛结果没有并列名次．其中个人评比的情况是:第一名是一位黄队队员,第二名是一位蓝队队员,相邻的名次的队员都不在同一个队．团体评比的情况是:团体第一的是黄队,总分16分；第二名是红队,第三名是蓝队．请问:红队队员分别得了多少分？5.一次考试共有10道判断题,正确的画“√”,错误的画“×”,每道题10分,满分为100分．甲、乙、丙、丁4名同学的解答及甲、乙、丙3名同学得分如下表所示．丁应得分．题号学生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分甲××√√××√×√√70乙×√×√√××√√×70丙√×××√√√×××60丁×√×√√×√×√×6.五行(火水木金土)相生相克,其中每一个元素都生一个,克一个,被一个生和被一个克,水克火是我们熟悉的,有一个俗语叫做“兵来将挡,水来土掩”,是说土能克水．另外,水能生木,火能生土．请把五行的相生相克关系画出来．7. 4支足球队进行单循环比赛,即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分,负者得0 分,平局各得1分．比赛结果,各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问:输给第一名的队的总分是多少？8.A、B、C、D四个足球队进行循环比赛．赛了若干场后,A、B、C三队的比赛情况如表:问:D赛了几场？D 赛的几场的比分各是多少？场数胜平负进球失球A 3 2 1 0 2 0B 2 1 1 0 4 3C 2 0 0 2 3 6D9.一次象棋比赛共有10位选手参加,他们分别来自甲、乙、丙3个队．每人都与其余9人比赛一盘,每盘胜者得1分,负者得0分,平局各得0.5分．结果乙队平均得分为3.6分,丙队平均得分为9分,那么甲队平均得多少分？➢课后反击1.有A、B、C三支足球队,每两队比赛一场,比赛结果为:A:两胜,共失2球；B:进4球,失5球；C:有一场踢平,进2球,失8球．则A与B两队间的比分是多少？2.赵、钱、孙、李、周5户人家,每户至少订了A、B、C、D、E这5种报纸中的一种．已知赵、钱、孙、李分别订了其中的2、2、4、3种报纸,而A、B、C、D这4种报纸在这5户人家中分别有1、2、2、2家订户．周姓订户订有这5种报纸中的几种？报纸E在这5户人家中有几家订户？3.A、B、C、D、E、F六个国家的足球队进行单循环比赛(即每队都与其他队赛一场),每天同时在3个场地各进行一场比赛,已知第一天B对D,第二天C对E,第三天D对F,第四天B对C请问:第五天与A队比赛的是哪支队伍？4. A、B、C、D、E五位同学分别从不同的途径打听到五年级数学竞赛获得第一名的那位同学的情况:A打听到的:姓李,是女同学,13岁,东城区；B打听到的:姓张,是男同学,11岁,海淀区；C打听到的:姓陈,是女同学,13岁,东城区；D打听到的:姓黄,是男同学,11岁,西城区；E打听到的:姓张,是男同学,12岁,东城区．’实际上第一名同学的情况在上面都出现过,而且这五位同学的消息都仅有一项正确,那么第一名的同学应该是哪个区的,今年多少岁呢？5. 10名选手参加象棋比赛,每两名选手间都要比赛一次,已知胜一场得2分,平一场得1分,负一场不得分．比赛结果:选手们所得分数各不相同,前两名选手都没输过,前两名的总分比第三名多20分,第四名得分与后四名所得总分相等,问:前六名的分数各为多少？6. 阿奇和8个好朋友去李老师家玩,李老师给每人发了一顶帽子,并在每个人的帽子上写了一个两位数,这9个两位数互不相同,且每个小朋友只能看见别人帽子上的数．李老师在纸上写了一个自然数A,问这9位同学:“你们知道自己帽子上的数能否被A整除吗？知道的请举手,”结果有4人举手．李老师又问:“现在你们知道自己帽子上的数能否被24整除吗？知道的请举手．”结果有6人举手．已知阿奇两次都举手了,并且这9位同学都足够聪明且从不说谎．请问:除了阿奇之外的人帽子上8个两位数的总和是多少？重点回顾(1)学会对一个问题进行分析、推理；(2)利用我们的逻辑推理来解决一些推理的问题；名师点拨重点和难点突破:(1)理解每一个题的逻辑关系；（2）掌握推理的一般方法。
五年级奥数：逻辑推理(二) 计算逻辑
逻辑推理（二）计算逻辑在逻辑推理过程中，需要进行数字（或数）的计算来完成的逻辑问题，如数字问题，体育比赛的得分、场数、名次问题，在考试中的得分等等问题，我们称这类问题为计算逻辑.例1在一座办公大楼里，有30名办事员.某天上班有一名办事员没有和其他办事员见面.请问这一天在大楼里办公的人最多能遇到几位同事？随堂练习1某次集会共到了68人，每人头上都戴了一顶帽子，颜色分红、蓝两种，任意两个到会的人中至少有一个人戴红帽子.问戴红帽子的人数比戴蓝帽子的人数多了多少个人？例2如图，六张四位数的纸片互相纵横交错叠在一起.其中有且只有一个数是完全平方数.这个数是多少？例3伟大的物理学家爱因斯坦A年B月14日生于德国乌尔姆（UIM），父母都是犹太人，他是相对论的创立者，诺贝尔物理奖获得者.C年4月D日逝世于美国，享年E岁.请将下列给出的一组数正确的填入A、B、C、D、E中.（1）1955 （2）3 （3）1879 （4）76 （5）18随堂练习2 A年B月16日在德意志的波恩附近，一件破旧的阁楼上诞生了以后影响百年的音乐奇才——贝多芬.他以非凡的英雄气概，与残酷的命运抗争，以无与伦比的意志和才华写出了无数欢乐的、悲壮的、田园诗一般温馨的不朽乐章.在一个雷雨交加的夜晚，他圆睁双目注视着闪电，孤独地离开了人世.一个陌生人替他合上了眼睛，时年C年3月D日，贝多芬享年E岁.请将下列给出的一组数正确的填入A、B、C、D、E中.（1）26 （2）57 （3）1827 （4）12 （5）1770例4 10个好朋友彼此住得很远，没有电话，只能靠写信互通消息.现在这10个人每人都知道一条好消息，这10条好消息彼此不同，为使这10个人都知道所以的好消息，只能通过相互写信通报.请问至少要让邮递员传送几封信？例5甲、乙、丙、丁四个同学进行象棋比赛，每两个都比赛一场，规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分.结果甲得第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得分.随堂练习3五个选手进行象棋比赛，每两个人之间都要赛一盘.规定胜一盘得2分，平一盘各得1分，输一盘不得分.已知比赛后，其中4位选手共得16分，则第5位选手得了分.例6 A、B、C、D、E五对夫妇聚会，见面时相互握手问候.A先生好奇地私下向每个人（包括他太太）刚才握手的次数，得到的回答使他惊奇.9个人中竟然没有两个人握手次数相同的.A太太握手次数是多少？（一对夫妇之间不握手）随堂练习4四所小学，每所小学有两只足球队.这八支足球队进行友谊比赛.规定本校两支球队不进行比赛，不同学校的任意两队之间比赛一场.比赛进行到某一阶段后（还没有赛完）.A校第一队队长发现，其他七支球队已赛过的场数互不相同.问这时A校第二队赛了几场？练习题1.有9张纸牌，分别为1至9.A、B、C、D四人取牌，每人取两张.现已知A取两张牌之和是10；B取两张牌之差是1；C取两张牌之积是24；D取两张牌之商是3.剩下的一张牌是几？2.四名棋手每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分.比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同.那么至多可以有多少个平局？3.甲、乙、丙三名运动员囊括了全部比赛项目的前三名，他们的总分分别为8、7和17分.甲得了一个第一名，已知各个比赛项目分数相同，且第一名得分不低于二、三名得分的和.那么，比赛共有几个项目，甲每项得分分别是几分？4.三人打乒乓球，每场两人，输者退下换成另一人.这样继续下去.在甲打了9场，乙打了6场时，丙最多打了______场.5.在一个庆典晚会上，男女嘉宾共69人.出现了一个非常有趣的情况：每位女士认识的男士的人数各不相同，而且组成连续的自然数，最少的认识16位男士，最多的只有两位男士不认识.这次晚会上共有女嘉宾______人.6.一些士兵排成一列横队，第一次从左到右1至4报数，第二次从右至左1至6报数，两次都报3的恰有5名，这列士兵最多有______名.7.共有四人进行跳远、百米、铅球、跳高四项比赛.规定每个单项第一名记5分，第二名记3分，第三名记2分，第四名记1分，每个单项比赛中四人得分互不相同.总分第一名得17分，其中跳高得分低于其他项的得分；总分第三名得11分，其中跳高得分高于其他项的得分.问总分第二名的铅球得分是多少？8.在一次射击练习中，甲、乙、丙三位战士各打了四发子弹，全部中靶.其命中情况如下：（1）每人四发子弹所命中的环数各不相同；（2）每人四发子弹所命中的总环数均为17环；（3）乙有两发命中的环数分别与甲命中的环数一样；（4）甲与丙只有一发环数相同；（5）每人每发子弹的最好成绩不超过7环.问：甲与丙命中的相同环数是几环？9.12个队参加一次足球比赛，每两个队都要比赛一场，每场比赛中，胜队得3分，负队得0分，平局各得1分.比赛完毕后，获第三名和第四名的两个队得分最多可以相差______分.10.有A、B、C、D四支足球队进行单循环比赛，共要比赛______场.规定：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.全部比赛结束后，A、B两队的总分并列第一名，C队第二名，D队第三名，C队最多得______分.11.一种游戏，每一局胜则得6分，平则得5分,负则得零分，比赛足够多局，但无论比赛多少局，不能得到的分数共有多少个？。
经典逻辑题
经典逻辑题1.乙、丙、丁与小青五位同学一起比赛象棋，每两人比赛一盘。
到现在为止，甲已赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。
问小青已经赛了几盘？2.小王、小方和小孙住在一起，他们一位是医生，一位是经理，一位是教师。
小孙比医生的年龄大，小王和教师不同岁，教师比小方小。
请问小王、小方和小孙的职业各自是什么?3.莎士比亚《威尼斯商人》中，鲍西娅为了挑选聪明的男朋友，就做了三个匣子，一个是金的，一个是银的，一个是铜的，其中只有一个匣子里放了她自己的照片。
三个匣子外面分别贴上一张字条，金的匣子上面写着：“照片不在此匣中。
”银匣子上面写着：“照片在金匣子中。
”铜匣子上面写着：“照片不在此匣中。
”同时鲍西娅又告诉来应选的人，这三句话中只有一句是真的。
请问，照片究竟在哪个匣子里？4.一篇文章，现有甲、乙、丙三人翻译，如果甲、乙两人合作翻译，需要10小时完成，如果由乙、丙两人合作翻译，需要12小时完成。
现在先由甲、丙合作翻译4小时，剩下的再由乙单独去翻译，需要12小时才能完成。
则这篇文章如果全部由乙单独翻译，要多少小时能够完成？5.有黑、白、红三种颜色的珠子，共16颗。
已知白珠颗数是黑珠的5倍。
红珠有多少颗？6.三只口袋分别装有两个红球、两个白球、一红一白球，但口袋外贴的标签都是错的，请从口袋里取出一只球，使你能根据这个球的颜色说出三只口袋里球的颜色。
7.烧一根不均匀的绳，从头烧到尾总共需要1个小时。
现在有若干条材质相同的绳子，问如何用烧绳的方法来计1个小时15分钟呢？8.一只小蚂蚁贪玩迷了路，它很着急，怎么找也找不到回去的路；此时，旁边正好过来一只毛毛虫，于是小蚂蚁上前问毛毛虫，从这里回它的家要怎么走。
毛毛虫告诉它，如果绕过这堵墙要走很远的路，最好还是翻墙过去。
听了毛毛虫的话，小蚂蚁决定翻墙回家，而这面墙有20米高。
如果小蚂蚁只在白天行动，而且一天只爬3米，而晚上它要睡觉，这样又会下滑2米。
如果小蚂蚁就依这种速度从一边的墙脚出发，需要几天的时间才能翻到墙的另一边回家呢？9.小李是他们班的物理课代表，平时除了收发作业外，他还经常与老师去做一些物理实验。
六年级下册数学试题-奥数专题讲练：体育比赛中的逻辑推理(含答案PDF)全国通用
1．n支队伍的单循环比赛将进行场比赛，其中每支队都进行体育比赛中的总分2．体育比赛中的总分胜、平、负按每出现一场平局，总分就会减少每出现一场平局胜、平、负按不管比赛情况如何，最后的总分总是不变的。
3．一个小组内：胜的总场数等于负的总场数；事实上，数学中无处不存在逻辑推理问题，甚至可以说，只要存在因果关系的地方就有逻辑推理。
那么本节，我们将要学习的内容是：体育比赛形式本节的逻辑推理问题。
体育比赛形式的逻辑推理问题，主要是学会将比赛双方以及胜负关系的情况使用点线图来进行表示，借助表格来统计得分数和得失球数，有时还可以利用总得分情况来进行分析。
足球世界杯小组赛的每个小组有四个队参加单循测试题1．甲乙丙三名选手参加马拉松比赛。
起跑后甲处在第一的位置，在整个比赛过程中，甲的位置共发生了七次变化。
比赛结束时甲是第几名？(注：整个比赛过程中没有出现三人跑在同一位置的情形)2．在一次中国象棋比赛中，甲乙丙丁和小张进入了最后的决赛，他们要进行单循环赛，比赛规定：胜一盘得2分，和一盘得1分，输一盘不得分。
到目前为止，甲赛了4盘得了2分，乙赛了3盘得了4分，丙赛了2盘得了1分，丁赛了1盘得了1分。
试问：小张已经比赛了几盘？他一共得了多少分？3．甲、乙、丙、丁四名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分。
请问：⑴一共有多少场比赛？⑵四个人最后得分的总和是多少？⑶如果最后结果甲得第一，乙、丙并列第二，丁是最后一名，那么乙得了多少分？4．四支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场。
每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分。
比赛结束后，各队的总得分恰好是4个连续的自然数。
问：输给第一名的队的总分是多少？5．乒乓球是中国的国球，是“三大国粹”之一在一次乒乓球国际赛事中，中国著名选手马琳以4:0横扫德国著名选手波尔.乒乓球比赛为11分制，即每局11分，7局4胜制，打成10:10后必须净胜而且只能净胜2分。
4队－16队单循环轮次表
台号 轮次
第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 第6轮 第7轮 第8轮 第9轮
1台 8－9 9－7 6－8 7－5 6－4 5－3 2－4 3－1 1－2
10 队比赛轮次表5 3－4
3台 5－4 3－6 7－2 8－1 1－9 9－2 8－3 4－7 5－6
5台 5－10 9－5 5－8 7－5 6－7 11－5 8－9 6－3 10－8 7－9 9－10
6台 1－12 12－2 3－12 12－4 5－12 12－6 7－12 12－8 9－12 12－10 11－12
台号 轮次 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 第6轮 第7轮 第8轮 第9轮 第 10 轮 第 11 轮 第 12 轮 第 13 轮
4台 2－3 4－1 1－5 2－6 3－7 4－8 9－5 6－9 7－8
5台 1－10 10－2 3－10 10－4 5－10 10－6 7－10 10－8 9－10
台号 轮次
第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 第6轮 第7轮 第8轮 第9轮 第 10 轮 第 11 轮
1台 6－11 11－1 1－10 9－1 1－8 7－1 1－6 5－1 1－4 3－1 1－2
5－10 12－3 2－14 16－4 6－15 13－8 10－11 9－12 14－7 5－16 15－3 2－13 11－4 6－9 7－8
5台
7－12 14－5 3－16 15－2 4－13 11－6 8－9 7－10 12－5 3－14 16－2 4－15 13－6 8－11 9－10
6台
7台 1－14 14－2 3－14 14－4 5－14 14－6 7－14 14－8 9－14 14－10 11－14 14－12 13－14
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四个足球队进行单循环比赛，每两个队要赛一场，如果踢平，每队各得1分，否则胜队得三分，负队得0分,比赛结果，共出现4场平局，各队的总得分恰好是四个连续的自然数。
输给第一名的队的总分是多少？
4支队，单循环共打6场。
如果全分出胜负，则18分，根据条件，则有得分3、4、5、6.，和假设矛盾，则有得分2、3、4、5的形式，分析则有2胜4平的形式。
如图
a b c d
a 3 1 1
b 0 1 3
c 1 1 1
d 1 0 1
所以，输给第一名的总分是4分。
是第二名的成绩。
共比赛：3+2+1=6场
每队比：6*2/4=3场
4场平局共得：2*4=8分
6-4=2场胜3*（6-4）=6分
总得分：8+6=14分14=2+3+4+5
5>4>3>2 总分为4分
四个队的积分分别是5、4、3、2。
其它可能均不符合要求，你可以自己试试。
假设四个队为ABCD，根据胜场数等于负场数，且由于没有轮空现象，平局数
总和应为偶数的原则，可得
W D L
A 1 2 0
B 1 1 1
C 0 3 0
D 0 2 1
在每个队只打三场比赛的情况下，A、B、D三个队的胜平负战绩是确定的，C 的3分可能是3平，或者1胜2负。
若C为1胜2负，则胜场总数为3，负场总数为4，不符合要求。
所以C战绩为3平。
现在要算输给A队的球队积分，而只有B、D有负场，所以肯定是二者之一。
假设是D输给了A，那么B的负场和B的胜场是同一场，也就是说只能是B输给自己，这不可能，所以应该是B输给A，而D输给B。
即所求为B的积分，为4分。
附战绩表如下：
A B C D
A \ 胜平平
B 负\ 平胜
C 平平\ 平
D 平负平\
由上图可知，平局的四场分别为A对C，A对D，B对C，还有C对D。
四个足球队进行单循环比赛，规定：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分。
全部比赛结束后，A、B两队的总分并列第一名，C队第二名，D队第三名，C队最多得多少分。
根据胜场数等于负场数，且由于没有轮空现象，平局数总和应为偶数的原则。
1、甲、乙、丙、丁四个同学进行象棋比赛，每两个都比赛一场，规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分，结果甲得第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得多少分？
2、12个队参加一次足球比赛，每两个队都比赛一场，每场比赛中，胜队得3分，负队得0分，平局则各得1分，比赛完毕后，获得第3名和第4名的两个队的得分最多可以相差多少分？
3、在一次“25分制”的女子排球比赛中，中国队以3：0战胜俄罗斯队，中国队三局的总分为77分，俄罗斯队三局的总分是68分，且每一局的比分差不超过4分，3局的比分分别是多少？
4、有A、B、C、D四支足球队进行单循环比赛，规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分，全部比赛结束后，A、B两队的总分并列第一名，C队第二名，D队第三名，C队最多得多少分？
5、四队足球队进行单循环比赛，每两队都要赛一场，如果赛和，每队各得1分，否则胜队得3分，负队得0分。
比赛结果，四队得分恰好是四个连续的整数，问输给第一名的队得了几分？
6、A、B、C、D四个队举行足球循环赛（即每两个队都要赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，已知：（1）比赛结束后四个队的得分都是奇数；（2）A队总分第一；（3）B队恰有两场，并且其中一场与C队平局，那么D队得多少分？
7、世界杯足球赛，每个小组有4支球队，每两支球队之间各要赛一场，胜一场得3分，负一场得0分，平局各得1分。
每个小组总分最多的两支球队出线，如果第一小组比赛中出现
了一场平局，问：在第一小组中一支球队至少得多少分，一定能够出线？在第一小组中一支
球队至多得多少分，必定不能出线？
8、10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，无平局，其中有两队并列第一，两队并
列第三，有两个队并列第五，以后无并列情况，请计算出各队得分。
9、在世界杯预选赛上，A、B、C、D四支足球队进行双循环小组比赛，采用主客场制，即每
两支队之间都比赛两场，规定胜一场得3分，负0分，平双方各得1分，已知第一场比赛A 与B战平，如果规定比赛的前两名出线进入下一轮比赛（大分相同的时候计算小分如净胜球、
进球数等等），如果C队想小组出线，最少要得几分才能确保出线？试说明理由。
10、象棋比赛共有10名选手参加，分别来自甲、乙、丙队，每个选手与其余9名选手各赛1盘，每盘棋的胜者得1分，负者得0分，平局双方各得0.5分。
最后甲队选手平均得 4.5分，乙队平均3.6分，丙队选手平均得9分。
那么丙队参加比赛的选手人数为多少？
A 1
B 2
C 3
D 4
11、学校举办象棋比赛，有10名同学参加。
比赛采用单循环制，每名同学都要与其他同学
比赛一局。
比赛规则是，每局胜者得2分，负者得0分，平局两人各得一分。
比赛结束后
10名同学的得分各不相同。
已知：①第一名和第二名都是一局都没有输过②前两名的得分总和比第三名多20分③第四名的得分与最后四名的得分和相等
那么第5名同学得得分是：
A.8 分
B. 9 分
C. 10 分
D. 11分。