高三数学选填题专项训练6
高三数学填空题专项练习(含答案解析)
1．O是锐角△ABC所在平面内的一定点，动点P满足：，λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的心．2.对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值l做﹣x2+2x的上确界，若a，b∈R+，且a+b=1，则﹣﹣的上确界为．3．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM=，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xoy中，动点P的轨迹方程是．4．设函数f（x）=a1+a2x+a3x2+…+a n x n﹣1，f（0）=，数列{a n}满足f（1）=n2•a n，则数列{a n}的通项=．5．函数f（x）是奇函数，且在[﹣1，1]是单调增函数，又f（﹣1）=﹣1，则满足f（x）≤t2+2at+1对所有的x∈[﹣1，1]及a∈[﹣1，1]都成立的t的范围是．6．已知O为坐标原点，，，=（0，a），，记、、中的最大值为M，当a取遍一切实数时，M的取值范围是．7．已知三数x+log272，x+log92，x+log32成等比数列，则公比为．8．（5分）已知5×5数字方阵：中，，则=．9．（5分）已知函数f（x）=x2﹣cosx，x∈，则满足f（x0）＞f（）的x0的取值范围为．10．（5分）甲地与乙地相距250公里．某天小袁从上午7：50由甲地出发开车前往乙地办事．在上午9：00，10：00，11：00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1小时到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有公里．11．（5分）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x ﹣3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c=．12．（5分）设F1，F2分别是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点M，使=0，O为坐标原点，且|MF1|=|MF2|，则该双曲线的离心率为．13．（5分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是．14．（5分）设⊙O为不等边△ABC的外接圆，△ABC内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，P是△ABC所在平面内的一点，且满足=•+（P与A不重合）．Q为△ABC所在平面外一点，QA=QB=QC．有下列命题：①若QA=QP，∠BAC=90°，则点Q在平面ABC上的射影恰在直线AP上；②若QA=QP，则；③若QA＞QP，∠BAC=90°，则；④若QA＞QP，则P在△ABC内部的概率为（S△ABC，S⊙O分别表示△ABC与⊙O的面积）．其中不正确的命题有（写出所有不正确命题的序号）．参考答案解：∵=∴=+）++﹣=a=时取等号．﹣的上确界是﹣]=x，x=，=××…××，=××…××，，．解：∵，，），M22，∴2∴∴，在公里，时，函数取极大值≤4，共线，∴=0|=a=e==+1解：∵+∴+=== =解：∵=•+∴﹣=•），∴|c•cos的中点，∴∴，故②。
高三数学填空、选择专项训练(六)
高三数学填空、选择专项训练（六）姓名_________班级__________学号 成绩1.等差数列{}n a 的首项11=a ，12321=++a a a ，则{}n a 的公差d= .2. 函数3()sin 1()f x x x x =++∈R ，若f (a )=2，则()f a -的值为3. 已知函数)0()cos()sin()(>⋅=ωωωx x x f （x ∈R ）的最小正周期为π ，则ω = .4. 在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若222()tan a c b B +-=，则角B 的值为5. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为6.已知函数f x ()的反函数1y f x -=()的图象过点10(,),则函数112y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的反函数的图象一定过点 .7.已知函数221)(x x x f +=，那么 =++++++)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ___． 8.如图，正四棱锥ABCD S -的侧棱长是底面边长的2倍，则异面直线BC SA 与所成角的大小是 9. 在 ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠A=60︒，b=1，c=4，则=++++C B A c b a sin sin sin . 10. 已知函数110)3(1)(+⋅-=x p x f 的定义域为)(∞+-∞，，则实数p 的取值范围是 . 11．函数x x y -=（0≥x ）的最大值为_________________．12.已知函数f x ()是定义在实数集上的以3为周期的奇函数,若11f >(),2321a f a -=+(),则实数a 的取值范围是 . 13、已知集合}21|{<≤-=x x M ，}|{a x x N ≤=，若φ≠⋂N M ，则a 的B CD S（第8题）取值范围是 （ ）(A) ]2,(-∞ (B) ),1(+∞- (C) ),1[+∞- (D) ]1,1[-14、设方程3lg =+x x 的根为α，[α]表示不超过α的最大整数，则[α]等于 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）415．设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若11a =，516a =，则数列｛a n ｝前7项的和为（ ）A ．63B ．64C ．127D ．12816．ABC ∆内角分别是 A B C 、、，若关于x 的方程220x xtgA tgB +⋅-=有一个根为1，则ABC ∆一定是 （ ）（A ）等腰直角三角形（B ）直角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形．17、函数y=cos 2x 的图象的一个对称中心是 （ ） (A )(02，π) (B) (04，π) (C )(-02，π) (D) (0,0) 18、设函数1()21f x x x=+-（0x <），则()f x （ ） A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数19、函数y=22-x （ ）(A)在(-∞,+∞)上单调递增。
高考高三数学选择填空专项训练6
高三数学选择填空专项训练（6） 班级 学号 姓名 得分1．在下列各点中，不在不等式235x y +<表示的平面区域内的点为（ ）A ．（0，1）B ．（1，0）C ．（0，2）D ．（2，0） 2．已知sin()απ-=413，则cos()πα4+的值等于（ ） A ．232 B ．-232 C ．13 D ．-133．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y f x =()图象上的是（ ）A ．(())a f a ，-B ．(())--a f a ，C ．(())---a f a ，D ．(())a f a ，-4．与直线430x y -+=平行的抛物线y x =22的切线方程是（ ）A ．410x y -+=B ．410x y --=C ．420x y --=D ．420x y -+=5．等比数列{a n }中，a 3＝4，a 5＝16，则a 9＝（ ）A ．256B ．－256C ．128D ．－1286．在半径为10cm 的球面上有A 、B 、C 三点，如果AB =83，∠ACB ＝60°，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm7． f'（x ）是f （x ）的导函数，f x '()的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．图中阴影部分用集合符号表示为_____________。
9．函数y x x =+>1210()与函数y f x =()的图象关于直线y ＝x 对称，则f(x)＝_____________；f(x)的定义域为_____________。
10．若直线l 将圆x y x y 22240+--=平分，且l 不通过第四象限，则l 斜率的取值范围为_________________________。
11．已知向量a b →→、的夹角为45°，且||()()a a b a b →=→+→→-→=4122312，·，则||b → ＝____________；b a →→在方向上的投影等于___________。
高三数学选择题专题训练(17套)含答案
（每个专题时间：35分钟，满分：60分）1．函数y =的定义域是（ ）A ．[1,)+∞B ．23(,)+∞ C ．23[,1] D ．23(,1]2．函数221()1x f x x -=+, 则(2)1()2f f = （ ） A ．1 B ．－1 C ．35D ．35-3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（ ）A ．2 BC ．1 D4．不等式221x x +>+的解集是（ ） A ．(1,0)(1,)-+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(1,0)(0,1)- D ．(,1)(1,)-∞-+∞5．sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）A ．12-B ．12C． D6．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．127．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。
那么p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题 （ ）①////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② //////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭ ③ ,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有：（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个9． 若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是 （ ） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．400810．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）A ．43B ．53C ．2D ．7311．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为 （ ）A ．2140B ．1740C ．310D ．712012． 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是A ．258B ．234C ．222D ．2101．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则()U C A B 等于( )A ．{1，2，4}B ．{4}C ．{3，5}D ．∅2．︒+︒15cot 15tan 的值是（ ）A ．2B ．2+3C ．4D ．334 3．命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b|>1是|a +b|>1的充要条件；命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞).则（ ）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真4．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．32 B ．33 C ．22 D ．235．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） A ．1B ．－1C ．2D ．216．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：其中真命题的个数是（ ） ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β.A ．0B ．1C ．2D ．37．已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x )，则函数y= f —1(1－x )的图象是（ ）8．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 9．已知8)(xa x -展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ ）A ．28B ．38C ．1或38D ．1或2810．如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60º，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是（ ） A ．arcsin 63 B ．arccos 63C ．arcsin 33 D ．arccos 3311．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，4] 时，f(x)= x －2，则 （ ） A ．f (sin21)<f (cos 21) B ．f (sin 3π)>f (cos 3π) C ．f (sin1)<f (cos1) D ．f (sin 23)>f (cos 23) 12．如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ，现要在曲线PQ 上任意选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物，经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用都是a 万元/km 、那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）A ．(7+1)a 万元B ．(27－2) a 万元C ．27a 万元D ．(7－1) a 万元专题训练（三）1．已知平面向量a =（3，1），b =（x ，–3），且a b ⊥，则x= （ ） A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 2．已知{}{}2||1|3,|6,A x x B x xx =+>=+≤则A B =（ ）A ．[)(]3,21,2-- B ．(]()3,21,--+∞C ． (][)3,21,2--D ．(](],31,2-∞-3．设函数2322,(2)()42(2)x x f x x x a x +⎧->⎪=--⎨⎪≤⎩在x=2处连续,则a= （ ）A ．12-B ．14- C ．14 D ．134．已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2221a a …2n a +等于（ ）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n5．函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是（ ） A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数 C ． 周期为2π的偶函数 D ．.周期为2π的奇函数6．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ）A ．0.1536B ． 0.1808C ． 0.5632D ． 0.97287．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（ ）A ．23 B ． 76 C ． 45 D ． 568．若双曲线2220)x y kk -=>（的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （ ） A ． 6 B ． 8C ． 1D ． 49．当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是（ ） A ． 4 B ． 12 C ．2 D ． 1410．变量x 、y 满足下列条件：212,2936,2324,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是 （ ）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 )11．若tan 4f x x π=+（）（），则（ ） A ． 1f -（）>f (0)>f (1) B ． f （0）>f(1)>f (-1) C ． 1f （）>f (0)>f (-1) D ． f （0）>f(-1)>f (1) 12．如右下图,定圆半径为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0 与直线 x –y+1=0的交点在( )A ． 第四象限B ． 第三象限C ．第二象限D ． 第一象限1．设集合P={1A ．{1，2} B ． {3，4} C ． {1} D ． {-2，-1，0，1，2}2．函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 （ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）A ．140种B ．120种C ．35种D ．34种4．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是（ ）A ．33π100cmB ． 33π208cmC ． 33π500cmD ． 33π3416cm 5．若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．22C ． 4D ．246．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ ）A ．0.6小时B ．0.9小时C ．1.0小时D ．1.5小时 7．4)2(x x +的展开式中x 3的系数是（ ） A ．6 B ．12 C ．24 D ．488．若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两 点(-1，0)和(0，1)，则（ ）A ．a =2,b=2B ．a = 2 ,b=2C ．a =2,b=1D ．a = 2 ,b= 29．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分 别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（ ）A ．5216B ．25216C ．31216D ．9121610．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）A ．1，-1B ．1，-17C ．3，-17 D．9，-1911．设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 （ ）A ．3B ．32C ．43D ．6512．设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个人数(人)时间(小时)专题训练（五）1．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．对于10<<a ，给出下列四个不等式，其中成立的是( )① )11(log )1(log a a a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aa a a 111++<④aaaa 111++>A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④3．已知α、β是不同的两个平面，直线βα⊂⊂b a 直线,，命题b a p 与:无公共点；命题βα//:q . 则q p 是的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 4．圆064422=++-+y x y x 截直线x -y -5＝0所得弦长等于（ ） A ．6 B ．225 C ．1 D ．5 5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A ．21p pB ．)1()1(1221p p p p -+-C ．211p p -D ．)1)(1(121p p --- 6．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 7．已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是( )A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 8．已知随机变量ξ的概率分布如下：则==)10(ξP ( )A ．932 B ．103 C ．93 D ．103 9．已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的距离是( )A ．26 B ．23 C ．3D ．210．设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是( )A ．π68B ．π664C ．π224D ．π27211．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是( )A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-== 12．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐， 并且这2人不．左右相邻，那么不同排法的种数是( )A ．234B ．346C ．350D ．3631．设集合U A ．{2} B ．{2，3} C ．{3} D ． {1，3} 2．已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f x x x f 则若（ ） A ．21 B ．－21 C ．2 D ．－23．已知a +b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |=（ ） A ．7 B ．10C ．13D ．44．函数)1(11>+-=x x y 的反函数是 （ ）A ．)1(222<+-=x x x yB ．)1(222≥+-=x x x y C ．)1(22<-=x x x y D ．)1(22≥-=x x x y5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－426．设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+=（ ） A ．57B ．51C ．27 D ．47．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（ ） A ．23B ．3C ．27 D ．48．设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．]21,21[-B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则ST等于（ ）A ．91 B ．94 C ．41 D ．31 11．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（ ）A ．95 B ．94 C ．2111 D ．2110 12．已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为（ ）A ．3－21B ．21－3C ．－21－3D ．21+31．已知集合}032|{|,4|{22<--=<=x x x N x x M ，则集合N M ⋂=（ ） A ．{2|-<x x } B ．{3|>x x } C ．{21|<<-x x } D ． {32|<<x x }2．函数)5(51-≠+=x x y 的反函数是（ ） A ．)0(51≠-=x x y B ．)(5R x x y ∈+=C ．)0(51≠+=x xy D ．)(5R x x y ∈-=3．曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为（ ） A ．43-=x y B ．23+-=x y C ．34+-=x y D ．54-=x y4．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为（ ）A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x5．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是（ ）A ．6π-B ．6π C ．12π-D ．12π 6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ） A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 7．函数xe y -=的图象（ ） A ．与xe y =的图象 关于y 轴对称B ．与xe y =的图象关于坐标原点对称C ．与x e y -=的图象关于y 轴对称D ．与xe y -=的图象关于坐标原点对称 8．已知点A （1，2）、B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 9．已知向量a 、b 满足：|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |=（ ） A ．1B ．2C ．5D ．610．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ）A ．31 B ．33 C ．32 D ．36 11．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2π C ．π D ．2π12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个专题训练（八）1、设集合22,1,,M x y xy x R y R =+=∈∈，2,0,,N x y xy x R y R =-=∈∈，则集合MN 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42、函数sin 2xy =的最小正周期是（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π3、记函数13xy -=+的反函数为()y g x =，则(10)g =（ ） A ． 2 B ． 2-C ． 3D ． 1- 4、等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ）A ． 81B ． 120C ．168D ． 1925、圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程是（ ）A ． 20x +-=B ． 40x +-=C ． 40x -+=D ． 20x +=6、61x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为（ ）A ． 15B ． 15-C ． 20D ． 20-7、若△ABC 的内角满足sin A ＋cos A ＞0，tan A -sin A ＜0，则角A 的取值范围是（ ）A ．（0，4π） B ．（4π，2π） C ．（2π，43π） D ．（43π，） 8、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ）A ． 5B ．C ．D ． 549、不等式113x <+<的解集为（ ）A ． ()0,2B ． ()()2,02,4- C ． ()4,0- D ． ()()4,20,2--10、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）A ．B ．C ． 3D ．11、在ABC 中，3,4AB BC AC ===，则边AC 上的高为（ ）A ．B ．C ． 32D ．12、4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）A ． 12 种B ． 24 种C 36 种D ． 48 种1．设集合U={1U A ．{5} B ．{0，3} C ．{0，2，3，5} D ． {0，1，3，4，5}2．函数)(2R x e y x∈=的反函数为（ ） A ．)0(ln 2>=x x y B ．)0)(2ln(>=x x y C ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为（ ） A ．26 B ． 6C ．66 D ．36 4． 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．为了得到函数xy )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象（ ）A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 A ．160 B ．180 C ．200 D ．2207．已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k （ ）A ．41-B ．41 C ．21-D ．21 8．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y xB ．0422=++x y xC ．03222=-++x y x D ．0422=-+x y x9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种10．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（ ） A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－511．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=BC=23，则球心到平面ABC 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．212．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b =（ ） A ．231+ B ．31+ C ．232+ D ．32+1．设集合A ．PQ P = B ．P Q 包含Q C ．P Q Q = D ． P Q 真包含于P2． 不等式21≥-xx 的解集为（ ） A ． )0,1[- B ． ),1[+∞- C ．]1,(--∞ D ．),0(]1,(+∞--∞ 3．对任意实数,,a b c 在下列命题中，真命题是（ ）A ．""ac bc >是""a b >的必要条件B ．""ac bc =是""a b =的必要条件C ．""ac bc >是""a b >的充分条件D ．""ac bc =是""a b =的充分条件 4．若平面向量b 与向量)2,1(-=的夹角是o 180，且53||=，则=b （ ） A ． )6,3(- B ． )6,3(- C ． )3,6(- D ． )3,6(-5．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点。
2023年新高考数学选填压轴题汇编(六)(解析版)
2023年新高考数学选填压轴题汇编(六)一、单选题1.(2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习)函数f x =A sin ωx +π4ω>0 的图象与x 轴的两个相邻交点间的距离为π3，要得到函数g x =A cos ωx 的图象，只需将f x 的图象( )A.向左平移π12个单位 B.向右平移π4个单位C.向左平移π4个单位D.向右平移3π4个单位【答案】A【解析】由题意，函数f x =A sin ωx +π4 ω>0 的图象与x 轴的两个相邻交点间的距离为π3∴ 周期T =2π3，由周期公式：T =2πω∴T =2π3=2πω解得： ω=3∴f x =A sin 3x +π4 =A sin3x +π12要得到g x =A cos3x ，即g x =A cos3x =A sin 3x +π2=A sin3x +π6 由题意，可得f x 向左平移π12个单位可得g x .故选：A .2.(2022·福建省福州屏东中学高三开学考试)若函数f x =e x -a -1 x +1在(0，1)上不单调，则a 的取值范围是( )A.2,e +1B.2,e +1C.-∞,2 ∪e +1,+∞D.-∞,2 ∪e +1,+∞【答案】A【解析】∵f (x )=e x -(a -1)x +1，∴f (x )=e x -a +1，若f (x )在(0,1)上不单调，则f (x )在(0,1)上有变号零点，又∵f (x )单调递增，∴f 0 ∙f 1 <0，即(1-a +1)(e -a +1)<0，解得2<a <e +1．∴a 的取值范围是(2,e +1)．故选：A ．3.(2022·福建省福州第二中学高三阶段练习)已知圆C :x 2+y 2-10y +21=0与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是A.2B.53C.52D.5【答案】C【解析】由双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)，可得其一条渐近线的方程为y =b a x ，即bx -ay =0，又由圆C :x 2+y 2-10y +21=0，可得圆心为C (0,5)，半径r =2，则圆心到直线的距离为d =-5a b 2+(-a )2=5a c ，则5a c =2，可得e =c a =52，故选C ．4.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)过圆x 2+y 2=64上的动点作圆C :x 2+y 2=16的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为( )A.4πB.6πC.8πD.12π【答案】A 【解析】设圆x 2+y 2=64的动点为P m ,n ，过P 作圆C 的切线，切点分别为A ,B ，则过P ,A ,B 的圆是以PO 直径的圆，该圆的方程为：x x -m +y y -n =0.由x 2+y 2=16x x -m +y y -n =0 可得AB 的直线方程为：mx +ny =16.原点到直线mx +ny =16的距离为16 m 2+n 2=1664=2，故圆C 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为4π，故选：A .5.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是A.16π9B.8π9C.16π27D.8π27【答案】A【解析】设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，则由题意可得r 2=3-x3，∴x =3-32r ，∴圆柱的体积为V (r )=πr 23-32r (0<r <2)，则V (r )=169π∙34r ∙34r ∙3-32r ≤16π9∙34r +34r +3-32r 33=16π9．当且仅当34r =3-32r ，即r =43时等号成立．∴圆柱的最大体积为16π9，故选：A ．6.(2022·福建省福州延安中学高三开学考试)已知2sin 2x +cos 2y =1，则sin 2x +cos 2y 的取值范围是( )A.0,12B.12,1C.22,1D.12,22【答案】B【解析】∵2sin 2x +cos 2y =1，∴cos 2y =1-2sin 2x ，∴0≤1-2sin 2x ≤1，∴0≤sin 2x ≤12，又sin 2x +cos 2y =sin 2x +1-2sin 2x =1-sin 2x ∈12,1，∴sin 2x +cos 2y 的取值范围是12,1.故选：B7.(2022·福建·福州十八中高三开学考试)设函数f (x )的定义域为R ，f (x +1)为偶函数，f (x +2)为奇函数，当x ∈[1,2]时，f (x )=ax +b .若f (0)+f (3)=4，则f 92=( )A.-2B.32C.-72D.72【答案】A【解析】因为f (x +1)为偶函数，则f (x +1)的图像关于y 轴对称，所以f (x )关于x =1对称，则f (0)=f (2)，试卷第2页，共40页因为f (x +2)为奇函数，则f (x +2)的图像关于原点对称，且f (2)=0，所以f (x )关于(2,0)对称，则f (3)=-f (1)，因为当x ∈[1,2]时，f (x )=ax +b ，所以f (1)=a +b ，f (2)=2a +b =0，因为f (0)+f (3)=4，所以f (2)-f (1)=a =4，故f (2)=2a +b =8+b =0⇒b =-8，从而当x ∈[1,2]时，f (x )=4x -8，故f 92 =-f -12 =-f 52 =f 32 =4×32-8=-2.故选：A .8.(2022·福建·闽江学院附中高三开学考试)设函数f x 是奇函数f x x ≠0 的导函数，f -1 =-2．当x >0时，f x >2，则使得f x >2x 成立的x 的取值范围是( )A.-∞,-1 ∪0,1 B.-1,0 ∪1,+∞ C.-∞,-1 ∪1,+∞ D.-1,0 ∪0,1【答案】B【解析】因为当x >0时，f x >2，所以f 'x -2>0，故令g x =f x -2x ，则g 'x =f 'x -2>0，故g x 在0,+∞ 上单调递增.因为f -1 =-2，所以g -1 =f -1 +2=0，又因为f x 为奇函数，所以g x =f x -2x 为奇函数，所以g 1 =0，且在区间-∞,0 上，g x 单调递增.所以使得f x >2x ，即g x >0成立的x 的取值范围是-1,0 ∪1,+∞ .故选：B9.(2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试)若函数f x =x 2+ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ,最小值是m ,则M -m 的值A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，且与b 无关 D.与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在f (0)=b ,f (1)=1+a +b ,f -a 2 =b -a 24中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．10.(2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试)设函数f (x )的定义域为R ，f (x +1)为奇函数，f (x +2)为偶函数，当x ∈[1,2]时，f (x )=a ⋅2x +b ．若f (0)+f (3)=6，则f log 296 的值是( )A.-12 B.-2 C.2 D.12【答案】B【解析】f (x +1)为奇函数，即其图象关于(0,0)点对称，所以f (x )的图象关于(1,0)点对称，f (x +2)为偶函数，即其图象关于y 轴对称，因此f (x )的图象关于直线x =2对称，所以f (1)=0，f (0)=-f (2)，f (3)=f (1)，所以f (1)=2a +b =0，f (0)+f (3)=-f (2)=-(4a +b )=6，由此解得a =-3，b =6，所以x ∈[1,2]时，f (x )=-3⋅2x +6，由对称性得f (x +2)=f (2-x )=-f (1-(1-x ))=-f (x )，所以f (x +4)=-f (x +2)=f (x )，f (x )是周期函数，周期为4，6<log 296<7，f (log 296)=f (log 296-4)=f (4-log 296+4)=f log 225696 =f log 283 =-3×83+6=-2，故选：B ．11.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知函数f x =x 2+4a -3 x +3a ,x <0log ax +1 +1,x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程f x =2-x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.12,23 ∪34B.23,34 C.13,23 ∪34D.13,34【答案】C【解析】函数f x 在R 上单调递减，则3-4a 2≥00<a <102+4a -3 ⋅0+3a ≥log a 0+1 +1，解得13≤a ≤34，在同一直角坐标系中，画出函数y =f x 和函数y =2-x 的图象，如图：由图象可知，在0,+∞ 上，f x =2-x 有且仅有一个解，故在-∞,0 上，f x =2-x 有且仅有一个解，当3a >2即a >23时，由x 2+4a -3 x +3a =2-x ，即x 2+4a -2 x +3a -2=0,x <0，则Δ=(4a -2)2-43a -2 =0，解得a =34或1(舍去)，当a =34时，方程可化为x +12 2=0,x =-12符合题意；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为13,23 ∪34.故选：C .12.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知正实数a ,b 满足abe a +ln b +1=0，则( )A.b >1eB.a <1C.ab =1D.e a <1b【答案】D【解析】因为abe a +ln b +1=0，所以ae a =-ln b -1b>0，故ln b +1<0，即0<b <1e，故选项A 错误；若a =1，则eb +ln b +1=0，作出函数y =ln x 与y =-ex -1的图象如图所示：显然有交点，则方程eb +ln b +1=0有解，故选项B 错误；若ab =1，则e a -ln a +1=0，即e a =ln a -1，作出函数y =e x 与y =ln x -1的图象如图所示：显然无交点，则方程e a -ln a +1=0无解，故选项C 错误；因为abe a +ln b +1=0，则ae a +1b =-ln bb=-ln b ⋅e -ln b >ae a ，且-ln b >0，令f x =xe x (x >0)，则fx =x +1 e x >0，所以f x在区间,+∞ 上单调递增，所以f -ln b >f a ，即-ln b >a ，因此e a <1b，故选项D 正确.故选：D13.(2022·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习)已知函数f x =ln x x 2，若f x <m -1x2在(0,+∞)上恒成立，e =2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数，则实数m 的取值范围是( )试卷第2页，共40页A.m >eB.m >e2C.m >1D.m >e【答案】B【解析】若f x <m -1x 2在(0,+∞)上恒成立，即f x +1x2<m 在(0,+∞)上恒成立，令g (x )=f (x )+1x 2=ln x +1x 2，故只需g (x )max <m 即可，g (x )=1x ⋅x 2-(ln x +1)⋅2xx 4=-2ln x -1x 3，令g(x )=0，得x =e -12，当0<x <e-12时，g(x )>0；当x >e-12时，g (x )<0，所以g (x )在0，e-12上是单调递增，在e -12,+∞ 上是单调递减，所以当g (x )max =g e -12 =e2，所以实数m 的取值范围是m >e2.故选：B .14.(2022·河北省唐县第一中学高三开学考试)定义运算a *b ，a *b ={a b a ≤ba >b，例如1*2=1，则函数y =1*2x 的值域为A.0,1 B.-∞,1 C.1,+∞ D.0,1【答案】D【解析】当1≤2x 时，即x ≥0时，函数y =1*2x =1当1>2x 时，即x <0时，函数y =1*2x =2x ∴f (x )=1，x ≥02x ，x <0由图知，函数y =1*2x 的值域为：(0，1]．故选D ．15.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)已知函数f x =log 3x ,x >03x,x ≤0，若函数g x =f x 2-m +2 f x +2m恰好有5个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.0,1B.0,1C.1,+∞D.1,+∞【答案】A【解析】画出函数的大致图象，如下图所示：∵函数g x =f x 2-m +2 f x +2m 恰好有5个不同的零点，∴方程f x2-m +2 f x +2m =0有5个根，设t =f (x )，则方程化为t 2-m +2 t +2m =0，易知此方程有两个不等的实根t 1，t 2，结合f (x )的图象可知，t 1∈0,1 ，t 2∈1,+∞ ，令h (t )=t 2-m +2 t +2m ，则由二次函数的根的分布情况得：Δ=(m +2)2-8m >0h (0)>0h (1)≤0，解得：0<m ≤1.故选：A16.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)已知定义在(-3,3)上的函数f (x )满足f (x )+e 4x f (-x )=0,f (1)=e 2,f (x )为f (x )的导函数，当x ∈[0,3)时，f (x )>2f (x )，则不等式e 2x f (2-x )<e 4的解集为( )A.(-2,1)B.(1,5)C.(1,+∞)D.(0,1)【答案】B 【解析】令g x =f xe2x ，所以f x =e 2x g x ，因为f x +e 4x f -x =0，所以e 2x ⋅g x +e 4x ⋅e -2x g -x =0，化简得g x +g -x =0，所以g x 是-3,3 上的奇函数；gx =f x e 2x -2e 2x f x e 4x =f x -2f x e 2x，因为当0≤x <3时，f x >2f x ，所以当x ∈0,3 时，g x >0，从而g x 在0,3 上单调递增，又g x 是-3,3 上的奇函数，所以g x 在-3,3 上单调递增；考虑到g 1 =f 1 e 2=e 2e2=1，由e 2x f 2-x <e 4，得e 2x e 22-x g 2-x <e 4，即g 2-x <1=g 1 ，由g x 在-3,3 上单调递增，得-3<2-x <3,2-x <1,解得1<x <5，所以不等式e 2x f 2-x <e 4的解集为1,5 ，故选：B .17.(2022·重庆南开中学高三阶段练习)公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理，我们可以应用此原理将一些复杂几何体转化为常见几何体的组合体来计算体积.如图，将双曲线C :y 2-x 2=5与直线x =±2所围成的平面图形绕双曲线的实轴所在直线旋转一周得到几何体Γ，下列平面图形绕其对称轴(虚线所示)旋转一周所得几何体与Γ的体积相同的是( )A.图①，长为6､宽为4的矩形的两端去掉两个弦长为4､半径为3的弓形B.图②，长为25､宽为4的矩形的两端补上两个弦长为4､半径为3的弓形C.图③，长为6､宽为4的矩形的两端去掉两个底边长为4､腰长为3的等腰三角形D.图④，长为25､宽为4的矩形的两端补上两个底边长为4､腰长为3的等腰三角形【答案】B【解析】由y 2-x 2=5x =2得：y =±3，则当y =t 5<t <3 与C 相交于两点时，内圆半径r =t 2-5，则在该位置旋转一周所得圆环面积为4π-t2-5 π=9-t 2 π；将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，试卷第2页，共40页对于③，双曲线实轴长为25，③中y 轴的最短距离为6-232-22=6-25，不合题意，③错误；对于④，几何体Γ母线长为6，④中y 轴的最长距离为25+232-22=45，不合题意，④错误；对于①，在y 轴的最短距离为6-2×3-32-22 =25，母线长为6，与几何体Γ吻合；当y =t 5<t <3 与①中图形相交时，两交点之间距离为232-3+5-t 2，此时圆环面积为4π-32+3+5-t 2 π=-t 2+23+5 t -14-25 π，不合题意，①错误对于②，在y 轴的最长距离为25+2×3-32-22 =6，矩形高为25，与几何体Γ吻合；当y =t 5<t <3 与②中图形相交时，两交点之间距离为232-t 2=29-t 2，此时圆面积为9-t 2 π，与圆环面积相同，满足题意，②正确.故选：B .18.(2022·辽宁·高三开学考试)已知函数f x 满足：f 1 =14，4f x f y =f x +y +f x -y x ,y ∈R ，则2022k =0f (k )= ( )A.12B.14C.-14D.-12【答案】A【解析】4f x f y =f x +y +f x -y x ,y ∈R ，令x =1,y =0得：4f 1 f 0 =2f 1 ，因为f 1 =14，所以f 0 =12，令x =n ，y =1得：4f n f 1 =f n +1 +f n -1 ，即f n =f n +1 +f n -1 ，则f n +1 =f n +2 +f n ，上面两式子联立得：f n +2 =-f n -1 ，所以f n -1 =-f n -4 ，故f n +2 =f n -4 ，故f x 是以6为周期的函数，且f 0 +f 1 +f 2 +f 3 +f 4 +f 5 =f 0 +f 1 +f 2 -f 0 -f 1 -f 2 =0，所以2022k =0f (k )= 3375k =0f (k )+f 2022 =0+ f 2022 =f 0 =12故选：A19.(2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习)已知△ABC ，I 是其内心，内角A ,B ,C 所对的边分别a ,b ,c ，则( )A.AI =13(AB +AC )B.AI =cAB a +bACaC.AI =bAB a +b +c +cAC a +b +cD.AI =cAB a +b +bACa +c 【答案】C【解析】延长AI ,BI ,CI ，分别交BC ,AC ,AB 于D ,E ,F .内心是三角形三个内角的角平分线的交点.在三角形ABD 和三角形ACD 中，由正弦定理得：BD sin 12∠BAC =c sin ∠ADB ,CD sin 12∠BAC =bsin ∠ADC ，由于sin ∠ADB =sin ∠ADC ，所以BD c =CD b ,BD CD =c b ，BD BD +CD =c b +c ,BD a =c b +c ,BD =acb +c，同理可得c BD =AI DI ，c BD +c =AI DI +AI =AIAD ，AI =c ⋅AD BD +c =c ac b +c+c ⋅AD =b +c a +b +c ⋅AD .所以AD =AB +BD =AB +c b +c BC =AB +c b +c AC -AB=b b +c AB +c b +c AC，则AI =b +c a +b +c ⋅AD =b +c a +b +c ⋅b b +c AB +c b +c AC =b a +b +c AB +ca +b +c AC .故选：C 20.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)已知不等式x ln x +(x +1)k <2x ln2的解集中仅有2个整数，则实数k 的取值范围是( )A.0,34ln 43 B.34ln 43,23ln2C.23ln2,+∞D.34ln 43,23ln2【答案】D【解析】由x ln x +x (k -ln4)+k <0可得：k (x +1)<x ln4-x ln x ，设f (x )=k (x +1),g (x )=x ln4-x ln x ，g (x )=ln4-ln x -1，x ∈0,4e时，g (x )>0，g (x )单调递增，x ∈4e ,+∞ 时，g (x )<0，g (x )单调递减，则当x =4e时函数g x 取得最大值，如示意图：由图可知，当k ≤0时，整数解超过了2个，不满足题意；当k >0时，需满足f 2 <g 2 f 3 ≥g 3 得：34ln 43≤k <23ln2．故选择：D ．21.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)若α，β∈0，π2，且(1+cos2α)(1+sin β)=sin2αcos β，则下列结论正确的是( )A.α+β=π2B.α+β2=π2C.2α-β=π2D.α-β=π2【答案】C【解析】∵α，β∈0，π2，∴cos α≠0.由(1+cos2α)(1+sin β)=sin2αcos β，可得2cos 2α(1+sin β)=2sin αcos αcos β，即cos α(1+sin β)=sin αcos β.∴cos α=sin αcos β-cos αsin β=sin α-β ，∴sin α-β =sin π2-α.∵α，β∈0，π2 ，∴-π2<α-β<π2，且0<π2-α<π2.由于函数y =sin x 在x ∈-π2，π2 上单调递增，∴α-β=π2-α，即2α-β=π2.故选:C .二、多选题22.(2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习)海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度(船底到水面的距离)为4m .安全条例规定至少要有2.25m 的安全间隙(船底到海底的距离)，下表给出了某港口在某试卷第2页，共40页季节每天几个时刻的水深.时刻水深/m 时刻水深/m 时刻水深/m 0：00 5.09：00 2.518：00 5.03：007.512：00 5.021：00 2.56：005.015：007.524：005.0若选用一个三角函数f x 来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有( )A.f x =2.5cos π6x+5 B.f x =2.5sin π6x+5C.该货船在2：00至4：00期间可以进港 D.该货船在13：00至17：00期间可以进港【答案】BCD【解析】依据表格中数据知，可设函数为f x =A sin ωx +k ，由已知数据求得A =2.5，k =5，周期T =12，所以ω=2πT =π6﹐所以有f x =2.5sin π6x +5，选项A 错误；选项B 正确；由于船进港水深至少要6.25，所以2.5sin π6x +5≥6.25，得sin π6x ≥12，又0≤x ≤24⇒0≤π6x ≤4π，则有π6≤π6x ≤5π6或13π6≤π6x ≤17π6，从而有1≤x ≤5或13≤x ≤17，选项C ，D 都正确.故选：BCD23.(2022·福建省福州屏东中学高三开学考试)已知函数f x =3sin 2x +φ -π2<φ<π2 的图像关于直线x =π3对称，则( )A.函数f x +π12 为奇函数B.函数f x 在π3,π2上单调递增C.函数f x 的图像向右平移a a >0 个单位长度得到的函数图像关于x =π6对称，则a 的最小值是π3D.若方程f x =a 在π6,2π3 上有2个不同实根x 1,x 2，则x 1-x 2 的最大值为π2【答案】AC【解析】因为函数f x =3sin 2x +φ -π2<φ<π2 的图像关于直线x =π3对称，所以，2×π3+φ=π2+k π,k ∈Z ，解得φ=-π6+k π,k ∈Z ，因为-π2<φ<π2，所以φ=-π6，即f x =3sin 2x -π6，所以，对于A 选项，函数f x +π12 =3sin2x ，是奇函数，故正确；对于B 选项，当x ∈π3,π2 时，2x -π6∈π2,5π6，由于函数y =sin x 在π2,5π6 上单调递减，所以函数f x 在π3,π2 上单调递减，故错误；对于C 选项，函数f x 的图像向右平移a a >0 个单位长度得到的函数图像对应的解析式为g x =3sin 2x -2a -π6，若g x 图像关于x =π6对称，则2×π6-2a -π6=π2+k π,k ∈Z ，解得a =-π6+k π2,k ∈Z ，由于a >0，故a 的最小值是π3，故正确；对于D 选项，当x ∈π6,2π3时，2x -π6∈π6,7π6，故结合正弦函数的性质可知，若方程f x =a 在π6,2π3上有2个不同实根x 1,x 2，不妨设x 1<x 2，则x 1-x 2 取得最大值时满足2x 1-π6=π6且2x 2-π6=5π6，所以，x 1-x 2 的最大值为π3，故错误.故选：AC 24.(2022·福建省福州屏东中学高三开学考试)已知定义在R 上的奇函数f x 图象连续不断，且满足f x +2 =f x ，则以下结论成立的是( )A.函数f x 的周期T =2B.f 2019 =f 2020 =0C.点1,0 是函数y =f x 图象的一个对称中心D.f x 在-2,2 上有4个零点【答案】ABC【解析】定义在R 上的奇函数f (x )图象连续不断，且满足f (x +2)=f (x )，所以函数的周期为2，所以A 正确；f (-1+2)=f (-1)，即f (1)=f (-1)=-f (1)，所以f (1)=f (-1)=0，所以f (2019)=f (1)=0，f (2020)=f (0)=0，所以B 正确；f x +2 =f x =-f -x ⇒f x +2 +f -x =0⇒f x 图象关于1,0 对称，所以C 正确；f (x )在[-2，2]上有f (-2)=f (-1)=f (0)=f (1)=f (2)=0，有5个零点，所以D 不正确；故选：ABC ．25.(2022·福建省福州第二中学高三阶段练习)已知函数f (x )=-x 2-2x ,x <0f (x -2),x ≥0，以下结论正确的是( )A.f (-3)+f (2019)=-3B.f x 在区间4,5 上是增函数C.若方程f (x )=kx +1恰有3个实根，则k ∈-12,-14D.若函数y =f (x )-b 在(-∞,4)上有6个零点x i (i =1,2,3,4,5,6)，则6i =1x i f x i 的取值范围是0,6【答案】BCD【解析】函数f (x )的图象如图所示：对A ，f (-3)=-9+6=-3，f (2019)=f (1)=f (-1)=1，所以f (-3)+f (2019)=-2，故A 错误；对B ，由图象可知f x 在区间4,5 上是增函数，故B 正确；对C ，由图象可知k ∈-12,-14，直线f (x )=kx +1与函数图象恰有3个交点，故C 正确；对D ，由图象可得，当函数y =f (x )-b 在(-∞,4)上有6个零点x i (i =1,2,3,4,5,6)，则0<b <1，所以当b →0时，6i =1x i f x i →0；当b →1时，6i =1x i f x i →6，所以6i =1x i f x i 的取值范围是0,6 ，故D 正确.故选：BCD .26.(2022·福建省福州第二中学高三阶段练习)已知函数f (x )=x ln x +x 2，x 0是函数f (x )的极值点，以下几个结论中正确的是( )A.0<x 0<1eB.x 0>1eC.f (x 0)+2x 0<0D.f (x 0)+2x 0>0【答案】AD试卷第2页，共40页【解析】函数f (x )=x ln x +x 2,(x >0),∴f (x )=ln x +1+2x ,∵x 0是函数f (x )的极值点，∴f x 0 =0，即∴ln x 0+1+2x 0=0，∴f 1e =2e >0,当x >1e时，f x >0∵x →0,f (x )→-∞,∴0<x 0<1e,即A 选项正确,B 选项不正确;f x 0 +2x 0=x 0ln x 0+x 20+2x 0=x 0ln x 0+x 0+2 =x 01-x 0 >0,即D 正确,C 不正确.故答案为:AD .27.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)设函数f x =sinπxx 2-x +54，则下列结论正确的是( )A.f x 的最大值为1B.f x ≤4xC.曲线y =f x 存在对称轴D.曲线y =f x 存在对称中心【答案】ABC【解析】A ：因为x 2-x +54=x -12 2+1≥1,sinπx ≤1，所以sinπx ≤x 2-x +54⇒sinπx x 2-x +54≤1⇒f (x )≤1，当且仅当x =12时，f x =1故A 正确；B ：f x ≤4x 等价于sinπx ≤4x 3-x 2+54x ，设g x =x -sin x ,x ∈0,+∞ ，g (x )=1-cos x ≥0，所以函数g (x )=x -sin x 在x ∈[0,+∞)时单调递增，因此有g (x )≥g (0)=0-sin0=0，即x ≥sin x ,x ∈0,+∞ ，而设函数h (x )=x -sin x ，h (-x )=-x -sin (-x ) =x -sin x =h (x )，所以h (x )=x -sin x 是实数集上的偶函数，因此有x ≥sin x ，即πx ≥sinπx ，4x x 2-x +54 ≥4x ×1=4x ，f x ≤πx x 2-x +54≤πx ≤4x ，故B 正确；C ：因为f 12+x -f 12-x =sinπ12+x 12+x -12 2+1-sinπ12-x 12-x -12 2+1=cosπx -cosπx x 2+1=0，所以曲线y =f x 关于直线x =12对称，故C 正确；D ：设曲线y =f x 存在对称点，设为(a ,b )，则有f (a +x )+f (a -x )=2b ，当x =0时，则有2f (a )=2b ⇒f (a )=b ，当x =a 时，则有f (2a )=2b ⇒2f (a )=f (2a )，即sin2a π(2a )2-2a +54=2⋅sin a πa 2-a +54⇒2sin a πcos a π(2a )2-2a +54=2⋅sin a πa 2-a +54，因此有sin a π=0，所以a 为整数，b =f a =sin a πa 2-a +54=0，令x =12，f a +12 +f a -12=0，而f a +12 +f a -12 =sinπa +12 a +12-12 2+1+sinπa -12a -12-12 2+1=cos a πa 2+1-cos a π(a -1)2+1，显然f a +12 +f a -12=0不恒成立，故D 不正确.故选：ABC .28.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球；乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A 1,A 2,A 3表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是( )A.P B =25B.P B |A 1 =511C.事件B 与事件A 1不相互独立D.A 1,A 2,A 3两两互斥【答案】BD 【解析】P A 1 =510=12,P A 2 =210=15,P A 3 =310，又P B |A 1 =511,P B |A 2 =411,P B |A 3 =411，故B 正确.故P (B )=P B |A 1 P A 1 +P B |A 2 P A 2 +P B |A 3 P A 2=511×12+411×15+411×310=922，故A 错误.P B P A 1 =922×12=944,P BA 1 =P B |A 1 P A 1 =522，故P B P A 1 ≠P BA 1 ，所以事件B 与事件A 1不相互独立，根据互斥事件的定义可得A 1,A 2,A 3两两互斥，故选：BD .29.(2022·福建·福州十八中高三开学考试)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(0<ω<10，0<φ<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.ω=2B.ω=3C.f (x )在5π12,11π12上单调递增D.f (x )图像关于直线x =2π3对称【答案】AC【解析】由图可知： x =0，y =32；可得：ω×0+φ=2π3+2k π,k ∈Z ，所以φ=2π3+2k π,k ∈Z 又0<φ<π，所以φ=2π3；由x =π6，y =0，可得π6ω+2π3=π+2k π,k ∈Z ，所以ω=2+12k ,k ∈Z又0<ω<10，可得ω=2，所以A 选项正确，B 选项错误；所以函数的解析式为：f (x )=sin 2x +2π3 ，则f (x )在R 上的增区间满足：-π2+2k π≤2x +2π3≤π2+2k π,k ∈Z解得增区间为-7π12+k π,-π12+k π,k ∈Z ，所以当k =1时，函数f (x )的单调增区间为5π12,11π12，所以C 选项正确；当x =2π3时，f 2π3 =sin2π=0≠±1，所以直线x =2π3不是f (x )的对称轴，所以D 选项不正确；故选：AC ．30.(2022·福建·闽江学院附中高三开学考试)关于函数f (x )=sin |x |+|sin x |，下列叙述正确的是( )A.f (x )是偶函数B.f (x )在区间π2,π单调递增C.f (x )的最大值为2 D.f (x )在[-π,π]有4个零点【答案】AC【解析】f (-x )=sin -x +sin (-x ) =sin x +sin x =f (x )，f (x )是偶函数，A 正确；x ∈π2,π 时，f (x )=sin x +sin x =2sin x ，单调递减，B 错误；试卷第2页，共40页f (x )=sin x +sin x ≤1+1=2，且f π2=2，因此C 正确；在[-π,π]上，-π<x <0时，f (x )=sin (-x )+(-sin x )=-2sin x >0，0<x <π时，f (x )=sin x +sin x =2sin x >0，f (x )的零点只有π,0,-π共三个，D 错．故选：AC ．31.(2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试)已知关于x 的不等式a (x -1)(x +3)+2>0的解集是x 1,x 2 ，其中x 1<x 2，则下列结论中正确的是( )A.x 1+x 2+2=0 B.-3<x 1<x 2<1C.x 1-x 2 >4D.x 1x 2+3<0【答案】ACD【解析】由题设，a (x -1)(x +3)+2=ax 2+2ax -3a +2>0的解集为x 1,x 2 ，∴a <0，则x 1+x 2=-2x 1x 2=2a-3<0，∴x 1+x 2+2=0，x 1x 2+3=2a<0，则A 、D 正确；原不等式可化为f (x )=a (x -1)(x +3)>-2的解集为x 1,x 2 ，而f(x )的零点分别为-3,1且开口向下，又x 1<x 2，如下图示，∴由图知：x 1<-3<1<x 2，x 1-x 2 >4，故B 错误，C 正确.故选：ACD .32.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )+f (-x )=0，f (x )+f (x +6)=0，且对任意的x 1,x 2∈[-3，0]，当x 1≠x 2时，都有x 1f (x 1)+x 2f (x 2)<x 1f (x 2)+x 2f (x 1)，则以下判断正确的是( )A.函数f (x )是偶函数B.函数f (x )在[-9，-6]上单调递增C.x =2是函数f (x +1)的对称轴D.函数f (x )的最小正周期是12【答案】BCD【解析】因为定义在R 上的函数f (x ) 满足f (x )+f (-x )=0，即f (-x )=-f (x )，故函数f (x )是奇函数，故A 错误；因为f (x )+f (x +6)=0，故f (x +6)=-f (x )，而f (-x )=-f (x )，所以f (x +6)=f (-x )，即f (x )的图象关于x =3对称，则x =2是函数f (x +1)的对称轴，故C 正确；因为f (x +6)=f (-x )，所以f (x +12)=-f (x +6)=f (x )，故12是函数f (x )的周期；对任意的x 1,x 2∈[-3，0] ，当x 1≠x 2 时，都有x 1f (x 1)+x 2f (x 2)<x 1f (x 2)+x 2f (x 1) ，即(x 1-x 2)⋅[f (x 1)-f (x 2)]<0，故x ∈[-3，0]时，f (x )单调递减，又因为f (x )为奇函数，所以x ∈[0，3]时，f (x )单调递减，又因为f (x )的图象关于x =3对称，故x ∈[3,6]时，f (x )单调递增，因为12是函数f (x )的周期，故函数f (x )在[-9,-6] 单调性与x ∈[3,6]时的单调性相同，故函数f (x )在[-9,-6]上单调递增，故B 正确，作出函数f (x )的大致图象如图示：结合图象可得知12是函数f (x )的最小正周期，D 正确；故选：BCD33.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知函数f (x )=ln (x +1)x，下列选项正确的是( )A.函数f (x )在(-1，0)上为减函数，在(0,+∞)上为增函数B.当x 1>x 2>0时，f (x 1)x 22>f (x 2)x 21C.若方程f (|x |)=a 有2个不相等的解，则a 的取值范围为(0,+∞)D.1+12+⋯+1n -1 ln2≤ln n ，n ≥2且n ∈N +【答案】BD【解析】对于选项A ：f x =ln x +1 x ，x ∈-1,0 ∪0,+∞ .则f x =x -x +1 ln x +1x +1 x2，令g x =x -x +1 ln x +1 ,x ∈-1,0 ∪0,+∞ ，则g x =-ln x +1 ，当x ∈-1,0 时，g x >0，g x 单调递增；当x ∈0,+∞ 时，g x <0，g x 单调递减.所以对任意x ∈-1,0 ∪0,+∞ ，g x <g 0 =0，即f x <0，所以f x 在-1,0 ,0,+∞ 都是减函数，故A 错误；对于选项B ：令h x =x 2f x =x ln x +1 ,x ∈0,+∞ ，则h x =x +x +1 ln x +1x +1，当x ∈0,+∞ 时，h x >0，h x 单调递增，所以当x 1>x 2>0时，h x 1 >h x 2 ，即x 12f x 1 >x 22f x 2 ，所以f x 1 x 22>f x 2 x 12，故B 正确；对于选项C ：因为y =f x 是偶函数，所以“方程f x =a 有2个不相等的解”等价于“方程f x =a 在0,+∞ 上有1个解”.由A 可知，f x 在0,+∞ 上单调递减，且x →0时，f x →1；x →+∞时，f x →0，所以，当0<a <1时，方程f x =a 在0,+∞ 上有1个解，即f x =a 有2个不相等的解，故C 错误；对于选项D ：由A 知，f x 在0,12 上单调递减，则对任意x ∈0,12 ，f x ≥f 12 =2ln 32=ln 94>ln2，即ln x +1 x >ln2，所以当n ≥2时，ln 1n+1 1n>ln2，即1n ln2<ln n +1n.所以ln2=ln2，12ln2<ln 32，13ln2<ln 43，⋯，1n -1ln2<ln nn -1，以上式子相加得ln2+12ln2+13ln2+⋯+1n -1ln2≤ln2+ln 32+ln 43+⋯+ln n n -1，即1+12+13+⋯+1n -1 ln2≤ln n (n =2时，等号成立)，故D 正确.故选：BD .34.(2022·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习)已知函数f x =A cos ωx +φ (A >0,ω>0,0<φ<π)的图象的一个最高点为-π12,3 ，与之相邻的一个对称中心为π6,0 ，将f x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g x 的图象，则( )A.g x 为偶函数B.g x 的一个单调递增区间为-5π12,π12试卷第2页，共40页C.g x 为奇函数D.g x 在0,π2上只有一个零点【答案】BD 【解析】由题意，可得T 4=π6--π12 =π4，所以T =π，可得w =2πT=2，所以f x =3cos (2x +φ)，因为f -π12 =3cos 2×-π12 +φ =3，所以φ-π6=2k π,k ∈Z ，因为0<φ<π，所以φ=π6，即f x =3cos 2x +π6 ，所以g x =3cos 2x -π6 +π6 =3cos 2x -π6 ，可得函数g x 为非奇非偶函数，令-π+2k π≤2x -π6≤2k π,k ∈Z ，可得-5π12+k π≤x ≤π12+k π,k ∈Z ，当k =0时，函数g x 的一个单调递增区间为-5π12,π12；由2x -π6=π2+k π,,k ∈Z ，解得x =π3+k π,k ∈Z ，所以函数g x 在0,π2上只有一个零点.故选：BD35.(2022·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习)已知f x 为函数f x 的导函数，若x 2f x +xf x =ln x ，f 1 =12，则下列结论错误的是( )A.xf x 在0,+∞ 上单调递增B.xf x 在0,+∞ 上单调递减C.xf x 在0,+∞ 上有极大值12D.xf x 在0,+∞ 上有极小值12【答案】ABC【解析】由x 2f x +xf x =ln x ，可知x >0，则xf x +f x =ln x x ，即xf x =ln xx．设g x =xf x ，则由g x =ln xx>0得x >1，由g x <0得0<x <1，所以g x =xf x 在1,+∞ 上单调递增，在0,1 上单调递减，所以当x =1时，函数g x =xf x 取得极小值g 1 =f 1 =12．故选：ABC ．36.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)若4x -4y <5-x -5-y ，则下列关系正确的是( )A.x <yB.y -3>x -3C.x >yD.13 y <3-x【答案】AD【解析】由4x -4y <5-x -5-y ，得4x -5-x <4y -5-y ，令f x =4x -5-x ，则f x <f y ．因为g x =4x ，h x =-5-x 在R 上都是增函数，所以f x 在R 上是增函数，所以x <y ，故A 正确；因为G x =x -3在0,+∞ 和-∞,0 上都单调递减，所以当x <y <0时，x -3>y -3，故B 错误；当x <0，y <0时，x ，y 无意义，故C 错误；因为y =13 x 在R 上是减函数，且x <y ，所以13 y <13 x ，即13y<3-x ，故D 正确．故选：AD ．37.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)已知函数f x 的定义域是0,+∞ ，且f xy =f x +f y ，当x >1时，f x<0，f 2 =-1，则下列说法正确的是( )A.f 1 =0B.函数f x 在0,+∞ 上是减函数C.f 12022 +f 12021 +⋅⋅⋅+f 13 +f 12+f 2 +f 3 +⋅⋅⋅+f 2021 +f 2022 =2022D.不等式f 1x -f x -3 ≥2的解集为4,+∞【答案】ABD【解析】对于A ，令x =y =1 ，得f 1 =f 1 +f 1 =2f 1 ，所以f 1 =0，故A 正确；对于B ，令y =1x >0，得f 1 =f x +f 1x =0，所以f 1x=-f x ，任取x 1,x 2∈0,+∞ ，且x 1<x 2，则f x 2 -f x 1 =f x 2 +f 1x 1 =f x 2x 1，因为x 2x 1>1，所以f x 2x 1<0，所以f x 2 <f x 1 ，所以f x 在0,+∞ 上是减函数，故B 正确；对于C ，f 12022 +f 12021 +⋅⋅⋅+f 13 +f 12+f 2 +f 3 +⋅⋅⋅+f 2021 +f 2022 =f 12022×2022 +f 12021×2021 +⋅⋅⋅+f 13×3 +f 12×2 =f 1 +f 1+⋅⋅⋅+f 1 +f 1 =0，故C 错误；对于D ，因为f 2 =-1，且f 1x =-f x ，所以f 12=-f 2 =1，所以f 14 =f 12 +f 12 =2，所以f 1x -f x -3 ≥2等价于f 1x +f 1x -3≥f 14 ，又f x 在0,+∞ 上是减函数，且f xy =f x +f y ，所以1x x -3 ≤141x >01x -3>0，解得x ≥4，故D 正确,故选:ABD ．38.(2022·重庆南开中学高三阶段练习)在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在棱DC 上运动(不与顶点重合)，则点B 到平面AD 1P 的距离可以是( )A.2B.3C.2 D.5【答案】CD【解析】以D 为原点，DA ,DC ,DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0),A (3,0,0),B (3,3,0),D 1(0,0,3)，设P (0,t ,0)，所以AP =-3,t ,0 ,AD 1 =-3,0,3 ，AB =(0,3,0)，设n 1=x 1,y 1,z 1 为平面AD 1P 的法向量，则有： n 1 ⋅AP=-3x 1+ty 1=0n 1 ⋅AD 1 =-3x 1+3z 1=0，令y 1=3，可得n=(t ,3,t )，试卷第2页，共40页则点B 到平面AD 1P 的距离为d =AB ⋅nn=92t 2+9，因为0<t <3，所以距离的范围是(3,3).故选：CD .39.(2022·重庆南开中学高三阶段练习)已知a >b >1，则( )A.a ln b >b ln aB.e 1a-1b<a bC.a >e1-1bD.若b m =b +n ，则a m >a +n【答案】BC【解析】因为a >b >1，所以a ln b >b ln a ⇔ln b b>ln aa ，设函数f (x )=ln x x (x >1)，f (x )=1-ln xx 2，当x ∈(1,e )时，f (x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(e ,+∞)时，f (x )<0，函数f (x )单调递减，所以A 选项错误；因为a >b >1，所以由e 1a-1b<a b ⇔1a -1b <ln a -ln b ⇔ln a -1a >ln b -1b，设函数g (x )=ln x -1x ，g (x )=1x +1x 2，当x ∈(0,+∞)时，g(x )>0，函数g (x )单调递增，所以B 选项正确；因为a >e 1-1b ⇔ln a >1-1b ，设函数h (a )=ln a -1-1a ，所以h (a )=a -1a 2，当a ∈1,+∞ 时，h (a )>0，函数h (a )单调递增，当a ∈0,1 时，h (a )<0，函数h (a )单调递减，所以h (a )>h (1)=0，即ln a -1-1a >0⇒ln a >1-1a，因为a >b >1，所以1a <1b ⇒1-1a >1-1b ，因此ln a >1-1a >1-1b，所以C 选项正确.令b =2,m =0，则有n =-1，又令a =3，所以a m =a 0=1,a +n =2，显然不成立，所以D 选项错误，故选：BC40.(2022·辽宁·高三开学考试)双曲线C 的两个焦点为F 1,F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cos ∠F 1NF 2=35，则C 的离心率为( )A.52B.32C.132D.172【答案】AC【解析】方法一(几何法，双曲线定义的应用)情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过F 1作圆D 的切线切点为B ，所以OB ⊥F 1N ，因为cos ∠F 1NF 2=35>0，所以N 在双曲线的左支，OB =a ，OF 1 =c ， F 1B =b ，设∠F 1NF 2=α，由即cos α=35，则sin α=45，NA =32a ，NF 2 =52aNF 2 -NF 1 =2a52a -32a +2b =2a ，2b =a ，∴e =52选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为cos ∠F 1NF 2=35>0，所以N 在双曲线的右支，所以OB =a ，OF 1 =c ，F 1B =b ，设∠F 1NF 2=α，由cos ∠F 1NF 2=35，即cos α=35，则sin α=45，NA =32a ，NF 2 =52aNF 2 -NF 1 =2a 32a +2b -52a =2a ，所以2b =3a ，即b a =32，所以双曲线的离心率e =c a =1+b 2a2=132选C方法二(答案回代法)A 选项e =52特值双曲线x 24-y 2=1,∴F 1-5,0 ,F 25,0 ，过F 1且与圆相切的一条直线为y =2x +5 ，∵两交点都在左支,∴N -655,-255 ，∴NF 2 =5,NF 1 =1,F 1F 2 =25，则cos ∠F 1NF 2=35，C 选项e =132特值双曲线x 24-y 29=1,∴F 1-13,0 ,F 213,0 ，过F 1且与圆相切的一条直线为y =23x +13 ，∵两交点在左右两支，N 在右支，∴N 141313,181313 ，∴NF 2 =5,NF 1 =9,F 1F 2 =213，则cos ∠F 1NF 2=35，解法三：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过F 1作圆D 的切线切点为G ，若M ,N 分别在左右支，因为OG ⊥NF 1，且cos ∠F 1NF 2=35>0，所以N 在双曲线的右支，又OG =a ，OF 1 =c ，GF 1 =b ，设∠F 1NF 2=α，∠F 2F 1N =β，在△F 1NF 2中，有NF 2 sin β=NF 1 sin α+β=2csin α，故NF 1 -NF 2 sin α+β -sin β=2c sin α即a sin α+β -sin β=c sin α，试卷第2页，共40页所以a sin αcos β+cos αsin β-sin β=csin α，而cos α=35，sin β=a c ，cos β=b c ，故sin α=45，代入整理得到2b =3a ，即b a =32，所以双曲线的离心率e =c a =1+b 2a 2=132若M ,N 均在左支上，同理有NF 2sin β=NF 1sin α+β=2c sin α，其中β为钝角，故cos β=-bc，故NF 2 -NF 1 sin β-sin α+β=2c sin α即a sin β-sin αcos β-cos αsin β=c sin α，代入cos α=35，sin β=a c ，sin α=45，整理得到：a 4b +2a=14，故a =2b ，故e =1+b a 2=52，故选：AC .41.(2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习)将以下四个方程e x =a -x 、x 2=a -x (x >0)、x =a -x 、ln x =a -x 的正数解分别记为x 1,x 2,x 3,x 4，则以下判断一定正确的有( )A.x 1<x 2<x 3<x 4 B.x 1+x 2+x 3+x 4=2aC.x 3-x 1=x 4-x 2D.x 1x 4=x 2x 3【答案】BC【解析】画出y =e x ,y =x 2x >0 ,y =x ,y =ln x ,y =a -x 的图象如下图所示，y =x y =a -x ⇒x =y =a 2，由图可知x 1,x 4关于x =a 2对称，x 2,x 3关于x =a2对称，所以x 1+x 4=a ,x 2+x 3=a ，则x 1+x 2+x 3+x 4=2a ,x 1-x 2+x 4-x 3=0,x 3-x 1=x 4-x 2，所以BC 选项正确.当a =2时，x 1+x 4=x 2+x 3=2且x 2=x 3=1，x 1<x 2=x 3<x 4所以A 选项不正确，对于D 选项，x 1x 4<x 1+x 422=1=x 2x 3，所以D 选项不正确.故选：BC42.(2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习)已知函数f (x )在R 上有定义，记f (x )为函数f (x )的导函数，又f (2x -1)是奇函数，则以下判断一定正确的有( )A.f 4x -2 是奇函数 B.f x -1 +f 3x -1 是奇函数C.f 4x 2-2 是偶函数 D.f (-5x -1)是偶函数【答案】BCD【解析】若f x =x +1，则f 2x -1 =2x 为奇函数，而f 4x -2 =4x -1为非奇非偶函数，所以A 选项错误.由于f 2x -1 是奇函数，所以f -2x -1 =-f 2x -1 ，对于函数f x -1 +f 3x -1 ，f -x -1 +f -3x -1 =-f x -1 -f 3x -1 =-f x -1 +f 3x -1 ，所以f x -1 +f 3x -1 是奇函数，B 选项正确.对于函数f 4x 2-2 ，f 4-x 2-2 =f 4x 2-2 ，所以函数f 4x 2-2 是偶函数，C 选项正确.对于D 选项，先证明奇函数的导数是偶函数：若f x 是定义在R 上的奇函数，则f -x =-f x ，两边求导得f -x =-f x ，即-f -x =-f x ，即f -x =f x ，所以奇函数的导数是偶函数.然后证明f -5x -1 为奇函数：由于f 5x -1 =-f -5x -1 ，所以f -5x -1 为奇函数，所以f (-5x -1)是偶函数，D 选项正确.故选：BCD43.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)已知函数f x 的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，图象关于y 轴对称，导函数为f x ，且当x <0时，f x >f xx，设a >1，则下列大小关系正确的是( )A.a +1 f 4aa +1 >2a f 2a B.f 2a >a f 2aC.4af a +1 a +1>a +1 f 4a a +1D.2f 2a <a +1 f 4a a +1 【答案】AD【解析】当x <0时，fx >f x x ，即f x -f x x =xf x -f x x>0，所以xf (x )-f (x )<0，构造函数g x =f x x ，则g(x )=xf (x )-f (x )x 2<0，∴当x <0时，g x 单调递减，又由题意可得f x 是偶函数，∴g x 是奇函数，则当x >0时，g x 也单调递减．对于A ，∵a >1，∴0<4a a +1<4a 2a=2a ，∴g 4aa +1 >g 2a ，即f 4a a +1 4a a +1>f 2a 2a ，∴a +1 f 4a a +1 >2a f 2a ，故A 正确；对于B ，∵a >1，∴2a >2a >0，∴g 2a <g 2a ，即f 2a2a <f 2a 2a，可得f 2a <a f 2a ，故B 错误；对于C ，∵a >1，a +1-4a a +1=a -1 2a +1>0，即a +1>4a a +1>0，∴g a +1 <g 4aa +1 ，即f a +1 a +1<f 4a a +1 4a a +1，∴4af a +1 a +1<a +1 f 4aa +1，故C 错误；对于D ，∵a >1，2a -4a a +1=2a 2+2a -4a a +1=2a a -1 a +1>0，∴2a >4aa +1>0，g 2a <g 4a a +1 ，即f 2a 2a <f 4a a +1 4a a +1，∴2f 2a <a +1 f 4a a +1 ，故D 正确．故选:AD ．44.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)已知函数f x =sin ωx +φ ω>0,φ∈R 在区间7π12,5π6上单调，且满足f 7π12=-f 3π4 有下列结论正确的有( )A.f 2π3 =0B.若f 5π6-x =f x ，则函数f x 的最小正周期为π；试卷第2页，共40页。
高三数学填空题练习试题集
高三数学填空题练习试题答案及解析1.函数的定义域为_____________．【答案】(0，1]【解析】有，可得0<x≤1【考点】函数的定义域2.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x＋e x(e为自然对数的底数)，则f(ln 6)的值为________．【答案】ln 6－【解析】由f(x)是奇函数得f(ln 6)＝－f(－ln 6)＝－(－ln 6)－e－ln 6＝ln 6－.3.函数的最大值为 .【答案】【解析】函数的定义域为，设，，则，所以，当时，.【考点】函数最值.4.若x，y满足约束条件，则的最大值为 .【答案】【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，即将直线经过可行域，尽可能向上移动到点时，．【考点】线性规划.5.如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，，则的周长的取值范围是_______________.【答案】.【解析】易知圆的圆心坐标为，则圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线在第一象限交于点，作抛物线的准线，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义可知，则，当点位于圆与轴的交点时，取最大值，由于点在实线上运动，因此当点与点重合时，取最小值为，此时与重合，由于、、构成三角形，因此，所以，因此的周长的取值范围是.6.设，向量且，则．【答案】【解析】因为a⊥c,b∥c，所以有2x-4=0且2y+4=0，解得x=2,y=-2，即，所以，则．7.甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，假定在这段时间内两市是否降雨相互之间没有影响，则甲、乙两市同时下雨的概率为________．【答案】0.036【解析】设甲市下雨为事件A，乙市下雨为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.2×0.18＝0.036.8.某程序框图如右图所示，则输出的结果S为．【答案】【解析】第一次运行,，不满足；第二次运行，，不满足；第三次运行，，满足，输出S为.【考点】算法与程序框图9.设x>0,y>0,a=x+y,b=·,则a与b的大小关系是.【答案】b<a【解析】当sin θ=0时,cos2θ=1,∴b=x<x+y=a即b<a,当cos θ=0时,sin2θ=1,b=y<x+y=a,即b<a,当sin θ≠0且cos θ≠0时,∵x>0,y>0,∴x<x+y,y<x+y,∴<,<,∴b=·<·==x+y=a.综上b<a.10.已知G是△ABC的重心,O是空间与G不重合的任一点,若++=λ,则λ=.【答案】3【解析】因为+=,+=,+=,且++=0,所以++=3.11.设a>0,b>0,若lga和lgb的等差中项是0,则+的最小值是.【答案】2【解析】由已知得lga+lgb=0,即ab=1,于是+==a+b≥2=2,当且仅当a=b=1时取等号,故+的最小值是2.12.若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为________．【答案】【解析】y′＝2x－，令y′＝1，得方程2x2－x－1＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1，故与直线y＝x－2平行且与曲线y＝x2－ln x相切的直线的切点坐标为(1，1)，该点到直线y＝x－2的距离d ＝即为所求13.若函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是______．【答案】(0,1)∪(2,3)【解析】对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋4－＝.由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，所以t<1<t＋1或t<3<t＋1，解得0<t<1或2<t<3.14.在平面直角坐标系中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为，且它的一个顶点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .【答案】【解析】因为抛物线的焦点为所以又所以而双曲线的渐近线方程为即.解答本题需注意双曲线的焦点位置.【考点】双曲线的渐近线及准线，抛物线焦点.15.已知定义在上的偶函数满足:,且当时,单调递减,给出以下四个命题:①;②为函数图像的一条对称轴;③函数在单调递增;④若关于的方程在上的两根,则.以上命题中所有正确的命题的序号为_______________.【答案】①②④【解析】∵，∴当时，，∴，又∵函数是偶函数，∴，∴①正确；∵，，∴，∴，又是函数图像的对称轴，∴是函数图像的对称轴，∴②正确；∵函数的周期是4，∴在上的单调性与上的单调性相同，∴在上为减函数，∴③错误；∵是函数图像的对称轴，∴方程的两根关于对称，∴，∴④正确.【考点】1.函数的周期性；2.函数的奇偶性；3.函数的对称性；4.函数的单调性.16.已知点，过点的直线总与线段有公共点，则直线的斜率取值范围为______（用区间表示）.【答案】【解析】如图，，根据斜率的定义可知，当直线逆时针转时，斜率增大，当直线顺时针转时，斜率减小，故直线的斜率取值范围为.【考点】直线斜率的计算、直线斜率的定义.17.函数的最小正周期为 .【答案】【解析】因为，，所以，函数的最小正周期为.【考点】三角函数的和差倍半公式，三角函数的性质.18.设与抛物线的准线围成的三角形区域（包含边界）为，为内的一个动点，则目标函数的最大值为 .【答案】3【解析】由题意，抛物线的准线，它和不等式共同围成的三角形区域为，目标函数为，作出可行域如下图，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大，点的坐标为，此时，故答案为：3．【考点】简单线性规划．19.曲线与直线所围成的平面图形的面积为.【答案】【解析】画出图形可知，所求面积,而,，，故.【考点】定积分求面积.20.在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为 .【答案】12【解析】设正项等比数列首项为，公比为，由题意可得解得，，故其通项公式为.记，由，即化简得，，因此只须即，解得由于为正整数，因此最大为的整数部分，也就是12．故答案为12.【考点】等比数列的求和公式，一元二次不等式的解法.21.在中，分别是的对边，已知，若，则的面积等于 .【答案】【解析】因为，所以，，∴.由余弦定理得，∴.∴.【考点】1.余弦定理；2.三角形面积公式；3.平方关系.22.在处有极大值，则常数的值为________.【答案】6【解析】由题意知在处导数为零且时，，而，所以，解得，而当时，，不合题意，所以.【考点】利用导数求函数的极值、利用导数判断函数单调性.23.在展开式中的系数为,则实数的值为 .【答案】【解析】通项公式：，所以展开式中的系数为，解得：.【考点】1.二项式通项；2.二项式系数.24.设AB是椭圆的长轴，点C在上，且，若AB=4，，则的两个焦点之间的距离为________【答案】【解析】不妨设椭圆的标准方程为，于是可算得，得．【考点】考查椭圆的定义及运算，属容易题。
高考数学选择填空小题训练60套编辑版
高考数学选择填空小题训练60套（上）（1-20）高三数学小题训练（1）1．在三角形ABC 中，5,3,7AB AC BC ===,则BAC ∠的大小为（ ）A ．23π B ．56πC ．34π D ．3π3． ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B =，则a =________4．在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2=a ，3C π=，ABC △的面积等于，._____________,==c b5．高三数学小题训练（2）1．sin 330︒等于（ ）A ．B ．12-C ．12D 2．若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ ） A ． 第一象限角 B ． 第二象限角 C ． 第三象限角 D ． 第四象限角3．若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为______________．4．已知函数()2sincos 442x x xf x =，则函数()f x 的最小正周期是______，最大值为_________。
5．已知函数f (x )=A sin(x +ϕ)(A >0,0<ϕ<π),x ∈R 的最大值是1，其图像经过点M 132π⎛⎫⎪⎝⎭，，则f (x )的解析式为___________________；高三数学小题训练（3）1．若3sin()25πθ+=，则cos 2θ=_________。
2．)6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π，其中0>ω，则=ω 3．已知α，β∈02π⎛⎫⎪⎝⎭，，且cos α=35，cos β=1213，则cos(α-β)=__________。
4．把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， 5．高三数学小题训练（4）1．已知平面向量a =(1,2)，b =(-2,m )，且a ∥b ，则2a +3b = （ ） A ． (-2,-4) B .(-3,-6) C .(-4,-8) D .(-5,-10)2．已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为（ ）A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．122⎛⎫-⎪⎝⎭， C ．(32)，D ．(13)，3．5．已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n ⋅=则tan A =______。
高考数学选填压轴题练习与答案
高考数学选填压轴题练习与答案一．选择题（共25小题）1．数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），若b n=a n cos2nπ3，且数列{b n}的前n项和为S n，则S11＝（）A．64B．80C．﹣64D．﹣80【解答】解：数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），则a n+1n+1=a nn+1，可得数列{a nn}是首项为1、公差为1的等差数列，即有a nn=n，即为a n＝n2，则b n=a n cos2nπ3=n2cos2nπ3，则S11=−12（12+22+42+52+72+82+102+112）+（32+62+92）=−12（12+22﹣32﹣32+42+52﹣62﹣62﹣72+82﹣92﹣92+102+112）=−12×（5+23+41+59）＝﹣64．故选：C．2．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2），f（π6+x）＝﹣f（π6−x），f（π2+x）＝f（π2−x），下列四个结论：①φ=π4；②ω=92+3k（k∈N）；③f（−π2）＝0；④直线x=−π3是f（x）图象的一条对称轴．其中所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2），f（x）图象的一条对称轴是直线x=π2，所以f（π2+x）＝f（π2−x），由f （x ）的一个零点为π6， 所以f （π6+x ）＝﹣f （π6−x ），整理得T 4+k ⋅T 2=π2−π6=π3， 所以T =4π3(1+2k)， 故ω=2πT=32+3k （k ∈Z ），故②错误；当k ＝1时，f （x ）＝sin （92x +φ）， 把（π6，0）代入关系式，得到sin （3π4+φ）＝0，由于0＜φ＜π2，所以φ=π4，故①正确；对于f （−π3）＝sin （92⋅π3+π4）≠±1，故④错误； f （−π2）＝sin[92⋅(−π2)+π4]＝sin （﹣2π）＝0，故③正确． 故选：B ．3．已知四面体ABCD 的四个顶点都在以AB 为直径的球R 面上，且BC ＝CD ＝DB ＝2，若四面体ABCD 的体积是4√23，则这个球面的面积是（ ）A ．16πB ．323πC ．4πD ．763π【解答】解：由题意，几何体的直观图如图， 四面体ABCD 的体积是4√23，可得O 到平面BCD 的距离为h ，13×√34×22×2ℎ=4√23，解得h =2√63， 所以外接球的半径为R ＝OB ＝OD ＝OC ＝OA =(2√63)(23√32=2，所以外接球的表面积为：4π×22＝16π． 故选：A ．4．已知函数f （x ）={log 2x ，x ＞114x +1，x ≤1，g （x ）＝f （x ）﹣kx ，若函数g （x ）有两个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．（0，14]B ．（0，1eln2） C ．[0，1e）D ．[14，1eln2）【解答】解：函数f （x ）={log 2x ，x ＞114x +1，x ≤1，作出f （x ）的图象与y ＝kx 图象有两个交点，（如图）设y ＝kx 与y ＝log 2x 的切点为（x 0，y 0）， 可得{y 0=kx 0y 0=log 2x 01k =x 0ln2，解得x 0＝e ，∴相切时的斜率k =1eln2．故得f （x ）的图象与y ＝kx 图象有两个交点时，14≤k ＜1eln2． 故选：D ．5．已知F 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点，椭圆E 上一点P （2，1）关于原点的对称点为Q ，若△PQF 的周长为4√2+2√5．则离心率e ＝（ ）A．√32B．√22C．√33D．√23【解答】解：∵P与Q关于原点对称，则Q（﹣2，﹣1），∴|PQ|＝2√12+22=2√5，又三角形PQF的周长为|QP|+|PF|+|QF|＝4√2+2√5，∴|PF|+|QF|＝4√2，设椭圆的右焦点为M，则由椭圆的性质可得|PF|＝|QM|，∴|QM|+|QF|＝2a＝4√2，得a＝2√2，将点P代入椭圆方程可得：48+1b2=1，解得b=√2，∴c=√a2−b2=√6．则离心率e=ca =√62√2=√32．故选：A．6．对于函数y＝f（x）与y＝g（x），若存在x0，使f（x0）＝g（﹣x0），则称M（x0，f（x0）），N（﹣x0，g（﹣x0））是函数f（x）与g（x）图象的一对“隐对称点”．已知函数f（x）＝m（x+1），g(x)=lnxx，函数f（x）与g（x）的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）C．（0，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）【解答】解：∵f（x）＝m（x+1）恒过定点（﹣1，0），f（x）关于y轴对称的图象的函数解析式为y＝﹣m（x﹣1）依题意可得，y＝﹣m（x﹣1）与g（x）=lnxx有2个交点，由g(x)=lnxx ，得g′（x）=1−lnxx2，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＞e时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，而y＝﹣m（x﹣1）恒过定点（1，0），作出函数g（x）=lnxx的图象如图，当直线y＝﹣m（x﹣1）与g(x)=lnxx切于（1，0）时，由导数的几何意义可得，﹣m=1−ln112=1，则要使y ＝﹣m （x ﹣1）与g （x ）=lnx x有2个交点，则﹣m ＞0且﹣m ≠1，∴实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）． 故选：D ．7．已知函数f （x ）={|xlnx|，x ＞0|x(x +1)|，x ⩽0，关于x 的方程f 2（x ）+tf （x ）+1＝0（t ∈R ）有8个不同的实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．（−1e −e ，+∞） B ．（−2e ，−12）∪（﹣∞，−1e −e ）C ．（﹣∞，−174）D ．（2，+∞）∪（﹣∞，−174）【解答】解：当x ＞0时，f （x ）＝|xlnx |，令F （x ）＝xlnx ，F ′（x ）＝lnx +1， 令F ′（x ）＝lnx +1＝0，解得x =1e，F （1e）=−1e，f （1e）=1e，故当x ＞0时，函数f （x ）在（0，1e ）上单调递增，在（1e ，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； 当x ＜0时，可得函数f （x ）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，−12）上单调递增，在（−12，0）上单调递减．又f （−12）=14，f （1e ）=1e ，故刻画出函数f （x ）的大致图象如图：令m ＝f （x ），则已知方程可化为m 2+tm +1＝0．观察图象可知，当m ＞1e 时，只有2个交点；当m =1e 时，有3个交点；当14＜m ＜1e 时，有4个交点； 当0＜m ＜14时，有6个交点．要想满足题意，则只需使得方程m 2+tm +1＝0在（14，1e ）上存在两个不同实数根，或在（1e ，+∞）和（0，14）上各有1个根，方程m 2+tm +1＝0的两根之积为1， 令g （m ）＝m 2+tm +1，由题意，{g(14)＜0g(4)＜0，解得t ＜−174，即t 的取值范围是（﹣∞，−174）．故选：C ．8．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是正方体棱上一点，若满足|PB |+|PC 1|＝d 的点P 的个数为4．则d 的取值范围为（ ） A ．（√2，2）B ．（√2，2√2）C ．[2，1+√3）D ．（1+√3，2√2）【解答】解：点P 分别在BB 1，BC ，CC 1，B 1C 1上运动时，m 的取值范围是[√2，2]， 当点P 分别在C 1D 1，AB 上运动时，m 的取值范围是[√2，1+√3]， 当点P 分别在棱A 1B 1，CD 上运动时，m 的取值范围是[2，2√2]，当P 分别在棱A 1D 1，DD 1，AD ，AA 1上运动时，m 的取值范围是[√4+2√2，2√2]， 由结合图形可知，点P 在正方体的每一条棱上运动时， 它所在的位置与m 的值是一一对应的， 当|PB |+|PC 1|＝d 的点P 的个数为4， 则d 的取值范围为[2，1+√3）， 故选：C ．9．已知不相等的两个正实数x ，y 满足x 2﹣y ＝4（log 2y ﹣log 4x ），则下列不等式中不可能成立的是（ ）A．x＜y＜1B．y＜x＜1C．1＜x＜y D．1＜y＜x【解答】解：由已知x2﹣y＝4（log2y﹣log4x），因为2log4x＝log2x，所以原式可变形为x2+2log2x＝y+4log2y，令f（x）＝x2+2log2x，g（x）＝x+4log2x，函数f（x）与g（x）均为（0，+∞）上的增函数，且f（x）＝g（y），且f（1）＝g（1），当x＞1时，f（x）＞1，g（y）＞1，y＞1，当x＜1时，f（x）＜1，g（y）＜1，y＜1，要比较x与y的大小，只需比较g（x）与g（y）的大小，g（x）﹣g（y）＝g（x）﹣f（x）＝x+4log2x﹣x2﹣2log2x＝x﹣x2+2log2x，设h（x）＝x﹣x2+2log2x（x＞0），则h'（x）=1−2x+2xln2，故h'（x）在（0，+∞）上单调递减，又h'（1）=−1+2ln2＞0，h'（2）=−3+1ln2＜0，则存在x0∈（1，2）使得h'（x）＝0，所以当x∈（0，x0）时，h'（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＜0，又因为h（1）＝0，h（x0）＞h（1）＝0，h（4）＝﹣12+4＝﹣8＜0，所以当x＜1时，h（x）＜0，当x＞1时，h（x）正负不确定，故当x＜1，y＜1时，h（x）＜0，所以g（x）＜g（y）＜g（1），故x＜y＜1，当x＞1，y＞1时，h（x）正负不定，所以g（x）与g（y）的正负不定，所以x＞y＞1，x＝y＞1，y＞x＞1均有可能，即选项A，C，D均有可能，选项B不可能．故选：B．10．正实数a，b，c满足a+2﹣a＝2，b+3b＝3，c+log4c＝4，则实数a，b，c之间的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a【解答】解：c+log4c＝4⇒log4c＝4﹣c，即c 为函数y ＝log 4x 与y ＝4﹣x 的图象交点的横坐标； b +3b ＝3⇒1+3b ＝4﹣b ，即b 为函数y ＝1+3x 与y ＝4﹣x 的图象交点的横坐标； a +2﹣a ＝2⇒2+12a =4−a ，即a 为函数y =2+12x 与y ＝4﹣x 的图象交点的横坐标； 在同一坐标系中画出图象，可得b ＜a ＜c ． 故选：A ．11．《九章算术》是我国古代数学经典名著，堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著，在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．已知某鳖臑A ﹣BCD 的外接球半径为1，则该鳖臑A ﹣BCD 的体积最大值为（ ） A ．49√3B ．427√3C ．94√3D ．316√3【解答】解：四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图：某鳖臑A ﹣BCD 的外接球半径为1，可知CD ＝2，设AB ＝a ，BC ＝b ，AD ＝c ， 所以a 2+b 2+c 2＝4，可得4＝a 2+b 2+c 2≥3√(abc)23，所以abc ≤√4333=8√39．当且仅当a ＝b ＝c =2√33时，取等号．该鳖臑A ﹣BCD 的体积：13×12abc ≤16×8√39=4√327． 故选：B ．12．已知抛物线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（3，1），圆Q过A，B，C三点，当实数m变化时，存在一条定直线l被圆Q截得的弦长为定值，则此定直线l方程为（）A．x﹣3y＝0B．3x﹣y+1＝0C．√3x﹣y﹣1＝0D．x−√3y＝0【解答】解：y＝x2+mx﹣2与x轴交于A，B，设两点A（x1，0），B（x2，0），设圆Q的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，取y＝0，可得x2+Dx+F＝0．则方程x2+Dx+F＝0与方程x2+mx﹣2＝0等价，则D＝m，F＝﹣2，则圆的方程为x2+y2+mx+Ey﹣2＝0．∵圆Q过C（3，1），∴10+3m+E﹣2＝0，即E＝﹣8﹣3m，得圆Q的方程为x2+y2+mx﹣（8+3m）y﹣2＝0，即x2+y2﹣8y﹣2+m（x﹣3y）＝0，由圆系方程可知，圆x2+y2﹣8y﹣2+m（x﹣3y）＝0经过圆x2+y2﹣8y﹣2＝0与直线x﹣3y＝0的交点，则圆Q被直线x﹣3y＝0所截弦长为定值．故选：A．+alnx+e2≥ax恒成立（e为自然对数的底数），则正实数a的取值范围是13．对任意x＞0，若不等式e xx（）A．（0，e]B．（0，e2]C．[2e ，e]D．[2e，e2]【解答】解：不等式e xx +alnx+e2≥ax可化为e xx−a（x﹣lnx）+e2≥0，即e xx−aln e xx+e2≥0；设t=e xx，其中x＞0；由e x≥ex知t≥e，所以f（t）＝t﹣alnt+e2（t≥e），只需证明f（t）的最小值f（t）min≥0即可；对函数f（t）求导数，得f′（t）＝1−at =t−at（t≥e），①当0＜a≤e时，f′（t）≥0恒成立，f（t）是[e，+∞）上的单调增函数，所以f（t）的最小值是f（t）min＝f（e）＝e﹣alne+e2≥0，解得a≤e2+e；又0＜a≤e，所以a的取值范围是（0，e]．②当a＞e时，f（t）在[e，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，所以f（t）的最小值是f（t）min＝f（a）＝a﹣alna+e2≥0；设g（a）＝a﹣alna+e2，其中a＞e，则g′（a）＝1﹣lna﹣1＝﹣lna＜0，所以g（a）在（e，+∞）上是单调减函数；g（e2）＝e2﹣e2lne2+e2＝0，所以g（a）≥0时，a≤e2；由a＞e知，a的取值范围是（e，e2]；综上知，正实数a的取值范围是（0，e2]．故选：B．14．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是其右支上第一象限内的一点，直线PO，PF2分别交该双曲线左、右支于另两点A，B，若|PF1|＝2|PF2|，且∠AF2B＝60°，则该双曲线的离心率是（）A．√3B．√2C．2√33D．√52【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，由|PF1|＝2|PF2|，可得|PF2|＝2a，|PF1|＝4a，结合双曲线性质可以得到|PO|＝|AO|，而|F1O|＝|F2O|，结合四边形对角线平分，可得四边形PF1AF2为平行四边形，结合∠AF2B＝60°，得∠F1AF2＝60°，对三角形F1AF2，用余弦定理，得到|AF1|2+|AF2|2﹣|F1F2|2＝2|AF1|•|AF2|•cos∠F1PF2，由|PF1|＝2|PF2|，可得|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，|F1F2|＝2c，代入上式子中，得到3a2＝c2，∴e=ca=√3，故选：A．15．如图，双曲线F：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C，其中AB∥CD，∠BAD＝60°，|CD|＝4|AB|，则F的离心率为（）A．3√34B．√3C．65D．5√36【解答】解：如图，不妨设|AB|＝1，|CD|＝4，则|BD|＝1+2a，|AC|＝4+2a，在△ABD中，由余弦定理得1+4c2﹣2•1•2c•cos60°＝（1+2a）2，①在△ACD中，由余弦定理得16+4c2﹣2•4•2c•cos120°＝（4+2a）2，②②﹣①得，15+10c＝12a+15，则e=ca =65．故选：C．16．已知定义R在上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f（x）＝f（﹣x）﹣2sin x．且当x≥0时，f'（x）+cos x＞0，则不等式f（x+π2）＞f（x）+sin x﹣cos x的解集为（）A．（﹣∞，π2）B．（π2，+∞）C．（﹣∞，﹣π4）D．（﹣π4，+∞）【解答】解:令g(x)＝f(x)+sin x,则g(﹣x)＝f(﹣x)+sin(﹣x)＝f(﹣x)﹣sin x,又f(x)＝f(﹣x)﹣2sin x,∴f(x)+sin x＝f(﹣x)﹣sin x,故g(﹣x)＝g(x),∴g(x)为定义在R上的偶函数；当x≥0时,g′(x)＝f′(x)+cos x＞0,∴g(x)在[0,+∞)上单调递增,又∵g(x)为偶函数,故g(x)在(﹣∞,0]上单调递减,由f(x+π2)+cosx=f(x+π2)+sin(x+π2)＞f(x)+sinx得g(x+π2)＞g(x),∴|x+π2|＞|x|,解得x＞−π4,∴不等式的解集为(−π4,+∞)．故选：D．17．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0），过C的右焦点F作垂直于渐近线的直线l交两渐近线于A，B两点，A，B两点分别在一、四象限，若|AF||BF|=513，则双曲线C的离心率为（）A．1312B．√133C．√135D．√13【解答】解：由题意知：双曲线的右焦点F（c，0），渐近线方程为y=±bax，即bx±ay＝0，如下图所示：由点到直线距离公式可知：|F A |=√a 2+b 2=b ，又∵c 2＝a 2+b 2，∴|OA |＝a ，∵|AF||BF|=513，∴|BF |=135b ，设∠AOF ＝α，由双曲线对称性可知∠AOB ＝2α， 而tan α=ba ，tan2α=|AB||OA|=18b 5a，由正切二倍角公式可知：tan2α=2tanα1−tan 2α=2×b a 1−(b a)2=2ab a 2−b 2，即2ab a 2−b2=18b 5a，化简可得：4a 2＝9b 2， 由双曲线离心率公式可知：e =c a=√1+b 2a2=√1+49=√133． 故选：B ．18．数学中一般用min {a ，b }表示a ，b 中的较小值．关于函数f(x)=min{sinx +√3cosx ，sinx −√3cosx}有如下四个命题：①f （x ）的最小正周期为π； ②f （x ）的图象关于直线x =3π2对称；③f （x ）的值域为[﹣2，2]；④f （x ）在区间(−π6，π4)上单调递增． 其中是真命题的是（ ） A ．②④B ．①②C ．①③D ．③④【解答】解：令g(x)=sinx +√3cosx =2sin(x +π3)，ℎ(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3)， 则f （x ）＝min {g （x ），h （x ）}={g(x)，g(x)⩽ℎ(x)ℎ(x)，g(x)＞ℎ(x)={2sin(x +π3)，π2+2kπ⩽x ⩽3π2+2kπ2sin(x −π3)，−π2+2kπ＜x ＜π2+2kπ，(k ∈Z)，如图所示：由图知：则f （x ）的最小正周期为2π，故①错误； f （x ）的图象关于直线x =3π2对称，故②正确；f （x ）的值域为[﹣2，1]，故③错误；f （x ）在区间(−π6，π4)上单调递增，故④正确． 故选：A ．19．四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，体积为163，若P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝2，则四棱锥P ﹣ABCD的外接球体积的最小值是（ ） A ．160√53π B ．256πC ．125πD ．20√53π【解答】解：底面为矩形的四棱锥P ﹣ABCD 的体积为163，若P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝2， 可得底面面积为：8，设AB ＝a ，BC ＝b ，则ab ＝8，四棱锥的外接球就是扩展的长方体的外接球，PC 就是外接球的直径，可得：2R =√a 2+b 2+22≥√4+2ab =√4+2×8=2√5，当且仅当a ＝b ＝2√2，取等号，R ≥√5． 外接球的体积的最小值为：4π3×（√5）3=20√5π3．故选：D ．20．已知函数f （x ）={|log 2x|(x ＞0)2x 2+4x +1(x ≤0)，若函数F （x ）＝f （x ）﹣b 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，且满足：x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 1+x 2﹣x 3x 4的值是（ ） A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣1【解答】解：作出f （x ）的函数图象如图所示：因为函数F （x ）＝f （x ）﹣b 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4， 即y ＝f （x ）与y ＝b 有四个不同的交点， 由图象知 x 1+x 2＝﹣2×42×2=−2，由﹣log 2x 3＝log 2x 4，得：log 2x 3+log 2x 4＝0，得：x 3x 4＝1， ∴x 1+x 2﹣x 3x 4＝﹣3， 故选：B ．21．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（ ）A ．512√6729π B ．16√23π C ．32√627π D ．128√281π【解答】解：由题意可得每个三角形面积为S =12×4×2√3=4√3，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为√16−(4√33)2=4√63，故四面体的体积为13×4√3×4√63=16√23，∵该六面体的体积是正四面体的2倍， ∴六面体的体积是32√23， 由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥， 设丸子的半径为R ，则32√23=6×13×4√3×R ，解得R =4√69，∴丸子的体积的最大值为V max =4π3R 3=4π3×(4√69)3=512√6729π． 故选：A ．22．已知函数f （x ）＝e x ﹣aln （ax ﹣a ）+a （a ＞0），若关于x 的不等式f （x ）＞0恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（0，e 2]B ．（0，e 2）C ．[1，e 2]D ．（1，e 2）【解答】解：∵f （x ）＝e x ﹣aln （ax ﹣a ）+a ＞0（a ＞0）恒成立， ∴e xa ＞ln(x −1)+lna −1， ∴e x ﹣lna+x ﹣lna ＞ln （x ﹣1）+x ﹣1， ∴e x﹣lna+x ﹣lna ＞e ln（x ﹣1）+ln （x ﹣1）．令g （x ）＝e x +x ，易得g （x ）在（1，+∞）上单调递增， ∴x ﹣lna ＞ln （x ﹣1），∴﹣lna ＞ln （x ﹣1）﹣x ． ∵ln （x ﹣1）﹣x ≤x ﹣2﹣x ＝﹣2， ∴﹣lna ＞﹣2，∴0＜a ＜e 2， ∴实数a 的取值范围为（0，e 2）． 故选：B ．23．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c cos A +a cos C ＝2，AC 边上的高为√3，则∠ABC 的最大值为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3【解答】解：因为c cos A +a cos C ＝2， 所以由余弦定理可得c •b 2+c 2−a 22bc+a •a 2+b 2−c 22ab=2，整理可得b ＝2，因为AC 边上的高为√3， 所以12×2×√3=12acsinB ， 所以ac =2√3sinB， 因为cos B =a 2+c 2−b 22ac≥2ac−b 22ac=1−2ac，当且仅当a ＝c 时取等号，所以cos B ≥1−√33sinB ， 即3cos B +√3sin B ≥3， 所以2√3sin （B +π3）≥3，所以sin （B +π3）≥√32， 因为B ∈（0，π），所以B +π3∈（π3，4π3）， 所以B +π3∈（π3，2π3]，所以B ∈（0，π3]， 则∠ABC 的最大值为π3． 故选：B ．24．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线x ＝3与抛物线C 交于A ，B 两点，|AF |＝4，圆E 为△F AB 的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM →⋅ON →的取值范围是（ ） A ．[−6325，9]B ．[﹣3，21]C ．[6325，21]D ．[3，27]【解答】解：抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F （p2，0），准线方程为x =−p2， 设A （3，√6p ），所以|AF |＝3+p2=4，解得p ＝2， 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，A （3，2√3），B （3，﹣2√3），F （1，0）， 所以直线AF 的方程为y =√3（x ﹣1）， 设圆心坐标为（x 0，0）， 所以（x 0﹣1）2＝（3﹣x 0）2+12， 解得x 0＝5，即E （5，0）， ∴圆的方程为（x ﹣5）2+y 2＝16，不妨设y M ＞0，设直线OM 的方程为y ＝kx ，则k ＞0， 根据√1+k2=4，解得k =43， 由{y =43x(x −5)2+y 2=16，解得M （95，125）， 设N （4cos θ+5，4sin θ）， 所以OM →•ON →=365cos θ+485sin θ+9=125（3cos θ+4sin θ）+9，因为3cos θ+4sin θ＝5sin （θ+φ）∈[﹣5，5]， 所以OM →•ON →∈[﹣3，21]． 故选：B ．25．已知双曲线x 24−y 25=1的右焦点为F ，点M 在双曲线上且在第一象限，若线段MF 的中点在以原点O为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线MF 的斜率是（ ） A ．−√35B ．−5√117C ．5√117D ．√35【解答】解：如图所示，设线段MF 的中点为H ，连接OH ，设双曲线的右焦点为F，连接MF．双曲线的左焦点为F′，连接MF′，则OH∥MF′．又|OH|＝|OF|＝c＝3，|FH|=12|MF|=12（2a﹣2c）＝a﹣c＝1．设∠HFO＝α，在△OHF中，tanα=√32−(12)212=√35，∴直线MF的斜率是−√35．故选：A．二．多选题（共7小题）26．下列结论正确的是（）A．存在这样的四面体ABCD，四个面都是直角三角形B．存在这样的四面体ABCD，∠BAC＝∠CAD＝∠DAB＝∠BCD＝90°C．存在不共面的四点A、B、C、D，使∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°D．存在不共面的四点A、B、C、D，使∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°【解答】解：对于A，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四面体A1﹣ABC的四个面都是直角三角形，所以选项A正确；对于B ，三个直角均以A 为顶点，那么△BCD 为锐角三角形，故选项B 错误；对于C ，存在不共面的四点A 、B 、C 、D ，使∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90°，如图所示，故选项C 正确；对于D ，若∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝∠DAB ＝90°，则A ，B ，C ，D 四点共面，故选项D 错误． 故选：AC ．27．已知函数f （x ）＝x 2﹣ax ﹣lnx （a ∈R ），则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＝﹣1，则f （x ）是（0，12）上的减函数B ．若0＜a ＜1，则f （x ）有两个零点C ．若a ＝1，则f （x ）≥0D ．若a ＞1，则曲线y ＝f （x ）上存在相异两点M ，N 处的切线平行 【解答】解：函数f （x ）＝x 2﹣ax ﹣lnx （a ∈R ），对于A ，当a ＝﹣1，f （x ）＝x 2+x ﹣lnx （x ＞0），f ′（x ）＝2x +1−1x在（0，+∞）上单调递增，又f ′（12）＝0，故当x ∈（0，12）时，f ′（x ）＜0，则f （x ）是（0，12）上的减函数，故A 正确； 对于B ，若f （x ）＝0，则x 2﹣ax ﹣lnx ＝0，故a ＝x −lnx x（x ＞0），令g （x ）＝x −lnx x（x ＞0），则g ′（x ）＝1−1−lnx x 2=x 2+lnx−1x 2，再令h （x ）＝x 2+lnx ﹣1（x ＞0），显然，h （x ）在（0，+∞）上单调递增，又h （1）＝0，所以，当x ∈（0，1）时，h （x ）＜0，即g ′（x ）＜0，则g （x ）在（0，1）上单调递减， 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）＞0，即g ′（x ）＞0，则g （x ）在（1，+∞）上单调递增， 故g （x ）min ＝g （1）＝1，要使f （x ）有零点，则a ≥1，故B 错误；对于C ，当a ＝1时，f （x ）＝x 2﹣x ﹣lnx （x ＞0），f ′（x ）＝2x ﹣1−1x 在（0，+∞）上单调递增，又f ′（1）＝0，故当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0，则f （x ）是在（0，1）上单调递减；当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，则f （x ）在（1，+∞）上单调递增，故f （x ）≥f （1）＝0，故C 正确；对于D ，由于f ′（x ）＝2x ﹣a −1x （x ＞0），若曲线y ＝f （x ）上存在相异两点M （x 1，f （x 1）），N （x 2，f （x 2））处的切线平行， 则f ′（x 1）＝f ′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2）， 即2x 1﹣a −1x 1=2x 2﹣a −1x 2，即2x 1−1x 1=2x 2−1x 2，也就是f ′（x ）＝2x ﹣a −1x =0有两异根，即a ＝2x −1x （x ＞0）有两个交点．令t （x ）＝2x −1x （x ＞0），则t （x ）在（0，+∞）上单调递增，当t →0+时，t （x ）→﹣∞；当t →+∞时，t （x ）→+∞，故y ＝a 与t （x ）＝2x −1x （x ＞0）只有一个交点，故D 错误． 综上所述，AC 正确， 故选：AC ．28．已知无穷等差数列{a n }的公差d ∈N *，且5，17，23是{a n }中的三项，则下列结论正确的是（ ） A ．d 的最大值是6 B ．2a 2≤a 8C ．a n 一定是奇数D ．137一定是数列{a n }中的项【解答】解：∵无穷等差数列{a n }的公差d ∈N *，且5，17，23是{a n }中的三项， ∴设{17−5=12=md 23−17=6=nd ，解得d =6m−n ，∴d 的最大值为6，故A 正确； ∵a 1≤5，d ∈N *，∴2a 2﹣a 8＝a 1﹣5d ≤0，故B 正确；∵d =6m−n ，∴当m ﹣n ＝2时，d ＝3，数列可能为5，8，11，14，17，20，23，…，故C 错误； ∵137＝23+19×6，∴137一定是等差数列{a n }中的项，故D 正确． 故选：ABD ．29．已知函数f （x ）＝（sin x +cos x ）|sin x ﹣cos x |，下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）在区间[−π2，π2]上是增函数 C ．若|f （x 1）|+|f （x 2）|＝2，则x 1+x 2=kπ2（k ∈Z ）D ．函数g （x ）＝f （x ）+1在区间[0，2π]上有且仅有1个零点【解答】解：f （x ）＝（sin x +cos x ）|sin x ﹣cos x |={cos 2x −sin 2x ，sinx ＜cosx sin 2x −cos 2x ，sinx ≥cosx ={cos2x ，sinx ＜cosx−cos2x ，sinx ≥cosx ．其图象如图：由图可知，f （x ）是周期为2π的周期函数，故A 正确； f （x ）在区间[−π2，π2]上不是单调函数，故B 错误；若|f （x 1）|+|f （x 2）|＝2，由|f （x 1）|≤1，|f （x 2）|≤1，则只有|f （x 1）|＝|f （x 2）|＝1，即x 1，x 2只能是函数的最值点的横坐标， 可得x 1+x 2=kπ2（k ∈Z ），故C 正确；函数g （x ）＝f （x ）+1的图象是把y ＝f （x ）的图象向上平移1个单位得到的，则在区间[0，2π]上有且仅有2个零点，故D 错误． ∴说法正确的是AC ． 故选：AC ．30．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1作倾斜角为π3的直线分别交y 轴、双曲线右支于点M 、点P ，且|PM |＝|MF 1|，下列判断正确的是（ ）A．E的渐近线方程为y＝±√2x B．|MF2|=12|PF1|C．E的离心率等于2+√3D．∠F1PF2=π6【解答】解：如右图，由|PM|＝|MF1|，可得M为PF1的中点，又O为F1F2的中点，可得OM∥PF2，∠PF2F1＝90°，∠PF1F2＝60°，∠F1PF2＝30°，|MF2|=12|PF1|，故B正确，D正确；设|F1F2|＝2c，则|PF1|=2ccos60°=4c，|PF2|＝2c tan60°＝2√3c，则2a＝|PF1|﹣|PF2|＝（4﹣2√3）c，可得e=ca =(4−2√3)c=2+√3，ba=√c2a2−1=√6+4√3，则双曲线的渐近线方程为y＝±bax即为y＝±√6+4√3x．故C正确，A错误．故选：BCD．31．已知函数f（x）＝e x﹣cos x，x∈R，下列判断正确的是（）A．f（x）在（﹣2π，−32π）单调递增B．f（x）在（﹣π，0）有2个极值点C．f（x）在（﹣2π，−π2）仅有1个极小值D．当﹣4π≤x≤﹣2π时，f（x）≤1【解答】解：函数f（x）＝e x﹣cos x，则f′（x）＝e x+sin x，对于A，当x∈（﹣2π，−32π）时，f′（x）＞0，所以f（x）单调递增，故A正确；对于B，函数f′（x）＝e x+sin x的零点，即为方程f′（x）＝0的根，作出函数y＝﹣sin x与函数y＝e x的大致图象，如图所示：由图象可知，当x∈（﹣π，0）时，函数y＝﹣sin x与函数y＝e x有两个交点，则方程f′（x）＝0有两个实根，所以f（x）在（﹣π，0）有2个极值点，故B正确；对于C，由图象可得，函数y＝﹣sin x与函数y＝e x在（﹣2π，−π2）上只有一个交点，则方程f′（x）＝0只有一个实数根x0，且在（﹣2π，x0）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（x0，−π2）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在x＝x0处取得极大值，故C错误；对于D，当x＝﹣3π时，f（x）＝e﹣3π+1＞1，故D错误．故选：AB．32．随着高三毕业日期的逐渐临近，有n（n≥2）个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则（）A．当n＝4时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为38B．当n＝5时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为340C．甲和乙恰好互换了卡片的概率为1n−1−1nD．记n个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为a n，则a n+2＝（n+1）（a n+a n+1）n∈N*【解答】解：考虑n+1个同学时的情况，若n+1个同学都拿到其他同学的卡片，则第n+2个同学可以与其中任何一个交换卡片，若n+1个同学只有一个拿到自己的卡片，则第n+2个同学必须与该同学交换卡片，∴a n+2＝（n+1）a n+1+（n+1）a n，故D正确；a n+2﹣（n+2）a n+1＝﹣[a n+1﹣（n+1）a n]，∵a1＝0，a2＝1，∴a n﹣na n﹣1＝（﹣1）n，∴a n=n!⋅∑n i=2(−1)ii!，代入数据可得a4＝9，∴当n＝4时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为a44!=38，故A正确；当n＝5时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为5a45!=38，故B错误；甲和乙恰好互换了卡片的概率为(n−2)!n!=1n−1−1n，故C正确．故选：ACD．三．填空题（共18小题）33．已知矩形ABCD中，AB=2，BC=√3，E是CD边的中点．现以AE为折痕将△ADE折起，当三棱锥D﹣ABE的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为16π3．【解答】解：由题意，当平面ADE⊥平面ABE时，三棱锥D﹣ABE的高最大值，此时体积最大．∵△ADE是直角三角形，∴三棱锥D﹣ABE换成B﹣ADE∴底面△ADE外接圆半径r=12AE＝1，垂直面△ABE是边长为2等边三角形，可得AE边上的高h=√3；设球心与圆心距离为d，球半径为R，R2＝r2+d2……①√3−d=R⋯⋯②由①②解得R=√3；三棱锥外接球的表面积S＝4πR2=16π3；故答案为：16π3．34．由正三棱锥S﹣ABC截得的三棱台ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，若AB＝6，三棱台ABC ﹣A1B1C1的高为2，且球心O在平面ABC与平面A1B1C1之间（不在两平面上），则AB1的取值范围为(2√6，6)．【解答】解：该三棱台的横截面如图所示，因为△ABC为正三角形，且AB＝6，=2√3，则AH=√3又GH＝2，球心O在GH上，A，A1都在球面上，故OA＝OA1，设OH＝h，A1G＝m，则由△A1GO和△AOH均为直角三角形，所以m2+（2﹣h）2＝h2+12，解得m2＝8+4h，由图可知，h∈（0，2），m∈(0，2√3)，综上可得，m∈(2√2，2√3)，又A1B1=√3A1G，所以A1B1∈(2√6，6)，即AB1的取值范围为(2√6，6)．故答案为：(2√6，6)．35．设数列a1，a2，a3，a4各项互不相同，且a i∈{1，2，3，4}（i＝1，2，3，4）．若下列四个关系①a1＝1；②a2≠1；③a3＝2；④a4≠4中恰有一个正确，则（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值是18．【解答】解：若①正确，则②一定正确，因此不符合题意；若②正确，此时令a4＝4，a3＝1，a1＝3，a2＝2，则有（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值为18；若③正确，此时a4＝4，a2＝1，a1＝3，a3＝2，则有（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值为7；若④正确，此时a4＝2，a3＝3，a1＝4，a2＝1，则有（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值为9．综上可得，（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值为18．故答案为：1836．设抛物线C1：y＝x2﹣2x+2和C2：y＝﹣x2+ax+b在它们的一个交点处的切线互相垂直，则C2过定点（1，3）．2【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2，∴y'＝2x﹣2，∵y＝﹣x2+ax+b，∴y'＝﹣2x+a，设交点为（x0，y0），∵它们在一个交点处切线互相垂直，∴（2x0﹣2）（﹣2x0+a）＝﹣1，即4x02﹣（2a+4）x0+2a﹣1＝0，①由交点分别代入二次函数式，整理得，2x02﹣（2+a）x0+2﹣b＝0，即4x02﹣（4+2a）x0+4﹣2b＝0，②由①②整理得2a﹣1﹣4+2b＝0，即a+b=52，所以C2：y＝﹣x2+ax+52−a，令x＝1，可得y=32，则C2过定点（1，32），故答案为：（1，32），37．在三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝6，AD＝9，则三棱锥A﹣BCD外接球O的表面积为84π．【解答】解：如图所示：取BC的中点E，连接AE，DE，取AD的中点F，连接EF，因为AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝6，所以AE⊥BC，DE⊥BC，且三角形ABC和三角形BCD都是正三角形，所以AE＝DE＝3√3，即三角形ADE为等腰三角形，所以EF⊥AD，且EF平分∠AED，不妨设三角形BCD的外接圆圆心为O′，且O′在DE上，所以EO′=13ED=√3，设外接球的球心为O，半径为R，则OA＝OD＝R，利用面面垂直可证得平面AED⊥平面BCD，又平面AED∩平面BCD＝ED，则球心O必在三角形AED中，又OA＝OD＝R，所以O在∠AED的角平分线EF上，连接OO′，则OO′⊥平面BCD，即OO′⊥ED，在三角形AED中，由余弦定理可得：cos∠AED=AE2+ED2−AD22AE⋅ED =−12，所以∠AED＝120°，所以∠FED=12∠AED＝60°，在Rt△EOO′中，tan∠FED=OO′EO′=√3=√3，所以OO′＝3，在Rt△OO′D中，OD＝R，O′D＝2√3，所以R2＝OO′2+O′D2＝21，所以球O的表面积为S＝4πR2＝84π，故答案为：84π．38．如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC＝CD＝BD＝2√2，AB＝AC＝AD＝2a，若该三棱锥的侧面积是底面积的√3倍，则该三棱锥外接球的表面积为12π．【解答】解：取BC边的中点E，连结AE，如图所示，△BCD外接圆的圆心为F，三棱锥A﹣BCD外接球的球心为O，因为AB＝AC且点E为BC的中点，所以AE=√4a2−2，=3√2×√4a2−2=6√2a2−1，由此可知该三棱锥的侧面积S侧底面△BCD的面积为2√3，所以6√2a2−1=√3×2√3，解得a＝1，设三棱锥A﹣BCD外接球半径为R，OF＝x，因为AB＝AC＝AD＝2，所以点A在底面BCD上的射影为点F，因为AB＜BC，故三棱锥外接球球心O在直线AF的延长线上，BF为△BCD外接圆的半径，所以BF=2√6，3)2=4①，在Rt△ABF中，由勾股定理可得(R−x)2+(2√63)=R2②，在Rt△OBF中，由勾股定理可得x2+(2√63，由①②解得R=√3，x=√33所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π． 故答案为：12π．39．在△ABC 中，点M ，N 是线段BC 上的两点，|MA →|＝|MB →|＝|MC →|＝1，MA →⋅MN →=12，则MA →⋅NA →= 12 ，|NA →|的取值范围是 （12，1] ．【解答】解：根据题意，画出大致图形如下：结合题意及图形， 可知MA →•MN →+MA →•NA →=MA →•（MN →+NA →） =MA →•MA →＝|MA →|2 ＝1，∵MA →⋅MN →=12， ∴MA →⋅NA →=1−12=12，又∵12=MA →⋅NA →=|MA →|•|NA →|•cos ＜MA →，NA →＞=|NA →|•cos ＜MA →，NA →＞， ∴|NA →|=12cos ＜MA →，NA →＞，由题意可知点N 在线段BC 上，假设点N 与点B 重合，则12=MA →⋅MN →=MA →•MB →=|MA →|•|MB →|•cos ＜MA →，MB →＞=cos ＜MA →，MB →＞， 即cos ∠BMA =12，∴∠BMA =π3或2π3，∴∠BAM =π3或π6，即cos ＜MA →，NA →＞=12或√32， 假设点N 与点C 重合，则12=MA →⋅MN →=MA →•MC →=|MA →|•|MC →|•cos ＜MA →，MC →＞=cos ＜MA →，MC →＞，此时cos ＜MA →，NA →＞=12或√32， 综合可得，12≤cos ＜MA →，NA →＞＜1， ∴1≤2cos ＜MA →，NA →＞＜2， ∴12＜12cos ＜MA →，NA →＞≤1，即12＜|NA →|≤1， 故答案为：12；（12，1]．40．已知一圆锥纸盒母线长为6，其轴截面为正三角形，在纸盒内放置一个棱长为a 的正方体，若正方体可在纸盒内任意转动，则a 的最大值为 2 ．【解答】解：由于正方体可在圆锥内任意转动，故当正方体棱长a 最大时，正方体外接球为圆锥内切球， 设圆心为P ，半径为r ，轴截面上球与圆锥母线切点为Q ，SO ⊥AB ，SO 平分AB ， 由△SAB 为正三角形，SA ＝SB ＝AB ＝6，OA ＝OB ＝3， 因为PB 为∠SAB 的角平分线，所以∠PBA ＝30°，PO ＝OB tan30°=√3=r ，由正方体外接球直径与正方体之间的关系可得，2R =√3a ， 又正方体外接球为圆锥内切球，所以√3a =2r =2√3，故a ＝2， 所以a 的最大值为2． 故答案为：2．41．若数列{a n}满足递推公式a n+2＝a n+1+a n（n∈N*），且a1＝a2，a2020＝2021，则a1+a3+a5+…+a2019＝2021．【解答】解：∵a1＝a2，a n+2＝a n+1+a n（n∈N*），且a2020＝2021，∴a1+a3+a5+…+a2019＝a2+a3+a5+…+a2019＝a4+a5+…+a2019＝…＝a2018+a2019＝a2020＝2021，故答案为：2021．42．法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC中，角A ＝60°，以AB、BC、AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1、O2、O3，若三角形O1O2O3的面积为√32，则三角形ABC的周长最小值为3√2．【解答】解：由题意知△O1O2O3为等边三角形，设边长为m，则S△O1O2O3=12m2sin60°=√34m2=√32，解得|O1O2|＝m=√2；设BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图所示：在△O1AO2中，∠O1AB＝∠O1BA＝30°，由∠BAC ＝60°，所以∠O 1AO 2＝120°， 在等腰△BO 1A 中，ABO 1A=sin120°sin30°，解得O 1A =√3，同理得O 3A =√3，在△O 1AO 2中，由余弦定理得O 1O 32=O 1A 2+O 3A 2﹣2O 1A •O 3A •cos120°， 即2=c 23+b 23−2•bc 3•（−12），即b 2+c 2+bc ＝6，在△ABC 中，由余弦定理知， a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ， ∴a =√(b 2+c 2+bc)−2bc =√6−2bc ， 又∵（b +c ）2＝b 2+c 2+bc +bc ＝6+bc ， ∴b +c =√6+bc ，∴△ABC 的周长为a +b +c =√6−2bc +√6+bc ， 又∵b 2+c 2≥2bc ， ∴b 2+c 2+bc ＝6≥3bc ， ∴bc ≤2．令f （x ）=√6−2x +√6+x （0＜x ≤2）， 则f ′（x ）=√6−2x2√6+x ，当f ′（x ）＜0时，有√6−2x2√6+x0，解得x ＞3，∴f （x ）在（0，2]上单调递减， ∴当x ＝2时取得最小值，f （2）＝3√2． ∴a +b +c ≥3√2，即△ABC 的周长最小值为3√2． 故答案为：3√2．43．设函数f （x ）的定义域为D ，若存在x 0∈D ，使得f （x 0+1）＝f （x 0）+f （1），则称x 0为函数f （x ）的“可拆点”．若函数f(x)=log 2a1+x 2在（0，+∞）上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为 [3−√5，2) ． 【解答】解：由已知可得函数f （x ）有“可拆点”， 则log 2（a1+x 2）+log 2（a2）＝log 2（a1+(1+x)2）成立，即a1+(1+x)2=a1+x2⋅a2，整理可得：（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a＝0，从而问题转化为方程（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a＝0在区间（0，+∞）上有解，设h（x）＝（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a，由已知可得a＞0，则当a＞2且x＞0时，h（x）＜0，方程h（x）＝0无解，不满足题意，当a＝2时，方程h（x）＝0的根为−12，不满足题意，当0＜a＜2时，函数h（x）的图象的对称轴为x=a2−a＞0，要使方程h（x）＝0在区间（0，+∞）上有解，只需△＝4a2﹣4（2﹣a）（2﹣2a）≥0，解得3−√5≤a≤3+√5，所以3−√5≤a＜2，故实数a的取值范围为：[3−√5，2）．故答案为：[3−√5，2）．44．在棱长为√2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱BB1，B1C1的中点分别为E，F，点P在平面BCC1B1内，作PQ⊥平面ACD1，垂足为Q．当点P在△EFB1内（包含边界）运动时，点Q的轨迹所组成的图形的面积等于√312．【解答】解：连结BD交AC于点O，连结OD1，B1D交于点H，设G为CD1的中点，因为AC⊥BD，AC⊥BB1，BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BB1D，所以AC⊥平面BB1D，因为B1D⊂平面BB1D，所以B1D⊥AC，同理可证B1D⊥AD1，又AC∩AD1＝A，AC，AD1⊂平面ACD1，所以B1D⊥平面ACD1，即点B1在平面ACD1的投影为H，且D1H＝2HO，同理，点E，F在面ACD1的投影分别为O，G，所以△EFB1在平面ACD1的投影为△OGH，又AC=√2AB=2，所以HC=HG=13D1C=13AC⋅√32=√33，所以点Q的轨迹所组成的图形的面积S=12CH⋅HG⋅sin120°=√312．故答案为：√312．45．已知F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线左支于点M，且∠F1MF2＝60°，则该双曲线的渐近线方程为y＝±（1+√33）x．【解答】解：设切点为A，过F1作F1B⊥MF2，垂足为B，由题意可得|OA|＝a，|OF2|＝c，|AF2|=√c2−a2=b，由OA为△BF1F2的中位线，可得|BF1|＝2a，|BF2|＝2b，又∠F1MF2＝60°，可得|MF1|=|BF1|sin60°=√3，|MB|=√3|MF2|＝|MB|+|BF2|=√32b，又|MF2|﹣|MF1|=√3+2b√3=2a，所以b＝（1+√33）a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±（1+√33）x．故答案为：y＝±（1+√33）x．46．已知函数f（x）＝xe x，g（x）=xe x，h（x）＝xlnx，现有以下四个命题：①f（x）﹣g（x）是奇函数；②函数f（x）的图象与函数g（x）的图象关于原点中心对称；③对任意x∈R，恒有f（x）≥g（x）；④函数f（x）与函数h（x）的最小值相同其中正确命题的序号是③④．【解答】解：函数f（x）＝xe x，g（x）=xe x，h（x）＝xlnx，对于①，令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x•e x﹣x•e﹣x，由于F（﹣x）＝F（x）故函数F（x）为偶函数，故①错误；对于②，函数f（﹣x）＝﹣x•e﹣x≠﹣f（x），所以函数f（x）不为奇函数，函数g（﹣x）=−xe−x=−x⋅e x≠−g(x)，所以函数g（x）不为奇函数，故②错误；对于③，当x＝0时，f（x）＝g（x）＝0，当x＞0时，e2x＞1，得到e x＞1e x，两边同乘以x得到x⋅e x＞xe x，即f（x）＞g（x），当x＜0时，e2x＜1，整理得e x＜1e x ，两边同乘以x得到x⋅e x＞xe x，即f（x）＞g（x），故③正确；对于④，f′（x）＝（1+x）•e x，令f′（x）＜0，得到x＜﹣1，f′（x）＞0，得到x＞﹣1，所以函数f（x）的最小值为f（﹣1）=−e−1=−1e．h′（x）＝1+lnx（x＞0），令h ′（x ）＜0，解得0＜x ＜1e ， 令h ′（x ）＞0，解得x ＞1e ，所以函数h （x ）的最小值为h （1e ）=1e ⋅ln 1e =−1e =f(−1)，故④正确； 故选：③④．47．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin A +2sin B ＝2cos A sin C ，a +b ＝3√2，△ABC 的面积是√3，则边长c ＝ √14 ． 【解答】解：∵sin A +2sin B ＝2cos A sin C ， ∴sin A +2sin （A +C ）＝2cos A sin C ， 即sin A +2sin A cos C +2cos A sin C ＝2cos A sin C ， 即sin A +2sin A cos C ＝0， ∵sin A ≠0，∴cos C =−12，则C ＝120°， ∵△ABC 的面积是S =12ab ×√32=√3，∴ab ＝4，则c 2＝a 2+b 2﹣2ab ×（−12）＝（a +b ）2﹣ab ＝18﹣4＝14， 则c =√14， 故答案为：√14．48．抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为A ，如果在直线x +y +4＝0上存在点M ，使得∠FMA ＝90°，则实数p 的取值范围是 [4√2，+∞） ． 【解答】解：由题意可得F （p2，0），A （−p2，0），∵M 在直线x +y +4＝0上，设点M （x ，﹣x ﹣4）， ∴AM →=（x +p2，﹣x ﹣4），FM →=（x −p2，﹣x ﹣4），又∠FMA ＝90°，∴AM →•FM →=（x +p 2）（x −p2）+（﹣x ﹣4）2＝0， 即2x 2+8x +16−p24=0，∴△＝82﹣4×2×（16−p24）＝2p2﹣64≥0，解得p ≤﹣4√2或p ≥4√2， 又p ＞0，∴p 的取值范围是[4√2，+∞）． 故答案为：[4√2，+∞）． 49．已知F 1，F 2是双曲线C 1：x 2a2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与椭圆C 2：x 225+y 29=1的公共焦点，点P ，Q 分别是曲线C 1，C 2在第一、第三象限的交点，四边形PF 1QF 2的面积为6√6，设双曲线C 1与椭圆C 2的离心率依次为e 1，e 2，则e 1+e 2＝2√10+45．【解答】解：由题意可得a 2+b 2＝16，根据双曲线C 1与椭圆C 2的对称性可得△PF 1F 2的面积为3√6， 设P （x 0，y 0），（x 0，y 0＞0），则{12⋅8⋅y 0=3√6x 0225+y 029=1，解得x 0=5√104，y 0=3√64， 代入双曲线的方程结合b 2＝16﹣a 2，可得a 4﹣35a 2+250＝0，结合0＜a ＜c ＝4，解得a =√10， 双曲线的离心率为e 1=c a=√10=2√105， 而椭圆的离心率e 2=45， ∴e 1+e 2=2√10+45． 故答案为：2√10+45．50．一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式为V =π3(3R −ℎ)ℎ2，其中R 为球的半径，h 为球缺的高．若一球与一棱长为。
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高三数学选填题专项训练（6）
一、选择题：
1. 已知||1a =，||2b =，且()a a b ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角是
A ．30︒
B ．45︒
C ．90︒
D ．135︒
2. 设 70tan log 2
1=a 、 25sin log 2
1=b 、
25cos )
2
1
(=c ，则它们的大小关系为
A ．b c a <<
B ．a c b <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
3. 如果)()(x f x f -=+π且)()(x f x f =-，则)(x f 可以是
A ．x 2sin
B ．x cos
C ．x sin
D ．x sin 4. 设R x x f x f x F ∈-+=),()()(，若区间⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡-
-2,ππ是函数()F x 的单调递增区间，现
将()F x 的图象按向量)0,(π=→
a 的方向平移得到一个新的函数()G x 的图象，则()G x 的一个单调递减区间可以是 A ．⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡-0,2π B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ2,23 5. 如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区 域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域
的概率是
A ．49
B ．29
C ．23
D ．1
3
6. 数列{}n a 是各项为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且67a b =，则 A ．39410a a b b +≤+ B ．39410a a b b +≥+
C ．39410a a b b +≠+
D ．39a a +与410b b +的大小不确定。
7. 据有关资料表明，世界人口由1976年的40亿增加到1987年的50亿，经历了11年的时间，如果按此增长率增长，2020年的世界人口数将接近
A.88亿
B. 98亿
C. 108亿
D. 118亿
8. 设f x ()是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x y R ，∈，都有
f x f y f x y ()()()⋅=+，若a a f n n N n 11
2
=
=∈，()()*，则数列{}a n 的前n 项和S n 的取值范围是
A . [)12
2，
B .
122，⎡⎣⎢⎤⎦
⎥ C . [)1
2
1，
D .
121，⎡⎣⎢⎤⎦
⎥ 9. 下列三图中的多边形均为正多边形，M ，N 是所在边的中点，双曲线均以图中的F 1，
F 2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e 1,e 2,e 3．
① ② ③
则e 1、e 2、e 3的大小关系为
A ．e 1>e 2>e 3
B ．e 1<e 2<e 3
C ．e 2= e 3 <e 1
D ．e 1= e 3>e 2 10. 若实数a 、b 、c 、d 满足a ＜b ，c ＜d ，（a －c ）（a －d ）=4，（b －c ）（b －d ）＋1=0，则 A ．a ＜b ＜c ＜d B ．a ＜c ＜b ＜d C ．c ＜a ＜b ＜d D ．c ＜a ＜d ＜b
二、填空题
11. 以直线2-=x 为准线的抛物线的标准方程是________________． 12. 已知1
sin
cos
,2
22
θ
θ
+=则cos 2θ= ． 13. 定义在N ＋上的函数f(x)，满足f (1 )＝1，且f(n+1)=⎪⎩⎪⎨⎧.
),(,),(21
为奇数
为偶数n n f n n f 则f (22) = ．
14. 一块长方形木料，按图中所示的余弦线截去一块，
则剩余部分的体积是_________________．
1F 1F 2F 2
M N
15. 在半径为6的球面上有A 、B 、C 三点，若AB=2，∠ACB=30°，则球心O 到
平面ABC 的距离为 ． 16. 对一切正整数n ，不等式
211
x n
x n ->+恒成立，则实数x 的取值范围是_________． 17. 定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一常数,那么
这个数列叫做“等积数列”，这个常数叫做该数列的公积.已知数列{a n }是等积数列,且a 1=2,公积为5,这个数列的前n 项和S n 的计算公式为_______________________． 18. 已知偶函数y=f(x)在区间[－1，0]上单调递增，且满足f(1－x)+f(1+x)=0，给出下列判
断： ①f(5)=0； ②f(x)在[1，2]上是减函数； ③f(x)的图象关于直线x=1对称； ④f(x)在x=0处取得最大值； ⑤f(x)没有最小值． 其中正确的判断序号是______________．
19. 有一公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一个时刻，有n 个
人正在使用电话或等待使用的概率为)(n P ，且)(n P 与时刻t 无关，统计得到
⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤≤⋅=6,051,)0()21()(n n P n P n
，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的
概率P (0)的值是 ．
20. 将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角棱
锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”请仿照直角三角形以下性质：斜边的中线长等于斜边边长的一半． 写出直角棱锥相应性质：_____________________________．
班级________ 姓名_______ 学号 ______
高三数学答题纸
一、选择题
二、填空题
11、 __________________ 12、__________________ 13、 __________________ 14、__________________ 15、 __________________ 16、__________________ 17、 __________________ 18、__________________ 19、 __________________ 20、__________________。