上海2019届高三数学一轮复习典型题专项训练数列

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上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练：数列

上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练数列一、填空、选择题1、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.2、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根3、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q = .4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞+++=___________.5、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若533S S =，则53aa = 6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数a 、b 除以同一个整数m ，所得余数相同，即a bk m-=()k Z ∈，则称a 、b 对模m 同余，用符号(mod )a b m ≡表示，若10(mod 6)a ≡(10)a >，满足条件的a 由小到大依次记为12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则数列{}n a 的前16项和为7、（黄浦区2016届高三二模）已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1(,22,1,2,3,)k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值为8、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1311log ,2,(*)3,21n n n a a n k a k N n k ---+=⎧=∈⎨=+⎩，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 .9、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，22|2016|n S n a n（0a >），则使得1n n a a +≤（n ∈*N ）恒成立的a 的最大值为 .10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-⋅+，*n N ∈，则这个数列的前n 项和n S =___________．11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为__________________． 12、（宝山区2016届高三上学期期末）数列1212312341213214321⋅⋅⋅，，，，，，，，，，，则98是该数列的第项. 13、（崇明县2016届高三上学期期末）已知数列的各项均为正整数，对于，有其中k 为使1n a +为奇数的正整数. 若存在，当n ＞m 且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为14、（奉贤区2016届高三上学期期末）数列}{n a 是等差数列，2a 和2014a 是方程01652=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2015项的和为__________．15、（虹口区2016届高三上学期期末）在等差数列{}n a 中，1352469,15,a a a a a a ++=++= 则数列{}n a 的前10项的和等于_____.二、解答题1、（2016年上海高考）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.2、（2015年上海高考）已知数列{a n }与{b n }满足a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），n ∈N *．（1）若b n =3n+5，且a 1=1，求数列{a n }的通项公式；（2）设{a n }的第n 0项是最大项，即0n a ≥a n （n ∈N *），求证：数列{b n }的第n 0项是最大项；（3）设a 1=λ＜0，b n =λn （n ∈N *），求λ的取值范围，使得{a n }有最大值M 与最小值m ，且∈（﹣2，2）．3、（2014年上海高考）已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n ∈N ，11a =.(1) 若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； (2) 设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++. 若1133n n n S S S +≤≤，*n ∈N ，求q 的取值范围；(3) 若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.4、（虹口区2016届高三三模）若数列12:,,,(,2)n n A a a a n N n *∈≥满足110,1(1,2,,1),k k a a a k n +=-==-则称n A 为L 数列.记12().n n S A a a a =+++（1）若5A 为L 数列,且50,a =试写出5()S A 的所有可能值；（2）若n A 为L 数列，且0,n a =求()n S A 的最大值；（3）对任意给定的正整数(2),n n ≥是否存在L 数列,n A 使得()0?n S A =若存在，写出满足条件的一个L 数列n A ；若不存在，请说明理由.5、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足nn n a a 331+=-（*∈≥N n n ,2），首项31=a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）数列{}n b 满足na b nn 3log =，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n b b 的前n 项和为n T ，A 是△ABC 的内角，若n T A A 43cos sin >对于任意n N *∈恒成立，求角A 的取值范围．6、（闵行区2016届高三二模）已知n ∈*N ,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-．（1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，证明：若存在k ∈*N ，使得k a 、k b 为整数，且()k f x 有两个整数零点，则必有无穷多个()n f x 有两个整数零点．7、（闸北区2016届高三二模）已知数列{}n a ，n S 为其前n 项的和，满足(1)2n n n S +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1{}na 的前n 项和为n T ，数列{}n T 的前n 项和为n R ，求证：当2,*n n N ≥∈时1(1)n n R n T -=-；（3）（理）已知当*n N ∈，且6n ≥时有1(1)()32n m m n -<+，其中1,2,,m n =，求满足34(2)(3)n a n n n n n a ++++=+的所有n 的值．8、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）已知正项数列}{n a ，}{n b 满足：对任意*N ∈n ，都有n a ，n b ，1+n a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且101=a ，152=a ．（1）求证：数列{}nb 是等差数列；（2）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；（3）设12111n nS a a a =+++，如果对任意*N ∈n ，不等式n n n a b aS -<22恒成立，求实数a 的取值范围．9、（宝山区2016届高三上学期期末）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{}()n f a 是首项为4，公差为2的等差数列.(1)求证：数列{}n a 是等比数列； (2) 若()n n n ba f a =+，当k ={}n b 的前n 项和n S 的最小值；（3）若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 是递增数列？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由．10、（奉贤区2016届高三上学期期末）数列{}n a 的前n 项和记为n S 若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．(1)、若数列{}n a 的通项公式2nn a =，判断{}n a 是否为“H 数列”；（2）、等差数列{}n a ，公差0d ≠，12a d =，求证：{}n a 是“H 数列”；（3）、设点()1,n n S a +在直线()1q x y r -+=上，其中120a t =>，0≠q ．若{}n a 是“H 数列”，求,q r 满足的条件．11、（虹口区2016届高三上学期期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20,2().n n S S n na n N *=+=∈（1）计算1234,,,,a a a a 并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12335(21)23,n n n b b b n b a ++++-=⋅+求证：数列{}n b 是等比数列；（3）由数列{}n a 的项组成一个新数列{}n c ：1122334567,,,,c a c a a c a a a a ==+=+++1112212221,n n n n n c a a a a ---++-=++++. 设n T 为数列{}n c 的前n 项和，试求lim4nnn T →∞的值.12、（黄浦区2016届高三上学期期末）已知1a ，2a ，…，n a 是由n （*n ∈N ）个整数1，2，…，n 按任意次序排列而成的数列，数列{}n b 满足1k k b n a =+-（1,2,,k n =），1c ，2c ，…，n c 是1，2，…，n 按从大到小的顺序排列而成的数列，记122n n S c c nc =+++．（1）证明：当n 为正偶数时，不存在满足k k a b =（1,2,,k n =）的数列{}n a ．（2）写出k c （1,2,,k n =），并用含n 的式子表示n S ．（3）利用22212(1)(2)()0n b b n b -+-++-≥，证明：1212(1)(21)6n b b nb n n n +++++≤及122n n a a na S +++≥．（参考：222112(1)(21)6n n n n +++=++．）13、（静安区2016届高三上学期期末）李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”. 某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.(1)问到2015年年底(按照12个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整数元) (2)如果银行贷款的年利率为5%，问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款？参考答案一、填空、选择题 1、【答案】4 【解析】试题分析：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅，所以最多由4个不同的数组成.2、解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a12﹣4≥0，△2=a22﹣8＜0，即a12≥4，a22＜8，∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22=a1a3，即方程③的判别式△3=a32﹣16＜0，此时方程③无实根，故选：B3、【解析】：223111510112a a qa q q qq q-±==⇒+-=⇒=--，∵01q<<，∴51q-=4、165、【答案】179【解析】()()53151315333422S S a a a a d a=⇒+=⋅+⇒=，所以5117a a=，319a a=，所以53179aa=6、9767、1288、1279、1201610、1122,252,22nnnnnSnn++⎧+-⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩为偶数为奇数11、20012、12813、1或54、120915、80二、解答题【答案】（1）316a=．（2）{}n a不具有性质P．（3）见解析．【解析】试题分析：（1）根据已知条件，得到678332a a a a++=++，结合67821a a a++=求解．（2）根据{}n b的公差为20，{}n c的公比为13，写出通项公式，从而可得520193nn n na b c n-=+=-+．通过计算1582a a==，248a=，63043a=，26a a≠，即知{}n a不具有性质P．（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．试题解析：（1）因为52a a=，所以63a a=，743a a==，852a a==．于是678332a a a a++=++，又因为67821a a a++=，解得316a=．（2）{}n b的公差为20，{}n c的公比为13，所以()12012019n b n n =+-=-，1518133n n n c --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭．520193n n n n a b c n -=+=-+．1582a a ==，但248a =，63043a =，26a a ≠，所以{}n a 不具有性质P ．（3）[证]充分性：当{}n b 为常数列时，11sin n n a b a +=+．对任意给定的1a ，只要p q a a =，则由11sin sin p q b a b a +=+，必有11p q a a ++=．充分性得证．必要性：用反证法证明．假设{}n b 不是常数列，则存在k *∈N ，使得12k b b b b ==⋅⋅⋅==，而1k b b +≠．下面证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ，使得121k a a a +==⋅⋅⋅=，但21k k a a ++≠．设()sin f x x x b =--，取m *∈N ，使得m b π>，则()0f m m b ππ=->，()0f m m b ππ-=--<，故存在c 使得()0f c =．取1a c =，因为1sin n n a b a +=+（1n k ≤≤），所以21sin a b c c a =+==，依此类推，得121k a a a c +==⋅⋅⋅==．但2111sin sin sin k k k k a b a b c b c ++++=+=+≠+，即21k k a a ++≠．所以{}n a 不具有性质P ，矛盾．必要性得证．综上，“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”． 2、（1）解：∵a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），b n =3n+5， ∴a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ）=2（3n+8﹣3n ﹣5）=6， ∴{a n }是等差数列，首项为a 1=1，公差为6，则a n =1+（n ﹣1）×6=6n ﹣5；（2）∵a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1 =2（b n ﹣b n ﹣1）+2（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+…+2（b 2﹣b 1）+a 1 =2b n +a 1﹣2b 1，②当λ=﹣1时，a 2n =3，a 2n ﹣1=﹣1， ∴M=3，m=﹣1，（﹣2，2），不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a 2n →+∞，无最大值；当n→+∞时，a 2n ﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．3、【解析】：（1）依题意，232133a a a ≤≤，∴263x ≤≤，又343133a a a ≤≤，∴327x ≤≤，综上可得36x ≤≤；（2）由已知得1n n a q -=，又121133a a a ≤≤，∴133q ≤≤ 当1q =时，n S n =，1133n n n S S S +≤≤，即133nn n ≤+≤，成立当13q <≤时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n n q q q q q q +---≤≤---，∴111331n n q q +-≤≤-，此不等式即11320320n n n nq q q q ++⎧--≥⎨-+≤⎩，∵1q >， ∴132(31)2220n n n n qq q q q +--=-->->，对于不等式1320n n qq +-+≤，令1n =，得2320q q -+≤，解得12q ≤≤，又当12q <≤时，30q -<，∴132(3)2(3)2(1)(2)0n n n qq q q q q q q +-+=-+≤-+=--≤成立，∴12q <≤当113q ≤<时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n n q q q q q q +---≤≤---，即11320320n n n nq q q q ++⎧--≤⎨-+≥⎩，310,30q q ->-< ∵132(31)2220n n n n qq q q q +--=--<-<132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≥-+=-->∴113q ≤<时，不等式恒成立综上，q 的取值范围为123q ≤≤（3）设公差为d ，显然，当1000,0k d ==时，是一组符合题意的解， ∴max 1000k ≥，则由已知得1(2)1(1)3[1(2)]3k dk d k d +-≤+-≤+-，∴(21)2(25)2k d k d -≥-⎧⎨-≥-⎩，当1000k ≥时，不等式即22,2125d d k k ≥-≥---， ∴221d k ≥--，12(1) (10002)k k k da a a k -+++=+=， ∴1000k ≥时，200022(1)21k d k k k -=≥---，解得10001000k ≤≤，∴1999k ≤， ∴k 的最大值为1999，此时公差2000219981(1)199919981999k d k k -==-=--⨯4、解：（1）满足条件的L 数列5A ，及对应的5()S A 分别为：（i ） 0, 1, 2，1, 0. 5()4;S A =(ii) 0, 1, 0，1, 0. 5()2;S A =（iii ） 0, 1, 0，-1, 0. 5()0;S A = (iv) 0, -1, -2，-1, 0. 5()4;S A =- （v ） 0, -1, 0，-1, 0 . 5()2;S A =-(vi) 0, -1, 0, 1, 0. 5()0.S A =因此，5()S A 的所有可能值为：4,2,0,2,4.-- ……5分(2) 由于n A 为L 数列，且10,n a a ==11(1,2,,1),k k a a k n +-==-故n 必须是不小于3的奇数. ……7分于是使()n S A 最大的n A 为：0,1,2,3,,2,1,,1,2,,3,2,1,0.k k k k k ---- ……9分这里213(),n k k n N *=+≥∈、并且[]21()212(1),.2n n S A k k k k -=+++-+==因此，2max1()(3).2n n S A n -⎛⎫= ⎪⎝⎭为不小于的奇数 ……11分（3）令1(1,2,,1),1,k k k k c a a k n c +=-=-=±则于是由10,a =得213221243312311121,,,,.n n n n a c a a c c c a a c c c c a a c c c c ---==+=+=+=++=+=+++[]12312321123211232()(1)(2)(3)2(1)(2)(3)21(1)(1)(2)(1)(3)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(2)(1)(3)(1)2(1)(12n n n n n n n S A a a a a n c n c n c c c n n n n c n c n c c c n n n c n c n c c -----=+++++=-+-+-+++=-+-+-+++++--+--+--++-+--=---+--+--++-+-故[]1).n c -1,1(1,2,,1)k k c c k n =±-=-因故为偶数，所以12321(1)(1)(2)(1)(3)(1)2(1)(1)n n n c n c n c c c ----+--+--++-+-为偶数.于是要使(1)()0,2n n n S A -=必须为偶数，即(1)n n -为4的倍数，亦即 4,41().n m n m m N *==+∈或 ……14分（i ）当4()n m m N *=∈时，L 数列n A 的项在满足： 4143420,=k k k a a a ---==1,41(1,2,,)k a k m =-=时，()0.n S A = ……16分(ii)当41()n m m N *=+∈时，L 数列n A 的项在满足：4143420,=k k k a a a ---==1，441=1(1,2,,),0k m a k m a +-==时()0.n S A = ……18分5、（1）数列{}n a 满足nn n a a 331+=-（*∈≥N n n ,2）∴nn n a a 331=--，∵03≠n ，∴13311=---n n n n a a 为常数，…………2分∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 3是等差数列，首项为131=a ，公差为1…………4分 n a n n=3∴n n n a 3⋅= )(*∈N n …………6分（2）23413233343(1)33n n n S n n -=+⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅2345133233343(1)33n n n S n n +=+⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅234112333333n n n S n -+-=+++++-⋅1133322n n n S n ++=⋅-+…………10分（3）数列{}n b 满足na b n n 3log =，则n b nn ==3log 3，…………11分11n n b b +=111(1)1n n n n =-++因此有： 1111111(1)()()()223341n T n n =-+-+-++-+ =111+-n…………13分 ∴由题知△ABC 中，1sin cos sin 22n A A A =>恒成立，而对于任意n N *∈，1n T <成立，所以1sin 224A ≥即232sin ≥A ， …………16分又),0(π∈A ，即)2,0(2π∈A∴3223ππ≤≤A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,6ππA ． …………18分 6、（1）n a n =， ………………………………………………………………2分1122n n n n nb b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- …………………4分1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分（2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分(3)由解方程得：x =，由条件，()0k f x =两根x =为整数，则k c ∆=必为完全平方数，不妨设2()k c m m =∈N ， …………12分此时2k a mx -±==为整数，∴k a 和m 具有相同的奇偶性，………13分由（2）知{}n c 是公差为1的等差数列，取21n k m =++∴()222121211k m k c c m m m m ++=++=++=+ ………………………………15分此时(21)(1)2k a m m x -++±+==k a 和m 具有相同的奇偶性，∴21k a m ++和1m +具有相同的奇偶性， …17分所以函数21()k m f x ++有两个整数零点.由递推性可知存在无穷多个()n f x 有两个整数零点.………………………18分 7、解：（1）当2n ≥时，1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-= 又111a S == ，所以n a n = ……………………………5分(2)、<法一> 11n a n =，1112n T n∴=+++， 1111111(1)(1)(1)22321n R n -∴=++++++++++-111(1)1(2)(3)1231n n n n =-⋅+-⋅+-⋅++⋅-11111111(11)(11)(1)(2)231231n n n n T n n n n n=++++-+=+++++-=-≥--…6分<法二>：数学归纳法①2n =时，11111R T a ===，212112(1)2(1)1T a a -=+-= ………………………1分 ②假设(2,*)n k k k N =≥∈时有1(1)k k R k T -=- ………………………1分当1n k =+时，1111(1)(1)(1)()k k k k k k k k R R T k T T k T k k T k a -++=+=-+=+-=+-- 111(1)(11)(1)(1)1k k k T k k T k ++=+-+--=+-+1n k ∴=+是原式成立由①②可知当2,*n n N ≥∈时1(1)n n R n T -=-； ………………………4分 (3)、（理）1(1)()32n m m n -<+，1,2,,m n =231211)32112)()3213)()32411)()3231)()32n n n n n n n n m n n m n n m n m n n m n n -+⎫=<⎪+⎪+⎪=<⎪+⎪⎪=<⎪+⎬⎪⎪⎪=-<⎪+⎪⎪=<⎪+⎭时，（时，（时，（时，（时，（⇒相加得，231214311111()()()()()()()()333322222n nn n n n n n n n n n -++++++<+++++++++231111111()()()()1()1222222n n n -+++++=-<， 34(2)(3)n n n n n n ∴++++<+ ………………………4分6n ∴≥时，34(2)(3)n n n n n n ∴++++=+无解又当1n =时；34<，2n =时，222345+=；3n =时，33333456++=4n =时，44443456+++为偶数，而47为奇数，不符合 5n =时，5555534567++++为奇数，而58为偶数，不符合综上所述2n =或者3n = ……………………………4分(3)、易知0q ≠，否则若0q =，则1()f x p =，与lim ()0(*)n n f a n N →∞=∈矛盾因为函数()f x 的定义域为R ，所以(1)31qx p -⋅+恒不为零，而3qx的值域为(0,)+∞，所以10p -≥，又1p =时，()1f x =，与lim ()0(*)n n f a n N →∞=∈矛盾，故1p >11()(1)31(1)(3)1n qn q nf a p p ==-⋅+-+且lim ()0n n f a →∞=31q∴>，0q ∴> 即有1p q +>。

2019年高考试题汇编理科数学--数列(2021年整理精品文档)

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（2019全国1理）9。

记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和。

已知40S =，55a =，则（） A 。

25n a n =- B 。

310n a n =- C 。

228n S n n =- D 。

2122n S n n =- 答案： A 解析：依题意有415146045S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩,可得132a d =-⎧⎨=⎩，25n a n =-,24n S n n =-.（2019全国1理)14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若113a =，246a a =，则5S = .答案： 5S =1213解答:∵113a =,246a a =设等比数列公比为q∴32511()a q a q =∴3q = ∴5S =12132019全国2理）19。

已知数列{}n a 和{}n b 满足11=a ，01=b ，4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b . （1）证明： {}n n b a +是等比数列，{}n n b a -是等差数列; （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式。

答案：（1）见解析（2）21)21(-+=n a n n ，21)21(+-=n b n n 。

解析：(1）将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 相加可得n n n n n n b a b a b a --+=+++334411, 整理可得)(2111n n n n b a b a +=+++，又111=+b a ，故{}n n b a +是首项为1，公比为21的等比数列. 将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 作差可得8334411+-+-=-++n n n n n n b a b a b a ,整理可得211+-=-++n n n n b a b a ，又111=-b a ，故{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列。

上海高三数学第一轮复习(4)数列

专题：数列综合(★★)教学目标理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，理解等差数列和等比数列的概念及掌握通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。

【解读：数列是高中代数的主要内容，又是今后学习高等数学的基础，所以，在高考试卷中也占有重要地位。

学习等差数列后，再学等比数列时，可以等差数列为模型，从等差数列研究过的问题入手，再探求出等比数列的相应问题，通过对比学习，加深对两特殊数列本质的理解，会收到事半功倍的效果。

】知识梳理一、等差数列 1.等差数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）。

⑴公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差。

2．等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ 3.公差d 和等差中项① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn a a mn -- 定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

,,,2b A a b a A ⇔+=成等差数列。

也就是说，A =2ba +是a ,A ,b 成等差数列的充要条件性质：在等差数列中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q （当d=0时），②m n m n a a a ++≠4.等差数列的前n 项和公式 1. 2)(1n n a a n S +=2. 2)1(1dn n na S n -+= 3.n )2da (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式5.求等差数列前项和的最值问题常见的两种方法: （1）利用n a :当n a >0，d<0，前n 项和有最大值。

2019年上海高考·高三数学第一轮复习

高三“三角函数”专题的复习分析与指导一、“三角函数”专题内容分析（一）“三角函数”专题知识体系的梳理 1、地位与价值在教学中，三角函数是描述周期现象的重要数学模型，它具有十分重要的地位，由于其思考性、方法性、技巧性和目的性都较强，对于提高学生数学素养，培养学生思维能力都有很重要的作用。

从三角函数的起源来看，三角函数起源于生活中的天文学，被广泛应用于解决航海通商问题，此后在自动控制、电子领域、工程领域等都有重要意义。

从历年高考的情况来看，三角恒等变换、三角函数的图像和性质、正余弦定理与解三角形等都是高考的热点问题，并常与其他交汇以解答题的形式考查，难度适中。

2、知识网络图 3、核心知识①研究三角函数的概念、图像和性质，其突出特征是具有周期性的函数，尤其是正、余弦函数具有边界和零点；难点是函数()()sin +f x A x k ωϕ=+的图像变换，落实“五点法”画图技能.A 的确定：()()max min =2f x f x A - ；k 的确定：()()max min k=2f x f x +；ω的确定：()20T πωω=> ；ϕ的确定：初始角=ϕω-，与平移单位有关.②三角恒等变换的综合应用，主要应用于两个方面：一是化简函数与三角函数的性质相结合；二是解三角形与正弦定理和余弦定理结合在平面几何图形中求解相关的几何量，解三角形就是有条件的恒等变换.（二）“三角函数”专题中研究的核心问题 1、问题类型①三角函数的图像和性质综合问题，常涉及三角恒等变换、图像变换、周期性、单调性、对称性和最值等；②解三角形问题，只要涉及两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等； ③三角函数性质与解三角形的综合问题，其本质是解决有条件的三角恒等变换问题，因此注意角的范围对变形过程的影响. 2、问题研究与解决①三角函数求值与化简的常用方法：弦切互化：包括“切割化弦”、“齐次式化切”等；和积互化：包括“平方关系”、“降幂公式”和利用()2sin cos 12sin cos x x x x ±=± 进行变形转化；巧用“1”的变换：22221sin cos sec tan tan (4)πθθθθ=+=-==②转化为与三角函数有关的基本类型：sin y a x b =+ 设sin t x =，[]1,1t ∈- 转化为一次函数；sin cos y a x b x c =++ 借助辅助角公式转化为)y x c ϕ=++； 2sin sin y a x b x c =++ 设sin t x =，[]1,1t ∈- 转化为二次函数（闭区间内）；sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+ 设sin cos t x x =±，t ⎡∈⎣则21sin cos =2t x x -±，转化为二次函数；tan cot y a x b x =+，设tan t x =，当0a b >时可用均值定理；③函数()()sin f x A x ωϕ=+的奇偶性、对称性及图像变换对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定与函数零点有关；由()sin f x x =的图像通过变换得到()()sin f x A x ωϕ=+的图像有两种途径：“先平移后伸缩”或“先伸缩后平移”，可用“五点法”作为突破口.④通过三角恒等变换解决三角求值问题，做到三变：“变角——变名——变式” 给角求值：关键是转化成特殊角或消去非特殊角；给值求值：现变同角再求值；给值求角：转化为“给值求值”，注意角的范围. ⑤利用正、余弦定理解三角形的两种途径：“化边为角”通过三角恒等变换得出三角形内角之间的关系； “化角为边”通过解方程求边；都要注意三角函数值的符号与角的范围，防止出现增解、漏解.（三）“三角函数”专题蕴含的核心观点、思想和方法 1、学生学习三角函数的主要困难 2、三角函数知识的核心观点张景中院士认为，在数学课程中三角函数至关重要，它是几何与代数的一座桥梁，沟通初等数学与高等数学的一条通道，函数、向量、坐标、复数等许多重要数学知识与三角有关，大量实际问题的解决要用到三角知识.① 强调三角函数中的函数思想，三角函数已经不仅仅是解三角形的工具，而是一个重要的函数模型； ② 数形结合解决三角函数的图形变换；③ 加强三角函数的应用意识，特别是用于解三角形问题. 3、核心思想方法与核心技能“三种思想”+“三个技能”：函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合思想；运算技能：对三角函数解析式的恒等变形以及转化为sin()y A x ωϕ=+型函数的运算，正余弦定理公式的合理选择和化简运算等；作图技能：根据任务需求绘制相应要求精度的三角函数图象，五点法画图等；推理技能：依据三角函数解析式的结构进行推理判断运算方向，以及对三角形形状的判断.二、“三角函数”高考的典型考题结构（一）近年北京高考题中三角函数考查的内容试题特点：试题总体比较平稳，不管是位置还是考查的知识点和难度都是比较稳定的，高考降低了复杂的三角恒等变形公式的考查，回归到双基和通性通法的考查上，文科基本小题考解三角形，大题就是用三角公式变形为正弦型函数，再讨论它的性质（特殊值、周期、值域）。

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：函数

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练函数一、填空题1、（2018上海高考）设常数a R ∈，函数f (x )=log 2(x +a )，若f (x )的反函数的图像经过点(3,1)，则a= 。

2、（2017上海高考）定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为 3、（2016上海高考）已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数4、（宝山区2018高三上期末）给出函数g x x bx 2()=-+，h x mx x 2()4=-+-，这里b m x R ∈，，，若不等式g x b ()10++≤（x R ∈）恒成立，h x ()4+为奇函数，且函数()()g x x t f x h x x t ()()()⎧≤⎪=⎨>⎪⎩恰有两个零点，则实数t 的取值范围为．5、（崇明区2018高三上期末（一模））若函数f （x ）=x a 的反函数的图象经过点（，），则a= ．6、（奉贤区2018高三上期末）已知13a >，函数()lg(||1)f x x a =-+在区间[0,31]a -上有最小值为0且有最大值为lg(1)a +，则实数a 的取值范围是________.7、（虹口区2018高三二模）已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ ，则11[(9)]f f ---= ．8、（黄浦区2018高三二模）若函数2()82f x ax x =--是偶函数，则该函数的定义域是．9、（静安区2018高三二模）函数lg 2y x =+（）的定义域为 10、（普陀区2018高三二模）若函数1()21f x x m =-+是奇函数，则实数m =________.11、（青浦区2018高三二模）已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数2()2g x x x m =-+. 如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x ≤，则实数m 的取值范围是 .12、（青浦区2018高三上期末）已知函数22log (),0()3,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．13、（松江、闵行区2018高三二模）定义在R 上的函数()21xf x =-的反函数为1()y fx -=，则1(3)f -= .14、（松江区2018高三上期末）已知函数)(log )(2a x x f +=的反函数为)(1x f y -=，且1)2(1=-f ，则实数a = ▲ ．15、（杨浦区2018高三上期末）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数2log (1)y x =+的反函数的图像上，则n a =16、（长宁、嘉定区2018高三上期末）已知函数x x f a log 1)(+=，)(1x f y -=是函数)(x f y =的反函数，若)(1x fy -=的图像过点)4,2(，则a 的值为_____________.17、（黄浦区2018高三二模）方程33log (325)log (41)0x x⋅+-+=的解x = ．18、（黄浦区2018高三二模）已知函数2()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)(0)(1)f f f --的最小值是．19、（普陀区2018高三二模）若函数()f x =()g x ，则函数()g x 的零点为________.20、（松江、闵行区2018高三二模）若函数2()log (1)a f x x ax =-+(01)a a >≠且没有最小值，则a 的取值范围是 .21、（松江区2018高三上期末）已定义,(,),a a bF a b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知函数(),()f x g x 的定义域都是R ，则下列四个命题中为真命题的是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） ① 若(),()f x g x 都是奇函数，则函数((),())F f x g x 为奇函数． ② 若(),()f x g x 都是偶函数，则函数((),())F f x g x 为偶函数． ③ 若(),()f x g x 都是增函数，则函数((),())F f x g x 为增函数． ④ 若(),()f x g x 都是减函数，则函数((),())F f x g x 为减函数．22、（长宁、嘉定区2018高三上期末）已知函数)(x f 是定义在R 上且周期为4的偶函数．当]4,2[∈x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23log )(4x x f ，则⎪⎭⎫⎝⎛21f 的值为__________. 二、选择题1、（2018上海高考）设D 是含数1的有限实数集，f x （）是定义在D 上的函数，若f x （）的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，1f （）的可能取值只能是（）（A （B ）2 （C ）3（D ）0 2、（浦东新区2018高三二模）设P 、Q 是R 上的两个非空子集，如果存在一个从P 到Q 的函数()y f x =满足：（1）{()|}Q f x x P =∈；（2）对任意12,x x P ∈，当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合构成“P Q →恒等态射”，以下集合可以构成“P Q →恒等态射”的是（） A. R →Z B. Z →Q C. [1,2](0,1)→ D. (1,2)→R3、（2016上海高考）设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题4、（宝山区2018高三上期末）若函数y f x (2)=-的图象与函数y log 2=的图象关于直线y x =对称，则f x ()= （）（A ）x 223- （B ）x 213- （C ）x23（D ）x 213+5、（奉贤区2018高三上期末）设()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()()1,0≠>+=a a b a x f x，若()f x 在R 上存在反函数，则下列结论正确是（）．A ．11a b >⎧⎨<-⎩或0110a b <<⎧⎨-<<⎩B ．11a b >⎧⎨≥-⎩或⎩⎨⎧≥-≤<<0110b b a 或C ．⎩⎨⎧-<<->121b a 或⎩⎨⎧-<<-<<5.0110b aD ．⎩⎨⎧-≤>21b a 或 ⎩⎨⎧<<-<<05.010b a6、（虹口区2018高三二模）下列函数是奇函数的是（） A. ()1f x x =+ B. ()sin cos f x x x =⋅ C. ()arccos f x x = D. 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩7、（静安区2018高三二模）已知函数3()10f x x x =++，实数1x 、2x 、3x 满足120x x +<，230x x +<，310x x +<，则123()()()f x f x f x ++的值（）A. 一定大于30B. 一定小于30C. 等于30D. 大于30、小于30都有可能8、（青浦区2018高三二模）已知函数()f x 是R 上的偶函数，对于任意x ∈R 都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-．给出以下三个命题：①直线6x =-是函数()f x 图像的一条对称轴； ②函数()f x 在区间[]9,6--上为增函数； ③函数()f x 在区间[]9,9-上有五个零点．问：以上命题中正确的个数有（）．（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个9、（杨浦区2018高三上期末）给出下列函数：①2log y x =；②2y x =；③||2x y =；④arcsin y x =. 其中图像关于y 轴对称的函数的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④10、（长宁、嘉定区2018高三上期末）已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤=,121,22,210,2)(x x x x x f 且)()(1x f x f =，))(()(1x f f x f n n -=，,3,2,1=n …．则满足方程x x f n =)(的根的个数为……………………………（）．（A ）n 2个（B ）22n 个（C ）n2个（D ）)12(2-n个三、解答题1、崇明区2018高三上期末（一模））若存在常数k （k ＞0），使得对定义域D 内的任意x 1，x 2（x 1≠x 2），都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |x 1﹣x 2|成立，则称函数f （x ）在其定义域 D 上是“k ﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f （x ）=，（1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；（2）判断函数f （x ）=log 2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f （x ）（x ∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x 1，x 2，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤1．2、（奉贤区2018高三上期末）已知函数()()()x x x f --+=3log 3log 22 （1）判断函数的奇偶性；（2）()1sin =αf ，求α的值．3、（黄浦区2018高三二模）已知函数22, 10,()=1, 0 1.x x f x x x --≤<⎧⎨-≤≤⎩(1) 求函数()f x 的反函数1()fx -；(2)试问:函数()f x 的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若方程22()21|()21|240f x x f x x ax +-+----=的三个实数根123x x x 、、满足: 123x x x <<，且32212()x x x x -=-，求实数a 的值．4、（普陀区2018高三二模）定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的实数x ，存在非零常数t ，都有()()f x t tf x +=-成立.（1）若函数()3f x kx =+，求实数k 和t 的值；（2）当2t =时，若[0,2]x ∈，()(2)f x x x =-，求函数()f x 在闭区间[2,6]-上的值域；（3）设函数()f x 的值域为[,]a a -，证明：函数()f x 为周期函数.5、（青浦区2018高三二模）设函数()2()5f x ax a x=-+∈R ．（1）求函数的零点；（2）当3a =时，求证：()f x 在区间(),1-∞-上单调递减；（3）若对任意的正实数a ，总存在[]01,2x ∈，使得0()f x m ≥，求实数m 的取值范围．6、（青浦区2018高三上期末）对于定义在[)0,+∞上的函数()f x ，若函数()()y f x ax b =-+满足：①在区间[)0,+∞上单调递减，②存在常数p ，使其值域为(]0,p ，则称函数()g x ax b =+是函数()f x 的“逼进函数”．（1）判断函数()25g x x =+是不是函数22911()2x x f x x ++=+，[)0+x ∈∞，的“逼进函数”；（2）求证：函数1()2g x x =不是函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，[)0+x ∈∞，的“逼进函数”；（3）若()g x ax =是函数()f x x =+[0,)x ∈+∞的“逼进函数”，求a 的值．7、（松江区2018高三上期末）已知函数 ()1,(0af x x x=-≠,常数)a R ∈ . （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当0a >时，研究函数()f x 在(0,)x ∈+∞内的单调性.8、（杨浦区2018高三上期末）已知函数1()ln 1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆.（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.9、（长宁、嘉定区2018高三上期末）已知函数xx x f -+=22)(．（1）求证：函数)(x f 是偶函数；（2）设R ∈a ，求关于x 的函数)(22222x af y x x-+=-在),0[∞+∈x 时的值域)(a g 的表达式；（3）若关于x 的不等式12)(-+≤-m x mf x在),0(∞+∈x 时恒成立，求实数m 的取值范围．10、（崇明县2017届高三第一次模拟）设12()2x x af x b+-+=+（,a b 为实常数）．（1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数；（2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ，都有2()33f x c c <-+成立？若存在试找出所有这样的D ；若不存在，请说明理由．11、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知函数21()(21x xa f x a ⋅-=+为实数) ．（1）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的1x ≥ ，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围.参考答案：一、填空题1、72、8x =-3、2log (x 1)-4、[20)[4)-+∞，，5、126、1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦7、－2 8、[2,2]- 9、[1,)-+∞ 10、1211、5m ≥- 12、1a ≥ 13、2 14、3 15、12n n a -=16、4 17、2 18、3 19、3x = 20、[)(0,1)2,+∞21、②③④ 22、21 二、选择题1、B2、D3、D4、C5、B6、B7、B8、B9、B 10、C 三、解答题1、解：（1）若函数f （x ）=，（1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x 1，x 2（x 1≠x 2），均有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |x 1﹣x 2|成立，不妨设x 1＞x 2，则k ≥=恒成立．∵1≤x 2＜x 1≤4，∴＜＜，∴k 的最小值为．（2）f （x ）=log 2x 的定义域为（0，+∞），令x 1=，x 2=，则f （）﹣f （）=log 2﹣log 2=﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x 1﹣x 2|=，∴f （x 1）﹣f （x 2）＞2|x 1﹣x 2|， ∴函数f （x ）=log 2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f （x ）的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[0，2]内f （a ）=M ，f （b ）=m ，则|f （x 1）﹣f （x 2）|≤M ﹣m=f （a ）﹣f （b ）≤|a ﹣b |．若|a ﹣b |≤1，显然有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤|a ﹣b |≤1．若|a ﹣b |＞1，不妨设a ＞b ，则0＜b +2﹣a ＜1，∴|f （x 1）﹣f （x 2）|≤M ﹣m=f （a ）﹣f （b +2）≤|a ﹣b ﹣2|＜1．综上，|f （x 1）﹣f （x 2）|≤1．2、解：（1）定义域()3,3- 3分关于原点对称 1分 ()()()()22log 3log 3f x x x f x -=-+-+=- 2分所以()f x 是奇函数 2分（2）()3sin 3sin 2sin log 1f ααα+-== 2分sin 1α= 2分 2,2k k Z παπ=+∈ 2分3、解 (1)22, 10,()=1, 0 1.x x f x x x --≤<⎧⎨-≤≤⎩∴当10x -≤<时，()2,0()2f x x f x =-<≤且.由2y x =-，得12x y =-，互换x y 与，可得11()(02)2f x x x -=-<≤. 当01x ≤≤时，2()1,()0f x x f x =-≤≤且-1.由21y x =-，得1+x y =，互换x y 与，可得1()1+(10)f x x x -=-≤≤.11, 0<2,2()1, 10.x x f x x x -⎧-≤⎪∴=⎨⎪+-≤≤⎩(2) 答函数图像上存在两点关于原点对称.设点00000(,)(01)(,)A x y x B x y <≤--、是函数图像上关于原点对称的点，则00()()0f x f x +-=，即200120x x -+=，解得001(1,)x x ==舍去，且满足01x <≤ .因此，函数图像上存在点1,2(12)A B -和关于原点对称. (3) 考察函数()y f x =与函数y =当12x -≤≤-时，有()f x ≥4240x ax ---=，解得 2+2x a =-，且由21+22a -≤-≤-，得02a ≤≤.当12x -<≤时，有()f x <240ax -=，化简得 22(4)40a x ax ++=，解得24=0+4a x x a =-，或(当02a ≤≤时，2404aa <-<+). 于是，123224,,024ax x x a a =-=-=++. 由32212()x x x x -=-，得22442=2(+)+442a a a a a -++，解得a =.因为312a --=<-，故32a --=不符合题意，舍去；022a -<=<，满足条件.因此，所求实数2a -=. 4、（1）由()()f x t tf x +=-得，()3(3)k x t t kx ++=-+对R x ∈恒成立，即()(3)30k kt x k t ++++=对R x ∈恒成立，则(1)0(3)300k t k t t +=⎧⎪++=⎨⎪≠⎩，……………………2分即01k t =⎧⎨=-⎩. ……………………………………………………………………………4分（2）当[0,2]x ∈时，2()(2)1(1)[0,1]f x x x x =-=--∈，……………………………2分当[2,0]x ∈-时，即2[0,2]x +∈，由(2)2()f x f x +=-得1()(2)2f x f x =-+，则1()[,0]2f x ∈-，……………………3分当[2,4]x ∈时，即2[0,2]x -∈，由(2)2()f x f x +=-得()2(2)f x f x =--，则()[2,0]f x ∈-， ……………………4分当[4,6]x ∈时，即2[2,4]x -∈，由()2(2)f x f x =--得()[0,4]f x ∈， …………………………………………………5分综上得函数()f x 在闭区间[0,6]上的值域为[2,4]-. ……………………………………6分（3）（证法一）由函数()f x 的值域为[,]a a -得，()f x t +的取值集合也为[,]a a -，当0t >时，()()[,]f x t tf x ta ta +=-∈-，则ta ata a-=-⎧⎨=⎩，即1t =.……………………2分由(1)()f x f x +=-得(2)(1)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是以2为周期的函数. …………………………………………………………3分当0t <时，()()[,]f x t tf x ta ta +=-∈-，则ta ata a-=⎧⎨=-⎩，即1t =-.……………………5分即(1)()f x f x -=，则函数()f x 是以1为周期的函数.故满足条件的函数()f x 为周期函数. ………………………………………………………6分（证法二）由函数()f x 的值域为[,]a a -得，必存在0R x ∈，使得0()f x a =，当1t >时，对1t >，有00()()f x t tf x ta a +=-=-<-，对1t <-，有00()()f x t tf x ta a +=-=->，则1t >不可能；当01t <<时，即11t >，001()()f x f x t t=-+，由()f x 的值域为[,]a a -得，必存在0R x ∈，使得0()f x t a +=，仿上证法同样得01t <<也不可能，则必有1t = ，以下同证法一.5、解：（1）①当0a =时，函数的零点为25x =-； ②当2508a a ≥-≠且时，函数的零点是52x a ±=；③当258a <-时，函数无零点；（2）当3a =时，2()3+5f x x x =-，令2()3+5g x x x=- 任取12,(,1)x x ∈-∞-，且12x x <，则()211212121212()2322()()3535x x x x g x g x x x x x x x -+⎛⎫-=-+--+= ⎪⎝⎭因为12x x <，12,(,1)x x ∈-∞-，所以210x x ->，121x x >，从而()211212()230x x x x x x -+>即1212()()0()()g x g x g x g x ->⇒>故()g x 在区间(),1-∞-上的单调递减当(),1x ∈-∞-时，()()6,g x ∈+∞22()3+5=3+5()f x x x g x x x∴=--= 即当3a =时，()f x 在区间(),1-∞-上单调递减；（3）对任意的正实数a ，存在[]01,2x ∈使得0()f x m ≥，即0max ()f x m ≥，当()0,x ∈+∞时，25,02()+5255,2ax x x f x ax x ax x xa ⎧-+<<⎪⎪=-=⎨⎪-+-≥⎪⎩ 即()f x在区间50,2a ⎛+ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增；所以{}{}0max ()max (1),(2)max 7,62f x f f a a ==--，又由于0a >，{}8max 7,623a a --≥，所以83m ≤．6、解：（1）229111()()(25)22x x y f x g x x x x ++=-=-+=++………………………2分即()()y f x g x =-在区间[)0,+∞上单调递减，……………………………………3分值域为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以()g x 是()f x 的“逼进函数”． ………………………………4分（2）11()()22xy f x g x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭在区间[)0,+∞上单调递减，取2x =，则13()()1044f xg x -=-=-<，不符合“存在常数p ，使其值域为(]0,p ”，所以()g x 不是()f x 的“逼进函数”． ……………………………………………10分（3）2a =时，()g x ax =是函数()f x x =[0,)x ∈+∞的“逼近函数”．…………………………………………………………………………………………12分当2a <时，()()(1)(1)(2)f x g x a x a x a x -=->-=-，取22px a=-，此时222(2)2222p p p f g a p a a a ⎛⎫⎛⎫->-= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，所以()g x 不是()f x 的“逼进函数”． ……………………………………………14分当2a >时，()()(1)(1)(1)(2)1f x g x a x x a x a x -=-≤+--=-+，取22x a =-，此时222(2)11222p p f g a a a a ⎛⎫⎛⎫-≤-+=- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，所以()g x 不是()f x 的“逼进函数”． ……………………………………………16分当2a =时，()()f x g x x -==[)0,+∞上单调递减，值域为(]0,1，所以()g x 是()f x 的“逼进函数”． ………………………………18分（3）解法二：令()()(1)y f x g x a x =-=-，[)0,x ∈+∞对任意120x x ≤<，)1212(1)(1)y y a x a x ----12()(1)0x x a ⎡⎤⎥=---<⎥⎦及1a ->1<，所以2a ≥因为值域为(]0,1，即(1)0y a x =->在[)0,x ∈+∞恒成立当0x =时，a ∈R ，当0x >时，1a -<，即112a a -≤⇒≤ 综上：2a =又2a =时，符合值域为(]0,17、解：（1）当0=a 时，()1(0)f x x =≠，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，，()1()f x f x -==， )(x f ∴为偶函数．………3分当0≠a 时，()0f a =，()2f a -= ……… ……… ………………4分 ()(),()()f a f a f a f a ∴-≠-≠- ……… ……… …………………5分 ∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数． ……… ……… ……………6分（2）0a >时，()f x 在(0,)x a ∈内单调递减，在[,)x a ∈+∞内单调递增．……8分此时，当(0,)x a ∈时，0x a << ，()1af x x=- ……… ……… ………10分由()ag x x=单调递减知()f x 单调递减 ……… ……… …………………11分当[,)x a ∈+∞时，0a x << ，()1af x x=- ……… ……… ……………13分由()ag x x =- 单调递增知()f x 单调递增 ……… ……… …………………14分8、解：（1）令101xx+>-，解得11x -<<，所以(1,1)A =-， ……3分因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[1,0]- ……6分（2）函数()f x 的定义域(1,1)A =-，定义域关于原点对称 ……8分1()()ln 1()x f x x ---=+-1111ln ln ln ()111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭……12分而1()ln32f =，11()ln 23f -=，所以11()()22f f -≠ ……13分所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数. ……14分 9、（1）函数)(x f 的定义域为R ，对任意R ∈x ，)(22)(x f x f x x=+=--，所以，函数)(x f 是偶函数． ………………………………………………（4分）（2）2)22(2)22()22(222222-+-+=+-+=----x x x x x x x xa a y ，………………（1分）令t xx=+-22，因为0≥x ，所以12≥x ，故2≥t ，原函数可化为222--=at t y ，),2[∞+∈t ，2)(22222---=--=a a t at t y 图像的对称轴为直线a t =，当2≤a 时，函数222--=at t y 在),2[∞+∈t 时是增函数，值域为),42[∞+-a ； …………………………………………………………（3分）当2>a 时，函数222--=at t y 在],2[a t ∈时是减函数，在),[∞+∈a t 时是增函数，值域为),2[2∞+--a ． ……………………………………………………………（5分）综上，⎩⎨⎧>∞+--≤∞+-=.2,),2[,2,),42[)(2a a a a a g （3）由12)(-+≤-m x mf x ，得12]1)([-≤--xx f m ， …………………………（1分）当0>x 时，12>x ，所以222)(>+=-xxx f ，所以011)(>>-x f ，所以，xx xx x x x x f m 21221122121)(122-+-=-+-=--≤---恒成立．……………………………（3分）令xt 21-=，则0<t ，1111)1(21221222-+=+-=+-=-+-tt t t t t t t x x x ，由0<t ，得21-≤+t t ，所以311-≤-+t t ，011131<-+≤-tt ． ………………（6分）所以，31-≤m ，即m 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-31,． …………………………………（7分）10、解：（1）证明：511212)1(2-=++-=f ，412121)1(=+-=-f ，所以)1()1(f f -≠-，所以)(x f 不是奇函数............................3分（2）)(x f 是奇函数时，)()(x f x f -=-，即bab a x x x x ++--=++-++--112222对定义域内任意实数x 都成立即0)2(2)42(2)2(2=-+⋅-+⋅-b a ab b a x x ，对定义域内任意实数x 都成立...........................................5分所以⎩⎨⎧=-=-042,02ab b a 所以⎩⎨⎧-=-=21b a 或⎩⎨⎧==21b a ．经检验都符合题意........................................8分（2）当⎩⎨⎧==21b a 时，121212212)(1++-=++-=+x x x x f ，因为02>x ，所以112>+x ，11210<+<x ，所以21)(21<<-x f .......................................10分而4343)23(3322≥+-=+-c c c 对任何实数c 成立；所以可取D =R 对任何x 、c 属于D ，都有33)(2+-<c c x f 成立........12分当⎩⎨⎧-=-=21b a 时，)0211212212)(1≠-+-=---=+x x f xx x （，所以当0>x 时，21)(-<x f ；当0<x 时，21)(>x f .............14分1）因此取),0(+∞=D ，对任何x 、c 属于D ，都有33)(2+-<c c x f 成立． 2）当0<c 时，3332>+-c c ，解不等式321121≤-+-x得：75log 2≤x ．所以取]75log ,(2-∞=D ，对任何属于D 的x 、c ，都有33)(2+-<c c x f 成立.....16分11、解：（1）函数)(x f y =的定义域为R ，且212()2112x xxxa a f x --⋅---==++ ……………2分 ①若)(x f y =是偶函数，则对任意的x 都有()()f x f x =- ，即 2122112x x x xa a ⋅--=++ 即2(1)1xa a +=+ ∴1a =- ……………3分 ②若)(x f y =是奇函数，则对任意的x 都有()()f x f x =-- ，即 2122112x x x xa a ⋅--=-++ 即2(1)1xa a -=- ∴1a = ……………4分 ∴当1a =-时，()f x 为偶函数，当1a =时，()f x 为奇函数，当1a ≠±时，()f x 既非偶函数也非奇函数 ……………6分（2）由()1f x ≥ 可得 2121x xa +≤⋅- 即 212x a ≤- ……………8分∵当 1x ≥时，122x y = 单调递减，其最大值为1 ∴2a ≥ ……………10分同理，由()3f x ≤ 可得 21323x xa ⋅-≤⋅+ 即 432x a -≤∵当 1x ≥时，142x y = 单调递减，且无限趋近于0，∴3a ≤……………13分∴23a ≤≤ ………………………14分。

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练圆锥曲线一、选择、填空题1、（2018上海高考）双曲线2214x y -=的渐近线方程为。

2、（2017上海高考）设双曲线22219x y b-=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =3、（2016上海高考）已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________4、（宝山区2018高三上期末）已知抛物线C 的顶点为坐标原点，双曲线x y 22125144-=的右焦点是C的焦点F ．若斜率为1-，且过F 的直线与C 交于A B ，两点，则AB = ． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））抛物线y 2=4x 的焦点坐标为．6、（奉贤区2018高三上期末）设焦点为1F 、2F 的椭圆()013222>=+a y ax 上的一点P 也在抛物线x y 492=上，抛物线焦点为3F ，若16253=PF ，则21F PF ∆的面积为________. 7、（虹口区2018高三二模）直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A ，B 两点，且AB =A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M ，N ，则MN 等于（）.A .B 4 .C .D 88、（2018上海高考）设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）C.2D.49、（静安区2018高三二模）已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,4)M a -(0)a >到焦点F 的距离为5，则该抛物线的标准方程为 10、（普陀区2018高三二模）抛物线212x y =的准线方程为_______.11、（青浦区2018高三二模）已知曲线C y =：2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是．12、（青浦区2018高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过椭圆22+14y x =右顶点的双曲线的方程是 .13、（松江、闵行区2018高三二模）双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a = ．14、（松江区2018高三上期末）若直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于A 、B 两点，且AB =a = ▲ ．15、（杨浦区2018高三上期末）抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为16、（2018金山区二模）已知双曲线C ：22198x y -=，左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得∠F 1PQ=90°，则△F 1PQ 的内切圆的半径r =________．二、解答题1、（2018上海高考）设常数t>2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线Γ：²8y x =00x t y ≤≤≥（，），l 与x 轴交于点A ，与Γ交于点B ，P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点。

2019高考数学文一轮复习：数列综合复习(含答案解析)

2019高考数学文一轮复习：数列综合复习一、选择题：1.已知数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1=a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 018=( ) A.1 B.0 C.2 018 D.－2 018 2.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2(a n －1)，则a n = ( ) A.2n B.2n －1 C.2nD.2n－1 3.已知数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1a n =2n(n ∈N *)，则a 10=( ) A.64 B.32 C.16 D.8 4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12=24，则S 13=( ) A.52 B.78 C.104 D.208 5.若等差数列{a n }的前5项和S 5=25，且a 2=3，则a 7=( ) A.12 B.13 C.14 D.156.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 6＋a 7>0”是“S 9≥S 3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充要也不必要条件7.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3=a 4－2，3S 2=a 3－2，则公比q=( ) A.3 B.4 C.5 D.68.在等比数列{a n }中，已知a 3=6，a 3＋a 5＋a 7=78，则a 5=( ) A.12 B.18 C.36 D.249.已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12 B.5＋12 C.3－52 D.3＋5210.在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n =34，a 3·a n －2=64，且前n 项和S n =42，则n 等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 11.S n =12＋12＋38＋…＋n2n 等于( )A.2n－n 2n B.2n ＋1－n －22n C.2n －n ＋12n ＋1D.2n ＋1－n ＋22n12.数列{a n }的通项公式是a n =1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A.120B.99C.11D.121二、填空题:13.已知数列{a n }，{b n }，若b 1=0，a n =1n （n ＋1），当n ≥2时，有b n =b n －1＋a n －1，则b 10=________.14.在等差数列{a n }中，a 3＋a 9=27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11=________. 15.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1=－2，S m =0，S m ＋1=3，则正整数m 的值为________. 16.已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4=9，a 2a 3=8，则数列{a n }的前n 项和S n =________. 17.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6=0，则S 6S 3=________.18.设函数f(x)=12＋log 2x 1－x ，定义S n =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ，其中n ∈N *，且n ≥2，则S n=________.三、解答题：19.已知数列{a n }中，a 1=1，前n 项和S n =n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式.20.已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和S n .21.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3·a4=117，a2＋a5=22.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n=S nn＋c，是否存在非零实数c使得{b n}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.22.已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n－a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和.23.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋na n=(n－1)S n＋2n(n∈N*).(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{S n＋2}是等比数列.24.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且6S n=3n＋1＋a(n∈N*).(1)求a的值及数列{a n}的通项公式；(2)若b n=(1－an)log3(a2n·a n＋1)，求数列{1b n}的前n项和T n.25.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n －2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1a n 的前n 项和T n .26.已知S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a 2n ＋2a n =4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.参考答案解析1.解析：选B.因为a 1=1，所以a 2=(a 1－1)2=0，a 3=(a 2－1)2=1，a 4=(a 3－1)2=0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，所以a 2 018=a 2=0.2.解析：选C.当n=1时，a 1=S 1=2(a 1－1)，可得a 1=2，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=2a n －2a n －1，所以a n =2a n －1，所以数列{a n }为等比数列，公比为2，首项为2，所以a n =2n. 3.解析：选B.因为a n ＋1a n =2n，所以a n ＋2a n ＋1=2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n=2.又a 1a 2=2，a 1=1，所以a 2=2.法一：a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4a 2=24，即a 10=25=32.法二：数列{a 2n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a 10=2×24=32. 4.解析：选C.依题意得3a 7=24，a 7=8，S 13=13（a 1＋a 13）2=13a 7=104，选C.5.解析：选B.设{a n }的公差为d ，由S 5=5（a 2＋a 4）2⇒25=5（3＋a 4）2⇒a 4=7，所以7=3＋2d ⇒d=2，所以a 7=a 4＋3d=7＋3×2=13.6.解析：选A.法一：将它们等价转化为a 1和d 的关系式.a 6＋a 7>0⇒a 1＋5d ＋a 1＋6d>0⇒2a 1＋11d>0；S 9≥S 3⇒9a 1＋9×8×d 2≥3a 1＋3×2×d2⇒2a 1＋11d ≥0.法二：a 6＋a 7>0⇒a 1＋a 12>0，S 9≥S 3⇒a 4＋a 5＋…＋a 9≥0⇒3(a 1＋a 12)≥0.7.解析：选B.由题意知，q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧3a 1（1－q 3）1－q ＝a 1q 3－23a 1（1－q 2）1－q＝a 1q 2－2，两式相减可得－3（q 3－q 2）1－q =q 3－q 2，即－31－q=1，所以q=4. 8.解析：a 3＋a 5＋a 7=a 3(1＋q 2＋q 4)=6(1＋q 2＋q 4)=78⇒1＋q 2＋q 4=13⇒q 2=3，所以a 5=a 3q 2=6×3=18.故选B. 9.解析：选A.设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5=a 3＋a 4，即a 3q 2=a 3＋a 3q ，故q 2－q －1=0，解得q=1＋52或q=1－52(舍去)，由a 3＋a 5a 4＋a 6=a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2=a 3（1＋q 2）a 4（1＋q 2）=1q =25＋1=2（5－1）（5＋1）（5－1）=5－12，故选A. 10.解析：选A.因为{a n }为等比数列，所以a 3·a n －2=a 1·a n =64.又a 1＋a n =34，所以a 1，a n 是方程x 2－34x ＋64=0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n ＝2. 又因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n＝32.由S n =a 1－a n q 1－q =2－32q1－q =42，解得q=4.由a n =a 1qn －1=2×4n －1=32，解得n=3.故选A.11.解析：选B.由S n =12＋222＋323＋…＋n 2n ，①得12S n =122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，②①－②得，12S n =12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，所以S n =2n ＋1－n －22n. 12.解析：选A.a n =1n ＋n ＋1=n ＋1－n（n ＋1＋n ）（n ＋1－n ）=n ＋1－n ，所以a 1＋a 2＋…＋a n =(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n)=n ＋1－1=10. 即n ＋1=11，所以n ＋1=121，n=120.13.解析：由b n =b n －1＋a n －1得b n －b n －1=a n －1，所以b 2－b 1=a 1，b 3－b 2=a 2，…，b n －b n －1=a n －1，所以b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1=a 1＋a 2＋…＋a n －1=11×2＋12×3＋…＋1（n －1）×n ，即b n －b 1=a 1＋a 2＋…＋a n －1=11×2＋12×3＋…＋1（n －1）×n =11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n=1－1n =n －1n ，又b 1=0，所以b n =n －1n ，所以b 10=910.答案：91014.解析：因为a 3＋a 9=27－a 6，2a 6=a 3＋a 9，所以3a 6=27，所以a 6=9，所以S 11=112(a 1＋a 11)=11a 6=99.答案：9915.解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1=－2，S m =0，S m ＋1=3，所以a m =S m －S m －1=2，a m ＋1=S m ＋1－S m =3，数列的公差d=1，a m ＋a m ＋1=S m ＋1－S m －1=5，即2a 1＋2m －1=5，所以a 1=3－m.由S m =(3－m)m ＋m （m －1）2×1=0，解得正整数m 的值为5.答案：516.解析：设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n =1－2n1－2=2n －1.答案：2n－117.解析：由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3=a 1q 2，a 6=a 1q 5，所以27a 1q 2=a 1q 5，所以q=3，由S n =a 1（1－q n）1－q ，得S 6=a 1（1－36）1－3，S 3=a 1（1－33）1－3，所以S 6S 3=a 1（1－36）1－3·1－3a 1（1－33）=28.答案：28 18.解析：因为f(x)＋f(1－x)=12＋log 2 x 1－x ＋12＋log 2 1－xx=1＋log 21=1，所以2S n =⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋[f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ]＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n =n －1.所以S n=n －12.答案：n －1219.解：(1)由S 2=43a 2得3(a 1＋a 2)=4a 2，解得a 2=3a 1=3.由S 3=53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)=5a 3，解得a 3=32(a 1＋a 2)=6.(2)由题设知a 1=1.当n ≥2时，有a n =S n －S n －1=n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n =n ＋1n －1a n －1.于是a 1=1，a 2=31a 1，a 3=42a 2，…a n －1=n n －2a n －2，a n =n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n =n （n ＋1）2.显然，当n=1时也满足上式.综上可知，{a n }的通项公式a n =n （n ＋1）2.20.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2=a 1＋d ，a 3=a 1＋2d.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n =2－3(n －1)=－3n ＋5或a n =－4＋3(n －1)=3n －7.故a n =－3n ＋5或a n =3n －7.(2)当a n =－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4，2，不成等比数列；当a n =3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1，2，－4，成等比数列，满足条件.故|a n |=|3n －7|=⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n=1时，S 1=|a 1|=4；当n=2时，S 2=|a 1|＋|a 2|=5；当n ≥3时，S n =S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |=5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) =5＋（n －2）[2＋（3n －7）]2=32n 2－112n ＋10.当n=2时，满足此式，当n=1时，不满足此式.综上，S n =⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ≥2.21.解：(1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4=a 2＋a 5=22.又a 3·a 4=117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117=0的两实根，又公差d>0，所以a 3<a 4，所以a 3=9，a 4=13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以数列{a n }的通项公式为a n =4n －3.(2)由(1)知a 1=1，d=4，所以S n =na 1＋n （n －1）2×d=2n 2－n ，所以b n =S n n ＋c =2n 2－n n ＋c ，所以b 1=11＋c ，b 2=62＋c ，b 3=153＋c，其中c ≠0.因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2=b 1＋b 3，即62＋c ×2=11＋c ＋153＋c ，所以2c 2＋c=0，所以c=－12或c=0(舍去)，故c=－12.即存在一个非零实数c=－12，使数列{b n }为等差数列.22.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d=a 4－a 13=12－33=3，所以a n =a 1＋(n －1)d=3n(n=1，2，…).设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3=b 4－a 4b 1－a 1=20－124－3=8，解得q=2.所以b n －a n =(b 1－a 1)q n －1=2n －1.从而b n =3n ＋2n －1(n=1，2，…).(2)由(1)知b n =3n ＋2n －1(n=1，2，…).数列{3n}的前n 项和为32n(n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1－2n1－2=2n －1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n(n ＋1)＋2n－1.23.解：(1)因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n =(n －1)S n ＋2n(n ∈N *)，所以当n=1时，a 1=2×1=2；当n=2时，a 1＋2a 2=(a 1＋a 2)＋4，所以a 2=4；当n=3时，a 1＋2a 2＋3a 3=2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，所以a 3=8.综上，a 2=4，a 3=8.(2)证明：因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n =(n －1)S n ＋2n(n ∈N *).①所以当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1=(n －2)S n －1＋2(n －1).②①－②，得na n =(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2=n(S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2=na n －S n ＋2S n －1＋2. 所以－S n ＋2S n －1＋2=0，即S n =2S n －1＋2，所以S n ＋2=2(S n －1＋2). 因为S 1＋2=4≠0，所以S n －1＋2≠0，所以S n ＋2S n －1＋2=2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列.24.解：(1)因为6S n =3n ＋1＋a(n ∈N *)，所以当n=1时，6S 1=6a 1=9＋a ，当n ≥2时，6a n =6(S n －S n －1)=2×3n ，即a n =3n －1，所以{a n }是等比数列，所以a 1=1，则9＋a=6，得a=－3，所以数列{a n }的通项公式为a n =3n －1(n ∈N *).(2)由(1)得b n =(1－an)log 3(a 2n ·a n ＋1)=(3n －2)(3n ＋1)，所以T n =1b 1＋1b 2＋…＋1b n =11×4＋14×7＋…＋1（3n －2）（3n ＋1）=13(1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1)=n3n ＋1. 25.解：(1)当n=1时，a 1=2.当n ≥2时，S n －1=2a n －1－2，所以a n =S n －S n －1=2a n －2－(2a n －1－2)，即a n a n －1=2(n ≥2，n ∈N *)，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n =2n(n ∈N *). (2)令b n =n ＋1a n =n ＋12n ，则T n =221＋322＋423＋…＋n ＋12n ，①①×12，得12T n =222＋323＋424＋…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1，②①－②，得12T n =32－n ＋32n ＋1，整理得T n =3－n ＋32n .26.解：(1)由a 2n ＋2a n =4S n ＋3，①可知a 2n ＋1＋2a n ＋1=4S n ＋1＋3.② ②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )=4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )=a 2n ＋1－a 2n =(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n ).由a n >0，得a n ＋1－a n =2.又a 21＋2a 1=4a 1＋3，解得a 1=－1(舍去)或a 1=3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n =2n ＋1. (2)由a n =2n ＋1可知b n =1a n a n ＋1=1（2n ＋1）（2n ＋3）=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =b 1＋b 2＋…＋b n =12[⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3]=n 3（2n ＋3）.。

上海市2019届高考数学一轮复习专题突破训练排列组合二项式定理理

上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练排列组合二项式定理一、排列组合1、（2019年上海高考）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 120 （结果用数值表示）．2、（闵行区2019届高三二模）从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单，要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有 ( )(A) 14种. (B) 48种. (C)72种. (D) 120种.3、（长宁、嘉定区2019届高三二模）．现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．则不同取法的种数为__________．4、（奉贤区2019届高三上期末）在二项式()612+x 的展开式中，系数最大项的系数是（）A ．20B ．160C ．240D ．1925、（金山区2019届高三上期末）用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数有( ▲ )．(A) 60个 (B) 48个 (C) 36个 (D) 24个6、（金山区2019届高三上期末）若集合A 1、A 2满足A 1∪A 2=A ，则称(A 1，A 2)为集合A 的一个分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，(A 1，A 2)与(A 2，A 1)为集合A 的同一种分拆，则集合A={a 1，a 2，a 3}的不同分拆种数是( ▲ )．(A)8 (B)9 (C)26 (D)277、（青浦区2019届高三上期末）若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选．法．有种. 8、（闸北区2019届高三上期末）用数字“1,2”组成一个四位数，则数字“1,2”都出现的四位偶数有个9、将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有（）A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种10、若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有（）A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种11、两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有（）A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种12、现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（）A ．232B ．252C ．472D ．484二、二项式定理1、（2019年上海高考）在（1+x+）10的展开式中，x 2项的系数为 45 （结果用数值表示）．2、（静安、青浦、宝山区2019届高三二模）在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，31x 的系数是． 3、（闵行区2019届高三二模）设二项式(31)n x +的展开式的二项式系数的和为p ，各项系数的和为q ，且1264p q +=，则n 的值为4、（浦东新区2019届高三二模）已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数之和为1024，则含2x 项的系数为 210 .5、（普陀区2019届高三二模）在*22)()n n N x ∈的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（ B ）A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项6、（徐汇、松江、金山区2019届高三二模）执行如图所示的程序框图，输出的结果为a ，二项式42的展开式中3x 项的系数为2a ，则常数m =7、（长宁、嘉定区2019届高三二模）若8822108...)(x a x a x a a x a ++++=-（R ∈a ），且565=a ，则=++++8210...a a a a _______________．8、（静安区2019届高三上期末）设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则=++++8710a a a a9、（浦东区2019届高三上期末）二项式4)2(x x +的展开式中，含3x 项系数为10、（普陀区2019届高三上期末）在二项式81⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，含2x 项的系数为（结果用数值表示）.11、（青浦区2019届高三上期末）9(1+展开式中有理项的个数．．是 12、（上海市十三校2019届高三第二次（3月）联考）若多项式13、（奉贤区2019届高三4月调研测试（二模））在56(1)(1)x x +-+的展开式中，含3x 的项的系数是____________．参考答案一、排列组合1、解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C 95=126种；其中只有女教师的有C 65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．2、D3、4724、C5、B6、D7、180 8、79、选A 甲地由1名教师和2名学生:122412C C =种10、【答案】D【解析】1,2,2,,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有:4个都是偶数:1种;2个偶数,2个奇数:225460C C =种;4个都是奇数:455C =种.∴不同的取法共有66种.11、解析:先分类:3:0,3:1,3:2共计3类,当比分为3:0时,共有2种情形;当比分为3:1时,共有12428C A =种情形;当比分为3:2时,共有225220C A =种情形;总共有282030++=种,选D.12、【解析】若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有64141414=⨯⨯C C C 种,若2色相同,则有14414241223=C C C C ;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有19214142314=⨯⨯⨯C C C C 种,如同色则有72242314=C C C ,所以共有4727219214464=+++,故选C.二、二项式定理1、解：∵（1+x+）10 =， ∴仅在第一部分中出现x 2项的系数．再由，令r=2，可得， x 2项的系数为．故答案为：45．2、1263、44、2105、B6、147、256 8、25628= 9、24 10、70 11、5 12、0 13、－10。

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上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练数列一、选择、填空题1、（2018上海高考）记等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若87014a a a =+=₃，，则S 7= 2、（2017上海高考）已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =3、（2016上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.4、（宝山区2018高三上期末）若n （n 3≥，n N *∈）个不同的点n n n Q a b Q a b Q a b 111222()()()，、，、、，满足：n a a a 12<<<，则称点n Q Q Q 12、、、按横序排列．设四个实数k x x x 123，，，使得k x x x x 2231322()2-，，成等差数列，且两函数y x y x213==+、图象的所有．．交点P x y 111()，、P x y 222()，、P x y 333()，按横序排列，则实数k 的值为．5、（崇明区2018高三上期末（一模））若无穷等比数列{a n }的各项和为S n ，首项 a 1=1，公比为a ﹣，且 S n =a ，则a= ．6、（奉贤区2018高三上期末）等差数列{}n a 中，10a ≠，若存在正整数,,,m n p q 满足m n p q+>+时有m n p q a a a a +=+成立，则41a a =（）． A ．4 B ．1C ．由等差数列的公差的值决定D ．由等差数列的首项1a 的值决定7、（虹口区2018高三二模）已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a ，4a ，3a 成等差数列，则q = _______．8、（黄浦区2018高三二模）已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n nna a n k a +-=-=-，若1224,51,0k a a a ===，则k = ．9、（静安区2018高三二模）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （n ∈*N ），且63198S S =-，42158a a =--，则3a 的值为 10、（普陀区2018高三二模）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*N n ∈）的公比，且2462018()7f a a a a =，则22221232018()()()()f a f a f a f a ++++的值为_________.11、（青浦区2018高三二模）在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S = ．12、（青浦区2018高三上期末）设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =13、（松江、闵行区2018高三二模）已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n ∈N ，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅ .14、（松江区2018高三上期末）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若1918a a +=，47a =，则10S = ▲ ．15、（浦东新区2018高三二模）已知{}n a 是等比数列，它的前n 项和为n S ，且34a =，48a =-，则5S =16、（长宁、嘉定区2018高三上期末）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ,12+=n n n a a S （*N ∈n ），若112)1(++-=n n n n a a n b ,则数列}{n b 的前n 项和=n T _______________.二、解答题1、（2018上海高考）给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{b n }满足：对任意*n N ∈，都有1||nn b a -≤，则称{}{}n n b a 与“接近”。

(1)设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；2、（2017上海高考）根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？3、（2016上海高考）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.4、（宝山区2018高三上期末）设数列{}{}n n a b ，及函数f x ()（x R ∈），n n b f a ()=（n N *∈）．（1）若等比数列{}n a 满足a a 1213==，，f x x ()2=，求数列{}n n b b 1+的前n （n N *∈）项和；（2）已知等差数列{}n a 满足x a a f x q 1224()(1)λ===+，，（q λ、均为常数，q 0>，且q 1≠），n n c n b b b 123()=+++++（n N *∈）．试求实数对q ()λ，，使得{}n c 成等比数列．5、（崇明区2018高三上期末（一模））2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f （n ）为第 1 年至此后第 n （n ∈N*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n ）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n ）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．6、（奉贤区2018高三上期末）若存在常数p ()10≤<p ，使得数列{}n a 满足nn n p a a =-+1对一切*N n ∈恒成立，则称{}n a 为可控数列. 01>=a a （1）若1,2==p a ，问2017a 有多少种可能？（2）若{}n a 是递增数列，312+=a a ，且对任意的i ，数列()1*,3,2,21≥∈++i N i a a a i i i 成等差数列，判断{}n a 是否为可控数列？说明理由；（3）设单调的可控数列{}n a 的首项01>=a a ，前n 项和为n S ，即n n a a a S +++= 21．问nS 的极限是否存在，若存在，求出a 与p 的关系式；若不存在，请说明理由．7、（虹口区2018高三二模）平面内．．．的“向量列”{}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”.平面内的“向量列”{}n b ，如果01 ≠b 且对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列”{}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量”d 表示12n a a a +++；（2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量”(3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =；{}nb 是“等比向量列”，“公比”2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =.求1122n n a b a b a b ⋅+⋅++⋅．8、（黄浦区2018高三二模）定义：若数列{}n c 和{}n d 满足*10,0,N n n n c d n +>>=∈且c ，则称数列{}n d 是数列{}n c 的“伴随数列”.已知数列{}n b 是数列{}n a 的伴随数列，试解答下列问题： (1)若*(N )nn b a n =∈，1b ={}n a 的通项公式n a ；(2)若*11(N )n n n b b n a +=+∈，11b a 为常数，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列； (3)若*1N )n b n +=∈，数列{}n a 是等比数列，求11a b 、的数值．9、（静安区2018高三二模）已知数列{}n a 中，1a a =1(,)2a R a ∈≠-，1112(1)n n a a n n n -=+++，2n ≥，*n ∈N .又数列{}n b 满足：11n n b a n =++，*n ∈N . （1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若数列{}n a 是单调递增数列，求实数a 的取值范围；（3）若数列{}n b 的各项皆为正数，12log n n c b =，设n T 是数列{}n c 的前n 和，问：是否存在整数a ，使得数列{}n T 是单调递减数列？若存在，求出整数a ；若不存在，请说明理由.10、（普陀区2018高三二模）若数列{}n a 同时满足条件：①存在互异的*,N p q ∈使得p q a a c ==（c为常数）；②当n p ≠且n q ≠时，对任意*N n ∈都有n a c >，则称数列{}n a 为双底数列. （1）判断以下数列{}n a 是否为双底数列（只需写出结论不必证明）； ①6n a n n=+； ②sin 2n n a π=； ③()()35n a n n =--（2）设501012,1502,50n n n n a m n --≤≤⎧=⎨+>⎩，若数列{}n a 是双底数列，求实数m 的值以及数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）设()9310nn a kn ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，是否存在整数k ，使得数列{}n a 为双底数列？若存在，求出所有的k的值；若不存在，请说明理由.11、（青浦区2018高三二模）给定数列{}n a ，若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.（1）已知数列{}n a 的通项公式为3nn a =，试判断{}n a 是否为封闭数列，并说明理由；（2）已知数列{}n a 满足122++=+n n n a a a 且212=-a a ，设n S 是该数列{}n a 的前n 项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”{}n a ，使得对任意n ∈*N 都有0≠n S ，且12111111818n S S S <+++<，若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值；若不存在，说明理由；（3）证明等差数列{}n a 成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数1m ≥-，使1a md =．12、（金山区2018高三二模）已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=12a n +2． (1) 证明：数列{a n –4}是等比数列； (2) 求使不等式123n n a m a m +-<-成立的所有正整数m 、n 的值；(3) 如果常数0 < t < 3，对于任意的正整数k ，都有12k k a ta t+-<-成立，求t 的取值范围．13、（松江、闵行区2018高三二模）无穷数列{}n a *()n ∈N ，若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，12,,,n n n t a a a +++中至少有一个等于n a ，则称数列{}n a 具有性质T .集合{}*,n P pp a n ==∈N .（1）若(1)n n a =-，*n ∈N ，判断数列{}n a 是否具有性质T ；（2）数列{}n a 具有性质T ，且1481,3,2,{1,2,3}a a a P ====，求20a 的值；（3）数列{}n a 具有性质T ，对于P 中的任意元素i p ，k i a 为第k 个满足k i i a p =的项，记1k k k b i i +=-*()k ∈N ，证明：“数列{}k b 具有性质T ”的充要条件为“数列{}n a 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”.14、（松江区2018高三上期末）已知有穷数列{}n a 共有m 项（*,2N m m ∈≥），且n a a n n =-+1（*,11N n m n ∈-≤≤）．（1）若5m =，11=a ，53a =，试写出一个满足条件的数列{}n a ；（2）若64=m ，21=a ，求证：数列{}n a 为递增数列的充要条件是201864=a ；（3）若01=a ，则m a 所有可能的取值共有多少个？请说明理由．15、（杨浦区2018高三上期末）若数列A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a （3n ≥）中*i a N ∈（1i n ≤≤）且对任意的21k n ≤≤-，112k k k a a a +-+>恒成立，则称数列A 为“U -数列”. （1）若数列1，x ，y ，7为“U -数列”，写出所有可能的x 、y ；（2）若“U -数列” A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 中，11a =，2017n a =，求n 的最大值；（3）设0n 为给定的偶数，对所有可能的“U -数列”A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，0n a ，记012max{,,,}n M a a a =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示1x ，2x ，⋅⋅⋅，s x 这s 个数中最大的数，求M 的最小值.16、（长宁、嘉定区2018高三上期末）已知数列}{n a 满足：11=a ，41121+=+nn a a ，*N ∈n ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n b 的前n 项和为n S ，且满足381622121--+=++n n a S a S n nn n ，试确定1b 的值，使得数列}{n b 为等差数列；（3）将数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧21n a 中的部分项按原来顺序构成新数列}{n c ，且51=c ，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列}{n c ．参考答案：一、选择、填空题1、142、23、44、15、26、B7、1或12-； 8、50 9、94 10、－199011、33 12、4 13、1214、100 15、11 16、1)1(1+-+-n n 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-++-为偶数，为奇数n n n n n n ,1,12二、解答题1、【1】由题意11111,22n n a q a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故又11nn b a +=+，故112n n b =+ 则1111111222n n n n n b a ---=+-=-又1102n -＞，故11112n --＜即1n n b a -＜，故{}{}n n b a 与接近(2)由题意分析可知{}|,1,2,3,4i Mx x b i ===111102b b -⇒＜＜＜ 221113b b -⇒＜＜＜ 334135b b -⇒＜＜＜ 448179b b -⇒＜＜＜根据范围分析4321b b b b ≠≠或，根据元素互异性43,b M b M ∈∈，又12b b 与可能出现12=b b 情况，也可能出现12b b ≠情况，故根据互异性，M 中元素个数为3个或4个(3){}n a 为等差数列，又n b 与n a 接近，有1n n b a -＜则11n n na b a -++＜＜又11111n n n a b a +++-++＜＜1n n n a b a ---＜＜1-故122n n d b b d +--+＜＜当120,1,2,...,200,k k db b k +=--≤=时,即2132201200,,...,b b b b b b ---中没有正数；当d＞-2时，存在12201,,...b b b 使得2132430,0,0,b b b b b b ---＞＜＞542001992012000,...,0,0b b b b b b ---＜＞＜，即有100个正数，故d ＞-2。