2020届北京市通州区高三第一学期期末考试数学试题(解析版)
2020届北京市通州区高三第一学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}21A x x =-<<,{}13B x x =-<<,则A B =U ( ) A ．{}23x x -<< B ．{}11x x -<< C ．{}13x x <<D ．{}21x x -<<-【答案】A【解析】根据并集运算法则求解即可. 【详解】由题：集合{}21A x x =-<<,{}13B x x =-<<, 则{}23A B x x =-<<U . 故选：A 【点睛】此题考查根据描述法表示的集合，并求两个集合的并集. 2．在复平面内,复数1ii-+(其中i 是虚数单位)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】化简复数，得出其在复平面内的点，即可判定位置. 【详解】 由题：复数()1111i i i i i i-+--==+⋅-，在复平面内对应的点为()1,1， 位于第一象限. 故选：A 【点睛】此题考查复数的基本运算和复数对应复平面内的点的辨析，关键在于准确计算，熟练掌握几何意义.3．已知点A (2,a )为抛物线24y x =图象上一点,点F 为抛物线的焦点,则AF 等于( )A ．4B ．3C ．D ．2【答案】B【解析】写出焦点坐标，根据抛物线上的点到焦点距离公式即可求解. 【详解】由题：点A (2,a )为抛物线24y x =图象上一点, 点F 为抛物线的焦点,所以()1,0F ， 根据焦半径公式得：02132pAF x =+=+=. 故选：B 【点睛】此题考查求抛物线上的点到焦点的距离，结合几何意义根据焦半径公式求解即可. 4．若0x y >>,则下列各式中一定正确的是( )A ．11x y> B ．tan tan x y > C ．11()()22xy>D ．ln ln x y >【答案】D【解析】若0x y >>，11x y <，11()()22x y <所以AC 错；3,,tan tan 44x y x y ππ==<，所以B 错；若0x y >>，ln ln x y >，所以D 正确. 【详解】由题：若0x y >>，根据反比例函数性质11x y<，所以A 错误； 若0x y >>，取3,,tan tan 44x y x y ππ==<，所以B 错； 若0x y >>，根据指数函数性质11()()22x y<所以C 错；若0x y >>，根据对数函数性质ln ln x y >，所以D 正确. 故选：D 【点睛】此题考查不等式的基本性质，结合不等关系和函数单调性进行判断，也可考虑特值法推翻命题.5．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的长度为( )A ．27B ．42C ．211D ．43【答案】C【解析】根据三视图还原几何体，即可求解. 【详解】根据三视图还原几何体如图所示：其中AB AC ⊥，PC ⊥平面ABC ， 由图可得：4,23CP AC AB ===27,4227BC AP ==>224421142BP PC BC =+=>所以最长的棱长211. 故选：C 【点睛】此题考查根据三视图还原几何体，计算几何体中的棱长，关键在于正确认识三视图，准确还原.6．甲､乙､丙､丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为( ) A ．24 B ．12C ．8D ．6【答案】C【解析】根据特殊元素优先考虑原则，先排乙，再排甲，结合左右对称原则求解. 【详解】由题：老师站中间，第一步：排乙，乙与老师相邻，2种排法；第二步：排甲，此时甲有两个位置可以站，2种排法； 第三步：排剩下两位同学，2种排法， 所以共8种. 故选：C 【点睛】此题考查计数原理，关键在于弄清计数方法，根据分步和分类计数原理解决实际问题.7．对于向量a r ,b r, “a a b =+r r r ”是“0b =r ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】根据向量的运算法则：“a a b =+r r r ”不能推出“0b =r ”， “0b =r”能够推出“a a b =+r r r ”.【详解】当20b a =-≠r r r时，满足a a b =+r r r ，不能推出0b =r ， 若0b =r ，则a b a +=r r r，所以a a b =+r r r ，所以“a a b =+r r r ”是“0b =r”的必要不充分条件.故选：B 【点睛】此题考查充分条件与必要条件的关系判断，关键在于弄清向量间的关系，正确辨析即可. 8．关于函数()21()1x f x x ax e-=+-有以下三个判断①函数恒有两个零点且两个零点之积为-1；②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为-1； ③若2x =-是函数的一个极值点,则函数极小值为-1. 其中正确判断的个数有( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】函数的零点个数即210x ax +-=的根的个数，利用判别式求解；对函数求导讨论导函数的零点问题即可得极值关系. 【详解】因为10x e ->，方程210x ax +-=，240a ∆+>=，所以关于x 的方程210x ax +-=一定有两个实根，且两根之积为-1，所以21`()(1)x f x x ax e -=+-恒有两个零点且两个零点之积为-1，即①正确；()()()2121x f x x a x a e -'=+++-，10x e ->，对于()2210x a x a +++-=，()()2224180a a a ∆=+--=+>，所以()2210x a x a +++-=恒有两个不等实根，且导函数在这两个实根附近左右异号，两根之积为1a -，函数恒有两个极值点且两个极值点之积为1a -，所以②错误；若2x =-是函数的一个极值点, ()()242410f a a '-=--+-=，则1a =-，()()211x f x x x e -=--，()()()()211221x x f x x x e x x e --'=+-=+-，()()(),21,,0x f x '∈-∞-+∞>U ，()()2,1,0x f x '∈-<，所以函数的增区间为()(),2,1,-∞-+∞，减区间为()2,1-， 所以函数的极小值为()11f =-，所以③正确. 故选：C 【点睛】此题考查函数零点问题，利用导函数导论单调性和极值问题，综合性比较强.二、填空题9．已知向量()3,2a →=-,()1,b m =r ,若()a a b →→→⊥-,则m =___________.【答案】5-【解析】根据向量垂直，数量积为0列方程求解即可. 【详解】由题：()a a b →→→⊥-，所以()0a a b →→→⋅-=，20a a b →→→-⋅= 所以()94320m +--=， 解得：5m =-. 故答案为：5- 【点睛】此题考查向量数量积的坐标运算，根据两个向量垂直，数量积为0建立方程计算求解. 10．在公差不为零的等差数列{a n }中,a 1=2,且a 1,a 3,a 7依次成等比数列,那么数列{a n }的前n 项和n S 等于____________. 【答案】21322n n + 【解析】根据a 1,a 3,a 7依次成等比数列,求出公差，即可求解. 【详解】在公差不为零的等差数列{a n }中,a 1=2,设公差为,0d d ≠ 且a 1,a 3,a 7依次成等比数列,即()()222226d d +=+，20d d -=，0d ≠，所以1d =，所以数列{a n }的前n 项和()211321222n n n n n n S -=+⨯=+. 故答案为：21322n n + 【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，根据等比中项的关系列出方程解出公差，根据公式进行数列求和.11．已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为0),且两条渐近线互相垂直,则此双曲线的标准方程为_____. 【答案】221x y -=【解析】根据两条渐近线互相垂直得出渐近线方程，即求出ba的值，结合焦点坐标即可求解.【详解】由题双曲线焦点在x 轴，设双曲线方程()22221,0,0x ya b ba -=>>，两条渐近线互相垂直，即1b ba a-⋅=-，得a b =，又因为右焦点坐标为0), 所以222a b +=， 解得1a b ==，所以双曲线的标准方程为：221x y -=. 故答案为：221x y -= 【点睛】此题考查根据渐近线的关系结合焦点坐标求双曲线的基本量，进而得出双曲线的标准方程，考查通式通法和基本计算.12．在ABC ∆中, 3a =,b =2B A ∠=∠,则cos B =____. 【答案】13【解析】根据正弦定理建立等量关系求解即可. 【详解】在ABC ∆中,由正弦定理得：sin sin b B a A=，sin 2sin AA=2sin cos 2cos sin A A A A==所以cos A =261cos cos 22cos 12193B A A ==-=⨯-=.故答案为：13【点睛】此题考查正弦定理的应用，结合三角恒等变换二倍角公式，求三角函数值，关键在于准确掌握基本计算方法正确求解.13．已知,,a b a m +均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a b >,②a b <,③0m >,④0m <,⑤b m ba m a+>+.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________. 【答案】①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)【解析】选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一. 【详解】已知,,a b a m +均为大于0的实数,选择①③推出⑤. ①a b >，③0m >，则()()()()0a b mb m b ab am ab bm am bm a m a a a m a a m a a m -++----===>++++， 所以b m ba m a+>+. 故答案为：①③推出⑤ 【点睛】此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.14．如图,某城市中心花园的边界是圆心为O ,直径为1千米的圆,花园一侧有一条直线型公路l ,花园中间有一条公路AB (AB 是圆O 的直径),规划在公路l 上选两个点P ,Q ,并修建两段直线型道路PB ,QA .规划要求:道路PB ,QA 不穿过花园.已知OC l ⊥,BD l ⊥(C ､D 为垂足),测得OC =0.9,BD =1.2(单位:千米).已知修建道路费用为m 元/千米.在规划要求下,修建道路总费用的最小值为_____元.【答案】2.1m【解析】根据几何关系考虑道路不穿过花园，求解最小距离，即可得到最小费用. 【详解】如图：过点B 作直线BP AB ⊥交l 于P ，取BD 与圆的交点M ， 连接,MA MB ，则MA MB ⊥， 过点A 作直线AQ AB ⊥交l 于Q ， 过点A 作直线AC l '⊥交l 于C '，根据图象关系可得，直线上，点P 左侧的点与B 连成线段不经过圆内部， 点Q 右侧的点与A 连成的线段不经过圆的内部， 最短距离之和即PB AC '+，根据几何关系：PBD BAM QAC '∠=∠=∠，3sin 5BAM ∠=， 所以4cos cos cos 5PBD BAM QAC '∠=∠=∠=， 所以 1.5BP =，2BD AC OC '+=，所以0.6AC '=，最小距离为2.1千米.修建道路总费用的最小值为2.1m 元. 故答案为：2.1m 【点睛】此题考查与圆相关的几何性质，根据几何性质解决实际问题，需要注意合理地将实际问题抽象成纯几何问题求解.三、解答题15．已知函数()2cos()sin 3f x x x π=-.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间π[0,]2上的最大值和最小值.【答案】(1)π；(2) 最小值0；最大值12+【解析】（1）对函数进行三角恒等变换得()sin(2)32f x x π=-+，即可得最小正周期；（2）整体考虑2π2[,]333x ππ-∈-的取值范围，求出最大值和最小值. 【详解】解:1()2cos()sin 2(cos )sin 32f x x x x x x π=-=+1sin 2(1cos 2)sin(2)2232x x x π=+-=-+(1) f (x )的最小正周期T =2=2ππ； (2)因为π[0,]2x ∈,所以2π2[,]333x ππ-∈-所以当233x ππ-=-,即0x =时,f (x )取得最小值(0)0f =；当232x ππ-=,即512x π=时,f (x )取得最大值51122f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以f (x )在区间π[0,]2上的最小值0；最大值12+. 【点睛】此题考查利用三角恒等变换对函数进行化简，求最小正周期和闭区间上的值域，关键在于利用公式准确化简，正确求值.16．为了解某地区初中学生的体质健康情况,统计了该地区8所学校学生的体质健康数据,按总分评定等级为优秀,良好,及格,不及格.良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表:(1)从8所学校中随机选出一所学校,求该校为先进校的概率；(2)从8所学校中随机选出两所学校,记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X ,求X 的分布列；(3)设8所学校优秀比例的方差为S 12,良好及其以下比例之和的方差为S 22,比较S 12与S 22的大小.(只写出结果) 【答案】(1)12；(2)见解析； (3)S 12=S 22 【解析】（1）统计出健康测试成绩达到良好及其以上的学校个数，即可得到先进校的概率；（2）根据表格可得：学生不及格率低于30%的学校有学校B ､F ､H 三所, 所以X 的取值为0,1,2，分别计算出概率即可得到分布列；（3）考虑优秀的比例为随机变量Y ，则良好及以下的比例之和为Z =1-Y ，根据方差关系可得两个方差相等. 【详解】解:( 1)8所学校中有ABEF 四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40% ,所以从8所学校中随机取出一所学校,该校为先进校的概率为12； (2)8所学校中,学生不及格率低于30%的学校有学校B ､F ､H 三所,所以X 的取值为0,1,2.25285(0)14C P X C ===11532815(1)28C C P X C ===23283(2)28C P X C ===所以随机变量X 的分布列为：(3)设优秀的比例为随机变量Y ，则良好及以下的比例之和为Z =1-Y ， 则()()D Y D Z =，所以：S 12=S 22. 【点睛】此题考查简单的几何概率模型求概率，求分布列，以及方差关系的辨析，关键在于熟练掌握分布列的求法和方差关系.17．如图,在四棱锥S -ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,AD //BC ,∠SAD =∠DAB =90︒ ,SA =3,SB =5,4AB =,2BC =,1AD =.(1)求证:AB ⊥平面SAD ；(2)求平面SCD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值；(3)点E ,F 分别为线段BC ,SB 上的一点,若平面AEF //平面SCD ,求三棱锥B -AEF 的体积. 【答案】(1) 见解析；(2)1213； (3)1 【解析】（1）通过证明AB SA ⊥，AB AD ⊥得线面垂直；（2）结合第一问结论，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，即可得二面角的余弦值；（3）根据面面平行关系得出点F 的位置，即可得到体积. 【详解】(1)证明:在SAB V 中,因为3,4,5SA AB SB ===, 所以AB SA ⊥. 又因为∠DAB =900 所以AB AD ⊥, 因为SA AD A =I 所以AB ⊥平面SAD .(2)解:因为 SA ⊥AD ,AB SA ⊥,AB AD ⊥， 建立如图直角坐标系：则A (0,0,0)B (0,4,0), C (2,4,0),D (1,0,0),S (0,0,3). 平面SAB 的法向量为(1,0,0)AD =u u u r. 设平面SDC 的法向量为(,,)m x y z =r所以有·0·0m CD m SD ⎧=⎨=⎩u u uv r u u u v r 即4030x y x z +=⎧⎨-=⎩,令1x =，所以平面SDC 的法向量为11(1,,)43m =-r所以12cos 13m SD m SD θ==u u ur r g u u ur r . (3)因为平面AEF //平面SCD,平面AEF I 平面ABCD=AE ,平面SCD I 平面ABCD=CD , 所以AE CD P ,平面AEF I 平面SBC=EF ,平面SCD I 平面SBC=SC , 所以FE SC ∥ 由AE CD P ,AD //BC得四边形AEDC 为平行四边形. 所以E 为BC 中点. 又FE SC ∥, 所以F 为SB 中点.所以F 到平面ABE 的距离为32, 又ABE △的面积为2, 所以1B AEF F ABE V V --==. 【点睛】此题考查立体几何中的线面垂直的证明和求二面角的大小，根据面面平行的性质确定点的位置求锥体体积.18．已知椭圆C :22221x y a b +=(0)a b >>的长轴长为4,,点P 在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点M (4,0),点N (0,n ),若以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点,求n 的取值范围.【答案】(1) 22142x y +=； (2) n -≤≤【解析】（1）根据长轴长和离心率求出标准方程；（2）取PN 的中点为Q ，以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点，所以MQ ⊥NP ,根据垂直关系建立等量关系，结合点P 的坐标取值范围，即可得解. 【详解】解:( 1)由椭圆的长轴长2a =4,得a =2又离心率2c e a ==,所以c =所以2222b a c =-=.所以椭圆C 的方程为：22142x y +=.(2)法一:设点00()P x y ，,则2200142x y +=所以PN 的中点00()22x y n Q +， 00(4)22x y n MQ +=-u u u u v ，,00()NP x y n =-u u uv ，， 因为以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点所以MQ ⊥NP ,则0MQ NP ⋅=u u u u v u u u v，即0000(4)()()022x y n x y n +-+-=， 又因为2200142x y +=,所以22008202x x n -+-=，所以2200082[22]2x n x x =-+∈-，，，函数20000()82[22]2x f x x x =-+∈-，，的值域为[1220]-，所以2020n ≤≤所以n -≤≤法二:设点00()P x y ，,则2200142x y +=.设PN 的中点为Q因为以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点 所以MQ 是线段PN 的垂直平分线， 所以MP MN ==所以2200822x n x =-+，函数20000()82[22]2x f x x x =-+∈-，，的值域为[1220]-，所以2020n ≤≤，所以n -≤≤【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，根据垂直关系建立等量关系，结合椭圆上的点的坐标特征求出取值范围.19．已知函数()sin cos f x x x x =+.(1)求曲线()y f x =在点(0())0f ，处的切线方程； (2)求函数21()()4g x f x x =-零点的个数. 【答案】(1) 1y =；(2)零点的个数为2.【解析】（1）求出导函数，得出(0)0f '=，(0)1f =即可得到切线方程； （2）根据21()()4g x f x x =-为偶函数，只需讨论在(0,)x ∈+∞的零点个数，结合导函数分析单调性即可讨论. 【详解】解:( 1)因为()cos f x x x '=, 所以(0)0f '=， 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0())0f ，处的切线方程为1y =；(2)因为21()()4g x f x x =-为偶函数,(0)1g = 所以要求()g x 在R x ∈上零点个数, 只需求()g x 在(0,)x ∈+∞上零点个数即可.11()cos (cos ),022g x x x x x x x '=-=->令()0g x '=,得23x k ππ=+,523x k ππ=+，N k ∈ 所以()g x 在(0,)3π单调递增,在5(,)33ππ单调递减,在57(,)33ππ单调递增,在5(2,2)33k k ππππ++单调递减,在(2,2)33k k ππππ-+单调递增N k *∈ 列表得:由上表可以看出()g x 在23x k ππ=+(N k ∈)处取得极大值,在523x k ππ=+(N k ∈)处取得极小值，21()03236g ππ=+->;25125()03236g ππ=+-<. 当*N k ∈且1k ³时221115(2)(2)(2)(20332243434g k k k k ππππππππ+=++-+=-+-+<(或21()14g x x x <+-,21(2)(2)1(2)03343g k k k ππππππ+<++-+<)所以()g x 在(0,)x ∈+∞上只有一个零点 函数21()()()4R g x f x x x =-∈零点的个数为2. 【点睛】此题考查求函数在某点处的切线方程，求函数零点的个数，根据奇偶性分类讨论，结合单调性和极值分别考虑函数值的符号得解.20．已知项数为*(,2)N m m m ∈≥的数列{}n a 满足如下条件:①*(1,2,,)n a N n m ∈=L ；②12m a a a <<<L .若数列{}n b 满足*12()1m nn a a a a b N m +++-=∈-L ,其中1,2,,n m =L ,则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.(1)数列1,3,5,7,9是否存在“伴随数列”,若存在,写出其“伴随数列”；若不存在,请说明理由；(2)若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”,证明:12m b b b >>>L ；(3)已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ,且11a =,2049m a =,求m 的最大值. 【答案】(1) 不存在“伴随数列”，见解析 ；(2) 见解析；(3)33 【解析】（1）根据“伴随数列”的定义检验即可判定；（2）根据“伴随数列”的定义，结合数列的单调性讨论1n n b b +-的符号即可得解；（3）根据数列{}n a 和其“伴随数列”{}n b 项的特征，结合单调性分析出2(1)2048m -≤，即可求解. 【详解】(1)解:数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列” 因为*41357979512b N ++++-==∉-,所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”. (2)证明:因为111n n n n a a b b m ++--=-,*11,n m n N ≤≤-∈又因为12m a a a <<<L ,所以有10n n a a +-< 所以1101n n n n a a b b m ++--=<-所以12m b b b >>>L 成立 (3)∀1≤i <j ≤m ,都有1j i i j a a b b m --=-,因为*i b N ∈,12m b b b >>>L .所以*i j b b N -∈, 所以*1j i i j a a b b N m --=∈-所以*11204811m m a a b b N m m --==∈-- 因为*111nn n n a a b b N m ----=∈-, 所以11n n a a m --≥-又112211()()()m m m m m a a a a a a a ----=-+-++-L(1)(1)(1)m m m ≥-+-++-L =2(1)m -所以2(1)2048m -≤,所以46m ≤ 又*20481N m ∈-, 所以33m ≤例如:6463n a n =-(133n ≤≤),满足题意, 所以m 的最大值是33. 【点睛】此题考查数列新定义相关问题，关键在于读懂题意，建立恰当的等量关系或不等关系，求解得值，综合性比较强.。
北京市通州区2020届高三一模考试数学试题及参考答案
通州区高三年级一模考试数学试卷2020年4月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}02A x x =<≤，{}13B x x =<<，则A B =IA. {}03x x << B. {}23x x << C. {}01x x <≤ D. {}12x x <≤2. 已知复数=i(2i)z + （i 是虚数单位），则z =D. 33. 函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．πＣ．2π Ｄ．4π4. 已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且(1)2f =，下列一定在函数()f x 图象上的点是A. （1，-2）B. （-1，-2）C. （-1，2）D. （2，1） 5. 已知a ，3，b ，9，c 成等比数列，且a >0，则33log log b c -等于 A. 1- B. 12- C. 12D. 16. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p =2C. 47. 在6(2)1x x-的展开式中，常数项是A. -160B. -20C. 20D. 1608．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(cos ,sin )A αα，(cos(),sin())33B ππαα++.则OA OB +=u u u r u u u r与α有关 9. 若a >0，b >0，则“ab ≥1”是 “a+b ≥2”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“(1,N )n a a n *>∈是几位数”，他以2(N )n n *∈为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如下表：试用该同学的研究结论判断504是几位数（参考数据lg20.3010≈） A. 101 B. 50 C. 31 D. 30第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知向量(1,2)=-a ，(3,)m =-b ，其中m ∈R ．若,a b 共线 ，则m 等于 ___________.12. 圆()1122=+-y x的圆心到直线10x ++=的距离为 .13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 .14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？” ，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 {}n a ，则1a = ； n a = . （注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）15.给出下列四个函数，①21y x =+；②12y x x =+++；③21x y =+；④2cos y x x =+ 其中值域为[1)+∞，的函数的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题14分）已知△ABC ，满足a =2b =，，判断△ABC 的面积2S >是否成立？说明理由. 从①3A =π ， ②cos 7B = 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并做答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17． （本小题14分）2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望.俯视图18. （本小题15分）如图，已知四边形ABCD 为菱形，且060=∠A ，取AD 中点为E .现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ，使得90AEG ∠=o . (Ⅰ)求证：⊥AE 平面EBHG ； (Ⅱ)求二面角A -GH -B 的余弦值；(Ⅲ)若点F 满足AB λAF =，当//EF 平面AGH 时，求λ的值.19．（本小题14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，点A (0，1)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过原点的直线（不与x 轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 、AN 与x 轴分别交于点E 、F ．问： y 轴上是否存在定点G ，使得∠OGE =∠OFG ？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题14分）已知函数()()e x f x x a x a =-++，设()()g x f x '=. （Ⅰ）求()g x 的极小值；（Ⅱ）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围. 21．（本小题14分）用[x ]表示一个小于或等于x 的最大整数.如：[2]=2，[4.1]=4，[-3.1]=-4.已知实数列Λ,,10a a 对于所有非负整数i 满足])[(][1i i i i a a a a -⋅=+，其中0a 是任意一个非零实数.(Ⅰ) 若6.20-=a ，写出a 1,a 2,a 3； (Ⅱ)若00>a ，求数列]}{[i a 的最小值；(Ⅲ)证明：存在非负整数k ，使得当k i ≥时，2+=i i a a .通州区高三年级一模考试数学试卷参考答案及评分标准 2020年4月一、选择题：（每小题4分，共40分.）二、填空题（每道小题5分，共25分）11．6 ； 12. 1；13．3； 14．8；15n-7；（第一空2分，第二空3分） 15．①②④ （答对一个给1分，答对两个给3分，全对给5分，出现一个错误不得分.）三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）解：选○1，△ABC 的面积2S >成立，理由如下:当3A =π时，2147cos 222c A c +-==⋅， …………… 4分所以2230c c --=，所以3c =， …………… 6分则△ABC 的面积11sin 23sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=…………… 10分2=>=， …………… 12分 所以2S >成立. ……………14分 选○2，△ABC 的面积2S >不成立，理由如下：当cos 7B =时，222cos 27a c b B ac +-==，…………… 4分27=整理得，230c -+=，所以c =…………… 6分 因2227,437a b c =+=+=， …………… 8分所以△ABC 是A 为直角的三角形， …………… 10分所以△ABC 的面积112222S bc ==⨯=<，…………… 12分 所以不成立. …………… 14分17. （本小题14分）解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80=400人，抽取的老年员工201407400⨯=人， 中年员工201809400⨯=人，青年员工20804400⨯=人 ……………… 4分（Ⅱ）X 的可取值为0,1,2 ……………… 5分23283(X=0)28C P C ==，11352815(X=1)28C C P C ==g ，252810(X=0)28C P C == ……………… 11分5(X)4E =. ……………… 14分18. （本小题15分）(Ⅰ)证明：在左图中，△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点所以BE ⊥AD ， ……………… 2分所以BE ⊥AE 因为90AEG ∠=o ，所以GE ⊥AE . ……………… 3分因为GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ∩BE =E所以⊥AE平面EBHG . ……………… 4分 (Ⅱ) 设菱形ABCD 的边长为2，由(Ⅰ)可知GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ⊥BE.所以以E 为原点，EA ,EB ,EG 所在直线分别为x ,y ,z 轴， 建立如图空间坐标系可得(1,0,0)A ，B ，(0,0,1)G ，H .……………… 6分=(1,0,1)AG -u u u r ，=(AH -u u u r设平面AGH 的法向量为),,(z y x n =所以 00n AG n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，即020x z x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 令x =1，则)1,33,1(-=n ………………8分 平面EBHG 的法向量为(1,0,0)EA =u u u r……………… 9分设二面角A -GH -B 的大小为)90(0<θθ721,cos |cos >=<=θ ……………… 11分 (Ⅲ) 由AF AB =λu u u r u u u r，则(1,0)F -λ所以)0,3,1(λλ-= ……………… 12分 因为//EF 平面AGH ，则 0=⋅ ……………… 13分 即120-λ= ……………… 14分所以21=λ ……………… 15分19. （本小题14分） 解：（Ⅰ）由题意得c e a =………………1分 b =1,又222a b c =+解得1a c == ……………… 4分所以椭圆方程为2212x y += ……………… 5分（Ⅱ）设00(,)M x y ，由题意及椭圆的对称性可知000(,)(1)N x y y --≠±……………… 6分 则直线AM 的方程为0011y y x x -=+ ……………… 7分 直线AN 的方程为0011y y x x +=+ ……………… 8分 则E 点坐标为00(,0)1x y -，F 点坐标为00(,0)1x y -+ ……………… 10分假设存在定点G （0，n ）使得∠OGE =∠OFG ，即tan ∠OGE =tan ∠OFG （也可以转化为斜率来求）……………… 11分 即OE OG OGOF=即2OG OE OF = ……………… 12分即220221x n y ==-所以n = ……………… 13分所以存在点G 坐标为(0,满足条件. ……………… 14分20. （本小题14分）解：（Ⅰ）()(1)1x f x x a e '=-++ ……………… 1分 由题意可知()(1)1x g x x a e =-++，所以()(2)x g x x a e '=-+ ……………… 2分 当2x a >-时()0g x '>，()g x 在(2,)a -+∞上单调递增；……………… 3分 当2x a <-时()0g x '<，()g x 在(,2)a -∞-上单调递减……………… 4分 所以()g x 在2x a =-处取得极小值，为2(2)1a g a e --=-+……………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得2()()1a f x g x e -'=≥-+当2a ≤时2()10a f x e -'≥-+>， ……………… 6分 所以()f x 在单调递增，所以()(0)0f x f >= ……………… 7分 即2a ≤时()0f x >在(0,)+∞恒成立. ……………… 8分当2a >时(0)(0)20f g a '==-<， ………………9分 又()()10a f a g a e '==+>， ……………… 10分 又由于()f x '在(2,)a -+∞上单调递增；在(0,2)a -上单调递减； 所以在(0,)a 上一定存在0x 使得0()0f x '=， ……………… 11分 所以()f x 在0(0,)x 递减，在0(,)x +∞递增，所以0()(0)0f x f <= ……………… 12分 所以在(0,)+∞存在0x ，使得0()0f x <， ……………… 13分 所以当2a >时，()0f x >在(0,)+∞上不恒成立所以a 的取值范围为(],2-∞. ………………14分21. （本小题14分）解：(Ⅰ) 2.11-=a 、6.12-=a 、8.03-=a . ……………… 3分4分 5分 9分11分分 令k =m ，满足当k i ≥时，2+=i i a a .综上，存在非负整数k ，使得当k i ≥时， 2+=i i a a .………………14分。
北京市通州区2020届高三数学上学期摸底(期末)考试试题
北京市通州区2020届高三数学上学期摸底（期末）考试试题2020年1月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =-<<，{}13B x x =-<<，则A B =A. {}23x x -<< B. {}11x x -<< C. {}13x x << D. {}21x x -<<-2.在复平面内，复数i1iz =+（其中i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 已知点A （2，a ）为抛物线24y x =图象上一点，点F 为抛物线的焦点，则AF 等于A.4B. 3C. D. 2 4. 若0x y >>，则下列各式中一定正确的是A.11x y > B. tan tan x y > C. 11()()22x y > D. ln ln x y > 5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为 A．俯视图C.6. 甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为A ． 24 B. 12 C. 8 D. 67. 对于向量a ，b ， “a a b =+”是“0b =”的A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8. 关于函数21`()(1)x f x x ax e-=+-有以下三个判断①函数恒有两个零点且两个零点之积为-1； ②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为-1； ③若2x =-是函数的一个极值点，则函数极小值为-1. 其中正确判断的个数有A ．0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量()3,2a →=-，()m b ,1=→，若()a a b →→→⊥-，则=m ___________.10. 在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1=2，且a 1，a 3，a 7依次成等比数列，那么数列{a n }的前n 项和n S 等于 .11.已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为，且两条渐近线互相垂直，则此双曲线的标准方程为 .12. 在ABC ∆中， 3a =，b =2B A ∠=∠，则cos B = .13.已知,,a b a m +均为大于0的实数，给出下列五个论断： ①a b >，②a b <，③0m >，④0m <，⑤b m ba m a+>+. 以其中的两个论断为条件，余下的论断中选择一个为结论，请你写出一个正确的命题 .14. 如图，某城市中心花园的边界是圆心为O ，直径为1千米的圆，花园一侧有一条直线型公路l ，花园中间有一条公路AB （AB 是圆O 的直径），规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA ．规划要求：道路PB ，QA 不穿过花园．已知OC l ⊥，BD l ⊥（C 、D 为垂足），测得OC =0.9，BD =1.2（单位：千米）．已知修建道路费用为m 元/千米.在规划要求下，修建道路总费用的最小值为 元.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）已知函数()2cos()sin 3πf x x x =-.（Ⅰ）求f (x )的最小正周期；（Ⅱ）求f (x )在区间π[0,]2上的最大值和最小值.16．（本小题13分）为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格. 良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表：(Ⅰ)从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；(Ⅱ)从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X ，求X 的分布列；(Ⅲ)设8所学校优秀比例的方差为S 12，良好及其以下比例之和的方差为S 22，比较S 12与S 22的大小.（只写出结果）17．（本小题14分）如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ， ∠SAD =∠DAB =900，SA =3，SB =5，4AB =，2BC =，1AD =. (Ⅰ)求证：AB ⊥平面SAD ；(Ⅱ) 求平面SCD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）点E ，F 分别为线段BC ，SB 上的一点，若平面AEF //平面SCD ，比例 学校 等级学校A 学校B 学校C 学校D 学校E 学校F 学校G 学校H 优秀 8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3% 良好 37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35% 及格 22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38% 不及格33%17%42%35%32%15%38%24%求三棱锥B -AEF 的体积.18．（本小题13分）已知椭圆C ：12222=+b y a x (0)a b >>的长轴长为4，离心率为22，点P 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）已知点M (4，0)，点N (0，n )，若以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点，求n 的取值范围．19. （本小题13分）已知函数x x x x f cos sin )(+=．（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点))0(0(f ，处的切线方程；（Ⅱ）求函数21()()4g x f x x =-零点的个数.20. （本小题14分）已知项数为*(,2)N m m m ∈≥的数列{}n a 满足如下条件：①*(1,2,,)n a N n m ∈=；②12m a a a <<<.若数列{}n b 满足*12()1m nn a a a a b N m +++-=∈-，其中1,2,,n m =，则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（Ⅰ）数列1,3,5,7,9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12m b b b >>>；（Ⅲ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且11a =，2049m a =，求m 的最大值.通州区2019—2020学年度第一学期高三年级期末考试 数学试卷参考答案及评分标准 2020年1月一、选择题：（每小题5分，共40分.）二、填空题（每道小题5分，共30分）9．5- ； 10．21322n n +；11．221x y -=； 12．13； 13．①③推出⑤（答案不唯一还可以①⑤推出③等）； 14．2.1三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）解：1()2cos()sin 2(cos )sin 32f x x x x x x π=-= 23)32sin()2cos 1(232sin 21+-=-+=πx x x ……………4分 （Ⅰ） f (x )的最小正周期T =2=2ππ ……………7分 （Ⅱ）因为π[0,]2x ∈，所以2π2[,]333x ππ-∈-， ……………9分所以当233x ππ-=-,即0x =时，f (x )取得最小值0； ……………11分当232x ππ-=，即512x π=时，f (x )1+. ……………13分16．（本小题13分）解：（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40% ， ……………1分 所以从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为12. ……………3分 （Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B 、F 、H 三所，所以X 的取值为0，1，2. ……………4分145)0(2825===C C X P 2851)1(281315===C C C X P 283)2(2823===C C X P 所以随机变量X 的分布列为……………10分（Ⅲ）S 12=S 22……………13分17．（Ⅰ）证明：在SAB 中，因为3,4,5SA AB SB ===， 所以AB SA ⊥. ………1分 又因为∠DAB =900所以AB AD ⊥， ……………2分 因为SAAD A =所以AB ⊥平面SAD . ……………4分 （Ⅱ）解：因为 SA ⊥AD ，AB SA ⊥，AB AD ⊥. 建立如图直角坐标系则A （0,0,0）B (0,4,0)， C （2,4,0），D （1,0,0），S (0,0,3). ……………5分 平面SAB 的法向量为(1,0,0)AD =. ……………6分 设平面SDC 的法向量为(,,)m x y z =所以有00m CD m SD ⎧=⎪⎨=⎪⎩即4030x y x z +=⎧⎨-=⎩， 令1x =所以平面SDC 的法向量为11(1,,)43m =- ……………8分所以12cos 13m SD m SDθ==. ……………9分 （Ⅲ）因为平面AEF //平面SCD ， 平面AEF平面ABCD=AE ，平面SCD 平面ABCD=CD ，所以AE CD ∥， 平面AEF平面SBC=EF ，平面SCD平面SBC=SC ，所以FE SC ∥ ……………11分 由AE CD ∥，AD //BC 得四边形AEDC 为平行四边形.所以E 为BC 中点. 又FE SC ∥，所以F 为SB 中点. ……………12分 所以F 到平面ABE 的距离为32， 又ABE 的面积为2，所以1B AEF F ABE V V --==. ……………14分18 （本小题13分）解：（Ⅰ）由椭圆的长轴长2a =4，得a =2又离心率22==a c e ，所以2=c 所以2222=-=c a b ．所以椭圆C 的方程为；12422=+y x ． ……………4分（Ⅱ）法一：设点)(00y x P ，，则1242020=+yx所以PN 的中点)22(00n y x Q +， ……………5分 )242(00n y x +-=，，)(00n y x -=，． ……………6分 因为以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点所以MQ ⊥NP ，则0=⋅ ……………7分即0))(2()42(0000=-++-n y n y x x ． ……………8分 又因为1242020=+y x ，所以02822020=-+-n x x所以]22[28200202，，-∈+-=x x xn . ……………10分 函数]22[282)(00200，，-∈+-=x x xx f 的值域为]2012[，- 所以2002≤≤n所以5252≤≤-n . ……………13分 法二：设点)(00y x P ，，则1242020=+yx ．设PN 的中点为Q因为以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点所以MQ 是线段PN 的垂直平分线 ……………7分 所以MN MP = 即2202016)4(n y x +=+- 所以2820202+-=x x n ． ……………10分 函数]22[282)(00200，，-∈+-=x x x x f 的值域为]2012[，- 所以2002≤≤n . 所以5252≤≤-n . ……………13分若有其他方法请酌情给分.19．（本小题13分）解：（Ⅰ）因为()cos f x x x '=， ……………1分 所以(0)0f '=. ……………2分 又因为(0)1f = ……………3分 所以曲线)(x f y =在点))0(0(f ，处的切线方程为1y =. ……………4分 （Ⅱ）因为21()()4g x f x x =-为偶函数，(0)1g = ……………5分 所以要求()g x 在R x ∈上零点个数，只需求()g x 在(0,)x ∈+∞上零点个数即可. ……………6分11()cos (cos )22g x x x x x x '=-=- 令()0g x '=，得23x k ππ=+，523x k ππ=+N k ∈ ……………7分 所以()g x 在(0,)3π单调递增，在5(,)33ππ单调递减，在57(,)33ππ单调递增， 在5(2,2)33k k ππππ++单调递减，在(2,2)33k k ππππ-+单调递增N k *∈……………8分 列表得：由上表可以看出()g x 在23x k ππ=+（N k ∈）处取得极大值，在523x k ππ=+（N k ∈）处取得极小值 ……………9分21()03236g ππ=+->；25125()03236g ππ=+-<. ……………10分 当k ∈*N 且1k ≥时221115(2)(2)(2)(20332243434g k k k k ππππππππ+=++-+=-++< （或21()14g x x x <+-，21(2)(2)1(2)03343g k k k ππππππ+<++-+<） ………11分 所以()g x 在(0,)x ∈+∞上只有一个零点. ………12分 函数21()()()4R g x f x x x =-∈零点的个数为2. ………13分20．（本小题14分）（Ⅰ）解：数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”. ……………1分 因为*41357979512b N ++++-==∉-， 所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”. ……………3分 （Ⅱ）证明：因为111n n n n a a b b m ++--=-，*11,n m n N ≤≤-∈ ……………4分又因为12m a a a <<<，所以有10n n a a +-< 所以1101n n n n a a b b m ++--=<- ……………5分 所以12m b b b >>> 成立 ……………6分（Ⅲ）∀1≤i <j ≤m ，都有1j ii j a a b b m --=-， ……………7分因为*i b N ∈，12m b b b >>>.所以*i j b b N -∈， 所以*1j ii j a a b b N m --=∈- ……………8分 所以*11204811m m a a b b N m m --==∈-- 因为*111n n n n a a b b N m ----=∈-， 所以11n n a a m --≥- ……………10分又112211()()()m m m m m a a a a a a a ----=-+-++-(1)(1)(1)m m m ≥-+-++-=2(1)m - ……………12分所以2(1)2048m -≤，所以46m ≤ ……………13分 又*20481N m ∈-，所以33m ≤例如：6463n a n =-（133n ≤≤），满足题意，所以， m 的最大值是33. …………14分。
北京市通州区2020届高三一模考试数学试题
通州区高三年级一模考试数学试卷2020年4月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}02A x x =<≤，{}13B x x =<<，则A B =IA. {}03x x << B . {}23x x << C . {}01x x <≤ D . {}12x x <≤2. 已知复数=i(2i)z + （i 是虚数单位），则z =A. 1 B . 2 C.D . 33. 函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．πＣ．2π Ｄ．4π4. 已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且(1)2f =，下列一定在函数()f x 图象上的点是A. （1，-2） B . （-1，-2） C . （-1，2） D . （2，1） 5. 已知a ，3，b ，9，c 成等比数列，且a >0，则33log log b c -等于 A. 1- B . 12- C . 12D . 16. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p =A.B . 2C .D . 47. 在6(2)1x x-的展开式中，常数项是A. -160 B . -20 C . 20 D . 1608．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(cos ,sin )A αα，(cos(),sin())33B ππαα++.则OA OB +=u u u r u u u rA.1 B .C . 2D . 与α有关9. 若a >0，b >0，则“ab ≥1”是 “a+b ≥2”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“(1,N )n a a n *>∈是几位数”，他以2(N )n n *∈为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如下表：试用该同学的研究结论判断504是几位数（参考数据lg20.3010≈） A. 101 B . 50 C . 31 D . 30第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知向量(1,2)=-a ，(3,)m =-b ，其中m ∈R ．若,a b 共线 ，则m 等于 ___________.12. 圆()1122=+-y x的圆心到直线10x +=的距离为 .13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 .14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？” ，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 {}n a ，则1a = ； n a = . （注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）15.给出下列四个函数，①21y x =+；②12y x x =+++；③21x y =+；④2cos y x x =+ 其中值域为[1)+∞，的函数的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题14分）已知△ABC，满足a =2b =， ，判断△ABC 的面积2S >是否成立？说明理由.从①3A =π ， ②cos 7B = 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并做答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17． （本小题14分）2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望.俯视图18. （本小题15分）如图，已知四边形ABCD 为菱形，且060=∠A ，取AD 中点为E .现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ，使得90AEG ∠=o . (Ⅰ)求证：⊥AE 平面EBHG ； (Ⅱ)求二面角A -GH -B 的余弦值；(Ⅲ)若点F 满足AB λAF =，当//EF 平面AGH 时，求λ的值.19．（本小题14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，点A (0，1)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过原点的直线（不与x 轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 、AN 与x 轴分别交于点E 、F ．问： y 轴上是否存在定点G ，使得∠OGE =∠OFG ？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题14分）已知函数()()e x f x x a x a =-++，设()()g x f x '=. （Ⅰ）求()g x 的极小值；（Ⅱ）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围. 21．（本小题14分）用[x ]表示一个小于或等于x 的最大整数.如：[2]=2，[4.1]=4，[-3.1]=-4.已知实数列Λ,,10a a 对于所有非负整数i 满足])[(][1i i i i a a a a -⋅=+，其中0a 是任意一个非零实数.(Ⅰ) 若6.20-=a ，写出a 1,a 2,a 3； (Ⅱ)若00>a ，求数列]}{[i a 的最小值；(Ⅲ)证明：存在非负整数k ，使得当k i ≥时，2+=i i a a .通州区高三年级一模考试数学试卷参考答案及评分标准 2020年4月一、选择题：（每小题4分，共40分.）二、填空题（每道小题5分，共25分）11．6 ； 12. 1；13．3； 14．8；15n-7；（第一空2分，第二空3分） 15．①②④ （答对一个给1分，答对两个给3分，全对给5分，出现一个错误不得分.）三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）解：选○1，△ABC 的面积2S >成立，理由如下:当3A =π时，2147cos 222c A c +-==⋅， …………… 4分所以2230c c --=，所以3c =， …………… 6分则△ABC 的面积11sin 23sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=分2=>=， …………… 12分 所以2S >成立. ……………14分 选○2，△ABC 的面积2S >不成立，理由如下：当cos B =时，222cos 2a c b B ac +-==…………… 4分27=整理得，230c -+=，所以c = …………… 6分因2227,437a b c =+=+=， …………… 8分所以△ABC 是A 为直角的三角形， …………… 10分所以△ABC 的面积112222S bc ==⨯=，…………… 12分 所以不成立. …………… 14分17. （本小题14分）解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80=400人，抽取的老年员工201407400⨯=人， 中年员工201809400⨯=人，青年员工20804400⨯=人 ……………… 4分（Ⅱ）X 的可取值为0,1,2 ……………… 5分23283(X=0)28C P C ==，11352815(X=1)28C C P C ==g ，252810(X=0)28C P C == ……………… 11分5(X)4E =. ……………… 14分18. （本小题15分）(Ⅰ)证明：在左图中，△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点 所以BE ⊥AD ， ……………… 2分所以BE ⊥AE 因为90AEG ∠=o ，所以GE ⊥AE . ……………… 3分因为GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ∩BE =E所以⊥AE 平面EBHG . ……………… 4分 (Ⅱ) 设菱形ABCD 的边长为2，由(Ⅰ)可知GE ⊥AE，BE ⊥AE ，GE ⊥BE.所以以E 为原点，EA ,EB ,EG 所在直线分别为x ,y ,z 轴， 建立如图空间坐标系可得(1,0,0)A ，B ，(0,0,1)G ，H .……………… 6分=(1,0,1)AG -u u u r ，=(AH -u u u r设平面AGH 的法向量为),,(z y x n =所以 00n AG n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，即020x z x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 令x =1，则)1,33,1(-=n ………………8分 平面EBHG 的法向量为(1,0,0)EA =u u u r……………… 9分设二面角A -GH -B 的大小为)90(0<θθ721,cos |cos >=<=θ ……………… 11分 (Ⅲ) 由AF AB =λu u u r u u u r，则(1,0)F -λ所以)0,3,1(λλ-= ……………… 12分 因为//EF 平面AGH ，则 0=⋅ ……………… 13分 即120-λ= ……………… 14分所以21=λ ……………… 15分19. （本小题14分） 解：（Ⅰ）由题意得c e a ==………………1分 b =1,又222a b c =+解得1a c == ……………… 4分所以椭圆方程为2212x y += ……………… 5分（Ⅱ）设00(,)M x y ，由题意及椭圆的对称性可知000(,)(1)N x y y --≠±……………… 6分 则直线AM 的方程为0011y y x x -=+ ……………… 7分 直线AN 的方程为0011y y x x +=+ ……………… 8分 则E 点坐标为00(,0)1x y -，F 点坐标为0(,0)1x y -+ ……………… 10分假设存在定点G （0，n ）使得∠OGE =∠OFG ，即tan ∠OGE =tan ∠OFG （也可以转化为斜率来求）……………… 11分 即OE OG OGOF=即2OG OE OF = ……………… 12分即220221x n y ==-所以n = ……………… 13分所以存在点G 坐标为(0,满足条件. ……………… 14分20. （本小题14分）解：（Ⅰ）()(1)1x f x x a e '=-++ ……………… 1分 由题意可知()(1)1x g x x a e =-++，所以()(2)x g x x a e '=-+ ……………… 2分 当2x a >-时()0g x '>，()g x 在(2,)a -+∞上单调递增；……………… 3分 当2x a <-时()0g x '<，()g x 在(,2)a -∞-上单调递减……………… 4分 所以()g x 在2x a =-处取得极小值，为2(2)1a g a e --=-+……………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得2()()1a f x g x e -'=≥-+当2a ≤时2()10a f x e -'≥-+>， ……………… 6分 所以()f x 在单调递增，所以()(0)0f x f >= ……………… 7分 即2a ≤时()0f x >在(0,)+∞恒成立. ……………… 8分当2a >时(0)(0)20f g a '==-<， ………………9分 又()()10a f a g a e '==+>， ……………… 10分 又由于()f x '在(2,)a -+∞上单调递增；在(0,2)a -上单调递减； 所以在(0,)a 上一定存在0x 使得0()0f x '=， ……………… 11分 所以()f x 在0(0,)x 递减，在0(,)x +∞递增，所以0()(0)0f x f <= ……………… 12分 所以在(0,)+∞存在0x ，使得0()0f x <， ……………… 13分 所以当2a >时，()0f x >在(0,)+∞上不恒成立所以a 的取值范围为(],2-∞. ………………14分21. （本小题14分）解：(Ⅰ) 2.11-=a 、6.12-=a 、8.03-=a . ……………… 3分分 分 分11分 令k =m ，满足当k i ≥时，2+=i i a a .综上，存在非负整数k ，使得当k i ≥时， 2+=i i a a .………………14分。
年北京通州区高三一模数学试卷详细版
、 ？若
【答案】（ 1 ）椭圆方程为： （ 2 ）存在点 坐标为
． ．
【解析】（ 1 ）由题意得
，
，
又
，
解得
，
，
所以椭圆方程为：
．
（ 2 ）设
，由题意及椭圆的对称性可知
，
则直线 的方程为：
，
直线 的方程为
两位数
两位数
三位数
三位数
三位数
四位数
试用该同学的研究结论判断
A.
B.
是几位数（参考数据 C.
）（ ）． D.
【答案】 C
【解析】 由表格可知 ， ，
此时 的位数为 位数，
，
，
此时 为两位数，
∴当
时，
∵
，
∴此时 为 位数．
均小于 ，
均大于 ，并小于 ， 大于 ，并小于 ，此时 为三位数，
，
二、填空题
https:///#/print?id=5ce359393cbd4e0e977545eafce8fe05&type=analyze
【解析】 选①，
的面积
成立，理由如下：
当
时，
，
所以
，所以
，
则
的面积
，
因为 所以 选②，
成立． 的面积
， 不成立，理由如下：
当
时，
，
即
，
整理得，
，所以
．
因
，
，
所以
是 为直角的三角形，
所以
的面积
，
所以不成立．
2020年北京市通州区高三一模数学试题
2020年北京市通州区高三一模数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知命题p ：x ∀∈R ，e 1>x ，那么命题p 的否定为（A ）0x ∃∈R ，0e 1x ≤（B ）x ∀∈R ，e 1<x （C ）0x ∃∈R ，0e 1x > （D ）x ∀∈R ，e 1≤x（2）设集合2{|340}Z A x x x =∈--≤，2{|e 1}x B x -=<，则A B I =（A ）{1,0,1,2}- （B ）[1,2)-（C ）{1,0,1}- （D ）[1,2]-（3）下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是（A ）3()2f x x =-+ （B ）12()log ||f x x =（C ）3()3=-f x x x （D ）()sin f x x =（4）已知2=a ，0.2log 0.3=b ，11tan 3π=c ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）<<c b a （B ）<<b a c（C ）<<c a b （D ）<<b c a（5）为了宣传今年9月即将举办的“第十八届中国西部博览会”（简称“西博会”），组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动. 在活动中，组委会对会议举办地参与活动的1565:岁市民进行随机抽样，各年龄段人数情况如下：组号 分组 各组人数 各组人数频率分布直方图 第1组[15,25) 10第2组[25,35) a 第3组[35,45) b 第4组[45,55) c 第5组 [55,65] d （A ）20，0.15 （B ）15，0.015 （C ）20，0.015 （D ）15，0.15（6）已知向量(2,23)=a ，若16=3⋅-a b ，则b 在a 上的投影是 （A ）34 （B ）34- （C ） 43 （D ）43- （7）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥中最长的棱的长度为（A ）5（B ） 3（C ）6（D ）23（8）已知△ABC ，则“sin cos A B =”是“△ABC 是直角三角形”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（9）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10,⋅⋅⋅构成的数列{}n a 的第n 项，则100a 的值为（A ）5049（B ）5050（C ）5051（D ）5101（10）关于函数2()(1)e x f x x ax =+-，有以下三个结论：。
北京市通州区2020届高三第一学期期末数学试题含答案
13.已知 a,b, a + m 均为大于 0 的实数，给出下列五个论断：
2
① a b ，② a b ，③ m 0 ，④ m 0 ，⑤ b + m b . a+m a
以其中的两个论断为条件，余下的论断中选择一个为结论，请你写出一个正确的命
b
=
(1,
m)
，若
→
a
⊥
→
(a−
→
b)
，则
m
=
___________.
10. 在公差不为零的等差数列{an}中，a1=2，且 a1，a3，a7 依次成等比数列，那么数列{an}
的前 n 项和 Sn 等于
.
11.已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为 ( 2, 0) ，且两条渐近线互相垂直，则此双曲线 的标准方程为 .
DC
l
A
O B
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题 13 分）
已知函数 f (x) = 2cos(x − π)sin x . 3
（Ⅰ）求 f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）求
f(x)在区间
[0,
π 2
]
上的最大值和最小值.
16．（本小题 13 分）为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区 8 所学校学生的 体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格. 良好及其以上的比例之和超 过 40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表：
2.在复平面内，复数 z = i （其中 i 是虚数单位）对应的点位于 1+ i
北京市通州区2020届高三数学一模试题【含答案】
北京市通州区2020届高三数学一模试题第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则{}02A x x =<≤{}13B x x =<<A B =A. B. C. D. {}03x x <<{}23x x <<{}01x x <≤{}12x x <≤2. 已知复数 （i 是虚数单位），则=i (2i)z +z =D. 33. 函数的最小正周期是（ ）()sin 2cos 2f x x x =+Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．π2π2π4π4. 已知为定义在R 上的奇函数，且，下列一定在函数图象上的点是()f x (1)2f =()f x A. （1，-2） B. （-1，-2） C. （-1，2） D. （2，1）5. 已知a ，3，b ，9，c 成等比数列，且a >0，则等于33log log b c -A. B. C. D. 1-12-1216. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则22(0)y px p =>2213x y -=p =B. C. 247. 在的展开式中，常数项是6(21x x-A. -160 B. -20 C. 20 D. 1608．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点，(cos ,sin )A αα.(cos(33B ππαα++则OA OB +=C. 2D. 与有关α9. 若a >0，b >0，则“ab ≥1”是 “a+b ≥2”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“是几位数”，他以(1,N )n a a n *>∈为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如下表：2(N )n n *∈2(0)n N n =>lg N 的位数N 12lg 2一位数22lg 4一位数32lg8一位数421lg1.6+两位数521lg3.2+两位数621lg 6.4+两位数722lg1.28+三位数822lg 2.56+三位数922lg5.12+三位数1023lg1.024+四位数试用该同学的研究结论判断是几位数（参考数据）504lg 20.3010≈A. 101 B. 50 C. 31 D. 30第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知向量，，其中．若共线，则m 等于(1,2)=-a (3,)m =-b m ∈R ,a b ___________.12. 圆的圆心到直线()1122=+-y x 10x +=13.14将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 ，则 ； . {}n a 1a =n a =（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）15.给出下列四个函数，①；②；③；④21y x =+12y x x =+++21x y =+2cos y x x =+其中值域为的函数的序号是 .[1)+∞，三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题14分）已知△ABC ，满足，， ，判断△ABC 的面积a =2b =是否成立？说明理由.2S >从① ， ② 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中3A =πcos B =的空格处并做答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17． （本小题14分）2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如下： 专项员工 人数子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人老员工402203中年员工821518青年员工120121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望.18. （本小题15分）如图，已知四边形ABCD 为菱形，且，取AD 中点为E .现将四边形EBCD 沿BE 折060=∠A 起至EBHG ，使得.90AEG ∠=o(Ⅰ)求证：平面；⊥AE EBHG (Ⅱ)求二面角A -GH -B 的余弦值；(Ⅲ)若点F 满足，当平面时，求的值.AB λAF =//EF AGH λ19．（本小题14分）已知椭圆C ：的离心率为，点A (0，1)在椭圆C 上．)0(12222>>=+b a by a x 22（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过原点的直线（不与x 轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 、AN 与x 轴分别交于点E 、F ．问： y 轴上是否存在定点G ，使得∠OGE =∠OFG ？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题14分）已知函数，设.()()e x f x x a x a =-++()()g x f x '=（Ⅰ）求的极小值；()g x （Ⅱ）若在上恒成立，求a 的取值范围.()0fx >(0,)+∞21．（本小题14分）用[x ]表示一个小于或等于x 的最大整数.如：[2]=2，[4.1]=4，[-3.1]=-4.已知实数列对于所有非负整数i 满足，其中是任意一个非零实数.,,10a a ])[(][1i i i i a a a a -⋅=+0a (Ⅰ) 若，写出a 1,a 2,a 3； 6.20-=a (Ⅱ)若，求数列的最小值；00>a ]}{[i a (Ⅲ)证明：存在非负整数k ，使得当时，.k i ≥2+=i ia a 通州区高三年级一模考试数学试卷答案及评分标准 2020年4月一、选择题：（每小题4分，共40分.）题号12345678910答案DCBBADABAC二、填空题（每道小题5分，共25分）11． ； 12. ；13； 14．8；15n-7；（第一空2分，第二空3分）61 15．①②④ （答对一个给1分，答对两个给3分，全对给5分，出现一个错误不得分.）三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）解：选，△ABC 的面积成立，理由如下:○12S >当时，， …………… 4分3A =π2147cos 222c A c +-==⋅所以，所以， …………… 6分2230cc --=3c =则△ABC 的面积分11sin 23sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=， …………… 12分2=>=所以成立. ……………14分2S > 选，△ABC的面积不成立，理由如下：○22S >当，…………… 4分cos B =222cos 2a cb B ac +-===整理得，，所以分230c -+=c =因， …………… 8分2227,437a b c =+=+=所以△ABC是A 为直角的三角形， …………… 10分所以△ABC 的面积，…………… 12分112222S bc ==⨯=<所以不成立. …………… 14分17. （本小题14分）解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80=400人，抽取的老年员工人，201407400⨯=中年员工人，201809400⨯=青年员工人 ……………… 4分20804400⨯=（Ⅱ）X 的可取值为0,1,2 ……………… 5分，， (11)23283(X=0)28C P C ==11352815(X=1)28C C P C == 252810(X=0)28C P C ==分所以的分布列为X 012P32815281028. ……………… 14分5(X)4E =18. （本小题15分）(Ⅰ)证明：在左图中，△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点 所以BE ⊥AD ， ……………… 2分所以BE ⊥AE因为，90AEG ∠=o所以GE ⊥AE . ……………… 3分因为GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ∩BE =E所以平面. ……………… 4分⊥AE EBHG (Ⅱ) 设菱形ABCD 的边长为2，由(Ⅰ)可知GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ⊥BE.所以以E 为原点，EA ,EB,EG 所在直线分别为x ,y ,z 轴，建立如图空间坐标系可得，，，.……………… 6分(1,0,0)AB (0,0,1)G H ，=(1,0,1)AG - =(AH -设平面AGH 的法向量为),,(z y x n = 所以 ，即.00n AG n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x z x z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 令x =1，则 ………………8分)1,33,1(-=n 平面EBHG 的法向量为 ……………… 9分(1,0,0)EA =设二面角A -GH -B 的大小为)90(0<θθ ……………… 11分721,cos |cos >=<=EA n θ(Ⅲ) 由，则AF AB =λ(1,0)F -λ所以 ……………… 12分)0,3,1(λλEF -=因为平面，则 ……………… 13分//EF AGH 0=⋅EF n 即 ……………… 14分120-λ=所以 ……………… 15分21=λ19. （本小题14分）解：（Ⅰ）由题意得………………1分c e a ==b =1,又222a bc =+解得 ……………… 4分1a c ==所以椭圆方程为 ……………… 5分2212x y +=（Ⅱ）设，由题意及椭圆的对称性可知……………… 6分00(,)M x y 000(,)(1)N x y y --≠±则直线AM 的方程为 ……………… 7分0011y y x x -=+直线AN 的方程为 ……………… 8分0011y y x x +=+则E 点坐标为，F 点坐标为 ……………… 10分00(,0)1x y -00(,0)1x y -+假设存在定点G （0，n ）使得∠OGE =∠OFG ，即tan∠OGE =tan∠OFG （也可以转化为斜率来求）……………… 11分即OE OG OGOF=即 ……………… 12分2OG OE OF =即 2202021x n y ==-所以 ……………… 13分n =所以存在点坐标为满足条件. ……………… 14分G (0,20. （本小题14分）解：（Ⅰ） ……………… 1分()(1)1x f x x a e '=-++由题意可知，()(1)1x g x x a e =-++所以 ……………… 2分()(2)x g x x a e '=-+当时，在上单调递增；……………… 3分2x a >-()0g x '>()g x (2,)a -+∞当时，在上单调递减……………… 4分2x a <-()0g x '<()g x (,2)a -∞-所以在处取得极小值，为……………… 5分()g x 2x a =-2(2)1a g a e --=-+（Ⅱ）由（Ⅰ）得2()()1a f x g x e -'=≥-+当时， ……………… 6分2a ≤2()10a f x e -'≥-+>所以在单调递增，所以 ……………… 7分()f x ()(0)0f x f >=即时在恒成立. ……………… 8分2a ≤()0f x >(0,)+∞当时， ………………9分2a >(0)(0)20f g a '==-<又， ……………… 10分()()10a f a g a e '==+>又由于在上单调递增；在上单调递减；()f x '(2,)a -+∞(0,2)a -所以在上一定存在使得， ……………… 11分(0,)a 0x 0()0f x '=所以在递减，在递增，()f x 0(0,)x 0(,)x +∞所以 ……………… 12分0()(0)0f x f <=所以在存在，使得， ……………… 13分(0,)+∞0x 0()0f x <所以当时，在上不恒成立2a >()0f x >(0,)+∞所以a 的取值范围为. ………………14分(],2-∞21. （本小题14分）解：(Ⅰ) 、、. ……………… 3分2.11-=a 6.12-=a 8.03-=a分 分分分则 ……………… 13分,,2,4,1,1,3,m i m a i m m m a a i m m =++⎧=⎨--=++⎩L L 令k =m ，满足当时，.k i ≥2+=i i a a 综上，存在非负整数k ，使得当时， .………………14分k i ≥2+=i i a a。
2020年通州高三一模数学试题及答案
精品文档，欢迎下载！精品文档，欢迎下载！通州区高三年级一模考试数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择成本大题共10小履，每小题4分，共40分.在毎小題列出的四个选項中,只有一项是符合题目要求的.1.己知集合A={x^)<x<2\.8={・印<xv3},则AC\B^3.函数/（x ）=sin2x +co"x 的最小正周期是（Cl 知/（》）为定义在R 上的奇函数.且/⑴=2.卜列一定在的数/（对图篆上的点是C-I D1己知抛物线尸=2四（p>0）的焦点与袱曲线;-f =i 的右焦点重合，购’在(2x--)6的展开式中•常数项是x A.-160B.-20C 20D.1608.在平面直角坐标系中，。
为坐标原点,已知两点/Kcosa.sino ）,8（cos （”+；）,sin （”+A.{x|O<x<3*B.}.v|2<x<3jC.[.v|()<x<l2.己知复数Z =I (2+I )〈i 是虚数单位），则目A.1B.2C.D.3C.InD.4JT4.A.(I.-2)R (・1,-2) C.(-1 D.(2.I)5.12知〃，3,b.9.c 成等比数列,且〃X ）,JW—gJ-lo&c 等于A.6.A.V2B.2C 2>/2D.47.9.若。
>0.3>0.贝广泌31”是5+632”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某同学在数学探究活动中确定研究主题是TWfN）是几位数”,他以试用该同学的研究结论判断是几位故（参考数据A.101B.50 C.31D.30第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.己知向量"=（L 一2）,b=（-3.m）,其中w G R .若〃题共线.则小等于__________________12.圆（X-。
北京市通州区2020届高三上学期期中考试数学试题 Word版含解析
通州区高三年级期中考试数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2,1,0,1,2M =--,{}220N x x x =+-<,则M ∩N ＝（ ）A. {-2，-1，0，1}B. {-1，0，1}C. {-1，0}D. {0，1}【答案】C 【解析】 【分析】先计算集合N ，再计算M N ⋂得到答案.【详解】{}{}220=21N x x x x x =+-<-<<，{}2,1,0,1,2M =--则{}1,0M N ⋂=- 故选：C【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题型. 2.等比数列{}n a 中，141,8.a a ==则n a =（ ）． A. 12n - B. 2n C. 12n + D. 22n +【答案】A 【解析】 【分析】直接利用等比数列公式计算得到答案.【详解】等比数列{}n a 中，31411,82a a a q q ===\=，12n n a -=故选：A【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题型. 3.下列函数中为偶函数且在(0,)+∞上为增函数的是（ ） A. 1y x=B. lg y x =C. cos y x =D. 2x y =【答案】B 【解析】 【分析】依次判断每个选项的奇偶性和单调性，判断得到答案. 【详解】A. 1y x=，是奇函数，排除；B. lg y x =，是偶函数，0x >时，lg y x =，单调递增，正确；C. cos y x =，偶函数，0x >时，是周期函数，排除；D. 2x y =，非奇非偶函数，排除； 故选：B【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，记忆常规函数的奇偶性和单调性是解题的关键. 4.“sin20α>”是“tan 0α>”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据角度的范围依次判断充分性和必要性，判断得到答案. 【详解】sin 20222tan 02k k k k παπαπππαπα>∴<<+∴<<+∴>，充分性；tan 0222k k παπαπ>∴<<+或3222k k πππαπ+<<+222k k παππ∴<<+或42243k k ππαππ+<<+，故sin20α>，必要性.故选：C【点睛】本题考查了充分必要条件，意在考查学生的推断能力.5.直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，如果直线l 与曲线2y x =相切，那么b 等于（ ） A. 14-B. 12-C.14D.12【答案】A 【解析】 【分析】先表示出直线方程为y x b =+，求导计算切点为11(,)24，代入直线方程得到答案. 【详解】直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，则直线方程为：y x b =+直线l 与曲线2y x =相切，1'212y x x ==\=，切点为11(,)24代入直线方程 解得：14b =- 故选：A【点睛】本题考查了切线问题，也可以联立方程利用0∆=计算答案. 6.在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若4A π=，5a =，2b =则∆ABC的面积等于（ ） A.12或32B.12C.22D.32【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理得到3c =，代入面积公式计算得到答案.【详解】利用余弦定理得到：22222cos 5223a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=或1c =-（舍去）13sin 22ABC S bc A ∆==故选：D【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，意在考查学生的计算能力.7.设函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩若方程()0f x k -=有且只有一个根，则实数k 的取值范围是（ ） A. (0,2) B. (2,)+∞C. [2,)+∞D. [0,2]【答案】B 【解析】 【分析】方程()0f x k-=有且只有一个根，等价于()f x k=图像有一个交点，画出函数图像得到答案.【详解】22,1,()log,1,x xf xx x⎧≤=⎨>⎩方程()0f x k-=有且只有一个根，等价于()f x k=图像有一个交点.画出函数图像：根据图像知：2k>故选：B【点睛】本题考查了方程的解的问题，转化为函数的图像的交点是解题的关键.8.2014年6月22日，卡塔尔首都多哈召开的第38届世界遗产大会上宣布:中国大运河项目成功入选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目.随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的的.今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头.已知游船在顺水中的速度为1v，在逆水中的速度为2v（12v v≠），则游船此次行程的平均速度v与122v v+的大小关系是（）A. 122v vv+> B. 122v vv+= C. 122v vv+< D.122v vv+≥【答案】C【解析】【分析】先计算平均速度12122v vvv v=+，再计算()12122122vvv vvv v---+=<+得到答案.【详解】设两码头距离为S ，则12121222v v S v S S v v v v ==++()()()()1221212121221212121212420(222)2v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v -----=<≠++++++==即122v vv +<故选：C【点睛】本题考查了不等式的应用，意在考查学生的应用能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知2ii ia b -+=(i 为虚数单位，,R a b ∈)，则a b +=_____． 【答案】3-； 【解析】 【分析】化简复数得到,a b ，再计算+a b 得到答案. 【详解】2ii 121,23ia b i a b a b -+==--∴=-=-∴+=- 故答案为：3-【点睛】本题考查了复数的计算，属于基础题型.10.已知2log 7a =，32b -=，323c =，则三个数的大小关系是__________． 【答案】c >a >b ； 【解析】 【分析】依次判断三个数与1和3 的大小关系，判断得到答案. 【详解】2221log log 7log 283a =<=<=；30221b -=<=；312333c =>=故答案为：c a b >>【点睛】本题考查了数的大小比较，意在考查学生对于函数单调性的应用能力.11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1122S =，71a =，则数列{}n a 的公差等于____. 【答案】1-； 【解析】 【分析】根据1122S =计算得到574a a +=，再计算53a =得到答案. 【详解】()11111111571122442a a S aa a a +⨯==∴+=∴+=57131a a d =∴=∴=-故答案为：1-【点睛】本题考查了等差数列的公差，也可以根据数列公式联立方程组解得答案. 12.定义在R 上的函数()f x ，给出下列三个论断： ①()f x 在R 上单调递增；②1x >；③()(1)f x f >.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：________. 【答案】①②推出③； 【解析】 【分析】写出答案，再根据函数单调性得到证明. 【详解】①②推出③；证明：()f x 在R 单调递增且当1x >时，有()(1)f x f >，得证. 故答案为：①②推出③【点睛】本题考查了利用函数单调性判断命题，意在考查学生的推断能力.13.若函数()cos sin f x a x x =+在区间ππ(,)64上单调递减，则实数a 的取值范围是___. 【答案】3a ≥【解析】 【分析】求导根据函数单调递减得到cos sin x a x ≤恒成立，计算函数cos ()sin xg x x=3到答案.【详解】()cos sin '()sin cos 0f x a x x f x a x x =+∴=-+≤在ππ(,)64恒成立 即cos sin x a x ≤恒成立，cos ()sin xg x x=在ππ(,)643，即3a ≥故答案为：3a ≥【点睛】本题考查了函数的单调性，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.14.设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，若1k A -∉，且1k A +∉，则称k 是A 的一个“孤立元”．集合{}1235T =,,,元素中T 的“孤立元”是_____；对给定集合{}123456S =,,,,,，由S 中的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合有____个【答案】 (1). 5 (2). 16. 【解析】 【分析】（1）依次判断每个元素是否为孤立元得到答案.（2）3个元素构成的所有集合为3620C =个，排除不满足的情况得到答案.【详解】（1）依次判断每个元素是否为孤立元：对于1，2A ∈，不是孤立元；对于2，1,3A A ∈∈，不是孤立元；对于3，2A ∈，不是孤立元；对于5，4,6A A ∉∉，是孤立元； 故答案为：5（2）3个元素构成的所有集合为3620C =个不含孤立元的集合有{}1,2,3，{}2,3,4，{}3,4,5{}4,5,64个 故含“孤立元”的集合有16个 故答案为：16【点睛】本题考查了集合的新定义问题，集合个数问题，意在考查学生的应用能力.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.已知函数()23sin 22cos 1f x x x +-．（1）求512f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调增区间．【答案】（1）0（2）最小正周期π，()f x 的单调增区间为ππ[π,π+]()36k k k Z -∈ 【解析】 【分析】（1）直接代入数据计算得到答案.（2）化简得到()2sin(2)6f x x π=+，再计算周期和单调增区间. 【详解】（1）()23sin 22cos 1f x x x =+-25553)2cos ()1121212f πππ⎛⎫=⨯+- ⎪⎝⎭553)cos(2)1212ππ=⨯+⨯553sin()cos()66ππ=+0= （2）()2322cos 132cos 2sin(2)62f x x x x x x π==++-=+ 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==. 令ππ2π22π+262k x k π-≤+≤，解得ππππ+()36k x k k Z -≤≤∈ 所以()f x 的单调增区间为ππ[π,π+]()36k k k Z -∈【点睛】本题考查了三角函数求值，三角函数的周期和单调区间，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用.16.在ABC ∆中，60B ∠=︒，1cos 7C =，7AC =，D 是AB 边的中点. （1）求AB 的长； （2）求CD 的长.【答案】（1）8（221 【解析】 【分析】（1）先计算43sin C =.（2）先计算11cos 14A =，再利用余弦定理得到答案. 【详解】（1）1cos 7C =则143sin 149C =-=由正弦定理得到：sin sin AC AB B C = 解得：AB 437783= （2）1311cos cos()cos(60)cos 214A B C C C C =-+=-︒+=-+=因D 是AB 中点，则4=AD ，在ADC ∆中，由余弦定理得：22222112cos 742742114CD AC AD AC AD A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯= 解得：CD 21【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.17.已知数列{}n a 的前6项依次成等比数列，设公比为q （1q ≠），数列从第5项开始各项依次为等差数列，其中474a a ==-，数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）求公比q 及数列{}n a 的通项公式； （2）若0n S ≥，求项数n 的取值范围.【答案】（1）12q =-，1132(),42317,5n n n a n n -⎧⋅-≤⎪=⎨⎪-+≥⎩（2）9n ≤，n *∈N 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为q ，2564,4a q a q =-⋅=-⋅，代入474a a ==-，解得1q =，再讨论4n ≤和5n ≥两种情况得到答案.（2）先计算数列前4项的和为20，构造数列{}m b ，前m 项和23722m T m m =-+计算不等式得到答案.【详解】(1)设等比数列的公比为q ，则2564,4a q a q =-⋅=-⋅∵从第5项开始各项依次为等差数列，∴5762a a a+=∵74a=-，∴2210q q--=，解得1q=或12q=-∵数列{}n a为非常数列，∴12q=-当4n≤时，1132()2nna-=⋅-当5n≥时，562,1a a==-，∴2(5)(3)317na n n=+-⋅-=-+综上所述，1132(),42317,5nnnan n-⎧⋅-≤⎪=⎨⎪-+≥⎩(2)易知数列前4项的和为20，从第5项开始为等差数列，当5n≥时，数列为2，-1，-4，-7，可令数列{}m b为2，-1，-4，-7，数列{}m b的前m项和23722mT m m=-+，依题意，23720022m m-++≥，∴05m<≤综上所述：9n≤，n*∈N【点睛】本题考查了数列的通项公式，先N项和，意在考查学生对于数列公式和方法的掌握情况.18.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA AB=，点E，F为PC，P A的中点．（1）求证：平面BDE⊥平面ABCD；（2）二面角E—BD—F的大小；（3）设点M在PB(端点除外)上,试判断CM与平面BDF是否平行，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）4π（3）CM与平面BDF不平行，详见解析【解析】 【分析】（1）连接AC 与BD ，设交点为O ，连接FO ，证明EO ⊥平面ABC D ，得到答案. （2）以O 为原点，以OB ，OC ，OE 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，计算坐标得到平面的法向量，计算夹角得到答案.（3）假设存在，设(01)PM PB λλ=<<u u u u r u u u r，计算得到cos ,0m CM 〈〉≠u r u u u u r ，所以不存在.【详解】（1）证明：连接AC 与BD ，设交点为O ，连接FO ， 由已知E ，O 分别为PC ，AC 中点，可得EO //P A , 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥平面ABCD ，EO ⊂平面BDE 所以平面BDE ⊥平面ABCD .（2）以O 为原点，以OB ，OC ，OE 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系设AB =a ，因为底面ABCD 为菱形，且∠ABC =60°，PA AB =，则AC =a ，3BO =(0,0,0)O ，(0,,0)2a A -，3(,0,0)B ，(0,,0)2a C ，3(,0,0)D ，(0,0,)2a E ，(0,,)22a a F - 则3(,,)22a aFB =-u u u r ，(3,0,0)DB a =u u u r . 设平面BFD 的法向量为(,,)m x y z =u r，则有00m DB m FB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即303022ax a a y z =+-=，即0x y z =⎧⎨=⎩ 令1y =，则(0,1,1)m =u r又由（1）可知(0,,0)2aOC =u u u r 为平面BDE 的法向量，2cos ,2m OC m OC m OC⋅〈〉==u r u u u r u r u u u r u r u u u r所以二面角E —BD —F 的大小为4π（3）因为点M 在PB (端点除外)上，设(01)PM PB λλ=<<u u u u r u u u r，则(0,,)2a P a -，3(,,)22a a M a a a λλ--，3(,,)2aCM a a a a λλ--u u u u r2cos ,0a m CM m CM m CM m CMλ⋅〈〉==≠u r u u u u r u r u u u u ru r u u u u r u r u u u u r所以CM 与平面BDF 不平行.【点睛】本题考查了面面垂直，二面角和线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19.设函数32()(1)f x x b x bx =-++． （1）当b =0时，求函数()f x 的极小值；（2）若已知b >1且函数()f x 与直线y =-x 相切，求b 的值；（3）在（2）的条件下，函数()f x 与直线y =-x +m 有三个公共点，求m 的取值范围.(直接写出答案) 【答案】（1）427-（2）b =3（3）32027m <<【解析】 【分析】（1）求导得到函数的单调区间，再计算极小值.（2）设切点是(00,x y )，求导，根据条件得到()200000320000()3221(1)f x x b x b y x y x b x bx⎧=-++=-⎪=-⎨=-++'⎪⎩计算得到答案. （3）化简得到3244m x x x =-+，设32()44g x x x x =-+，画出函数图象得到答案. 【详解】（1）当b =0时，32()f x x x =-则2()32f x x x ='-，由()0f x '=得1220,3x x ==， 当0x <或23x >时，()0f x '>；当203x <<时，()0f x '<，则当23x =时，f (x )取得极小值32222433327f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）因322()f x x bx x bx =--+，则2()322f x x b x b =-+'+（） 设函数()f x 与直线y =-x 相切的切点是(00,x y )， 因为(0)1f b '=>，所以00x ≠，所以有()200000320000()3221(1)f x x b x by xy x b x bx⎧=-++=-⎪=-⎨=-++'⎪⎩又()2003221x b x b-++=-，相减得()200210x b x-+=，所以12bx+=，所以111(1)22b bb++⎛⎫-=--⎪⎝⎭，解得b=3.（3）3232()4344f x x x x x m m x x x=-+=-+∴=-+设32()44g x x x x=-+，2'()384(32)(2)g x x x x x=-+=--()g x在2(0,)(2,)3⋃+∞上单调递增；在2(,2)3单调递减.极大值232()327g=，极小值(2)0=g，画出函数图象：根据图象得到答案：3227m<<.【点睛】本题考查了函数的单调性，切线问题，零点，意在考查学生的计算能力和转化能力.20.已知函数()lnf x x a x=-(0)a>.（1）求函数()f x的单调区间；（2）求函数21()()2g x x ax f x=--的零点个数；（3）当1a=时，求证不等式1()xf xx-≤解集为空集.【答案】（1）()f x的单调增区间为(,)a+∞，单调减区间为(0,)a（2）()g x在(0,)+∞上只有一个零点（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到()1a x a f x x x-'=-=，计算得到答案. （2）求导得到()(1)()x a x g x x--'=，分类讨论1a >，1a =和01a <<三种情况得到答案.（3）原题等价于1()ln 10h x x x x=+-->恒成立，求导得到函数的单调区间，计算最小值51(0h +>得到证明. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞.()1a x af x x x-'=-=令()0f x '=，得x a =当x a >时，有()0f x '>，所以()f x 在(,)a +∞上单调递增. 当0x a <<时，有()0f x '<，所以()f x (0,)a 上单调递减.综上所述：()f x 的单调增区间为(,)a +∞，单调减区间为(0,)a（2）函数21()ln 2g x x ax x a x =--+，()(1)()x a x g x x --'=令()(1)()0x a x g x x --'==，解得12,1x a x == 1(1)--02g a =<，,()x g x →+∞→+∞当1a >时，()g x 在(1,)a 上递减，有(1)()g g a >.所以()0g a <. 所以()g x 有一个零点.当1a =时，()g x 在(0,)+∞上递增，所以()g x 有一个零点.当01a <<时，()g x 在(0,)a 上递增，在(,1)a 上递减，在(1,)+∞上递增.此时21()ln 02g a a a a a =--+<，所以()g x 有一个零点.综上所述：()g x 在(0,)+∞上只有一个零点. （3）当1a =时，不等式1()x f x x -≤解集为空集,等价于1()x f x x->在定义域内恒成立. 即1()0x f x x-->在定义域内恒成立.令11()()ln 1x h x f x x x x x-=-=+--. 222111()1x x h x x x x --'=--=，令()0h x '=，得51x += 列表得x51(0,)2+ 512+ 51(,)2++∞ ()h x ' — 0+()h x递减 最小值 递增5151()51ln 22h =-因为512e <，所以51ln12<. 511>，所以51()02h > 所以1()()0x h x f x x -=->恒成立.所以不等式1()x f x x-≤解集为空集 【点睛】本题考查了单调区间，零点个数，不等式恒成立，将不等式恒成立问题通过构造转化为函数的最值问题是解题的关键.。
北京市通州区2020届高三上学期期中考试数学试题 Word版含解析
通州区高三年级期中考试数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2,1,0,1,2M =--,{}220N x x x =+-<,则M ∩N ＝（ ）A. {-2，-1，0，1}B. {-1，0，1}C. {-1，0}D. {0，1}【答案】C 【解析】 【分析】先计算集合N ，再计算M N ⋂得到答案.【详解】{}{}220=21N x x x x x =+-<-<<，{}2,1,0,1,2M =--则{}1,0M N ⋂=- 故选：C【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题型. 2.等比数列{}n a 中，141,8.a a ==则n a =（ ）． A. 12n - B. 2n C. 12n + D. 22n +【答案】A 【解析】 【分析】直接利用等比数列公式计算得到答案.【详解】等比数列{}n a 中，31411,82a a a q q ===\=，12n n a -=故选：A【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题型. 3.下列函数中为偶函数且在(0,)+∞上为增函数的是（ ） A. 1y x=B. lg y x =C. cos y x =D. 2x y =【答案】B 【解析】 【分析】依次判断每个选项的奇偶性和单调性，判断得到答案. 【详解】A. 1y x=，是奇函数，排除；B. lg y x =，是偶函数，0x >时，lg y x =，单调递增，正确；C. cos y x =，偶函数，0x >时，是周期函数，排除；D. 2x y =，非奇非偶函数，排除； 故选：B【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，记忆常规函数的奇偶性和单调性是解题的关键. 4.“sin20α>”是“tan 0α>”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据角度的范围依次判断充分性和必要性，判断得到答案. 【详解】sin 20222tan 02k k k k παπαπππαπα>∴<<+∴<<+∴>，充分性；tan 0222k k παπαπ>∴<<+或3222k k πππαπ+<<+222k k παππ∴<<+或42243k k ππαππ+<<+，故sin20α>，必要性.故选：C【点睛】本题考查了充分必要条件，意在考查学生的推断能力.5.直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，如果直线l 与曲线2y x =相切，那么b 等于（ ） A. 14-B. 12-C.14D.12【答案】A 【解析】 【分析】先表示出直线方程为y x b =+，求导计算切点为11(,)24，代入直线方程得到答案. 【详解】直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，则直线方程为：y x b =+直线l 与曲线2y x =相切，1'212y x x ==\=，切点为11(,)24代入直线方程 解得：14b =- 故选：A【点睛】本题考查了切线问题，也可以联立方程利用0∆=计算答案. 6.在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若4A π=，5a =，2b =则∆ABC的面积等于（ ） A.12或32B.12C.22D.32【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理得到3c =，代入面积公式计算得到答案.【详解】利用余弦定理得到：22222cos 5223a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=或1c =-（舍去）13sin 22ABC S bc A ∆==故选：D【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，意在考查学生的计算能力.7.设函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩若方程()0f x k -=有且只有一个根，则实数k 的取值范围是（ ） A. (0,2) B. (2,)+∞C. [2,)+∞D. [0,2]【答案】B 【解析】 【分析】方程()0f x k-=有且只有一个根，等价于()f x k=图像有一个交点，画出函数图像得到答案.【详解】22,1,()log,1,x xf xx x⎧≤=⎨>⎩方程()0f x k-=有且只有一个根，等价于()f x k=图像有一个交点.画出函数图像：根据图像知：2k>故选：B【点睛】本题考查了方程的解的问题，转化为函数的图像的交点是解题的关键.8.2014年6月22日，卡塔尔首都多哈召开的第38届世界遗产大会上宣布:中国大运河项目成功入选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目.随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的的.今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头.已知游船在顺水中的速度为1v，在逆水中的速度为2v（12v v≠），则游船此次行程的平均速度v与122v v+的大小关系是（）A. 122v vv+> B. 122v vv+= C. 122v vv+< D.122v vv+≥【答案】C【解析】【分析】先计算平均速度12122v vvv v=+，再计算()12122122vvv vvv v---+=<+得到答案.【详解】设两码头距离为S ，则12121222v v S v S S v v v v ==++()()()()1221212121221212121212420(222)2v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v -----=<≠++++++==即122v vv +<故选：C【点睛】本题考查了不等式的应用，意在考查学生的应用能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知2ii ia b -+=(i 为虚数单位，,R a b ∈)，则a b +=_____． 【答案】3-； 【解析】 【分析】化简复数得到,a b ，再计算+a b 得到答案. 【详解】2ii 121,23ia b i a b a b -+==--∴=-=-∴+=- 故答案为：3-【点睛】本题考查了复数的计算，属于基础题型.10.已知2log 7a =，32b -=，323c =，则三个数的大小关系是__________． 【答案】c >a >b ； 【解析】 【分析】依次判断三个数与1和3 的大小关系，判断得到答案. 【详解】2221log log 7log 283a =<=<=；30221b -=<=；312333c =>=故答案为：c a b >>【点睛】本题考查了数的大小比较，意在考查学生对于函数单调性的应用能力.11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1122S =，71a =，则数列{}n a 的公差等于____. 【答案】1-； 【解析】 【分析】根据1122S =计算得到574a a +=，再计算53a =得到答案. 【详解】()11111111571122442a a S aa a a +⨯==∴+=∴+=57131a a d =∴=∴=-故答案为：1-【点睛】本题考查了等差数列的公差，也可以根据数列公式联立方程组解得答案. 12.定义在R 上的函数()f x ，给出下列三个论断： ①()f x 在R 上单调递增；②1x >；③()(1)f x f >.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：________. 【答案】①②推出③； 【解析】 【分析】写出答案，再根据函数单调性得到证明. 【详解】①②推出③；证明：()f x 在R 单调递增且当1x >时，有()(1)f x f >，得证. 故答案为：①②推出③【点睛】本题考查了利用函数单调性判断命题，意在考查学生的推断能力.13.若函数()cos sin f x a x x =+在区间ππ(,)64上单调递减，则实数a 的取值范围是___. 【答案】3a ≥【解析】 【分析】求导根据函数单调递减得到cos sin x a x ≤恒成立，计算函数cos ()sin xg x x=3到答案.【详解】()cos sin '()sin cos 0f x a x x f x a x x =+∴=-+≤在ππ(,)64恒成立 即cos sin x a x ≤恒成立，cos ()sin xg x x=在ππ(,)643，即3a ≥故答案为：3a ≥【点睛】本题考查了函数的单调性，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.14.设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，若1k A -∉，且1k A +∉，则称k 是A 的一个“孤立元”．集合{}1235T =,,,元素中T 的“孤立元”是_____；对给定集合{}123456S =,,,,,，由S 中的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合有____个【答案】 (1). 5 (2). 16. 【解析】 【分析】（1）依次判断每个元素是否为孤立元得到答案.（2）3个元素构成的所有集合为3620C =个，排除不满足的情况得到答案.【详解】（1）依次判断每个元素是否为孤立元：对于1，2A ∈，不是孤立元；对于2，1,3A A ∈∈，不是孤立元；对于3，2A ∈，不是孤立元；对于5，4,6A A ∉∉，是孤立元； 故答案为：5（2）3个元素构成的所有集合为3620C =个不含孤立元的集合有{}1,2,3，{}2,3,4，{}3,4,5{}4,5,64个 故含“孤立元”的集合有16个 故答案为：16【点睛】本题考查了集合的新定义问题，集合个数问题，意在考查学生的应用能力.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.已知函数()23sin 22cos 1f x x x +-．（1）求512f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调增区间．【答案】（1）0（2）最小正周期π，()f x 的单调增区间为ππ[π,π+]()36k k k Z -∈ 【解析】 【分析】（1）直接代入数据计算得到答案.（2）化简得到()2sin(2)6f x x π=+，再计算周期和单调增区间. 【详解】（1）()23sin 22cos 1f x x x =+-25553)2cos ()1121212f πππ⎛⎫=⨯+- ⎪⎝⎭553)cos(2)1212ππ=⨯+⨯553sin()cos()66ππ=+0= （2）()2322cos 132cos 2sin(2)62f x x x x x x π==++-=+ 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==. 令ππ2π22π+262k x k π-≤+≤，解得ππππ+()36k x k k Z -≤≤∈ 所以()f x 的单调增区间为ππ[π,π+]()36k k k Z -∈【点睛】本题考查了三角函数求值，三角函数的周期和单调区间，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用.16.在ABC ∆中，60B ∠=︒，1cos 7C =，7AC =，D 是AB 边的中点. （1）求AB 的长； （2）求CD 的长.【答案】（1）8（221 【解析】 【分析】（1）先计算43sin C =.（2）先计算11cos 14A =，再利用余弦定理得到答案. 【详解】（1）1cos 7C =则143sin 149C =-=由正弦定理得到：sin sin AC AB B C = 解得：AB 437783= （2）1311cos cos()cos(60)cos 214A B C C C C =-+=-︒+=-+=因D 是AB 中点，则4=AD ，在ADC ∆中，由余弦定理得：22222112cos 742742114CD AC AD AC AD A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯= 解得：CD 21【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.17.已知数列{}n a 的前6项依次成等比数列，设公比为q （1q ≠），数列从第5项开始各项依次为等差数列，其中474a a ==-，数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）求公比q 及数列{}n a 的通项公式； （2）若0n S ≥，求项数n 的取值范围.【答案】（1）12q =-，1132(),42317,5n n n a n n -⎧⋅-≤⎪=⎨⎪-+≥⎩（2）9n ≤，n *∈N 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为q ，2564,4a q a q =-⋅=-⋅，代入474a a ==-，解得1q =，再讨论4n ≤和5n ≥两种情况得到答案.（2）先计算数列前4项的和为20，构造数列{}m b ，前m 项和23722m T m m =-+计算不等式得到答案.【详解】(1)设等比数列的公比为q ，则2564,4a q a q =-⋅=-⋅∵从第5项开始各项依次为等差数列，∴5762a a a+=∵74a=-，∴2210q q--=，解得1q=或12q=-∵数列{}n a为非常数列，∴12q=-当4n≤时，1132()2nna-=⋅-当5n≥时，562,1a a==-，∴2(5)(3)317na n n=+-⋅-=-+综上所述，1132(),42317,5nnnan n-⎧⋅-≤⎪=⎨⎪-+≥⎩(2)易知数列前4项的和为20，从第5项开始为等差数列，当5n≥时，数列为2，-1，-4，-7，可令数列{}m b为2，-1，-4，-7，数列{}m b的前m项和23722mT m m=-+，依题意，23720022m m-++≥，∴05m<≤综上所述：9n≤，n*∈N【点睛】本题考查了数列的通项公式，先N项和，意在考查学生对于数列公式和方法的掌握情况.18.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA AB=，点E，F为PC，P A的中点．（1）求证：平面BDE⊥平面ABCD；（2）二面角E—BD—F的大小；（3）设点M在PB(端点除外)上,试判断CM与平面BDF是否平行，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）4π（3）CM与平面BDF不平行，详见解析【解析】 【分析】（1）连接AC 与BD ，设交点为O ，连接FO ，证明EO ⊥平面ABC D ，得到答案. （2）以O 为原点，以OB ，OC ，OE 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，计算坐标得到平面的法向量，计算夹角得到答案.（3）假设存在，设(01)PM PB λλ=<<u u u u r u u u r，计算得到cos ,0m CM 〈〉≠u r u u u u r ，所以不存在.【详解】（1）证明：连接AC 与BD ，设交点为O ，连接FO ， 由已知E ，O 分别为PC ，AC 中点，可得EO //P A , 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥平面ABCD ，EO ⊂平面BDE 所以平面BDE ⊥平面ABCD .（2）以O 为原点，以OB ，OC ，OE 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系设AB =a ，因为底面ABCD 为菱形，且∠ABC =60°，PA AB =，则AC =a ，3BO =(0,0,0)O ，(0,,0)2a A -，3(,0,0)B ，(0,,0)2a C ，3(,0,0)D ，(0,0,)2a E ，(0,,)22a a F - 则3(,,)22a aFB =-u u u r ，(3,0,0)DB a =u u u r . 设平面BFD 的法向量为(,,)m x y z =u r，则有00m DB m FB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即303022ax a a y z =+-=，即0x y z =⎧⎨=⎩ 令1y =，则(0,1,1)m =u r又由（1）可知(0,,0)2aOC =u u u r 为平面BDE 的法向量，2cos ,2m OC m OC m OC⋅〈〉==u r u u u r u r u u u r u r u u u r所以二面角E —BD —F 的大小为4π（3）因为点M 在PB (端点除外)上，设(01)PM PB λλ=<<u u u u r u u u r，则(0,,)2a P a -，3(,,)22a a M a a a λλ--，3(,,)2aCM a a a a λλ--u u u u r2cos ,0a m CM m CM m CM m CMλ⋅〈〉==≠u r u u u u r u r u u u u ru r u u u u r u r u u u u r所以CM 与平面BDF 不平行.【点睛】本题考查了面面垂直，二面角和线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19.设函数32()(1)f x x b x bx =-++． （1）当b =0时，求函数()f x 的极小值；（2）若已知b >1且函数()f x 与直线y =-x 相切，求b 的值；（3）在（2）的条件下，函数()f x 与直线y =-x +m 有三个公共点，求m 的取值范围.(直接写出答案) 【答案】（1）427-（2）b =3（3）32027m <<【解析】 【分析】（1）求导得到函数的单调区间，再计算极小值.（2）设切点是(00,x y )，求导，根据条件得到()200000320000()3221(1)f x x b x b y x y x b x bx⎧=-++=-⎪=-⎨=-++'⎪⎩计算得到答案. （3）化简得到3244m x x x =-+，设32()44g x x x x =-+，画出函数图象得到答案. 【详解】（1）当b =0时，32()f x x x =-则2()32f x x x ='-，由()0f x '=得1220,3x x ==， 当0x <或23x >时，()0f x '>；当203x <<时，()0f x '<，则当23x =时，f (x )取得极小值32222433327f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）因322()f x x bx x bx =--+，则2()322f x x b x b =-+'+（） 设函数()f x 与直线y =-x 相切的切点是(00,x y )， 因为(0)1f b '=>，所以00x ≠，所以有()200000320000()3221(1)f x x b x by xy x b x bx⎧=-++=-⎪=-⎨=-++'⎪⎩又()2003221x b x b-++=-，相减得()200210x b x-+=，所以12bx+=，所以111(1)22b bb++⎛⎫-=--⎪⎝⎭，解得b=3.（3）3232()4344f x x x x x m m x x x=-+=-+∴=-+设32()44g x x x x=-+，2'()384(32)(2)g x x x x x=-+=--()g x在2(0,)(2,)3⋃+∞上单调递增；在2(,2)3单调递减.极大值232()327g=，极小值(2)0=g，画出函数图象：根据图象得到答案：3227m<<.【点睛】本题考查了函数的单调性，切线问题，零点，意在考查学生的计算能力和转化能力.20.已知函数()lnf x x a x=-(0)a>.（1）求函数()f x的单调区间；（2）求函数21()()2g x x ax f x=--的零点个数；（3）当1a=时，求证不等式1()xf xx-≤解集为空集.【答案】（1）()f x的单调增区间为(,)a+∞，单调减区间为(0,)a（2）()g x在(0,)+∞上只有一个零点（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到()1a x a f x x x-'=-=，计算得到答案. （2）求导得到()(1)()x a x g x x--'=，分类讨论1a >，1a =和01a <<三种情况得到答案.（3）原题等价于1()ln 10h x x x x=+-->恒成立，求导得到函数的单调区间，计算最小值51(0h +>得到证明. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞.()1a x af x x x-'=-=令()0f x '=，得x a =当x a >时，有()0f x '>，所以()f x 在(,)a +∞上单调递增. 当0x a <<时，有()0f x '<，所以()f x (0,)a 上单调递减.综上所述：()f x 的单调增区间为(,)a +∞，单调减区间为(0,)a（2）函数21()ln 2g x x ax x a x =--+，()(1)()x a x g x x --'=令()(1)()0x a x g x x --'==，解得12,1x a x == 1(1)--02g a =<，,()x g x →+∞→+∞当1a >时，()g x 在(1,)a 上递减，有(1)()g g a >.所以()0g a <. 所以()g x 有一个零点.当1a =时，()g x 在(0,)+∞上递增，所以()g x 有一个零点.当01a <<时，()g x 在(0,)a 上递增，在(,1)a 上递减，在(1,)+∞上递增.此时21()ln 02g a a a a a =--+<，所以()g x 有一个零点.综上所述：()g x 在(0,)+∞上只有一个零点. （3）当1a =时，不等式1()x f x x -≤解集为空集,等价于1()x f x x->在定义域内恒成立. 即1()0x f x x-->在定义域内恒成立.令11()()ln 1x h x f x x x x x-=-=+--. 222111()1x x h x x x x --'=--=，令()0h x '=，得51x += 列表得x51(0,)2+ 512+ 51(,)2++∞ ()h x ' — 0+()h x递减 最小值 递增5151()51ln 22h =-因为512e <，所以51ln12<. 511>，所以51()02h > 所以1()()0x h x f x x -=->恒成立.所以不等式1()x f x x-≤解集为空集 【点睛】本题考查了单调区间，零点个数，不等式恒成立，将不等式恒成立问题通过构造转化为函数的最值问题是解题的关键.。