九年级数学三角形中内接矩形PPT教学课件

A
PE
N
A Q F
P
M
Eห้องสมุดไป่ตู้
B
C
B
DN
C
QD
M
(1)
(2)
相似三角形的应用举例
例：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线
AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边
在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问加工成的
正方形零件的边长为多少mm？
解：设加工成的正方形为PQMN,边长为xmm，
A
边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上， P
拓 展 4 ： 如 图 ， 有 一 块 三 角 形 余 料 ABC ， 它 的 边 BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加工成矩形零件， 使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC 上，当矩形PQMN与△ABC的面积之比为3∶8时，求 矩形PQMN的周长.
解：由拓展（2）可知: 矩形面积S= - 3 x2+120x（其中x是AE的长）， A
2
S△ABC =
1 2
BC·AD=
1 2
×120×80=4800
∴
3X2 2
120X
3
得：x2-80x+120=0
P
E
4800 8
B
∴ （x-20）（x-60）=0 ∴x1=20，x2=60
Q
D
N C
M
当x1=20时，即AE=20，ED=PQ=80-20=60, 又由拓展（1）可知PN=1.5x=30 ∴ 矩形PQMN周长为=2（PQ+PN）=180（mm）
A
解：设AE为xmm， 矩形PQMN的面积为s mm2
PN//BC =>△APN∽△ABC
<=
AE PN
P
AD BC
即 x:80 = PN:120 PN= 1.5x B Q
∴
=1.5x（80 - x）= -1.5x2+120x (0＜x＜80)
S=PN·ED
∴ S= - 1.5（x-40）2+2400
E
N
C DM
∵-1.5＜0 ∴S有最大值 , 当 x=40(在0＜x＜80范围内）时， S最大值=2400 即当AE为40mm时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为2400mm2
拓展3：划线部分若改成问是否存在这样的两个矩形，使这 两个矩形的面积之和等于此三角形的面积？若存在，请指出 这两个矩形，若不存在，请说明理由。
E
N
高线AD与PN相交于点E. B
PN//BC =>△APN∽△ABC => AE PN
即
80x x
AD BC
80 120
解得：x=48（mm)
答：加工成的正方形零件的边长为48mm
C
Q
DM
拓展1：若设此题图中BC=a,高AD=b,正方形边长为x,
求证： 1 1 1
ab x
A
P
E
N
B
C
Q
DM
拓展2：若要把它加工成矩形零件，使矩形的一边QM在BC 上，其余两个顶点P、N分别在AB，AC上，设AD与矩形 PQMN的PN边相交于E点，问当AE为多少时？矩形PQMN 的面积最大，最大面积为多少？
当x=60时，即AE=60，ED=PQ=80-60=20, 同理可知PN=1.5x=90 ∴矩形PQMN的周长为2（PQ+PN）=220（mm）
答：矩形PQMN的周长为180 mm或220 mm。
拓展5：已知△ABC，若AB=2 13，BC=12，AC=10，要把它 加工成正方形零件，若正方形一边分别在AB、AC、BC上， 其余两顶点在另两条边上，问在哪一边上截得的正方形面积 最大？