部编人教版数学《三角形》知识点归纳
部编人教版八年级数学上册《12第十二章 全等三角形【全章】》精品PPT优质课件
（B ）
A.∠DAB B.∠DBA C.∠DBC D.∠CAD
5.如图,△ABC≌△AED,AB是△ABC的最大边，AE 是△AED的最大边, ∠BAC 与∠ EAD是对应角,且 ∠BAC=25°，∠B= 35°,AB=3cm,BC=1cm,求出 ∠E, ∠ ADE的度数和线段DE,AE 的长度.
1.有公共边
A
B
D
C
A
D B
C
AD
B
C
2.有公共点
D
A
A O
AD
A
E
D
B
C B
O B
CD
E CB
C
总结归纳 1. 有公共边，则公共边为对应边； 2. 有公共角（对顶角），则公共角(对顶角)为对应角； 3.最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；
最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角；
4. 对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角.
你能指出上面两 个全等三角形的 对应顶点、对应 边、对应角吗？
思考：把一个三角形平移、旋转、翻折，变换前后的
两个三角形全等吗？
A
M
E
D
A
B
FC
N
A
B
C
A
B
C
B
E
D
D
C
归纳总结
全等变化 一个图形经过平移、翻折、旋转后,位__置_ 变化了,
但＿形＿状＿和＿大＿小＿都没有改变,即平移、翻折、旋 转前后的两个图形＿全_等＿. 全等三角形的性质
一个正确的结论并证明. 解：结论：EF∥NM
想一想：你还能得出 其他结论吗？
证明： ∵ △EFG≌△NMH，
∴ ∠E=∠N. ∴ EF∥NM.
最新部编人教版四年级数学下册第五单元《三角形》教学设计(共6课时)
第五单元：三角形第1课时（共6课时）师：谁能说一说这三个三角形都有哪些共同特征？指名口答，根据学生口答，教师板书。
教师指出：每个三角形都有三条边、三个角、三个顶点，这就是三角形在黑板上先画一个三角形。
教师边示范边说明：（四）评价反馈通过今天这节课的学习，你有哪些收获？师生共同归纳：认识了三角形的特征；认识了三角形的底和高并学会了画三角形的高。
第五单元：三角形第2课时（共6课时）为什么要这样做呢?2、导入课题：其实三角形在我们的生活中有着广泛的运用，你对三角形有哪些认识？（学生回答）今天这节课我们就来学习三角形的特性。
板书课题：三角形的特性。
（二）探索发现教学教材第61页例2。
1、小组活动：用3根小棒摆三角形，用4根小棒摆四边形，看看各能摆出几个？（小棒的长度都一样）教师巡视指导，交流后反馈：摆三角形：不管怎么摆，只能摆出一种三角形。
摆四边形：可以摆出多种不同的四边形。
师：通过刚才的活动，你发现了什么？师生交流后明确：用同样长的小棒摆三角形和四边形，发现三角形不管第五单元：三角形第3课时（共6课时）第五单元：三角形第4课时（共6课时）启发学生思考：①一个三角形最多有几个锐角？最少有几个锐角？(3)认识直角三角形。
课件出示一个直角三角形：直角的两条边叫直角三角形的直角边，条边叫斜边。
师：量一量这个直角三角形的直角边和斜边长，锐角三角形：钝角三角形：等边三角形：直角三角形：等腰三角形：3、动手画一个直角三角形。
（四）评价反馈三个角都是锐角有一个角是直角有一个角是钝角有两条边相等三条边都相等第五单元：三角形第5课时（共6课时）2、算出下面三角形中∠3的度数。
它们各是什么三角形？（1)∠1=42°，∠2=38°（2)∠1=34°，∠2=56°∠1+∠2+∠3=180°，三角形的内角和是180°。
第五单元：三角形第6课时（共6课时）4、回顾与反思。
最新部编版人教初中数学八年级上册《第十一章(三角形)全章教学设计及教学反思》精品优秀教案
最新精品部编版人教初中八年级数学上册第十一章三角形优秀教学设计（全章完整版含教学反思）前言：该教学设计（教案）由多位一线国家特级教师根据最新课程标准的要求和教学对象的特点结合教材实际精心编辑而成。
实用性强。
高质量的教学设计（教案）是高效课堂的前提和保障。
（最新精品教学设计）11．1与三角形有关的线段11．1.1三角形的边1．结合具体的实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素．2．会用符号、字母表示三角形，并了解按边的相等关系对三角形进行分类．3．理解三角形任何两边之和大于第三边与任意两边之差小于第三边的性质，并会初步运用这些性质来解决问题．重点三角形的三边关系．难点三角形的三边关系．一、创设情境，引入新课老师出示一个用硬纸板剪好的三角形，并提出问题；小学中我们已经认识了三角形，那么你能不能给三角形下一个完整的定义？老师出示教具，提出问题．让学生观察教具，然后给出三角形的定义．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．二、探究问题，形成概念(一)探究三角形的有关概念1．三角形的顶点及符号表示方法．2．三角形的内角．3．三角形的边．教师继续利用教具向学生直接指明相关的概念．学生注意记忆相关的概念．教师再出示另外剪好的三角形，各顶点字母与原来不同，然后通过新三角形让学生巩固刚才的有关概念．(二)探究三角形的分类问题1：小学中已经学过，如何将三角形进行分类？问题2：如何将三角形按边分类？教师提出问题，学生举手回答．教师提示，分类的标准是什么？学生回答：有两边相等和有三边相等，以及三条边均不相等．教师进一步提出新的问题，并进一步讲解等边三角形、等腰三角形的有关概念，然后给出三角形按边分类的方法：三角形⎩⎪⎨⎪⎧三边都不相等的三角形等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形 之后师生共同归纳三角形的分类方法．按不同的标准分类，可以有不同的分法．(三)探究三角形的三边关系探究：画出一个△ABC ，假设有一只小虫要从B 点出发，沿三角形的边爬到C 点，它有几种路线可以选择？各条路线的长一样吗？教师提出问题，学生先画图然后进行讨论，并思考问题，然后教师指定学生回答问题．(1)小虫从点B 出发沿三角形的边爬到点C 有如下几条路线：a ．从B →Cb ．从B →A →C(2)从B →C 路线最短．然后老师进一步提出问题：这条路线为什么是最短的？学生举手回答：“两点之间，线段最短．”然后师生共同归纳得出：AC＋BC＞AB①AB＋AC＞BC②AB＋BC＞AC③即三角形两边的和大于第三边．教师提问：(1)由不等式①②③移项，你能得到怎样的不等式？(2)通过刚才得到的不等式，你有什么发现？学生回答，师生共同归纳：三角形两边的差小于第三边．教师出示教材第3页例题．分析：(1)“用一条长18 cm的细绳围成一个等腰三角形”，这句话有什么含义？(2)有一边长为4 cm是什么意思，哪一边的长度是4 cm?三、练习巩固练习：教材第4页练习第1，2题．老师布置练习，学生举手回答即可．第2题注意让学生说明理由．解决完以后，教师利用投影出示补充练习，学生独立完成．补充练习：一个三角形有两条边相等，周长为20 cm，一条边长是6 cm，求其他两条边长．四、小结与作业小结：谈谈本节课的收获．老师引导学生主要从对三角形的分类和三边关系的认识方面进行小结．布置作业：习题11.1第1，2，7题．三角形的三边关系是在学生了解了三角形的一些基本特征的基础上学习的，学生虽然知道了三角形有三条边，但三角形“边”的研究却是学生首次接触，让学生自己动手操作，初步感知三条边之间的关系，接着重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系？”通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论。
部编版人教数学八年级上册《第十一章(三角形)全章教学设计及教学反思(表格版)》精品教案
最新精品部编版人教初中八年级数学上册第十一章三角形优秀教学设计（全章完整版含教学反思）前言：该教学设计（教案）由多位一线国家特级教师根据最新课程标准的要求和教学对象的特点结合教材实际精心编辑而成。
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（最新精品教学设计）二、师生互动，探究新知1.观察三角形的构成，探索三角形的概念问题1：你能画出一个三角形吗？让学生画出三角形，直观感受三角形的构成.问题2：结合你画的三角形，说明三角形是由什么组成的？学生回答：三角形是由三条线段组成的.问题3：什么叫三角形？学生回答，教师归纳：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.自主学习三角形的表示方法及分类阅读教材第2页到第3页探究前内容，回答下列问题.问题1：根据右图回答以下问题：(1)在三角形中，什么叫边？什么叫内角？什么叫顶点？(2)如何用符号表示三角形ABC?(3)如何用小写字母表示三角形ABC的三条边？学生回答：三角形边、内角、顶点的概念.三角形ABC用符号表示为△ABC.△ABC的边AB为∠C所对的边，可以用顶点C的小写字母c表示，同样，边AC可用b表示，边BC可用a表示.问题2：如果将三角形分类，按照边的关系可以分成几类？按照角的关系又如何分类呢？学生回答：三角形按照“有几条边相等”可以分为：3. 通过观察实践，理解三角形三边关系问题1：任意画一个△ABC，假设有一只小虫从点B本环节设计了阶梯式的问题，引导学生经历了动手画图、回顾旧知、归纳总结三个过程.在归纳总结时，要留给学生一定的时间进行思考和归纳，教师也要适时进行引导和强调.自学三角形的表示方法，并能在具体的图形中不重不漏地识别所有三角形.在表示方法上要注意：在表示△ABC 时，三个顶点字母A，B，C的顺序可以改变，所以△ABC，△ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA表示的是同一个三角形.同时，要让学生明白，并不是所有的图形都可以用符号表示，目前只有角和三角形可以分别用“∠”和“△”表示.对于三角形的分类，教师要加以引导，启发学生进行思考.通过观察与实践，【板书设计】三角形的边三角形的概念三角形的分类练习三边关系定理解析【教学反思】本节的知识内容是在学生已经学习了一部分有关三角形的知识的基础上，对三角形进行更深入的研究.在教学过程中，教师不断引导学生以已有的知识为出发点进行深入思考，从而发现问题.在教学设计上，注重学生自主学习、独立思考，注重交流合作，让学生利用自己已有的知识，在独立思考与交流合作中进行更深入的探究，使学生在经历整个探究过程后，能够更深入地理解和掌握三角形的概念及三边的关系，并获得数学活动的经验，提高探究能力和发现问题的能力.11.1.2 三角形的高、中线与角平分线【教学目标】1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念.2.准确区分三角形的高、中线与角平分线.3.能够独立完成与三角形的高、中线和角平分线有关的计算.【重点难点】重点：1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念.2.能利用三角形的高、中线和角平分线的性质进行简单计算.难点：1.能用自己的语言说出三角形的高、中线与角平分线的概念.2.熟练运用三角形的高、中线和角平分线的性质进行有关计算.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、创设情境，导入新课问题1：数一数，图中共有多少个三角形？请将它们全部用符号表示出来.学生回答：图中共有5个三角形.它们分别是：△ABC，△ABD，△ACD，△ADE，△CDE.问题2：利用△ABC的一条边长为4cm，面积是24cm2这两个条件，你能得出什么结论？学生回答：能够得出△ABC的高是12cm.通过对已学知识的回忆来巩固基础知识，并借此引入新课.二、师生互动，探究新知1.通过作图探索三角形的高学生画出三角形所有的高，并观察这些高的特点. 问题1：根据画高的过程说明什么叫三角形的高？通过经历画三角形的高的过程，使学生在头脑中留下清晰形象，并能结合这些具体形象叙述高的定义.三角形的高的概念在书中并。
部编版数学五年级上册《三角形的底和高》课件
在锐角三角形 中有三条高。
底
底
高高 高
底 底高相对应
画三角形底AC的高BD
A
高
B
C
在三角形中每条底有( 一)条对应的高。
在 直角三角形 中有三条高。
高
底
(底)
高
底 (高) 两条直角边就是一组对应的底和高。
钝角三角形 有一条内高,两条外高。
高底
底高
高
底
三角形各部分的名称
三角形的底和高
从三角形的一个( 顶点 )画它 对边的一条( 垂线 ),( 顶点 )和 ( 垂足 )之间的线段叫做三角 形的( 高 ),这条边叫做三角 形的( 底 )。
同底等高的三角形。
高 底
练习1
C
D
A
E
B
在三角形ABC中,
AB底上的高是( CE ), AD高所对应的底是( BC )。
练习2
在直角三角形ABC中,
AB底上的高是( AC ), AD高所对应的底是( BC ), AC底上的高是( AB )。
A
B
D
C
练习3 A
E
D
B
C
在三角形ABC中, F
AC底上的高是( BE ), AD高所对应的底是( BC ), AB底上的高是( CF )。
三角形各部分的名称
三角形的底和高
相对应
任意三角形都有三条高，通过本节课的 学习要求同学们能够正确的画出三角形 的高。
部编版五年级数学册
三角形的底和高
本节课我们主要来认识三角形的底和高， 同学们首先要知道什么是三角形的底， 什么是三角形的高，能够画出任意三角 形的三条高，可以解决相关的实际问题。
部编人教版三年级下册数学全册重要知识点及易错点归纳总结
部编人教版三年级下册数学全册重要知识点及易错点归纳总结单元重点知识归纳与易错总结1.能结合具体情境，辨认东、南、西、北、东南、东北、西南、西北八个方向。
研究目标2.能根据给定的一个方向，辨认其余七个方向，并能用这些词语描述物体所在的方向。
3.会看简单的路线图，能描述不同的行走路线。
4.能综合应用方位知识解决问题。
1.学会在具体的情境中辨认八个方向。
研究重点 2.能用八个方向描述平面图中物体所在的位置。
3.根据路线图介绍行走的方向和经过的地方。
教学准备PPT课件教学环节1：重点单元知识归纳知识点辨认东、南、西、北四个方向在地图上辨认东、具体内容1.辨认东、南、西、北四个方向：先确定一个方向，再根据这个方向辨认其他三个方向。
左北右南；面西背东，左南右北。
2.根据一个确定的方向找其他三个方向的方法：面南背北，左东右西；面北背南，左西右东；面东 1.地图通常是按上北、下南、左西、右东绘制的，按顺时针方向，面向北时右侧是东，面向东时右面向南时右侧是西，面向西时右侧是北。
南、西、北 2.观察点不同，描述物体方向的叙述语言也不同，即观察点不同，相对应的物体所在的方向也会不识别东南、东北、西南、西北四个方向的方法看简朴路线图（八个方向）描述行走门路教学环节2：易错知识总结1不能根据给出的一个方向正确地辨认其他三个方向。
1.八个方向：东、南、西、北、东南、东北、西南、西北。
最后把行走门路描述出来。
辨认东南、东北、西南、西北四个方向的方法：（1）利用指南针辨认。
（2）借助身边的事物辨认。
南、西、北中的一个方向，再找其他三个方向，最后找东南、东北、西南、西北四个方向。
2.描述行走门路的方法：以动身点为尺度，先确定要抵达的地点所处的方向，再看哪一条路通向目例题1】根据给出的北方，标出其他三个方向。
错误答案：正确答案：错点警示：此题错在对根据给出的一个方向辨认其他三个方向的知识掌握不准确。
规避策略：地图上东、南、西、北四个方向是按顺时针方向排列的。
部编人教版四下数学第2课时《三角形的稳定性》教案
第二课时三角形的稳定性一、学习目标〔一〕学习内容本节课教学三角形的稳定性，教材安排了两个活动，第一个活动让学生通过摆小棒初步从唯一性的角度理解三角形的稳定性，第二个活动从牢固的角度来理解，通过对三角形、四边形的学具进行拉伸比照实验，进一步体会三角形的稳定性和四边形的易变性，最后，让学生举出生活中应用三角形稳定性的例子，感受三角形的应用价值。
〔二〕核心能力在具体的操作过程中，充分感受、理解三角形的稳定性和四边形的易变性，并通过比照，联系生活体会它们在现实生活中的作用，激发探索数学的兴趣，培养实践精神和实践能力。
〔三〕学习目标1.在具体的操作过程中，充分感受、理解三角形的稳定性和四边形的易变性。
2.能联系生活实际，举出生活中应用三角形稳定性的例子，感受三角形的应用价值，体会数学与生活的密切联系。
〔四〕学习重点三角形的稳定性〔五〕学习难点从唯一性的角度理解三角形的稳定性二、教学设计〔一〕课前设计预习任务：1.观察生活，在哪儿见过三角形？想一想，为什么三角形在生活中应用这么广泛呢？2.准备7根长度为1分米的小棒。
〔二〕课堂设计1．谈话导入课前，同学们经过认真观察，发现生活中有很多物体的结构是三角形的，谁来说一说。
学生汇报观察结果：房梁、建筑工地的脚手架、自行车车架、乐谱架、起重机的起重臂等。
〔教师播放实物投影〕生活中有那么多物体的结构是三角形，为什么要把它们做成三角形呢？因为三角形具有稳定性。
我们这节课就来研究：三角形的稳定性。
【设计意图】数学来源于生活，通过寻找生活中的三角形建立起新旧知之间的联系，激发学生学习的兴趣，同时培养学生善用数学的眼光观察生活的意识。
2．探究新知〔1〕活动一：拼摆图形①提出活动要求：请每位同学拿出3根同样长的小棒摆三角形，再用4根摆四边形，看一看，分别可以摆出几个？②个人摆后，与同桌交流，说一说有什么发现？③小组展示，汇报交流a.展示拼摆出的三角形的情况。
预设：展台展示拼摆出的三角形，只能摆出这一种形状。
部编数学八年级上册专题01三角形边或角关系的三种模型(解析版)(人教版)含答案
专题01 三角形边或角关系的三种模型几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明角的数量关系，或者三角形的三边和差关系等，接来下我们针对这两个版块做出详细分析与梳理。
类型一、燕尾角模型例1．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果52,25A B °°Ð=Ð=，30,35,72C D E °°°Ð=Ð=Ð=，那么F Ð的度数是（ ）．A ．72°B ．70°C ．65°D ．60°【答案】A 【详解】延长BE 交CF 的延长线于O ，连接AO ，如图，∵180,OAB B AOB Ð+Ð+Ð=° ∴180,AOB B OAB Ð=°-Ð-Ð同理得180,AOC OAC C Ð=°-Ð-Ð∵360,AOB AOC BOC Ð+Ð+Ð=°∴360BOC AOB AOC Ð=°-Ð-Ð 360(180)(180)B OAB OAC C =°-°-Ð-Ð-°-Ð-Ð107,B C BAC =Ð+Ð+Ð=°∵72,BED Ð=°∴180108,DEO BED Ð=°-Ð=°∴360DFO D DEO EOF Ð=°-Ð-Ð-Ð 36035108107110,=°-°-°-°=°∴180********DFC DFO Ð=°-Ð=°-°=°,故选：A ．【变式训练1】如图，若115EOC Ð=°，则A B C D E F Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=____________．【答案】230°【详解】解：如图∵∠EOC =∠E +∠2=115°，∠2=∠D +∠C ， ∴∠E +∠D +∠C =115°，∵∠EOC =∠1+∠F =115°，∠1=∠A +∠B ， ∴∠A +∠B +∠F =115°，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =230°， 故答案为：230°．【变式训练2】如右图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H ＝__．【答案】360°【详解】解：由图形可知：∠BNP ＝∠A ＋∠B ，∠DPQ ＝∠C ＋∠D ，∠FQM ＝∠E ＋∠F ，∠HMN ＝∠G ＋∠H ，∵∠BNP ＋∠DPQ ＋∠FQM ＋∠HMN ＝360°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝∠BNP ＋∠DPQ ＋∠FQM ＋∠HMN ＝360°．故答案为：360°．【变式训练3】如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠I ＝__．【答案】900°【详解】解：连EF ，GI ，如图，∵6边形ABCDEFK 的内角和＝（6－2）×180°＝720°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝720°－（∠1＋∠2），即∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋（∠1＋∠2）＝720°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H ＝180°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ∠H ＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F （∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H ＝720°＋180°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠I ＝900°，故答案为：900°．【变式训练4】模型规律：如图1，延长CO 交AB 于点D ，则1BOC B A C B Ð=Ð+Ð=Ð+Ð+Ð．因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“BOC A B C Ð=Ð+Ð+Д这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，60,20,30A B C Ð=°Ð=°Ð=°，则BOC Ð=__________°；②如图3，A B C D E F Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=__________°；（2）拓展应用：①如图4，ABO Ð、ACO Ð的2等分线（即角平分线）1BO 、1CO 交于点1O ，已知120BOC Ð=°，50BAC Ð=°，则1BO C Ð=__________°；②如图5，BO 、CO 分别为ABO Ð、ACO Ð的10等分线1,2,3,,(,)89i =¼．它们的交点从上到下依次为1O 、2O 、3O 、…、9O ．已知120BOC Ð=°，50BAC Ð=°，则7BO C Ð=__________°；③如图6，ABO Ð、BAC Ð的角平分线BD 、AD 交于点D ，已知120,44BOC C Ð=°Ð=°，则ADB =∠__________°；④如图7，BAC Ð、BOC Ð的角平分线AD 、OD 交于点D ，则B Ð、C Ð、D Ð之同的数量关系为__________．【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②110；③142；④∠B -∠C +2∠D =0【详解】解：（1）①∠BOC =∠A +∠B +∠C =60°+20°+30°=110°；②∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =∠BOC +∠DOE =2×130°=260°；（2）①∠BO 1C =∠BOC -∠OBO 1-∠OCO 1=∠BOC -12（∠ABO +∠ACO ）=∠BOC -12（∠BOC -∠A ）=∠BOC -12（120°-50°）=120°-35°=85°；②∠BO 7C =∠BOC -17（∠BOC -∠A ）=120°-17（120°-50°）=120°-10°=110°；③∠ADB =180°-（∠ABD +∠BAD ）=180°-12（∠BOC -∠C ）=180°-12（120°-44°）=142°；④∠BOD =12∠BOC =∠B +∠D +12∠BAC ，∠BOC =∠B +∠C +∠BAC ，联立得：∠B -∠C +2∠D =0．类型二、折叠模型例1.如图，在ABC V 中，46C Ð=°，将ABC V 沿直线l 折叠，点C 落在点D 的位置，则12Ð-Ð的度数是（ ）．A ．23°B ．92°C ．46°D ．无法确定【答案】B 【详解】解：由折叠的性质得：46D C Ð=Ð=°，根据外角性质得：13C Ð=Ð+Ð，32D Ð=Ð+Ð，则1222292C D C Ð=Ð+Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+°，则1292Ð-Ð=°．故选：B ．【变式训练1】如图，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A '处，且A 'B 平分∠ABC ，A 'C 平分∠ACB ，若∠BA 'C ＝120°，则∠1+∠2的度数为（ ）A ．90°B ．100°C ．110°D ．120°【答案】D【详解】解：如图，连接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=12∠ABC，∠A'CB=12∠ACB，∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°，∵沿DE折叠，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，故选：D．【变式训练2】如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（）．A．14°B．15°C．28°D．30°【答案】B【详解】解：∵∠A＝55°，∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°，∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，由折叠可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°，∵∠1＝95°，∴∠2＝110°－95°＝15°，故选：B ．【变式训练3】如图,将△ABC 沿着DE 翻折,使B 点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B 的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C 【详解】由折叠的性质可知','BED B ED BDE B DEÐ=ÐÐ=Ð∵1'180,2'180BED B ED BDE B DE Ð+Ð+Ð=°Ð+Ð+Ð=°∴11(36012)(36080)14022BED BDE Ð+Ð=°-Ð-Ð=´°-°=°∴180()18014040B BED BDE Ð=°-Ð+Ð=°-°=°故选C【变式训练4】如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，点C 落在边AB 上的点H 处，点D 落在点G 处，若111GEF Ð=°，则AHG ∠的度数为（ ）．A ．42°B ．69°C ．44°D ．32°【答案】A 【详解】由图形翻折的性质可知，111GEF DEF Ð=Ð=°，180111AEF \Ð=°-°=69°，1116942AEG GEF AEF Ð=Ð-Ð=°-°=°，90A G Ð=Ð=°Q ，利用“8”字模型，42AHG AEG \Ð=Ð=°，故选：A ．类型三、“8”字模型例1.如图，BP 平分ABC Ð，交CD 于点F ，DP 平分ADC Ð交AB 于点E ，AB 与CD 相交于点G ，42A Ð=°．（1）若60ADC Ð=°，求AEP Ð的度数；（2）若38C Ð=°，求P Ð的度数．【答案】（1）72°；（2）40°．【详解】解：（1）∵DP 平分∠ADC ，∴∠ADP=∠PDF=12ADC Ð，∵60ADC Ð=°，∴30ADP Ð=°，∴304272AEP ADP A Ð=Ð+Ð=°+°=°；（2）∵BP 平分∠ABC ，DP 平分∠ADC ，∴∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，∴∠A+∠C=2∠P ，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=12（38°+42°）=40°．【变式训练1】如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠K 的度数．【答案】540°【详解】解：如图所示：由三角形的外角的性质可知：∠A ＋∠B ＝∠IJL ，∠C ＋∠D ＝∠MLJ ，∠H ＋∠K ＝∠GIJ ，∠E ＋∠F ＝∠GML ，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠K ＝∠IJL ＋∠MLJ ＋∠GML ＋∠G ＋∠GIJ ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【变式训练2】（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：A B C D Ð+Ð=Ð+Ð．（2）如图②，AP ，CP 分别平分BAD Ð，BCD Ð，若36ABC Ð=°，16ADC Ð=°，求P Ð的度数．（3）如图（3），直线AP 平分BAD Ð，CP 平分BCD Ð的外角BCE Ð，猜想P Ð与B Ð、D Ð的数量关系是__；（4）如图（4），直线AP 平分BAD Ð的外角FAD Ð，CP 平分BCD Ð的外角BCE Ð，猜想P Ð与B Ð、D Ð的数量关系是________．【答案】（1）见解析；（2）26°；（3）()1902P B D Ð=°+Ð+Ð；（4）()11802P B D Ð=°-Ð+Ð【详解】解：（1）A B AOB Ð+Ð+Ð=Q 180°，C D COD Ð+Ð+Ð=180°，A B AOB C D COD \Ð+Ð+Ð=Ð+Ð+Ð．AOB COD Ð=ÐQ ，A B C D \Ð+Ð=Ð+Ð；（2）AP Q ，CP 分别平分BAD Ð，BCD Ð，设BAP PAD x Ð=Ð=，BCP PCD y Ð=Ð=，则有x ABC y P x P y ADC +Ð=+Ðìí+Ð=+Ðî， ABC P P ADC \Ð-Ð=Ð-Ð，()1122P ABC ADC \Ð=Ð+Ð=（36°+16°）=26°（3）Q 直线AP 平分BAD Ð，CP 平分BCD Ð的外角BCE Ð，1=2PAB PAD BAD \Ð=Ð∠，1=2PCB PCE BCE Ð=ÐÐ，∴2PAB B Ð+Ð=180°-2PCB D Ð+Ð，∴180°()2PAB PCB D B-Ð+Ð+Ð=Ð∵∠P +∠PAD =∠PCD +∠D ，∠BAD +∠B =∠BCD +∠D ，∴=P PAD BAD B PCD BCD Ð+---∠∠∠∠∠,P PAB B PCB \Ð-Ð-Ð=Ð∴P B PAB PCBÐ-=Ð+Ð∠∴180°()2P B D B -Ð-Ð+Ð=Ð，即P Ð=90°()12B D +Ð+Ð．（4）连接PB ，PDQ 直线AP 平分BAD Ð的外角FAD Ð，CP 平分BCD Ð的外角BCE Ð，FAP PAO \Ð=Ð，PCE PCB Ð=Ð，∵APB PBA PAB +Ð+Ð=∠180°，PCB PBC BPC +Ð+Ð=∠180°∴APC ABC PCB PAB Ð+Ð+Ð+=∠360°同理得到：APC ADC PCD PAD Ð+Ð+Ð+=∠360°∴2APC ABC ADC PCB PAB PCD PAD Ð+Ð+Ð+Ð++Ð+=∠∠720°∴2APC ABC ADC PCE PAB PCD PAF Ð+Ð+Ð+Ð++Ð+=∠∠720°∵=PCE PCD Ð+Ð180°，=PAB PAF +∠∠180°∴2APC ABC ADC Ð+Ð+Ð=360°，APC \Ð=180°-()12ABC ADC Ð+Ð。
部编版人教数学八年级上册《第11章(三角形)全章导学案及教学反思》最新精品优秀导学单
最新精品部编版人教初中八年级数学上册第十一章三角形优秀导学案（全章完整版含教学反思）前言：该导学案（导学单）由多位一线国家特级教师根据最新课程标准的要求和教学对象的特点结合教材实际精心编辑而成。
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高质量的导学案（导学单）是高效课堂的前提和保障。
（最新精品导学案）第十一章三角形11.1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边◇教学目标◇【知识与技能】1.认识三角形的概念及其基本要素;2.掌握三角形三条边之间的关系.【过程与方法】1.通过操作对比、观察、推理、交流等活动认识三角形及其概念和表示方法,运用分类思想对三角形进行分类;2.经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形的三边关系.【情感、态度与价值观】培养学生的符号语言表达能力,体会三角形在日常生活中的应用价值.◇教学重难点◇【教学重点】三角形的三边关系.【教学难点】三角形三边关系的应用.◇教学过程◇一、情境导入埃及金字塔、常见的交通标志和移动信号塔都是什么形状?在我们日常生活中还有哪些东西是三角形的?二、合作探究探究点1三角形的概念典例1看图填空:(1)图中共有个三角形,它们是;(2)△BGE的三个顶点分别是,三条边分别是,三个角分别是;(3)△AEF中,顶点A所对的边是;(4)∠ACB是△的内角,∠ACB的对边是.[解析]根据三角形的概念:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边.相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.相邻两边组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角.[答案](1)4;△ABC,△EBG,△AEF,△CGF(2)B,G,E;BE,EG,BG;∠B,∠BEG,∠BGE(3)EF(4)ACB;AB探究点2三角形的分类典例2如图,过A,B,C,D,E五个点中的任意三点画三角形.(1)以AB为边画三角形,能画几个?写出各三角形的名称.(2)分别指出(1)中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形.[解析](1)如图所示,以AB为边的三角形能画3个,分别是△EAB,△DAB,△CAB.(2)△ABD是等腰三角形,△EAB,△CAB是钝角三角形.探究点3三角形的三边关系典例3已知三角形的三条边互不相等,且有两边长分别为7和9,另一条边长为偶数.(1)请写出一个符合上述条件的第三边长.(2)符合上述条件的三角形有多少个?[解析](1)第三边长是4.(答案不唯一)(2)∵2<m<16,∴m的值为4,6,8,10,12,14,共六个.【归纳总结】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式,只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.变式训练“佳园工艺店”打算制作一批两边长分别是7分米,3分米,第三边长为奇数的不同规格的三角形木框.(1)要制作满足上述条件的三角形木框共有几种.(2)若每种规格的三角形木框只制作一个,制作这种木框的木条的售价为8元/分米,问至少需要多少钱购买材料?(忽略接头)[解析](1)三角形的第三边x满足:7-3<x<3+7,即4<x<10.因为第三边又为奇数,因而第三边可以为5,7或9.故要制作满足上述条件的三角形木框共有3种.(2)制作这种木框的木条的长为:3+5+7+3+7+7+3+7+9=51(分米),所以51×8=408(元).答:至少需要408元购买材料.三、板书设计三角形的边三角形◇教学反思◇由于初次接触三角形的相关元素,教师要注意引导学生发现三角形的三边关系,要留给学生充足的时间和空间去思考讨论,培养学生解决问题的能力.11.1.2三角形的高、中线与角平分线◇教学目标◇【知识与技能】1.了解三角形的高、中线、角平分线的概念;2.会用工具准确画出三角形的高、中线、角平分线.【过程与方法】1.让学生经历画三角形的高、中线、角平分线过程,理解三角形的高、中线、角平分线的特点以及符号语言和图形语言的表达方法;2.培养学生观察、分析、作图、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】培养学生敢于实践操作、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.◇教学重难点◇【教学重点】三角形的高线、中线、角平分线的概念及画法.【教学难点】探究三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线都交于一点的过程.◇教学过程◇一、情境导入有一块三角形的地,小明的爸爸想种花草,妈妈想种菜.于是想平分三角形的面积,一半种花草,一半种菜,不知如何作,小明说,这还不好办,做一边的中线就行了,聪明的你,能帮他们家把这块地分成面积相等的两部分吗?知道小明这样做的原因吗?二、合作探究探究点1三角形的高典例1如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,AD,BE 相交于点F,连接CF.。
部编人教版小学五年级数学上册全册知识点总结
部编人教版小学五年级数学上册全册知识点总结第一单元小数乘法1、小数乘整数：@意义——求几个相同加数的和的简便运算。
如：1.5×3表示求3个1.5的和的简便运算（或1.5的3倍是多少）。
@计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。
2、小数乘小数：@意义——就是求这个数的几分之几是多少。
如：1.5×0.8就是求1.5的十分之八是多少（或求1.5的1.8倍是多少）。
@计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。
注意：按整数算出积后，小数末尾的0要去掉，也就是把小数化简；位数不够时，要用0占位。
3、规律：一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。
4、求近似数的方法一般有三种：⑴四舍五入法；⑵进一法；⑶去尾法5、计算钱数，保留两位小数，表示计算到分；保留一位小数，表示计算到角。
6、小数四则运算顺序和运算定律跟整数是一样的。
7、运算定律和性质：@ 加法：加法交换律：a+b=b+a加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)@ 减法：a-b-c=a-(b+c)a-(b+c)=a-b-c@ 乘法：乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c【(a-b)×c=a×c-b×c】@ 除法：a÷b÷c=a÷(b×c)a÷(b×c) =a÷b÷c第二单元位置1、数对：由两个数组成，中间用逗号隔开，用括号括起来。
括号里面的数由左至右分别为列数和行数，即“先列后行”。
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《三角形》知识点归纳
1、 三角形的分类
按角分⎪⎩⎪
⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形
按边分⎪
⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形三角形腰和底边不相等的等腰
等腰三角形不等边三角形 2、三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
3、已知两边求第三边的范围：两边之差＜第三边＜两边之和
4、三角形的高
（1）锐角三角形的三条高都在三角形内，它们在三角形内交于一点. （2）直角三角形的一条高在三角形内，另外两条高就是两条直角边，
三条高在直角顶点相交.
（3）钝角三角形有一条高在三角形内，还有两条高在三角形外，
三条高延长后在三角形外交于一点 5、三角形的中线
（1）三角形的三条中线在三角形内交于一点。
（重心）
（2）三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形。
6、三角形的三条角平分线在三角形内交于一点（内心） 7、三角形的内角和等于180°，外角和等于360° 8、直角三角形的两个锐角互余。
9、有两个角互余的三角形是直角三角形；
有两个角的和等于第三个角的三角形是直角三角形； 有两个角的差等于第三个角的三角形是直角三角形 10、三角形的外角的性质：
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
（2）三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角。
11、三角形角平分线的有关结论：
（1）三角形两个内角的角平分线相交所成的钝角等于90°加上第三个角的一半。
（2）三角形两个外角的角平分线相交所成的锐角等于90°减去第三个角的一半。
（3）三角形一个内角和一个外角的角平分线相交所成的锐角等于第三个角的一半。
12、从n 边形的一个顶点出发,可以引（n-3）条对角线，它将n 边形分成（n-2）个三角形. n 边形的对角线公式是：2
)3(-n n
13、n 边形的内角和等于(n-2)×180°,多边形的外角和等于360°。
14、正多边形的每个内角等于n
n 180)2(⨯- ，每个外角等于 n 3600
15、三角形的内角和是外角和的一半，四边形的内角和与外角和相等，六边形的内角和
是外角和的2倍。
16、求多边形的内角和时，如果少加了一个角，那么少加的角等于180°减去余数；如果多加了一个角，那么多加的角就是余数。
1、等腰三角形中：（1）两边长4cm 、5cm,则周长为 ，（2）两边长4cm 、9cm,则周长为 。
等腰三角形的一个外角是110°，则顶角是 。
2、一个多边形切去一个角后是十边形，则这个多边形的边数是 ，一个多边形的每一个内角都是135°，则这个多边形的边数是 。
3、AD 是△ABC 的高，∠BAD=70°，∠CAD=30°，则∠BAC= 。
4、△ABC 中，AB=AC ，BD 是AC 边上的高，∠ABD=30°，则底角为= 。
5、如图，∠A=60°、∠B=20°、∠C=30°,则∠BDC= 。
6、如图①、②，把△ABC 的∠A 沿着DE 折叠，则∠A 与∠1和∠2的关系是
8、△ABC 中，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，则∠BDC= △ABC 中，BD 平分∠EBC ，CD 平分∠FCB ，则∠BDC=
A
B
C
D
2
A
C
1
A ′
D
E
D
2 A
C
A ′
E
1
B
10、已知，如图，∠XOY=90°，点A 、B 分别在射线OX 、OY 上移动，BE 是∠ABY 的平分线，BE 的反向延长线与∠OAB 的平分线相交于点C ，试问∠ACB 的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如随点A 、
12、在△ABC 中，CD 、BE 为高，交于点O ，AN 为∠BAC 的角平分线，OM 平分∠BOC 交BC 于点M 。
（1）若
∠BAC=α，求∠BOM 。
（2）求证：OM ∥AN
13、△ABC 中，AD 、BE 、CF 是角平分线，交于点I ，IH ⊥BC 于H ， 求证：∠BID=∠CIH
B C D
A
B D
N
C
E
O
M
A E
I F
14、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C>∠B ，E 为AD 上一点，且EF ⊥BC 于F 。
（1）试探索∠DEF 与∠B ，∠C 的大小关系；
（2）如图（2）所示，当点E 在AD 的延长线上时，其余条件都不变，你在（1）中探索到的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立说明理由。
15、在如图1至图3中，△ABC 的面积为a ．
（2）如图2，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD=BC ，AE=CA ，连接DE 、若△DEC 的面积
发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF （如图3），此时，我们称 （4） 应用：去年在面积为10平方米的△ABC 空地上栽种了某种花卉，今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展的区域面积共为多少平方米？（要过程）
A
A
B
C
D
E F
E
D
A C
B
A B C E F
G
D
H
M
A
B
C
D
E
F
A B
C D
E
F。