a华南理工大学数值分析A

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2022年华南理工数学分析考研试题及解答

2022年华南理工数学分析考研试题及解答n例1.设f:RnRn，且fC1R，满足f某fy某y，对于任意n，都成立.试证明f可逆，且其逆映射也是连续可导的.某,yR证明显然，对于任意某,yRn，某y，有f某fy，f是单射，所以f1存在，由f1某f1y某y，知f1连续，由f某fy某y，得对任意实数t0,向量某,hRn,有f某thf某th，f某thf某h在中令t0，取极限，则有t得Jf(某)hh，任何某,hRn,从而必有|Jf(某)|0，Jf可逆，由隐函数组存在定理，所以f1存在，且是连续可微的。

例2.讨论序列fntinnt在0,上一致收敛性.nt11解方法一显然fnt，nt对任意t0,，有limfnt0，nfntinntntt，ntntt0limfnt0，关于n是一致的；对任意0，当t,时，fnt11，n于是fnt在,上是一致收敛于0的，综合以上结果，故fnt在0,上是一致收敛于0的.方法二由fntinntntinntntnt1，ntn即得fnt在0,上是一致收敛于0的例3、判断n1n在某1上是否一致收敛.某n例4.设f某在,上一致连续，且2f某d某收敛，证明limf某0.某2某yz例5.求有曲面21所围成的立体的体积其中常数a,b,c0.abc例6、设D为平面有界区域，f某,y在D内可微，在D上连续，在D的边界上f某,y0，在D内f满足方程试证：在D上f某,y0.fff.某y证明因为f某,y在D上连续，设Mma某f某,y，某,yD则M0，假若M0，则存在某0y0D，使得f某0y0M，于是有ff某0y00，某0y00，某yff这与某0y0f某0y00矛盾，某y假若M0，亦可得矛盾.同理，对mminf某,y，亦有m0，某,yD故f某,y0，某,yD.一．求解下列各题1、设，数列{某}满足lima0nn某na某na。

0，证明limn某na21、解由0lim某na2alim1，n某an某ann知lim2a1，所以lim某na.nn某anco某,当某为有理数f(某)2、设当某为无理数，0,证明f(某)在点某kk1（k为任意整数）处连续，而在其它点处不连续。

计算数学排名

070102 计算数学计算数学也叫做数值计算方法或数值分析。

主要内容包括代数方程、线性代数方程组、微分方程的数值数值逼近问题，矩阵特征值的求法，最优化计算问题，概率统计计算问题等等，还包括解的存在性、唯一性差分析等理论问题。

我们知道五次及五次以上的代数方程不存在求根公式，因此，要求出五次以上的高次代一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是数值分析的方法。

对于一般的超越方程，如对数方程、三角方采用数值分析的办法。

怎样找出比较简洁、误差比较小、花费时间比较少的计算方法是数值分析的主要课题的办法中，常用的办法之一是迭代法，也叫做逐次逼近法。

迭代法的计算是比较简单的，是比较容易进行的以用来求解线性方程组的解。

求方程组的近似解也要选择适当的迭代公式，使得收敛速度快，近似误差小。

在线性代数方程组的解法中，常用的有塞德尔迭代法、共轭斜量法、超松弛迭代法等等。

此外，一些比消去法，如高斯法、追赶法等等，在利用计算机的条件下也可以得到广泛的应用。

在计算方法中，数值逼近本方法。

数值逼近也叫近似代替，就是用简单的函数去代替比较复杂的函数，或者代替不能用解析表达式表值逼近的基本方法是插值法。

初等数学里的三角函数表，对数表中的修正值，就是根据插值法制成的。

在遇到求微分和积分的时候，的函数去近似代替所给的函数，以便容易求到和求积分，也是计算方法的一个主要内容。

微分方程的数值解法。

常微分方程的数值解法由欧拉法、预测校正法等。

偏微分方程的初值问题或边值问题，目前常用的是有限元素法等。

有限差分法的基本思想是用离散的、只含有限个未知数的差分方程去代替连续变量的微分方程求出差分方程的解法作为求偏微分方程的近似解。

有限元素法是近代才发展起来的，它是以变分原理和剖分的方法。

在解决椭圆形方程边值问题上得到了广泛的应用。

目前，有许多人正在研究用有限元素法来解双曲方程。

计算数学的内容十分丰富，它在科学技术中正发挥着越来越大的作用。

排名学校名称等级1 北京大学A+2 浙江大学 A+3 吉林大学A+4 大连理工大学A+5 西安交通大学A北京大学：http:/NewsSpecialDetailsInfo.aspx?SID=4浙江大学：http:/NewsSpecialDetailsInfo.aspx?SID=21847吉林大学：http:/NewsSpecialDetailsInfo.aspx?SID=5506大连理工大学：http:/NewsSpecialDetailsInfo.aspx?SID=4388西安交通大学：http:/NewsSpecialDetailsInfo.aspx?SID=18285有该专业的部分院校分数一览（A+、A、B+、B各选部分代表院校）。

华南理工大学数分(二)期末考卷

《数学分析（二）》试卷（A ）一、写出以下定义1、函数f(x)在[a,b]上可积；（5分）2、函数序列f n (x)在(0,1)上内闭一致收敛于f(x)；（5分)二、求不定积分∫x 2+1x +1dx （5分）三、令I n =∫(sin x)n dx π0，求I n 与I n−2之间的递推公式。

（10分）四、平面上的心脏线参数表达式为r (θ)=a (1+cos (θ))，(0≤θ≤2π)，求该曲线所谓区域面积。

（10分）五、旋轮线的参数表达式由x (t )=r (t −sin (t ))，y (t )=r (1−cos (t ))，(0≤t ≤2π)给出，把该曲线绕x 轴旋转一周，求所得旋转体体积。

（10分）六、对不同的值a ，判断反常积分∫ln(1+x)x +∞0dx 的收敛性（条件收敛、绝对收敛）。

（10分）七、令S =∑k 2+12∞k=11、判断该数项级数收敛性（条件收敛、绝对收敛）；（10分）2、求幂级数∑n 2x n ∞k=1的收敛区域；（10分）3、求S 的值；（5分）八、周期函数f(x)={1，(x∈(2kπ,2kπ+π])−1，(x∈(2kπ−π,2kπ])1.求f(x)的傅里叶级数展开a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]；（10分）2.求部分和函数a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]的极限函数f̃(x)；（5分）3.判断函数序列{f n(x)}是否一致收敛于f̃(x)，并说明理由。

（5分）《数学分析（二）》试卷（B）一、写出以下定义1、函数序列f n(x)一致收敛于函数f(x)；（5分）2、数列{a n}的上极限为A；（5分）二、求不定积分∫ln(x 2+1)xdx。

（10分）三、计算定积分∫x sin x1+(cos x)2dxπ。

（5分）四、求椭圆x 24+y2=1内部区域面积。

（10分）五、平面上的心脏线参数表达式为r(θ)=a(1+cos(θ))，(0≤θ≤2π)，ba该曲线在x轴以上的部分绕x轴旋转一周，求所得旋转体的体积（5分）六、对反常积分∫[ln(x)]8x a dx+∞1，1、在a取不同的值时判断它的收敛性（条件收敛、绝对收敛）；（10分）2、在a=2时计算该反常积分的值（5分）七、令S=1−12+13−14+⋯+(−1)n−11n+⋯=∑[∞n=1(−1)n−11n]，1、判断该数项级数收敛性（条件收敛、绝对收敛）；（10分）2、写出函数ln(1+x)及11+x在x=0处的幂级数展开，并判断收敛性；（10分）3、求S的值；（5分）八、定义在全部实数上的周期函数f(x)=x，x∈[2kπ−π,2kπ+π)，1、求f(x)的傅里叶级数展开a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]；（10分）2、求部分和函数a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]的极限函数f̃(x)；（5分）3、判断函数序列{f n(x)}是否一致收敛于f̃(x)，并说明理由。

华工计算机计算方法(数值分析)考试试卷

考完试了，顺便把记得地题目背下来，应该都齐全了.我印象中也就只有这些题，题目中地数字应该是对地，我也验证过，不过也不一定保证是对地，也有可能我也算错了.还有就是试卷上面地题目可能没有我说地这么短，但是我也不能全把文字背下来，大概意思就是这样吧.每个部分地题目地顺序可能不是这样，但总体就是这四大块.至于每道题目地分值，我记得地就写出来了，有些题目没注意.我题目后面写地结果都是我考试时算出来地，考完了也懒得验证了，可能不一定对，自己把握吧，仅供参考.华南理工大学计算机计算方法（数值分析）考试试卷一填空题（分）1.（分）* ，准确值，求绝对误差(*) ，相对误差(*) ，有效数位是.（分）当插值函数地越大时，会出现龙格现象，为解决这个问题，分段函数不一个不错地办法，请写出分段线性插值、分段三次插值和三次样条插值各自地特点.3.（分）已知和相近，将–变换成可以使其计算结果更准确.4.（分）已知–，求牛顿迭代法地迭代式子.解题思路：. 这里地绝对误差和相对误差是没有加绝对值地，而且要注意是用哪个数减去哪个数得到地值，正负号会不一样；. 可以从它们函数地连续性方面来说明；. 只要满足课本所说地那几个要求就可以；这个记得迭代公式就可以直接写，记不住可以自己推导，就是用泰勒展开式来近似求值得到地迭代公式.我最终地结果是：1.2.分段线性插值保证了插值函数地连续性，但是插值函数地一次导数不一定连续；分段三次既保证了插值函数地连续性，也保证了其一次导数地连续性；三次样条插值保证了插值函数及其一次导数和二次导数地连续性3.()4.– ( –)( )二计算题（分）已知() –，用对分法求其在[ , ]区间内地根，误差要满小于，需要对分多少次？请写出最后地根结果.解题思路：每次求区间地中值并计算其对应地函数值，然后再计算下一个区间中值及函数值，一直到两次区间中值地绝对值小于为止.我最终算得地对分次数是，根地结果为.2.根据以下数据回答相应问题：(1)请根据以上数据构造三次插值函数；(2)请列出差商表并写出三次插值函数.解题思路：() 直接按照书本地定义把公式列出来就可以了，这个要把公式记住了才行，不然也写不了；()差商表就是计算三次插值函数过程中计算到地中间值及结果值，可以先在草稿上按照公式地计算过程把公式写出来，然后把中间用到地值整理成一个表格，这个表格就是差商表了，最后再把公式和表格都写到试卷上就行了.当然也可以先把表格写出来，再用表格地数据写出公式都可以.因为我考试地时候也是先写表格，但是我感觉算地时候容易错，特别是除数地位置，很容易搞错相减地两个地值.所以我想如果直接按照公式用到地值来算，可能没那么容易混乱，因为需要哪个就算哪个，地值比较明确，最后再把中间算出来地值填到表格里就可以了.当然这要看个人喜好了.这里地结果有点长，不好写在这里，自己搞定吧，不难，只是直接套公式就可以了.3. 请用分解法求解以下方程组地解⎪⎩⎪⎨⎧3- = x3 - 9x2 + 6x17 = 3x3+ x2 - 4x11- = x3 - x2 + 2x1解题思路：这个直接套公式算就好了，只要数没有算错，基本都是对地.有时候要注意看是列主元还是直接法，我当时好像没注意，这里应该没有要求用列主元.我最终算得地结果是, , ，其中算出来地矩阵分别是： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-123121 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--12531124. （分）已知下列矩阵方程，根据以下要求回答问题： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡210131012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111 (1) 求该矩阵方程地高斯赛达尔()迭代法地收敛性；(2) 求该矩阵方程地高斯赛达尔()迭代法地迭代公式；(3) 已知() ()，求()?解题思路：() 这个证明可以有两种方法，第一种用课本地定义来算，就是将系数矩阵地下三角系数全都乘上一个λ值，然后计算行列式，把所有地λ求出来，只要所有地λ都小于，那么就收敛；第二种方法就是用课本地定理证明，如果系数矩阵是强对角占优地，那么简单迭代法（）和迭代法都收敛，这道题刚好满足条件；() 这个迭代公式只要把矩阵和矩阵求出来就可以写出迭代公式了；() 把()代入()中地迭代公式就可以求出来.我地最终结果是：我直接用强对角占优证明，只写了两句话，不知道老师是不是要求我们用算地...至于强对角占优地判定，书上有，大概意思就是每一行中在主对角线上地那个数地绝对值比旁边所有数地绝对值加起来都要大就是强对角占优了.弱对角就是可以等于.详细定义翻书吧.(2) 我算出来地和矩阵如下：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--02/1003/10，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--03/1002/10，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-2/13/12/1迭代公式就是() () ()(3) () (, , )5. 已知以下方程，请利用最小二乘法求解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧0 = 7x2 + 2x1-13= 6x2 + 3x12 = 5x2 + x1-5 = 2x2+ x1解题思路：首先构造一个多变量拟合函数() ，可以把，看成是系数来求解，按照多变量拟合函数求解方法就可以得到结果.我最终算得地结果是：方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧⨯=⨯+⨯⨯=⨯+⨯∑∑∑∑∑∑y t t t x t t x yt t t x t t x 22222111212111计算值并代入：⎩⎨⎧=+=+9821141422115x x x x计算地结果为：,请用复化梯形求积公式求出积分dx ⎰10x -e （注：里面地函数是）地近似值，要求误差限满足，请问需要将区间[]分成多少份？解题思路：首先是先把复化梯形求积公式地误差公式写出来，这个要记得，利用误差公式计算出满足精度要求地即可.我最终算得地结果是：误差公式为’’(ŋ)ŋŋ≤≤，≥√≈，也就是满足条件.三证明题（分）已知函数()，其在区间[]内地三个插值点为,（）. 请证明函数()在[]区间内满足下列关系： 6/)]()2/)((4)()[()(b f b a f a f a b dx x f b a +++-≈⎰解题思路：利用这三个插值点写出插值函数，原函数约等于插值函数，所以原函数地积分也约等于插值函数地积分，然后算出插值函数地积分结果就是证明地公式，其实这个就是课本地公式地证明.这个证明过程看课本吧.四程序题（分）前面有一段介绍列主元高斯消元法地步骤地说明（没背下来，都是文字，参考课本吧）请按照列主元高斯消元法地思路将代码中地空格填写完整：1. 输入系数矩阵，右端项及ε；2. 选主元及消元：选主元： ≤≤若 <ε，则打印“求解失败”，停机；否则若≠，则交换地第行和行，交换行和行；消元：––3. 回代若≤ε，则打印“求解失败”，停机，否则(∑+=nijaijxj1)4.打印(…)解题思路：这个直接按照列主元高斯消去法地计算过程去写就好了.结果我写在代码里面了，是按照课本写地，我考试地时候写地应该也是这样.。

华南理工大学20212016学第一学期研究生课程安排表

华南理工大学2015—2016学年度第一学期研究生课程安排表学院：电子与信息学院专业：电子科学与技术年级：2015级人数：37执行时刻：2021年9月7日电子科学与技术含物理电子学、电路与系统、微电子学与固体电子学、电磁场与微波技术四个专业。

制表时刻： 2021年8月上课时刻：上午8：00－11：40，下午14：30－18：00，晚上19:00开始。

备注：2021级硕士第周围周一（9月22日）开始上课，自然辩证法在第11周开课；数值分析、数理统计只安排在培育打算中作为必修课的研究生。

华南理工大学2015—2016学年度第一学期研究生课程安排表学院：电子与信息学院专业：信息与通信工程年级：2021级人数：100执行时刻：2021年9月7日电子科学与技术含物理电子学、电路与系统、微电子学与固体电子学、电磁场与微波技术四个专业。

制表时刻： 2021年8月上课时刻：上午8：00－11：40，下午14：30－18：00，晚上19:00开始。

备注：2021级硕士第三周周一（9月21日）开始上课，自然辩证法在第11周开课；数值分析、数理统计只安排在培育打算中作为必修课的研究生。

华南理工大学2021—2016学年度第一学期研究生课程安排表学院：电子与信息学院专业：电子与通信工程（专业学位）年级：2021级人数：85执行时刻：2021年9月7日上课时刻：上午8：00－11：40，下午14：30－18：00，晚上19:00开始。

制表时刻： 2021年8月备注：2021级硕士第三周周一（9月21日）开始上课，自然辩证法在第11周开课；数值分析、数理统计只安排在培育打算中作为必修课的研究生。

华南理工大学2021—2016学年度第一学期研究生课程安排表学院：电子与信息学院专业：集成电路工程（专业学位）年级：2021级人数：17执行时刻：2021年9月7日上课时刻：上午8：00－11：40，下午14：30－18：00，晚上19:00开始。

华南理工大学数值分析

10．设为区间[0,1]上带权且首项系数为1的k次正交多项式序列,其中 ,则 _________.
二.(10分)用直接三角分解方法解下列线形方程组
三. (12分)对于线性方程组
写出其Jacobi迭代法及其Guass-Seidel迭代法的分量形式,并判断它们的收敛性.
四. (12分)对于求的近似值,若将其视为的根,
(1).写出相应的Newton迭代公式.
(2).指出其收敛阶(需说明依据).
五.(12分)依据如下函数值表
0
1
1
2
0
(1).构造插值多项式满足以上插值条件
(2).推导出插值余项.
六.(10分)已知离散数据表
x
1
2
3
4
y=f(x)
0.8
1.5
1.8
2.0
若用形如进行曲线拟合,求出该拟合曲线.
七. (12分)构造带权的Guass型求积公式.
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工ຫໍສະໝຸດ 学期末考试《数值分析》试卷A卷
注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚；
2.可使用计算器，解答就答在试卷上；
3．考试形式：闭卷；
4.本试卷共八大题，满分100分。考试时间120分钟。
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
得分
评卷人
一．填空题（每小题2分,共20分）
八. (12分)对于常微分方程的初值问题
(1).若用改进的欧拉方法求解,证明该方法的收敛性.
(2).讨论改进欧拉方法的稳定条件.
1．已知自然数e＝2.718281828459045…，取e≈2.71828，那么e具有的有效数字是____________.

数值分析

3. 数值计算中的误差
• 来源及种类 --- 模型误差、参数误差、截断误差、舍入误差。
1. 模型误差（也称描述误差）
模型误差是在建立数学模型时，由于忽略了一些次要因素
而产生的误差，它是数学建模阶段要考虑的误差，不是计算方法可以解决的。
2. 参数误差（也称观测误差）
测量已知参数时，数据带来的误差，它也不是计算方法能解决的问题。
插值：已知[a, b]上的函数y= f (x)在n+1个互异点处的函数值:
x
x0
x1
x2

xn
f(x)
f0
f1
f2

fn
求简单函数 P (x)，使得
P(xi ) fi
i 0,1,L ,n L L (*)
计算 f (x)可通过计算 P (x)来近似代替。如下图所示。
y
f(x)
▪ Matlab 简介
第一章绪论
主要内容：一些常用概念；数值算法的复杂度与稳定性。数值计算中的误差；数值算法设计的若干原则；
1.数值分析中常用的一些概念
数值问题数值解算法计算量病态问题算法数值稳定性
数值问题、数值解、算法
➢ 由一组已知数据（输入数据），求出一组结果数据（输出数据），使得这两组数据之间满足预先制定的某种关系的问题，称为数值问题。
舍入误差是由于计算机只能表示有限位数字，因而只能取有限位数进行计算所得的误差，它也是计算方法关注的内容。
（举例： 3.141592653L ）
数值计算中的误差
• 误差的基本概念
➢ 绝对误差 --- 近似数 x * 关于准确数 x 的绝对误差：

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_____________.
10．设{}k k 0q x ()∞
=为区间[0,1]上带权x ρ=且首项系数为1的k 次正
交多项式序列, 其中0q x 1()=, 则1q x ()=_________. 二.(10分) 用直接三角分解方法解下列线形方程组
123215x 114112x 27245x 12⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
三. (12分) 对于线性方程组
123142x 202310x 3521x 12-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
写出其Jacobi 迭代法及其Guass-Seidel 迭代法的分量形式, 并判断它们的收敛性.
四. (12分)
, 若将其视为22x 30()-=的根, (1). 写出相应的Newton 迭代公式.
(2). 指出其收敛阶(需说明依据).
五. (12分) 依据如下函数值表
(1). 构造插值多项式满足以上插值条件
(2). 推导出插值余项.
六.(10分) 已知离散数据表
若用形如2
y ax bx =+进行曲线拟合, 求出该拟合曲线.
七. (12分) 构造带权x
()ρ=
的Guass 型求积公式.
1
00110
x dx A f x A f x ()()()≈+⎰
八. (12分) 对于常微分方程的初值问题
dy
2y dx y 02
()⎧=-⎪⎨⎪=⎩ (1). 若用改进的欧拉方法求解, 证明该方法的收敛性. (2). 讨论改进欧拉方法的稳定条件.。