周期问题 《巧算“星期几”》
六年级上册数学讲义-能力提升：第06讲 巧算星期几(下)((解析版)全国通用)
PC 第06讲巧算星期几（下）教学目标：1.认知星期的周期性，能够巧算星期几，并复习年月日的知识；2.培养学生的计算能力、判断能力、分析能力及对常识的认知；3.体验生活中的数学，激发学生的学习兴趣。
教学重点：1．使学员掌握根据某天的日期制作日历的方法；2．使学员掌握根据给定的日期求解未知日期的方法。
教学难点：使学员掌握结合逻辑推理的巧算星期几的问题。
教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】1.巧算星期几问题的特点：一个星期有7天，7天为一周期。
如果从某月1号开始计算，1-7号是一个周期，1号是第一个循环第1天，7号是第1个循环最后1天，8号就是第2个循环的开始。
2.巧算星期几的方法：要计算某日是星期几，先计算从第一天到最后一天一共多少天，再把天数除以7，对余数进行分析，余数是几，就从第一天开始数，数到的第几天是星期几就是所要求的星期几。
【知识回顾——上期巩固】已知2006年元月1日是星期日。
问：①2006年6月1日是星期几？②2006年10月1日是星期几？③2008年6月1日是星期几？➢从2006年元月1日算起，分别一共有多少天？➢如何分别求出它们是星期几？解析部分：我们对每一个问题进行分析，计算出从元月1日到计算的日期一共有多少天，然后除以7看余数，再从起算的第一天的星期起推算。
参考答案：①2006年元月1日星期日，这年是平年，从元月1日到6月1日共31＋28＋31＋30＋31＋1＝152（天），152÷7＝21（周）……5（天），所以6月1日是星期四；②2006年6月1日是星期四，从6月1日到10月1日共30＋31＋31＋30＋1＝123（天），123÷7＝17（周）……4（天），所以10月1日是星期日；③从2006年6月1日到2008年6月1日经过两年时间，其中2007年是平年，2008年是闰年，共计365＋366＋1＝732（天），732÷7＝104（周） (4)（天），所以2008年6月1日是星期日。
计算星期几的方法
计算任何一个日期是星期几的方法蔡勒公式W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13×(M+1) / 5] + d - 1 C是世纪数减1，y是年份后两位，M是月份（从3月开始，1月和2月要按上一年的13月和14月来算，这时C和y均按上一年取值），d是日数。
求出W的值，再除以7，余几就是星期几，余数为0，则是星期天。
注意：[...]表示只取整数部分注意：公式中如计算得出负数，不能按习惯的余数的概念求余数，只能按数论中的余数的定义求余。
为了方便计算，我们可以给它加上一个7的整数倍，使它变为一个正数，比如加上7、14、21、28等，得到一个整数后，再除以7，余几，说明这一天是星期几。
例1：2004年的9月1日是星期几？C=20 y=04 M=9 d=1W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13×(M+1) / 5] + d - 1=[20/4]－2×20＋04＋[04/4]＋[13×（9＋1）/5]＋1－1 =5－40＋4＋1＋[13×2]＋1－1=5－40＋4＋1＋26＋1－1=－4W为负数不行，加7的倍数14，得10。
10除以7，余数为3，2004年的9月1日是星期三。
例2：2010年的7月15日是星期几？C=20 y=10 M=7 d=15W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13×(M+1) / 5] + d - 1=[20/4]－2×20＋10＋[10/4]＋[13×（7＋1）/5]＋15－1 =5－40＋10＋2＋[13×8/5]＋14=－23＋20＋14=1111除以7余数为4，2010年的7月15日是星期四。
链接：1世纪为100年,2000年以后为21世纪,以此类推1个年代为10年,90-99为90年代,以此类推!如：1900年是19世纪、1901年是20世纪、2000年是20世纪、2001年是21世纪。
巧算星期几
其中，k是整数，要适当选取k的值，使0≤N1＜400，如N=1985，可取k=4，则N1=1985－400×4=385。
二、用下面的公式（2）求R：
R=[ ]－B…………………………………………………（2）
其中， 只取商的整数部分，不要尾数；B等于N1－1的百位数。如N1=385时，B=3，R=[ ]－B= R=[ ]－3=96－3=93.
三、求出从要求的这一年的1月1日到要求的这一天（包括这一天）的天数T。
四、求下面算式余数，余数是几，要求的这一天就是星期几：
（N1－1+R+T）÷7
例如，1818年5月5日是星期几？
N1=1818－400×4=218
R=[ ]－B= [ ]－2=54－2=52
T=31+28+31+30+5=125
（218－1+52+125）÷7=56……2
按照现行历法（公历），连续400年的总天数正好是7的倍数，今天是星期几，400年前（或400年后）、800年前（或800年后）……的今天也是星期几。
所以，我们用上面的方法求某一天是星期几时，不论这是哪一年的一天，都可以当成是公元1年至400年中某一年的同月同日来求。这样就可以使计算简便，方法是：
一、用下面的公式（1）求N1：
三、求（N－1+R+T）÷7的余数。
用这个算式算出商的整数部分后，余数是几，要求的这一天就是星期几；如果余数是0（正好除尽），则这一天就是星期日。
在开头的例子中，（N－1+R+T）÷7=(1985－1+481+253)÷7
=2718÷7=388……2
根据年月日巧算星期几
根据年月日巧算星期几蒲纺二小乐志超王宝山亲爱的读者，如果给你年月日的具体数据，你能很快推算出这一天是星期几吗？笔者在辅导学生数学活动的时候，发现了一个有趣的规律。
现整理出来，供广大数学爱好者参考。
首先说说三个小常识：一、公元元年的元月一日是星期一；二、公元年分平年和闰年，平年每年有365天，闰年每年有366天。
闰年里多出一天放在二月份。
三、根据地球绕太阳转的运行规律，历法学家们规定年份数是4的倍数这一年就是闰年。
但世纪年份数必须是400的倍数的这一年才是闰年。
其他的年份都是平年。
由常识二，我们可以推算出一平年有52星期多一天，一闰年有52星期多两天。
这就可以证明某平年的元旦是星期几，当年的12月31日也一定是星期几。
下一年无论是平年还是闰年，元旦这一天一定是星期几（几+1）。
某闰年的元旦是星期几，当年的12月31日一定是星期（几+1），下一年元旦这天一定是（几+2）。
根据这个结论再联想到常识一和常识三，我们就可以着手计算任意年份的元旦是星期几了。
设已知的年份数为a，把这a年全部按照平年来计算。
因为一平年是52个星期多一天，a年就会多a天。
在a年中，是4的倍数的年份数有[a÷4]个；（这里的[a÷4]表示4除a的整数商，类似的意思相同），是世纪年的年份数有[a÷100]个；是400的倍数的年份数有[a ÷400]个。
如果公元a年是平年，那么从公元元年元月1日到公元a 年的元月1日，一共经过了52（a-1）个星期还多（a+[a÷4]-[a÷100]+[a÷400]）天。
如果公元a年是闰年，那么从公元元年的元月1日到公元a年的元月1日，一共经过了52（a-1）个星期还多（a-1+[a ÷4]-[a÷100]+[a÷400]）天。
为什么这里会出现“a-1”天呢？这是因为闰年里多出的一天加到二月份，是2月29日这一天，而公元a 年（闰年）的元月1日还没有经过这一天，所以在计算闰年时要减去一天，用“a-1”表示。
【三年级】巧算周期问题
【三年级】巧算周期问题周期是指事物按照一定的时间间隔重复出现的规律性现象。
在日常生活中，很多事物都存在着周期性，比如天有白天和黑夜的交替，季节有春、夏、秋、冬的循环，人体有每天的作息规律等等。
周期性的现象有很多，而巧算周期问题就是通过运算找出这些周期的规律。
巧算周期问题是一种有趣又有挑战性的数学问题，通过巧妙的计算方法和观察力，我们可以找出一些数字之间的规律。
这些规律就是周期现象的重复模式，只要找到了这个模式，我们就可以用简单的方法来计算周期内的各个数字。
我们用整数从1开始连写，1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ……一直写下去。
那么，我们可以观察到，这些数字在个位数上的个位数是按1 2 3 4 5 6 7 8 9 0的顺序不断重复的。
这个重复的模式就是周期，而这个周期的长度是10个数字。
巧算周期问题可以应用到加减乘除等各种运算中。
我们来看一个例子：计算6的100次方。
我们可以观察到，当我们计算6的每一个次方时，个位数都是按照6 6 6 6 6 6 6 6 6 6……这样的规律来重复的。
而周期的长度是4个数字。
那么，我们只需要找到这个周期的第100个数字，也就是100除以4的余数为0。
所以，6的100次方的个位数是6。
巧算周期问题需要我们用观察力和逻辑思维来找出重复的数字模式，从而简化计算的步骤。
通过巧妙地掌握巧算周期问题，我们可以在数学运算中节省时间和精力。
巧算周期问题还可以培养我们的观察力和思维能力。
在寻找周期的过程中，我们需要细心观察数字之间的规律，并用逻辑推理来找出重复的模式。
这种训练可以提高我们的逻辑思维和问题解决能力，培养我们的数学思维。
轻松巧算星期几
轻松巧算星期几梁志恩(1997年11月于湛江市硇洲岛，2013年更新)不用看日历，就能知道某年的任何日期是星期几，竟然有这么神奇的事情，你信吗？不相信的话就请你记住“144025 036146”这12个数字，再学会下面的这个巧算方法，保证你在1分钟內就能够换算出2013年的某月某日是星期几。
快来跟我一起动手试一试吧！上面的12个数字从左开始依次是2013年1月到12月份的代码。
计算公式为：（日期+代码）÷7。
代入公式计算后，若能整除，这天便是星期天；若有余数，则余数就是星期数；若被除数即（日期+代码）的和小于7，则被除数就是星期数。
例如：2013年4月7日，代入公式得（7+0）÷7，刚好整除，则这天是星期天；2013年8月8日，代入公式得（8+3）÷7，计算得余数为4，则这天是星期四；2013年10月1日，代入公式得（1+1）÷7，被除数2小于7，则这天便是星期二。
是不是很简单？那代码又是如何得来的呢？代码是梁先生本人在1997年推算“某年某月某日是星期几”的过程中总结出来的特殊数字，并且有着这样的规律：每个月份的最后一天星期数便是下一个月的代码。
如当月最后一天为星期天对应的则是“0”，当月最后一天为星期一，则下月的代码就是“1”，如：2013年3月31日为星期天，则2013年4月份的代码就为“0”；2013年9月30日为星期一，则2013年10月份的代码就为“1”；2013年5月31日为星期五，则2013年6月份的代码就为“5”。
由此可知，一年的十二个代码是由0、1、2、3、4、5、6这7个数字组合而成。
例如：2012年十二个代码分别为：623614625035。
根据不断的推算，代码是有规律的，并且某一年的代码也不是唯一的，如1984年和2012年的代码一样，2009年和2015年的代码一样。
经过推算总结得知，闰年和平年的代码分别有7种组合，即所有年份的代码共有14种组合。
周期问题—《巧算“星期几”》
周期问题——《巧算“星期几”》教学目标：1、根据时间、日期的知识，解决一些时间问题。
2、掌握计算共经过的天数：从头到尾总天数除以7得出的余数是几，就从第一周期第一项开始数几，即可推知是星期几。
算头不算尾、算尾不算头的总天数除以7得出的余数是几，就从第一周期第一项的下一项开始数几，推知是星期几。
教学过程：一、实践畅销1、探究1：平南小学从2011年12月1日到2011年12月20日举行第三届英语节活动，活动一共举行了多少天？T:：请独立思考，比一比谁能快速得出结果？S1:20天S2：19天T:谁的想法对？用什么方法验证？S:可以将日期列一列。
S:可以列算式20-1=19 19+1=20T:为什么要加1？（头尾都要算，所以要加1）小结：计算从某年（月日）起到某年（月、日）共经过的天数，一般要连头带尾算，也就是经过的年数（天数）=结尾数-开始数+1。
板书：经过的年数（天数）=结尾数-开始数+12、试一试：根据上面的方法，算算经过的天数。
2012年的春节从2012年1月22日到2012年1月31日，经过了（）天。
2008年3月10日到2008年4月10日，经过了（）天。
T:先独立思考，再将你的想法和同桌交流。
反馈：1）31-22+1=10天2）31-10+10+1=32天3、探究2：2012年第二学期从2月7日开学到2012年6月25日放假，一共有（）天。
T:这道题的天数较多，你准备用什么办法解决？先试一试，填一填，再集体反馈反馈：可以用分段推算的方法。
注意考虑2012年是闰年，注意考虑到2月份有29天。
可以将这些天分段如下：第一段：2月7日到2月29日，共23天。
第二段：3月共31天。
第三段：4月共30天第四段：5月共31天第五段：6月1日到6月25日共25天。
合计天数：23+31+30+31+25=140天追问：如果开学那天是周二，放假那天是周几？S1:140/7=20，没有余数，所以是周二S2:应该是周一。
周期问题——《巧算“星期几”》
周期问题——《巧算“星期几”》教学目标：1、根据时间、日期的知识，解决一些时间问题。
2、掌握计算共经过的天数：从头到尾总天数除以7得出的余数是几，就从第一周期第一项开始数几，即可推知是星期几。
算头不算尾、算尾不算头的总天数除以7得出的余数是几，就从第一周期第一项的下一项开始数几，推知是星期几。
教学过程：一、实践畅销1、探究1：平南小学从2011年12月1日到2011年12月20日举行第三届英语节活动，活动一共举行了多少天？T:：请独立思考，比一比谁能快速得出结果？S1:20天S2：19天T:谁的想法对？用什么方法验证？S:可以将日期列一列。
S:可以列算式20-1=19 19+1=20T:为什么要加1？（头尾都要算，所以要加1）小结：计算从某年（月日）起到某年（月、日）共经过的天数，一般要连头带尾算，也就是经过的年数（天数）=结尾数-开始数+1。
板书：经过的年数（天数）=结尾数-开始数+12、试一试：根据上面的方法，算算经过的天数。
2012年的春节从2012年1月22日到2012年1月31日，经过了（）天。
2008年3月10日到2008年4月10日，经过了（）天。
T:先独立思考，再将你的想法和同桌交流。
反馈：1）31-22+1=10天2）31-10+10+1=32天3、探究2：2012年第二学期从2月7日开学到2012年6月25日放假，一共有（）天。
T:这道题的天数较多，你准备用什么办法解决？先试一试，填一填，再集体反馈反馈：可以用分段推算的方法。
注意考虑2012年是闰年，注意考虑到2月份有29天。
可以将这些天分段如下：第一段：2月7日到2月29日，共23天。
第二段：3月共31天。
第三段：4月共30天第四段：5月共31天第五段：6月1日到6月25日共25天。
合计天数：23+31+30+31+25=140天追问：如果开学那天是周二，放假那天是周几？S1:140/7=20，没有余数，所以是周二S2:应该是周一。
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周期问题——《巧算“星期几”》
教学目标：
1、根据时间、日期的知识，解决一些时间问题。
2、掌握计算共经过的天数：
从头到尾总天数除以7得出的余数是几，就从第一周期第一项开始数几，即可推知是星期几。
算头不算尾、算尾不算头的总天数除以7得出的余数是几，就从第一周期第一项的下一项开始数几，推知是星期几。
教学过程：
一、实践畅销
1、探究1：
平南小学从2011年12月1日到2011年12月20日举行第三届英语节活动，活动一共举行了多少天？
T:：请独立思考，比一比谁能快速得出结果？
S1:20天S2：19天
T:谁的想法对？用什么方法验证？
S:可以将日期列一列。
S:可以列算式20-1=19 19+1=20
T:为什么要加1？（头尾都要算，所以要加1）
小结：计算从某年（月日）起到某年（月、日）共经过的天数，一般要连头带尾算，也就是经过的年数（天数）=结尾数-开始数+1。
板书：经过的年数（天数）=结尾数-开始数+1
2、试一试：根据上面的方法，算算经过的天数。
2012年的春节从2012年1月22日到2012年1月31日，经过了（）天。
2008年3月10日到2008年4月10日，经过了（）天。
T:先独立思考，再将你的想法和同桌交流。
反馈：1）31-22+1=10天2）31-10+10+1=32天
3、探究2：
2012年第二学期从2月7日开学到2012年6月25日放假，一共有（）天。
T:这道题的天数较多，你准备用什么办法解决？
先试一试，填一填，再集体反馈
反馈：可以用分段推算的方法。
注意考虑2012年是闰年，注意考虑到2月份有29天。
可以将这些天分段如下：
第一段：2月7日到2月29日，共23天。
第二段：3月共31天。
第三段：4月共30天
第四段：5月共31天
第五段：6月1日到6月25日共25天。
合计天数：23+31+30+31+25=140天
追问：如果开学那天是周二，放假那天是周几？
S1:140/7=20，没有余数，所以是周二
S2:应该是周一。
T:有两种意见，哪一种对呢？
我们以一个周期来观察，可以发现第八天时，会与第一天的周几重复，也就是说当余数为1
时，从第一个开始，当没有余数时，就是一个周期的最后一天。
二、判断与改错
例1：今天是星期一，从今天起，第30天是星期几？
30÷7=4（个）…2（天）从星期二开始，数两天，答案是：星期三。
例2：如果今天是星期二，再过90天是星期几？
90÷7=12（个）…6（天）从星期二开始，数6天，答案是：星期日。
例3：今年的“六一”儿童节是星期三，今年的教师节是星期几？
29+31+31+10=101（天）101÷7=14（个）…3天）从星期三开始，数三天，答案是：星期五。
例4：2005年10月1日，国庆节的那天刚好是星期六，同学们可知道2006年1月1 日，元旦节的那天是星期几吗？
31+30+31=92（天）92÷7=13（天）…1（天）从星期六开始，数一天，答案是：星期六分析错因：
1、对这类问题的源头“周期性”不理解。
2、总天数从哪里算起搞不明白。
小结：
巧算“星期几”属于周期问题，解决这类问题，余数起决定性的作用，但是，要余数正确，首先要算准总天数，还要确定循环的第一周期的第一项，最后才能确定是星期几。
四步解题策略
第一步：写出循环的第一周期。
第二步：从头到尾算出总天数，或者算头不算尾、算尾不算头的算出总天数。
第三步：用总天数除以一个循环周期7天。
第四步：根据余数数出是星期几。
从头到尾总天数除以7得出的余数是几，就从第一周期第一项开始数几，即可推知是星期几。
算头不算尾、算尾不算头的总天数除以7得出的余数是几，就从第一周期第一项的下一项开始数几，推知是星期几。
正解
例1：⑴、写出循环的第一周期。
一，二，三，四，五，六，日。
⑵、从头到尾算出总天数是30 天（已知）。
⑶、用总天数除以一个循环周期7天，30÷7=4（个）…2（天）
⑷、因为天数是从头到尾的天数，所以余2，就以周期第一项开始数到2，得出第30天为星期二。
例2、（1）写出循环的第一个周期，二，三，四，五，六，日，一。
（2）从头到尾的总天数是1+90=91天，算尾不算头的总天数是90天。
（3）用总天数除以一个循环周期7天，91÷7=13（个）或90÷7=12（个）…6（天）（4）从头到尾算的天数没有余数，正好一个周期结束，所以是星期一。
算尾不算头天数除以7得余数是6，就从循环周期第一项的下一项开始数到6，结果也是星期一。
例3、（1）写出循环的第一个周期，三，四，五，六，日，一，二。
（2）从头到尾算的总天数是30+31+31+10=102（天）
（3）用总天数除以一个循环周期7天是：102÷7=14（个）…4（天）
（4）因为从头到尾算总天数，所以余数4，就从循环的第一项开始数到第四项，得出星期六。
例4、（1）写出循环的第一个周期，六，日，一，二，三，四，五。
（2）从头到尾算的总天数是30+31+31+1=93（天），或者算头不算尾的总天数是；
31+30+31=92（天）
（3）用总天数除以一个循环周期7天是：从头到尾93÷7=13（个）…2（天），或者算头不算尾92÷7=13（个）…1（天）
（4）从头到尾算的余数是2，就从循环周期第一项数到第二项是星期日。
算头不算尾的余数是1，就从循环第一项的下一项数一项，也是星期日。
三、思维星空站
豆豆1999年已经20岁了，可是他1996年才过了第6个真正的生日，豆豆出生在几月几日？到了今年豆豆几岁？过了第几个生日？（刚出生的那天算作过第一个生日）
正解：豆豆出生在2月29日。
6个生日分别是1996、1992、1988、1984、1980、1976年，出生的第一个生日是1976年2月29日。
到了今年2012-1976+1=37岁，2000、2004、2008、2012到了2012年的2月29日过了10个生日。