(完整)华东师大版初中数学各年级重难点分析
九年级数学知识点华东师范
九年级数学知识点华东师范数学作为一门精密而又有趣的学科，对于学生在学术发展中具有重要的意义。
华东师范大学作为国内一流的师范学府，在数学领域积累了丰富的教学经验和优秀的教师资源。
下面我们将结合华东师范大学九年级数学课程的教学内容，探讨九年级数学知识点，帮助同学们全面了解和掌握九年级数学知识。
1. 整数与有理数整数和有理数是九年级数学中的基础概念。
同学们首先需要掌握整数的加减乘除运算法则，包括正负数的相加减和乘除的规律。
然后学习有理数的概念，包括有理数的四则运算和混合运算。
在解决实际问题时，同学们需要将整数与有理数的知识应用到实际情境中，计算出正确的答案。
2. 线性方程和不等式线性方程和不等式是九年级数学中的重要内容。
同学们需要熟练掌握一元一次方程和一元一次不等式的解法，包括用等式和不等式的性质推导解集，解法多样性，并能够解决实际问题中的线性方程和不等式。
3. 几何图形与相似几何图形是九年级数学课程中的另一个重要内容。
同学们需要了解各种几何图形的性质和特点，包括多边形、圆和三角形的性质，并能够应用这些知识解决实际问题。
此外，同学们还需要学习相似三角形的性质和判定方法，以及相似三角形之间的比例关系。
4. 直角三角形与三角函数直角三角形是九年级数学中的一个重要概念，也是三角函数的基础。
同学们需要了解直角三角形的性质和特点，包括勾股定理和正弦定理、余弦定理的应用。
同时，同学们还需要学习正弦函数、余弦函数和正切函数的概念、性质和图像，并能够应用三角函数解决实际问题。
5. 数据与统计数据与统计是九年级数学中的一个实用内容。
同学们需要学习如何收集和整理数据，如何用图表和统计量来描述数据的分布和规律。
同学们还需要学习如何进行概率的计算和应用，包括事件的概念、基本概率公式和条件概率。
综上所述，九年级数学知识点涵盖了整数与有理数、线性方程和不等式、几何图形与相似、直角三角形与三角函数以及数据与统计等内容。
同学们在学习这些知识点时，不仅需要了解其基本概念和性质，还需要在解决实际问题中灵活运用。
(华东师大版)七年级上册数学全册教案
第一章走进数学世界1.1 与数学交朋友学习目标：1、使学生初步到数学与现实世界的密切联系，懂得数学的价值，形成用数学的意识；2、使学生初步体验到数学是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程。
学习重难点：重点：加强数学意识；难点：数学能力的培养。
学习过程：一、与数学交朋友1、数学伴我们成长人来到世界上的第一天就遇到数学，数学将哺育着你的成长。
数学知识开阔了你的视野，改变了你的思维方式，使你变得更聪明了。
从生活的一系列人生活动中，我们会逐渐意识到这一切的一切都和数、数的运算、数的比较、图形的大小、图形的形状、图形的位置有关。
另外，数学知识开阔了你的视野，改变了你的思维方式，使我们变得更聪明。
2、人类离不开数学自然界中的数学不胜枚举。
如：蜜蜂营造的峰房；电子计算机等等。
从生活中的常见的天气预报图，从经济生活中的股票指数，到某些图案的组成：3、人人都能学会数学数学并不神秘，不是只有天才才能学好数学，只要通过努力，人人都能学会数学。
学好数学要对数学有兴趣，要有刻苦钻研的精神，要善于发现和提出问题，要善于独立思考。
学好数学还要关于把数学应用于实际问题。
二、激发训练：三、作业巩固：第一章走进数学世界1.2 让我们来做数学学习目标：1、使学生对数学产生一定的兴趣，获得学好数学的自信心；2、使学生学会与他人合作，养成独立思考与合作交流的习惯；3、使学生在数学活动中获得对数学良好的感性认识，初步体验到什么是“做数学”。
学习重难点：重点：如何培养学生对数学的兴趣；难点：学生对数学的感性认识。
学习过程：一、让我们来做数学：1、跟我学要正确地解数学题，需要掌握数学题的方法。
例：如图所示的33 的方格图案中多少个正方形？2、试试看例：在如图中，填入1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数，使每行、每列及对角线上各数的和都为15。
例：在上图中，已经填入了1至16这16个数中的一些数，请将剩下的数填入空格中，使每行、每列及对角线上各数的和都为34。
华东师大版七年级上册数学各章知识总结
华东师大版七年级上册数学各章知识总结
本文档总结了华东师大版七年级上册数学各章的知识点。
以下是每章的简要概述：
第一章：数与代数运算
本章主要介绍了数的概念和代数运算。
包括整数的加减法、乘除法，以及如何运用代数符号表示数学关系。
第二章：平面几何
此章涵盖了平面几何中的基本概念和性质。
包括点、线、面，以及直线、曲线的判断和分类方法。
第三章：图形的认识
该章讲解了各种图形的特征和性质。
包括多边形、圆、三角形和四边形等图形的定义、性质和分类。
第四章：实数的认识
在这一章中，我们研究了实数的概念和性质。
包括自然数、整数、有理数和无理数的区别和运算方法。
第五章：方程与不等式
此章重点介绍了方程和不等式的概念和解法。
包括一元一次方程和一元一次不等式的求解过程。
第六章：比与比例
本章讲解了比与比例的概念和运算方法。
包括比的表示方式、比例的性质和比例的计算。
第七章：数据与统计
在这一章中，我们研究了数据的收集和整理方法，以及统计图表的制作和解读。
第八章：解析几何初步
该章介绍了解析几何的基本知识和应用。
包括坐标系、点的坐标、距离和斜率的计算方法等。
以上是华东师大版七年级上册数学各章的简要总结。
如有详细内容需求，请参考教材或课堂讲义。
华东师范版数学七上到九下的知识点总结
华东师范版数学七上到九下的知识点总结摘要：一、引言：华东师范版数学七上到九下的知识点总结概述二、七年级上册数学知识点总结1.有理数的概念与运算2.整式的加减与乘除3.一元一次方程的解法与应用4.几何图形的性质与计算5.统计与概率的基础知识三、七年级下册数学知识点总结1.平行线与垂直线的性质2.相交线与平行线的基本定理3.三角形的基本知识与分类4.三角形的证明与判定5.四边形的基本性质与分类四、八年级上册数学知识点总结1.实数的概念与运算2.一元二次方程的解法与应用3.函数的基本概念与性质4.二次函数的图像与性质5.数据的整理与分析五、八年级下册数学知识点总结1.几何图形的变换与应用2.圆的基本性质与计算3.圆的证明与判定4.相似三角形与比例的基本性质5.事件的概率与随机事件六、九年级上册数学知识点总结1.解直角三角形的基本知识2.数据的概率与统计3.二次函数与几何变换4.逻辑推理与证明5.数学建模与应用七、九年级下册数学知识点总结1.锐角三角函数的基本知识2.三角形的面积与周长计算3.概率与事件的组合4.圆锥曲线的基本性质5.数学思想与方法的应用正文：华东师范版数学七上到九下的知识点总结华东师范版数学七上到九下的知识点总结，涵盖了从七年级上册到九年级下册的全部数学内容。
本文将按照各册教材的顺序，对各个知识点进行梳理和总结，以便于同学们复习和巩固。
一、七年级上册数学知识点总结1.有理数的概念与运算：掌握有理数的概念、分类、运算规律和运算方法，了解有理数在实际生活中的应用。
2.整式的加减与乘除：熟练运用整式的加减、乘除法则，解决相关实际问题。
3.一元一次方程的解法与应用：学会解一元一次方程，掌握方程的应用，如行程问题、工程问题等。
4.几何图形的性质与计算：了解几何图形的基本性质，掌握三角形、四边形的面积和周长计算方法。
5.统计与概率的基础知识：学习数据的收集、整理、分析方法，了解概率的基本概念和应用。
华东师大版七年级上册数学各章考点总结
华东师大版七年级上册数学各章考点总结第一章：有理数1. 有理数的概念及表示方法：- 有理数是整数和分数的统称，可以用分数线有限的十进制数或整数形式表示。
- 有理数可以是正数、负数或是零。
2. 有理数的比较和大小关系：- 有理数比较时，可以根据大小关系进行比较运算。
- 正数比负数大，负数比正数小。
- 绝对值较大的有理数较大。
3. 有理数的加法和减法：- 有理数的加法满足“结合律”和“交换律”，即改变加法顺序结果不变。
- 有理数的减法可以看作加法的逆运算，减去一个数等于加上相反数。
4. 有理数的乘法和除法：- 有理数的乘法满足“结合律”和“交换律”，即改变乘法顺序结果不变。
- 有理数的除法可以看作乘法的逆运算，除以一个数等于乘以倒数。
第二章：开方与整式1. 开方的概念和符号：- 开方是指求一个数的平方根。
- 开方符号为√，表示数学上的平方根。
2. 平方根的性质：- 非负数的平方根都是实数。
- 负数的平方根是虚数。
3. 完全平方数和近似平方根：- 完全平方数是指某个数的平方根是整数的数。
- 用近似法求平方根可以得到一个近似平方根的数值。
第三章：平方与立方1. 平方的概念及运算性质：- 平方是指将一个数自乘一次。
- 平方的结果通常是一个非负数。
2. 立方的概念及运算性质：- 立方是指将一个数自乘两次。
- 立方和正负号有关，正数的立方是正数，负数的立方是负数。
3. 平方根和立方根的关系：- 平方根是指求一个数的平方的逆运算。
- 立方根是指求一个数的立方的逆运算。
第四章：数据和统计1. 统计调查和数据整理：- 统计调查是指通过收集数据来了解和研究某个对象或现象。
- 数据整理是指对统计调查所获得的数据进行整理和分类。
2. 统计图和图表的表示：- 统计图主要包括柱形图、折线图、饼图等形式，用来直观地表示数据。
3. 数据的中心趋势：- 代表性数是用来描述数据的中心趋势的。
- 代表性数主要包括平均数、中位数和众数等。
九年级数学华东师版知识点
九年级数学华东师版知识点数学是一门抽象而又具有实际应用的学科，它在我们的日常生活中无处不在。
作为九年级数学学科教材的华东师版，它涵盖了许多重要的知识点。
本文将就其中的一些重要知识点展开讨论，以期帮助同学们更好地理解和掌握这些内容。
九年级数学华东师版教材中，代数是一个非常重要的章节。
在这个章节中，我们学习了关于代数式和方程的基本概念和性质。
通过学习代数式的展开和因式分解，我们可以将复杂的表达式简化为简单的形式，从而更方便地进行计算和分析。
代数方程则是数学中的重要工具，通过解方程，我们可以找到未知数的取值，从而解决实际问题。
解一元二次方程、一次不等式等内容，都是九年级数学中的重点。
几何是数学中的另一个重要分支，九年级数学华东师版教材中也有专门的章节来介绍几何知识。
在这个章节中，我们学习了平面几何和空间几何的基本概念和性质。
平面几何研究的是二维图形，例如点、线、面等；空间几何则研究的是三维图形，例如点、线、面、体等。
通过学习平行线与垂直线的性质、三角形的性质等内容，我们可以更好地理解和掌握几何形状之间的关系，进而解决实际问题。
例如，通过学习三角形的相似性质，我们可以利用三角形相似的特点解决许多实际应用问题，如测量高楼的高度等。
除了代数和几何外，概率和统计也是九年级数学中的重要内容。
概率是研究随机事件发生可能性的数学分支，统计则是研究数据收集、整理和分析的数学分支。
通过学习概率和统计的知识，我们可以更好地理解事件发生的规律，从而做出合理的预测和决策。
概率与统计的应用非常广泛，例如在购彩中我们可以根据概率来选择号码，在社会调查中我们可以根据统计数据来分析事态发展趋势等。
另外，九年级数学华东师版教材还涵盖了函数与图像、消费与税收等内容。
函数是一种重要的数学工具，它描述了输入和输出之间的关系。
通过学习函数与图像的知识，我们可以更好地理解和分析实际问题。
消费与税收则是财务管理中的重要内容，通过学习这些知识，我们可以更好地理解和应用金融知识，做出明智的消费和财务决策。
七年级华师大数学上册难点易错点及解决方法
七年级华师大数学上册难点易错点及解决方法
七年级华师大数学上册的难点、易错点及解决方法如下：
难点：
1. 绝对值：绝对值是一个数值不考虑其正负的量，但需要考虑其符号。
这一点可能对七年级的学生来说较难理解。
2. 平面图形的变换：包括平移、旋转和对称等。
这些概念需要学生有较强的空间想象能力才能理解和掌握。
3. 分数指数幂：涉及到分数指数幂的运算和性质，对于七年级的学生来说可能较难掌握。
易错点：
1. 概念混淆：学生容易将相似的概念混淆，如将相反数和倒数混淆，或者将轴对称和中心对称混淆。
2. 运算错误：在进行数学运算时，学生容易出现计算错误，如乘除法的混淆，或者在解方程时未能正确处理未知数。
3. 理解偏差：学生对某些概念的理解不够深入，导致在解题时出现偏差，如对绝对值的理解不够准确，导致解题错误。
解决方法：
1. 加强基础知识的学习：学生需要加强对基础概念的学习和理解，只有打好基础才能更好地理解和掌握更难的概念。
2. 多做练习：通过大量的练习，学生可以更好地掌握解题技巧，加深对概念的理解，并减少运算错误。
3. 建立错题集：学生可以建立错题集，将平时练习和考试中做错的题目整理出来，以便于找出自己的易错点并加以改进。
4. 积极参与课堂讨论：学生应积极参与课堂讨论，与老师和同学交流学习心得和解题方法，通过交流发现自己的不足并加以改进。
5. 注重思维方法的训练：学生应注重思维方法的训练，培养自己的逻辑思维和创造性思维，有助于更好地理解和掌握数学概念和方法。
八年级数学期末总复习华东师大版知识精讲
初二数学期末总复习华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：期末总复习二. 重、难点知识梳理：（一）分式1. 分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似，因而在学习过程中，要不断地与分数情形进行类比，以加深对新知识的理解．2. 解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉，从而将分式方程转化为整式方程来解，这时可能会出现增根，必须进行检验．学习时，要理解增根产生的原因，认识到检验的必要性，并会进行检验．3. 由于引进了零指数幂与负整数指数幂，绝对值较小的数也可以用科学记数法来表示．（二）函数及其图象1. 从实际问题中了解变量、函数的概念，以及函数的表示法．学习时，要能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系，并会结合函数图象分析简单的函数关系．2. 直角坐标系是研究函数图象的基础，在直角坐标系中，点与有序实数对之间是一一对应的．3. 一次函数（包括正比例函数）和反比例函数是两种常见的简单函数，它是反映现实世界两类常见的数量关系和变化规律的数学模型．要联系实际，理解一次函数和反比例函数的图象和性质，并能应用它解决简单的实际问题．4. 待定系数法是一项重要的数学方法，要了解它在确定一次函数和反比例函数表达式中的应用，更要熟悉它的基本思想，并在以后的学习中加以应用．5. 通过对一次函数性质、一次函数与一次方程、一次不等式联系的探索，提高自主学习和对知识综合应用的能力．（三）全等三角形1. 理解命题、定理的条件与结论，以及公理与定理、原命题与它的逆命题、原定理与它的逆定理之间的关系，这些术语在今后的学习中会经常遇到．2. 本章研究的主要内容是三角形全等的判定方法．三角形全等的三个基本的判定方法是通过操作、说理得出的，这些都视作公理，都可作为今后证明中的推理依据．3. 本章还介绍了仅用直尺（没有刻度）与圆规的尺规作图方法，并使用尺规作图方法作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知角的平分线、经过一已知点作已知直线的垂线、作已知线段的垂直平分线这五种基本作图．（四）平行四边形的判定1. 平行四边形的运用：掌握这部分内容，首先搞清平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的包含关系．注重把握特殊平行四边形与一般平行四边形的异、同点，才能准确地、灵活地运用．2. 梯形的运用：有关梯形问题，常常用添加辅助线的方法把梯形转化成特殊四边形与三角形的问题来解决．如：作高、平移一腰、平移对角线、延长两腰交于一点、过一腰中点作另一腰的平行线等．（五）数据的整理与初步处理1. 数据对我们了解所考察的对象非常重要，但过多的数据有时反而让我们无法把握，这时可以做两件事：一是制作形象的统计图表，对这组数据形成一个整体印象；二是计算代表这组数据的平均数、中位数和众数，以这几个指标概括这组数据．当然，不是在所有问题中这三个指标都有实际的意义，如果某个指标没意义，自然不必计算．有了好的数学工具还要用得恰当，选取一组数据的代表要注意平均数、中位数和众数的适用X 围．2. 对于给出的一组数据，可以通过求平均数、中位数和众数来反映数据的中心，与此同时，了解数据的离散程度也非常重要．因此，我们可以通过求极差、方差和标准差的方式来了解数据的离散程度．极差计算方便，但只对极端值较为敏感；方差计算比较复杂，但可以比较全面地反映数据的离散程度．3. 计算器和计算机具有强大的数据处理功能，可以将我们从繁杂的计算和绘图工作中解放出来．【典型例题】例1. 如果分式32x -+2|x|-1x 的值为零，那么x 等于（） A. －1 B. 1 C. －1或1 D. 1或2 解析：原分式即为：32x -+2|x|-1x ＝()()112x x x ---，当│x │－1＝0，即x ＝±1时，分式的分子为零，但当x ＝1时，分式的分母为零，分式无意义，所以x ＝－1．选A例2. 若方程()()11116=---+x mx x 有增根，则它的增根是（）． A. 0 B. 1 C. －1 D. 1和－1解析：由增根的定义可知，使得最简公分母的值为零的即是原分式方程的增根，所以本增根应为1和－1．选D ．例3. 某市为处理污水需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务．设原计划每天铺设管道x 米，则可得方程（）A.400040002010x x -=- B. 400040002010x x -=- C. 400040002010x x -=+ D. 400040002010x x -=+解析：设原计划每天铺设管道x 米，则后来每天铺设管道（x ＋10）米 原计划时间为：x 4000，后来所用的时间为：104000+x ． 后来所用时间＝原计划时间－20，即原时间－后来时间＝20所以正确方程为选项D ．方法整合：做应用题，要注意分析的方法，我们建议用一个简单的表格来分析（平时做题打草稿时不用画表格线），把未知数、已知数、要表达的关系式分别表示出来．例如本题可表示为：原来 后来 V （速度） xx ＋10T （时间） x4000104000+x S （工作量）40004000然后由时间关系得到201040004000++=x x 即400040002010x x -=+，借助表格分析的好处就是搭起了一个未知和已知之间的桥梁．例4. 先化简，再求值：（22x x x x --+）÷42xx -，其中x ＝2005． 解析：按照分式的运算法则进行运算：原式＝2222(2)(2)x x x x x x +-++-·24x x -＝12x +＝20071例5. 函数21+-=x y 中，自变量x 的取值X 围是（） A. x ≠2 B. x ≤－2C. x ≠－2D. x ≥－2解析：中考试题中考察自变量的取值X 围的较常见，考虑问题时要全面．常见的为分式、二次根式的形式．对于本题，自变量的取值应该使解析式（分式）有意义，所以由分母x ＋2≠0得x ≠－2，选择C ．例6. 如果点P （y x ,）关于原点的对称点为（－2，3），则=+y x ．解析：关于原点对称，横坐标与纵坐标互为相反数，所以点P 为（2，－3），故=+y x 2＋（－3）＝－1．例7. 一次函数y ＝ax ＋b ，若a ＋b ＝1，则它的图象必经过点（） A. （－1，－1） B. （－1， 1）C. （1，－1）D. （1， 1）解析：由a ＋b ＝1，结合解析式可得当x ＝1时，y ＝1，所以图象必经过点（1，1）．例8.一根蜡烛长20cm ，点燃后每小时燃烧5cm ，燃烧时剩下的长度为y （cm ）与燃烧时间x （小时）的函数关系用图象表示为下图中的（ ）解析：蜡烛长20cm ，每小时燃烧5cm ，所以应该是4小时燃烧完，燃烧时间x 的取值X 围应该是0≤x ≤4，且蜡烛是越来越短直到4小时后烧完为止故选B ．注意：函数的图象是一条线段，不是一条直线．例9. 如图，l 1表示神风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系；l 2表示摩托车厂一天的销售成本与销售量的关系．⑴写出销售收入与销售量之间的函数关系式； ⑵写出销售成本与销售量之间的函数关系式；⑶当一天的销售量为多少辆时，销售收入等于销售成本；⑷当一天的销售超过多少辆时，工厂才能获利？（利润＝收入－成本）分析：利用一次函数图像与方程的关系是今后命题的方向，要善于从函数图像中获取基本数据及信息并挖掘未知的关系．本题用待定系数法可求出一次函数的解析式，直线的交点为函数值相等的点．解：⑴正比例函数经过了点（1，1）解析式为y ＝x⑵设y kx b =+∵直线过（0，2）、（4，4）两点 ∴2y kx =+又442k =+∴12k = ∴122y x =+ ⑶由图象知，当4x =时，销售收入等于销售成本或122x x =+∴4x = ⑷由图象知：当4x >时，工厂才能获利或1(2)02x x -+>时，即4x >时，才能获利．例10. 已知点A （－2，y 1）、B （－1，y 2）、C （3，y 3）都在反比例函数4y x=的图象上，则（） A. y 1<y 2<y 3B. y 3<y 2<y 1C. y 3<y 1<y 2D. y 2<y 1<y 3解析：反比例函数4y x=中的k ＝4＞0，所以此反比例函数的图象在第一三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小．大致图象如图：所以正确答案应为D ．例11. 如图，在△AFD 和△BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，有下面四个论断： （1）AD ＝CB ；（2）AE ＝CF ；（3）∠B ＝∠D ；（4）AD ∥BC ．请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程．EFCBDA分析：解答此题可以反复运用从“选择”到“试解”这一过程．如：能否由（1）（2）（3）得到（4）；能否由（1）（2）（4）得到（3），等等．解：已知：AE ＝CF ，∠B ＝∠D ，AD ∥BC ． 求证：AD ＝BC ． 证明：∵AE ＝CF ， ∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ． 即AF ＝CE ． 又∵AD ∥BC ， ∴∠A ＝∠C ．∵,,,AF CE B D A C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE ， ∴AD ＝BC ．点拨：由结论去寻找已知条件，即“由果索因”；或者由已知条件去得到结论，即“由因导果”，这两种方法是图形说理题的常用思路．而本题却是给你一些论断，其中一些作条件，另一个作为结论，综合性比较强，需要对全等三角形的性质、识别法熟练掌握才行．例12. 已知：∠AOB ，点M 、N ．求作：点P ，使点P 在∠AOB 的平分线上，且PM ＝PN ． （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）解析：尺规作图在中考命题中所占比例不大，通常不会直接考尺规作图题．但对尺规作图基本操作方法的掌握是一切作图的基础．在平时学习中，应了解其在生活生产实践中的作用及地位，体会作图是美化生活的基础，给人一种美的感觉．本题可假设点P 已经画出，那么点P 应该在∠AOB 的平分线上，又由PM ＝PN 可知，点P 还必须在线段MN 的垂直平分线上．所以，可按下列步骤作图：⑴画∠AOB 的平分线；⑵画线段MN 的中垂线．两条线的交点即为所求点P ．例13. 如图，在□ABCD 中，EF//AB ，GH//AD ，EF 与GH 交于点O ，则该图中的平行四边形的个数共有（）A. 7 个B. 8个C. 9个D. 11个H GD OFEC BA解析：根据平行四边形的的概念，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，由题中的已知条件就能得出图中的平行四边形共有9个，所以选C ．例14. 如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ． 求证：BE ＝CF ．解析：本题关键是熟练运用矩形的特征结合三角形全等的特征和识别方法，要证明BE ＝CF ，可以通过全等．可以证△BOE ≌△COF ，或者证△ABE ≌△DCF ．∵四边形ABCD 为矩形， ∴AC ＝BD ，则BO ＝CO ．∵BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ， ∴∠BEO ＝∠CFO ＝90°． 又∵∠BOE ＝∠COF ， ∴△BOE ≌△COF ． ∴BE ＝CF ．点拨：这道题还有别的简单的解法．我们把BE 和CF 看成是△ABO 和△DCO 的高，只要证得△ABO 和△DCO 的面积相等，就可以，这由矩形的特征可以得到，然后用等底等高的三角形面积也相等，问题可迎刃而解．例15. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DBC ＝45°，翻折梯形ABCD ，使点B 重合于D ，折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E ，若AD ＝2，BC ＝8．求BE 的长．分析：本题运用轴对称及等腰梯形的性质可解决解：由题意得△BEF≌△DFE，∴DE＝BE，∵在△BDE中，DE＝BE，∠DBE＝45°，∴∠BDE＝∠DBE＝45°，∴∠DEB＝90°，∴DE⊥BC．∴EC＝12（BC－AD）＝12（8－2）＝3．∴BE＝5．例16. 某商场为了解本商场的服务质量，随机调查了本商场的100名顾客，调查的结果如图所示．根据图中给出的信息，这100名顾客中对该商场的服务质量表示不满意的有_________人．解析：根据统计图提供的信息可知顾客中对该商场的服务质量表示不满意的人数所占的比例是1－46%－38%－9%＝7%，则顾客中对该商场的服务质量表示不满意的人数是100×7%＝7（人）所以应填7．例17. 市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛．他们的成绩（单位：m）如下：甲：乙：⑴甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？⑵哪位运动员的成绩更为稳定？⑶若预测，跳过就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位运动员参赛？若预测跳过才能得冠军呢？分析：这类题是平均数、中位数、众数的综合应用．通过比较两组数据，判断各自的稳定性．当两组数据的平均数相同或接近时，通常要通过比较两组数据的方差来判断其稳定性，方差越大，越不稳定，越小的越稳定，同时还要考虑中位数和众数．在日常生活中选拔运动员时，有时会考虑其它的因素，比如心理因素、平时的训练成绩等，因此在做这类题时要注意，只要说得有道理都是正确的．解：⑴考查如何求平均数．用公式x＝1n（1x＋2x＋…＋nx）计算甲、乙的平均成绩得，；⑵考查怎样求方差．用方差公式2s ＝1n[（1x －x ）2＋（2x －x ）2＋…＋（n x －x ）2]计算甲、乙的方差得20.0006s =甲，20.0035s =乙，因为22s s <乙甲，故甲稳定．⑶考查用哪个数据来衡量甲、乙的成绩好差，是一个实际应用的题．若预测，跳过就很可能获得冠军，可能选甲参加，因为甲8次成绩都跳过而乙有3次低于1.65m.预测跳过才能得冠军，可能选乙参加，因为甲仅3次超过．【模拟试题】（答题时间：70分钟）一. 选择题：1. 在一次射击练习中，甲、乙两人前5次射击的成绩分别为（单位：环） 甲：10 8 10 10 7 乙：7 10 9 9 10 则这次练习中，甲、乙两人方差的大小关系是（）A. S 2甲>S 2乙B. S 2甲<S 2乙C. S 2甲＝S 2乙D. 无法确定 2. 某省某市2005年4月1日至7日每天的降水百分率如下表：日期（日） 1234567降水百分率30% 10% 10% 40% 30% 10% 40%则这七天降水的百分率的众数和中位数分别为（）．A. 30%，30%B. 30%，10%C. 10%，30%D. 10%，40%3. 将一X 矩形纸片ABCD 如图那样折起，使顶点C 落在C'处，其中AB ＝4，若∠C•'ED ＝30°，则折痕ED 的长为（）．A. 4B. 43C. 8D. 534. 在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）． A. AC ＝BD ，AD //CB ；B. AD ∥BC ，∠A ＝∠C ；C. AO ＝BO ＝OC ＝DO ；AC ⊥BDD. AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC二. 填空题：5. x_______时，分式5345x x -+有意义； 6. 请在下面横线上填上适当的内容，使其成为一道正确并且完整的分式加减的运算题_________＝1x x -； 7. 若a ＝23，则2223712a a a a ---+的值等于________．8. 如果反比例函数的图象经过点（•1，－•2），那么这个反比例函数的解析式为________．9. 已知一组数据：－2，－2，3，－2，x，－1，若这组数据的平均数是，则这组数据的中位数是________．10. 如图所示，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的表达式是________．11. 如图所示，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：______•使四边形AECF是平行四边形．12. 如图所示，正方形ABCD中，AB＝1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP、PC•为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是________．13. 如图所示，梯形纸片ABCD，∠B＝60°，AD∥BC，AB＝AD＝2，BC＝6，将纸片折叠，使点B•与点D重合，折痕为AE，则CE＝_______．14. 如图所示，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm的可活动菱形衣架，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15cm，则∠1＝______度．三. 解答题：15. 有一道题“先化简”，再求值：（22xx-+＋244xx-）÷214x-，其中“x3，小玲做题时把“x3x3，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？16. 某市举行一次少年滑冰比赛，各年龄组的参赛人数如下表所示：年龄组13岁14岁15岁16岁参赛人数 5 19 12 14⑴求全体参赛选手年龄的众数、中位数；⑵小明说，他所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的28%，你认为小明是哪个年龄组的选手？请说明理由．17. 如右图，已知□ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．⑴求证：CD＝FA⑵若使∠F＝∠BCF，□ABCD的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并进行证明（不要再增添辅助线）18. 你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）S（mm2）的反比例函数，其图象如图所示．⑴写出y与S的函数关系式；⑵求当面条粗2时，面条的总长度是多少？19. 甲、乙两地相距50km，A骑自行车从甲地到乙地，出发1小时30分钟后，B•骑摩托车也从甲地去乙地，已知B的速度是A的速度的倍，并且B比A早1小时到达，求A，B 两人的速度．20. 如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．⑴观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论；⑵图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由．word 11 / 11【试题答案】一. 选择题．1. A2. •C3. C4. C二. 填空题．5. x ≠－546. 略7. －128. y ＝－2x9. －32 10. y ＝－3x 11. 略 12. 4 13. 4 14. 120三. 解答题． 15. 原式可化简为x 2＋4，∵3x ±=，x 2均为3，不会影响结果16. ⑴众数是：14岁，中位数是：15岁，⑵16岁年龄组的选手理由略．17. （1）略。
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解分式方程时必须检验；通分与解方程时去分母的区别
四
平面直角坐标系
平面直角坐标系的概念；点的坐标表示；点的坐标变换
点的坐标变换（平移、对称）
坐标的表示；坐标变换
五
一次函数
一次函数解析式及其图象；一次函数的概念和性质；待定系数法。
对函数的理解；一次函数图像的运用；数形结合思想的考察
单项式及多项式中的很多概念性的错误；合并时符号错误
三
一元一次方程
等式的基本性质及一元一次方程的解法；实际应用
关于一元一次方程的应用题。
去分母、去括号过程中容易出错
四
二元一次方程组
用代入法，加减法解二元一次方程组
二元一次方程组的应用题；二元一次方程组和一次函数图像的关系
二元一次方程组的解法及应用题
五
不等式与不等式组
切线的概念理解；圆锥的侧面积，弧长的计算
七
概率初步
概率的定义；用列表法和画树状图法计算简单事件概率；
理解用事件发生的频率来估计概率的概念；用列表法和画树状图法计算简单事件概率；
频率是在一个样本中出现的，而概率是整个事件来说的。
备注：黑体加粗标题为各年级重难点章节
灵活运用三角形全等的各种方法证明三角形全等；利用全等三角形的性质证明边、角相等
准确把握三角形全等的条件，以避免条件不完全的判定、及错判，如错用边边角
八
平行四边形
平行四边形及特殊的平行四边形的性质和判定；正确理解他们的关系；三角形中位线定理
平行四边形及特殊的平行四边形的性质和判定的综合运用；证明和线段、角度的计算；
方差、标准差的计算。
九年级教材重难点分析
教学内容
重点
难点
易错点
一
二次根式
二次根式的性质；二次根式的化简运算；二次根式的几何应用
最简二次根式的理解；二次根式的化简及运算技巧；
二次根式的化简时没有到最简；运算结果没有写最简
二
一元二次方程
用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的应用
用配方法解一元二次方程；实际问题中的一元二次方程
平行四边形的判定；特别平行四边形的判定。
九
勾股定理
勾股定理的概念及应用；勾股定理及其逆定理的关系；
理解定理和逆定理的概念；勾股定理的应用，如最短路径问题
没理清勾股定理及其逆定理的关系
十
数据的分析
理解频平均数、中位数、众数的概念；方差、标准差的计算
理解频平均数、中位数、众数的概念；方差、标准差的计算。
特殊角三角函数值记错；
五
二次函数
二次函数的解析式、性质和图像；二次函数解决应用题
灵活运用二次函数的图像和性质解决问题；二次函数的实际应用（最值问题）
二次函数图形问题；最值问题
六
圆
圆的有关性质（垂径定理与其推论，圆周角与圆心角的关系）；直线与圆的位置关系；扇形弧长、圆锥面积的计算
圆的基本性质的理解；直线与圆相切的判定方法；圆心角与弧、弦、圆周角之间的关系
一次函数图像与方程、方程组、不等式的关系；
六
反比例函数
反比例函数的表达式；反比例函数的图象与性质；双曲线和直线相交的问题
反比例函数的应用；猜想证明与拓广；双曲线与直线相交的综合问题；有关三角形的面积问题
注意反比例函数的图象与X、Y轴无交点，且越来越逼近
七
全等三角形
三角形全等的判定与探索；利用三角形全等解决实际问题。
轴对称
轴对称的概念和性质；中垂线的性质运用；等腰三角形的的性质和判定
中垂线性质的运用；等腰三角形的性质的运用；利用轴对称解决最短路径问题
对称轴是一条直线而非线段；最短路径问题
十
投影与视图
会画、看某个物体的三视图；由三视图描述立体图形的形状；
理解平行投影与中心投影的区别；由三视图描述立体图形的形状；
三视图的理解；中心投影与平行投影的区别
线段、直线、射线的认识；
七
相交线与平行线
理解“三线八角”；平行线的性质和判定；
准确理解判断两条直线平行的条件和特征；理解性质和判定的关系
不能正确的理解性质和条件的关系
八
三角形
三角形的边、角的关系；三角形的“三线”；重心的概念及性质
三角形三边的关系；三角形的的“三线”
三角形的三线的区分；多边形的外角
九
理解无理数是无限不循环小数；实数运算的某些技巧掌握
无理数的表现形式；理解平方根有两个
二
整式的乘除与因式分解
幂的运算法则；乘法公式；因式分解的方法
乘法公式的综合考察；准确理解因式分解和整式乘法运算的关系
完全平方公式的运用；因式分解不彻底
三
分式
分式的意义及用分式的基本性质解题；分式的化简运算；分式方程的解法和应用
十一
旋转
理解中心对称和中心对称图形的概念
坐标系中点的中心对称变换
旋转作图
十二
数据的收集、整理和描述
了解随机抽样、个体、总体、样本、样本容量、频率、频数等概念
理解频数、频率的概念，
样本、样本容量的区分；全面调查和抽样调查的区分
八年级教材重难点分析
教学内容
重点
难点
易错点
一
实数
平方根、立方根的概念、实数的定义；区分有理数和无理数
利用因式分解法及公式法解方程
三
相似
相似三角形的判定和性质的应用
理解相似和位似的关系；相似三角形性质的应用（如面积比等于相似比的平方）；利用相似解决实际问题
比例尺为相似比；相似比的平方等于准确理解；用三角函数和勾股定理解决实际应用问题
用三角函数联系实际解决实际问题；用边角关系处理实际生活中的问题
华东师大版初中数学各年级
重难点分析
七年级教材重难点分析
教学内容
重点
难点
易错点
一
有理数
有理数的分类；数轴、相反数、绝对值及有理数的运算。
关于绝对值的化简；有理数的混合运算；符号情况；规律探索题
绝对值的化简；运算时符号的错误；规律探索无从下手
二
整式的加减
单项式、多项式、整式的概念；合并同类项；
求代数式的值；整式的加减运算、求值；规律探索
不等式的基本性质；一元一次不等式（组）的解及解法法
解一元一次不等式组取解集；一元一次不等式（组）处理应用问题；求字母取值范围的问题
一元一次不等式组解集的确定；解集端点值的包含问题
六
几何图形初步
线段、直线、射线的认识；线段、角的度量与比较；余角、补角
线段、直线、射线的区别；角度的大小比较运算；时钟问题