高数微积分牛莱公式
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高等数学课件D5_2微积分基本公式 牛莱公式 18页PPT文档
二、积分上限的函数及其导数
定理2. 若 f (x) C[a, b] , 则变上限函数
x
y
(x) a f (t) d t
是 f (x) 在[a , b]上的一个原函数 .
y f (x)
( x)
证: x, x h [a, b] , 则有
O a x b x
(x
h) h
t
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [(x)](x) f [ (x)] (x)
1 et2 d t
例1. 求 lim cos x
0
x0
x2
0
解: 原式 洛 lim ecos2 x ( sin x) 1
函数 , 则
b
f (x) dx F (b) F (a) ( 牛顿 - 莱布尼茨公式)
a
证:
根据定理 2,
x
a
f
( x) dx
是
f
( x) 的一个原函数
,
故
x
F(x) a f (x)dx C
令 x a, 得C F(a), 因此
x
a
f
(x)
dx
F ( x)
F
(a)
再令 x b, 得
x0
2x
2e
例3. 设 f (x)在[0, )内连续,且 f (x) 0, 证明
x
F
(x)
0
t
f
(t)
d
t
x
0
f
(t)
高数课件第5章2牛莱公式
x3 t y t2 0 0
2 x
3
t x ln( 1 u 2 )du dy 0 例2、设 ,求 . t dx y e u du 0 dy et dy dt 解： dx dx 2t ln( t 4 ) 1 dt
2
y
2
2 x3 y2
例4、求极限： 1 ）
内容小结
青 1. 微积分基本公式 设 f ( x) C [a, b] , 且 F ( x) f ( x) , 则有 岛 b 理 a f ( x) d x f ( )(b a) F ( )(b a) F (b) F (a) 积分中值定理 微分中值定理 工 牛顿 – 莱布尼兹公式 大 学 2. 变限积分求导公式
1 4 1 cos x sin xdx si n x 2 4 4 0
3
1 1 dx arctanx 2 1 1 x 1 2
1
x 1 2 1 dx ln( x ) 0 1 2 1 1 x 2 1
1
e l n xdx ( x ln x x ) 1 1 1
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备用题
设
求
青 解：定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 . 1 2 岛 设 0 f ( x) d x a , 0 f ( x) d x b , 则 理 工 大 学
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0 t f (t ) d t F (x)
x
(0 x )
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三、牛顿 – 莱布尼兹公式
1.公式：
青 b 函数 , 则 a f ( x) dx F (b) F (a ) ( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 岛 故 证: 理 F ( x ) ( x ) C f ( t ) dt C 工 因此 f ( t ) dt F ( x ) F (a ) 大 得 学 记作
2 x
3
t x ln( 1 u 2 )du dy 0 例2、设 ,求 . t dx y e u du 0 dy et dy dt 解： dx dx 2t ln( t 4 ) 1 dt
2
y
2
2 x3 y2
例4、求极限： 1 ）
内容小结
青 1. 微积分基本公式 设 f ( x) C [a, b] , 且 F ( x) f ( x) , 则有 岛 b 理 a f ( x) d x f ( )(b a) F ( )(b a) F (b) F (a) 积分中值定理 微分中值定理 工 牛顿 – 莱布尼兹公式 大 学 2. 变限积分求导公式
1 4 1 cos x sin xdx si n x 2 4 4 0
3
1 1 dx arctanx 2 1 1 x 1 2
1
x 1 2 1 dx ln( x ) 0 1 2 1 1 x 2 1
1
e l n xdx ( x ln x x ) 1 1 1
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备用题
设
求
青 解：定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 . 1 2 岛 设 0 f ( x) d x a , 0 f ( x) d x b , 则 理 工 大 学
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0 t f (t ) d t F (x)
x
(0 x )
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三、牛顿 – 莱布尼兹公式
1.公式：
青 b 函数 , 则 a f ( x) dx F (b) F (a ) ( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 岛 故 证: 理 F ( x ) ( x ) C f ( t ) dt C 工 因此 f ( t ) dt F ( x ) F (a ) 大 得 学 记作
牛顿莱布尼茨公式与积分运算
牛顿莱布尼茨公式与积分运算知识点：牛顿-莱布尼茨公式与积分运算一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分基本定理的表述，它建立了微分学与积分学之间的联系。
公式如下：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在区间(a, b)内可导，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫(from a to b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的一个原函数，即F’(x) = f(x)。
二、积分运算的基本性质1.线性性质：设f(x)和g(x)是两个可积函数，α和β是两个常数，则有：∫(from a to b) (αf(x) + βg(x))dx = α∫(from a to b) f(x)dx + β∫(from a to b) g(x)dx2.保号性：如果f(x)在区间[a, b]上非负（非正），则∫(from a to b)f(x)dx非负（非正）。
3.可加性：如果f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，且它们的区间分界点相同，那么：∫(from a to b) f(x)dx + ∫(from a to b) g(x)dx = ∫(from a to b) (f(x) + g(x))dx4.换元积分法：设 Integration variable change : x = g(t)，dx = g’(t)dt，则有：∫(from a to b) f(x)dx = ∫(from g(a) to g(b)) f(g(t))g’(t)dt三、积分运算的基本公式1.幂函数的积分公式：∫(from a to b) x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为积分常数。
2.指数函数的积分公式：∫(fro m a to b) e^x dx = e^x + C。
3.对数函数的积分公式：∫(from a to b) ln|x| dx = ln|x| + C。
牛顿布莱尼茨公式是什么推导过程有哪些
⽜顿布莱尼茨公式是什么推导过程有哪些⽜顿布莱尼茨公式通常也被称为微积分基本定理，揭⽰了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
那么，⽜顿布莱尼茨公式是什么呢？下⾯⼩编整理了⼀些相关信息，供⼤家参考！⽜顿布莱尼茨公式⽜顿-莱布尼兹公式,⼜称为微积分基本定理,其内容是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了⼀个完善、令⼈满意的⽅法.⽜顿布莱尼茨公式证明过程证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个⼩区间的长度为Δx=(b-a)/n,则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)当Δx很⼩时,F(x1)-F(x0)=F’(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx……F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx所以,F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)⽜顿布莱尼茨公式意义⽜顿-莱布尼茨公式的发现，使⼈们找到了解决曲线的长度，曲线围成的⾯积和曲⾯围成的体积这些问题的⼀般⽅法。
它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或⼀定精度的近似值。
⽜顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之⼀。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为⼀门真正的学科。
⽜顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主⼲，利⽤⽜顿⼀莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第⼀中值定理和积分型余项的泰勒公式。
高等数学牛莱公式
积分中值定理
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼兹公式
2. 变限积分求导公式
备用题
1. 设
求
解：定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 .
设
1
0 f (x)d x a ,
2
0
f
(x)
d
x
b
,
则
2. 求
的递推公式(n为正整数) .
解：由于 In1
2 sin 2(n 1)x d x , 因此 0 sin x
定理1. 若
则变上限函数
x
y
(x) a f (t) d t
y f (x)
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
h) h
(x)
1
h
xh
a
f
(t) d t
x
a
f
(t) d t
xh
1 xh f (t) d t f ( )
hx
(x x h)
(x) lim (x h) (x) lim f ( ) f (x)
(ms ) 10( ms
)
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
s
2
0 v(t) d t
2
0 (10 5t) d t
10t
5 2
t
2
2 0
10 (m)
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f (x) C[a,b], 且 F(x) f (x), 则有
b
a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F(b) F(a)
高数数学课件-D5_2牛莱公式
v0 36(kmh ) 33 616000(0m 0s)10(ms)
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
v(t)v0at105t
当汽车停住时, v(t)0, 即1 05t0,得 t 2(s)
故在这段时间内汽车所走的距离为
2
s 0v(t)dt
02(105t)dt 1t05 2t202
x 0时 tan x ~ x
lim
x0
x 2x
3
x 2
1
2x
sin x ~ x
lim 2x2 0
x0
1 2
x
所以 = o( ) .
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3.
求
In
π2sin2nxdx的递推公式(n为正整数) 0 sinx
.
解: 由于 In10 π2si2 sn (n ix n 1)xdx,因此
x
f(x)0(xt)
x
0
f
(t)dt
f(t)dt
2
f (x) (x)f()x0
x
0
f
(t)dt 2
(0x)
F(x)在 （ 0， )内为单调.增函数
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三、牛顿 – 莱布尼茨公式
定理2. 设 F(x)是连续 f(x)在 函 [a,b]数 上的一
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为
通过原函数计算定积分开辟了道路 .
2) 其他变限积分求导:
d dx
b
x
f
(t)dt
f(x)
d (x)
dx a
f
(t)dt
微积分基本公式__牛顿—莱布尼茨公式
x
a f ( x )dx F (b) F (a )
b
牛顿－莱布尼兹公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．所以又叫微积分基本公式。
思考题
x f ( u)du 是 x 的函数还是t 与u 的函数？它们
的导数存在吗？如存在等于什么？
b
设 f ( x ) 在[a , b]上连续，则 f ( t )dt 与
x
0
f ( t )( x t )dt
(
0
x
t
0
f ( u )du )dt .
六、求函数 f ( x )
x
0
3t 1 dt 在区间 0 , 1 上的最 2 t t 1
大值与最小值 . 1 sin x , 当0 x 时， 七、设 f ( x ) 2 0 ，当x 0或x 时， x 求 （x ) 0 f ( t )dt 在( , ) 内的表达式 .
求定积分问题转化为求先求原函数，再求 增量的问题.
例1
求
1
2
1 解 当 x 0 时， 的一个原函数是ln | x | , x 1 1 1 dx 2 x ln | x | 2 ln 1 ln 2 ln 2. 例 2 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围
2、 4、
1 2 1 2
dx 1 x
2
;
2
0
sin x dx .
四、求下列极限： 1、 lim
( e dt ) 2
t2 x 0 x 0
x
e 2 t dt
2
;
2、 lim
x 0
1 x2
a f ( x )dx F (b) F (a )
b
牛顿－莱布尼兹公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．所以又叫微积分基本公式。
思考题
x f ( u)du 是 x 的函数还是t 与u 的函数？它们
的导数存在吗？如存在等于什么？
b
设 f ( x ) 在[a , b]上连续，则 f ( t )dt 与
x
0
f ( t )( x t )dt
(
0
x
t
0
f ( u )du )dt .
六、求函数 f ( x )
x
0
3t 1 dt 在区间 0 , 1 上的最 2 t t 1
大值与最小值 . 1 sin x , 当0 x 时， 七、设 f ( x ) 2 0 ，当x 0或x 时， x 求 （x ) 0 f ( t )dt 在( , ) 内的表达式 .
求定积分问题转化为求先求原函数，再求 增量的问题.
例1
求
1
2
1 解 当 x 0 时， 的一个原函数是ln | x | , x 1 1 1 dx 2 x ln | x | 2 ln 1 ln 2 ln 2. 例 2 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围
2、 4、
1 2 1 2
dx 1 x
2
;
2
0
sin x dx .
四、求下列极限： 1、 lim
( e dt ) 2
t2 x 0 x 0
x
e 2 t dt
2
;
2、 lim
x 0
1 x2
微积分基本定理与牛顿莱布尼茨公式
．
（5.2.1）
2022/1/28
如果视T1 为固定时刻 t0 ，T2 为任一时刻 t (t t0 ) ，则[T1,T2 ] [t0,t] ，
（5.2.1）为
t
v( )d t0
s(t)
s(t0) ．
（5.2.2）
注意到 s(t) v(t) ，由（5.2.2）可得到下列两个结论．
t
t
(
v( )d ) v(t) 和
5.2 微积分基本定理与牛顿-莱布尼茨公式
5.2.1 从实例看微分与积分的联系 5.2.2 微积分基本定理微分形式 5.2.3 微积分基本定理积分形式
？23-1
5.2.1 从实例看微分与积分的联系
2022/1/28
在变速直线运动的路程问题中，设物体运动速度v(t) 是时间间隔
[T1,T2 ]上的连续函数，则在时间间隔[T1,T2 ] 中物体所运动的路程为
综上，方程 F (x) 0 ，即
x
f (t)dt
x
1 dt 0 在(a,b) 内
a
b f (t)
有且只有一个实根．
例 5.2.4 设函数 f (x) 在[a,b] 上二阶可导，且 f (x) 0, 证明
(b a) f ( a b) b f (x)dx 1 (b a)[ f (a) f (b)]．
s T2 v(t)dt ． T1
现在换一个角度来考虑该问题．设物体运动的路程函数为
s(t), t 0 ，那么该物体在[T1,T2 ] 中所走过的路程又为
s s(T2 ) s(T1) ．
因此有
T2 T1
v(t)dt
s(T2 )
s(T1)
．
？23-2
T2 T1
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的导数存在吗？如存在等于什么？
答：都是 x 的函数
b
d x a f (t )dt f ( x ) dx d b x f (u)du f ( x ) dx
22
微积分基本定理
一、积分上限函数及其导数 二、牛顿—莱布尼茨公式
1
问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是时 t 间间隔[T1 , T2 ]上 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
令 x b F (b) (b) C F (a ),
即 (b) F (b) F (a ),
b a f ( x )dx
F (b) F (a ).
牛顿—莱布尼茨公式
13
a f ( x )dx F (b) F (a ) F ( x )
b
b a
微积分基本公式表明：
0
2 解： 原式 2 sin x cos x x 0 3 .
2
2 2 x 0 x 1 例5：设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5
2
解： 0 f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
x
2.积分上限函数的导数 ( x ) f ( x )
3.微积分基本公式
a f ( x )dx F (b) F (a )
b
牛顿－莱布尼茨公式沟通了 微分学与积分学之间的关系．
21
思考题 设 f ( x ) 在[a , b]上连续，则 f ( t )dt 与
a
x
x f (u)du是 x的函数还是 t 与 u的函数？它们
x
d x 数是 ( x ) a f (t )dt f ( x ) dx
定理2（原函数存在定理）
(a x b)
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
0 f ( t ) dt f ( t ) dt
0
1 x sint dt 0 dt 1 2
0, 1 综上， ( x ) (1 cos x ), 2 1,
x0 0 x x
20
小结
1.积分上限函数 ( x ) f ( t )dt a
( x)
f ( t )dt ]x
u
x a
f ( t )dt c
令u ( x )[ a f ( t )dt ]x
复合函数求导 f ( u) ux f [ ( x )] ( x )
6
(3) 如果 f (t ) 连续， a ( x )、 b( x ) 可导， 则 F ( x ) a ( x ) f ( t )dt 的导数 F ( x )为
b
a
x
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
F ( x ) ( x ) C
x [a , b ]
12
F ( x ) ( x ) C
令 xa
a
F ( a ) ( a ) C ,
(a ) a f ( t )dt 0 F (a ) C ,
4
x
定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
5
有关积分上限函数的几个结论：
( x )dx [ x f ( t )dt ] dx f ( x )dx (1) a
x
( x ) c
( 2) [ a
求( x ) 0 f ( t )dt在( ,)上的表达式
注：分段函数求积分上限函数时，必须对上限参量加以讨论， 分段的求出表达式，必要时分区间求积分。
x
( 解：1) 当x 0时，
( x )
x 0 x 0
f ( t )dt
x 0
x 0
0 dt 0
1 1 x cos t 0 sint dt 2 2
例 8:计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积.
解：面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
17
1 2 ( n 1) n 例9： lim sin sin sin sin n n n n n n
f ( t )dt ,
F ( x ) f b( x )b( x ) f a( x )a( x )
7
例1
e cos x 求 lim
1 x 0
t 2 2
dt
x
.
0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 0 d 1 t 2 d cos x t 解 cos x e dt dx 1 e dt , dx
在[1,2]上规定当x 1 时， f ( x ) 5 ,
2
1
2
y
原式 2 xdx 5dx 6.
1 2 0 1
o
1
2
x
15
max{ x , x 2 }dx. 例6：求 2
2
y
解： 由图形可知
y x2
2
f ( x ) max{ x , x }
y x
2
x 2 x 0 x 0 x 1 , x2 1 x 2
x 0
x
f ( x ) 1,
F ( x ) 2 f ( x ) 0,
F ( x ) 在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
F (1) 1 0 f ( t )dt 0 [1 f ( t )]dt 0,
所以F ( x ) 0 即原方程在 0,1] 上只有一个解. [
a
x
f ( x )dx a f ( t )dt
x
如果上限 x 在区间[a , b]上任意变动，则对 于每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所 以它在[a , b]上定义了一个函数，
记 ( x )
x a
f ( t )dt . 积分上限函数
3
积分上限函数的性质
定理１ 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续， 则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数，且它的导
x
0 tf ( t )dt 在(0, ) 内为单调增 证明函数 F ( x ) x 0 f ( t )dt
加函数.
证
d x 0 tf (t )dt xf ( x ), dx
x
d x 0 f (t )dt f ( x ), dx
x
F ( x )
xf ( x )0 f ( t )dt f ( x )0 tf ( t )dt
b( x )
d b( x ) F ( x ) f ( t )dt f b( x )b( x ) f a( x )a( x ) dx a ( x )
证 F ( x)
0
a( x )
0
b( x )
f (t )dt
a( x ) 0
0
b( x )
f ( t )dt
i 解：原式= lim sin n n n i 1 1 n
sin x dx cos x 2 0 0 1
1
1 1 1 练习： lim( ) ln 2 n1 n 2 nn
18
1 sin x , 0 x 例10： 设f ( x ) 2 0 , x 0或x
T
T2
1
v ( t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s(t ) v(t ). T
T2
1
2
一、积分上限函数及其导数
设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续， 并且设 x 为
[a , b]上的一点，考察定积分
x
0
f ( t )dt
2
9
F ( x )
f ( x )0 ( x t ) f ( t )dt
x
x
0
f ( t )dt
2
,
f ( x ) 0, ( x 0) ( x t ) f ( t ) 0,
x
0 f ( t )dt 0,
x
0 ( x t ) f ( t )dt 0,
F ( x ) 0 ( x 0).
故F ( x ) 在(0, ) 内为单调增加函数.
10
例3
设 f ( x ) 在[0,1] 上连续，且 f ( x ) 1 .证明
2 x 0 f ( t )dt 1 在[0,1] 上只有一个解.
证 令 F ( x ) 2 x f ( t )dt 1,
一个连续函数在区间[a , b] 上的定积分等于 [ 它的任意一个原函数在区间 a , b] 上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意 当a b 时， f ( x )dx F (b) F (a ) 仍成立. a
b
14
例4：求 ( 2 cos x sin x 1)dx .
11
1
答：都是 x 的函数
b
d x a f (t )dt f ( x ) dx d b x f (u)du f ( x ) dx
22
微积分基本定理
一、积分上限函数及其导数 二、牛顿—莱布尼茨公式
1
问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是时 t 间间隔[T1 , T2 ]上 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
令 x b F (b) (b) C F (a ),
即 (b) F (b) F (a ),
b a f ( x )dx
F (b) F (a ).
牛顿—莱布尼茨公式
13
a f ( x )dx F (b) F (a ) F ( x )
b
b a
微积分基本公式表明：
0
2 解： 原式 2 sin x cos x x 0 3 .
2
2 2 x 0 x 1 例5：设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5
2
解： 0 f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
x
2.积分上限函数的导数 ( x ) f ( x )
3.微积分基本公式
a f ( x )dx F (b) F (a )
b
牛顿－莱布尼茨公式沟通了 微分学与积分学之间的关系．
21
思考题 设 f ( x ) 在[a , b]上连续，则 f ( t )dt 与
a
x
x f (u)du是 x的函数还是 t 与 u的函数？它们
x
d x 数是 ( x ) a f (t )dt f ( x ) dx
定理2（原函数存在定理）
(a x b)
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
0 f ( t ) dt f ( t ) dt
0
1 x sint dt 0 dt 1 2
0, 1 综上， ( x ) (1 cos x ), 2 1,
x0 0 x x
20
小结
1.积分上限函数 ( x ) f ( t )dt a
( x)
f ( t )dt ]x
u
x a
f ( t )dt c
令u ( x )[ a f ( t )dt ]x
复合函数求导 f ( u) ux f [ ( x )] ( x )
6
(3) 如果 f (t ) 连续， a ( x )、 b( x ) 可导， 则 F ( x ) a ( x ) f ( t )dt 的导数 F ( x )为
b
a
x
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
F ( x ) ( x ) C
x [a , b ]
12
F ( x ) ( x ) C
令 xa
a
F ( a ) ( a ) C ,
(a ) a f ( t )dt 0 F (a ) C ,
4
x
定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
5
有关积分上限函数的几个结论：
( x )dx [ x f ( t )dt ] dx f ( x )dx (1) a
x
( x ) c
( 2) [ a
求( x ) 0 f ( t )dt在( ,)上的表达式
注：分段函数求积分上限函数时，必须对上限参量加以讨论， 分段的求出表达式，必要时分区间求积分。
x
( 解：1) 当x 0时，
( x )
x 0 x 0
f ( t )dt
x 0
x 0
0 dt 0
1 1 x cos t 0 sint dt 2 2
例 8:计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积.
解：面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
17
1 2 ( n 1) n 例9： lim sin sin sin sin n n n n n n
f ( t )dt ,
F ( x ) f b( x )b( x ) f a( x )a( x )
7
例1
e cos x 求 lim
1 x 0
t 2 2
dt
x
.
0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 0 d 1 t 2 d cos x t 解 cos x e dt dx 1 e dt , dx
在[1,2]上规定当x 1 时， f ( x ) 5 ,
2
1
2
y
原式 2 xdx 5dx 6.
1 2 0 1
o
1
2
x
15
max{ x , x 2 }dx. 例6：求 2
2
y
解： 由图形可知
y x2
2
f ( x ) max{ x , x }
y x
2
x 2 x 0 x 0 x 1 , x2 1 x 2
x 0
x
f ( x ) 1,
F ( x ) 2 f ( x ) 0,
F ( x ) 在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
F (1) 1 0 f ( t )dt 0 [1 f ( t )]dt 0,
所以F ( x ) 0 即原方程在 0,1] 上只有一个解. [
a
x
f ( x )dx a f ( t )dt
x
如果上限 x 在区间[a , b]上任意变动，则对 于每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所 以它在[a , b]上定义了一个函数，
记 ( x )
x a
f ( t )dt . 积分上限函数
3
积分上限函数的性质
定理１ 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续， 则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数，且它的导
x
0 tf ( t )dt 在(0, ) 内为单调增 证明函数 F ( x ) x 0 f ( t )dt
加函数.
证
d x 0 tf (t )dt xf ( x ), dx
x
d x 0 f (t )dt f ( x ), dx
x
F ( x )
xf ( x )0 f ( t )dt f ( x )0 tf ( t )dt
b( x )
d b( x ) F ( x ) f ( t )dt f b( x )b( x ) f a( x )a( x ) dx a ( x )
证 F ( x)
0
a( x )
0
b( x )
f (t )dt
a( x ) 0
0
b( x )
f ( t )dt
i 解：原式= lim sin n n n i 1 1 n
sin x dx cos x 2 0 0 1
1
1 1 1 练习： lim( ) ln 2 n1 n 2 nn
18
1 sin x , 0 x 例10： 设f ( x ) 2 0 , x 0或x
T
T2
1
v ( t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s(t ) v(t ). T
T2
1
2
一、积分上限函数及其导数
设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续， 并且设 x 为
[a , b]上的一点，考察定积分
x
0
f ( t )dt
2
9
F ( x )
f ( x )0 ( x t ) f ( t )dt
x
x
0
f ( t )dt
2
,
f ( x ) 0, ( x 0) ( x t ) f ( t ) 0,
x
0 f ( t )dt 0,
x
0 ( x t ) f ( t )dt 0,
F ( x ) 0 ( x 0).
故F ( x ) 在(0, ) 内为单调增加函数.
10
例3
设 f ( x ) 在[0,1] 上连续，且 f ( x ) 1 .证明
2 x 0 f ( t )dt 1 在[0,1] 上只有一个解.
证 令 F ( x ) 2 x f ( t )dt 1,
一个连续函数在区间[a , b] 上的定积分等于 [ 它的任意一个原函数在区间 a , b] 上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意 当a b 时， f ( x )dx F (b) F (a ) 仍成立. a
b
14
例4：求 ( 2 cos x sin x 1)dx .
11
1