第十一章边界层理论基础

层流边界层 过渡区 紊流边界层
U
粘性底层
xc
影响边界层转捩的因素很多 、 很复杂， 所以层流与紊流的转 影响 边界层转捩的因素很多、 很复杂 ， 所以层流与紊流的 转 边界层转捩的因素很多 捩不是在某个断面突然发生的，而是在一个过渡区内完成的。 捩不是在某个断面突然发生的，而是在一个过渡区内完成的。转 捩点主要依靠试验确定。 一般认为转捩临界雷诺数在3× 捩点主要依靠试验确定 。 一般认为转捩临界雷诺数在 ×105 ～ 3×106之间。 × 之间。
边界层中一个断面上的 p 都是相等 来代表。 的，可用其外边界上的 p 来代表。
边界上的 p 又可从边界层外部流动得到，外部流动可看成理 又可从边界层外部流动得到， 想流体的流动， 想流体的流动，根据伯努利方程
U2 + = const ρ 2 p
y
U ux δ(l)
1 ∂p 1 d p dU = = −U ρ ∂x ρ d x dx
ux
y
U ux δ(l)
O
l
x
§6—3 边界层几种厚度的定义
位移厚度δ1 位移厚度δ 因为有了边界层， 因为有了边界层，使通 过断面的流量比理想流体 流动时减少了 δ
0
y
0.99U δ ux
∫ (U − u x ) d y
把这些流量折合成理想 流体流动通过一个厚度δ 流体流动通过一个厚度δ1 的流量， 的流量，这个厚度就叫做 位移厚度。 位移厚度。
U
y
U ux δ(x)
O
x
边界层中的流动也存在两种流态，从前缘起自层流开始， 边界层中的流动也存在两种流态，从前缘起自层流开始，随 x 增加， 边界层越来越厚， 壁面对扰动的稳定作用逐渐减弱， 增加，边界层越来越厚，壁面对扰动的稳定作用逐渐减弱， Ux 直至发生流态的转捩。 直至发生流态的转捩。转捩点 xC 对应的雷诺数 ν C 记为 Re C ， 称为转捩临界雷诺数。 称为转捩临界雷诺数。
− ρU 2δ 2 ( x)
动量 积分 方中沿程单位长度 上的动量通量损失等于板面切应力
y δ(x) δ(x)-δ1(x)
O
δ1 (x)
τ0
x
§6—5 平板边界层
一.平板层流边界层 根据平板边界层动量积分方程，只要给出层流边界层内的速 根据平板边界层动量积分方程， 度分布假设 就可推出 δ2 与 δ 的关系以及 边界层动量积分方程
O
l
x
1 ∂p 1 d p dU = = −U ρ ∂x ρ d x dx
边界层微分方程最终可写成
∂u x ∂u ∂u dU 1 ∂ + uy x = U + [ µ x − ρu ′ u ′y ] x ∂x ∂y d x ρ ∂y ∂y
U是边界层外边 是边界层外边 界上的流速， 界上的流速 ， 可 从外部流动解 得 ， 对于平板绕 流的情况，U是 常数。 常数。
δ1
根据定义
δ 1 = ∫ (1 −
0
δ
ux U
)d y
y
0.99U 边界层使来流的流线 向外排挤了位移厚度的 距离， 距离，所以位移厚度也 称为排挤厚度。 称为排挤厚度。 δ ux
δ1
动量损失厚度δ2 动量损失厚度δ 边界层内流动通过断 δ 面的质量流量为 ρ ∫ ux d y
0
动量流量为
ρ∫u xu x d y
τ0 dδ2 = dx ρU 2
3 U = µ y =0 2 δ
ux ux 39 δ 2 = ∫ (1 − ) d y = δ 280 U 0 U
13 ρUδ d δ = µ d x 140
U ux
δ
39 d δ 3 U ρU 2 = µ 280 d x 2 δ
1 δ = 4.64 x Re−x / 2
为限制粘性扩散的作用时间， 为限制粘性扩散的作用时间 ， 考虑长度为 l 的平板恒定绕 流 。 外界主流中的一个流体质点从平板前缘起顺流运动 x 距 离，受板面粘滞作用影响的时间为 x / U，可见边界层厚度 δ ， 增加， 将随 x 增加，估计其量级为 非流线， 非流线 ， 是一个区 域范围的 界线。 界线。
简化
∂u x ∂u ∂u 1 ∂p 1 ∂ ux + uy x = − + [ µ x − ρu ′ u ′y ] x ρ ∂x ρ ∂ y ∂x ∂y ∂y ∂p =0 ∂y 边界层微分方程 ∂u ∂u y x + =0 ∂x ∂y
∂p =0 ∂y
p = p(x)
第六章 边界层理论基础
边界层是在实际流体的大雷诺数流动中， 边界层是在实际流体的大雷诺数流动中，紧 贴固壁存在的一个粘性起主导作用的薄流层。 贴固壁存在的一个粘性起主导作用的薄流层。 根据边界层的流动特征建立起来的边界层理论 不仅为处理无分离的大雷诺数流动的粘性影响 提供了手段，而且也给边界层外的理想流体假 提供了手段， 设提供了依据， 设提供了依据，对理论流体力学和实验流体力 学的结合奠定了基础。 学的结合奠定了基础。
4
3 y/δl 2
紊流边界层
1
层流边界层 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ux/U , ux /U
0
圆管进口边界层发展至管轴汇合，此后形成充分发展的圆管 圆管进口边界层发展至管轴汇合， 流动。如果在汇合前边界层还没有发生转捩， 流动。如果在汇合前边界层还没有发生转捩，那么圆管流动呈 层流流态，否则为紊流流态。 层流流态，否则为紊流流态。
0
δ
如果这些流量用理 想流体流动速度U运 想流体流动速度 运 δ ρ ∫ Uu x d y 动，则动量流量为
0
因为有了边界层， 因为有了边界层，使通 过断面的动量流量比理想 流体流动时减少了
ρ ∫ u x (U −u x ) d y
0
δ
把这些动量流量折合成理想 流体流动通过一个厚度δ 流体流动通过一个厚度 δ 2 的动 量流量， 量流量 ， 这个厚度就叫做动量 损失厚度。 损失厚度。
l
x
边界层厚度方向的特征长度 δ (l ) 比长度方向的特征值 l 是高 一阶的小量。 一阶的小量。 边界层内流动的惯性力项与粘性力项是同阶量项。 边界层内流动的惯性力项与粘性力项是同阶量项。 u y 比 u x 小一个量级。 小一个量级。
∂ ∂x
比
∂ 小一个量级。 小一个量级。 ∂y
U
y
ux δ(l)
无限长平板突 然起动的例子
理想流体
U
t 时刻
U t=0 突然起动
粘性流体
δ(t) U t 时刻
δ处流速为 处流速为1%U 处流速为
边界层厚度可以看成是壁面对来流的粘滞作用扩散范围的 度量， 定义为壁面起沿法向至流速达到外界主流流速之99 99% 度量 ， 定义为壁面起沿法向至流速达到外界主流流速之 99% 的增加而增加， 处 。粘性扩散的范围随 t 和 ν 的增加而增加， 且与 ν t 成比 可见对于大雷诺数流动，边界层是很薄的， 例。可见对于大雷诺数流动，边界层是很薄的，除非有非常长 的作用时间。 的作用时间 。 平板突然起动的例子中 δ = 3.64 ν t ， 估算水的 边界层厚度，1秒后为0.4cm，一小时后为0.24m 边界层厚度， 秒后为 ，一小时后为 正因为边界层的厚度比起一般规则物体的曲率半径是很薄 所以在局部观察边界层内的流动时， 的，所以在局部观察边界层内的流动时，物面就好象是平板一 由此可见， 一块平板的外部绕流问题是最重要， 样 。 由此可见 ， 一块平板的外部绕流问题是最重要 ， 最基本 的。
∫
0
U 2 d y = −∫τ 0 ( x) d x
0
x
y δ(x) δ(x)-δ1(x)
O
δ1 (x)
τ0
x
2 上式左边 ρ ∫ u x d y − ρ 0
δ ( x)
δ ( x ) −δ 1 ( x )
∫
0
U2d y
上式右边 − ∫τ 0 ( x) d x
0
x
− ρU 2
δ ( x)
∫
0
δ ( x) ux ux u (1 − ) d y − ρU 2 ∫ (1 − x ) d y + ρU 2δ 1 ( x) U U U 0
τ0 与 δ 和 U 的关系，于是平板 的关系，
可转化为δ关于x的常微分方程，进而求解。 的常微分方程， 可转化为δ关于 的常微分方程 进而求解。
例子
假设层流边界 层内速度分布
1. y = 0, u x = 0
∂u 3. y = δ , x = 0 ∂y
ux y y y = a + b + c + d U δ δ δ
紊流边界层 U 均匀来流
层流边界层
粘性底层
xc
§6—2 边界层微分方程式
根据边界层的特点，对 N-S方程的各项进行量级分析， 去掉 方程的各项进行量级分析， 根据边界层的特点 ， 方程的各项进行量级分析 高阶小量的项，简化为边界层微分方程。 高阶小量的项，简化为边界层微分方程。
U
y
ux δ(l)
O
O
δ1 (x) x
由于是平板绕流，上边界和两断面上的压强都是常数，流体在 由于是平板绕流 上边界和两断面上的压强都是常数， 沿程方向的受力只有板面摩擦力，所以动量方程具体化为： 沿程方向的受力只有板面摩擦力，所以动量方程具体化为：
2 ρ ∫ ux d y − ρ 0
δ ( x)
δ ( x ) −δ1 ( x )
根据定义 δ u u δ 2 = ∫ x (1 − x ) d y U 0 U 显然,δ2<δ1 显然,
§6—4 平板边界层动量积分方程
对平板绕流的如图区域应用动量方程，进口断面选在平板前缘 对平板绕流的如图区域应用动量方程， 出口断面离前缘距离为x， 处，出口断面离前缘距离为 ，出口断面厚度为当地边界层厚度 δ(x)， 进口断面厚度取为出口断面的 ， 进口断面厚度取为出口断面的δ(x)-δ1(x)， 这样通过进口 ， 断面和出口断面的流量是相等的， 断面和出口断面的流量是相等的，必有一条流线可以连接两个 断面的厚度，用它作为区域的上边界。 断面的厚度，用它作为区域的上边界。 y δ(x) δ(x)-δ1(x)