2019-2020年湖北省孝感市孝南区八年级(上)期末数学试卷

2019-2020 学年湖北省孝感市孝南区八年级（上）期末数学试卷一、精心选择，锱定音!（本题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题只有一个选项是正 确的1．（3 分）下列图形分别是四个城市电视台的台徽，其中为轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．2．（3 分）若分式A ．2 或﹣1D ．的值为 0，则 x 的值为（）B ．0C ．2D ．﹣13．（3 分）以下列各组线段长为边，不能组成三角形的是（）A ．8cm ，7cm ，13cmC ．5cm ，5cm ，2cm4．（3 分）下列计算正确的是（）A ．a•a ＝2a C ．a ÷a ＝a5．（3 分）下列因式分解正确的是（）A ．x+xy+x ＝x （x +y ） C ．a ﹣2a +2＝（a ﹣1） +1B ．6cm ，6cm ，12cmD ．10cm ，15cm ，17cmB ．（a ） ＝aD ．（﹣2a ） ＝﹣4aB ．x ﹣4x +4＝（x+2）（x ﹣2）D ．x ﹣6x +5＝（x ﹣5）（x ﹣1）6．（3 分）如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，但他很快想办法在作业本画了一 样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A ．AASB ．ASAC ．SSSD ．SAS7．（3 分）如图所示， △在ABC 中，∠C ＝90°，DE 垂直平分 AB ，交 BC 于点 E ，垂足为 点 D ，BE ＝6cm ，∠B ＝15°，则 AC 等于（）3 3 3 3 2 55 3 2 2 22 2 2 2 2A ．6cmB ．5cmC ．4cmD ．3cm8．（3 分）已知 x +2（m ﹣1）x +9 是一个完全平方式，则 m 的值为（）A ．49．（3 分）若分式方程 A ．1B ．4 或﹣2C ．±4D ．﹣2＝a 无解，则 a 的值（ ）B ．﹣1C ．±1D ．010．（3 分）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O ，过点 O 作 EF ∥BC 交 AB 于 E ，交 AC 于 F ，过点 O 作 OD ⊥AC 于 D ，下列四个结论：①EF ＝BE +CF ；②∠BOC ＝90°+ ∠A ；③点 O 到△ABC 各边的距离相等；④设 OD ＝m ，AE +AF ＝n ，则 S其中正确的结论是（）＝mn ． A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④二、耐心填空，准确无误（每题 3 分，共计 18 分）11．（3分）一种植物果实像一个微笑的无花果，质量只有0.000000076 克，该质量请用科学记数法表示克．12．（3 分）若 a ﹣b ＝6，ab ＝2，则 a +b ＝．13．（3 分）将点 M （﹣5，m ）向上平移 6 个单位得到的点与点 M 关于 x 轴对称，则 m 的 值为．14．（3 分）若 ＝3，则＝．15．（3分）如图，AD 是等边△ABC 的中线，E 是 AC 上一点，且AD ＝AE ，则∠EDC ＝°．2 △ AEF 2 216．（3 分）如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 6，面积是 18，腰 AC 的垂直平分线 EF分别交 AC ，AB 于 E ，F 点，若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点， △则△ CDM 的周长的最小值为．三、用心做一做显显你的能力（本大题 8 小题，共 72 分）17．（10 分）（1）计算：|﹣5|+（π﹣2020） ﹣（ ）；（2）解方程：＝1．18．（8 分）先化简，再求值.，其中 x ＝2．19．（8 分）如图，AC ⊥BD ，DE 交 AC 于 E ，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ．求证：AC ＝AE +BC ．20．（6 分）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A （1，1），B （4，2），C （3，4）， （1）画出△ABC 关于 y 轴的对称图形△A △ B C ，并写出点 B 的坐标；（2）在 x 轴上求作一点 P ，使△PAB 的周长最小，并直接写出点 P 的坐标．﹣1 0 1 1 1 121．（8 分）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y ）+2（x +y ）+1． 解：将“x +y ”看成整体，令 x+y ＝A ，则原式＝A +2A +1＝（A +1） ． 再将“A ”还原，得原式＝（x +y +1）．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解 答下列问题：（1）因式分解：1+2（2x ﹣3y ）+（2x ﹣3y ）．（2）因式分解：（a+b ）（a+b ﹣4）+4；22．（10 分）如图，在五边形 ABCDE 中，∠BCD ＝∠EDC ＝90°，BC ＝ED ，AC ＝AD ． （1）求证：△ABC ≌△AED ；（2）当∠B ＝140°时，求∠BAE 的度数．23．（10 分）某校为了创建书香校园，计划进一批图书，经了解．文学书的单价比科普书的单价少 20 元，用 800 元购进的文学书本数与用 1200 元购进的科普书本数相等． （1）文学书和科普书的单价分别是多少元？（2）该校计划用不超过 5000 元的费用购进一批文学书和科普书，问购进 60 本文学书后 最多还能购进多少本科普书？24．（12 分）如图①，CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝α，AD 、BE 相交于点 M ，连2 2 2 2 2接CM．（1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数；（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图②，判断△CPQ的形状，并加以证明．2019-2020学年湖北省孝感市孝南区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、精心选择，锱定音!（本题10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的1．（3分）下列图形分别是四个城市电视台的台徽，其中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，结合选项即可作出判断．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确；故选：D．2．（3分）若分式A．2或﹣1的值为0，则x的值为（）B．0C．2D．﹣1【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：由题意可得：x﹣2＝0且x+1≠0，解得x＝2．故选：C．3．（3分）以下列各组线段长为边，不能组成三角形的是（）A．8cm，7cm，13cm C．5cm，5cm，2cm B．6cm，6cm，12cm D．10cm，15cm，17cm【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【解答】解：根据三角形的三边关系，得 A 、8+7＞13，能组成三角形；B 、6+6＝12，不能组成三角形；C 、2+5＞5，能组成三角形；D 、10+15＞17，能组成三角形．故选：B ．4．（3 分）下列计算正确的是（）A ．a •a ＝2a C ．a÷a ＝aB ．（a ） ＝aD ．（﹣2a ） ＝﹣4a【分析】分别根据同底数幂的除法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则，积 的乘方运算法则逐一判断即可．【解答】解：A ．a •a ＝a ，故本选项不合题意； B ．（a ） ＝a，故本选项不合题意； C ．a ÷a ＝a ，正确，故本选项符合题意；D ．（﹣2a ） ＝4a ，故本选项不合题意． 故选：C ．5．（3 分）下列因式分解正确的是（）A ．x+xy+x ＝x （x +y ） C ．a ﹣2a +2＝（a ﹣1） +1B ．x ﹣4x +4＝（x+2）（x ﹣2）D ．x ﹣6x +5＝（x ﹣5）（x ﹣1）【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．【解答】解：A 、原式＝x （x +y +1），不符合题意；B 、原式＝（x ﹣2） ，不符合题意；C 、原式不能分解，不符合题意；D 、原式＝（x ﹣5）（x ﹣1），符合题意，故选：D ．6．（3 分）如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，但他很快想办法在作业本画了一 样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）3 3 3 3 2 55 3 2 2 23 3 6 3 2 65 3 2 2 22 2 2 2 2 2A ．AASB ．ASAC ．SSSD ．SAS【分析】图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即 可．【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出，所以，依据是 ASA ．故选：B ．7．（3 分）如图所示， △在ABC 中，∠C ＝90°，DE 垂直平分 AB ，交 BC 于点 E ，垂足为 点 D ，BE ＝6cm ，∠B ＝15°，则 AC 等于（）A ．6cmB ．5cmC ．4cmD ．3cm【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据线段垂直平分性质求出 BE ＝AE ＝6cm ，求出∠EAB ＝∠B ＝15°，求出∠EAC ，根据含 30°角的直角三角形性质求出即可． 【解答】解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝15°，∴∠BAC ＝90°﹣15°＝75°，∵DE 垂直平分 AB ，BE ＝6cm ，∴BE ＝AE ＝6cm ，∴∠EAB ＝∠B ＝15°，∴∠EAC ＝75°﹣15°＝60°，∵∠C ＝90°，∴∠AEC ＝30°，∴AC ＝ AE ＝ ×6cm ＝3cm ，故选：D ．8．（3 分）已知 x +2（m ﹣1）x +9 是一个完全平方式，则 m 的值为（ ）A ．4B ．4 或﹣2C ．±4D ．﹣2【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出 m 的值．2【解答】解：∵x +2（m ﹣1）x +9 是一个完全平方式， ∴2（m ﹣1）＝±6，解得：m ＝4 或 m ＝﹣2，故选：B ．9．（3 分）若分式方程 A ．1＝a 无解，则 a 的值（ ）B ．﹣1C ．±1D ．0【分析】分式方程无解是指这个解不是分式方程的解是化简的整式方程的解，也就是使 分式方程得分母为 0，可以根据增根的意义列出方程，求出 a 的值．【解答】解：在方程两边同乘（x +1）得：x ﹣a ＝a （x +1），整理得：x （1﹣a ）＝2a ，当 1﹣a ＝0 时，即 a ＝1，整式方程无解，当 x +1＝0，即 x ＝﹣1 时，分式方程无解，把 x ＝﹣1 代入 x （1﹣a ）＝2a 得：﹣（1﹣a ）＝2a ，解得：a ＝﹣1，故选：C ．10．（3 分）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O ，过点 O 作 EF ∥BC 交 AB 于 E ，交 AC 于 F ，过点 O 作 OD ⊥AC 于 D ，下列四个结论：①EF ＝BE +CF ；②∠BOC ＝90°+ ∠A ；③点 O 到△ABC 各边的距离相等；④设 OD ＝m ，AE +AF ＝n ，则 S其中正确的结论是（）＝mn ． A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④【分析】由在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O ，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC ＝90°+ ∠A 正确；由平行线的性质和角平分线2△ AEF的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出 EF ＝BE +CF 故①正确；由角平分线的性质得出点 O 到△ABC 各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解 方法，即可求得③设 OD ＝m ，AE +AF ＝n ，则＝ mn ，故④错误．△S【解答】解：∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O ，∴∠OBC ＝ ∠ABC ，∠OCB ＝ ∠ACB ，∠A +∠ABC +∠ACB ＝180°，∴∠OBC +∠OCB ＝90°﹣ ∠A ，∴∠BOC ＝180°﹣（∠OBC +∠OCB ）＝90°+ ∠A ；故②正确；∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O ，∴∠OBC ＝∠OBE ，∠OCB ＝∠OCF ，∵EF ∥BC ，∴∠OBC ＝∠EOB ，∠OCB ＝∠FOC ，∴∠EOB ＝∠OBE ，∠FOC ＝∠OCF ，∴BE ＝OE ，CF ＝OF ，∴EF ＝OE +OF ＝BE +CF ，故①正确；过点 O 作 OM ⊥AB 于 M ，作 ON ⊥BC 于 N ，连接 OA ，∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O ，∴ON ＝OD ＝OM ＝m ，∴S＝S+＝ AE •OM + AF •OD ＝ OD •（AE +AF ）＝ mn ；故④错误；△△△S∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O ，∴点 O 到△ABC 各边的距离相等，故③正确．故选：A ．二、耐心填空，准确无误（每题 3 分，共计 18 分）11．（3分）一种植物果实像一个微笑的无花果，质量只有0.000000076 克，该质量请用科学AEF AEF AOE AOF记数法表示 7.6×10克．【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a ×10 ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定．【解答】解：0.000000076＝7.6×10 ．故答案为：7.6×10﹣8．12．（3 分）若 a ﹣b ＝6，ab ＝2，则 a+b ＝ 40 ． 【分析】根据完全平方公式：（a ﹣b ） ＝a ﹣2ab +b 进行计算即可． 【解答】解：∵（a ﹣b ） ＝a ﹣2ab +b ，a ﹣b ＝6，ab ＝2， ∴a +b ＝（a ﹣b ）+2ab ＝36+2×2＝40，故答案为：40．13．（3 分）将点 M （﹣5，m ）向上平移 6 个单位得到的点与点 M 关于 x 轴对称，则 m 的 值为 ﹣3 ．【分析】直接利用平移的性质得出平移后点的坐标，再利用关于 x 轴对称点的性质得出 答案．【解答】解：∵点 M （﹣5，m ）向上平移 6 个单位长度，∴平移后的点的坐标为：（﹣5，m +6），∵点 M （﹣5，m ）向上平移 6 个单位长度后所得到的点与点 M 关于 x 轴对称，∴m +m +6＝0，解得：m ＝﹣3．故答案为：﹣3．14．（3 分）若 ＝3，则＝ 4 ．【分析】根据比例的合比性质即可直接完成题目．【解答】解：根据比例的合比性质，原式＝；15．（3分）如图，AD 是等边△ABC 的中线，E 是 AC 上一点，且AD ＝AE ，则∠EDC ＝ 15 °．﹣8 ﹣n ﹣8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD＝30°，又由AD＝AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故答案为：15．16．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF则分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M 为线段EF上一动点，△CDM的周长的最小值为9．【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A 关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S＝BC•AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，△∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+ ×6＝6+3＝9．故答案为：9．三、用心做一做显显你的能力（本大题8小题，共72分）17．（10分）（1）计算：|﹣5|+（π﹣2020）﹣（）；（2）解方程：＝1．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式＝5+1﹣2＝4；（2）方程两边乘以（x+1）（x﹣1）得：（x+1）+4＝（x+1）（x﹣1），解得：x＝﹣3，检验：当x＝3时，（x+1）（x﹣1）≠0，∴x＝﹣3是原方程的解，∴原方程的解是：x＝﹣3．18．（8分）先化简，再求值.【分析】先化简分式，然后将x的值代入计算．【解答】解：原式＝÷，其中x＝2．ABC0﹣12＝•＝，当 x ＝2 时，原式＝＝ ．19．（8 分）如图，AC ⊥BD ，DE 交 AC 于 E ，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ．求证：AC ＝AE +BC ．【分析】由“SAS ”可证△ABC ≌△DEC ，可得 BC ＝CE ，即可得结论．【解答】证明：∵AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°∴△ABC ≌△DEC （AAS ）∴BC ＝CE ，∵AC ＝AE+CE∴AC ＝AE +BC20．（6 分）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A （1，1），B （4，2），C （3，4）， （1）画出△ABC 关于 y 轴的对称图形△A △ B C ，并写出点 B 的坐标；（2）在 x 轴上求作一点 P ，使△PAB 的周长最小，并直接写出点 P 的坐标．【分析】（1）分别作出三个顶点关于 y 轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）作点 A 关于 x 轴的对称点，再连接 A ′B ，与 x 轴的交点即为所求．【解答】解：（1）如图所示，△A △ B C 即为所求，其中点 B 的坐标为（﹣4，2）．1 1 1 11 1 1 1（2）如图所示，点 P 即为所求，其坐标为（2，0）．21．（8 分）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y ）+2（x +y ）+1． 解：将“x +y ”看成整体，令 x+y ＝A ，则原式＝A +2A +1＝（A +1） ． 再将“A ”还原，得原式＝（x +y +1）．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解 答下列问题：（1）因式分解：1+2（2x ﹣3y ）+（2x ﹣3y ）．（2）因式分解：（a+b ）（a+b ﹣4）+4；【分析】（1）将（2x ﹣3y ）看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解．（2）令 A ＝a +b ，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解．【解答】解：（1）原式＝（1+2x ﹣3y ）．（2）令 A ＝a +b ，则原式变为 A （A ﹣4）+4＝A ﹣4A +4＝（A ﹣2） ，故（a +b ）（a +b ﹣4）+4＝（a +b ﹣2）．22．（10 分）如图，在五边形 ABCDE 中，∠BCD ＝∠EDC ＝90°，BC ＝ED ，AC ＝AD ． （1）求证：△ABC ≌△AED ；（2）当∠B ＝140°时，求∠BAE 的度数．2 2 2 2 2 2 2 2 2【分析】（1）根据∠A CD＝∠A DC，∠BCD＝∠EDC＝90°，可得∠A CB＝∠ADE，进而运用SAS即可判定全等三角形；（2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到∠BAE的度数．【解答】（1）证明：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，∴∠ACB＝∠ADE，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS）；（2）解：当∠B＝140°时，∠E＝140°，又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，∴五边形ABCDE中，∠BAE＝540°﹣140°×2﹣90°×2＝80°．23．（10分）某校为了创建书香校园，计划进一批图书，经了解．文学书的单价比科普书的单价少20元，用800元购进的文学书本数与用1200元购进的科普书本数相等．（1）文学书和科普书的单价分别是多少元？（2）该校计划用不超过5000元的费用购进一批文学书和科普书，问购进60本文学书后最多还能购进多少本科普书？【分析】（1）设文学书的单价为x元/本，则科普书的单价为（x+20）元/本，根据数量＝总价÷单价结合用800元购进的文学书本数与用1200元购进的科普书本数相等，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进m本科普书，根据总价＝文学书的单价×购进本数+科普书的单价×购进本数结合总价不超过5000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：（1）设文学书的单价为x元/本，则科普书的单价为（x+20）元/本，依题意，得：＝，解得：x＝40，经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，∴x+20＝60．答：文学书的单价为40元/本，科普书的单价为60元/本．（2）设购进m本科普书，依题意，得：40×60+60m≤5000，解得：m≤43．∵m 为整数，∴m 的最大值为43．答：购进60本文学书后最多还能购进43本科普书．24．（12分）如图①，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．（1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数；（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图②，判断△CPQ的形状，并加以证明．定ACD≌【分析】（1）由CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，利用SAS即可判△△BCE；（2）根据△ACD≌△BCE，得出∠CAD＝∠CBE，再根据∠AFC＝∠BFH，即可得到∠AMB＝∠ACB＝α；（3）先根据SAS判定△ACP≌△BCQ，再根据全等三角形的性质，得出CP＝CQ，∠ACP到PCQ 为等腰直角＝∠BCQ，最后根据∠ACB＝90°即可得到∠PCQ＝90°，进而得△三角形．【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝∠DCE＝α，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD；（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵△ABC中，∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，∴△ABM中，∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α；（3）△CPQ为等腰直角三角形．证明：如图2，由（1）可得，BE＝AD，∵AD，BE的中点分别为点P、Q，∴AP＝BQ，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP＝∠CBQ，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴CP＝CQ，且∠ACP＝∠BCQ，又∵∠ACP+∠PCB＝90°，∴∠BCQ+∠PCB＝90°，∴∠PCQ＝90°，∴△CPQ为等腰直角三角形．。