导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)精编版

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导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)

导数的概念及运算一，导数的概念1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆ 在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成00000()()()()()limlim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆()2求平均变化率x x f x x f xy ∆-∆+=∆∆)()(；()3取极限，得导数y '=()f x '=xyx ∆∆→∆0lim3.导数的几何意义：导数0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 处的瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为()()()y f x f x x x -='-4.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y '，即()f x '＝y '＝x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x '1．用导数的定义求下列函数的导数：()1 2()y f x x==；()2 24()y f x x ==2．()1已知000(2)()lim13x f x x f x x→--=△△△，求0()f x '()2若(3)2f '=，则1(3)(12)lim1x f f x x →-+=-二，导数的四则计算常用的导数公式及求导法则：（1）公式①0'=C ，（C 是常数） ②x x cos )(sin '= ③x x sin )(cos '-=④1')(-=n n nx x ⑤a a a x x ln )('=⑥x x e e =')(⑦a x x a ln 1)(log '= ⑧xx 1)(ln '=⑨x x 2'cos 1)(tan = ⑩（xx 2'sin 1)cot -=（2）法则：''')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±， )()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f +=)()()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -= 2，复合函数的求导法则：复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为'''xuxy y u =⋅.题型1，导数的四则计算 1，求下列函数的导数：()1 ln x y e x =⋅ ()2 11x x e y e +=-()3sin 1cos x y x=+ ()4()21sin cos y x x x x =-⋅+⋅()532x x x y e e =⋅-+ ()6()()33421y x x x =-⋅-2，求导数（1）()324y x x=- （2）sin x y x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+三，复合函数的导数链式法则若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则xy '=)()(x u f ϕ''若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则xy '=)()()(x v u f ψϕ'''说明：复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。

3-1导数的概念及运算高三数学综合练习有答案最全面(精华版)

第三章导数及其应用第1 讲导数的概念及运算基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一，填空题1．设y＝x2e x，就y′＝.解析y′＝2xe x＋x2e x＝(2x＋x2)e x.答案(2x＋x2)e x2. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满意f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，就f′(1)＝.|精. |品. |可. |编. |辑. |资. |料.1解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1) ＋x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，就f′(1)＝－1.答案－13. 曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是．解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x －y＋1＝0.答案2x－y＋1＝04．(2021 ·苏州调研)已知曲线y＝ln x 的切线过原点，就此切线的斜率为．1解析y＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y′＝x，设切点为(x0，ln x0)，就y′|x ＝x0＝1，切线方程为y－ln x0＝1(x－x0)，由于切线过点(0,0)，所以－ln x0 x x01＝－1，解得x0 ＝e，故此切线的斜率为e.1答案e5．如曲线y＝ax2－ln x 在点(1，a)处的切线平行于x 轴，就a＝.1解析由于y′＝2ax－x，所以y′|x＝1＝2a－1.由于曲线在点(1，a)处的切1线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝2.1答案26．(2021 ·南师附中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2 是曲线y＝f(x)在x＝3 处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，就g′(3)＝.|精.|品.|可.|编.|辑. |资. |料.解析由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－13，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0.答案07．(2021 ·苏北四市模拟)设曲线y＝1＋cos xsin x在点π2，1 处的切线与直线x－ay＋1 ＝0 平行，就实数a＝.解析∵y′＝1－1－cos xsin2 x ，∴由条件知a＝－1，∴a＝－1.答案－18．(2021 ·全国Ⅱ卷)如直线y＝kx＋b 是曲线y＝ln x＋2 的切线，也是曲线y＝ln(x ＋1)的切线，就b＝.解析y＝ln x＋2 的切线为：y＝1·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1)．x1y＝ln( x＋1)的切线为：y＝1x＋ln(x2＋1)－x2(设切点横坐标为x2)．1＝1，x2＋1 x2＋1x1 ∴ln x x2 ＋1＋1＝ln x x2＋1 －，1 2x2＋11 1解得x1＝2，x2 ＝－2，∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2.答案1－ln 2二，解答题19. 已知点M 是曲线y＝3－2x2＋3x＋1 上任意一点，曲线在M 处的切线为l，3x求：|精. |品. |可. |编. |辑. |资. |料.(1) 斜率最小的切线方程；(2) 切线l 的倾斜角α的取值范畴．解(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，所以当x＝2 时，y′＝－1，y5＝3，5所以斜率最小的切线过点2，3 ，斜率k＝－1，所以切线方程为3x＋3y－11＝0. (2)由(1)得k≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈0，π3π.2∪4，π10. 已知曲线y＝x3＋x－2 在点P0 处的切线l 1 平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1) 求P0 的坐标；(2) 如直线l⊥l1 ，且l 也过切点P0，求直线l 的方程．解(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.当x＝1 时，y＝0；当x＝－1 时，y＝－4.又∵点P0 在第三象限，∴切点P0 的坐标为(－1，－4)．4 4. (2)∵直线 l ⊥l 1 ，l 1 的斜率为 4，∴直线 l 的斜率为－ 1 ∵l 过切点 P 0，点 P 0 的坐标为 (－1，－ 4)，∴直线 l 的方程为 y ＋ 4＝－ 1(x ＋1)，即 x ＋ 4y ＋17＝0. 才能提升题组 (建议用时： 20 分钟) 11．(2021 ·山东卷改编 )如函数 y ＝f (x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两 |精.|品.|可.|编.|辑.|资.|料. 点处的切线相互垂直，就称 y ＝f (x)具有 T 性质，以下函数： ① y ＝sin x ；② y ＝ln x ；③ y ＝e x ；④y ＝x 3. 其中具有 T 性质的是 (填序号 )．解析如 y ＝ f(x)的图象上存在两点 (x 1， f(x 1 ))， (x 2， f(x 2))，使得函数图象在这两点处的切线相互垂直，就 f ′(x 1) ·f ′(x 2 )＝－ 1.对于①： y ′＝cos x ，如有 cos x 1 ·cos x 2＝－ 1，就当 x 1＝2k π，x 2＝ 2k π＋πk ( ∈Z)时，结论成立；1 1 1对于②： y ′＝x ，如有x 1·x 2＝－ 1，即 x 1x 2＝－ 1，∵x 1＞0，x 2>0，∴不存在 x 1， x 2，使得 x 1x 2＝－ 1；对于③： y ′＝ e x ，如有 e x1·e x2＝－ 1，即 e x1＋x2＝－ 1.明显不存在这样的 x 1， x 2；2 2 2 2 2对于④： y ′＝ 3x ，如有 3x 1·3x 2＝－ 1，即 9x 1x 2＝－ 1，明显不存在这样的 x 1， x 2.答案 ①12．(2021 ·合肥模拟改编 )点 P 是曲线 x 2－y － ln x ＝0 上的任意一点，就点 P 到直线 y ＝ x － 2 的最小距离为．＋， 2 解析点 P 是曲线 y ＝ x 2－ln x 上任意一点，当过点 P 的切线和直线 y ＝ x － 2 平行时，点 P 到直线 y ＝x －2 的距离最小，直线 y ＝x －2 的斜率为 1，令 y ＝x 2－ln x ，1 1 得 y ′ ＝2x － x ＝ 1，解得 x ＝1 或 x ＝－ 2(舍去)，故曲线 y ＝x 2－ ln x 上和直线 y ＝x －2 平行的切线经过的切点坐标为 (1,1)，点(1,1)到直线 y ＝x －2 的距离等于 2， ∴点P 到直线 y ＝x －2 的最小距离为 2. |精.答案 2 13. 如函数 f(x)＝1 2－ax ＋ln x 存在垂直于 y 轴的切线，就实数 a 的取值范畴是 |品.x |可.|编.|辑.|资.|料. 解析 ∵f(x)＝ 1 2－ax ＋ ln x ，2x1 ∴f ′(x)＝ x －a ＋ x (x>0)．∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线，∴f ′(x)存在零点，1 1即 x ＋ x － a ＝ 0 有解，∴a ＝ x ＋x ≥2(当且仅当 x ＝1 时取等号 )．答案 [2，＋∞ )214. 已知函数 f(x)＝ x － x ， g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．如曲线 y ＝f(x)与曲线 y ＝ g(x) 在 x ＝ 1 处的切线斜率相同，求 a 的值，并判定两条切线是否为同一条直线．解依据题意有 f ′(x) ＝1 2 g ′(x)＝－ a x 2 x .曲线 y ＝f(x)在 x ＝1 处的切线斜率为 f ′ (1)＝3，曲线 y ＝g(x)在 x ＝ 1 处的切线斜率为 g ′(1)＝－ a ，所以 f ′(1)＝ g ′ (1)，即 a ＝－ 3.曲线 y ＝f(x)在 x ＝1 处的切线方程为 y － f(1)＝3(x －1)．．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1 处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.|精.|品.|可.|编.|辑.|资.|料.。

导数的概念及运算--附答案

3.1导数的概念及运算(学案）姓名【一.导数的意义】1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称为函数()y f x =在0x x =处的导数.其几何意义为：【二.导数的运算公式】①()c '= ；②()nx '= ；③(sin )x '= ；④(cos )x '= ；⑤()xa '= ；⑥()x e '= ;⑦(log )a x '= ；⑧(ln )x '= ；⑨1()x'=；⑩'= ；【三.导数的运算法则】①.和差的导数：[()()]f x g x '±= ；②.[()]C f x '⋅= ；其中C 为常数。

③.积的导数：[()()]f x g x '= ；④.商的导数：()()f x g x '⎛⎫ ⎪⎝⎭=(()0)g x ≠。

【四.复合函数的导数】设函数()u g x =在点x 处有导数x u '，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数u y '，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x y '＝__ ______，【五.求导】1.求导：①)5'⋅xa x （=5x 4·a x ＋x 5·a x ln a；② sin(2)3x π'⎛⎫+ ⎪⎝⎭=③2ln 1x x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭=2．已知 f (x )＝x 2＋3x (2)f '，则(2)f '＝__-2___.3.求函数y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －100) (x >100)的导数.解析：两边取对数得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －100)．两边对x 求导：y ′y ＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －100.∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －100·(x －1)(x －2)·…·(x －100)．【六.导数的几何意义】4.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．解 (1)∵y ＝13x 3＋43，∴y ′＝x 2，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4 由y －4＝4(x －2)，得4x －y －4＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为 4x －y －4＝0(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝05.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是___max 11()2t e e=+_____．解析：设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+。

导数的概念及运算专题练习(含参考答案)

数学导数的概念及运算1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝03．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．84．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．45．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．22D ．36．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程为________．7．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．8．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．1．(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)2．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－23．(2019·云南第一次统考)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．4．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．6．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【参考答案】1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( )A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C ．因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C ．由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.3．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7.所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14.又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.4．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B ．由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1B ．2C ．22D ．3解析：选B ．因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2. 6．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程为________．解析：由题意知，y ′＝2x ，所以曲线在点(1，0)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝2，故所求切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2. 答案：y ＝2x －27．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e8．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1.答案：19．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，所以x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.1．(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.2．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D.因为f ′(x )＝1x ，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，于是解得m ＝－2. 3．(2019·云南第一次统考)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4.答案：44．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m >0)，因为两切线垂直，所以k 1 k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)．答案：(1，1)5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，② －2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)．所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.④ 将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4. 6．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9；当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0，解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18；在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9，所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。

导数的概念及运算(基础复习习题练习)35418精品名师资料

导数的概念及运算一，导数的概念1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()limlim x ox x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆()2求平均变化率xx f x x f x y∆-∆+=∆∆)()(；()3取极限，得导数y '=()f x '=x y x ∆∆→∆0lim3.导数的几何意义：导数0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 处的瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-4.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y '，即()f x '＝y '＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0(f x '1．用导数的定义求下列函数的导数：()1 2()y f x x ==；()2 24()y f x x ==2．()1已知000(2)()lim 13x f x x f x x→--=△△△，求0()f x '()2若(3)2f '=，则1(3)(12)lim 1x f f x x →-+=-二，导数的四则计算常用的导数公式及求导法则：（1）公式①0'=C ，（C 是常数） ②x x cos )(sin '= ③x x sin )(cos '-=④1')(-=n n nxx⑤a a a x x ln )('=⑥xx e e =')(⑦a x x a ln 1)(log '=⑧x x 1)(ln '= ⑨x x 2'cos 1)(tan = ⑩（xx 2'sin 1)cot -=（2）法则：''')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±，)()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f +=)()()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -=2，复合函数的求导法则：复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为'''x u x y y u =⋅.题型1，导数的四则计算 1，求下列函数的导数：()1 ln xy e x =⋅ ()2 11x x e y e +=-()3sin 1cos x y x=+ ()4()21sin cos y x x x x =-⋅+⋅()532x x x y e e =⋅-+ ()6()()33421y x x x =-⋅-2，求导数（1）()324y x x =- （2）sin xy x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+三，复合函数的导数链式法则若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则x y '=)()(x u f ϕ''若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则x y '=)()()(x v u f ψϕ''' 说明：复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。

导数定义复习题

导数定义复习题导数定义复习题导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

在这篇文章中，我们将通过一些复习题来回顾导数的定义和相关概念。

题目一：计算函数f(x) = 3x² - 2x + 1 在 x = 2 处的导数。

解答一：根据导数的定义，函数 f(x) 在 x = 2 处的导数可以表示为 f'(2) =lim(h→0) [(f(2+h) - f(2))/h]。

首先，我们计算 f(2+h) 和 f(2)：f(2+h) = 3(2+h)² - 2(2+h) + 1= 3(4+4h+h²) - 4 - 2h + 1= 12 + 12h + 3h² - 4 - 2h + 1= 3h² + 10h + 9f(2) = 3(2)² - 2(2) + 1= 12 - 4 + 1= 9将这些值代入导数的定义中，我们有：f'(2) = lim(h→0) [(3h² + 10h + 9 - 9)/h]= lim(h→0) [(3h² + 10h)/h]= lim(h→0) [3h + 10]= 10因此，函数f(x) = 3x² - 2x + 1 在 x = 2 处的导数为 10。

题目二：计算函数g(x) = √x 在 x = 4 处的导数。

解答二：同样地，根据导数的定义，函数 g(x) 在 x = 4 处的导数可以表示为g'(4) = lim(h→0) [(g(4+h) - g(4))/h]。

首先，我们计算 g(4+h) 和 g(4)：g(4+h) = √(4+h)= √4 + √h= 2 + √hg(4) = √4= 2将这些值代入导数的定义中，我们有：g'(4) = lim(h→0) [(2 + √h - 2)/h]= lim(h→0) [√h/h]= lim(h→0) [1/√h]= ∞因此，函数g(x) = √x 在 x = 4 处的导数为无穷大。

(完整版)导数的运算经典习题

（完整版）导数的运算经典习题1. 概述本文档列举了一些有关导数的运算的经典题，以帮助读者巩固和提高对该知识点的理解和应用能力。

2. 题集2.1 一阶导数1. 计算函数 $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$ 的导函数 $f'(x)$。

2. 求函数 $g(x) = \sqrt{x}$ 的导数 $g'(x)$。

3. 计算函数 $h(x) = e^x - \sin(x)$ 在 $x = 0$ 处的导数 $h'(0)$。

4. 求函数 $k(x) = \ln(x)$ 的导函数 $k'(x)$。

2.2 高阶导数1. 计算函数 $f(x) = \cos(x)$ 的二阶导数 $f''(x)$。

2. 求函数 $g(x) = \frac{1}{x^2}$ 的二阶导数 $g''(x)$。

3. 计算函数 $h(x) = e^x \cos(x)$ 的二阶导数 $h''(x)$。

4. 求函数 $k(x) = \ln(x^2)$ 的二阶导数 $k''(x)$。

2.3 乘积法则和商积法则1. 使用乘积法则计算函数 $f(x) = (3x^2 + 2x + 1)(4x + 1)$ 的导函数 $f'(x)$。

2. 使用商积法则计算函数 $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ 的导数$g'(x)$。

2.4 链式法则1. 使用链式法则计算函数 $f(x) = \sin(3x^2 + 2x + 1)$ 的导数$f'(x)$。

2. 使用链式法则计算函数 $g(x) = e^{2x^3}$ 的导函数 $g'(x)$。

3. 总结本文档提供了一些有关导数的运算的经典习题，涵盖了一阶导数、高阶导数、乘积法则和商积法则、链式法则等知识点。

通过完成这些习题，读者可以巩固对导数运算的理解，并提高应用能力。

希望这些习题对您有所帮助！。

导数基础知识点汇总及经典习题解答

导数导数基础：1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=. ②以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为.2. 函数在点处连续与点处可导的关系：函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.常用性质：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P 处的切线的斜率是，切线方程为0x )(x f y =x 0x x ∆y )()(00x f x x f y -∆+=∆x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00)(x f y =0x x x ∆+0x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(0'x f 0|'x x y =)(0'x f x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000)(x f y =A )('x f y =BA BB A ⊇)(x f y =0x 0x )(x f y =0x )(x f y =0x )(x f y =0x )(x f y =))(,(0x f x )(x f y =))(,(0x f x )(0'x f ).)((0'0x x x fy y -=-4. 求导数的四则运算法则：（为常数）②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.I.（为常数）（）.5. 复合函数的求导法则：或6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=c )0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 0'=C Cxx cos )(sin '=2'11)(arcsin x x -=1')(-=n n nx x Rn ∈xx sin )(cos '-=2'11)(arccos x x --=xx 1)(ln '=e x x a a log 1)(log '=11)(arctan 2'+=x x xx e e =')(aa a x x ln )('=11)cot (2'+-=x x arc )()())(('''x u f x f x ϕϕ=xu x u y y '''⋅=)(x f y =)('x f )(x f y =)('x f )(x f y =注：①是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即0时f （x ） = 0，同样是f （x ）7. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理）当函数在点处连续时，②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；例1. 8．函数313y x x =+- 有（）A.极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值26．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（） A ．72 B ．36 C ．12 D ．00)( x f 32x y =),(+∞-∞0)( x f 0)( x f 0x )(x f )(0x f )(0x f )(x f )(x f 0x 0x )('x f )('x f )(0x f 0x )('x f )('x f )(0x f6．函数x xy ln =的最大值为（）A ．1-eB ．eC ．2e D ．3102．函数x e x x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（）(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,03．已知对任意实数x ，有()()()()f x f xg x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（）（A ） 10<<b （B ） 1<b （C ） 0>b （D ）21<b5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（）A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+=D ．430x y ++=6．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．294eＢ．22e Ｃ．2e Ｄ．22e2．若'0()3fx =-，则000()(3)limh f x h f x h h →+--=（）A ．3-B ．6-C ．9-D ．12- 1.(2005全国卷Ⅰ文)函数93)(23-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则a =( )（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）52．(2008海南、宁夏文)设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（）A. 2e B. e C. ln 22D. ln 23．（2005广东）函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为（）A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2）4.（2008安徽文）设函数1()21(0),f x x x x =+-< 则()f x （）A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数5．（2007福建文、理)已知对任意实数x 有f(－x)=－f(x)，g()(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，则x<0时（）A f’(x)>0，g’(x)>0B f’(x)>0，g’(x)<0C f’(x)<0，g’(x)>0D f’(x)<0，g’(x)<0 6.(2008全国Ⅱ卷文)设曲线2ax y =在点（1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ( )A ．1B ．12C ．12-D ．1-导数答案。

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此，导数的定义式可写成
f ( x0)
lim f (x0 xo
x) f (x0 ) lim f ( x) f ( x0 ) .
x
x x0
x x0
2.求函数 y f (x) 的导数的一般步骤： 1 求函数的改变量 y f ( x x) f ( x)
2 求平均变化率
y x
f (x
x)
f ( x)
；
3
取极限，得导数
1 y ex ln x
2
y
ex 1 ex 1
3 y sin x 1 cos x
4 y x2 1 sin x x cos x
5 y 3 x ex 2 x 导数
（ 1） y x3 x2 4
（2） y
sin x x
3
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① C ' 0 ，（C 是常数）
② (sin x)' cos x
③ (cos x) ' sin x
④ ( x n ) ' nxn 1
⑤ ( a x ) ' a x ln a
⑥ (e x ) ' ex
⑦ (log a x) '
1 x ln a
⑧ (ln x) '
1 x
⑨ (tan x) '
1 cos2 x
0 时， y 与 x 的比 y x
（也叫函数的平均变化率）有极限即
y
无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函
x
数 y f ( x) 在 x
x0 处的导数，记作 y x x0 ，即 f ( x0 )
lim f ( x0 x0
x) f (x0) x
在定义式中，设 x x0 x，则 x x x0 ，当 x 趋近于 0 时， x 趋近于 x0 ，因
f ( x) 在开区间 (a,b) ( x (a,b))
上导数 f ( x) 在 x0 处的函数值，即 y x x0 ＝ f ( x0 ) . 所以函数 y f ( x) 在 x0 处的导数也
1
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记作 f ( x0 )
3，求下列函数的导数
y 3 2x
4，求下列函数的导数
（ 1） y= 1 2x cos x
（ 2）y= ln ( x+ 1 x2 )
5 ，设 y ln( x x 1) 求 y .
跟踪练习 :
求下函数的导数 .
6,（ 1） y
cos x 3
（2） y 2x 1
5
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（ 3） y 3cos x 4sin x
（ 4） y 2x 3 2
（ 5） y ln x 2
三，复合函数的导数链式法则
若 y= f (u)， u= ( x)
y= f [ ( x) ] ，则
y x = f (u) ( x)
若 y= f (u)， u= (v) ，v= ( x)
y= f [ ( (x)) ] ，则
[ f (x)] ' g( x)
f ' (x) g( x) g ' ( x) f ( x) g 2 ( x)
2，复合函数的求导法则：复合函数
数间的关系为 yx ' yu ' ux ' .
y f (g( x)) 的导数和函数 y f (u) ， u g( x) 的导
题型 1，导数的四则计算 1，求下列函数的导数：
（ 2）法则： [ f (x)
g( x)] '
⑩（ cot x) ' [ f ( x)] ' [ g ( x)] ' ，
1 sin 2 x
[ f ( x)g (x)] ' f ' (x) g( x) g ' ( x) f (x)
2
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y f (x) 在点 x0 可导，则曲线 y f ( x) 在点（ x0, f ( x0 ) ）处的切线方程为
y f (x0) f ( x0 )( x x0 )
4.导函数 ( 导数 ): 如果函数 y f ( x) 在开区间 (a, b) 内的每点处都有导数，此时对于每一
y x = f (u) (v) ( x)
说明：复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，
且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
在求导时要由外
到内，逐层求导。
1，函数 y
1 (1 3x) 4 的导数 .
2，求 y
5
x
的导数．
1x
4
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y
x
f ( x) lim y x0 x
3.导数的几何意义：
导数 f (x0)
lim f ( x0 x0
x) x
f (x0 ) 是函数 y
f ( x) 在点 x0 处的瞬时变化率，它
反映的函数 y f ( x) 在点 x0 处变．化．的快慢程度 .
它的几何意义是曲线
y f ( x) 上点（ x0, f ( x0 ) ）处的切线的斜率 . 因此，如果
1．用导数的定义求下列函数的导数：
1
y
f ( x)
x2 ； 2
y
f ( x)
4 x2
2． 1 已知 lim f ( x0 2△ x)
△x 0
3△x
f ( x0 )
1，求 f (x0 )
2 若 f (3)
2 ，则 lim x1
f (3)
f (1 x1
2x)
二，导数的四则计算
常用的导数公式及求导法则：
（ 1）公式
个 x (a, b) ，都对应着一个确定的导数 f ( x) ，从而构成了一个新的函数 f (x) , 称这个
函数 f ( x) 为函数 y f (x) 在开区间内的导函数，简称导数，也可记作 y ，即 f ( x) ＝ y
＝ lim y x0 x
lim f ( x x0
x) f ( x) x
函数 y f ( x) 在 x 0 处的导数 y x x0 就是函数 y
7， (1) y=(5 x－3)4
(2) y=(2+3 x)5
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一，导数的概念
导数的概念及运算
1. 设函数 y f ( x) 在 x x0 处附近有定义，当自变量在 x x0 处有增量 x 时，则函数
y f ( x) 相应地有增量 y f ( x0
x) f ( x0 ) ，如果 x

导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)精编版