条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
5 1 3 1 2 1 10 10 10 15 10 20 0.08.
P( A1 B) P( A1 ) P( B | A1 ) 0.5 0.01 (2) P ( A1 | B ) 0.625. P( B) P( B) 0.08
2014年1月5日星期日 3
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事实上，设试验中样本点的总数为 n ，事件 A 所包 AB 含的样本点的个数为 m(m 0) ， 所包含的样本点的个 数为 k ，则有 k k n P( AB) ． P( B | A) m m P( A) n 一般地，人们将上述关系式作为条件概率的定义．
(4) 一般地， P( B | A) P( A | B) ．
2014年1月5日星期日
7
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【例 11】某疾病 D 的医学检验结果可能为阳性(+)和阴性 ( )，其概率如下：
D
D 0.099 0.891
+
0.009 0.001
由条件概率的定义可得 P ( D) 0.009 P ( | D) 0.9, P ( D) 0.009 0.001 P ( D) 0.891 P ( | D) 0.9, P ( D) 0.891 0.099 P( D) 0.009 P( D | ) 0.08. P() 0.009 0.099
2014年1月5日星期日 8
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不 要 轻 易 相 信 你 的 直 觉
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【例 12】设某种动物从出生起活 20 岁以上的概率为 0.8， 活 25 岁以上的概率为 0.5．求 (1) 如果现在有一个 20 岁的这种动物，它能活 25 岁 以上的概率？ (2) 如果现在有一个 20 岁的这种动物，它活不到 25 岁的概率？ 解 (1)设事件 A ={能活 20 岁以上}；事件 B ={能活 25 岁 ． 以上}，则 P( AB) 0.5 P( B | A) 0.625. P( A) 0.8
四、贝叶斯公式
2014年1月5日星期日
2
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【引例】考虑有两个小孩的家庭．样本空间 { (男、 男)，(男、女)，(女、男)，(女、女) } . 设事件 A 为{家 中至少有一个男孩}，事件 B 为{家中至少有一个女 孩}． 求已知家中至少有一男孩的条件下至少有一女孩的 概率． A { (男、男)，(男、女)，(女、男) } 2 P( B | A) . B { (男、女)，(女、男)，(女、女) } 3 1 2 3 P ( AB ) ; P ( A) ; 2 4 4 P ( AB ) 2 . P ( B | A) P ( A) 3 2 4 P ( B ) ; P( A | B) ; 4 3 3 4
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先验概率: 在贝叶斯公式中， P( Ai ), i 1, 2,, n 是 在试验以前就已经知道的概率，所以习惯地称它们为先 验概率．
后验概率: 如果试验产生结果 B ，条件概率 P( Ai | B), i 1, 2, , n 反映了导致结果 B 的原因 Ai 的可能 性是多少， 通常称作后验概率．
解 (1)以 A1 、 A2 、 A3 分别表示事件“取得的这件产品是 甲、乙、丙厂生产” ；以 B 表示事件“取得的产品为次 品” ，则
2014年1月5日星期日
17
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5 3 2 P ( A1 ) , P ( A2 ) , P ( A3 ) , 10 10 10 1 1 1 P ( B | A1 ) , P ( B | A2 ) , P ( B | A3 ) . 10 15 20 由全概率公式，有
解 设 A 、 B 分别表示第一个、第二个顾客中奖，则
2 8 1 2 P ( A) ， P ( A) ， P ( B | A) ， P ( B | A ) ． 10 10 9 9
由全概率公式
P( B) P( A) P( B | A) P( A) P( B | A) 2 1 8 2 2 0.2. 10 9 10 9 10
2014年1月5日星期日
20
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【例 17】对以往的数据分析结果表明，当机器调整得良 好时，产品的合格率为 98%，而当机器发生某种故障时， 其合格率为 55%. 每天早上机器开动时，机器调整良好 的概率为 95%. 试求已知某日早上第一件产品是合格品 时，机器调整良好的概率是多少？ 解 设 A 为事件 “产品合格” B 为事件 ， “机器调整良好” . 已 知 P( A | B) 0.98 ， P( A | B) 0.55 ， P( B) 0.95 ，
P(B) P( A1 )P(B A1 ) P(A2 )P (B A2 ) P (An )P (B An )
P( Ai ) P( B Ai ) ．
i 1 n
2014年1月5日星期日
15
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【例 15】若 10 张彩票中有 2 张有奖，顾客各抽一张， 问第二位顾客中奖的概率是多大？
抽 签 公 平 原 理
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2014年1月5日星期日
16
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【例 16】 设某仓库有一批产品，已知其中 50%、30%、 20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产 1 1 1 的次品率分别为 , , . 求 10 15 20 (1) 现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率？ (2) 若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，求它 是由甲厂生产的概率？
2014年1月5日星期日
18
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四、 贝叶斯公式(Bayesian formula)
设 A1 , A2 ,, An 为试验 E 的样本空间 的一个划分，且 P( Ai ) 0,(i 1,2,, n) ， B 为 E 的一个事件，且 P( B) 0 ， 则有
P( Ai | B)
2014年1月5日星期日 12
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a (m 1)c P( Am | A1 A2 Am1 ) , a b (m 1)c
b P( Am 1 | A1 A2 Am ) , a b mc
b (n 1)c P( Am n | A1 A2 Am Am1 Am n1 ) a b (m n 1)c
P( Ai ) P( B Ai ) P( A1 ) P( B A1 ) P( An ) P( B An )
P( Ai ) P( B Ai )
P( A ) P( B A )
j 1 j j
n
.
这个公式称为贝叶斯公式(Bayesian formula)， 也称为后验公式 .
2014年1月5日星期日 19
2014年1月5日星期日
14
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三、全概率公式
全 概 率 公 式 (complete probability formula)： 若 A1 , A2 ,, An 为 试 验 E 的 样 本 空 间 的 一 个 划 分 ， 且 P( Ai ) 0, i 1, 2,, n ，则对 中的任意一个事件 B 都有
解 设 Ai 表示第 i 次取到红球的事件， i 1, 2, , m n ， 则前 m 次取到红球，后 n 次取到白球的事件为 A1 A2 Am Am1 Am2 Amn ．依题设有
ac a P ( A1 ) , P( A2 | A1 ) , ab abc
a 2c P( A3 | A1 A2 ) , a b 2c
i 1 i
2014年1月5日星期日
6
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关于条件概率，作如下几点说明：
(3) 计算条件概率可选择如下两种方法之一：① 在原 样 本 空 间 中 ， 先 计 算 P( AB), P( A) ， 再 按 公 式 P( AB) P( B | A) 计算； ②由于事件 A 已经出现， 它可以 P( A) 看成新的样本空间，因此可以在缩小后的样本空间 A 中 计算事件 B 发生的概率 P( B | A) ．
2014年1月5日星期日
4
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一、 条件概率
定义 6 设 A, B 是两个事件， P( A) 0 ， 且 则事件 A 发生 的 条 件 下 事 件 B 发 生 的 条 件 概 率 (conditional probability)为 P( AB) P( B | A) ． P( A)
第一章 随机事件和概率
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5
2014年1月5日星期日
随机事件 概率的定义 条件概率、全概率公式和 贝叶斯公式 事件的独立性 伯努利（Bernoulli）概型
1
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§1.3 条件概率、全概率公 式和贝叶斯公式
一、条件概率
二、乘法公式
三、全概率公式
10
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【例 13】 在一批由 90 件正品， 件次品组成的产品中， 3 不放回地连续抽取两件产品，问第一件取正品，第二件 取次品的概率．
解 设事件 A ={第一件取正品}；事件 B ={第二件取次 90 3 品}．依题意， P ( A) = ， P(B | A) = .由乘法公式得 93 92
条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
称为全概率公式.
B2
A
B1
Bn1 Bn
B3
证 因为
A AS A( B1 B2 Bn )
B2
A
B1
Bn1 Bn
那么, 全概率公式和贝叶斯公式变为
P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ),
P( A B )P(B ) P ( AB ) . P ( B A) P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B )
例5
某电子设备制造厂所用的元件是由三家
打破”.以B表示事件“透镜落下三次而未打破 ” .
因为B A1 A2 A3 , 故有 P ( B ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 ) 7 1 9 1 1 1 2 10 10
P ( B1 ) 0.3,
P ( B2 ) 0.5,
P ( B3 ) 0.2,
P ( A B1 ) 0.02, P ( A B2 ) 0.01, P ( A B3 ) 0.01, 故 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A B3 ) P ( B3 )
例4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下 时打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破, 第二次 落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未 打破的概率.（积事件概率） 解 以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“透镜第 i次落下
全概率公式贝叶斯公式推导过程
全概率公式贝叶斯公式推导过程Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...An-1) > 0 时，有：P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足，B2....两两互斥，即 Bi∩ Bj= ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(Bi)>0,i=1,2,....;∪B2∪....=Ω，则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi ),P(A|Bi)(i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A 的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
1.5条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
不难验证，条件概率具有概率的三个基本性质： （1）非负性：P A B 0 （2）规范性： P B 1 （3）可列可加性：对任意的一列两两互不相容的事件
Ai i 1,2, 有 P Ai B P Ai B
i 1 i 1
类似于概率，还可导出条件概率其它的一些性质
注意，这不是求条件概率 PA B, PB A
P A PAB AB P AB PAB
A A AB B AB AB
PB P A B P B P A B
3 2 2 3 3 5 4 5 4 5
B2
B3
B1
A
Bn
化整为零 各个击破
说明 全概率公式的主要用途 在于它可以将一个复杂事件的概 率计算问题,分解为若干个简单 事件的概率计算问题,最后应用 概率的可加性求出最终结果.而 这需要对样本空间进行划分.
定理1.2 设B1 , B2 , 是一列互不相容的事件，且 有 Bi , P( Bi ) 0, i 1,2, , 则对任一事件A，有
i 1
P( A) P( Bi ) P( A | Bi ).
i 1
这个公式通常称为全概率公式，它是概率论中 最基本的公式之一。
k AB
2．条件概率的定义和性质
定义： F，P ）是一个概率空间，B F 若（ ， ，且 P AB P（B）>0，则对任意的 A F，称 P A B P B 为在事件B已发生的条件下，事件A发生的条件概 率。
条件概率的计算方法
（1） 古 典 概 型 可用缩减样本空间法 （ 2） B=“灯泡用到5000小时”，A=“灯泡用到10000小时” 我们知道用到10000小时的灯泡一定用了5000小时，即 3 1 P B , P A 4 2 A B, 所以AB=A， P AB P A
条件概率、全概公式、贝叶斯公式
P(AB 3 36 1 ) P(A| B) = = = 。 P(B ) 6 36 2 解法2: 解法 P(A| B) = 3 = 1。 6 2
在B发生后的 发生后的 缩减样本空间 中计算
设某种动物由出生算起活到20年以上的 例2: 设某种动物由出生算起活到 年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为 年以上的概率为0.4。 概率为 ，活到 年以上的概率为 。问 现年20岁的这种动物 它能活到25岁以上的 岁的这种动物， 现年 岁的这种动物，它能活到 岁以上的 概率是多少？ 概率是多少？ 能活20年以上 能活25年以上 解:设A={能活 年以上 B={能活 年以上 设 能活 年以上}, 能活 年以上}, 所求为P(B|A) 。 所求为 依题意， 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4， ，
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。” 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大
我们用A 表示“ 个人抽到入场券 个人抽到入场券” 我们用 i表示“第i个人抽到入场券”， i＝1,2,3,4,5。 ＝ 。 表示“ 个人未抽到入场券 个人未抽到入场券” 则 A “第i个人未抽到入场券”， 表示 i 显然，P(A1)=1/5，P( A)＝4/5， 显然， ， ， 1＝ 也就是说， 也就是说， 个人抽到入场券的概率是1/5。 第1个人抽到入场券的概率是 。 个人抽到入场券的概率是
乙两厂共同生产1000个零件，其中 个零件， 例3: 甲、乙两厂共同生产 个零件 其中300 件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个 个零件中， 件是乙厂生产的。而在这 个零件中 个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件中任取一个， 是标准件，现从这 个零件中任取一个 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 零件是乙厂生产}， 设B={零件是乙厂生产 ， 零件是乙厂生产 A={是标准件 ， 是标准件}， 是标准件 所求为P(AB)。 。 所求为
1.3,1.4条件概率,全概率公式
C表示抽到的人有色盲症。
则
1 P( A) P( B) , P(C | A) 0.05, P(C | B) 0.0025 2
由Bayes公式有
P( A) P(C | A) 0.5 0.05 P( A | C ) P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P( A3 ) P( A3) P( A3 ( A1 A2 A1 A2 A1 A2 ))
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
i 1 n
全概率公式
证明 B B B ( A A A ) 1 2 n
BA1 BA2 BAn .
由 Ai A j ( BAi )( BAj ) P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：
条件概率全概率公式和贝叶斯公式描述
条件概率全概率公式和贝叶斯公式描述概率（Probability）是用来衡量不同事件发生的可能性的一种数学
概念，它可以由数学公式来表示。
本文将重点介绍概率的三种基本公式：
条件概率公式，全概率公式和贝叶斯公式。
1、条件概率公式：
条件概率是指在已知条件时，一个事件发生的概率，它用来衡量在一
些特定情况下，一些事件发生的可能性，一般用英文缩写表示：P(A，B)，表示在B发生的条件下，A发生的概率，即条件概率公式为：
P(A，B)=P(A∩B)P(B)
其中P(A，B)表示在B发生的条件下A发生的概率，P(A∩B)表示A&B
同时发生的概率，P(B)为B发生的概率。
2、全概率公式：
全概率公式是一种概率计算方法，它用来计算一个事件的概率，即一
个事件发生的总概率和，也称为综合全概率。
它的计算公式为：P（A）=P（A，B1）P（B1）+P（A，B2）P（B2）+……+P（A，Bn）P （Bn）
其中P（A）表示A发生的总概率和，P（A，Bk）表示在Bk发生的条
件下A发生的概率，P（Bk）代表Bk发生的概率，其中k=1,2,3…,n。
3、贝叶斯公式：
贝叶斯公式（Bayes' formula）是一种计算条件概率的方法，它用来
计算一个条件概率，也称为后验概率，它的计算公式为：
P（A，B）=P（B，A）P（A）/P（B）。
全概率公式、贝叶斯公式推导过程
全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足1.B1，B2....两两互斥，即B i ∩ B j = ∅，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
条件概率与概率的三个基本公式
球”， 则事件 A “第一次取到黑球”， 事件 B “第二次取到黑球”． （1）法一 已知第一次取到白球，那么袋中剩 4 个球，其中 2 个
白球， 2 个黑球，则已知第一次取到白球的条件下，第二次取到的是黑
球的概率为
P(B |
A)
2
1
．
42
法二 由古典概率知 P( A) 3 ， P( AB) P31 P21 3 .
注意 ① P(B) 表示“事件 B 发生”的概率，计算时，是
在整个样本空间 上考察事件 B 发生的概率；②而 P(B | A)
为已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，计算 时，实际上仅限于在事件 A 发生的范围内，来考察事件 B 的 概率．一般地， P(B | A) P(B) ．
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
条件概率是概率论的基本概念之一，同时又是计算概率 的重要工具．概率的三个基本公式（乘法公式、全概率公式
和贝叶斯 (Bayes) 公式）都建立在条件概率的概念之上．本
节重要学习以下内容： 一、条件概率
二、乘法公式
三、全概率公式
四、贝叶斯（Bayes）公式
第一章 随机事件与概率 1
3 这是因为事件 A 的发生，排除了 bb 发生的可能性，这时样本空间 也 随 之 缩 小 为 A ， 而 在 A 中 事 件 B 只 含 2 个 样 本 点 ， 故 P(B | A) 2 ． 事实上，以上条件概率还可写成
3 P(B | A) 2 2 / 4 P( AB) ． 3 3 / 4 P( A)
公式（1.5）和（1.6）都称为两个事件积的概率的乘法公式．这 两个乘法公式还可推广到有限个事件积的概率的情形：
设 A1, A2 , , An 是任意 n 个事件，且 P( A1A2 An ) 0 ，则 P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 ) . P( An | A1A2 An1)
条件概率、全概率、贝叶斯公式
杨鑫的数学课堂条件概率、全概率、贝叶斯公式、p(A|B)=P(A∩B)P(B)⇒p(A∩B)=p(A|B)×p(B)⇒p(A∩B)=P(B|A)×P(A)(1)p(A|B)=P(A∩B)P(B)=p(B|A)×P(A)p(B)(2)先举个例子，小张从家到公司上班总共有三条路可以直达（如下图），但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的远近不同，选择每条路的概率如下：p(L1)=0.5,p(L2)=0.3,p(L3)=0.2(3)每天上述三条路不拥堵的概率分别为：p(C1)=0.2,p(C2)=0.4,p(C3)=0.7(4)其实不迟到就是对应着不拥堵，设事件Ｃ为到公司不迟到，事件Li为选择第i 条路，则：p(C)=p(L1)×p(C|L1)+p(L2)×p(C|L)+p(L3)×p(C|L3) p(C)=p(L1)×p(C1)+p(L2)×p(C2)+p(L3)×p(C3)p(C)=0.5×0.2+0.3×0.4+0.2×0.7=0.36(5)全概率计算公式p(C)=p(L1)p(C|L1)······p(L n)p(C|L n)=n∑i=1p(L i)p(C|L i)(6)三、贝叶斯公式仍旧借用上述的例子，但是问题发生了改变，问题修改为：到达公司未迟到选择第１条路的概率是多少？0.5这个概率表示的是，选择第一条路的时候并没有靠考虑是不是迟到，只是因为距离公司近才知道选择它的概率，而现在我们是知道未迟到这个结果，是在这个基础上问你选择第一条路的概率，所以并不是直接就可以得出的。
故有：p(L1|C)=p(C|L1)×p(L1)p(C)p(L1|C)=p(C|L1)×p(L1)P(L1)×p(C|L1)+P(L2)×p(C|L2)+P(L3)×p(C|L3)p(L1|C)=0.2×0.50.2×0.5+0.3×0.4+0.2×0.7=0.28(7)1。
条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
因为 P ( A) 0.8,
P ( B ) 0.4,
P ( AB ) P ( B ),
P ( AB ) 0.4 1 . 所以 P ( B A) 0.8 2 P ( A)
第二节 全概率公式
再回忆一下条件概率的定义:
P( AB ) P( B | A) P( A) 要求 P( A) 0 .
第三章
第三章 条件概率与事件的独立性
一、条件概率 二、全概率公式 三、贝叶斯公式 四、事件的独立性 五、伯努利实验和二项概率
第一节 条件概率
前面讲的概率问题没有什么附加条件，但 实际中可能会经常遇到许多有条件的概率 问题比如： (1)已知某人爱滋病检查为阳性，求他患爱 滋病的概率； (2)在摸奖中已知第一人已经或未摸到一等 奖，求第二人摸到一等奖的概率。 (3)人寿保险中常常会考虑：已知某人已经 活了x岁，求他能再活y岁的概率。
完备事件组（样本空间的一个划分） 定义1 设事件Ａ1，Ａ2，…，Ａn为样本空间 的一组事件。 … A1 如果 A2 (1) Ai Aj= （i≠j）; (2)
An
A3 …
A
i 1
n
i
则称Ａ1，Ａ2，…，Ａn为样本空间的一 个划分。
定理 设试验Ｅ的样本空间为Ω， 设事件A1，A2，…，An为样本空间Ω的一 个划分， 且P(Ａi)>0 (i =1,2, …,n)． 则对任意事件B，有
古典概型
设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球.
所求的概率称为在事件A 发生的条件下 事件B 发生的条件概率。记为 P B A
从而有
4 k AB P ( B | A) kA 7 k AB / n 4 /10 k A / n 7 /10