高数11_3格林公式(黑白)
11-3 格林公式及其应用
P Q y x
利用格林公式 , 得
D D L
Q Q L P d x Q d y D ( x x )d xd y
0
返回
【说明】根据定理2 , 若在某区域内
P Q , 则 y x 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
D 是 X-型域且 Y-型域
------格林公式
返回
一、格林公式
D D
单连通区域
复 连通区域
返回
定理1 设有界闭区域 D 由分段光滑曲线L围 成 ，
P ( x , y )、 ( x , y ) 在D上 具有连续的偏导数 Q Q P ) dxdy Pdx Qdy ( 则 L x y D 其中 L的方向指D的 边界线 的正向
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式 二、格林公式简单应用 三、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 四、小结
返回
一、格林公式
回顾： 一元微积分学中最基本的公式—牛顿、莱布 尼兹公式：
b a
F ( x )dx F ( b) F ( a )
D L
返回
问题：能否推广到二重积分？
( ? )dxdy ( ? )dx
取定点 ( x0 , y0 ) D 及动点 ( x , y ) D , 则原函数为
u ( x, y)
( x, y) ( x0 , y0 ) x
P ( x , y )d x Q( x , y )d y
y y0
§11.3 格林(Green)公式
下面证明 如图，
A(x0 , y0 )
B(x,y) M(x+Dx,y)
O
G
x
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
类似可证
y
A(x0 , y0 )
B(x,y) M(x+Dx,y)
O
G
x
( ξ 介于 x 与 x +Dx 之间 )
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
如果存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy，则
(Ⅰ) 沿任一闭曲线L的积分
(Ⅱ) 曲线积分
与路径无关；
（Ⅲ）存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy；
（Ⅳ）在G内
证明略.
2. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
如果存在某一函数 u (x, y) 使 du = Pdx + Qdy，如何求 u (x, y)？
此时，积分与路径无关，只与起点和终点有关，如图，记
1. 区域的连通性
设 D 为平面区域，如果 D 内任一闭曲线所围成的部分 都属于 D，则称 D 为平面单连通区域，否则称为复连通区域.
例 D1,D2为图中浅色区域.
D2 D1
单连通区域
复连通区域
1. 格林（Green）公式
L
D
L
Dl
边界曲线 L 的正向: 当观察者沿边界行走时，区域 D 总在他的左边。
§11.3 格林(Green)公式
1. 格林(Green)公式 2. 平面上曲线积分与路径无关的
等价条件 3. 曲线积分的基本定理
§11.3 格林(Green)公式
1. 格林(Green)公式 2. 平面上曲线积分与路径无关的
高等数学(下册)第11章第3讲格林公式及其应用(1)
接
2 dxdy , BA : y 0,dy 0,
上
D
(ex cos y y 1)dx (x ex sin y)dy BA
1 (ex 1)dx e e1+2 1
I e e1 2.
注：用格林公式，如果不是封闭曲线要添加辅助线， 一般是有向的平行于坐标轴的直线或折线.
y
sin
2x
2( x 2
1) sin
x cos
x
dx
= π sin 2x x2 sin 2x sin 2x dx π x2 sin 2xdx 1 π x2d cos 2x
0
0
20
1 x2 cos 2x π 1
π
π2 1
2x cos 2xdx
π
xd sin 2x
2
0 20
例
3
计算
L
2xy 3y x2 y2
dx
x2 x2
5x y2
dy，其中L为圆周x2
y2
a2按逆时针方向绕行.
例11.12拓展
解
2xy 3y dx x2 5x dy
L x2 y2
x2 y2
此时不能用格林公式 可以用格林公式
1 a2
2xy 3ydx
L
x2 5x
dy
1 a2
y 1 x2
B（-1,0） O
A（1,0）x
12
一、格林公式及其应用
例5
计算曲线积分 sin 2xdx 2(x2 1) ydy，其中L 是曲线y sin x 上 L
从点(0，0)到点(π，0)的一段.
同步习题11.2，提高1 2讲例题
解
法1
sin 2xdx 2(x2 1) ydy
微积分II课件——11-3(2) 格林公式及其应用2 曲线积分与路径无关
例1 求解方程
(5x4 + 3xy2 − y3)dx + (3x2 y − 3xy2 + y2 )dy = 0.
四、小结
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通开区域D上 P( x, y), Q( x, y)具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 (1) 在D内∫L Pdx + Qdy与路径无关
三、二元函数的全微分求积
定理3 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导 数, 则 P( x, y)dx + Q( x, y)dy 在G 内为某一 函数u( x, y)的全微分的充要条件是等式
∂P = ∂Q ∂y ∂x 在G 内恒成立.
若 ∂P ≡ ∂Q
y
∂y ∂x
∫ 则 B( x1 , y1 ) Pdx + Qdy A( x0 , y0 )
• A( x0 , y0 )
o
∫ ∫ =
x1 x0
P
(
x
,
y0
)dx
+
Hale Waihona Puke y1Q(y0x1
,
y)dy
∫ ∫ 或 =
Q y1 (
y0
x0
,
y
)dy
+
x1 x0
P(
x,
y1
)dx
• B( x1 , y1 )
• C( x1, y0 )
∂x ∂x
原积分与路径无关
∫ ∫ 故原式=
1 x2dx +
1
(1 +
y4 )dy=
23 .
0
0
15
11-(3)格林公式及其应用(重新学习)
区域 ) 高等数学A(下）
34 - 2
2020年1月20日
一、 格林公式 2、边界曲线的正向
L1
D
L2
L1
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,
区域D总在他的左边.
高等数学A(下）
34 - 3
2020年1月20日
一、 格林公式
定理1. 设区域 D 是由分段光滑曲线 L 围成,函数 在 D 上具有一阶连续偏导数, 则有
例4. 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy.其中 L 为 L
由点O(0, 0)到点B(1, 1)的曲线弧 y sin x .
2
解 P ( x2 2xy) 2x
y y
P Q ，
Q ( x2 y4 ) 2x
y x
D1
y
L
l D1
or
x
高等数学A(下）
2π 0
r 2 cos2 r 2 sin2
r2
d
2π
34 - 15
2020年1月20日
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.
C
B
Q(x, y) x2 y2
D
则Q 2 x, P x
x
y
O
Ax
( x3 xy)dx ( x2 y2 )dy L
(2x x)dxdy
格林公式知识点总结
第三节 格林公式及其应用教学目的：理解和掌握格林公式及应用 教学重点：格林公式教学难点：格林公式的应用 教学内容： 一、Green 公式单连通区域.设D 为单连通区域，若D 内任一闭曲线所围的部分都属于D .称D 为单连通区域（不含洞），否则称为复连通区域（含洞）.规定平面D 的边界曲线L 的方向，当观看者沿L 行走时，D 内在他近处的那一部分总在他的左边，如定理1. 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 和),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数，则有dxdy y Px Q D⎰⎰∂∂-∂∂)(=⎰-L Qdy Pdx .L 为D 的取正向的边界曲线.即格林公式既为x - 型又为y -型区域2L ：)(2x y ϕ=∵y P∂∂连续，证：对⎰⎰∂∂D dxdy y P=dyy y x P dx x x b a ⎰⎰∂∂)()(21),(ϕϕ=dxx x P x x P ba})](,[)](,[{1121⎰-ϕϕ1L ：)(1x y ϕ= 又⎰⎰⎰+=21L L L Pdx Pdx Pdx=dxx x P ba⎰)](,[11ϕ+dxx x P ba⎰)](,[21ϕ=dxx x P x x P ba})](,[)](,[{2111⎰-ϕϕ∴⎰⎰⎰=∂∂-LD Pdx dxdy y PyxlLoyxL 1L 2ab对于y -型区域，同理可证 ⎰⎰∂∂D dxdy y Q=⎰L Qdx ∴原式成立对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在4321,,,D D D D 上应用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证.几何应用，在格林公式中，取x Q y P =-=,，⎰⎰Ddxdy2=⎰-Lydx xdy∴21=A ⎰-L ydx xdy说明：1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立2）记法⎰-L ydx xdy =⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y x3）在一定条件下用二重积分计算曲线积分，在另外条件下用曲线积分计算二重积分.4）几何应用.例1． 计算⎰++-Cdy y x dx x y )3()( L ：9)4()1(22=-+-y x解： 原式=⎰⎰=-D dxdy π18)13(， 3=∂∂x Q ，1=∂∂y P例1． 计算星形线⎩⎨⎧==t a y t a x 33sin cos 围成图形面积)20(π≤≤t⎰⎰⋅+⋅=-=π202223)sin cos 3sin cos sin 3cos (2121dtt t a t a t t a t a ydx xdy A L=832a π二 平面上曲线积分与路径无关的条件1） 与路无关：是G 为一开区域，),(),,(y x Q y x P 在G 内具有一阶连续偏导数，若G 内任意指定两点B A ,及G 内从A 到B 的任意两条曲线21,L L⎰⎰+=+21L L Q d yP d x Q d y P d x 恒成立，则称⎰+LQdy Pdx 在G 内与路径无关.否则与路径有关.例1．⎰-++Ldy y x dx y x )()( 1L ：从)1,1(到)3,2(的折线2L 从)1,1(到)3,2(的直线解：⎰+1L QdyPdx =25)1()2(2131=++-⎰⎰dx x dy y 32L ：)2(23-+=x y ,即 12-=x y⎰-++2)()(L dyy x dx y x =25)]1(2)12[(21=-+-+⎰dx x x x定理：设),(y x P ，),(y x Q 在单连通区域D 内有连续的一阶偏导数，则以下四个条件相互等价（1）内任一闭曲线C ，⎰+CQdy Pdx =0. （2）对内任一曲线L ，⎰+LQdyPdx 与路径无关（3）在D 内存在某一函数),(y x μ使Qdy Pdx y x d +=),(μ在D 内成立.（4）x Qy P ∂∂-∂∂，在D 内处处成立. 证明：（1）⇒（2） 在D 内任取两点B A ,，及连接B A ,的任意两条曲线⋂AEB ，⋂AGB ∴⋂⋂+=BGA AGB C 为D 内一闭曲线知⎰+CQdyPdx ， 由（1）⎰⋂+AGBQdyPdx +⎰⋂+BEAQdy Pdx =0即⎰⋂+AGBQdy Pdx =⎰⋂+BEAQdyPdx∴（2）⇒（3）若⎰+LQdy Pdx 在D 内与路径无关.当起点固定在（0,yx ）点，终点为),(y x 后，则⎰+),(),(00y x y x Qdy Pdx 是y x ,的函数，记为),(y x u .下证：),(y x u =⎰+),(),(00y x y x QdyPdx 的全微分为),(y x du =Qdy Pdx +.∵),(y x P ，),(y x Q 连续，只需证),(y x P x u =∂∂， ),(y x Q y u =∂∂，由定义=∂∂x u x y x u x x u x ∆-∆+→∆),()(lim 0=∆+),(y x x u ⎰∆++),(),(00y x x y x QdyPdx =),(y x u +⎰∆++),(),(y x x y x QdyPdx=),(y x u +⎰∆+xx xPdx∴-∆+),(y x x u ),(y x u =⎰∆+xx xPdx =x P ∆，),(y x x P P ∆+=θ)10(≤≤θoyx(2,3)(1,1)L2L1oyxEBAGx ∆),(000y x M oyxM(x,y)N(x+,y)即),(y x P x u =∂∂， 同理),(y x Q y u =∂∂.（3）⇒（4）若),(y x du =Qdy Pdx +，往证y P ∂∂=x Q ∂∂，=P x P∂∂，=Q y Q ∂∂y x P y P ∂∂∂=∂∂，x y Qx Q ∂∂∂=∂∂， 由Q P ,具有连续的一阶偏导数=∂∂∂y x u 2x y u ∂∂∂2 故y P ∂∂=x Q ∂∂（4）⇒（1）设C 为D 内任一闭曲线，D 为C 所围成的区域.⎰+CQdyPdx =dxdy y Px Q D⎰⎰∂∂-∂∂)(=0.例2．曲线积分⎰-++=Lx y dyy xe dx x e I )2()(， L 为过)0,0(，)1,0(和)2,1(点的圆弧.解： 令x e P y+=，y xe Q y2-=，则ye x Q=∂∂，ye y P =∂∂ ∴I 与路径无关. 取积分路径为AB OA +.=I ⎰+OAQdyPdx +⎰+ABQdyPdx=⎰⎰-++201)2()1(dy y e dx x y=272-e例2． 计算⎰+-Cy x ydxxdy 22， （1）c 为以)0,0(为心的任何圆周.（2）c 为以任何不含原点的闭曲线. 解：（1）令22y x y P +-=，22y x x Q +=，22222)(y x x y y P +-=∂∂，22222)(y x x y x Q +-=∂∂，∴在除去)0,0(处的所有点处有y P ∂∂=x Q∂∂，做以0为圆心，r为半径作足够小的圆使小圆含在C 内，∴⎰⎰++rC CQdyPdx =0，即=+⎰CQdy Pdx θθπd r r x r ⎰+202222sin cos =π2≠0（2）∵y P ∂∂=x Q∂∂ ∴=+⎰C Qdy Pdx 0 三、二元函数的全微分求积oyxBAoyx∵ ⎰+C QdyPdx 与路径无关，则Qdy Pdx +为某一函数的全微分为),(y x u =⎰+),(),(00y x y x QdyPdx =⎰+xx QdyPdx 0+⎰+yy QdyPdx 0注：),(y x u 有无穷多个.例3． 验证：ydy x dx y x cos )sin 2(++是某一函数的全微分，并求出一个原函数.解：令y x P sin 2+=，y x Q cos =y x Q cos =∂∂，y y P cos =∂∂∴原式在全平面上为某一函数的全微分，取)0,0(),(00=y x ，⎰+=),()0,0(),(y x Q d yP d x y x u =⎰⎰+x yydy x xdx 00cos 2=y x x sin 2+例5． 计算⎰-+-Cx x dym e y dy my e y )3()(23，c 为从E 到F 再到G ，⋂FG 是半圆弧解：令my e y P x-=3， m e y Q x-=23m e y y P x -=∂∂23，x e y y Q23=∂∂，m y Px Q =∂∂-∂∂添加直线GE，则，原式+⎰+GEQdy pdx =⎰⎰-Dmdxdy=])22(211221[2π⋅+⋅⋅-m =)41(π+-m ∴原式=m )41(π+-⎰-310dx =)41(π+-m 例6．设)(x f 在),(+∞-∞上连续可导，求dy y x f y y x dx y y x f y L L ⎰⎰++)],([),(1222，其中为从点)32,3(A 到)2,1(B 的直线段. ),(00y x ),(y x oyx),(y x )0.(x oyxo yxF (2,1)E (1,0)G (3,0)oy xB A C解；令y y x f y P ),(12+=， ]1),([22-=y x f y y x Q222),(1)],(),(2[y y x f y y y x f xy y x yf y P --'+=∂∂=2321),(),(y y x f xy y x f y -+=∂∂x Q ='+-)],([]1),([13222y x f y y x y x f y y 2321),(),(y y x f xy y x f y -+x Q y P ∂∂=∂∂，故原积分与路径无关，添CB AC +构成闭路，∴原式+0=+⎰⎰AC BC∴原式=⎰⎰+AC CB =dx x f dy y f y y )]32(941[23]1)([11322322++-⎰⎰ dy y y f dx x f ⎰⎰-++=132322]1)([)]32(3223[u x =3241)()(2323223223213-=+++⎰⎰y dy y f du u f x练习：1.证明：若)(u f 为连续函数，而C 为无重点的按段光滑的闭曲线，则)()(22=++⎰ydy xdx y xf c.2.确定的n 值，使在不经过直线0=y 的区域上，dy y y x x dx y y x x I c nc n ⎰⎰+-+=222222)()(与路径无关，并求当C 为从点)1,1(到点)2,0(B 的路径时I 的值.21-=n ，21-=I3．设),(y x f ，),(y x g 为L 上的连续函数，证明dsg f gdy fdx L L ⎰⎰+≤+22小结： 1. 格林公式及应用，积分与路径无关的四个等价命题，全微分求积.2. 格林公式使有些问题简化，有时可计算不封闭曲线积分，只需添上一条线使之成为封闭曲线，再减去所添曲线的积分值即可.作业：P153 2，3，5。
高等数学格林公式课件
他近处的部分总在他的
左边. 单连通区域的 边界曲线L的正向: 逆时针方向.
设复连通区域 D 的边界曲线为 = L + l 1 + l2 + · · · + ln 的正向： 复合 闭路 (如图)
外边界L 为逆时针方向； 内边界
li
( i 1, 2, , n)
为顺时针方向.
4. 格林公式 定理10.3（Green公式）设平面区域 D 是由分段 光滑闭曲线围成, 函数 有连续一阶偏导数, 则
D
D
3 [1 ( x 2 y 2 )]d x d y
D
3 d (1 2 ) d
0 0
2π
R
3π ( 2 R 2 R4 ) 2
注 I 3 [1 ( x 2 y 2 )]d x d y
D
？ 3 (1 R 2 ) d x d y
y
A(1,1)
B(0,1)
D
Q P ( ) d xd y x y
D
P dx Qd y
D
yx
o
x
2 y ？
将二重积分转化为曲线积分
D
P dx Qd y
P ？ Q xe 0, Q
解 令 P 0, Q xe 利用格林公式 , 有
y2
作位于 D 内圆周
l : x 2 y2 r 2,
顺时针.
l x
l的参数方程为： x r cos y r sin : 2 0
y L
O
记 D1 由 L 和 l 所围成的区域,
L l 封闭，正向 .
应用格林公式,得
113格林公式
反过来，由在 G 内沿闭曲线的曲线积分为零也可推
得在区域 G 内曲线积分与路径无关.
5/11/2019
20
2.平面曲线积分与路径无关的条件
定理2 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y)
在G 内具有一阶连续偏导数,则曲线积分 Pdx Qdy在G 内
L
与路径无关 （或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充
14
y
例 3 计算 e y2dxdy,其中 D是
B 1
A
D
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点的三
角形闭区域.
o
1
x
解： 令 P 0, Q xe y2 , 则 Q P e y2 , x y
应用格林公式,有
e y2dxdy
Q(s,t)dy u(x, y)
y0
或
y
y0 Q(x0 ,t)dt
x1 P(s,t)dt u(x, y)
x0
5/11/2019
24
例 6 验证：在整个 xOy 面内， 4sin xsin3y cos xdx 3cos3y cos 2xdy
是某一函数 u(x, y) 的全微分，并求出一个这样的函数.
5/11/2019
23
值得一提的是，由定理 y 3 的充分性证明过程知，
B(x, y)
如果 P Q， y x
A( x0 , y0 )
o
C(x, y0 )
x
那么 B(x,y) P(s,t)ds Q(s,t)dt A( x0 , y0 )
x
y
x0 P(s, y0 )ds
高等数学课件--D11_3格林公式
2012-10-12
同济版高等数学课件
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
证明 (2) (3) 在D内取定点 与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B( x, y )
A( x0 , y0 )
( x x , y ) ( x, y )
C ( x x, y )
则
dy 1 y
2
O (1,0)
x y
( x,0 )
x
π 2
arctan
2012-10-12
同济版高等数学课件
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例7. 设质点在力场 由 A( 0, ) 移动到
2 π
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
y
k
L
A L
O
解: W F d s
L
r
( y dx x d y) 2
Q x P y
L
Dn
k 1 n
Dk
d xd y
O
x
k 1
Dk
P dx Qd y
(Dk 表示 Dk 的正向边界 )
证毕
P dx Qd y
L
2012-10-12
同济版高等数学课件
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
Q P d xd y P d x Q d y 格林公式 x y D L
Pd x Qd y
L2
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pd x Qd y 0 说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 .
B (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 L Pd x Qd y Pd x Qd y Pd x Qd y AB 与路径无关, 只与起止点有关. A
D11_3格林公式
第三节一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件格林公式及其应用第十一章*三、全微分方程L D区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )多连通区域 ( 有“洞”区域 )域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,),(y x P ),(y x Q ∫∫∫+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d d ( 格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,∫∫∫+=∂∂∂∂LDyxyQ x P y x QP d d d d 或一、 格林公式证明:1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且⎩⎨⎧≤≤≤≤b x a x y x D )()(:21ϕϕ⎩⎨⎧≤≤≤≤d y c y x y D )()(:21ψψ则y x x Q D d d ∫∫∂∂∫=dcy y y Q d )),((2ψ∫∂∂)()(21d y y xx Q ψψ∫=CBE y y x Q d ),(∫−CAE y y x Q d ),(∫=CBEy y x Q d ),(∫+EACyy x Q d ),(∫−dcyy y Q d )),((1ψ∫=dcy d O d c y xECBA b a D即y x xQD d d ∫∫∂∂∫=L y y x Q d ),(同理可证y x yP D d d ∫∫∂∂−∫=L xy x P d ),(①②①、②两式相加得:()∫∫∫+=∂∂−∂∂LD y Q x P y x y Px Q d d d dL2) 若D 不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割1D nD 2D ()∑∫∫=∂∂−∂∂=n k D y x yPx Q k1d d ()y x yPx Q Dd d ∂∂−∂∂∫∫∑∫=∂+=nk D kyQ x P 1d d ∫+=LyQ x P d d 为有限个上述形式的区域 , 如图)(的正向边界表示k k D D ∂证毕yxO推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积∫−=Lxy y x A d d 21格林公式∫∫∫+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d d 例如, 椭圆π)20(sin cos :≤≤⎩⎨⎧==θθθb y a x L 所围面积∫−=L xy y x A d d 21∫+=π2022d )sin cos (21θθθab ab ab π=例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明d d 22=+∫y x x y x L证: 令,,22x Q y x P ==则yPx Q ∂∂−∂∂利用格林公式 , 得y x x y x Ld d 22∫+022=−=x x ∫∫=Dy x d d 00=例2. 计算,d d e2∫∫−Dyy x 其中D 是以 O (0,0) , A (1,1) ,B (0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令, 则2e,0yx Q P −===∂∂−∂∂yP x Q 利用格林公式 , 有∫∫−D yy x d d e2∫∂−=Dyy x d e 2y x OAyd e2∫−=yy yd e102∫−=)e 1(211−−=2e y−xy =yx)1,1(A )1,0(B D O例3. 计算,d d 22∫+−L y x xy y x 其中L 为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解: 令,022时则当≠+y x 22222)(y x xy x Q +−=∂∂设 L 所围区域为D ,,)0,0(时当D ∉由格林公式知0d d 22=+−∫L y x xy y x ,22yx yP +−=22y x x Q +=y P ∂∂=y xLOθθθd sin cos π2022222∫+=rr r π2=,)0,0(时当D ∈在D 内作圆周,:222r y x l =+取逆时针方向,1D , 对区域1D 应用格∫+−L y x xy y x 22d d ∫+−−l y x x y y x 22d d ∫−+−=l L yx xy y x ∪22d d 0d d 01==∫∫y x D ∫∫+−=+−∴l L y x x y y x y x x y y x 2222d d d d L 1D l记 L 和 l ¯ 所围的区域为林公式 , 得yxO二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2. 设D 是单连通域 ,),(),,(y x Q y x P 在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0d d ∫=+L y Q x P (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分(3)y Q x P d d +),(y x u yQ x P y x u d d ),(d +=(4) 在 D 内每一点都有.xQ y P ∂∂=∂∂∫+L y Q x P d d 与路径无关, 只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L ,有.0d d ∫=+L y Q x P (2) 对D 中任一分段光滑曲线L , 曲线积分∫+L y Q x P d d 与路径无关, 只与起止点有关.说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 设21,L L ∫∫+−+21d d d d L L y Q x P y Q x P ∫+=1d d Ly Q x P ∫−++2d d L yQ x P ∫−+=21d d L L y Q x P ∪0=2L ∫+=2d d L yQ x P ∫+∴1d d L y Q x P 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))∫+=B A y Q x P d d ∫+AB y Q x P d d AB 1L(2) 对D 中任一分段光滑曲线L , 曲线积分(3)y Q x P d d +),(y x u y Q x P y x u d d ),(d +=∫+Ly Q x P d d 与路径无关, 只与起止点有关. 在 D 内是某一函数的全微分,即 在D 内取定点),(00y x A 因曲线积分∫+=),(),(00d d ),(y x y x yQ x P y x u ),(),(y x u y x x u u x −∆+=∆则),(y x P =x u x u xx ∆∆=∂∂∴→∆0lim ),(lim 0y x x P x ∆+=→∆θ∫∆++=),(),(d d y x x y x y Q x P ∫∆+=),(),(d y x x y x xP xy x x P ∆∆+=),(θ同理可证y u ∂∂),,(y x Q =因此有y Q x P u d d d +=和任一点B ( x , y ),与路径无关,),(y x x C ∆+),(y x B ),(00y x A 有函数(4) 在 D 内每一点都有.xQ yP ∂∂=∂∂(3)y Q x P d d +),(y x u y Q x P y x u d d ),(d +=在 D 内是某一函数的全微分,即xy uy x u ∂∂∂=∂∂∂22所以设存在函数 u ( x , y ) 使得y Q x P u d d d +=则),(),,(y x Q yu y x P x u =∂∂=∂∂P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D 内每一点都有x Q y P ∂∂=∂∂xy u x Q yx u y P ∂∂∂=∂∂∂∂∂=∂∂∴22,证明 (4) ⇒ (1)设L 为D 中任一分段光滑闭曲线,D D ⊂′(如图) ,上因此在D ′xQ y P ∂∂≡∂∂利用格林公式 , 得y x xQx Q y Q x P L D d d )(d d ∂∂−∂∂=+∫∫∫′D D ′L0=所围区域为证毕(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0d d ∫=+L y Q x P (4) 在 D 内每一点都有.x Qy P ∂∂=∂∂说明:根据定理2 , 若在某区域D 内,xQy P ∂∂=∂∂则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P d x + Q d y 在域 D 内的原函数:D y x ∈),(00及动点,),(D y x ∈y y x Q x y x P y x u y x y x d ),(d ),(),(),(),(00+=∫∫=xx x y x P 0d ),(0或∫=y y y y x Q y x u 0d ),(),(0则原函数为∫+y y yy x Q 0d ),(∫+x x xy x P 0d ),(若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;yx 0y 0x O xy4) 若已知 d u = P d x + Q d y ,则对D 内任一分段光滑曲∫+=B Ay y x Q x y x P d ),(d ),(AB u=)()(A u B u −=线 AB ,有yy x Q x y x P ABd ),(d ),(+∫注: 此式称为曲线积分的基本公式(P211定理4). ∫∫=babax F x x f )(d d )(DAB它类似于微积分基本公式:∫=BAu d ())()(x f x F =′其中)()()(a F b F x F ab −==yA xL 例4. 计算,d )(d )3(22y x y x y x L−++∫其中L 为上半24x x y −=从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,AO D 它与L 所围原式y x y x y x AOL d )(d )3(22−++=∫∪∫∫=Dy x d d 4∫−+++OAyx y x y x d )(d )3(22∫+402d xx 圆周区域为D , 则O例5. 验证y y x x y x d d 22+是某个函数的全微分, 并求出这个函数.证: 设,,22y x Q y x P ==则xQ y x y P ∂∂==∂∂2由定理2 可知, 存在函数 u (x , y ) 使yy x x y x u d d d 22+=∫+=),()0,0(22d d ),(y x yy x x y x y x u )0,(x +=0y y x y d 02∫=yy x yd 02∫2221yx =)0,0(),(y x例6. 验证22d d yx xy y x +−在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函数 , 并求出它.证: 令2222,y x xQ y x y P +=+−=则)0()(22222>∂∂=+−=∂∂x yQ y x x y x P 由定理 2 可知存在原函数∫+−=),()0,1(22d d ),(y x yx xy y x y x u +=0)0(arctan >=x xyx y ∫+y y x y x 022d )0,(x )0,1(),(y x Ox y )0,(x )0,1(),(y x O ∫+−=),()0,1(22d d ),(y x yx xy y x y x u ∫+=y y y 021d yxy y arctan1arctan arctan −+=yx arctan 2π−=∫+−x y x x y 122d 或),1(y )0(arctan>=x xy例7. 设质点在力场作用下沿曲线 L :x y cos 2π=由)2π,0(A 移动到,)0,2π(B 求力场所作的功W解:)d d (2∫−=L y x x y r k 令,,22rx k Q r y k P −==则有)0()(22422≠+−=∂∂y x ry x k y P x Q∂∂=可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关..)(22y x r +=其中),(2x y rkF −=s F W Ld ∫⋅=L B Ay x O:AB )d d (2y x x y r kW AB −=∫θθθd )cos (sin 202π2+−=∫k )02π:(sin 2π,cos 2π→==θθθy x k 2π=思考: 积分路径是否可以取?OB AO ∪取圆弧为什么？注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !LB A y xO 转内容小结判别: P , Q 在某单连通域D 内有连续一阶偏导数,,xQ y P ∂∂=∂∂D y x ∈),(③为全微分方程则求解步骤:方法1 凑微分法;方法2 利用积分与路径无关的条件.1. 求原函数 u (x , y )2. 由 d u = 0 知通解为 u (x , y ) = C .*三、全微分方程使若存在),(y x u y y x Q x y x P y x u d ),(d ),(),(d +=则称0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P 为全微分方程.③),(y x yxO 例8. 求解0d )33(d )35(222324=+−+−+y y y x y x x y y x x 解: 因为=∂∂y P 236y y x −,xQ ∂∂=故这是全微分方程. ,0,000==y x 取则有x x y x u xd 5),(04∫=yy y x y x yd )33(0222∫+−+5x =2223y x +3y x −331y+因此方程的通解为Cy y x y x x =+−+332253123)0,(x 法10d )33(d )35(222324=+−+−+y y y x y x x y y x x 求解法2 此全微分方程的通解为 yu ∂∂,)(2y y =′ϕC y x u =),(x u ∂∂, 则有)(d )35(),(324y x y y x x y x u ϕ+−+=∫待定，)()(233225y y y x y x x ϕϕ+−+=两边对 y 求导得④yu ∂∂⑤由④得与⑤比较得331)(yy =ϕ取因此方程的通解为C y y x y x x =+−+33225312332435y y x x −+=22233y y x y x +−=)(3322y y x y x ϕ′+−=例9. 求解0d 1d )(2=−+y x x xy x 解:21x y P =∂∂∵∴ 这是一个全微分方程 .用凑微分法求通解.将方程改写为0d d d 2=−−xx y y x x x 即()(),0d 21d 2=−x y x 故原方程的通解为()021d 2=−xyx 或Cxyx =−221,xQ ∂∂=思考: 如何解方程?0d d )(3=−+y x x y x 这不是一个全微分方程 ,,12x就化成例9 的方程 .,0),(≠=y x µµ使d ),(),(d ),(),(=+y y x Q y x x y x P y x µµ为全微分方程,),(y x µ则称在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘注:若存在连续可微函数 积分因子.内容小结1. 格林公式∫+L y Q x P d d2. 等价条件在 D 内与路径无关.yP x Q ∂∂=∂∂在 D 内有yQ x P u d d d +=yx y P x Q D d d ∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂=∫+Ly Q x P d d 对 D 内任意闭曲线 L 有0d d =+∫Ly Q x P 在 D 内有设 P , Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有为全微分方程0d d =+y Q x P思考与练习1. 设,4:,1:222412=+=+y x l y x L 且都取正向, 问下列计算是否正确 ?∫+−L y x x y y x 22d 4d )1(∫+−=l y x x y y x 22d 4d ∫−=l x y y x d 4d 41∫∫=Dσd 541π5=∫+−L y x x y y x 22d d )2(∫+−=l y x x y y x 22d d ∫−=l x y y x d d 41∫∫=D σd 241π2=提示:时022≠+y x y P x Q ∂∂≠∂∂)1(y P x Q ∂∂=∂∂)2(LO 2y1x2lD2. 设,)56,4(),(42234y y x xy x y x u −+=grad ).,(y x u 求提示:=),(d y x u x xy x d )4(34+y y y x d )56(422−+),(y x u O y x),(y x )0,(x x x x d 04∫=y y y x y d )56(0422∫−+C +551x =322y x +C y +−5x xy x d )4(34+y y y x d )56(422−+∫=),()0,0(y x C+作业P212 2 (1) ; 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ； 6 (2) ,(5) ;*8 (2), (4), (7) ; 9∫∫′′−C C C ∪D O yx a a −C 备用题 1. 设 C 为沿[]y x a x y x a x x a y C d )ln(2d 22222+++++∫222a y x =+从点),0(a 依逆时针),0(a −的半圆, 计算解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 .原式 =3π21a =∫−−a a ya y d )ln 2(∫∫⎢⎣⎡=D 222x a y a ++222x a y +−y x d d ⎥⎦⎤C ′到点D2. 质点M 沿着以AB 为直径的半圆, 从 A (1,2) 运动到+=∫∫D y x d d 2点B (3, 4),到原点的距离,解: 由图知 故所求功为AB y x x y d d +−=∫AB (∫=BA ∪AB []x x x d )1(31∫++−2π2−=锐角,其方向垂直于OM , 且与y 轴正向夹角为AB ∫+))d d (y x x y +−)1(21334−+=−−x y AB 的方程F 求变力 F 对质点M 所作的功. ( 1990 考研 ) ,),(x y F −=F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用,s F W d ⋅=∫O ),(y x M B A y x,0)1,0(,1=∈F C F 3. 已知曲线积分与路径无关, 其中求由确定的隐函数解:因积分与路径无关 , 故有x F x F x sin cos +−xF x y F y sin sin +=即因此有]d cos d sin [),(y x x x y y x F L −∫0),(=y x F .)(x f y =x y F F y x tan =−x y y tan =′10==x y xy cos 1=x sec =]sin ),([]cos ),([x y y x F yx y x F x ∂∂=−∂∂y ′。
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P Q y x
D
D L
利用格林公式 , 得
L
P
d
x
Q
d
y
D
(
Q x
Q x
)dxd
y
0
证毕
(4)
在
D
内每一点都有
P y
Q x
.
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.
15
说明: 根据定理2 , 若在某区域D内 P Q , 则 y x
19
例6.
验证
x
dy x2
y y
d
2
x
在右半平面
(
x
>
0
)
内存在原函
数 , 并求出它.
y
(x, y)
证: 令
P
y x2 y2
,
Q
x2
x y2
则
P x
y2 x2 (x2 y2)2
Q y
( x 0 ) O (1,0)
( x,0) x
由定理 2 可知存在原函数
y x
11
证明 (1) (2)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L2
B
A
L1
L1L2 Pdx Qd y
(根据条件(1))
Pdx Qdy L2
说(1明) 沿: 积D 中分任与意路光径滑无闭曲关线时L, 曲, 有线L积Pd分x 可Qd记y 为 0.
2
3
O (x,0) x
25
法2 此全微分方程的通解为u(x, y) C , 则有
u 5x4 3xy2 y3
④
x
u 3x2y 3xy2 y2 ⑤
y
由④得 u(x, y) (5x4 3xy2 y3)dx ( y)
x5 3 x2 y2 x y3 ( y)， ( y)待定
解: 因为 P 6xy 3y2 Q , 故这是全微分方程.
y
x
法1 取 x0 0, y0 0, 则有
u
(x,
y)
x
0 5
x4
dx
y
0
(3
x2
y
3x
y2
y2
)
d
y
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3
2
3
因此方程的通解为
y (x, y)
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3 C
解:
P y
1 x2
Q , ∴ 这是一个全微分方程 . x
用凑微分法求通解. 将方程改写为
x
dx
x
d
y x2
y
dx
0
即
d 1 x2 d y 0, 或 d 1 x2 y 0
2
x
2x
故原方程的通解为 1 x2 y C 2x
27
思考: 如何解方程
这不是一个全微分方程
,
但若在方程两边同乘
1 x2
,
就化成例9 的方程 .
注: 若存在连续可微函数 (x, y) 0,使
为全微分方程, 则称 (x, y) 为原方程的积分因子.
在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子.
7
例2. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .
解: 令P 0, Q xe y2, 则
y
B(0,1)
A(1,1)
D yx
利用格林公式 , 有
O
x
x e y2 dy D
x e y2 dy 1 ye y2 dy
a cos b sin
(0 2π) 所围面积
1 2π
2 0
(abcos2
absin2
) d
π ab
6
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2xy dx x2 dy 0 L
证: 令 P 2xy, Q x2, 则
利用格林公式 , 得
L 2xy dx x2 dy 0dx dy 0 D
则 xu u(x x, y) u (x, y)
(xx , y)
(xx , y)
Pd x Qdy
Pd x
(x, y)
(x, y)
P(x x, y)x
(2)与对ux 路D 径中lxi无m任0关一,分x只xu段与光起滑lx止im曲点0线P有(L关x, 曲. 线积x,分y)L
2
两边对 y 求导得 u 3x2 y 3x y2 ( y)
y
与⑤比较得 ( y) y2, 取( y) 1 y3
3
因求此解方(程5x的4 通3x解y2为 yx35)dx3x(23yx22y x y33xy21yy32)dCy 0
2
3
26
例9. 求解
是某个函数的全微分, 并求
出这个函数.
证:
设
P xy2,
Q x2 y,则
P y
2xy Q x
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
du xy2 dx x2 ydy
(x, y)
0 y x2 y dy 0
y x2 y dy 0
(0,0)
( x,0)
为全微分方程.
判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
③为全微分方程 求解步骤:
1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件.
2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
24
例8. 求解
(5x4 3xy2 y3)dx (3x2 y 3xy2 y2)dy 0
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO, 它与L 所围
区域为D , 则
原式
(x2 3y) dx (y2 x) dy
L AO
(x2 3y) dx ( y2 x) dy OA
4
D
dxd
y
4
0 x
2
dx
8 π 64 3
y L
D
O
Ax
18
例5. 验证
L
L
k r2
( ydx
x d y)
L
令
则有
O
Bx
P y
k(x2 y2) r4
Q x
( x2 y2 0)
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
22
取圆弧 AB : x π cos , y π sin (W
AB
k r2
(y
dx
x d y)
y
A
L
πk
O
Bx
2
思考: 积分路径是否可以取 AO OB ? 为什么？
注意：本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径
无关 !
23
*三、全微分方程
若存在 u(x, y) 使 d u(x, y) P (x, y) dx Q (x, y) dy
则称
P (x, y) dx Q (x, y) dy 0 ③
OA
0
1 (1 e1)
2
8
例3. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线. 解: 令
则当x2 y2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D时,由格林公式知 y L
Ox
9
当(0,0) D时, 在D 内作圆周 l : x2 y2 r 2, 取逆时
针方向, 记 L 和 l ¯所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格
cC
则
Q dxdy
d
dy
2 ( y) Q dx
D x
c
1(y) x
Oa
bx
d
d
c Q( 2 ( y), y ) dy c Q(1( y), y ) dy
Q(x, y)dy Q(x, y)dy
CBE
EAC
3
即
①
同理可证 ②
①、②两式相加得:
x
y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,
(3)
在 D 内是某一函数
从而(在4) 在即D内D每内每一d一u点(点x都, y都)有有PdPyxPyQQxd.yQx
的全微分,
14
证明 (4) (1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线,所围区域为 D D (如图) , 因此在 D上
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
取定点( x0, y0 ) D及动点 ( x , y ) D , 则原函数为
(x,y)
0 x
y dy 0 x2 y2
20
或
y dy 0 1 y2
π arctan x
2
y
y (1, y) (x, y) O (1,0) ( x,0) x