函数的奇偶性第二课时
函数的奇偶性(精辟讲解)精品PPT课件
解 (1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数， ∴f(0)＝0，当 x<0 时，－x>0， 由已知 f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)． ∴f(x)＝－x2－x＋1.
所以 f(x)在(0，＋∞)内单调递增．
故|lg x|>1，即 lg x>1 或 lg x<－1，
解得
x>10
或
1 0<x<10.
点评 解决本题的关键在于利用函数的奇偶性把不等
式两边的函数值转化到同一个单调区间上，然后利用函
数的单调性脱掉符号“f”．
题型三 函数的奇偶性与周期性 例 3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，
域是否关于原点对称．若对称，再验证 f(－x)＝±f(x)或
其等价形式 f(－x)±f(x)＝0 是否成立．
解 (1)由x32－－x32≥≥0
，得 x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}．
又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即 f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
基础自测
1．下列函数中，所有奇函数的序号是__②__③____．
①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x； ③f(x)＝x2＋x 1；④f(x)＝x3＋1. 解析 由奇偶函数的定义知：①为偶函数；②③为奇函
数；④既不是偶函数，也不是奇函数． 2．若函数 f(x)＝2x＋2 1＋m 为奇函数，则实数 m＝_－__1__.
f (x) 0x2 x 1
函数的奇偶性课程设计
函数的奇偶性课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法；2. 学生能运用奇偶性对函数图像进行对称变换，并解决相关问题；3. 学生了解奇偶性在现实生活中的应用，如对称美、物理规律等。
技能目标：1. 学生能运用数学语言和符号准确表达函数的奇偶性；2. 学生能通过绘制图像，观察和分析函数的奇偶性；3. 学生能运用奇偶性简化计算和证明过程，提高解题效率。
情感态度价值观目标：1. 学生通过探究函数奇偶性，培养对数学美的欣赏和热爱；2. 学生在解决实际问题的过程中，体会数学与现实生活的紧密联系，增强学习的积极性；3. 学生在合作交流中，培养团队精神和互帮互助的品质，提高沟通能力。
分析课程性质、学生特点和教学要求，本课程将目标分解为以下具体学习成果：1. 学生能够独立判断给定函数的奇偶性，并给出合理解释；2. 学生能够运用奇偶性解决一些简单的数学问题，如计算、证明等；3. 学生能够举例说明奇偶性在现实生活中的应用，并分享自己的发现和感悟。
二、教学内容本节课依据课程目标，选择以下教学内容：1. 函数奇偶性的定义及判定方法：- 函数的奇偶性概念引入；- 奇函数、偶函数的定义；- 判断函数奇偶性的方法及举例。
2. 函数图像的对称变换：- 利用奇偶性对函数图像进行对称变换；- 分析变换后的图像特点。
3. 函数奇偶性在实际问题中的应用：- 生活中的对称现象与函数奇偶性的联系；- 数学问题中运用奇偶性简化计算和证明。
教学大纲安排如下：第一课时：函数奇偶性的定义及判定方法。
1. 复习函数的基本概念；2. 介绍奇函数、偶函数的定义；3. 通过实例讲解判断函数奇偶性的方法。
第二课时：函数图像的对称变换。
1. 学习利用奇偶性对函数图像进行对称变换；2. 分析变换后的图像特点。
第三课时：函数奇偶性在实际问题中的应用。
1. 探讨生活中的对称现象与函数奇偶性的联系；2. 解决数学问题中运用奇偶性的实例。
函数的奇偶性
函数的奇偶性 （第一课时）2010.11教学目的使学生理解函数的奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的奇偶性．教学过程一、引入新课(教师用小黑板出示两题，指定两学生在黑板上各演算一题．)（1）已知：函数F(x)=-x 4+x 2-2 求：f(x)(2) 已知：函数G(x)=x +3x 1 生甲：F(-x)=-x 4+x 2-2生乙：G(-x)=-x -3x 1 师：从上面两题的结果，我们可以得到什么启示呢？(启发一下)当自变量互为相反数时，两函数值之间有何关系？ 生：f(－x)=f(x)，g(－x)=－g(x)．师：对！我们还必须注意到：刚才所说的两个等式f(－x)=f(x)，g(－x)=－g(x)是对函数定义域内任意一个x(不是某些x)而言的．这里函数f(x)与g(x)的定义域分别是R 、{x|x∈R 且x≠0}(即为非零实数)．这是函数关系中一个很重要的性质．由它就可从自变量取正值时函数的变化情况推断出函数在整个定义域内的变化情况．具有这一性质的函数，当然不止这两个．因此，有必要对这类函数作进一步的讨论．[对学生来说，函数的奇偶性，是一个比较陌生的概念，不像单调性那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，安排了两个板演题，引导他们发现这一性质，以便自然地给出概念．这也是对学生观察、分析、归纳能力的一种培养．选取函数g(x)，是为了使学生认识到奇(偶)函数的定义域不局限于R，也不局限于一个区间，以防止学生在认识上产生片面性．]二、给出定义师：这就是今天这一节课的内容．[彩色粉笔板书课题：“函数的奇偶性”．接着，挂上事先写好的关于奇(偶)函数的定义的小黑板，并请口齿清楚、声音宏亮的一位同学朗读一遍，教师轻轻一同随读．]师：前面的函数f(x)与g(x)，就奇偶性来说，分别是什么函数？生：f(x)是偶函数，g(x)是奇函数．师：对！显然，反过来，如果函数f(x)是奇函数，那么对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x)；如果函数f(x)是偶函数，那么对于函数f(x)定义域内任意一个x都有f(－x)=f(x)．[在这里提一下：“显然，反过来……”这一段话，既是加深学生对奇偶性概念的理解，也是使学生明确：作为定义，它具有纯粹性、完备性两个方面的意义．]师：如何来判断一个函数f(x)是不是奇(偶)函数，即函数f(x)奇偶性的基本特征是什么？生：基本特征：等式f(－x)=－f(x)或f(－x)=f(x)是否成立？师：很好！基本特征是判断一个函数是不是奇(偶)函数的主要依据，但必须注意，等式是不是对定义域M中所有x都成立．如果对于M内所有的x，f(－x)=－f(x)[或f(-x)=f(x)都成立，那么f(x)就是奇（偶）函数，如果在M ,满足f(-x)≠-f(x)或f(-x)≠f(-x),那么f(x)就不是内有某个x奇（偶）函数。
人教A版高中数学必修一课件 《三角函数的图象与性质》三角函数(第二课时正、余弦函数的周期性与奇偶性)
三角函数奇偶性的判断 【例 2】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin－12x＋π2； (2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； (3)f(x)＝1＋s1i＋n xs－in cxos2x.
16
[思路点拨]
17
[解] (1)显然x∈R，f(x)＝cos12x，
A．－12
B.12
C．－
3 2
D.
3 2
24
[思路点拨] (1)先作出选项A，B中函数的图象，化简选项C、D中函 数的解析式，再判断奇偶性、周期性．
(2)先依据f(x＋π)＝f(x)化简f53π；再依据f(x)是偶函数和x∈0，π2，f(x) ＝sin x求值．
25
(1)D (2)D [(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝ sinπ2＋2x＝cos 2x是偶函数，y＝cos32π－2x＝－sin 2x是奇函数，根据公 式得其最小正周期T＝π.
32
[提示] (1)×.因为对任意 x，sin23π＋x与 sin x 并不一定相等． (2)×.不是所有的函数都有最小正周期，如函数 f(x)＝5 是周期函数， 就不存在最小正周期． (3)×.函数 y＝ sin x的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，不关于 原点对称，故非奇非偶． [答案] (1)× (2)× (3)×
23
【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是
() A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin 2x|
C．y＝sinπ2＋2x
D．y＝cos32π－2x
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正
周期为π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sin x，则f53π等于( )
高一上学期数学人教B版必修第一册第三章函数小结(第2课时)
四、函数模型在实际生活中的应用
用数学知识解决实际应用问题的基本思路可以用下图表示：
实际应用问 题
找出问题中存在的数量关系
分析、转化、 抽象
翻译成应用问题的结论
转化为数学问题
得出数学问 题的结论
通过对数学问题的解答
建立数学模 型
四、函数模型在实际生活中的应用
例 5 某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地 上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示:当 S 中 x%(0 x 100%) 的成员
②当 0 a 1时， y a 与 f (x) 的图象有唯一交点.
三、通过分析函数图像求参数的值或取值范围
已知函数
f
(x)
x2
2x,
x a,
x,
x a.
（3）若函数 f (x) 的图象与直线 y a 只有一个公共点，则实数 a 的取值范围是 ____.
③当 a 1时， y a 与 f (x) 的图象没有交点
（3）若函数 f (x) 的图象与直线 y a 只有一个公共点，则实数 a 的取值范围是 ____.
三、通过分析函数图像求参数的值或取值范围
已知函数
f
(x)
x2
2x,
x a,
（1）当 a 1时，函数 f (x) 的值域是 ____；
x,
x a.
分析：（1）当 a 1时，
x2 2x, f (x)
30,
0 x 30
自驾时,自驾群体的人均通勤时间为
f
x
2x
1800 x
90,
(单位:分钟),
30 x 100
而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响,恒为 40 分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:
《3.1.3函数的奇偶性》教学设计教学反思-2023-2024学年高中数学人教B版19必修第一册
《3.1.3 函数的奇偶性》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。
2. 能够运用奇偶性性质，解决相关数学问题。
3. 提高学生对函数性质的理解和掌握，为后续函数学习打下基础。
二、教学重难点1. 教学重点：理解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。
2. 教学难点：如何引导学生运用奇偶性性质解决实际问题。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、函数图像等。
2. 制作PPT课件，包含概念引入、方法讲解、例题分析、练习题等环节。
3. 搜集相关数学问题，以便学生运用奇偶性性质进行解答。
4. 确定教学方法，采用讲授与讨论相结合，引导学生自主探究。
四、教学过程：1. 导入新课：教师展示一些函数图像（如：y=x^2, y=x^3, y=sinx等），引导学生观察图像特征。
随后，教师提出疑问：“对于这些函数，它们是否有某些共性？”以此引发学生对函数奇偶性的思考。
设计意图：通过直观的函数图像，引发学生对奇偶性的初步感知，为后续教学做好铺垫。
2. 探索奇偶性的定义：教师引导学生逐步推导奇偶性的定义，并解释其含义。
在此过程中，教师可借助具体函数进行说明，帮助学生理解。
例如，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数；如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。
设计意图：通过逐步推导，帮助学生理解奇偶性的定义，并强调定义中的关键条件。
3. 实例分析：教师展示一些具体的奇偶函数图像，引导学生观察并分析它们的性质。
学生可尝试用自己的语言描述奇偶函数的特征，如单调性、对称性等。
设计意图：通过实例分析，帮助学生加深对奇偶性概念的理解，并锻炼其分析能力。
4. 探究奇偶性的应用：教师引导学生思考奇偶性在数学及其他领域中的应用，如代数问题、几何问题等。
学生可分组讨论，交流想法，最后由教师进行总结。
函数的奇偶性第二课时全文
大小关系是________
三、单调奇偶综合题
4、f ( f (2a 3) 0,求a的取值范围。
练习1: 设f (x)是R上的偶函数，在(-,0)上单增， 且f (a 1) f (2a 3),求a的取值范围。
C.(, 1) (1, ) D.(1, 0) (0,1)
,
结论：
1.奇函数在对称区间单调性相同 2.偶函数在对称区间单调性相反
偶函数也有此性质吗?
二、奇偶性的一些应用 1、设f (x)为定义在R上的奇函数，当x 0时， f (x) 2x 2x b(b为常数), f (1) ______
2、设函数f (x) (x 2)(x a) 为奇函数， x
则a _______
三、单调奇偶综合题
3、若f (x)为偶函数，且在(-,0)上是减函数，
（第二课时）
一、“知一半，求一半”
1、已知y f (x)是定义在R上的偶函数， 当x 0, f (x) x2 2x+1 求：当x 0时，f (x)的解析式；
2、已知y f (x)是定义在R上的奇函数， 当x 0, f (x) x2 2x+1 求：f (x)的解析式。
思考:如果奇函数当x=0有意义,则f(0)= 0
练习2: 设f (x)是R上的偶函数，在(-,0)上单增， 且f (a2 a 1) f (a2 2a 3), 求a的取值范围。
5.已知f (x)是奇函数，且在区间（0，+）
上单增，f (1)=0，则 f (x) f (x) 0的 x
解集为（
）
A.(1, 0) (1, )
B.(, 1) (0,1)
《函数奇偶性》公开课教案
公开课教案授课内容：1.3.2 函数的奇偶性教学设计授课班级：14学前教育2班授课类型：新授课授课时间：课时：1教材分析：函数的奇偶性选自高等教育出版社基础模块第二章第三节《函数的性质》的内容，本节安排为二课时，《函数的奇偶性》为本节中的第二课时。
从在教材中的地位与作用来看，函数是高中数学学习中的重点和难点，函数的思想贯穿整个高中数学。
而函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它与现实生活中的对称性密切联系，为接下来学习指数函数、对数函数和幂函数的性质奠定了坚实的基础。
因此，本节课的内容是十分重要的。
学情分析：授课对象为高一学前教育（2）班的学生，从学生现有的学习能力来看，具有一定的分析问题和解决问题的能力学生只有少数，但是他们也能根据以前学习过的二次函数和反比例函数这两个特殊函数的图象观察出图象对称的思想，使本节通过观察图象学习函数奇偶性的定义成为可能。
教学目标：1.知识与技能目标：通过本节课，学生能理解函数奇偶性的概念及其几何意义，掌握判别函数奇偶性的方法。
2. 过程与方法目标：通过实例观察、具体函数分析、图形结合、定性与定量的转换，让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程，体验数学概念学习的方法，积累数学学习的经验。
3.情感态度与价值观目标：在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、概括的能力，使学生养成善于观察、用于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
教学重难点：重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断。
难点：理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。
教法分析：为了实现本节课的教学目标，在教法上，我通过大自然中对称的例子和学生已掌握的对称函数的图象来创设问题情境，启发学生自主思考，归纳共同点，从而调动学生主体参与的积极性。
在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念，在给出偶函数的定义之后，让学生类比得出奇函数的定义。
教学过程： 一、 复习旧知（1）点Ｐ（ a, b)关于 x 轴的对称点的坐标为P'（a,-b) .其坐标特征为：横坐标不变，纵坐标变为相反数；（2）点Ｐ（ a, b)关于 y 轴的对称点的坐标为P'（ - a, b) ,其坐标特征为：纵坐标不变，横坐标变为相反数；（3）点Ｐ（ a, b) 关于原点 对称点的坐标为P'（-a,-b) ,其坐标特征为：横坐标变为相反数，纵坐标也变为相反数．二、 新课导入通过课件展示两组具有对称性的图片，让学生感受生活中的对称美。
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3.判断函数的奇偶性的步骤？
第一步：先判断函数的定义域是否关于原点对称. 第二步：判断f (－x)＝f (x)还是f (－x)＝－f (x).
若f (－x)＝f (x),则函数为偶函数； 若f (－x)＝－ f (x),则函数为奇函数.
探究新知（一）
问题1.在初中，我们学习了点的哪几种对称？
(1)点(a,b)关于x轴对称的点的坐标为（a,-b）. (2)点(a,b)关于y轴对称的点的坐标为（-a,b）. (3)点(a,b)关于原点对称的点的坐标为（-a,-b）.
1.3.2 函数的奇偶性 第二课时
复习回顾
1.奇函数、偶函数的定义分别是什么？
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都 有f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函数.
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都 有f(-x)= -f(x)成立，则称函数f(x)为奇函数.
2.奇函数和偶函数的定义域有何特征？ 奇偶函数的定义域关于原点对称.
偶函数的定义：
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都 有f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函数.
总结：
1、定义域关于原点对称. 2、图像特征：图像关于y轴对称. 3、若0属于定义域，不一定有f(0)=0.
奇函数的定义：
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都
有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇函数. 总结： 1、定义域关于原点对称. 2、图像特征：图像关于原点成中心对称. 3、若0属于定义域，一定有f(0)=0.
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f (x) x 2 2 x; (2) f (x) x2 1 1 x2 ; (3) f (x) 1 x2 x 1.
1 x2 x 1
探究新知（二）
思考1:如果函数f(x)和g(x)都是定义在同一个区间
上的奇函数，那么f(x) + g(x)，f(x) - g(x)，
结论： 1、偶函数+偶函数=偶函数 2、偶函数-偶函数=偶函数 3、偶函数×偶函数=偶函数 4、偶函数÷偶函数=偶函数
思考3:二次函数 y ax2 bx c (a 0) 是偶
函数的条件是什么？
一次函数 y kx b是奇函数的条
件是什么？
b=0
探究新知（三） 函数的奇偶性与单调性的联系
（2）偶函数在关于原点对称的区间上具有 相反的单调性.
应用举例
例2 (1)若函数f (x)是定义在R上的偶函数，
在(-, 0]上是减函数，且f (2) 0, 则使得
f (x) 0的x的取值范围是( )
A.(, 2)
B.(2, )
C.(, 2) (2, ) D为[-5, 5], 若当
例1 如图(1)为奇函数f(x)在x≥0上的函数图像，
先把函数的图像补充完整，再观察在关于原点对
称的区间上单调性有什么不同.
y
y
2
2
O
4 x – 3 –1 O x
例2 如图(2)为偶函数f(x)在x≤0上的函数图像，
先把函数的图像补充完整，再观察在关于原点对 称的区间上单调性有什么不同.
总结：
（1）奇函数在关于原点对称的区间上具有 相同的单调性.
奇函数与偶函数图象的对称性
(1)如果一个函数是奇函数，则这个函 数的图象以坐标原点为对称中心的中心 对称图形. 反之，如果一个函数的图象是 以坐标原点为对称中心的中心对称图形， 则这个函数是奇函数.
(2)如果一个函数是偶函数，则它的图 形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之， 如果一个函数的图象关于y轴对称，则这 个函数是偶函数.
f(x)×g(x) ，f(x)÷g (x)的奇偶性如何？
结论： 1、奇函数+奇函数=奇函数 2、奇函数-奇函数=奇函数 3、奇函数×奇函数=偶函数 4、奇函数÷奇函数=偶函数
思考2:如果函数f(x)和g(x)都是定义在同一个区间
上的偶函数，那么f(x) + g(x)，f(x) - g(x)， f(x)×g(x) ，f(x)÷g (x)的奇偶性又是怎样的？
x [0, 5]时，f (x)的图像如图所示, 则使 得f (x) 0的解集是 _____ . y
5
02
x
例3.
定义在 -1,1 上的奇函数f
(x)
x m ，则常数 x2 nx 1
m ______, n _______ .