一元和多元线性回归
一元与多元线性回归
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 一元线性回归模型 参数的最小二乘估计 回归直线的拟合优度 显著性检验 预测与估计
什么是回归分析？
1. 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学 关系式 2. 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验， 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪 些变量的影响显著，哪些不显著 3. 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的 取值来预测或控制另一个特定变量的取值， 并给出这种预测或控制的精确程度
2. 回归平方和(SSR—sum squares of regression)
3. 残差平方和(SSE—sum squares of error)
–
判定系数R2
1. 回归平方和占总误差平方和的比例
2. 反映回归直线的拟合程度 3. 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间 4. R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20， 说明回归方程拟合的越差
8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 贷款项目个数
不良贷款
10
10 8 6 4 2 0 0 50 100 150 200 固定资产投资额
不良贷款与贷款项目个数的散点图
不良贷款与固定资产投资额的散点图
相关系数
(例题分析)
用Excel计算相关系数
估计方程的求法
(例题分析)
【例】求不良贷款对贷款余额的回归方程
ˆ 0 t 2 (n 2) S xy y 1 + n
x0 x n 2 xi x
2 i 1
式中： Sy 为估 计标准误差
利用回归方程进行估计和预测
（预测区间估计）
• y 的个别值的预测区间 估计 1. 利用估计的回归方程 ，对于自变量 x 的一 个给定值 x0 ，求出因 变量 y 的一个个别值 的估计区间，这一区 间称为预测区间 2. y0在1-置信水平下的 预测区间为
计量经济学第二章(第一部分)
i= 1
同
上
该准则消除了正负误差抵消，其缺点是：
不能保证找到的直线具有无偏性。如：
+2 －1
－1
+3
0 0
3 Yi -Yˆ i = 4
3
2
Yi -Yˆ i =6
i=1
i=1
3
3
2
Yi -Yˆ i = 3
Yi -Yˆ i =9
i=1
i=1
33 计量经济学
（3）使得
13 计量经济学
Y i01X iui,i1,2n,..., 同
上
其中 0，1 称为回归参数；u为随机误差 项； X称为解释变量；Y称为被解释变量。 “一元”是指：只有一个解释变量；
14 计量经济学
Y i01X iui,i1,2n,..., 同
上
“线性”包含：
被解释变量与间 解为 释线 变性 量关系
量Y的影响；
16 计量经济学
同 上
（2）变量观测值的观测误差的影响； （3）模型数学形式的设定误差影响； （4）其它随机因素的影响。
17 计量经济学
同 上
2、随机误差项u的特性
（1）对被解释变量Y的影响方向，有正有负；
（2）由于代表次要因素，因此，对Y的总平
均影响可视为零；
（3）对被解释变量Y的影响是非趋势的，是
假定2、3统称为高斯－马尔可夫假定。
23 计量经济学
假定4 cov(Xi,ui)=Exiui＝0 ,
假
定
i=1,2,…,n且X为确定性变量，而非 4
随机变量。
如果解释变量X是确定性变量而非随机变 量该假定自动成立，即EXi＝Xi ，EXiui＝ XiEui= 0 。该假定表明X与u不相关。因 为在模型中u包含了除X对Y的影响外其它 因素对Y的影响，因此应与X对Y的影响分 开。
计量经济学复习资料——概论一元和多元线性回归习题
计量经济学复习资料——概论⼀元和多元线性回归习题概论、⼀元线性回归、多元线性回归习题⼀、单项选择题1. 总体回归线是指( ) A ）样本观测值拟合的最好的曲线 B ）使残差平⽅和最⼩的曲线C ）解释变量X 取给定值时，被解释变量Y 的样本均值的轨迹D ）解释变量X 取给定值时，被解释变量Y 的条件均值或期望值的轨迹2. 指出下列哪⼀变量关系是确定函数关系⽽不是相关关系? （） A. 商品销售额与销售价格 B. 学习成绩总分与各门课程成绩分数 C. 物价⽔平与商品需求量 D. ⼩麦亩产量与施肥量3. 经济计量分析⼯作的基本⼯作步骤是-（） A ．设定理论模型→收集样本资料→估计模型参数→检验模型B ．设定模型→估计参数→检验模型→应⽤模型C ．理论分析→数据收集→计算模拟→修正模型D ．确定模型导向→确定变量及⽅程式→应⽤模型4. 若⼀元线性回归模型Y=β1+β2X +u 满⾜经典假定，那么参数β1、β2的普通最⼩⼆乘估计量β＾1、β＾2是所有线性估计量中( )A ）⽆偏且⽅差最⼤的B ）⽆偏且⽅差最⼩的C ）有偏且⽅差最⼤的D ）有偏且⽅差最⼩的5. 在⼀元线性回归模型Y=β1+β2X +u 中，若回归系数β2通过了t 检验，则表⽰( ) A ）β＾2≠0 B ）β2≠0 C ）β2=0 D ）β＾=06. 在多元线性回归模型Y=β1+β2X 2+β3X 3 +β4X 4+u 中，对回归系数βj (j=2，3，4)进⾏显著性检验时，t 统计量为( )A ）()jjSe ββ?? B ）()j j Se ββ C ）()j j Var ββ D ）()j j Var ββ??7. 在⼆元线性回归模型中，回归系数的显著性t 检验的⾃由度为( )。
A. n B. n-1 C. n-2 D. n-38. 普通最⼩⼆乘法要求模型误差项u i 满⾜某些基本假定，下列结论中错误的是( )。
A. E(u i )=0 B. E(2i u )=2i σC. E(u i u j )=0D. u i ～N(0.σ2)9. 对模型Yi=β0+β1X1i+β2X2i+µi 进⾏总体显著性F 检验，检验的零假设是( ) A. β1=β2=0 B. β1=0 C. β2=0 D. β0=0或β1=010. 在多元线性回归中，判定系数R 2随着解释变量数⽬的增加⽽（） A.减少 B ．增加 C ．不变 D ．变化不定11. 已知三元线性回归模型估计的残差平⽅和为8002=∑te，估计⽤样本容量为24=n ，则随机误差项t u 的⽅差估计量2S 为( )。
计量经济学：一元线性回归模型和多元线性回顾模型习题以及解析
第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型一、内容提要本章介绍了回归分析的基本思想与基本方法。
首先，本章从总体回归模型与总体回归函数、样本回归模型与样本回归函数这两组概念开始，建立了回归分析的基本思想。
总体回归函数是对总体变量间关系的定量表述，由总体回归模型在若干基本假设下得到，但它只是建立在理论之上，在现实中只能先从总体中抽取一个样本，获得样本回归函数，并用它对总体回归函数做出统计推断。
本章的一个重点是如何获取线性的样本回归函数，主要涉及到普通最小二乘法（OLS）的学习与掌握。
同时，也介绍了极大似然估计法（ML）以及矩估计法（MM）。
本章的另一个重点是对样本回归函数能否代表总体回归函数进行统计推断，即进行所谓的统计检验。
统计检验包括两个方面，一是先检验样本回归函数与样本点的“拟合优度”，第二是检验样本回归函数与总体回归函数的“接近”程度。
后者又包括两个层次：第一，检验解释变量对被解释变量是否存在着显著的线性影响关系，通过变量的t检验完成；第二，检验回归函数与总体回归函数的“接近”程度，通过参数估计值的“区间检验”完成。
本章还有三方面的内容不容忽视。
其一，若干基本假设。
样本回归函数参数的估计以及对参数估计量的统计性质的分析以及所进行的统计推断都是建立在这些基本假设之上的。
其二，参数估计量统计性质的分析，包括小样本性质与大样本性质，尤其是无偏性、有效性与一致性构成了对样本估计量优劣的最主要的衡量准则。
Goss-markov定理表明OLS估计量是最佳线性无偏估计量。
其三，运用样本回归函数进行预测，包括被解释变量条件均值与个值的预测，以及预测置信区间的计算及其变化特征。
二、典型例题分析例1、令kids表示一名妇女生育孩子的数目，educ表示该妇女接受过教育的年数。
生育率对教育年数的简单回归模型为β+μβkids=educ+1（1）随机扰动项μ包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？（2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。
回归分析方法总结全面
一、什么是回归分析回归分析(Regression Analysis)是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法，其基本组成是一个（或一组）自变量与一个（或一组）因变量。
回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。
回归分析是指对具有高度相关关系的现象，根据其相关的形态，建立一个适当的数学模型(函数式)，来近似地反映变量之间关系的统计分析方法。
利用这种方法建立的数学模型称为回归方程，它实际上是相关现象之间不确定、不规则的数量关系的一般化。
二、回归分析的种类1.按涉及自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。
多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。
2.按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。
若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。
三、回归分析的主要内容1.建立相关关系的数学表达式。
依据现象之间的相关形态，建立适当的数学模型，通过数学模型来反映现象之间的相关关系，从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。
2.依据回归方程进行回归预测。
由于回归方程反映了变量之间的一般性关系，因此当自变量发生变化时，可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值。
因变量的回归估计值，虽然不是一个必然的对应值(他可能和系统真值存在比较大的差距)，但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化。
3.计算估计标准误差。
通过估计标准误差这一指标，可以分析回归估计值与实际值之间的差异程度以及估计值的准确性和代表性，还可利用估计标准误差对因变量估计值进行在一定把握程度条件下的区间估计。
四、一元线性回归分析1.一元线性回归分析的特点1)两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。
第一节一元线性回归分析-
回 归 分
线 性回归分析 非线性回归分析
一元线性回归分析 多元线性回归分析
析
一、一元线性回归的数学模型
问题的分析
设 随 机 变 量 Y (因 变 量 )和 普 通 变 量 x ( 自 变 量 )之
间 存 在 着 相 关 关 系
Y
F(y x)表示当x取
确定的值x时,所对应
的Y的分布函数 .
C1
(x2)
求Q的最小值可以利用微分法
n
设 Q (,) (Y i x i)2 ,求 偏 导 可 得 i 1 Q ( ,)2i n 1(Y ixi)0
Q(
,
)
2
n i 1
xi (Yi
来自xi)0
n
(
n
[
i1
2 (
xi )2]
2 n[
n
(
i1
i1
n
= i1
(n1(xin(xx)i(x0x)2x))Yi
i1
因 而 Y ˆ 0 服 从 正 态 分 布 ， 其 期 望 值 为
E Y 0 E ( ˆ ˆx 0 ) x 0
D(Yˆ0)=i n1(n 1(xin(xx)i(x0x)2x))2DYi
例1 为研究某一化学反应过程中,温度x(oC)对产 品得率Y(%)的影响,测得数据如下.
温度x(oC) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
得率Y(%) 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 用MATLAB画出散点图
x=100:10:190;y=[45,51,54,61,66,70,74,78,85,89]; plot(x,y,'.r')
生物统计学：第10章 多元线性回归分析及一元非线性回归分析
H0 : 1 2 k 0 H A : 至少有一个i 0
拒绝H0意味着至少有一个自变量对因变量是有影 响的。
检验的程序与一元的情况基本相同，即用方差
胸围X2 186.0 186.0 193.0 193.0 172.0 188.0 187.0 175.0 175.0 185.0
体重Y 462.0 496.0 458.0 463.0 388.0 485.0 455.0 392.0 398.0 437.0
序号 体长X1 胸围X2 体重Y 11 138.0 172.0 378.0 12 142.5 192.0 446.0 13 141.5 180.0 396.0 14 149.0 183.0 426.0 15 154.2 193.0 506.0 16 152.0 187.0 457.0 17 158.0 190.0 506.0 18 146.8 189.0 455.0 19 147.3 183.0 478.0 20 151.3 191.0 454.0
R r Y•1,2,,k
yp yˆ p
,
p 1,2,, n
对复相关系数的显著性检验，相当于对整个回 归的方差分析。在做过方差分析之后，就不必再检 验复相关系数的显著性，也可以不做方差分析。
例10.1的RY·1，2为：
RY •1,2
24327 .8 0.9088 29457 .2
从附表（相关系数检验表）中查出，当独立
表示。同样在多元回归问题中，可以用复相关系数表 示。对于一个多元回归问题，Y与X1，X2，… ，Xk 的线性关系密切程度，可以用多元回归平方和与总平 方和的比来表示。因此复相关系数由下式给出，
回归分析(数学建模)
16 17 18 19 20 21
166.88 164.07 164.27 164.57 163.89 166.35
141.4 143.03 142.29 141.44 143.61 139.29
-144.34 -140.97 -142.15 -143.3 -140.25 -144.2
正规方程组
一元线性回归
整理得
n n n 0 xi 1 yi i 1 i 1 n n 2 xi 0 xi 1 i 1 i 1
（ 2）
x
i 1
n
i
yi
一元线性回归
ˆ ˆ 0 y x 1 n x i y i n xy ˆ 1 i 1 n 2 2 xi n x i 1
(x
i 1 n
n
i
x )( y i y )
2
（ 3）
( xi x )
i 1
1一元线性回归一元线性回归模型为其中x是自变量y是因变量为未知的待定常数称为回归系数是随机误差且假设其中相互独立且使其随机误差的平方和达到最小即一元线性回归正规方程组一元线性回归整理得一元线性回归其中参数的最小二乘估计一元线性回归xxxx的无偏估计量
线性回归分析
华北电力大学数理系 雍雪林
一、引言
2004年全国数模竞赛的B题 “电力市场的 输电阻塞管理” 第一个问题： 某电网有8台发电机组，6条主要线路，表 1和表2中的方案0给出了各机组的当前出力和 各线路上对应的有功潮流值，方案1~32给出了 围绕方案0的一些实验数据，试用这些数据确 定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近 似表达式。
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合肥学院数理系实验报告
实验名称: 一元和多元线性回归模型
面向专业：数学与应用数学专业
实验班级：数学(2)班
课程名称：计量经济学
指导教师：赵娟
实验成绩:
2013—2014学年第二学期
计量经济学实验报告
一元和多元线性回归模型
一、实验目的
1掌握一元、多元线性回归模型的估计方法。
2 熟练EVIEWS软件的基本操作.
二、实验要求
1 会应用EVIEWS进行一元、多元线性回归并能识别模型的参数是否通过检验.
三、实验原理
普通最小二乘法，检验,F检验，2R值.
四、实验步骤
1 实验内容
经研究发现,家庭书刊消费受家庭收入及户主受教育年数的影响，表1为对某地区部分家庭抽样调查的到的样本数据.
表1 家庭书刊消费、家庭收入及户主受教育年数数据
2 建立家庭书刊消费的计量经济模型：
i i i i u T X Y +++=321βββ —----————---—--——-—---（1)
其中：Y 为家庭书刊年消费支出、X 为家庭月平均收入、T 为户主受教育年数。
2。
1 建立工作文件并录入数据
图1 运行结果
2.2 结果分析
根据图1中的数据，得到模型（1）的估计结果为:
i
i i T X Y 3703.5208645.00162.50ˆ++-= （49。
46026）（0。
02936) (5.20217）
t= （-1。
011244) （2.944186） （10.06702) R 2=0.951235 944732.02
=R F=146.2974
由估计检验结果, 户主受教育年数参数对应的t 统计量为10。
06702， 明显大于t 的临界值131.2)318(025.0=-t ，同时户主受教育年数参数所对应的P 值为0。
0000，明显小于05.0=α，均可判断户主受教育年数对家庭书刊消费支出确实有显著影响。
另外家庭月平均收入参数对应的t 统计量为2。
944186,明显大于t 的临界值131.2)318(025.0=-t ,同时家庭月平均收入参数所对应的P 值为0.0101,小于05.0=α,均可判断家庭月平均收入对家庭书刊消费支出确实有显著影响。
因此，本模型说明家庭月平均收入和户主受教育年数对家庭书刊消费支出有显著影响，家庭月平均收入增加1元,平均说来家庭书刊年消费支出将增加0.086元,户主受教育年数增加1年，平均说来家庭书刊年消费支出将增加52.37元.。