matlab建立多元线性回归模型并进行显著性检验及预测问题
利用Matlab进行线性回归分析
利用Matlab进行线性回归分析回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。
可以通过软件Matlab实现。
1.利用Matlab软件实现在Matlab中，可以直接调用命令实现回归分析，（1）[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)，其中b是回归方程中的参数估计值，bint 是b的置信区间，r和rint分别表示残差及残差对应的置信区间。
stats包含三个数字，分别是相关系数，F统计量及对应的概率p值。
（2）recplot(r,rint)作残差分析图。
（3）rstool(x,y)一种交互式方式的句柄命令。
以下通过具体的例子来说明。
例现有多个样本的因变量和自变量的数据，下面我们利用Matlab，通过回归分析建立两者之间的回归方程。
% 一元回归分析x=[1097 1284 1502 1394 1303 1555 1917 2051 2111 2286 2311 2003 2435 2625 2948 3, 55 3372];%自变量序列数据y=[698 872 988 807 738 1025 1316 1539 1561 1765 1762 1960 1902 2013 2446 2736 2825];%因变量序列数据X=[ones(size(x')),x'],pause[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',X,0.05),pause%调用一元回归分析函数rcoplot(r,rint)%画出在置信度区间下误差分布。
% 多元回归分析% 输入各种自变量数据x1=[5.5 2.5 8 3 3 2.9 8 9 4 6.5 5.5 5 6 5 3.5 8 6 4 7.5 7]';x2=[31 55 67 50 38 71 30 56 42 73 60 44 50 39 55 7040 50 62 59]';x3=[10 8 12 7 8 12 12 5 8 5 11 12 6 10 10 6 11 11 9 9]';x4=[8 6 9 16 15 17 8 10 4 16 7 12 6 4 4 14 6 8 13 11]';%输入因变量数据y=[79.3 200.1 163.1 200.1 146.0 177.7 30.9 291.9 160 339.4 159.6 86.3 237.5 107.2 155 201.4 100.2 135.8 223.3 195]';X=[ones(size(x1)),x1,x2,x3,x4];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X)%回归分析Q=r'*rsigma=Q/18rcoplot(r,rint);%逐步回归X1=[x1,x2,x3,x4];stepwise(X1,y,[1,2,3])%逐步回归% X2=[ones(size(x1)),x2,x3];% X3=[ones(size(x1)),x1,x2,x3];% X4=[ones(size(x1)),x2,x3,x4];% [b1,b1int,r1,r1int,stats1]=regress(y,X2)% [b2,b2int,r2,r2int,stats2]=regress(y,X3);% [b3,b3int,r3,r3int,stats3]=regress(y,X4);。
数据回归分析和拟合的Matlab实现一、多元线性回归
数据回归分析和拟合的Matlab实现本次将教程的主要内容包含：一、多元线性回归 2#多元线性回归：regress二、多项式回归 3#一元多项式：polyfit或者polytool多元二项式：rstool或者rsmdemo三、非线性回归 4#非线性回归：nlinfit四、逐步回归 5#逐步回归：stepwise一、多元线性回归多元线性回归：1、b=regress(Y, X ) 确定回归系数的点估计值2、[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) 求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型①bint表示回归系数的区间估计.②r表示残差③rint表示置信区间④stats表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r2、F值、与F对应的概率p说明：相关系数r2越接近1，说明回归方程越显著；时拒绝H0，F越大，说明回归方程越显著；与F对应的概率p<α时拒绝H0⑤alpha表示显著性水平(缺省时为0.05)3、rcoplot(r,rint) 画出残差及其置信区间具体参见下面的实例演示4、实例演示，函数使用说明(1)输入数据复制内容到剪贴板>>x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; >>X=[ones(16,1) x];>>Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]';(2)回归分析及检验复制内容到剪贴板>> [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X)b =-16.07300.7194bint =-33.7071 1.5612 0.6047 0.8340r =1.2056-3.2331-0.95241.32820.88951.1702-0.98790.29270.57341.85400.1347-1.5847-0.3040-0.0234-0.46210.0992rint =-1.2407 3.6520 -5.0622 -1.4040 -3.5894 1.6845 -1.2895 3.9459 -1.8519 3.6309 -1.5552 3.8955 -3.7713 1.7955 -2.5473 3.1328-2.2471 3.3939-0.7540 4.4621-2.6814 2.9508-4.2188 1.0494-3.0710 2.4630-2.7661 2.7193-3.1133 2.1892-2.4640 2.6624stats =0.9282 180.9531 0.0000 1.7437运行结果解读如下参数回归结果为，对应的置信区间分别为[-33.7017,1.5612]和[0.6047,0.834]r2=0.9282(越接近于1，回归效果越显著)，F=180.9531，p=0.0000，由p<0.05, 可知回归模型y=-16.073+0.7194x成立(3)残差分析作残差图复制内容到剪贴板rcoplot(r,rint)二、多项式回归一元多项式回归1、一元多项式回归函数(1)[p,S]=polyfit(x,y,m) 确定多项式系数的MATLAB命令说明：x=(x1,x2,…,x n),y=(y1,y2,…,y n)；p=(a1,a2,…,a m+1)是多项式y=a1x m+a2x m-1+…+a m x+a m+1的系数；S是一个矩阵,用来估计预测误差(2)polytool(x,y,m) 调用多项式回归GUI界面，参数意义同polyfit2、预测和预测误差估计(1)Y=polyval(p,x) 求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y(2)[Y,DELTA]=polyconf(p,x,S,alpha) 求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y±DELTA，alpha缺省时为0.53、实例演示说明观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s的表达式(即回归方程s=a+bt+ct2)t (s) 1/30 2/30 3/30 4/30 5/30 6/30 7/30s (cm) 11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13t (s) 8/30 9/30 10/30 11/30 12/30 13/30 14/30s (cm) 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48解法一：直接作二次多项式回归复制内容到剪贴板>>t=1/30:1/30:14/30;>>s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48];>>[p,S]=polyfit(t,s,2)p =489.2946 65.8896 9.1329S =R: [3x3 double]df: 11normr: 0.1157故回归模型为解法二：化为多元线性回归复制内容到剪贴板>>t=1/30:1/30:14/30;>>s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48];>>T=[ones(14,1) t' (t.^2)'];>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(s',T)b =9.132965.8896489.2946bint =9.0614 9.204465.2316 66.5476488.0146 490.5747r =-0.0129-0.0302-0.01480.07320.00400.0474-0.0165-0.0078-0.0363-0.02220.0046-0.0059-0.02370.0411rint =-0.0697 0.0439 -0.0956 0.0352 -0.0876 0.0580 0.0182 0.1283 -0.0709 0.0789 -0.0192 0.1139 -0.0894 0.0563 -0.0813 0.0658 -0.1062 0.0335 -0.0955 0.0511 -0.0704 0.0796 -0.0793 0.0675 -0.0904 0.0429 -0.0088 0.0910stats =1.0e+007 *0.0000 1.0378 0 0.0000故回归模型为：预测及作图复制内容到剪贴板Y=polyconf(p,t,S)；plot(t,s,'k+',t,Y,'r')多元二项式回归1、多元二项式回归Matlab命令rstool(x,y,'model',alpha)输入参数说明：x：n*m矩阵；Y：n维列向量；alpha：显著性水平(缺省时为0.05)；mode：由下列4个模型中选择1个(用字符串输入,缺省时为线性模型)2、实例演示说明设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下,建立回归模型,预测平均收入为1000、价格为6时的商品需求量需求量100 75 80 70 50 65 90 100 110 60收入1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300价格 5 7 6 6 8 7 5 4 3 9解法一：选择纯二次模型复制内容到剪贴板%直接用多元二项式回归如下x1=[1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300];x2=[5 7 6 6 8 7 5 4 3 9];y=[100 75 80 70 50 65 90 100 110 60]';x=[x1' x2'];rstool(x,y,'purequadratic')在x1对应的文本框中输入1000，X2中输入6，敲回车键，此时图形和相关数据会自动更新此时在GUI左边的“Predicted Y1”下方的数据变为88.47981，表示平均收入为1000、价格为6时商品需求量为88.4791点击左下角的Export按钮，将会导出回归的相关参数beta、rmse和residuals到工作空间(workspace)在Export按钮下面可以选择回归类型在Matlab命令窗口中输入复制内容到剪贴板>>beta, rmse将得到如下结果复制内容到剪贴板beta =110.53130.1464-26.5709-0.00011.8475rmse =4.5362故回归模型为解法二：将上面饿模型转换为多元线性回归复制内容到剪贴板>>X=[ones(10,1) x1' x2' (x1.^2)' (x2.^2)']; >>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X);>>b,statsb =110.53130.1464-26.5709-0.00011.8475stats =0.9702 40.6656 0.0005 20.5771从残差图可以看出，除第二个数据外,其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而第二个数据可视为异常点。
使用Matlab技术进行回归分析的基本步骤
使用Matlab技术进行回归分析的基本步骤回归分析是统计学中一种用于研究变量间关系的方法，可以用来预测和解释变量之间的相关性。
在实际应用中，使用计算工具进行回归分析可以提高分析效率和准确性。
本文将介绍使用Matlab技术进行回归分析的基本步骤，并探讨其中的一些关键概念和技巧。
一、数据准备在进行回归分析之前，首先需要收集和整理相关的数据。
这些数据通常包括自变量和因变量。
自变量是用来解释或预测因变量的变量，而因变量是需要解释或预测的变量。
在Matlab中，可以将数据保存为数据矩阵，其中每一列代表一个变量。
二、模型建立在回归分析中，需要建立一个数学模型来描述自变量和因变量之间的关系。
最简单的线性回归模型可以表示为：Y = βX + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β是回归系数，ε是误差项。
在Matlab中，可以使用regress函数来进行线性回归分析。
三、模型拟合模型拟合是回归分析的核心步骤，它的目标是找到最佳的回归系数，使得预测值与实际观测值之间的差异最小。
在Matlab中，可以使用OLS（Ordinary Least Squares）方法来进行最小二乘法回归分析。
该方法通过最小化残差平方和来估计回归系数。
四、模型诊断模型诊断是回归分析中非常重要的一步，它可以帮助我们评估模型的合理性和有效性。
在Matlab中，可以使用多种诊断方法来检验回归模型是否满足统计假设，例如残差分析、方差分析和假设检验等。
这些诊断方法可以帮助我们检测模型是否存在多重共线性、异方差性和离群值等问题。
五、模型应用完成模型拟合和诊断之后，我们可以使用回归模型进行一些实际应用。
例如，可以使用模型进行因变量的预测，或者对自变量的影响进行解释和分析。
在Matlab中，可以使用该模型计算新的观测值和预测值，并进行相关性分析。
六、模型改进回归分析并不是一次性的过程，我们经常需要不断改进模型以提高预测的准确性和解释的可靠性。
在Matlab中，可以使用变量选择算法和模型改进技术来优化回归模型。
matlab建立多元线性回归模型并进行显著性检验及预测问题
matlab建立多元线性回归模型并进行显着性检验及预测问题例子;x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]';X=[ones(16,1) x]; 增加一个常数项Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'; [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) 得结果：b = bint = stats = 即对应于b的置信区间分别为[，]、[,]; r2=, F=, p= p<, 可知回归模型y=+ 成立. 这个是一元的，如果是多元就增加X的行数！function [beta_hat,Y_hat,stats]=regress(X,Y,alpha)% 多元线性回归(Y=Xβ+ε)MATLAB代码%？% 参数说明% X：自变量矩阵，列为自变量，行为观测值% Y：应变量矩阵，同X% alpha：置信度，[0 1]之间的任意数据% beta_hat：回归系数% Y_beata：回归目标值，使用Y-Y_hat来观测回归效果% stats：结构体，具有如下字段% =[fV,fH]，F检验相关参数，检验线性回归方程是否显着% fV：F分布值，越大越好，线性回归方程越显着% fH：0或1，0不显着；1显着(好)% =[tH,tV,tW]，T检验相关参数和区间估计，检验回归系数β是否与Y有显着线性关系% tV：T分布值，beta_hat(i)绝对值越大,表示Xi对Y显着的线性作用% tH：0或1，0不显着；1显着% tW：区间估计拒绝域，如果beta(i)在对应拒绝区间内，那么否认Xi对Y显着的线性作用% =[T,U,Q,R]，回归中使用的重要参数% T：总离差平方和，且满足T=Q+U% U：回归离差平方和% Q：残差平方和% R∈[0 1]：复相关系数，表征回归离差占总离差的百分比，越大越好% 举例说明% 比如要拟合y=a+b*log(x1)+c*exp(x2)+d*x1*x2，注意一定要将原来方程线化% x1=rand(10,1)*10;% x2=rand(10,1)*10;% Y=5+8*log(x1)+*exp(x2)+*x1.*x2+rand(10,1); % 以上随即生成一组测试数据% X=[ones(10,1) log(x1) exp(x2) x1.*x2]; % 将原来的方表达式化成Y=Xβ，注意最前面的1不要丢了% [beta_hat,Y_hat,stats]=mulregress(X,Y,%% 注意事项% 有可能会出现这样的情况，总的线性回归方程式显着的=1)，% 但是所有的回归系数却对Y的线性作用却不显着=0)，产生这种现象的原意是% 回归变量之间具有较强的线性相关，但这种线性相关不能采用刚才使用的模型描述，% 所以需要重新选择模型%C=inv(X'*X);Y_mean=mean(Y);% 最小二乘回归分析beta_hat=C*X'*Y; % 回归系数βY_hat=X*beta_hat; % 回归预测% 离差和参数计算Q=(Y-Y_hat)'*(Y-Y_hat); % 残差平方和U=(Y_hat-Y_mean)'*(Y_hat-Y_mean); % 回归离差平方和T=(Y-Y_mean)'*(Y-Y_mean); % 总离差平方和，且满足T=Q+UR=sqrt(U/T); % 复相关系数，表征回归离差占总离差的百分比，越大越好[n,p]=size(X); % p变量个数，n样本个数% 回归显着性检验fV=(U/(p-1))/(Q/(n-p)); % 服从F分布，F的值越大越好fH=fV>finv(alpha,p-1,n-p); % H=1，线性回归方程显着(好)；H=0，回归不显着% 回归系数的显着性检验chi2=sqrt(diag(C)*Q/(n-p)); % 服从χ2(n-p)分布tV=beta_hat./chi2; % 服从T分布，绝对值越大线性关系显着tInv=tinv+alpha/2,n-p);tH=abs(tV)>tInv; % H(i)=1，表示Xi对Y显着的线性作用；H(i)=0，Xi对Y的线性作用不明显% 回归系数区间估计tW=[-chi2,chi2]*tInv; % 接受H0，也就是说如果在beta_hat(i)对应区间中，那么Xi与Y线性作用不明显stats=struct('fTest',[fH,fV],'tTest',[tH,tV,tW],'TUQR',[T,U,Q,R]);。
多元回归分析报告matlab
回归分析MATLAB 工具箱一、多元线性回归多元线性回归：p p x x y βββ+++=...110 1、确定回归系数的点估计值： 命令为：b=regress(Y, X ) ①b 表示⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p b βββˆ...ˆˆ10②Y 表示⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n Y Y Y Y (2)1③X 表示⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=np n n p p x x x x x x x x x X ...1............ (1) (12)12222111211 2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：命令为：[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) ①bint 表示回归系数的区间估计. ②r 表示残差.③rint 表示置信区间.④stats 表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r 2、F 值、与F 对应的概率p.说明：相关系数2r 越接近1,说明回归方程越显著；)1,(1-->-k n k F F α时拒绝0H ,F 越大,说明回归方程越显著；与F 对应的概率p α<时拒绝H 0,回归模型成立.⑤alpha 表示显著性水平(缺省时为0.05) 3、画出残差及其置信区间. 命令为：rcoplot(r,rint) 例1.如下程序. 解：(1)输入数据.x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; X=[ones(16,1) x];Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'; (2)回归分析及检验.[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) b,bint,stats得结果：b = bint =-16.0730 -33.7071 1.5612 0.7194 0.6047 0.8340 stats =0.9282 180.9531 0.0000即7194.0ˆ,073.16ˆ10=-=ββ；0ˆβ的置信区间为[-33.7017,1.5612], 1ˆβ的置信区间为[0.6047,0.834]; r 2=0.9282, F=180.9531, p=0.0000,我们知道p<0.05就符合条件, 可知回归模型 y=-16.073+0.7194x 成立. (3)残差分析,作残差图. rcoplot(r,rint)从残差图可以看出,除第二个数据外,其余数据的残差离零点均较近,且残差的置信区间均包含零点,这说明回归模型 y=-16.073+0.7194x 能较好的符合原始数据,而第二个数据可视为异常点.(4)预测及作图.z=b(1)+b(2)*xplot(x,Y,'k+',x,z,'r')二、多项式回归(一)一元多项式回归.1、一元多项式回归：1121...+-++++=m m m m a x a x a x a y(1)确定多项式系数的命令：[p,S]=polyfit(x,y,m)说明：x=(x 1,x 2,…,x n ),y=(y 1,y 2,…,y n )；p=(a 1,a 2,…,a m+1)是多项式y=a 1x m +a 2x m-1+…+a m x+a m+1的系数；S 是一个矩阵,用来估计预测误差. (2)一元多项式回归命令：polytool(x,y,m) 2、预测和预测误差估计.(1)Y=polyval(p,x)求polyfit 所得的回归多项式在x 处的预测值Y ；(2)[Y,DELTA]=polyconf(p,x,S,alpha)求polyfit 所得的回归多项式在x 处的预测值Y 及预测值的显著性为1-alpha 的置信区间Y ±DELTA ；alpha 缺省时为0.5.例1. 观测物体降落的距离s 与时间t 的关系,得到数据如下表,求s. (关于t 的回归方程2解法一：直接作二次多项式回归. t=1/30:1/30:14/30;s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48];[p,S]=polyfit(t,s,2) 得回归模型为：1329.98896.652946.489ˆ2++=t t s解法二：化为多元线性回归. t=1/30:1/30:14/30;s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48];T=[ones(14,1) t' (t.^2)'];[b,bint,r,rint,stats]=regress(s',T); b,stats得回归模型为：22946.4898896.651329.9ˆt t s++= 预测及作图：Y=polyconf(p,t,S)plot(t,s,'k+',t,Y,'r')(二)多元二项式回归多元二项式回归命令：rstool(x,y,’model ’, alpha)说明：x 表示n ⨯m 矩阵；Y 表示n 维列向量；alpha ：显著性水平(缺省时为0.05)；model 表示由下列4个模型中选择1个(用字符串输入,缺省时为线性模型)：linear(线性)：m m x x y βββ+++= 110purequadratic(纯二次)：∑=++++=nj j jjm m x x x y 12110ββββinteraction(交叉)：∑≤≠≤++++=mk j k j jkm m x x x x y 1110ββββquadratic(完全二次)：∑≤≤++++=mk j k j jkm m x x x x y ,1110ββββ例1. 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下,建立回归模型,预测平均收入为1000、价格为6时的商品需求量. 需求量 10075 80 70 50 65 90 100 110 60收入 1000 600 1200500 300 400 1300 1100 1300 300 价格 5 7 6 6 8 7 5 4 3 9解法一：选择纯二次模型,即2222211122110x x x x y βββββ++++=.直接用多元二项式回归：x1=[1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300]; x2=[5 7 6 6 8 7 5 4 3 9];y=[100 75 80 70 50 65 90 100 110 60]'; x=[x1' x2'];rstool(x,y,'purequadratic')在左边图形下方的方框中输入1000,右边图形下方的方框中输入6，则画面左边的“Predicted Y ”下方的数据变为88.47981,即预测出平均收入为1000、价格为6时的商品需求量为88.4791.在画面左下方的下拉式菜单中选”all ”, 则beta 、rmse 和residuals 都传送到Matlab 工作区中.在Matlab 工作区中输入命令：beta, rmse 得结果：beta =110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 rmse =4.5362故回归模型为：2221218475.10001.05709.261464.05313.110x x x x y +--+=剩余标准差为4.5362, 说明此回归模型的显著性较好.解法二：将2222211122110x x x x y βββββ++++=化为多元线性回归：X=[ones(10,1) x1' x2' (x1.^2)' (x2.^2)'];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X); b,stats结果为: b =110.5313 0.1464 -26.5709 -0.00011.8475 stats =0.9702 40.6656 0.0005三、非线性回归 1、非线性回归：(1)确定回归系数的命令：[beta,r,J]=nlinfit(x,y,’model ’, beta0)说明：beta 表示估计出的回归系数；r 表示残差；J 表示Jacobian 矩阵；x,y 表示输入数据x 、y 分别为矩阵和n 维列向量,对一元非线性回归,x 为n 维列向量；model 表示是事先用m-文件定义的非线性函数；beta0表示回归系数的初值.(2)非线性回归命令：nlintool(x,y,’model ’, beta0,alpha) 2、预测和预测误差估计：[Y,DELTA]=nlpredci(’model ’, x,beta,r,J)表示nlinfit 或nlintool 所得的回归函数在x 处的预测值Y 及预测值的显著性为1-alpha 的置信区间Y ±DELTA. 例1. 如下程序.解：(1)对将要拟合的非线性模型y=a x b e /,建立m-文件volum.m 如下：function yhat=volum(beta,x) yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x); (2)输入数据： x=2:16;y=[6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76];beta0=[8 2]'; (3)求回归系数：[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)； beta (4)运行结果：beta =11.6036 -1.0641 即得回归模型为：xey 10641.16036.11-=(5)预测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY,'r')四、逐步回归1、逐步回归的命令：stepwise(x,y,inmodel,alpha)说明：x 表示自变量数据,m n ⨯阶矩阵；y 表示因变量数据,1⨯n 阶矩阵；inmodel 表示矩阵的列数的指标,给出初始模型中包括的子集(缺省时设定为全部自变量)；alpha 表示显著性水平(缺省时为0.5).2、运行stepwise 命令时产生三个图形窗口：Stepwise Plot,Stepwise Table,StepwiseHistory.在Stepwise Plot窗口,显示出各项的回归系数及其置信区间.(1)Stepwise Table窗口中列出了一个统计表,包括回归系数及其置信区间,以及模型的统计量剩余标准差(RMSE)、相关系数(R-square)、F值、与F对应的概率P.例1. 水泥凝固时放出的热量y与水泥中4种化学成分x1、x2、x3、 x4有关,今测得一组数据如下,试用逐步回归法确定一个线性模型.解：(1)数据输入：x1=[7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10]';x2=[26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68]';x3=[6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8]';x4=[60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12]';y=[78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4]';x=[x1 x2 x3 x4];(2)逐步回归.①先在初始模型中取全部自变量：stepwise(x,y)得图Stepwise Plot 和表Stepwise Table.图Stepwise Plot中四条直线都是虚线,说明模型的显著性不好.从表Stepwise Table中看出变量x3和x4的显著性最差.②在图Stepwise Plot中点击直线3和直线4,移去变量x3和x4.移去变量x3和x4后模型具有显著性虽然剩余标准差(RMSE)没有太大的变化,但是统计量F的值明显增大,因此新的回归模型更好.(3)对变量y和x1、x2作线性回归.X=[ones(13,1) x1 x2];b=regress(y,X)得结果：b =52.57731.46830.6623故最终模型为：y=52.5773+1.4683x1+0.6623x2或这种方法4元二次线性回归clc;clear;y=[1.84099 9.67 23.00 38.12 1.848794 6.22 12.22 19.72 1.848794 5.19 10.09 15.31 ];X1=[60.36558 59.5376 58.89861 58.74706 60.59389 60.36558 59.2 58.2 60.36558 59.97068 59.41918 58. X2=[26.1636 26.35804 26.82438 26.91521 25.90346 25.9636 27.19256 27.42153 26.1636 26.07212 26.5872 X3=[0.991227 0.994944 0.981322 0.98374 1.011865 0.991227 1.074772 1.107678 0.991227 0.917904 1.06043 X4=[59.37436 58.54265 57.91729 57.69332 59.58203 59.37436 57.76722 57.42355 59.37436 59.05278 58.3587format short gY=y'X11=[ones(1,length(y));X1;X2;X3;X4]'B1=regress(Y,X11)% 多元一次线性回归[m,n]=size(X11)X22=[];for i=2:nfor j=2:nif i<=jX22=([X22,X11(:,i).*X11(:,j)]);elsecontinueendendendX=[X11,X22];B2=regress(Y,X)% 多元二次线性回归[Y X*B2 Y-X*B2]plot(Y,X11*B1,'o',Y,X*B2,'*')hold on,line([min(y),max(y)],[min(y),max(y)]) axis([min(y) max(y) min(y) max(y)])legend('一次线性回归','二次线性回归')xlabel('实际值');ylabel('计算值')运行结果：Y =1.8419.672338.121.84886.2212.2219.721.84885.1910.0915.31X11 =1 60.366 26.164 0.99123 59.3741 59.538 26.358 0.99494 58.5431 58.899 26.824 0.98132 57.9171 58.747 26.915 0.98374 57.6931 60.594 25.903 1.0119 59.5821 60.366 25.964 0.99123 59.3741 59.2 27.193 1.0748 57.7671 58.2 27.422 1.1077 57.4241 60.366 26.164 0.99123 59.3741 59.971 26.072 0.9179 59.0531 59.419 26.587 1.0604 58.3591 58.891 27.061 1.1239 57.767B1 =1488.9-4.3582-9.6345-61.514-15.359m =12n =5B2 =3120.4-7129.2-622.23-362.71-105.061388.1120.25199.25379.58170.48-796.41ans =1.841 1.8449 -0.0039029.67 9.67 1.0058e-00923 23 1.397e-00938.12 38.12 3.539e-0101.8488 1.8488 1.6394e-0096.22 6.227.2643e-01012.22 12.22 2.6077e-01019.72 19.72 -2.0489e-0101.8488 1.8449 0.0039025.19 5.19 1.4529e-00910.09 10.09 1.0803e-00915.31 15.31 4.0978e-010由图形可以看出，多元二次线性回归效果非常好，即，相当于Y=3120.4*X1 -7129.2 *X2 + 0*X3+ 0*X4 -622.23*X1*X1 -362.71*X1*X2 -105.06*X1*X3 + 1388.1*X1*X4 +120.25*X2*X2+ 199.25 *X2*X3+ 379.58*X2*X4 + 170.48*X3*X3+ 0*X3*X4 -796.4。
matlab多元线性回归
matlab多元线性回归Matlab多元线性回归是利用矩阵运算和统计学方法，来建立一个若干变量之间的线性关系模型。
Matlab可以实现多元线性回归，最常用的方法是最小二乘法（OrdinaryLeast Squares ，OLS）。
下面我们拟定一个多元线性回归问题，看看Matlab的意图如何解决它。
假设现在需要研究三个变量（X1，X2，X3）与输出Y的关系，则可以将Y与这三个变量的关系模型用下式表示：Y=β0+β1X1+β2X2+β3X3其中β0,β1,β2,β3等参数均未知，但是可以根据实验数据估计。
Matlab使用regress函数来实现多元线性回归，算法思想是为所有变量设定一组备用变量，然后拟合出令这些变量与被解释变量之间的最佳关系，从而实现多元回归模型的建立。
以上面那个例子来说，可以将X1，X2，X3的备用变量表示如：X1=1,X2=1,X3=1然后，可以建立如下的解释变量矩阵：Y=1×1+X1×X2+X2×X3+X3×1 ，注意第一行、第一列都是1，这是因为要拟合的模型中右侧的常数项，也就是β0。
一旦矩阵X（X表示解释变量组成的矩阵）和向量Y（被解释变量）建立完成，就可以使用Matlab中提供的regress函数了：[B,BINT,R,RINT,STATS]=regress(Y,X),其中B就是回归系数（参数β0,β1,β2,β3），BINT是该参数的置信区间，R是残差，RINT是拟合的置信区间，STATS包含 R2等其他统计量。
有了这些参数，就可以代入给定的回归模型，去预测Y的值，从而实现多元线性回归的目的。
Matlab多元线性回归可以更轻松便捷地实现复杂多变量间的相关性分析。
但是，在实际应用中，选取最优变量组以及其他模型调整是非常重要的，要仔细考虑实际问题所具有的特色，去尝试多种模型，才能得到最佳结果。
多元线性回归在MATLAB中的实现
内蒙古科技与经济 InnerMongoliaScienceTechnology & Economy
June２０１８ No．１３TotalNo．４０７
多元线性回归在 MATLAB 中的实现
李立欣,许健开
(湖南农业大学 理学院,湖南 长沙 ４１０１２８)
摘 要:针 对 研 究 中 经 常 用 到 的 多 元 线 性 回 归 方 法,简 单 介 绍 了 多 元 线 性 回 归 的 基 本 原 理,结 合 １９８９年~２００３年全国的财政收入的统计数据,详 细 介 绍 了 运 用 MATLAB 软 件 编 写 回 归 算 法,建 立 回 归模型,并对模型进行拟合优度判定、检验和检验,结 果 表 明:模 型 的 拟 合 程 度 和 显 著 性 效 果 较 好,算 法 简 单 实 用 ,求 解 过 程 方 便 ,能 广 泛 用 于 多 元 线 性 回 归 问 题 的 求 解 .
对 于 总 体(X１,X２,������ ,Xk;Y)的 n组 观 测 值(xi１, xi２,������ ,xik;yi)(i＝１,２,������,n;n＞k),线 性 回 归 模 型 可表示为:
ìîíïïïïy y y���n１ ２���
＝β０ ＝β０ ������
＝β０
＋β１x１１ ＋β１x２１
关键词:多元线性回归;MATLAB 软件;应用 中 图 分 类 号 :TP３１４ 文 献 标 识 码 :A 文 章 编 号 :１００７—６９２１(２０１８)１３—００３６—０２
在生活与实践 中,一 种 现 象 常 常 是 与 多 个 因 素 相 联 系 ,找 到 一 种 最 优 的 自 变 量 的 组 合 方 式 ,共 同 来
多元线性回归及显著性检验Matlab程序
多元线性回归及显著性检验Matlab程序（完美版）一、说明：1、本程序是研究生教材《数理统计》（杨虎、刘琼、钟波编著）例（P133）的Matlab编程解答程序。
教材上的例题只做了回归方程显著性分析和一次回归系数显著性分析（剔除x1后没有再检验x2和x3）。
2、本程序在以上的基础之上，还分别检验了x2和x3，并且计算精度更高。
3、本程序可根据用户的需要，在输入不同的显著性水平α之下得到相应的解答。
4、本程序移植性强，对于其他数据，只需要改变excel中的数据即可。
5、本程序输出的可读性强，整洁美观。
二、数据入下（将数据存入excel表格，文件名为。
注意数据是按x1，x2，…，xk，y这样来列来存储。
若不是3个变量，则相应增减数据列就行。
）：三、完整程序如下：%----------------------------by ggihhimm----------------------------%《数理统计》杨虎、刘琼、钟波编著例多元线性回归及显著性检验完整解答% 输入需要的显著水平α（默认α=），计算出不同结果（见运行结果）% 该程序也适合其他维数的数据分析（只需改变excel表格中的数据即可）%----------------------------by ggihhimm----------------------------clear;clc;data=xlsread('','sheet1');xi=data(:,1:end-1);[n,k]=size(data);k=k-1;index_of_xi_array=ones(1,k);X=[ones(n,1) xi];Y=data(:,end);fprintf('第1次计算结果：\r')beta_mao=((X'*X)\X'*Y)';fmt_str0='';for i0=1:k+1fmt_str0=[fmt_str0 'β' num2str(i0-1) ' = %\r'];endfprintf(fmt_str0,beta_mao)fprintf('\r')%%检验回归方程的显著性x_ba=mean(xi);y_ba=mean(Y);St_square=sum(Y.^2)-n*y_ba^2;lxy=sum((xi-ones(n,1)*x_ba).*((Y-y_ba)*ones(1,k)));Sr_square=sum(beta_mao(2:end).*lxy);Se_square=St_square-Sr_square;c_flag=Sr_square/Se_square;F_alpha=input('>>>>>>请输入您要求的显著性水平(0<α<1)α= ');while ~(isscalar(F_alpha) && F_alpha<1 && F_alpha>0)F_alpha=input('您的输入有误，请重新输入一个大于0，小于1的数，α= ');endF_fenweidian=finv(1-F_alpha,k,n-k-1);c=k/(n-k-1)*F_fenweidian;if c_flag>cfprintf(['\r--------------------回归方程显著性检验（H0：β1=β2=...=βk=0）' ...'--------------------\r经过计算：拒绝H0，原假设不成立。
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matlab建立多元线性回归模型并进行显著性检
验及预测问题
例子;
x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]';
X=[ones(16,1) x]; 增加一个常数项 Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96
98 99 100 102]'; [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) 得结果：b = bint = stats = 即对应于b的置信区间分别为[，]、[,]; r2=, F=, p= p<, 可知回
归模型 y=+ 成立. 这个是一元的，如果是多元就增加X的行数！
function [beta_hat,Y_hat,stats]=regress(X,Y,alpha)
% 多元线性回归(Y=Xβ+ε)MATLAB代码
%
% 参数说明
% X：自变量矩阵，列为自变量，行为观测值
% Y：应变量矩阵，同X
% alpha：置信度，[0 1]之间的任意数据
% beta_hat：回归系数
% Y_beata：回归目标值，使用Y-Y_hat来观测回归效果
% stats：结构体，具有如下字段
% =[fV,fH]，F检验相关参数，检验线性回归方程是否显著
% fV：F分布值，越大越好，线性回归方程
越显著
% fH：0或1，0不显著；1显著(好)
% =[tH,tV,tW]，T检验相关参数和区间估计，检验回归系数β是
否与Y有显著线性关系
% tV：T分布值，beta_hat(i)绝对值越大,
表示Xi对Y显著的线性作用
% tH：0或1，0不显著；1显著
% tW：区间估计拒绝域，如果beta(i)在对
应拒绝区间内，那么否认Xi对Y显著的线性作用
% =[T,U,Q,R]，回归中使用的重要参数
% T：总离差平方和，且满足T=Q+U
% U：回归离差平方和
% Q：残差平方和
% R∈[0 1]：复相关系数，表征回归离差占总
离差的百分比，越大越好
% 举例说明
% 比如要拟合 y=a+b*log(x1)+c*exp(x2)+d*x1*x2，注意一定要将原来方程
线化
% x1=rand(10,1)*10;
% x2=rand(10,1)*10;
% Y=5+8*log(x1)+*exp(x2)+*x1.*x2+rand(10,1); % 以上随即生成一组测试数据
% X=[ones(10,1) log(x1) exp(x2) x1.*x2]; % 将原来的方表达式化成
Y=Xβ，注意最前面的1不要丢了
% [beta_hat,Y_hat,stats]=mulregress(X,Y,
%
% 注意事项
% 有可能会出现这样的情况，总的线性回归方程式显著的=1)，
% 但是所有的回归系数却对Y的线性作用却不显著=0)，产生这种现象的原意是
% 回归变量之间具有较强的线性相关，但这种线性相关不能采用刚才使用的模型描述，
% 所以需要重新选择模型
%
C=inv(X'*X);
Y_mean=mean(Y);
% 最小二乘回归分析
beta_hat=C*X'*Y; % 回归系数β
Y_hat=X*beta_hat; % 回归预测
% 离差和参数计算
Q=(Y-Y_hat)'*(Y-Y_hat); % 残差平方和
U=(Y_hat-Y_mean)'*(Y_hat-Y_mean); % 回归离差平方和
T=(Y-Y_mean)'*(Y-Y_mean); % 总离差平方和，且满足T=Q+U
R=sqrt(U/T); % 复相关系数，表征回归离差占总离差的百分比，越大越好[n,p]=size(X); % p变量个数，n样本个数
% 回归显著性检验
fV=(U/(p-1))/(Q/(n-p)); % 服从F分布，F的值越大越好
fH=fV>finv(alpha,p-1,n-p); % H=1，线性回归方程显著(好)；H=0，回归不显著
% 回归系数的显著性检验
chi2=sqrt(diag(C)*Q/(n-p)); % 服从χ2(n-p)分布
tV=beta_hat./chi2; % 服从T分布，绝对值越大线性关系显著
tInv=tinv+alpha/2,n-p);
tH=abs(tV)>tInv; % H(i)=1，表示Xi对Y显著的线性作用；H(i)=0，Xi 对Y的线性作用不明显
% 回归系数区间估计
tW=[-chi2,chi2]*tInv; % 接受H0，也就是说如果在beta_hat(i)对应区间中，那么Xi与Y线性作用不明显
stats=struct('fTest',[fH,fV],'tTest',[tH,tV,tW],'TUQR',[T,U,Q,R]) ;。