《固体物理学》房晓勇-思考题03第三章_晶体振动和晶体的热学性质
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格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的. 绝对零度时, 声子消失, 格波间不再交换能量.
3.20 石英晶体的热膨胀系数很小，问它的格林爱森常数有何特点？ 解答：（王矜奉 3.1.21，中南大学 3.1.21）
由本教科书(3.158)式可知, 热膨胀系数 与格林爱森常数 成正比. 石英晶体的热膨胀系数很小, 它 的格林爱森常数也很小. 格林爱森常数 大小可作为晶格非简谐效应大小的尺度. 石英晶体的格林爱森常 数很小, 说明它的非简谐效应很小.
第三章 晶体振动和晶体的热学性质 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 3.1 相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？ 解答：（王矜奉 3.1.1，中南大学 3.1.1） 以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子 的振幅 A, 另一个原子振幅 B, 由《固体物理学》第 79 页公式，可得两原子振幅之比
, 上式简化为
.
以上两式中
是光学波的模式密度, 在简谐近似下, 它与温度无关. 在甚低温下,
是合理的.
, 即光学波对热容的贡献可以忽略. 也就是说, 在甚低温下, 不考虑光学波对热容的贡献
从声子能量来说, 光学波声子的能量 很大(大于短声学波声子的能量), 它对应振幅很大 的格波的振动, 这种振动只有温度很高时才能得到激发. 因此, 在甚低温下, 晶体中不存在光学波.
极化电场.
补充 3 你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？
解答：（王矜奉 3.1.14，中南大学 3.1.14）
6
第三章 晶体振动和晶体的热学性质 实验已经证实, 离子晶体能强烈吸收远红外光波. 这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能 与远红外电磁场发生强烈耦合. 简单晶格中不存在光学波, 所以简单晶格不会吸收远红外光波.
补充 4 金刚石中的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率是否相等? 对 KCl 晶体, 结论又是什 么?
解答：（王矜奉 3.1.12，中南大学 3.1.12）
长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 电场的方向 是阻滞离子的位移, 使得有效恢复力系数变大, 对应的格波的频率变高. 长光学格横波不引起离子的位移, 不产生极化电场, 格波的频率不变. 金刚石不是离子晶体, 其长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波 频率相等. 而 KCl 晶体是离子晶体, 它的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率不相等, 长光学纵 波频率大于同波矢的长光学格横波频率.
补充 5 从图 3.6 所示实验曲线, 你能否判断哪一支格波的模式密度大? 是光学纵波呢, 还是声学纵波?
解答：（王矜奉 3.1.9，中南大 学 3.1.9）
从图 3.6 所示实验曲线可以看 出, 在波矢空间内, 光学纵波振动 谱线平缓, 声学纵波振动谱线较陡. 单位频率区间内光学纵波对应的波 矢空间大, 声学纵波对应的波矢空 间小. 格波数目与波矢空间成正比, 所以单位频率区间内光学纵波的格 波数目大. 而模式密度是单位频率 区间内的格波数目, 因此光学纵波 的模式密度大于声学纵波的模式密 度.
对应什么物理图象?
解答：（王矜奉 3.1.15，中南大学 3.1.15）
格波的频率 与 成正比.
说明该光学横波对应的恢复力系数
.
时, 恢复力
消失, 发生了位移的离子再也回不到原来的平衡位置, 而到达另一平衡位置, 即离子晶体结构发生了改变
(称为相变). 在这一新的结构中, 正负离子存在固定的位移偶极矩, 即产生了自发极化, 产生了一个稳定的
3.17 何谓极化声子？何谓电磁声子？ 解答：（王矜奉 3.1.13，中南大学 3.1.13）
长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 称长光学纵 波声子为极化声子.
由《固体物理学》式(3.80a)式可知, 长光学横波与电磁场相耦合, 使得它具有电磁性质, 人们称长 光学横波声子为电磁声子.
3.13 若考虑非线性相互作用，当晶格发生伸长或压缩的形变时，晶格振动的频率是否变化？如何变 化？
解答： 3.14 试简述固体中的非线性振动对固体的热膨胀、弹性模量、热容、热导、热阻等物理性质的影响。 解答： 3.15 喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？ 解答：（王矜奉 3.1.10，中南大学 3.1.10）
4
第三章 晶体振动和晶体的热学性质
晶格振动谱的测定中, 光波的波长与格波的波长越接近, 光波与声波的相互作用才越显著. 喇曼 散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说, 该波长属于长波长范围. 因此, 喇曼散射是光子与长光学波 声子的相互作用. 长光学波声子的波矢很小, 相应的动量 不大. 而能产生倒逆散射的条件是光的入 射波矢 与散射波矢 要大, 散射角 也要大. 与 大要求波长小, 散射角 大要求 大(参见下 图), . 但对喇曼散射来说, 这两点都不满足. 即喇曼散射中，光子不会产生倒逆散射.
3.9 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多，还是温度低时的声子数目多？ 解答：（王矜奉 3.1.7，中南大学 3.1.7）
设温度 TH>TL, 由于( 子数目.
)小于(
), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声
3.10 由两种不同质量的原子组成的晶格，即使相邻原子间相互作用的恢复力常数相等，也将存在光学 波。试问：由质量相同的原子组成的晶格，若一个原子与两个近邻原子间有不同的恢复力常数，是否有光 学波存在？
3.19 绝对零度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗？
5
第三章 晶体振动和晶体的热学性质 解答：（王矜奉 3.1.19，中南大学 3.1.19）
频率为 的格波的振动能为
其中
是由 个声子携带的热振动能, (
, )是零点振动能, 声子数
.
绝对零度时, =0. 频率为 的格波的振动能只剩下零点振动能.
频率为 的格波的(平均) 声子数为
, 即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.
2
第三章 晶体振动和晶体的热学性质 按照德拜模型, 晶体中的声子数目 N’为
作变量代换
. ，
. 其中 是德拜温度. 高温时,
, 即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比.
低温时,
简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度 数之和, 即等于 3N.
3.6 有人说，既然晶格独立振动频率的数目等于晶体的自由度数，而 hv 代表一个声子。因此，对于一
给定的晶体，它所拥有声子的数目一定守恒。这种说法是否正确？ 解答：（王矜奉 3.1.5，中南大学 3.1.5）
,
,
即低温时, 晶体中的声子数目与 T 3 成正比.
3.7 长光学支格波与长声学支格波的本质上有何区别？ 解答：（王矜奉 3.1.4，中南大学 3.1.4）
长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频 率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动 频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但 简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.
3.8 同一温度下，一个光学波的声子数目与一个声学波的声子数目相同吗？ 解答：（王矜奉 3.1.6，中南大学 3.1.6）
频率为 的格波的(平均) 声子数为
.
3
第三章 晶体振动和晶体的热学性质
因为光学波的频率 比声学波的频率 高, ( 下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.
)大于(
), 所以在温度一定情况
（2）与实验结果吻合得较好.
对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有 N 个原子构成
的的原子链, 硬性假定
的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不
符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力
验证(《固体物理学》§3.1 与§3.6). 玻恩 卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与
倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.
3.2 试说明格波和弹性波有何不同？ 解答：晶格中各个原子间的振动相互关系
1
第三章 3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？ 解答：（王矜奉 3.1.2，中南大学 3.1.2） （1）方便于求解原子运动方程.
晶体振动和晶体的热学性质
由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的 两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原 子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子 的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的 困难.
3.16 长声学波能否导致离子晶体的宏观极化？ 解答：（王矜奉 3.1.11，中南大学 3.1.11）
长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子) 产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离 子晶体的宏观极化.
补充 1 温度很低时, 声子的自由程很大, 当
时,
成为热超导材料? 解答：（王矜奉 3.1.20，中南大学 3.1.20）
,问
时, 对于无限长的晶体, 是否
对于电绝缘体, 热传导的载流子是声子. 当 还是短, 都自动成为热绝缘材料.
时, 声子数 n . 因此,
时, 不论晶体是长
补充 2 对于光学横波,
为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非 线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由 N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成 3N 个独 立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做 振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这 3N 个简正振 动模式的线形迭加.
(1) 其中 m 原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别 为
, (2)
. (3) 将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为
,
(4)
由于
.
(5)
=Baidu Nhomakorabea
，
则由(4)(5)两式可得, B A = 1. 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数
解答： 3.11 高频线性谐振子和低频线性谐振子中，在高温区和低温区哪个队热容的贡献大？ 解答： 3.12 在低温下，不考虑光学波对比热容的贡献合理吗？ 解答：王矜奉 3.1.17，中南大学 3.1.17）
参考《固体物理学》（3-84）式, 可得到光学波对热容贡献的表达式
.
在甚低温下, 对于光学波,
3.18 温度降到很低时。爱因斯坦模型与实验结果的偏差增大，但此时，德拜模型却与实验结果符合的 较好。试解释其原因。
解答：（王矜奉 3.1.16，18，中南大学 3.1.16,18）
按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为
, 属于光学支频率. 但光学
格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没
考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源.
在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是 声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低 温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符.
理论相符的事实说明, 玻恩 卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.
3.4 试说明在布里渊区的边界上 ( q = π / a)，一维单原子晶格的振动解 xn 不代表行波而代表驻波。
解答： 3.5 什么叫简正模式？简正振动数目、格波数目或格波模式数目是否是同一概念？ 解答：（王矜奉 3.1.3，中南大学 3.1.3）
3.20 石英晶体的热膨胀系数很小，问它的格林爱森常数有何特点？ 解答：（王矜奉 3.1.21，中南大学 3.1.21）
由本教科书(3.158)式可知, 热膨胀系数 与格林爱森常数 成正比. 石英晶体的热膨胀系数很小, 它 的格林爱森常数也很小. 格林爱森常数 大小可作为晶格非简谐效应大小的尺度. 石英晶体的格林爱森常 数很小, 说明它的非简谐效应很小.
第三章 晶体振动和晶体的热学性质 第三章 晶体振动和晶体的热学性质 3.1 相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？ 解答：（王矜奉 3.1.1，中南大学 3.1.1） 以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子 的振幅 A, 另一个原子振幅 B, 由《固体物理学》第 79 页公式，可得两原子振幅之比
, 上式简化为
.
以上两式中
是光学波的模式密度, 在简谐近似下, 它与温度无关. 在甚低温下,
是合理的.
, 即光学波对热容的贡献可以忽略. 也就是说, 在甚低温下, 不考虑光学波对热容的贡献
从声子能量来说, 光学波声子的能量 很大(大于短声学波声子的能量), 它对应振幅很大 的格波的振动, 这种振动只有温度很高时才能得到激发. 因此, 在甚低温下, 晶体中不存在光学波.
极化电场.
补充 3 你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？
解答：（王矜奉 3.1.14，中南大学 3.1.14）
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第三章 晶体振动和晶体的热学性质 实验已经证实, 离子晶体能强烈吸收远红外光波. 这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能 与远红外电磁场发生强烈耦合. 简单晶格中不存在光学波, 所以简单晶格不会吸收远红外光波.
补充 4 金刚石中的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率是否相等? 对 KCl 晶体, 结论又是什 么?
解答：（王矜奉 3.1.12，中南大学 3.1.12）
长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 电场的方向 是阻滞离子的位移, 使得有效恢复力系数变大, 对应的格波的频率变高. 长光学格横波不引起离子的位移, 不产生极化电场, 格波的频率不变. 金刚石不是离子晶体, 其长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波 频率相等. 而 KCl 晶体是离子晶体, 它的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率不相等, 长光学纵 波频率大于同波矢的长光学格横波频率.
补充 5 从图 3.6 所示实验曲线, 你能否判断哪一支格波的模式密度大? 是光学纵波呢, 还是声学纵波?
解答：（王矜奉 3.1.9，中南大 学 3.1.9）
从图 3.6 所示实验曲线可以看 出, 在波矢空间内, 光学纵波振动 谱线平缓, 声学纵波振动谱线较陡. 单位频率区间内光学纵波对应的波 矢空间大, 声学纵波对应的波矢空 间小. 格波数目与波矢空间成正比, 所以单位频率区间内光学纵波的格 波数目大. 而模式密度是单位频率 区间内的格波数目, 因此光学纵波 的模式密度大于声学纵波的模式密 度.
对应什么物理图象?
解答：（王矜奉 3.1.15，中南大学 3.1.15）
格波的频率 与 成正比.
说明该光学横波对应的恢复力系数
.
时, 恢复力
消失, 发生了位移的离子再也回不到原来的平衡位置, 而到达另一平衡位置, 即离子晶体结构发生了改变
(称为相变). 在这一新的结构中, 正负离子存在固定的位移偶极矩, 即产生了自发极化, 产生了一个稳定的
3.17 何谓极化声子？何谓电磁声子？ 解答：（王矜奉 3.1.13，中南大学 3.1.13）
长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 称长光学纵 波声子为极化声子.
由《固体物理学》式(3.80a)式可知, 长光学横波与电磁场相耦合, 使得它具有电磁性质, 人们称长 光学横波声子为电磁声子.
3.13 若考虑非线性相互作用，当晶格发生伸长或压缩的形变时，晶格振动的频率是否变化？如何变 化？
解答： 3.14 试简述固体中的非线性振动对固体的热膨胀、弹性模量、热容、热导、热阻等物理性质的影响。 解答： 3.15 喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？ 解答：（王矜奉 3.1.10，中南大学 3.1.10）
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第三章 晶体振动和晶体的热学性质
晶格振动谱的测定中, 光波的波长与格波的波长越接近, 光波与声波的相互作用才越显著. 喇曼 散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说, 该波长属于长波长范围. 因此, 喇曼散射是光子与长光学波 声子的相互作用. 长光学波声子的波矢很小, 相应的动量 不大. 而能产生倒逆散射的条件是光的入 射波矢 与散射波矢 要大, 散射角 也要大. 与 大要求波长小, 散射角 大要求 大(参见下 图), . 但对喇曼散射来说, 这两点都不满足. 即喇曼散射中，光子不会产生倒逆散射.
3.9 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多，还是温度低时的声子数目多？ 解答：（王矜奉 3.1.7，中南大学 3.1.7）
设温度 TH>TL, 由于( 子数目.
)小于(
), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声
3.10 由两种不同质量的原子组成的晶格，即使相邻原子间相互作用的恢复力常数相等，也将存在光学 波。试问：由质量相同的原子组成的晶格，若一个原子与两个近邻原子间有不同的恢复力常数，是否有光 学波存在？
3.19 绝对零度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗？
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第三章 晶体振动和晶体的热学性质 解答：（王矜奉 3.1.19，中南大学 3.1.19）
频率为 的格波的振动能为
其中
是由 个声子携带的热振动能, (
, )是零点振动能, 声子数
.
绝对零度时, =0. 频率为 的格波的振动能只剩下零点振动能.
频率为 的格波的(平均) 声子数为
, 即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.
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第三章 晶体振动和晶体的热学性质 按照德拜模型, 晶体中的声子数目 N’为
作变量代换
. ，
. 其中 是德拜温度. 高温时,
, 即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比.
低温时,
简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度 数之和, 即等于 3N.
3.6 有人说，既然晶格独立振动频率的数目等于晶体的自由度数，而 hv 代表一个声子。因此，对于一
给定的晶体，它所拥有声子的数目一定守恒。这种说法是否正确？ 解答：（王矜奉 3.1.5，中南大学 3.1.5）
,
,
即低温时, 晶体中的声子数目与 T 3 成正比.
3.7 长光学支格波与长声学支格波的本质上有何区别？ 解答：（王矜奉 3.1.4，中南大学 3.1.4）
长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频 率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动 频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但 简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.
3.8 同一温度下，一个光学波的声子数目与一个声学波的声子数目相同吗？ 解答：（王矜奉 3.1.6，中南大学 3.1.6）
频率为 的格波的(平均) 声子数为
.
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第三章 晶体振动和晶体的热学性质
因为光学波的频率 比声学波的频率 高, ( 下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.
)大于(
), 所以在温度一定情况
（2）与实验结果吻合得较好.
对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有 N 个原子构成
的的原子链, 硬性假定
的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不
符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力
验证(《固体物理学》§3.1 与§3.6). 玻恩 卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与
倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.
3.2 试说明格波和弹性波有何不同？ 解答：晶格中各个原子间的振动相互关系
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第三章 3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？ 解答：（王矜奉 3.1.2，中南大学 3.1.2） （1）方便于求解原子运动方程.
晶体振动和晶体的热学性质
由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的 两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原 子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子 的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的 困难.
3.16 长声学波能否导致离子晶体的宏观极化？ 解答：（王矜奉 3.1.11，中南大学 3.1.11）
长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子) 产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离 子晶体的宏观极化.
补充 1 温度很低时, 声子的自由程很大, 当
时,
成为热超导材料? 解答：（王矜奉 3.1.20，中南大学 3.1.20）
,问
时, 对于无限长的晶体, 是否
对于电绝缘体, 热传导的载流子是声子. 当 还是短, 都自动成为热绝缘材料.
时, 声子数 n . 因此,
时, 不论晶体是长
补充 2 对于光学横波,
为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非 线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由 N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成 3N 个独 立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做 振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这 3N 个简正振 动模式的线形迭加.
(1) 其中 m 原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别 为
, (2)
. (3) 将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为
,
(4)
由于
.
(5)
=Baidu Nhomakorabea
，
则由(4)(5)两式可得, B A = 1. 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数
解答： 3.11 高频线性谐振子和低频线性谐振子中，在高温区和低温区哪个队热容的贡献大？ 解答： 3.12 在低温下，不考虑光学波对比热容的贡献合理吗？ 解答：王矜奉 3.1.17，中南大学 3.1.17）
参考《固体物理学》（3-84）式, 可得到光学波对热容贡献的表达式
.
在甚低温下, 对于光学波,
3.18 温度降到很低时。爱因斯坦模型与实验结果的偏差增大，但此时，德拜模型却与实验结果符合的 较好。试解释其原因。
解答：（王矜奉 3.1.16，18，中南大学 3.1.16,18）
按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为
, 属于光学支频率. 但光学
格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没
考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源.
在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是 声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低 温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符.
理论相符的事实说明, 玻恩 卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.
3.4 试说明在布里渊区的边界上 ( q = π / a)，一维单原子晶格的振动解 xn 不代表行波而代表驻波。
解答： 3.5 什么叫简正模式？简正振动数目、格波数目或格波模式数目是否是同一概念？ 解答：（王矜奉 3.1.3，中南大学 3.1.3）