天津专用2020届高考数学一轮第七章不等式.不等式及其解法
,
5 a
,
从而有
5 a
1 a
1 3
,
5 3
,
此方程组无解.
当a<0时,不等式的解集为 a5 ,
2
2.(2017天津文,2,5分)设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 本题考查不等式的解法及充分、必要条件的判断. 由2-x≥0,得x≤2; 由|x-1|≤1,得-1≤x-1≤1,即0≤x≤2, 因为[0,2]⫋(-∞,2], 所以“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件,故选B.
10
2
C.
10
4.(2017北京理,13,5分)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整
数a,b,c的值依次为
.
答案 -1,-2,-3(答案不来自一)解析 答案不唯一,如:a=-1,b=-2,c=-3,满足a>b>c,但不满足a+b>c.
11
考点二 不等式的解法
= lg 0.2 lg 2
=log20.2,∴b- ba =log20.3-log20.2=log2 32 <1,∴b<1+ ba ⇒ab<a+b,排除A.故选B.
解法二:易知0<a<1,b<-1,∴ab<0,a+b<0,
∵ 1a + b1 =log0.30.2+log0.32=log0.30.4<1,
即 a b <1,∴a+b>ab,
ab
∴ab<a+b<0.故选B.
9
3.(2016北京理,5,5分)已知x,y∈R,且x>y>0,则 ( )
A. 1 - 1 >0 B.sin x-sin y>0 xy
C.
1 2
x
-
1 2
y
<0
D.ln x+ln y>0
x
x y xy
上不单调,当x>y>0时,不能比较sin x与sin y的大小,故B错误;当x>0且y>0时,ln x+ln y>0⇔ln(xy)>
0⇔xy>1,而x>y>0⇒ / xy>1,故D错误.
一题多解 解决这个问题可用特殊值法,如取x=1,y= 1 可排除A、D;取x=π,y= 知B错误.故选
5
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 不等式的概念和性质
1.(2019课标Ⅰ理,4,5分)
古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 1 2
5 1≈0.618,称为黄金分割比例 ,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至 2
咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5 1.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长 2
答案 B 解法一:∵a=log0.20.3>log0.21=0,b=log20.3<log21=0,∴ab<0,排除C. ∵0<log0.20.3<log0.20.2=1,log20.3<log20.5=-1,即0<a<1,b<-1,∴a+b<0,排除D.
∵ b = log2 0.3 a log0.2 0.3
五年高考
A组 自主命题·天津卷题组
考点一 不等式的概念和性质
(2014天津理,7,5分)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 C 先证“a>b”⇒“a|a|>b|b|”.若a>b≥0,则a2>b2,即a|a|>b|b|;若a≥0>b,则a|a|≥0>b|b|; 若0>a>b,则a2<b2,即-a|a|<-b|b|,从而a|a|>b|b|.再证“a|a|>b|b|”⇒“a>b”.若a,b≥0,则由a|a|>b|b |,得a2>b2,故a>b;若a,b≤0,则由a|a|>b|b|,得-a2>-b2,即a2<b2,故a>b;若a≥0,b<0,则a>b.综上, “a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.
为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是 ( )
A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm
6
答案 B 本题主要考查学生的数学应用意识、抽象概括能力、运算求解能力,以及方程思
想;考查的核心素养为数学抽象、数学建模以及数学运算.
由人体特征可知,头顶至咽喉的长度应小于头顶至脖子下端的长度,故咽喉至肚脐的长度应小
≈0.618,c<26,b>105,c+d=a,设此人身高为h
cm,则a+b=h,由
b a
105,
0.618b⇒a>64.
89,
由
c c
26, 0.618d
⇒d<42.07,
所以c+d<26+42.07=68.07,即a<68.07,
由
a a
68.07, 0.618b
2)
5,
解得x≥2或x≤-3.
故原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.
21
6.(2014湖南理,13,5分)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为 x - 5 <x< 1 ,则a=
.
33
答案 -3
解析
依题意,知a≠0.|ax-2|<3⇔-3<ax-2<3⇔-1<ax<5,当a>0时,不等式的解集为 1a
13
2.(2015湖北文,6,5分)函数f(x)= 4 | x | +lg x2 5x 6 的定义域为 ( ) x3
A.(2,3) B.(2,4] C.(2,3)∪(3,4] D.(-1,3)∪(3,6]
4 | x | 0,
答案
C
要使函数f(x)有意义,需满足
x2
x
4
4.(2019天津文,10,5分)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为
.
答案
1,
2 3
解析 3x2+x-2<0⇔(x+1)(3x-2)<0,所以-1<x< 2 .
3
方法总结 求解一元二次不等式,常借助二次函数图象,首先确定图象与x轴的交点,然后由图
象位于x轴上方或下方的部分确定不等式的解集.
答案
C
函数y=
1 2
x
在(0,+∞)上为减函数,∴当x>y>0时,
1 2
x
<
1 2
y
,即
1 2
x
-
1 2
y
<0,故C正
确;函数y= 1 在(0,+∞)上为减函数,∴由x>y>0⇒ 1< 1⇒ 1- 1<0,故A错误;函数y=sin x在(0,+∞)
3
3.(2015天津理,4,5分)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A |x-2|<1⇔-1<x-2<1⇔1<x<3;x2+x-2>0⇔x<-2或x>1.由于(1,3)⫋(-∞,-2)∪(1,+∞),所 以“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分而不必要条件.
20
5.(2014广东理,9,5分)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为
.
答案 {x|x≤-3或x≥2}
解析
原不等式等价于
x 1, (x 1)
(x
2)
5
或
2 x 1, (x 1) (x
2)
5
或
x 2, (x 1)
(x
1 2
= 18 ,log2(a+
22
b)=log2 52 ∈(1,2),由此可知A,C,D都不正确,只有B正确,故选B.
解后反思 比较两数(代数式)大小的常用方法:①作差法;②作商法;③单调性法,适用于指数
式、对数式等的大小比较;④中间值法,常用的中间值有0,1和-1等;⑤特值法,此方法可在选择
题中使用.
5x 3
6
0,
| x | 4,
即
(x
3)(x x3
2)
0,
解得2<x<3或3<x≤4,故选C.
14
3.(2017上海,3,5分)不等式 x 1 >1的解集为
.
x
答案 (-∞,0)
解析 由 x 1 >1得
x
1- 1 >1⇒ 1<0⇒x<0,
x
x
故不等式的解集为(-∞,0),
17
2.(2016浙江理,8,5分)已知实数a,b,c. ( ) A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100 B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100 C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100 D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100 答案 D 利用特值法验证.令a=3,b=3,c=-11.5,排除A;令a=4,b=-15.5,c=0,排除B;令a=11,b=-10. 5,c=0,排除C,故选D.
2020届高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本不等式及不等式的应用教师用书(PDF,含解析)
（
ｘ－２ｙ）
２
＋ （
１６ ｘ－２ｙ）
２
≥８，当
４ｙ
＝
ｘ，ｘ－
２ｙ
＝
±
２
时取等号．
１－２ （２０１８ 浙江诸暨高三上学期期末，１６） 已知 ａ，ｂ 都是
正数，且 ａ２ ｂ ＋ ａｂ２ ＋ ａｂ ＋ ａ ＋ ｂ ＝ ３， 则 ２ａｂ ＋ ａ ＋ ｂ 的 最 小 值 等
于 ．
１－２ 答案 ４ ２ －３ 解析 将 ａ２ ｂ ＋ａｂ２ ＋ａｂ ＋ａ ＋ｂ ＝ ３ 变形为（ ａｂ ＋ １） （ ａ ＋ ｂ ＋ １）
( ) [ ] ａ＋１１＋ｂ＋１１
－３ ＝
１＋２＋
２（ ｂ＋ １） ａ＋１
＋ａｂ＋＋１１
－３≥３＋２ ２ －３ ＝ ２ ２ ，
当且仅当２（ａｂ＋＋１１） ＝ ａｂ＋＋１１时取等号．故选 Ｂ．
答案 Ｂ
１－１ （２０１８ 浙江新高考调研卷三（ 杭州二中） ，１６） 已知 ｘ＞
３ｙ＞
０
或
ｘ＜
３ｙ＜
最小值，是 ２ Ｐ ．
（２） 已知 ｘ、ｙ∈Ｒ＋ ，如果 ｘ＋ｙ 是定值 Ｓ，那么当 ｘ ＝ ｙ 时，ｘｙ 有
最大值，是
１ ４
Ｓ２ ．
考点二 不等式的综合应用
高频考点
１．不等式证明的常用方法 （ １） 分析法与综合法 令字母 Ａ、Ａ１ 、Ａ２ 、…、Ａｎ 、Ｂ 分别表示一个不等式，其中 Ｂ 为
对应学生用书起始页码 Ｐ１３８
若有 Ａ⇔Ａ１ ⇔Ａ２ ⇔…⇔Ａｎ ⇔Ｂ，综合法是由 Ｂ 前进式地推导 出 Ａ，分析法则是由 Ａ 倒退式地分析得到 Ｂ．用分析法时，必须步
步充分．
（ ２） 反证法
从否定结论出发，经过逻辑推理，得出矛盾，证实结论的否
(课标专用)2020届高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本不等式及不等式的应用教师用书文(PDF,含解析)
Ａ．－４
Ｂ．８
Ｃ．４
Ｄ．０
（２） （２０１８ 湖北荆州一模，１４） 已知实数 ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０， ２ 是 ８ａ
与 ２ｂ 的等比中项，则 １ ＋ ２ 的最小值是 ａｂ
．
１
解析 （１） 由 ｌｏｇ １ ｘ＞１，得 ０＜ｘ＜ ，从而得到－１＜２ｘ－１＜０，
２
２
[ ] 则
ｙ
＝
８ｘ ＋２ｘ１－ １
ｘ）
＝
ｘ２
＋３ｘ＋６ ｘ＋１
＝
（
ｘ＋１） ２ ＋ｘ＋１＋４ ｘ＋１
＝
ｘ＋
１ ＋ ｘ ＋４ １ ＋ １，
( 因为 ｘ＞０，所以 ｘ＋１＞０，则 ｘ＋１＋ｘ＋４１＋１≥２ ４ ＋１ ＝ ５ 当且仅
) 当
ｘ＋１
＝
４
ｘ＋
，即 １
ｘ
＝
１
时取“
＝
”
，故 ｆ（ ｘ） 的最小值是 ５．故答案
为 Ｄ．
１－３ 已知 ｘ＞２，ｙ＞３，（ ｘ－２） （ ｙ－３）＝ ４，则 ｘ＋ｙ 的最小值是
对于
Ｄ，当
０＜ｘ≤２
时，ｙ ＝ ｘ－
１ ｘ
单调递增，所以当
ｘ＝
２
－２ （２０１９ 安徽黄山第一次质量检测（ 一模） ，８） 已知ｆ（ ｘ）
＝
ｘ２
＋３ｘ＋ ｘ＋１
６（
ｘ＞０）
，则
ｆ（
ｘ）
的最小值是
（ ）
Ａ．２
Ｂ．３
Ｃ．４
Ｄ．５
１－２ 答案 Ｄ
解析
ｆ（
２．基本不等式的变形 （１） ａ２ ＋ｂ２ ≥２ａｂ（ ａ，ｂ∈Ｒ） ，当且仅当 ａ ＝ ｂ 时取等号．
2020版高考数学大一轮复习 第七章不等式 教案(含解析)
2020版高考数学大一轮复习第七章 不等式 §7.1 不等关系与不等式最新考纲1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝ba －b <0⇔a <b(a ，b ∈R )(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b ab ＝1⇔a ＝ba b <1⇔a <b(a ∈R ，b >0)2．不等式的基本性质概念方法微思考1．若a >b ，且a 与b 都不为0，则1a 与1b的大小关系确定吗？提示 不确定．若a >b ，ab >0，则1a <1b，即若a 与b 同号，则分子相同，分母大的反而小；若a >0>b ，则1a >1b，即正数大于负数．2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示 可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( √ ) (2)若a b>1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (4)a >b >0，c >d >0⇒a d >b c.( √ ) (5)ab >0，a >b ⇔1a <1b.( √ )题组二 教材改编2．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析a －b >0⇒a >b ⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0⇏a －b >0.3．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －c <b －d B ．ac <bd C ．a ＋c >b ＋dD ．a ＋d >b ＋c答案 C解析 由同向不等式具有可加性可知C 正确． 题组三 易错自纠4．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c －b d >0 B.a c －b d <0 C.a d >b cD.a d <b c答案 D解析 ∵c <d <0，∴0<－d <－c ， 又0<b <a ，∴－bd <－ac ，即bd >ac ， 又∵cd >0，∴bd cd >ac cd ，即b c >ad. 5．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．故选A.6．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是__________．答案 (－π，0)解析 由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<α－β<0.题型一 比较两个数(式)的大小例1(1)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b与q ＝a ＋b 的大小关系为( )A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q答案 B解析 (作差法)p －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1b＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a )ab，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0. 若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ； 若a ≠b ，则p －q <0，故p <q . 综上，p ≤q .故选B.(2)已知a >b >0，比较a a b b与a b b a的大小．解 ∵a a b b a b b a ＝a a －b b a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b，又a >b >0，故ab>1，a －b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b>1，即a a b ba b b a >1，又a b b a >0，∴a a b b >a b b a，∴a a b b 与a b b a 的大小关系为：a a b b >a b b a. 思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法．跟踪训练1(1)已知p ∈R ，M ＝(2p ＋1)(p －3)，N ＝(p －6)(p ＋3)＋10，则M ，N 的大小关系为________． 答案 M >N解析 因为M －N ＝(2p ＋1)(p －3)－[(p －6)(p ＋3)＋10]＝p 2－2p ＋5＝(p －1)2＋4>0，所以M >N .(2)若a >0，且a ≠7，则( )A ．77a a <7a a 7B ．77a a＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a 与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 77a a 7a a 7＝77－a a a －7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a ，则当a >7时，0<7a<1，7－a <0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a >1，∴77a a >7a a 7； 当0<a <7时，7a>1，7－a >0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a >1，∴77a a >7a a 7. 综上，77a a>7a a 7. 题型二 不等式的性质例2(1)对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2C ．若ac 2>bc 2，则a >b D ．若a >b ，则1a <1b答案 C解析 对于选项A ，当c <0时，不正确； 对于选项B ，当c ＝0时，不正确；对于选项C ，∵ac 2>bc 2，∴c ≠0，∴c 2>0，∴一定有a >b .故选项C 正确； 对于选项D ，当a >0，b <0时，不正确．(2)已知四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ； ④a >b >0，能推出1a <1b的是________．(填序号)答案 ①②④解析 运用倒数法则，a >b ，ab >0⇒1a <1b，②④正确．又正数大于负数，所以①正确．思维升华常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．跟踪训练2(1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0答案 A解析 由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立． (2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有________．(填序号) 答案 ①④解析 因为1a <1b<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ， 因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④. 题型三 不等式性质的应用命题点1 应用性质判断不等式是否成立 例3已知a >b >0，给出下列四个不等式： ①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④答案 A解析 方法一 由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立；∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35，2a 2b ＝36，a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立．故选A.方法二 令a ＝3，b ＝2， 可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A.命题点2 求代数式的取值范围例4已知－1<x <4，2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________． 答案 (－4，2) (1，18)解析 ∵－1<x <4，2<y <3，∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2.由－1<x <4，2<y <3，得－3<3x <12，4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18. 引申探究若将本例条件改为－1<x ＋y <4，2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围． 解 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4，2<x －y <3， ∴－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232.思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法 ①逐一给出推理判断或反例说明．②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． (2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3(1)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a －b >1bB ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1 D ．a n>b n答案 C解析 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确； C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故选C.(2)已知－1<x <y <3，则x －y 的取值范围是________． 答案 (－4，0)解析 ∵－1<x <3，－1<y <3， ∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4. 又∵x <y ，∴x －y <0， ∴－4<x －y <0，故x －y 的取值范围为(－4，0)．一、选择题1．下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<b c2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d 答案 C解析 A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误； B 项，当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，所以B 错误； C 项，因为a c 2<b c2，所以c ≠0，又c 2>0，所以a <b ，C 正确；D 项，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误，故选C. 2．若1a <1b<0，则下列结论正确的是( )A ．a 2>b 2B ．1>⎝ ⎛⎭⎪⎫12b >⎝ ⎛⎭⎪⎫12aC.b a ＋a b<2 D ．a e b>b e a答案 D解析 由题意知，b <a <0，则a 2<b 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >1，b a ＋a b >2，∵b <a <0，∴e a>e b>0，－b >－a >0 ∴－b e a>－a e b，∴a e b>b e a，故选D.3．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b>b －1aD.2a ＋b a ＋2b >ab答案 A解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立，故选A.4．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xz D ．x |y |>z |y |答案 C解析 ∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0， ∴3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0， ∴x >0，z <0， 又y >z ，∴xy >xz .5．设x >0，P ＝2x＋2－x，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则( ) A ．P >QB ．P <QC ．P ≤QD ．P ≥Q答案 A解析 因为2x ＋2－x ≥22x ·2－x＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2； 又(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ，而sin2x ≤1， 所以Q ≤2.于是P >Q .故选A.6．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是( )A ．－π<2α－β<0B ．－π<2α－β<πC ．－3π2<2α－β<π2D ．0<2α－β<π答案 C解析 ∵－π2<α<π2，∴－π<2α<π.∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2，∴－3π2<2α－β<3π2.又α－β<0，α<π2，∴2α－β<π2.故－3π2<2α－β<π2.7．已知a ＋b >0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是________．答案 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2 ＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 8．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②a c >bc；③a 2>b 2，其中能成为a >b 的充分条件的是________． 答案 ①解析 由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a <b ；③当a <0，b <0时，a <b ，故②③不是a >b 的充分条件． 9．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0， ∴c a －d b ＝bc －adab>0，∴①正确；∵ab >0，又c a －db>0，即bc －adab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确； ∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －adab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．10．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________． 答案 T 1<T 2解析 T 1－T 2＝(cos1cos α－sin1sin α)－(cos1cos α＋sin1sin α)＝－2sin1sin α<0.故T 1<T 2.11．(1)若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋dd； (2)已知c >a >b >0，求证：ac －a >bc －b.证明 (1)∵bc ≥ad ，bd >0，∴c d ≥ab， ∴c d ＋1≥a b ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋dd. (2)∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.⎭⎪⎬⎪⎫由a >b >0⇒1a <1b ，c >0⇒c a <c b⇒⎭⎪⎬⎪⎫c －a a <c －b b ，c －a >0，c －b >0⇒a c －a >bc －b .12．已知1<a <4，2<b <8，试求a －b 与a b的取值范围． 解 因为1<a <4，2<b <8， 所以－8<－b <－2. 所以1－8<a －b <4－2， 即－7<a －b <2. 又因为18<1b <12，所以18<a b <42＝2，即18<a b<2.13．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1 B ．12log b <12log a <0C ．2b <2a<2 D ．a 2<ab <1答案 C解析 方法一 (特殊值法)：取b ＝14，a ＝12.方法二 (单调性法)： 0<b <a ⇒b 2<ab ，A 不对；y ＝12log x 在(0，＋∞)上为减函数，∴12log b >12log a ，B 不对；a >b >0⇒a 2>ab ，D 不对，故选C.14．若a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案 B解析 方法一 对于函数y ＝f (x )＝ln x x (x >e)，y ′＝1－ln xx2， 易知当x >e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .方法二 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln44ln3＝log 8164<1，所以a >b ；b c ＝5ln44ln5＝log 6251024>1，所以b >c .即c <b <a .15．已知实数x ，y 满足a x >a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) B ．sin x >sin y C ．x 3<y 3 D.1x 2＋1>1y 2＋1答案 C解析 方法一 因为实数x ，y 满足a x >a y(0<a <1)， 所以x <y .对于A ，取x ＝0，y ＝3，不成立； 对于B ，取x ＝－π，y ＝π，不成立；对于C ，由于f (x )＝x 3在R 上单调递增，故x 3<y 3成立； 对于D ，取x ＝－2，y ＝1，不成立．故选C.方法二 根据指数函数的性质得x <y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，D 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C 中的不等式成立．16．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ln b >b ln a B ．a ln b <b ln a C ．a e b<b e aD ．a e b＝b e a答案 B解析 观察A ，B 两项，实际上是在比较ln b b 和ln a a 的大小，引入函数y ＝ln xx，0<x <1.则y ′＝1－ln x x 2，可见函数y ＝ln x x 在(0，1)上单调递增．所以ln b b <ln a a，B 正确．对于C ，D 两项，引入函数f (x )＝e x x ，0<x <1，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2<0，所以函数f (x )＝e xx在(0，1)上单调递减，又因为0<b <a <1，所以f (a )<f (b )，即e a a <e bb，所以a e b >b e a，故选B.2020版高考数学大一轮复习第七章不等式§7.2一元二次不等式及其解法最新考纲1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.3.会解一元二次不等式．一元二次不等式的解集概念方法微思考1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x 的取值范围．2．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件是什么？ 提示 显然a ≠0.ax 2＋bx ＋c >0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × ) (5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ )题组二 教材改编2．已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( ) A ．{x |－2<x <3} B ．{x |－2≤x ≤3} C ．{x |x <－2}∪{x |x >3} D ．{x |x ≤－2}∪{x |x ≥3} 答案 B解析 ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0，∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}．故选B.3．y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.题组三 易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 答案 (－4，1)解析 由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0， 得－4<x <1.5．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b ＝________.答案 －14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b 3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.6．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－2，2] C ．(－2，2) D ．(－∞，2) 答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，∴－2<a <2，另a ＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立， ∴－2<a ≤2.故选B.题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参的不等式例1(2019·乌鲁木齐模拟)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{y |y ＝2x}，则A ∩B 等于( ) A ．(－1，2) B ．(－2，1) C ．(0，1) D ．(0，2)答案 D解析 由题意得A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{y |y ＝2x}＝{y |y >0}， ∴A ∩B ＝{x |0<x <2}＝(0，2)．故选D. 命题点2 含参不等式例2解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.所以当a >1时，解为1a<x <1； 当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解为1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. 思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 跟踪训练1解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )． 解 原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a4，＋∞. 题型二 一元二次不等式恒成立问题 命题点1 在R 上的恒成立问题例3已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围． 解 当m ＝0时，f (x )＝－1<0恒成立．当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.综上，－4<m ≤0，故m 的取值范围是(－4，0]． 命题点2 在给定区间上的恒成立问题例4已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1，3]，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1，3]上恒成立．有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]．当m >0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 引申探究1．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“f (x )<5－m 无解”，如何求m 的取值范围？ 解 若f (x )<5－m 无解，即f (x )≥5－m 恒成立， 即m ≥6x 2－x ＋1恒成立，又x ∈[1，3]，得m ≥6，即m 的取值范围为[6，＋∞)．2．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“存在x ，使f (x )<5－m 成立”，如何求m 的取值范围？ 解 由题意知f (x )<5－m 有解， 即m <6x 2－x ＋1有解，则m <⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 2－x ＋1max，又x ∈[1，3]，得m <6，即m 的取值范围为(－∞，6)． 命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1，2]恒成立，求实数x 的取值范围．解 设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1，2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，解得1－32<x <1＋32，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.思维升华解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． 跟踪训练2函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x ∈[－2，2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a ∈[4，6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， ∴实数a 的取值范围是[－6，2]．(2)当x ∈[－2，2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图①，当g (x )的图象与x 轴不超过1个交点时， 有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图②，g (x )的图象与x 轴有2个交点， 但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x ＝－a2<－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a >4，a ≤73，解得a ∈∅.③如图③，g (x )的图象与x 轴有2个交点， 但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x ＝－a2>2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2>2，7＋a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a <－4，a ≥－7.∴－7≤a <－6，综上，实数a 的取值范围是[－7，2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4，6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6. ∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |(x ＋1)(x －5)<0}，则A ∩B 等于( ) A ．[－1，4) B ．[0，5)C ．[1，4]D ．[－4，－1)∪ [4，5)答案 B解析 由题意得B ＝{x |－1<x <5}，故A ∩B ＝{x |x ≥0}∩{x |－1<x <5}＝[0，5)． 故选B.2．(2018·沈阳二十中联考)若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}答案 A解析 ∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，∴ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1，2，且a <0，即－1＋2＝－b a，(－1)×2＝2a，解得a ＝－1，b ＝1，则所求不等式可化为2x 2＋x－1>0，解得x <－1或x >12，故选A.3．若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3，0)B ．[－3，0]C ．[－3，0)D ．(－3，0]答案 A解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.4．若存在实数x ∈[2，4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值范围为( ) A ．(13，＋∞) B ．(5，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．(－∞，13)答案 B解析 m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2，4]，当x ＝2时f (x )min ＝5，∃x ∈[2，4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.故选B.5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4，1] B ．[－4，3] C ．[1，3] D ．[－1，3]答案 B解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3. 6．不等式x 2－2ax －3a 2<0(a >0)的解集为________． 答案 {x |－a <x <3a }解析 x 2－2ax －3a 2<0⇔(x －3a )(x ＋a )<0， ∵a >0，∴－a <3a ，不等式的解集为{x |－a <x <3a }． 7．(2018·烟台联考)不等式x >1x的解集为________．答案 (－1，0)∪(1，＋∞)解析 当x >0时，原不等式等价于x 2>1，解得x >1；当x <0时，原不等式等价于x 2<1，解得－1<x <0.所以不等式x >1x的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)．8．若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－4，0)解析 因为x 2－ax －a >0的解集为R ，所以Δ＝(－a )2－4(－a )<0，解得－4<a <0，故实数a 的取值范围是(－4，0)． 9．不等式xx ＋1≤0的解集为________．答案 (－1，0] 解析 由xx ＋1≤0得x (x ＋1)≤0(x ≠－1)，解得－1<x ≤0.10．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0，1]恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 [－5，＋∞)解析 由题意，分离参数后得，a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x .设f (x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，x ∈(0，1]，则只要a ≥[f (x )]max 即可．由于函数f (x )在区间(0，1]上单调递增， 所以[f (x )]max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5. 11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值． 解 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0， 即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.12．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0，5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1，1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围．解 (1)f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0，5)，即2x 2＋bx ＋c <0的解集是(0，5)，∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根， 由根与系数的关系知，－b 2＝5，c2＝0，∴b ＝－10，c ＝0，f (x )＝2x 2－10x .(2)f (x )＋t ≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立， ∴2x 2－10x ＋t －2在x ∈[－1，1]上的最大值小于或等于0. 设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，x ∈[－1，1]，则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1，1]上为减函数， ∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ， ∴10＋t ≤0，即t ≤－10.13．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－235答案 A解析 由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故选A.14．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，5]解析 设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ， 当Δ＝4(a －2)2－4a <0时，即1<a <4时，f (x )>0对x ∈R 恒成立；当a ＝1时，f (－1)＝0，不合题意； 当a ＝4时，f (2)＝0符合题意； 当Δ>0时，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，1<a －2<5，f (1)≥0，f (5)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <1或a >4，3<a <7，a ≤5，a ≤5，即4<a ≤5.综上所述，实数a 的取值范围是(1，5]．15．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(－3，5) B ．(－2，4) C ．[－1，3] D ．[－2，4]答案 C解析 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }， 当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或1>a ≥－1，所以实数a 的取值范围是a ∈[－1，3]，故选C.16．设a <0，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为( ) A.12B.13C.14D.22 答案 C解析 当a <b <0时，∀x ∈(a ，b )，2x ＋b <0， 所以(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立， 可转化为∀x ∈(a ，b )，a ≤－4x 2， 所以a ≤－4a 2，所以－14≤a <0，所以0<b －a <14；当a <0<b 时，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，当x ＝0时，(4x 2＋a )(2x ＋b )＝ab <0，不符合题意； 当a <0＝b 时，由题意知x ∈(a ，0)，(4x 2＋a )2x ≥0恒成立， 所以4x 2＋a ≤0，所以－14≤a <0，所以b －a ≤14.综上所述，b －a 的最大值为14.2020版高考数学大一轮复习第七章 不等式 §7.3 基本不等式及其应用最新考纲1.探索并了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值． 2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x无最小值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × )(2)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．( √ ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二 教材改编2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80B ．77C ．81D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max＝81.3．若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2.因为x ，1x同号，所以若x ＋1x≥2，则x >0，1x>0，所以“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的充要条件，故选C. 5．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．4 答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C. 6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1x＝15⎝⎛⎭⎪⎫4＋9＋3y x ＋12x y≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12xy，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5.故选D.题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 配凑法例1(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． 命题点2 常数代换法例2(2019·大连模拟)已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，满足a m a 2n ＝a 24(m ，n ∈N *)，则2m ＋1n的最小值为( )A ．1B.32C ．2D.92答案 A解析 由题意可得，a 1＝q ， ∵a m a 2n ＝a 24， ∴a 1·qm －1·(a 1·qn －1)2＝(a 1·q 3)2，即q m·q 2n＝q 8， 即m ＋2n ＝8.∴2m ＋1n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ×18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋m n ＋4n m ＋2×18≥()4＋24×18＝1.当且仅当m ＝2n 时，即m ＝4，n ＝2时，等号成立． 命题点3 消元法例3已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b a ＋b ( )A ．有最大值145B ．有最小值145C ．有最小值3D ．有最大值3答案 B解析 ∵a 2－b ＋4≤0，∴b ≥a 2＋4， ∴a ＋b ≥a 2＋a ＋4. 又∵a ，b >0，∴aa ＋b ≤aa 2＋a ＋4，∴－aa ＋b≥－aa 2＋a ＋4，∴u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－a a 2＋a ＋4＝3－1a ＋4a＋1≥3－12a ·4a＋1＝145， 当且仅当a ＝2，b ＝8时取等号．故选B.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法．跟踪训练1(1)(2019·四平质检)设x >0，y >0，若x lg2，lg 2，y lg2成等差数列，则1x ＋9y的最小值为( )A ．8B ．9C ．12D ．16 答案 D解析 ∵x lg2，lg 2，y lg2成等差数列， ∴2lg 2＝(x ＋y )lg2，∴x ＋y ＝1. ∴1x ＋9y＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ≥10＋2y x ·9xy＝10＋6＝16， 当且仅当x ＝14，y ＝34时取等号，故1x ＋9y的最小值为16.故选D.(2)若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c的最小值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 B解析 ∵a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2， ∴a ＋b ＋c ＋1＝3， 且a ＋1>0，b ＋c >0. ∴4a ＋1＋1b ＋c ＝13·(a ＋1＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1＋1b ＋c ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4(b ＋c )a ＋1＋a ＋1b ＋c ≥13(5＋4)＝3. 当且仅当a ＋1＝2(b ＋c )，即a ＝1，b ＋c ＝1时，等号成立．故选B. 题型二 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4(2018·重庆诊断)已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，过第一象限内圆O 外的点P (a ，b )作圆O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若PO →·PA →＝8，则a ＋b 的最大值为( )A ．3B ．3 2C ．4 2D ．6答案 B解析 根据题意，结合向量数量积的定义式， 可求得PO →·PA →＝|PA →|2＝8，所以可求得|PO |2＝9， 即a 2＋b 2＝9，结合基本不等式， 可得a ＋b ≤2(a 2＋b 2)＝32，当且仅当a ＝b ＝322时取等号，故选B.命题点2 求参数值或取值范围例5(2018·中山模拟)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 B解析 已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋a y的最小值大于或等于9， ∵1＋a ＋y x ＋axy≥a ＋2a ＋1， 当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.思维升华求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练2(1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin Bsin C 的最小值为( )A.32B.334C.32D.53答案 C解析 由△ABC 的面积为2，所以S ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得 2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋bc＝2cb b (c ＋2b )＋b 2bc＝168＋2b 2＋b 28＝84＋b 2＋b 2＋48－12。
大高考2020版高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第二节不等式的解法课件理
综上所述：m 的取值范围是m|m<67.
法二 因为 x2－x＋1＝x－122＋34>0，
又因为
m(x2－x＋1)－6<0，所以
6 m<x2－x＋1.
高考AB卷
学法大视野
因为函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1，3]上的最小值为67，所 以只需 m<67即可. 所以，m 的取值范围是mm<67.
高考AB卷
学法大视野
一元二次不等式与二次函数、二次方程根的交汇问题 【示例】 已知x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1＞0恒
成立，则m的取值范围是( )
A.2－2 2＜m＜2＋2 2 C.m＜2＋2 2
B.m＜2 D.m≥2＋2 2
高考AB卷
学法大视野
解析 令 t＝3x(t＞1)，则由已知得函数 f(t)＝t2－mt＋m＋1 的图 象在 t∈(1，＋∞)上恒在 x 轴的上方，则对于方程 f(t)＝0 有
(4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的
解集.
高考AB卷
学法大视野
2.三个“二次”间的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
二次函数 y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ＝0
有两相异实 有两相等实根 x1
高考AB卷
学法大视野
当 m>0 时，g(x)在[1，3]上是增函数，
所以 g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，
所以 m<67，则 0<m<67；当 m＝0 时，－6<0 恒成立；
【2020】高考数学一轮复习第七章不等式7 2不等式的解法对点训练理
编 辑：__________________
时 间：__________________
20xx高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.2 不等式的解法对点训练 理
1．设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( )
B.
C．[－6，－2]
D．[－4，－3]
答案C
解析∵当即当x∈[－2,1]时，不等式ax3≥x2－4x－3(*)恒成立．
(1)当x＝0时，a∈R.
(2)当0<x≤1时，由(*)得a≥ ＝ － － 恒成立．
设f(x)＝ － － ，则f′(x)＝－ ＋ ＋ ＝ ＝ .当0<x≤1时，x－9<0，x＋1>0，∴f′(x)>0，∴f(x)在(0,1]上单调递增．
当0<x≤1时，可知a≥f(x)max＝f(1)＝－6.
(3)当－2≤x<0时，由(*)得a≤ － － .
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝9(舍)．
∴当－2≤x<－1时，f′(x)<0，当－1<x<0时，f′(x)>0，
∴f(x)在[－2，－1)上递减，在(－1,0)上递增．
∴x∈[－2,0)时，f(x)min＝f(－1)＝－1－4＋3＝－2.
∴可知a≤f(x)min＝－2.
综上所述，当x∈[－2,1]时，实数a的取值范围为－6≤a≤－2.故选C.
3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若不等式f(x)<0的解集为 ，则f(ex)>0(e是自然对数的底数)的解集是( )
A．{x|x<－ln 2或x>ln 3}
2020届高考数学一轮复习第七章不等式7.4绝对值不等式教师用书(PDF,含解析)
������������������������������������������������������������������������
对应学生用书起始页码 Ｐ１４１
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结 合的思想；
方法二：利用“ 零点分段法” 求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数 与方程的思想． ２．绝对值三角不等式 （１）定理 １：如果 ａ，ｂ 是实数，则 ｜ ａ＋ｂ ｜ ≤ ｜ ａ ｜ ＋ ｜ ｂ ｜ ，当且仅当 ａｂ≥０ 时，等号成立． （２） 定理 ２：如果 ａ，ｂ，ｃ 是实数，那么 ｜ ａ－ｃ ｜ ≤ ｜ ａ－ｂ ｜ ＋ ｜ ｂ－ｃ ｜ ，当 且仅当（ ａ－ｂ） （ ｂ－ｃ） ≥０ 时，等号成立． （３）推论 １： ｜ ｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ｜ ≤ ｜ ａ＋ｂ ｜ ． （４）推论 ２： ｜ ｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ｜ ≤ ｜ ａ－ｂ ｜ ．
对应学生用书起始页码 Ｐ１４２
一、含绝对值的不等式的解法
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
当－１＜ｘ＜１
时，不等式化为
３ｘ－２＞０，解得
２ ３
＜ｘ＜１；
当 ｘ≥１ 时，不等式化为－ｘ＋２＞０，解得 １≤ｘ＜２．
{ } 所以 ｆ（ｘ） ＞１ 的解集为 ｘ
２ ３
＜ｘ＜２
2020届高考数学大一轮复习讲义：第七章 不等式 7.4 Word版含答案.doc
§7.4 基本不等式及其应用1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )． (2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ； 不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4.( × ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( × )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二 教材改编2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎡⎦⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 C解析 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2. 因为x ，1x 同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的充要条件，故选C.5．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1 D.32答案 A解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立． ∴函数的最小值为0.故选A.6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝⎛⎭⎫3y ＋1x ＝15⎝⎛⎭⎫4＋9＋3y x ＋12x y ≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12xy ，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5.故选D.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 通过配凑法利用基本不等式典例 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2解析 y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．命题点2 通过常数代换法利用基本不等式典例 (2017·河北衡水中学调研)若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2答案 C解析 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C.思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值． 跟踪训练 (1)若对任意x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 因为函数f (x )＝x ＋1x －1在[1，＋∞)上是增加的，所以函数g (x )＝x ＋1＋1x ＋1－2在[0，＋∞)上是增加的，所以函数g (x )在[1，＋∞)上的最小值为g (1)＝12，因此对任意x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )min ＝12，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. (2)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．答案23＋23解析 y x ＋1y ＝y x ＋x ＋2y 3y ＝y x ＋x 3y ＋23≥2y x ×x 3y ＋23＝23＋23，当且仅当y x ＝x 3y ，即x ＝3y 时等号成立，所以y x ＋1y 的最小值为23＋23.题型二 基本不等式的实际应用典例 (2017·淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得当0<x <80时，L (x )＝1 000x ×0.05－⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x －250 ＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－⎝⎛⎭⎫51x ＋10 000x －1 450－250 ＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x . ∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )max ＝950万元；当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－210 000＝1 000(万元)， 当且仅当x ＝100时，L (x )max ＝1 000万元，综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 跟踪训练 (2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． 答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元)． 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元． 因为3 600x＋4x ≥23 600x·4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．题型三 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题典例 (1)(2018届山东、湖北重点中学调研)已知函数f (x )＝lg x ，若a >b >0，有|f (a )|＝|f (b )|，则a 2＋(b i )2a －b (i 是虚数单位)的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 因为f (x )＝lg x ，由|f (a )|＝|f (b )|，可得a >1>b >0，所以lg a ＝－lg b ，得ab ＝1， 所以a 2＋(b i )2a －b ＝a 2－b 2a －b＝a ＋b ＝a ＋1a >2，故选C.(2)已知圆C 1：(x ＋2a )2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．9 答案 D解析 由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为(x ＋2a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －b )2＝1，圆心分别为(－2a,0)，(0，b )，半径分别为2和1，故有4a 2＋b 2＝1，∴4a 2＋b 2＝1，∴1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥5＋4＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b 2时，等号成立，∴1a 2＋1b 2的最小值为9.命题点2 求参数值或取值范围典例 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24 答案 B解析 由3a ＋1b ≥ma ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋ab ＋6. 又9b a ＋ab＋6≥29＋6＝12⎝⎛⎭⎫当且仅当9b a ＝a b ，即a ＝3b 时等号成立，∴m ≤12，∴m 的最大值为12.(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 解析 对任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立， 即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N ＋，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173， ∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. 思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练 (1)(2018届辽宁名校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ，c ＝3ab ，则ab 的最小值为________． 答案 13解析 在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π， 可知sin A ＝sin [π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，∴2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ， 化简得－2sin B cos C ＝sin B ， ∵sin B >0，∴cos C ＝－12，∵c ＝3ab ，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即9a 2b 2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立． ∴ab ≥13，则ab 的最小值为13.(2)(2018届江西新余第一中学模拟)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则1m ＋1n 的最小值为________．答案 4解析 ∵函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图像恒过定点A ，∴A (1,1)，∵点A 在直线mx ＋ny －1＝0上(m ，n >0)，∴m ＋n ＝1(m ，n >0)，∴1m ＋1n ＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝2＋n m ＋mn ≥2＋2n m ·mn＝4，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴1m ＋1n的最小值为4.利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x (x <0)的值域为________．现场纠错解析 (1)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y＝3＋y x ＋2xy ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－3x ≥1＋2 (－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为[1＋26，＋∞)．答案 (1)3＋22 (2)[1＋26，＋∞)纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件．1．(2017·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立，故选A.2．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，当且仅当x ＝12时，等号成立，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”， 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定， 故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．3．(2018·青岛质检)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5答案 C解析 依题意，得1a ＋4b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥12⎝⎛⎭⎫5＋2b a ·4a b ＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4ab ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92. 4．(2017·安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16 答案 B解析 由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2b ≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b，即a ＝22，b ＝2时等号成立．故选B. 5．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 答案 C解析 由1a ＋2b ＝ab 知，a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.6．(2018·平顶山一模)若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤15答案 A解析 因为对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对任意x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝⎛⎭⎫xx 2＋3x ＋1max ，而对任意x ∈(0，＋∞)， xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，∴a ≥15.7．已知2a ＋4b ＝2(a ，b ∈R )，则a ＋2b 的最大值为_______________． 答案 0解析 2a ＋4b ＝2a ＋22b ＝2≥22a ＋2b，2a＋2b≤1＝20，a ＋2b ≤0，当a ＝2b 时等号成立，所以a ＋2b 的最大值为0.8．(2017·襄阳一调)已知x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2y 的最小值为________．答案 92解析 ∵x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1， ∴x ＋1>0，且(x ＋1)＋2y ＝2， ∴1x ＋1＋2y ＝12[(x ＋1)＋2y ]⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋2y＝52＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y x ＋1＋2(x ＋1)y ≥52＋12×22y x ＋1·2(x ＋1)y ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＋1＝2(x ＋1)y ，x ＋2y ＝1，即⎩⎨⎧x ＝－13，y ＝23时取等号，故1x ＋1＋2y的最小值为92.9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)． 又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)． 综上可知，4≤x 2＋4y 2≤12.10．(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元． 答案 2 20解析 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元， 则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20， ∴运费与仓储费之和为⎝⎛⎭⎫5x ＋20x 万元， ∵5x ＋20x ≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 12．某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时．设f (x )＝t 1＋t 2. (1)求f (x )的解析式，并写出其定义域； (2)当x 等于多少时，f (x )取得最小值？ 解 (1)因为t 1＝9 000x ，t 2＝ 3 0003(100－x )＝1 000100－x，所以f (x )＝t 1＋t 2＝9 000x ＋1 000100－x ，定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N ＋}． (2)f (x )＝9 000x ＋1 000100－x＝10[x ＋(100－x )]⎝⎛⎭⎫9x ＋1100－x＝10⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋9(100－x )x＋x 100－x ，因为1≤x ≤99，x ∈N ＋， 所以9(100－x )x >0，x100－x >0，所以9(100－x )x ＋x100－x≥29(100－x )x ·x100－x＝6， 当且仅当9(100－x )x ＝x100－x ，即当x ＝75时取等号．即当x ＝75时，f (x )取得最小值．13．(2017·广东清远一中一模)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．16B ．9C ．6D ．1 答案 C解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b >0，1b ＝1－1a >0，∴b >1，a >1， 则1a －1＋9b －1≥29(a －1)(b －1)＝29ab －(a ＋b )＋1＝6(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)，∴1a －1＋9b －1的最小值为6，故选C.14．(2017·东莞调研)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为________．答案 8解析 y ＝log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)， 由A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， 可得－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.∴1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝n m ＋4m n ＋4≥24＋4＝8(当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立)．15．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值是( )A ．0B ．1 C.94 D ．3答案 B 解析xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.16．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________．答案 27解析 因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1.又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15.因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15≥26(a －1)×6a －1＋15＝27，当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)(b ＋2)的最小值为27.。
2020版高考数学一轮复习第七章不等式第三节基本不等式及其应用教案文(含解析)
第三节基本不等式及其应用1．基本不等式错误!≤错误!(1)基本不等式成立的条件：a＞0,b＞0.（2)等号成立的条件:当且仅当a＝b.2．几个重要的不等式(1）a2＋b2≥ 2ab(a,b∈R);(2）错误!＋错误!≥错误!（a,b同号）；（3）ab≤错误!2(a，b∈R）；(4）错误!2≤错误!(a，b∈R）．3．算术平均数与几何平均数设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为错误!，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则(1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p（简记:积定和最小）．(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是q2 4（简记:和定积最大)．[小题体验]1．(2019·南京调研)已知m，n均为正实数，且m＋2n＝1，则mn的最大值为________．解析：∵m＋2n＝1，∴m·2n≤错误!2＝错误!，即mn≤错误!，当且仅当m＝2n＝错误!时，mn取得最大值错误!。
答案：错误!2．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．解析:x2＋2y2＝x2＋（错误!y）2≥2x(错误!y)＝2错误!，所以x2＋2y2的最小值为22。
答案：2错误!3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2。
解析：设一边长为x m,则另一边长可表示为（10－x）m，由题知0＜x＜10，则面积S＝x(10－x）≤错误!2＝25,当且仅当x ＝10－x,即x＝5时等号成立,故当矩形的长与宽相等,且都为5 m时面积取到最大值25 m2。
答案:251．使用基本不等式求最值，“一正”“二定"“三相等”三个条件缺一不可．2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件,这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．[小题纠偏]1．(2019·启东检测)函数y＝x＋错误!（x＞1)的最小值为________．解析：∵x＞1，∴x－1＞0，∴y＝x＋9x－1＝（x－1）＋错误!＋1≥2错误!＋1＝7，当且仅当x＝4时取等号．答案：72．函数f（x)＝x＋错误!的值域为____________________．答案:（－∞,－2]∪[2，＋∞)考点一利用基本不等式求最值重点保分型考点——师生共研［典例引领]1．（2018·启东期末)设正实数a，b满足a＋b＝1，则错误!＋错误!的最小值为________．解析：∵a＋b＝1，∴错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋4≥2错误!＋4＝8,当且仅当错误!＝错误!,即a＝错误!，b＝错误!时等号成立，∴错误!＋错误!的最小值为8.答案：82．（2019·常州调研)若实数x满足x＞－4，则函数f（x)＝x＋错误!的最小值为________．解析：因为x＞－4，所以x＋4＞0,所以f(x）＝x＋错误!＝x＋4＋错误!－4≥2 错误!－4＝2，当且仅当x＋4＝错误!，即x＝－1时取等号．答案:23．(2018·徐州调研)已知实数x，y满足x2＋y2＝3，|x|≠|y｜，则错误!＋错误!的最小值为________．解析:因为（2x＋y）2＋（x－2y）2＝5(x2＋y2)＝15，所以令（2x ＋y)2＝t，(x－2y)2＝μ，所以t＋μ＝15，错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!(t ＋μ）错误!＝错误!错误!≥错误!(5＋4)＝错误!，当且仅当t＝5,μ＝10时取等号，所以错误!＋错误!的最小值为错误!.答案：错误!［由题悟法］利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路:（1）对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．（2）条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值．［即时应用］1．设0＜x ＜错误!，则函数y ＝4x (3－2x ）的最大值为________． 解析：y ＝4x （3－2x )＝2[2x (3－2x ）］≤2错误!2＝错误!，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝错误!时，等号成立．又因为34∈错误!， 所以函数y ＝4x (3－2x )错误!的最大值为错误!。
2020届高考数学一轮复习第七章数列7.1不等式及其解法教师用书理(PDF,含解析)
５分
填空题
中
简单的线性规划 求斜率型目标函数的最值
图解法
数学运算
命题规律与趋势
０１ 考查内容 高考必考内容，主要考查不等式的性质与 解法，基本不等式，线性规划问题及不等式 的综合应用．
０２ 命题特点 基本不等式常与其他知识综合考查，有一定 难度；不等式解法常在函数的综合解答题中 出现，是解决导数综合问题的必选方法；线性 规划问题以及不等式的应用是经常出现的考 题，难度不大；以集合的运算为背景考查不等 式的解法也是常见题型，难度不大．
０３ 解题方法 特值法、直接 法、 数 形 结 合 法、 综 合 法 与 分 析法等．
０４ 关联考点 在小题中，不等式可与集合、函数、三角函数、 数列、解析几何结合考查；在大题中，常与解 析几何、导数、绝对值不等式相结合考查．
０５ 命题趋势 高考对本章的考 查仍然 会在不 等式性 质、不等式解 法、 简 单 的 线 性 规 划、 基 本 不等式方面出现，形式比较稳定，应加强 知识的综合应用能力． 在 ２０１９ 年高考中
{ } ０，则解集为
ｘ
ｘ＜
ｂ ａ
；若 ａ ＝ ０，当 ｂ≥０ 时，解集为⌀，当 ｂ＜ ０
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
第七章
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法习题理
核按钮（新课标）高考数学一轮复习第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法习题理1．解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是；(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．2．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是．3．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx ＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集．函数、方程与不等式Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx＋c(a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两相异实根x 1,x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a无实根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集① ②Rax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ③4.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f （x ）g （x ）的形式．(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f （x ）g （x ）＞0 ⇔ f (x )g (x )＞0； f （x ）g （x ）＜0 ⇔ f (x )g (x )＜0； f （x ）g （x ）≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0； f （x ）g （x ）≤0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0. 自查自纠1．(1)同解不等式 (2)同解变形 2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞b a ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜b a a ＝0，b ＜03．(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间 (4)①{}x |x ＜x 1或x ＞x 2 ②⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2a ③∅(2014·课标Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2，－1]B ．[－1，2)C ．[－1，1]D ．[1，2)解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1]．故选A .设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A ．{x |x ∈R } B ．{x |x ≠1，x ∈R } C ．{x |x ≥1}D ．{x |x ≤1}解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ， 由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ，解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2－2x ＋1>0，x 的取值范围是x ≠1.故选B .已知－12<1x<2，则x 的取值范围是( )A ．(－2，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解：当x >0时，x >12；当x <0时，x <－2.所以x 的取值范围是x <－2或x >12，故选D .不等式2x 2－x <4的解集为____________．解：由2x 2－x <4得x 2－x <2，解得－1<x <2，即不等式2x 2－x <4的解集为{x |－1<x <2}．故填{x|－1<x<2}．(2014·武汉调研)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．解：显然k ≠0.则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＜0，Δ＜0， 解得k ∈(－3，0)．故填(－3，0)．类型一 一元一次不等式的解法已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13，则关于x 的不等式(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集为________．解：由(a ＋b )x ＜3b －2a 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13， 得a ＋b ＞0，且3b －2a a ＋b ＝－13，从而a ＝2b ，则a ＋b ＝3b ＞0，即b ＞0， 将a ＝2b 代入(a －3b )x ＋b －2a ＞0，得－bx －3b ＞0，x ＜－3，故填{x|x ＜－3}．【点拨】一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式．挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b －2a a ＋b ＝－13是解本题的关键．解关于x 的不等式：(m 2－4)x ＜m ＋2.解：(1)当m 2－4＝0即m ＝－2或m ＝2时， ①当m ＝－2时，原不等式的解集为∅， ②当m ＝2时，原不等式的解集为R . (2)当m 2－4＞0，即m ＜－2或m ＞2时，x ＜1m －2. (3)当m 2－4＜0，即－2＜m ＜2时，x ＞1m －2. 类型二 一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x 2－7x ＋12＞0; (2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1＜0; (4)x 2－2x ＋2＞0.解：(1)方程x 2－7x ＋12＝0的解为x 1＝3，x 2＝4.而y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得原不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}．(2)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0. 方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(3)方程x 2－2x ＋1＝0有两个相同的解x 1＝x 2＝1.而y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(4)因为Δ＜0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋2＞0的解集为R .【点拨】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．(2015·贵州模拟)关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值范围是________．解：原不等式可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，得1<x <a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a ≤5；当a <1时，得a <x <1，此时解集中的整数为－2，－1，0.则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4，5]．故填[－3，－2)∪(4，5]．类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系(2015·贵州模拟)已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x <－1或x >12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <12C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}解：由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，且a ＜0.由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－b a ，（－1）×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0. 解得－1＜x ＜12.故选B .【点拨】已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集为________．解：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，∴a ＜0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－ba＝2＋3，ca ＝2×3，a ＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ，c ＝6a ，a ＜0.代入不等式cx 2－bx ＋a ＞0，得6ax 2＋5ax ＋a >0(a ＜0)．即6x 2＋5x ＋1＜0，解得－12＜x ＜－13.故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12＜x ＜－13.类型四 含有参数的一元二次不等式解关于x 的不等式：mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0.解：(1)当m ＝0时，不等式为－(x －1)＜0，得x －1＞0，不等式的解集为{x |x ＞1}；(2)当m ≠0时，不等式为m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m (x －1)＜0.①当m ＜0，不等式为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m (x －1)＞0，∵1m＜1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1m或x ＞1.②当m ＞0，不等式为⎝⎛⎭⎪⎫x －1m (x －1)＜0.(Ⅰ)若1m＜1，即m ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m＜x ＜1；(Ⅱ)若1m＞1，即0＜m ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜1m ； (Ⅲ)若1m＝1，即m ＝1时，不等式的解集为∅.【点拨】当x 2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m ≠0与m ＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x 2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m ＜0与m ＞0进行讨论；第三层次：1m与1大小的不确定性，对m＜1、m ＞1与m ＝1进行讨论．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解：不等式整理为ax 2＋(a －2)x －2≥0， 当a ＝0时，解集为(－∞，－1]．当a ≠0时，ax 2＋(a －2)x －2＝0的两根为－1，2a，所以当a ＞0时，解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a，＋∞；当－2＜a ＜0时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a，－1；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；当a ＜－2时，解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a .类型五 分式不等式的解法(1)不等式x －12x ＋1≤1的解集为________．解：x －12x ＋1≤1 ⇔ x －12x ＋1－1≤0 ⇔ －x －22x ＋1≤0 ⇔ x ＋22x ＋1≥0.解法一：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）（2x ＋1）≥0，2x ＋1≠0.得{x|x ＞－12或x ≤－2}．解法二：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2x ＋1＞0 或 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，2x ＋1＜0.得{x |x ＞－12或x ≤－2}．故填{x|x ＞－12或x≤－2}．(2)不等式x －2x 2＋3x ＋2＞0的解集为 ．解：x －2x 2＋3x ＋2＞0⇔x －2（x ＋2）（x ＋1）＞0⇔(x －2)(x ＋2)(x ＋1)＞0，数轴标根得{x |－2＜x ＜－1或x ＞2}， 故填{x|－2＜x ＜－1或x ＞2}．【点拨】分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零．※用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：根据不等式的性质对不等式进行移项，使得右端为0，化为不等式的标准形式(注意：一定要保证x 的最高次幂的项的系数为正数)．(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根．①若是整式不等式，将其分解因式，求出所有根；②若是分式不等式，用积和商的符号法则，将其转化为整式不等式，再求出所有根．(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可)．(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根．但画线时遇偶重根不穿过(即线画至此根时，不穿过此根，而向左依次穿过其余的根)，遇奇重根要穿过，可用口诀：“奇穿偶不穿”来记忆．(5)写出不等式的解集：若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“＝”号，就连根一同取，但若是分式不等式，写解集时要考虑分母不能为零．(1)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解：易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，B 集合就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x －2）≤0，x ≠0 的解集，求出B ＝{}x |0＜x ≤2，所以A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．故选B .(2)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解：x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0得－12<x ≤1.故选A .类型六 和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则实数a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解法一：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，∴a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .∵f (x )＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数， ∴⎝⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52.∴a ≥－52. 解法二：令f (x )＝x 2＋ax ＋1，对称轴为x ＝－a2.①⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤0，f （0）≥0 ⇒a ≥0.(如图1) ②⎩⎪⎨⎪⎧0＜－a 2＜12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥0⇒－1＜a ＜0.(如图2)③⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0⇒－52≤a ≤－1.(如图3)图1图2图3综上 ①②③，a ≥－52.故选C .(2)已知对于任意的a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．1＜x ＜3B ．x ＜1或x ＞3C ．1＜x ＜2D ．x ＜1或x ＞2解：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1，1]，依题意，只须⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （－1）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2＞0，x 2－5x ＋6＞0⇒x ＜1或x ＞3，故选B .【点拨】(1)一元二次不等式恒成立问题，对于x 变化的情形，解法一利用参变量分离法，化成a ＞f (x )(a ＜f (x ))型恒成立问题，再利用a ＞f (x )max (a ＜f (x )min )，求出参数范围．解法二化归为二次函数，由于是轴动区间定，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围．(2)对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围．(1)(2015·甘肃模拟)若不等式a ·4x －2x＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数a的取值范围是________．解：不等式可变形为a >2x－14x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则t >0.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝t －t2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，因此当t ＝12时，y 取最大值14，故实数a 的取值范围是a >14.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.(2)对于满足|a |≤2的所有实数a ，使不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围为________．解：原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1＞0，设f (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，则f (a )在[－2，2]上恒大于0，故有：⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （2）＞0 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，x 2－1＞0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜1，x ＞1或x ＜－1.∴x ＜－1或x ＞3.故填(－∞，－1)∪(3，＋∞)．类型七 二次方程根的讨论若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，1)D ．[0，1)解法一：令f (x )＝2ax 2－x －1，则f (0)·f (1)＜0，即－1×(2a －2)＜0，解得a ＞1. 解法二：当a ＝0时，x ＝－1，不合题意，故排除C ，D ；当a ＝－2时，方程可化为4x 2＋x ＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a ＝－2不适合，排除A.故选B .【点拨】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，画出相应函数的图象后“看图说话”，主要从以下四个方面分析：①开口方向；②判别式；③区间端点函数值的正负；④对称轴x ＝－b2a与区间端点的关系．本书2.4节有较详细的讨论，可参看．(2015·贵州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为________．解：根据题意有f (－2)f (－1)<0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0.∴－32<a <－56.又a ∈Z ，∴a ＝－1.检验知合要求．不等式f (x )>1即为－x 2－x ＋1>1，解得－1<x <0. ∴故填{x|－1＜x ＜0}．类型八 一元二次不等式的应用(2013·上海)甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1)根据题意，200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000⇒5x －14－3x≥0⇒5x 2－14x －3≥0⇒(5x ＋1)(x－3)≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.(2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x2＋1x＋5＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112.故x ＝6时，y max ＝457 500元．【点拨】和一元二次不等式有关的实际应用题是高考考查的重点，这类题目往往与实际生活结合紧密，应予以重视．(2015·河南模拟)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解： (1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . ∵售价不能低于成本价，∴100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0.∴y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.∴x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的解集的确定，受二次项系数a 的符号及判别式Δ＝b 2－4ac 的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒大于0的条件是a ＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a ＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．2．解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组．(注：形如f （x ）g （x ）≥0或f （x ）g （x ）≤0的不等式称为非严格分式不等式)3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想．6．对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1，2] B ．[－1，2]C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．(－1，2]解：x －2x ＋1≤0⇔()x ＋1()x －2≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1，2]，故选D .2．(2015·湖北模拟)不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2.则f (x )＝－x 2－x ＋2，∴f (－x )＝－x2＋x ＋2.故选C .3．(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x)>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >lg2}B ．{x |－1<x <lg2}C ．{x |x >－lg2}D ．{x |x <－lg2}解：可设f (x )＝a (x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x＋1)⎝⎛⎭⎪⎫10x －12<0，从而10x <12，解得x <－lg2，故选D .4．(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( ) A ．[15，20] B ．[12，25] C ．[10，30]D ．[20，30]解：设矩形的另一边为y m ，依题意得x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，所以x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30.故选C .5．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a >0在(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－12) B ．(－4，＋∞) C ．(－12，＋∞)D ．(－∞，－4)解：关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ＞0在(1，4)内有解，即a ＜2x 2－8x －4在(1，4)内有解，令f (x )＝2x 2－8x －4＝2(x －2)2－12，当x ＝2时，f (x )取最小值f (2)＝－12；当x ＝4时，f (4)＝2(4－2)2－12＝－4，所以在(1，4)上，－12≤f (x )＜－4.要使a ＜f (x )有解，则a ＜－4.故选D .6．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根大于－2且小于0，另一个根大于1且小于3，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－12，＋∞)C ．(－22，0)D ．(－12，0)解：设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则由题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （0）＜0，f （1）＜0，f （3）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧22＋a ＞0，a ＜0，－2＋a ＜0，12＋a ＞0.解得－12＜a ＜0.故选D .7．(2015·浙江模拟)不等式log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋6≤3的解集为________．解：log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋6≤3⇔log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋6≤log 28⇔0＜x ＋1x ＋6≤8⇔－6＜x ＋1x≤2.当x ＞0时，x ＋1x ≥2，此时x ＝1；当x ＜0时，x ＋1x ≤－2，此时x ＋1x＞－6，解得－3－22＜x＜－3＋2 2.故填(－3－22，－3＋22)∪{1}．8．(2015·昆明模拟)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数x恒成立，则a 的最大值是__________．解：原不等式可化为x 2a ≥1＋x 2－1＋x (*)，令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)即（t 2－1）2a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝（t －1）22，对t ≥1恒成立，所以（t ＋1）2a ≥12对t ≥1恒成立，又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.故填8.9．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 解法一：设f (x )＝x 2－ax －a .则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )min ≤－3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－4a ＋a 24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.解法二：x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔x 2－ax －a ＋3＝0的判别式Δ≥0，解得a ≤－6或a ≥2.10．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2， s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问甲、乙两车有无超速现象？解：由题意知，对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2＞12， 即x 2＋10x －1200＞0，解得x ＞30或x ＜－40(舍去)．这表明甲车的车速超过30 km/h ，又由甲车刹车距离略超12 m ，可判断甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车有0.05x ＋0.005x 2＞10，即x 2＋10x －2000＞0，解得x ＞40或x ＜－50(舍去)． 这表明乙车超过40 km/h ，超过规定限速．11．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1，3)． (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＋2x ＞0的解集为(1，3)， ∴f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a ＜0. 因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .①由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.② 因为方程②有两个相等的实根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15.由于a ＜0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①得f (x )的解析式f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a， 及a ＜0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a.由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a ＞0，a ＜0，解得a ＜－2－3或－2＋3＜a ＜0.故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是 (－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．解关于x 的不等式：a （x －1）x －2＞1(a ＜1)．解：(x －2)[(a －1)x ＋2－a ]＞0，当a ＜1时有(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1＜0，若a －2a －1＞2，即0＜a ＜1时，解集为{x |2＜x ＜a －2a －1}； 若a －2a －1＝2，即a ＝0时，解集为∅； 若a －2a －1＜2，即a ＜0时，解集为{x |a －2a －1＜x ＜2}．。