§8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积

则的（不熟悉的或复杂的）几何体延伸或补成规则的（ 熟悉的 或简单的）几何体；割法是把复杂的（ 不规则的） 几何体切割 成简单的（ 规则的） 几何体．割与补是对立统一的．
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
际问题
数学运算； 直观想象
直线、平面垂直的判定与 ①证明面面垂直；
２０１９ 课标Ⅲ，１９ １２ 分 解答题 中等
性质；空间角与距离
②求二面角大小
数 形 结 合 法； 坐 数学运算；
标法
直观想象
２０１８ 课标Ⅲ，３ ５ 分 选择题 易 空间几何体的三视图
根据直观图求俯视图
数形结合法
直观想象
２０１８ 课标Ⅲ，１０ ５ 分 选择题 中难 空间几何体的体积
７ ０ ５ 年高考 ３ 年模拟 Ｂ 版（ 教师用书）
（２） 等积法：等积法包括等面积法和等体积法．利用等积 法的前提是平面图形（ 或立体图形） 的面积（ 或体积） 通过已 知条件可以得到，利用等积法可以求解几何图形的高，特别是 在求三角形的高（点到线的距离）或三棱锥的高（ 点到面的距
������������������������
０５ 解题方法 数形结合法、坐标法、割补法、公式法等．
０６ 核心素养 以直观想象、逻辑推理、数学运算为主．
０７ 备考建议 直线和平面平行、垂直的判定，三视图为背 景的面积和体积的计算，空间角和距离为 必考内容，考查的方法也都是通性通法，并 且为中等难度，只要掌握基本知识、基本方 法，注重空间 想 象 能 力 和 逻 辑 推 理 能 力 的 培养，增强数学运算的能力，一定会有很大 的收获．
（ ３） 必须确定观看几何体的三个对应方向，同一物体放的位
置不同，所画的三视图就可能不同．
２．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，要注
意原图与直观图中的“ 三变和三不变” ：
{坐标轴的夹角改变；
“三变” 与 ｙ 轴平行的线段的长度减半； 图形改变．
{平行关系不变；
“三不变” 与 ｘ 轴平行的线段的长度不变； 几何元素间的相对位置关系不变．
性质；空间角与距离
用坐标法求线面角正弦值
标法
直观想象
２０１５ 课标Ⅱ，６ ５ 分 选择题 易 空间几何体的体积
①由三视图分析几何体的形状； 数形结合法
②求几何体的体积
数学运算； 直观想象
２０１５ 课标Ⅱ，１９ １２ 分 解答题 中难 空间角与距离
利用坐标法求线面角正弦值

数 形 结 合 法； 坐 数学运算；
体或球，则可以直接利用公式求解．
（ ２） 求组合体的体积，若所给的几何体 是组合 体，则不能 直
接利用公式求解，常用转换法、分割法、补形法等进行求解．
（ ３） 三棱锥的体积常用等体积法求解．
（ ４） 求以三视图为背景的几何体的体积，应根据三视图得到
几何体的直观图，然后根据条件求解．
（１） （２０１６ 课标Ⅲ，９，５ 分） 如图，网格纸上小正方形的
注：平面图形的原始面积和直观图面积的关系为Ｓ原始 ＝ ２ Ｓ直观
２．
考点二 空间几何体的表面积
名称
棱柱
棱锥
棱台
有两个面平行且全等，其 结构 余各个面都是四边形；每 特征 相邻两个四边形的公共
边都互相平行
有一个面 （ 底面） 是多边形，其余各 面是 有 一 个 公 共 顶点的三角形
有两 个 面 平 行 且 相 似， 其 余 各 面都是梯形
侧棱 平行且相等
相交于一点但不 延 长 线 交 于
一定相等
一点
侧面 平行四边形
形状
三角形
梯形
名称
圆柱（底面半径为 ｒ，母线长为 ｌ） 直棱柱（ 底面周长为 Ｃ，底面面积 为 Ｓ，高为 ｈ） 圆锥（底面半径为 ｒ，母线长为 ｌ，高 为 ｈ） 正棱锥（ 底面周长为 Ｃ，斜高为 ｈ′， 底面面积为 Ｓ，高为 ｈ） 圆台（ 上、 下 底 面 半 径 分 别 为 ｒ１、 ｒ２ ，母线长为 ｌ，高为 ｈ） 正棱台（上、下底面周长分别为 Ｃ、 Ｃ′，斜高为 ｈ′，高为 ｈ） 球（半径为 Ｒ）
第八章 立体几何 ６ ９
§ ８．１ 空间几何体的三视图、表面积和体积
考点一 空间几何体的三视图
１．画三视图应遵循的原则和注意事项：
（１）务必做到“ 长对正” （ 正视图与俯视图一样长）． “ 高平
齐”（正视图与侧视图一样高），“宽相等” （ 侧视图与俯视图一样
宽） ．
（ ２） 在三视图中，看不见的线用虚线，看得见的线用实线．
０３ 题型难度 几何体的三视图和球与多面体的切、接问 题以选择、填空题的形式进行考查，难度中
等或偏难；空 间 中 点、 线、 面 位 置 关 系 的 判 断和空间角与距离的求解常以解答题的形 式出现，多以棱柱、棱台及其简单组合体为 载体进行考查，难度为中难．
０４ 命题特点 选择、填空题一般考查三视图、空间几何体 的体积、表面积，偶尔考查空间点、线、面的 位置关系或是简单的空间角；解答题第 １ 问多为证明平行或垂直关系，第 ２ 问多为 计算空间角或空间距离，综合考查考生的 空间想象能力、推理论证能力和运算求解 能力．
边长为 １，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表
面积为
（ ）
Ａ．２０π
Ｂ．２４π
Ｃ．２８π
Ｄ．３２π
１－１ 答案 Ｃ
解析 由几何体的三视图可知，该几何体的上半部分为
圆锥、下半部分为圆柱，如图所示． 要求该几何体的表面积，则需
求圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的底面积．由图可知，圆锥
解析 （１）由三视图可知该几何体是斜四棱柱，其底面是
边长为 ３ 的正方形，高为 ６，侧棱长为 ３ ５ ，则该几何体的表面积
Ｓ ＝ ２×３２ ＋２×３×３ ５ ＋２×３×６ ＝ ５４＋１８ ５ ．故选 Ｂ．
第八章
立体几何
真题多维细目表
考题
涉分 题型 难度
考点
考向
解题方法
核心素养
直线、平面垂直的判定与 利用平面垂直的性质定理，判断
２０１９ 课标Ⅲ，８ ５ 分 选择题 中等
数形结合法
性质
直线间的位置关系
数学运算； 直观想象
２０１９ 课标Ⅲ，１６ ５ 分 填空题 中等 空间几何体的体积
计算空间 几 何 体 的 体 积 解 决 实 数形结合法
所求 几 何 体 的 表 面 积 为 Ｓ圆锥侧 ＋ Ｓ圆柱侧 ＋ Ｓ圆柱底 ＝ ８π ＋ １６π ＋ ４π ＝
２８π，故选 Ｃ．
Ａ．１８＋３６ ５ Ｂ．５４＋１８ ５ Ｃ．９０
Ｄ．８１
（２） （ ２０１９ 四 川 广 元 质 检 一， １４） 如 图， 在 长 方 体 ＡＢＣＤ －
Ａ１ Ｂ１ Ｃ１ Ｄ１ 中，ＡＢ ＝ ＡＤ ＝ ３ ｃｍ，ＡＡ１ ＝ ２ ｃｍ，则四棱锥Ａ－ＢＢ１ Ｄ１ Ｄ的 体积为 ｃｍ３ ．
标法
直观想象
命题规律与趋势
０１ 考查内容 几何体的三视图与多面体体积、表面积的 计算，球与多 面 体 的 切、 接 问 题 的 求 解， 空 间中点、线、面的位置关系，空间角、距离的 求解．
０２ 考频赋分 每年必考，有些年考 １ 大题 １ 小题共两题， 有些年考 １ 大题 ２ 小题共 ３ 题，总分值为 １７ 分或 ２２ 分．
离） 时，通常采用此法解决问题．
对应学生用书起始页码 Ｐ１２４
一、空间几何体表面积和体积的求解方法
１．求空间几何体表面积的方法
（ １） 多面体的表面积是各个面的面积之和；旋转体的表面积
代入公式直接求解．
（ ２） 组合体的表面积注意重合部分的处理．
２．求空间几何体体积的方法
（ １） 求简单几何体的体积，若所给的几何体为柱体、锥体、台
形的直棱柱叫做正棱柱．
（ ２） 底面是正多边 形， 顶点 在底 面 的 射 影 是 底 面 正 多 边
形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥
叫正四面体．
（ ３） 特殊的四棱柱：
四棱柱
底面为平行四边形 →
平行六面体
侧棱垂直于底面
底面为矩形
→ 直平行六面体
→ 长方体
底面为正方形
侧棱与底面边长相等
断命题的真假
标法
直观想象
空间几何体的三视图；空 ①由三视图分析几何体的形状；
２０１６ 课标Ⅲ，９ ５ 分 选择题 中难
数形结合法
间几何体的表面积
②求几何体的表面积
数学运算； 直观想象
直线、平面平行的判定与 ①相关定理判定线面平行；②利 数 形 结 合 法； 坐 数学运算；
２０１６ 课标Ⅲ，１９ １２ 分 解答题 中难
正棱台（ 上、下底面周长分别为 Ｃ、Ｃ′，斜高 为 ｈ′，高为 ｈ）
球（半径为 Ｒ）
体积 πｒ２ ｌ Ｓｈ １ πｒ２ ｈ ３ １ ３ Ｓｈ
１ ３
π（
ｒ２１
＋
ｒ１
ｒ２
＋
ｒ
２ ２
）
ｈ
１ ３ （Ｓ上 ＋Ｓ下 ＋ Ｓ上 Ｓ下 ）
·ｈ
４ ３
πＲ３
１．特殊的棱柱和棱锥
（ １） 侧棱垂直于底 面的 棱柱叫 做 直 棱 柱； 底 面 是 正 多 边
侧面面积 ２πｒｌ Ｃｈ
πｒｌ