第4讲功能关系的应用

专题二功和能知识互联网,达人寄语——科学复习、事半功倍“功和能”是物理学中一把万能的利剑，能量守恒是永恒的主题．大题当前，一定要沉着冷静，奇思妙想，灵活建模，规范解答，坚决拿下力学大题！第4讲功能关系的应用主要题型：选择题、计算题难度档次：难度较大．考卷的高档题．知识点多、综合性强、题意较深邃，含有临界点，或多过程现象、或多物体系统．以定量计算为主，对解答表述要求较规范．一般设置或递进、或并列的2～3小问，各小问之间按难度梯度递增．高考热点1．做功的两个重要因素是：有力作用在物体上，且使物体在力的方向上________．功的求解可利用W＝Fl cos α求，但F必须为________．也可以利用F－l图象来求；变力的功一般应用________间接求解．2．功率的计算公式平均功率P＝Wt＝F v cos α；瞬时功率P＝F v cos α，当α＝0，即F与v方向________________时，P＝F v.3．动能定理W1＋W2＋…＝________.特别提醒(1)用动能定理求解问题是一种高层次的思维和方法．应该增强用动能定理解题的意识．(2)应用动能定理解题时要灵活选取过程，过程的选取对解题的难易程度有很大影响．4．机械能守恒定律(1)mgh1＋12m v21＝mgh2＋12m v22(2)ΔE p减＝ΔE k增(或ΔE k减＝ΔE p增)守恒条件只有重力或弹簧的弹力做功．特别提醒(1)系统所受到的合力为零，则系统机械能不一定守恒．(2)物体系统机械能守恒，则其中单个物体机械能不一定守恒．状元微博名师点睛精细剖析“多过程”现象力学综合题的“多过程现象”，一般由匀变速直线运动、平抛运动及圆周运动组成，各运动“子过程”由“衔接点”连接．解答时注意以下几点．(1)由实际抽象相应的物理模型，确定研究对象，对物体进行受力、运动情况的分析，分析好可能的“临界点”．确定每一个“子过程”及其特点，特别是有些隐蔽的“子过程”．(2)一般要画出物体的运动示意图．(3)针对每一个“子过程”，应用运动规律、牛顿运动定律、动能定理、机械能守恒定律等，列出有效方程．要合理选用“过程性方程”与“瞬时性方程”，能列全过程的方程、不列分过程的方程．(4)分析好“衔接点”速度、加速度等关系．如“点前”或“点后”的不同数值．(5)联立方程组，分析求解.考向1 对功、功率的理解及定量计算【例1】(2012·江苏卷，3)如图4－1所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球．在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点．在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是()．A．逐渐增大B．逐渐减小C．先增大，后减小D．先减小，后增大解析小球速率恒定，由动能定理知：拉力做的功与克服重力做的功始终相等，将小球的速度分解，可发现小球在竖直方向分速度逐渐增大，重力的瞬时功率也逐渐增大，则拉力的瞬时功率也逐渐增大，A项正确．答案 A本题主要考查动能定理、瞬时功率的计算等，着重考查学生的理解能力和推理能力，难度中等．图4－2(多选)滑板运动已成为青少年所喜爱的一种体育运动，如图4－2所示，某同学正在进行滑板训练．图中AB段路面是水平的，BCD是一段半径R＝20 m的拱起的圆弧路面，圆弧的最高点C比AB段路面高出h＝1.25 m，若人与滑板的总质量为M＝60 kg.该同学自A 点由静止开始运动，在AB 路段他单腿用力蹬地，到达B 点前停止蹬地，然后冲上圆弧路段，结果到达C 点时恰好对地面压力等于Mg2，不计滑板与各路段之间的摩擦力及经过B 点时的能量损失(g 取10 m/s 2)．则( )．A ．该同学到达C 点时的速度大小为10 2 m/sB ．该同学到达C 点时的速度大小为10 m/s C ．该同学在AB 段所做的功为3 750 JD ．该同学在AB 段所做的功为750 J借题发挥●判断正功、负功或不做功的方法 1．用力和位移的夹角θ判断； 2．用力和速度的夹角θ判断； 3．用动能变化判断． ●计算功的方法 1．按照功的定义求功2．用动能定理W ＝ΔE k 或功能关系求功．当F 为变力时，高中阶段往往考虑用这种方法求功．3．利用功率公式W ＝Pt 求解． ●计算功率的基本思路1．首先判断待求的功率是瞬时功率还是平均功率． 2．(1)平均功率的计算方法①利用P ＝Wt ，②利用P ＝F v cos θ. (2)瞬时功率的计算方法P ＝F v cos θ，v 是t 时刻的瞬时速度．课堂笔记考向2 功能关系与曲线运动的综合 【例2】 (2012·安徽卷，16)如图4－3所示，在竖直平面内有一半径为R 的圆弧轨道，半径OA 水平、OB 竖直，一个质量为m 的小球自A 的正上方P 点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B 时恰好对轨道没有压力．已知AP ＝2R ，重力加速度为g ，则小球从P 到B 的运动过程中( )．A ．重力做功2 mgRB ．机械能减少mgRC ．合外力做功mgRD ．克服摩擦力做功12mgR解析 小球到达B 点时，恰好对轨道没有压力，只受重力作用，根据mg ＝m v 2R 得，小球在B 点的速度v ＝ gR .小球从P 到B 的过程中，重力做功W ＝mgR ，故选项A 错误；减少的机械能ΔE 减＝mgR －12m v 2＝12mgR ，故选项B 错误；合外力做功W 合＝12m v 2＝12mgR ，故选项C 错误；根据动能定理得，mgR －W f ＝12m v 2－0，所以W f ＝mgR －12m v 2＝12mgR ，故选项D 正确．答案 D如图4－4所示，在O 点处放置一个正电荷．在过O 点的竖直平面内的A 点，自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m 、电荷量为q .小球落下的轨迹如图中虚线所示，它与以O 为圆心、R 为半径的圆(图中实线表示)相交于B 、C 两点，O 、C 在同一水平线上，∠BOC ＝30°，A 距离OC 的竖直高度为h .若小球通过B 点的速度为v ，则下列说法正确的是( )．A ．小球通过C 点的速度大小是2ghB ．小球在B 、C 两点的电势能不等C ．小球由A 点到C 点的过程中电势能一直都在减少D ．小球由A 点到C 点机械能的损失是mg ⎝ ⎛⎭⎪⎫h －R 2－12m v2 阅卷感悟错因档案1．不能正确找出竖直平面内圆周运动的临界条件 2．对重要的功能关系不清楚 应对策略1．应用功能关系解题，首先弄清楚重要的功能关系(1)重力的功等于重力势能的变化，即W G ＝－ΔE p (2)弹力的功等于弹性势能的变化，即W 弹＝－ΔE p (3)合力的功等于动能的变化，即W 合＝ΔE k(4)重力之外(除弹簧弹力)的其他力的功等于机械能的变化，即W 其他＝ΔE(5)一对滑动摩擦力做功等于系统中内能的变化ΔQ ＝fl 相对(6)电场力做功等于电势能的变化，即W AB＝－ΔE 2．运用能量守恒定律解题的基本思路考向3 动能定理的应用 【例3】 (2012·江苏单科，14)某缓冲装置的理想模型如图4－5所示，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力恒为f .轻杆向右移动不超过l 时，装置可安全工作．一质量为m 的小车若以速度v 0撞击弹簧，将导致轻杆向右移动l 4.轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面的摩擦．(1)若弹簧的劲度系数为k ，求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量x ； (2)求为使装置安全工作，允许该小车撞击的最大速度v m ； (3)讨论在装置安全工作时，该小车弹回速度v ′和撞击速度v 的关系．解析 (1)轻杆开始移动时，弹簧的弹力F ＝kx ① 且F ＝f ② 解得x ＝f k③(2)设轻杆移动前小车对弹簧所做的功为W ，则小车从撞击到停止的过程中由动能定理，有－f ·l 4W ＝0－12m v 20④同理，小车以v m 撞击弹簧时由动能定理得：－fl －W ＝0－12m v 2m⑤解得v m ＝v 20＋3fl 2m⑥(3)设轻杆恰好移动时，小车撞击速度为v 1，则有12m v 21＝W ⑦由④⑦解得v 1＝v 20－fl2m，当v < v 20－fl2m时，v ′＝v当 v 20－fl 2m ≤v ≤ v 20＋3fl 2m 时，v ′＝ v 20－fl 2m. 答案 (1)f k(2) v 20＋3fl 2m (3)当v <v 20－fl 2m 时，v ′＝v 当 v 20－fl 2m ≤v ≤ v 20＋3fl 2m 时，v ′＝ v 20－fl 2m如图4－6甲所示，长为4 m 的水平轨道AB 与半径为R＝0.6 m 的竖直半圆弧轨道BC 在B 处相连接，有一质量为1 kg 的滑块(大小不计)，从A 处由静止开始受水平向右的力F 作用，F 的大小随位移变化的关系如图乙所示，滑块与AB 间的动摩擦因数为μ＝0.25，与BC 间的动摩擦因数未知，取g ＝10 m/s 2，求：图4－6(1)滑块到达B 处时的速度大小；(2)滑块在水平轨道AB 上运动前2 m 过程所用的时间；(3)若到达B 点时撤去力F ，滑块沿半圆弧轨道内侧上滑，并恰好能到达最高点C ，则滑块在半圆弧轨道上克服摩擦力所做的功是多少？方法锦囊应用动能定理解题的基本步骤(1)选取研究对象，分析运动过程．(2)(3)明确物体在过程的始末状态的动能E k1和E k2.(4)列出动能定理的方程W 合＝E k2－E k1及其他必要的解题方程，进行求解．答题模板解：对……(研究对象)从……到……(过程)由动能定理得……(具体问题的原始方程)①根据……(定律)……得……(具体问题的原始辅助方程)……②联立方程①②得……(待求物理量的表达式)代入数据解得……(待求物理量的数值带单位)向4 机械能守恒与力学知识的综合应用【例4】 (2012·大纲全国卷，26)一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状，此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面如图4－7所示，以沟底的O 点为原点建立坐标系Oxy .已知，山沟竖直一侧的高度为2h ，坡面的抛物线方程为y ＝12hx 2；探险队员的质量为m .人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g .(1)求此人落到坡面时的动能；(2)此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？(2012·温州五校联考)如图4－8所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角∠BOC＝37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝1.0 m，现有一个质量为m＝0.2 kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E 点处自由下落，DE距离h＝1.6 m，小物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ＝0.5.取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2.求：(1)小物体第一次通过C点时轨道对小物体的支持力F N的大小；(2)要使小物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度L AB至少要多长；(3)若斜面已经满足(2)要求，小物体从E点开始下落，直至最后在光滑圆弧轨道做周期性运动，在此过程中系统因摩擦所产生的热量Q的大小．以题说法1．机械能守恒定律的应用(1)机械能是否守恒的判断①用做功来判断，看重力(或弹簧弹力)以外的其他力做功代数和是否为零．②用能量转化来判断，看是否有机械能转化为其他形式的能．③对一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等问题，机械能一般不守恒，除非题目中有特别说明及暗示．2．解决力学综合应用题目的方法(1)在高考理综中，力学综合题均为“多过程”现象或多物体系统．解决手段有二．一是力与运动的关系，主要是牛顿运动定律和运动学公式的应用；二是功能关系与能量守恒，主要是动能定理和机械能守恒定律等规律的应用．(2)对物体进行运动过程的分析，分析每一运动过程的运动规律．(3)对物体进行每一过程中的受力分析，确定有哪些力做功，有哪些力不做功．哪一过程中满足机械能守恒定律的条件．(4)分析物体的运动状态，根据机械能守恒定律及有关的力学规律列方程求解．有些高考题之所以难，往往是由于某些条件或过程过于隐蔽，挖掘出这些隐含的条件或物理过程，是成功解决物理问题的关键．现举两例考题，探究挖掘隐含条件的方法．一、从物理规律中去挖掘如【典例1】(2010·上海物理，25)小球匀速运动由动能定理得：W F－W G－W f＝0由此可知，W f＝0时―→W F最小―→F f＝0―→F N＝0(F f＝0)―→F N＝0，即本题的隐含条件)由动能定理―→找出隐含条件―→问题迎刃而解,图4－9【典例1】(2010·上海物理，25)如图4－9所示，固定于竖直面内的粗糙斜杆，与水平方向夹角为30°，质量为m的小球套在杆上，在大小不变的拉力作用下，小球沿杆由底端匀速运动到顶端，为使拉力做功最小，拉力F与杆的夹角α＝________，拉力大小F＝________.解析设拉力F对小球做的功为W F，小球克服重力做的功为W G，小球克服摩擦力做的功为W f，对小球应用动能定理得W F－W G －W f＝0，由此可知，当小球克服摩擦力做的功W f＝0时，拉力做功最小，也即当小球与斜杆间的摩擦力为零时，拉力做的功最小，此时，小球与斜杆间无压力，其受力情况如图．由平衡条件得：F cos α＝mg sin 30°，F sin α＝mg cos 30°，联立解得，α＝60°，F＝mg.答案 60° mg二、从物理过程中去挖掘如【典例2】(2010·全国卷Ⅱ，24)题中“求……可能值”，为什么结果会出现可能值呢？原因就隐含在运动过程中．仔细分析物块的运动过程，不难找出物块的运动情况有两种可能性，所以物块停止的地方与N 点距离也就有两种可能值．解这类问题时，一定要认真审题． 从题目的文字说明、图象图表中――→挖掘 隐含条件 从对物理现象、过程的分析中――→寻找解决问题所需的物理规律,图4－10【典例2】 (2010·全国卷Ⅱ，24)如图4－10所示，MNP 为竖直面内一固定轨道，其圆弧段MN 与水平段NP 相切于N ，P 端固定一竖直挡板．M 相对于N 的高度为h ，NP 长度为s .一木块自M 端从静止开始沿轨道下滑，与挡板发生一次完全弹性碰撞后停止在水平轨道上某处．若在MN 段的摩擦可忽略不计，物块与NP 段轨道间的滑动摩擦因数为μ，求物块停止的地方与N 点距离的可能值．解析 设物块从开始下滑到停止在水平轨道上的过程中，物块滑行的路程为s ′，由动能定理得，mgh －μmgs ′＝0，解得s ′＝h μ.第一种可能是：物块与弹性挡板碰撞后，在N 前停止，则物块停止的位置距N 的距离为d ＝2s －s ′＝2s －h μ. 第二种可能是：物块与弹性挡板碰撞后，可再一次滑上光滑圆弧轨道，滑下后在水平轨道上停止，则物块停止的位置距N 的距离为d＝s ′－2s ＝h －2s 所以物块停止的位置距N 的距离可能为2s －h μ或h μ－2s . 答案 2s －h μ或h μ－2s1．(多选)(2012·海南单科，7)下列关于功和机械能的说法，正确的是( )．A ．在有阻力作用的情况下，物体重力势能的减少不等于重力对物体所做的功B ．合力对物体所做的功等于物体动能的改变量C ．物体的重力势能是物体与地球之间的相互作用能，其大小与势能零点的选取有关D ．运动物体动能的减少量一定等于其重力势能的增加量2．(多选)(2012·山东理综，16)将地面上静止的货物竖直向上吊起，货物由地面运动至最高点的过程中，v －t 图象如图4－11所示．以下判断正确的是( )．图4－11A．前3 s内货物处于超重状态B．最后2 s内货物只受重力作用C．前3 s内与最后2 s内货物的平均速度相同D．第3 s末至第5 s末的过程中，货物的机械能守恒3．(多选)(2012·上海单科，18)如图4－12所示，位于水平面上的物体在水平恒力F1作用下，做速度为v1的匀速运动；若作用力变为斜向上的恒力F2，物体做速度为v2的匀速运动，且F1与F2功率相同．则可能有()．图4－12A．F2＝F1v1>v2B．F2＝F1v1<v2C．F2>F1v1>v2D．F2<F1v1<v24．放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s 内其速度与时间的图象和该拉力的功率与时间的图象如图4－13甲、乙所示．下列说法正确的是()．图4－13A．0～6 s内物体的位移大小为36 mB．0～6 s内拉力做的功为60 JC．合外力在0～6 s内做的功与0～2 s内做的功相等D．滑动摩擦力的大小为5 N5．(2012·宁波第一次模拟)如图4－14所示，遥控电动赛车(可视为质点)从A点由静止出发，经过时间t后关闭电动机，赛车继续前进至B 点后进入固定在竖直平面内的圆形光滑轨道，通过轨道最高点P 后又进入水平轨道CD 上．已知赛车在水平轨道AB 部分和CD部分运动时受到阻力恒为车重的0.5倍，即k ＝F f mg＝0.5，赛车的质量m ＝0.4 kg ，通电后赛车的电动机以额定功率P ＝2 W 工作，轨道AB 的长度L ＝2 m ，圆形轨道的半径R ＝0.5 m ，空气阻力可忽略，重力加速度g 取10 m/s 2.某次比赛，要求赛车在运动过程中既不能脱离轨道，又在CD 轨道上运动的路程最短，在此条件下，求：图4－14(1)小车在CD 轨道上运动的最短路程；(2)赛车电动机工作的时间．【高考必备】1．发生了位移 恒力 动能定理 2.相同3.12m v 22－12m v 21 【考向聚焦】预测1答案 BC解析 由于到达C 点时对地面压力为Mg 2，故Mg －Mg 2＝M v 2C R ，所以该同学到达C 点时的速度大小为10 m/s ，B 正确；人和滑板从A点运动到C 点的过程中，根据动能定理有：W －Mgh ＝12M v 2C ，所以该同学在AB 段所做的功为3 750 J ，C 正确．预测2答案 D解析 因为O 点是点电荷，所以以O 为圆心的圆面是一个等势面，B 、C 两点电势相等，小球在B 、C 两点电势能也相等，B 项错误；因B 、C 两点电势相等，故小球从B 到C 的过程中电场力做的总功为零，由几何关系可得BC 的竖直高度为R 2，根据动能定理有：mg R 2＝12m v 2C －12m v 2，解得v C ＝gR ＋v 2，A 项错误；小球从A 点到C 点电场力对小球先做负功后做正功，电势能先增加后减小，C 项错误；小球从B 点运动到C 点电场力不做功，机械能不变，小球从A 点运动到B 点电场力做负功，机械能减小，根据动能定理得：W ＋mg ⎝ ⎛⎭⎪⎫h －R 2＝12m v 2－0，解得W ＝12m v 2－mg ·⎝ ⎛⎭⎪⎫h －R 2，所以小球从A 点到C 点损失的机械能为mg ⎝ ⎛⎭⎪⎫h －R 2－12m v 2，D 项正确． 预测3 解析 (1)对滑块从A 到B 的过程，由动能定理得F 1x 1－F 3x 3－μmgx ＝12m v 2B 即20×2－10×1－0.25×1×10×4＝12×1×v 2B ， 得v B ＝210 m/s.(2)在前2 m 内，有F 1－μmg ＝ma ，且x 1＝12at 21解得t 1＝ 835s. (3)当滑块恰好能到达最高点C 时，应有：mg ＝m v 2C R对滑块从B 到C 的过程，由动能定理得：W －mg ×2R ＝12m v 2C －12m v 2B 代入数值得W ＝－5 J ，即克服摩擦力做的功为5 J.答案 见解析【例4】 解析 (1)设该队员在空中运动的时间为t ，在坡面上落点的横坐标为x ，纵坐标为y .由运动学公式和已知条件得：x ＝v 0t ，①2h －y ＝12gt 2，② 根据题意有：y ＝x 22h，③ 由机械能守恒，落到坡面时的动能为： 12m v 2＝12m v 20＋mg (2h －y )，④ 联立①②③④式得，12m v 2＝12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫v 20＋4g 2h 2v 20＋gh ，⑤ (2)⑤式可以改写为：v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ v 20＋gh －2gh v 20＋gh 2＋3gh ，⑥ v 2取极小的条件为⑥式中的平方项等于0，由此得：v 0＝ gh ，⑦此时v 2＝3gh ，则最小动能为：⎝ ⎛⎭⎪⎫12m v 2min ＝32mgh ⑧ 答案 见解析预测4 解析 (1)小物体从E 到C ，由能量守恒得：mg (h ＋R )＝12m v 2C ，① 在C 点，由牛顿第二定律得：F N －mg ＝m v 2C R，② 联立①②解得F N ＝12.4 N.(2)从E →D →C →B →A 过程，由动能定理得：W G －W f ＝0，③W G ＝mg [(h ＋R cos 37°)－L AB sin 37°]，④W f ＝μmg cos 37°L AB ，⑤联立③④⑤解得L AB ＝2.4 m.(3)因为mg sin 37°>μmg cos 37°(或μ<tan 37°)，所以，小物体不会停在斜面上．小物体最后以C 为中心，B 为一侧最高点沿圆弧轨道做往返运动，从E 点开始直至运动稳定，系统因摩擦所产生的热量，Q ＝ΔE p ，⑥ΔE p ＝mg (h ＋R cos 37°)，⑦联立⑥⑦解得Q ＝4.8 J.答案 (1)12.4 N (2)2.4 m (3)4.8 J【随堂演练】1．BC [物体重力势能的减少始终等于重力对物体所做的功，A 项错误；运动物体动能的减少量等于合外力对物体做的功，D 项错误．]2．AC [由v －t 图象可知，货物在前3 s 内具有向上的加速度，因此货物处于超重状态，选项A 正确；最后2 s 内，货物具有向下的加速度，其大小为a ＝62m/s 2＝3 m/s 2<g ，因此货物在这一段时间内受重力和向上的拉力，选项B 错误；货物在前3 s 内的平均速度v 1＝0＋62 m/s ＝3 m/s ，最后2 s 内的平均速度v 2＝6＋02m/s ＝3 m/s ，两者相同，选项C 正确；第3 s 末至第5 s 末的过程中，货物在向上的拉力和向下的重力作用下做匀速直线运动，拉力做正功．故机械能不守恒，选项D 错误．]3．BD [设F 2与水平方向成θ角，由题意可知：F 1v 1＝F 2v 2·cos θ，因cos θ<1，故F 1v 1<F 2v 2.当F 2＝F 1时，一定有v 1<v 2，故选项A 错误、B 正确．当F 2>F 1时，有v 1>v 2、v 1<v 2、v 1＝v 2三种可能，故选项C 错误．当F 2<F 1时，一定有v 1<v 2，故D 选项正确．]4．C [根据速度与时间的图象，可以求出0～6 s 内物体的位移大小为30 m ；根据拉力的功率与时间的图象，可以求出0～6 s 内拉力做的功为70 J ；0～2 s 内，拉力的大小为5 N ，大于滑动摩擦力的大小；由于2～6 s 内合外力不做功，所以合外力在0～6 s 内做的功与0～2 s 内做的功相等．综上所述，正确答案为C.]5．解析 (1)要求赛车在运动过程中既不能脱离轨道，又在CD 轨道上运动的路程最短，则小车经过圆轨道P 点时速度最小，此时赛车对轨道的压力为零，重力提供向心力，则mg ＝m v 2P R，由机械能守恒定律，可得mg ×2R ＋12m v 2P ＝12m v 2C，由上述两式联立，代入数据，可得C 点的速度v C ＝5 m/s.设小车在CD 轨道上运动的最短路程为x ，由动能定理，可得－kmgx ＝0－12m v 2C ，代入数据，可得x ＝2.5 m. (2)由于竖直圆轨道光滑，由机械能守恒定律可知：v B ＝v C ＝5 m/s.从A 点到B 点的运动过程中，由动能定理，可得Pt －kmgL ＝12m v 2B ，代入数据，可得t ＝4.5 s. 答案 见解析。