上海市高中理科班、数学班招生选拔测试数学试卷
2021年秋季高一新生入学分班考试数学试卷04(上海专用)原卷版
2021年秋季高一新生入学分班考试数学试卷04（上海专用)考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知4,2a b ab +==，则22a b +=____________.2．已知集合11,2,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{}2,B y y x x A ==∈，则A B = ____________.3．设全集为R ，集合()1,3A =，则A =R ð____________.4．设集合{}{}|12,B |04A x x x x =-≤≤=≤≤，则A B = ____________.5．如图，菱形OABC 的顶点O 的坐标为(0,0)，顶点A 的坐标为(3,0)，顶点B 在第一象限，边BC 与y 轴交于点D ，sin 3OAB ∠=，点E 在边OA 上．将四边形ABDE 沿直线DE 翻折，使点A 落在这个坐标平面内的点F 处，且AE EF ⊥．若点F 在某个反比例函数的图象上，则此反比例函数的解析式为________．6．点A 的坐标为()1,0-，点B 在直线24y x =-上运动，则线段AB 的长度的最小值为____________.7．方程22112310x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解为____________.8．若,x y 为非零实数，且2220x xy y +-=，则22223x xy y x y ++=+____________.9．已知,a b 为常数，若0ax b +>的解集是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，则0-<bx a 的解集是____________.10．设集合[][]1,3,1,24A B m m ==++，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是____________.11．设1234,,,a a a a 是4个互不相同的实数，且{}{}|,1411,21,30,39,49i j x x a a i j =+≤<≤=，则集合{}1234,,,a a a a =____________.12．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知函数()[]():3,1,:3f x p x q f x m =∈--<，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为____________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，连接BE 并延长与CD 的延长线交于点F ．若2EF EB =，3CD cm =，则FD 的长为（）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．9cm14．设A 、B 、U 均为非空集合，且满足A B U ⊆⊆，则下列各式中错误的是（）A ．()U C A B U= B ．()()U U U C A C B C B = C ．()U A C B ⋂=∅D ．()()U U C A C B U= 15．如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，35BDC ∠=︒．则ABC ∠的度数为（）A ．35︒B ．45︒C ．65︒D ．55︒16．若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X 属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意两个元素的并集属于τ；（3）τ中任意两个元素的交集属于τ，则称τ是集合X 上的一个拓扑，已知{},,X a b c =，对于下面给出的四个集合τ：①{}{}{}{},,,,,a c a b c τ=∅；②{}{}{}{}{},,,,,,,b c b c a b c τ=∅；③{}{}{}{},,,,,a a b a c τ=∅；④{}{}{}{}{},,,,,,,,a c b c c a b c τ=∅.其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是（）A ．②④B ．②③C ．①②④D ．①③④三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．如图，点P 、E 、F 分别在正方形ABCD 的对角线AC 、边AB 、边BC 的延长线上，直线EF PD ⊥，垂足为点P ，连接PB 、PD ．（1）若2PD =，求PB 的长；（2）求证：2EF PB =．18．如图，对称轴为直线1x =-的二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，B 点的坐标为(1,0)．（1）求此二次函数的解析式；（2）在直线1x =-上找一点P ，使PBC 的周长最小，并求出点P 的坐标；（3）若第二象限的且横坐标为t 的点Q 在此二次函数的图象上，则t 为何值时，四边形AQCB 的面积最大？最大面积是多少？19．某校为美化校园，计划对面积为18002m 的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为4002m 区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少2m（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天?20．已知二次函数221y x ax =++.（1）求该二次函数的定义域、值域、对称轴、顶点坐标（用a 表示，定义域、值域为集合）；（2）若当[]1,2x ∈-时，y 的最大值为4，求实数a 的值.21．在矩形ABCD 中，BD 为矩形ABCD 的对角线，60CBD ∠= ，12BD =．（1）如图①，将BCD △绕点B 逆时针旋转120 得到00BC D ，其中，点C 、D 的对应点分别是点0C 、0D ，延长00D C 交AB 于点E ．求BE 的长；（2）如图②，将（1）中的00BC D 以每秒1个单位长度的速度沿射线BC 向右平行移动，得到111B C D △，其中，点B 、0C 、0D 的对应点分别是点1B 、1C 、1D ，当点1C 移动到边CD 上时停止移动．设移动的时间为t 秒，111B C D △与矩形ABCD 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）如图③，在111B C D △移动过程中，直线11D C 与线段AB 交于点N ，直线11B C 与线段BD 交于点M ．是否存在某一时刻t ，使MNC 为等腰三角形，若存在，求出时间t ；若不存在，请说明理由．2021年秋季高一新生入学分班考试数学试卷04（上海专用)考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知4,2a b ab +==，则22a b +=____________.【答案】12【分析】由完全平方公式变形求解．【详解】由已知2222()242212a b a b ab +=+-=-⨯=．故答案为：12．【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题关键．2．已知集合11,2,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{}2,B y y x x A ==∈，则A B = ____________.【答案】{}1【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】11,2,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ ，{}21,,1,44B y y x x A ⎧⎫==∈=⎨⎬⎩⎭，因此，{}1A B ⋂=.故答案为：{}1.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.3．设全集为R ，集合()1,3A =，则A =R ð____________.【答案】(][),13,-∞+∞ 【分析】直接根据补集的定义即可得结果.【详解】因为()1,3A =，所以(][),13,A =-∞+∞R ð，故答案为：(][),13,-∞+∞ .【点睛】本题主要考查了补集的运算，属于基础题.4．设集合{}{}|12,B |04A x x x x =-≤≤=≤≤，则A B = ____________.【答案】[]1,4-【分析】直接根据并集的定义运算即可.【详解】因为{}{}|12,B |04A x x x x =-≤≤=≤≤，所以[]1,4A B =- ，故答案为：[]1,4-.【点睛】本题主要考查了并集的运算，属于基础题.5．如图，菱形OABC 的顶点O 的坐标为(0,0)，顶点A 的坐标为(3,0)，顶点B 在第一象限，边BC 与y 轴交于点D ，sin 3OAB ∠=，点E 在边OA 上．将四边形ABDE 沿直线DE 翻折，使点A 落在这个坐标平面内的点F 处，且AE EF ⊥．若点F 在某个反比例函数的图象上，则此反比例函数的解析式为________．【答案】333y x-=【分析】根据题意得OD =，进而由对称性得135DEF ∠= ，45DEO ∠= ，故DEO 是等腰直角三角形，进一步得3OE OD AE EF ====-，点F 的坐标为：)3-再根据待定系数法求解析式即可.【详解】解：由3sin 3OAB ∠=知，B y =，所以OD =∵四边形ABDE 沿直线DE 翻折，且AE EF ⊥，∴()1360901352DEF ∠=-= ，∴1359045DEO ∠=-= ，故DEO 是等腰直角三角形，∴3,33OE OD AE EF ====，∵点F 在第四象限，∴点F 的坐标为：)3,33-∴设反比例函数解析式为()0k y k x=≠，待定系数得：333k =-，∴此反比例函数的解析式为333y x -=.故答案为;333y x-=【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形性质，翻折变换的性质，待定系数法求解析式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于判断出DEO 是等腰直角三角形，进而求得点F 的坐标.6．点A 的坐标为()1,0-，点B 在直线24y x =-上运动，则线段AB 的长度的最小值为____________.【答案】55【分析】当AB 垂直于24y x =-时，线段AB 最小，求出点到直线距离即可.【详解】当AB 垂直于24y x =-时，线段AB 最小，()2146555⨯--=，故答案为：55.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式，属于基础题.7．方程22112310x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解为____________.【答案】2x =或12x =【分析】令1t x x =+换元转化为一元二次方程求解．【详解】令1t x x =+，则22212x t x +=-，原方程可变为：22(2)310t t ---=，即22350t t --=，(1)(25)0t t +-=，11t =-，252t =，11t =-时，11x x+=-，210x x ++=，1430D =-=-<，无实数解252t =时，152x x +=，22520x x -+=，解得12x =，212x =．故答案为：2x =或12x =【点睛】本题考查用换元法解方程，对较为复杂的方程（高次的或分式等方程）可用换元法进行转化，化为低次方程，整式方程求解．8．若,x y 为非零实数，且2220x xy y +-=，则22223x xy y x y ++=+____________.【答案】15-或52【分析】由于y 与x 不能同时为0，不妨设0y ≠，由2220x xy y +-=解得x y =或2x y =-，再代入即可得出结果.【详解】由22223x xy y x y++=+有意义，可知y 与x 不能同时为0．不妨设0y ≠，由2220x xy y +-=，化为()()20x y x y +-=，解得x y =或2x y =-，把x y =代入，可得22222235522x xy y y x y y ++==+，把2x y =-代入，可得222222222346145x xy y y y y x y y y ++-+==-++，故答案为：15-或52.【点睛】本题主要考查了方程的解法和求代数式的值，属于基础题9．已知,a b 为常数，若0ax b +>的解集是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，则0-<bx a 的解集是____________.【答案】(),3∞--【分析】由题意知0a <，0b >，3a b=-即可求0-<bx a 的解集；【详解】由0ax b +>的解集是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，知：0a <且13b a =-，∴0b >且3a b=-，即可知0-<bx a 的解集为3x <-，故答案为：(),3∞--【点睛】本题考查了求含参的一元一次不等式的解法，由已知不等式的解集判断参数的符号及数量关系，进而求由原参数重构后新不等式的解集；10．设集合[][]1,3,1,24A B m m ==++，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是____________.【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据子集的定义得出不等关系后求解．【详解】∵A B ⊆，∴11243m m +≤⎧⎨+≥⎩，解得102m -≤≤．故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】查考集合包含关系，掌握子集的定义是解题关键．11．设1234,,,a a a a 是4个互不相同的实数，且{}{}|,1411,21,30,39,49i j x x a a i j =+≤<≤=，则集合{}1234,,,a a a a =____________.【答案】{}1,10,20,29【分析】不妨设1234a a a a <<<，集合{}|,14i j x x a a i j =+≤<≤中至多有6个数，确定i j a a +中的最小和最大的数，再确定次小与次大的数，然后还有两个相等为中间的数，由此可得解．【详解】不妨设1234a a a a <<<，则在集合{}|,14i j x x a a i j =+≤<≤中，12a a +最小，34a a +最大，即1211a a +=，3449a a +=，第二小的数是13a a +，第二大的数是24a a +，即1321a a +=，2439a a +=，从而有142330a a a a +=+=，由1211a a +=，3449a a +=，1321a a +=，2439a a +=，142330a a a a +=+=，可解得11a =，210a =，320a =，429a =，故答案为：{}1,10,20,29【点睛】本题考查求集合中的元素，解题时根据集合的定义，把i j a a +排列，再根据集合的定义得出结论后可求解．考查了逻辑推理能力，运算求解能力．12．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知函数()[]():3,1,:3f x p x q f x m =∈--<，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为____________.【答案】（0，3）【分析】求出[3,1]x ∈-时，()f x 的范围，再求出q 为真时，()f x 的范围，由充分条件对应的集合包含关系可得m 的范围．【详解】p 为真时，[3,1]x ∈-，29[0,9]x -∈，()[0,3]f x ∈，q 为真时，()3f x m -<，3()3m f x m -<<+，p 是q 的充分条件，则3033m m -<⎧⎨+>⎩，解得03m <<．故答案为：(0,3)，【点睛】本题考查充分条件，考查充分条件与集合包含之间的关系，解题关键是问题转化为集合包含关系．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，连接BE 并延长与CD 的延长线交于点F ．若2EF EB =，3CD cm =，则FD 的长为（）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．9cm【答案】B【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形可得//AD BC ，进而可得【详解】因为四边形ABCD 是平行四边形，DEF CFB ，根据对应边成比例即可求解.所以//AD BC ，即//ED BC ，所以DEF CFB ，所以2233FBFD FEFC FB FB ===，所以233FD FD =+，解得：6FD =，故选：B.14．设A 、B 、U 均为非空集合，且满足A B U ⊆⊆，则下列各式中错误的是（）A ．()U C AB U = B ．()()U U UC A C B C B = C ．()U A C B ⋂=∅D ．()()U U C A C B U= 【答案】D【分析】做出韦恩图，根据图形结合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可得出结论.【详解】A B U ⊆⊆，如下图所示，则U U C B C A ⊆，()U C A B U = ，选项A 正确，()()U U U C A C B C B = ，选项B 正确，()U A C B ⋂=∅，选项C 正确，()()U U U C A C B C A U =≠ ，所以选项D 错误.故选:D.【点睛】本题考查集合交、并、补计算，利用韦恩图是解题的关键，属于基础题.15．如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，35BDC ∠=︒．则ABC ∠的度数为（）A ．35︒B ．45︒C ．65︒D ．55︒【答案】D【分析】由圆的性质可得90ACB ∠=︒，35CAB BDC ∠=∠=︒，在直角三角形ABC 中，根据三角形的内角和性质，可得答案.【详解】在圆O 中，AB 为直径，则90ACB ∠=︒由圆中同弧所对的圆周角相等，得35CAB BDC ∠=∠=︒所以在直角三角形ABC 中，903555ABC ACB CAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒故选：D16．若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X 属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意两个元素的并集属于τ；（3）τ中任意两个元素的交集属于τ，则称τ是集合X 上的一个拓扑，已知{},,X a b c =，对于下面给出的四个集合τ：①{}{}{}{},,,,,a c a b c τ=∅；②{}{}{}{}{},,,,,,,b c b c a b c τ=∅；③{}{}{}{},,,,,a a b a c τ=∅；④{}{}{}{}{},,,,,,,,a c b c c a b c τ=∅.其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是（）A ．②④B ．②③C ．①②④D ．①③④【答案】A【分析】根据集合X 上的拓扑的集合τ的定义，逐个验证即可【详解】对于①，{}{}{}{},,,,,a c a b c τ=∅，而{}{}{},a c a c τ⋃=∉，所以①不是集合X 上的拓扑的集合τ；对于②，{}{}{}{}{},,,,,,,b c b c a b c τ=∅，满足（1）X 属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意两个元素的并集属于τ；（3）τ中任意两个元素的交集属于τ，所以②是集合X 上的拓扑的集合τ；对于③，{}{}{}{},,,,,a a b a c τ=∅，而{}{}{},,,,a b a c a b c τ⋃=∉，所以③不是集合X 上的拓扑的集合τ；对于④，{}{}{}{}{},,,,,,,,a c b c c a b c τ=∅，满足（1）X 属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意两个元素的并集属于τ；（3）τ中任意两个元素的交集属于τ，所以④是集合X 上的拓扑的集合τ；故选：A【点睛】此题考查学生的理解能力，考查集合的有关新定义，是开放型的问题，属于基础题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．如图，点P 、E 、F 分别在正方形ABCD 的对角线AC 、边AB 、边BC 的延长线上，直线EF PD ⊥，垂足为点P ，连接PB 、PD ．（1）若2PD =，求PB 的长；（2）求证：2EFPB =．【答案】（1）2PB =；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意，证出BCP DCP ≅ 即可求解.（2）延长DC 交EF 于点G ，证出90E PDC ∠=︒-∠，90PBE PBC ∠=︒-∠，从而可得E PBE ∠=∠，即证出PB PE =，再证出F PBF ∠=∠，得出PB PF =，即证.【详解】（1） 四边形ABCD 是正方形，45ACB ACD ∴∠=∠=︒，BC CD =．点P 在正方形ABCD 的对角线AC 延长线上，135BCP DCP ∴∠=∠=︒．又CP CP = ，BCP DCP ∴≅ ．∴PB =PD ．Q PD =2∴，PB =2 ．（2）证明：由（1） BCP ≅DCP 得∠PBC ∠ =PDC ．延长DC 交EF 于点G ．四边形 ABCD 是正方形，∴CG / /BE ．∠∴E ∠ =DGP ．DP ⊥PG ，∠∴DGP =90∠ − °PDC ．∠∴E =90∠ − °PDC ． 点E 在边 AB 的延长线上，∠∴FBE =90∠∴．°PBE =90∠ − °PBC ，∠∴E ∠ =PBE ．∴PB =PE ．又∠ F =90∠ − °E ，∠PBF =90∠ − °PBE ，∠∴F ∠ =PBF ．∴PB =PF ． EF =PB +PF ，∴EF =2PB ．18．如图，对称轴为直线1x =-的二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，B 点的坐标为(1,0)．（1）求此二次函数的解析式；（2）在直线1x =-上找一点P ，使PBC 的周长最小，并求出点P 的坐标；（3）若第二象限的且横坐标为t 的点Q 在此二次函数的图象上，则t 为何值时，四边形AQCB 的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）223y x x =--+；（2）P (1,2)-；（3）32t =-时，AQCB S 四边形有最大值，此时AQCB S 四边形的最大值为758.【分析】（1）根据对称轴以及和x 轴的交点坐标，直接计算即可得解；（2）要在直线1x =-上找一点P 使PBC 的周长最小的问题，也就是要在直线1x =-上找一点P 使PC 与PA 的和最小的问题，在连接AC 的线中，线段AC 最短，设经过A 、C 两点的直线为直线y mx n =+，联立方程即可得解；（3）由ABC ACQ AQCB S S S =+ 四边形，则()23632AQCB S t t =+--四边形23375228t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭故当32t =-时，AQCB S 四边形有最大值.【详解】（1） 二次函数2y x bx c =-++的图象的对称轴为直线1x =-，12(1)b∴-=-⨯-．2b ∴=-．点(1,0)B 在二次函数2y x bx c =-++的图象上，21(2)10c ∴-+-⨯+=．3c ∴=．∴二次函数的解析式为223y x x =--+．（2）由（1）知二次函数的解析式为223y x x =--+．令0x =，得3y =．∴点C 的坐标为(0,3)．由题意，可得点(1,0)B 与点(3,0)A -关于直线1x =-对称．∴要在直线1x =-上找一点P 使PBC 的周长最小的问题，也就是要在直线1x =-上找一点P 使PC 与PA 的和最小的问题．在连接AC 的线中，线段AC 最短．∴直线AC 与直线1x =-的交点就是所要找的点P （如图），设经过A 、C 两点的直线为直线y mx n =+，则有303m n n -+=⎧⎨=⎩，13m n =⎧∴⎨=⎩．3y x ∴=+．由31y x x =+⎧⎨=⎩，得点P 的坐标为(1,2)-．（3）如图．过点Q 作QF x ⊥轴，垂足为F ，直线AC 与直线QF 交于点E ．则ABC ACQ AQCB S S S =+ 四边形．1143622ABC S AB OC =⋅⋅=⨯⨯= ，ACQ AQE CQE S S S =+ 11132222QE AF QE OF QE OA QE=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅又 点Q 的横坐标为t ，∴点Q 和点E 的纵坐标分别为223t t --+和3t +．2223(3)3QE t t t t t ∴=--+-+=--．()23632AQCB S t t ∴=+--四边形22393375622228t t t ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭．由题意知，30t -<<．∴当32t =-时，AQCB S 四边形有最大值，此时AQCB S 四边形的最大值为758．19．某校为美化校园，计划对面积为18002m 的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为4002m 区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少2m（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天【答案】（1）甲：1002m ，乙：502m ；（2）10天.【分析】(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积为x 2m ,根据在独立完成绿化的面积时,甲队比乙队少用4天,列出方程,求解即可;(2)设应安排甲队工作y 天,根据这次绿化的面积总费用不超过8万元,列出不等式,求解即可.【详解】解:(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积为x 2m ，根据题意得:40040042x x-=,解得:50x =,经检验50x =是原方程的解,则甲工程队每天能完成绿化的面积是2502100m ⨯=答:甲工程队每天能完成绿化的面积分别是1002m ,乙工程队每天能完成绿化的面积分别是502m (2)设应安排甲队工作y 天,根据题意得:18001000.40.25850yy -+⨯≤,解得:10y ≥答:至少应安排甲队修建10天.【点睛】本题考查不方程和不等式在实际问题中的应用，考查分析问题的能力，属于基础题.20．已知二次函数221y x ax =++.（1）求该二次函数的定义域、值域、对称轴、顶点坐标（用a 表示，定义域、值域为集合）；（2）若当[]1,2x ∈-时，y 的最大值为4，求实数a 的值.【答案】（1）定义域为R ，值域为)21,a ⎡-+∞⎣，对称轴为x a =-，顶点坐标为()2,1a a--；（2）1-或14-.【分析】（1）对二次函数进行配方，根据二次函数的性质可得结果；（2）二次函数的性质可得最大值必在1x =-或2x =处取得，分别讨论、验证即可得结果.【详解】（1）∵()222211y x ax x a a =++=+-+，由二次函数性质可得：定义域为R ，值域为)21,a ⎡-+∞⎣，对称轴为x a =-，顶点坐标为()2,1a a--.（2）由二次函数的性质可得最大值必在1x =-或2x =处取得，当1x =-时，224y a =-=，解得1a =-，此时在2x =处的函数值为1，满足题意；当2x =时，544y a =+=，解得14a =-，此时在1x =-处的函数值为52，满足题意；故实数a 的值为1-或14-.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，考查了数形结合的思想，属于基础题.21．在矩形ABCD 中，BD 为矩形ABCD 的对角线，60CBD ∠= ，12BD =．（1）如图①，将BCD △绕点B 逆时针旋转120 得到00BC D ，其中，点C 、D 的对应点分别是点0C 、0D ，延长00D C 交AB 于点E ．求BE 的长；（2）如图②，将（1）中的00BC D 以每秒1个单位长度的速度沿射线BC 向右平行移动，得到111B C D △，其中，点B 、0C 、0D 的对应点分别是点1B 、1C 、1D ，当点1C 移动到边CD 上时停止移动．设移动的时间为t 秒，111B C D △与矩形ABCD 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）如图③，在111B C D △移动过程中，直线11D C 与线段AB 交于点N ，直线11B C 与线段BD 交于点M ．是否存在某一时刻t ，使MNC 为等腰三角形，若存在，求出时间t ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）BE =（2）23s t =-+-，69t ≤＜；（3）存在，t 的值为214-或32-+或3+【分析】（1）证明00DBC D BC ≅ ，求出0ED B ∠即可求解；（2）分情况讨论，当0C 在矩形ABCD 外时03t ≤≤，阴影部分是三角形，可利用相似三角形求出面积；当0C 在矩形ABCD 内部时，阴影部分是四边形，分36t <≤和69t <≤；（3）根据已知用t 表示相关线段，根据等腰列出一元二次方程，判断非常的根即可.【详解】（1）在矩形ABCD 中，90ABC C ∠=∠=o ，60CBD ∠= ，0120DBD ∠= ，0180D BD DBC ∴∠+∠=，0D ∴、B 、C 三点在一条直线上，090ABD ∠= ，又由旋转知00DBC D BC ≅ ，0060D BC DBC ∴∠=∠=，012D B DB ==，030ED B ∴∠= ，0tan 30123BE BD ∴==⨯= ；（2）当03t ≤≤时，232s t =，当36t <≤时，236s t =-+-当69t <≤时，23s t =-+-．（3）sin 12sin 60122CD BD CBD =∠=⨯=⨯= 1cos 12cos 601262BC BD CBD =∠=⨯=⨯= ，过点M 作MF ⊥于点F (如图)，1BB M 为等边三角形，11BM B M BB t ∴===，16C M t ∴=-，112D B t =-，162CF t =-，2MF t =，(12)3BN t ∴=-，1(12)3D N t =-，16 /161)6)C N t t =--=-，2222221176)620483MN C N C M t t t t ∴=+=-+-=-+，2222221663622MC CF MF t t t ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22222216(12)88433NC BC BN t t t ⎤=+=+-=-+⎥⎣⎦．①当MN MC =时，22720486363t t t t -+=-+，解得：12194t +=>（舍去），2214t -=．②当MC NC =时，2216368843t t t t -+=-+，解得：3302t --=<（舍去），432t -+=．③当MN NC =时，2271204888433t t t t -+=-+，解得：530t =-<（舍去）63t =+综上所述：当t的值为214-或32-+或3+MNC 为等腰三角形．【点睛】关键点点睛：利用三角形全等可求出边和角，由图形的变换利用间接法可计算图形的面积，讨论等腰三角形三种情况列方程求根即可.。
上海市高中数学实验班理科实验班入学测试.doc
上海市2002年高中数学实验班理科实验班入学测试数 学 试 卷（满分150分，考试时间90分钟）一、填空题（本大题满分80分，每小题8分）1、 设x 为满足x 2002+20022001＝x 2001+20022002 的整数，则x ＝2、 设m ＝162005200320011999+⨯⨯⨯，则m 的末两位数字为3、 关于x 、y 的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=++ 211a y x x a x y x 恰有一组实数解，则实数a 的值为 4、 设f(x)为一次函数，满足：f(0)= -1，f(f(0))= -2，则f(2002)的值为5、 依法纳税是每个公民的义务，依我国税法规定：月收入超过800元的部分需要交税（800元以内不交税），且根据超过部分的多少按不同的税率交税。
不超过500元部分税率为5％；超过500元至2000元部分税率为10％；…某职员在2002年3月的应交税款为105元，则该职员在该月的税后收入为 元。
6、 设n 为正整数，且n 3+2n 2是一个奇数的平方，则满足条件的n 中，最小的两个数之和为7、 如图所示，一个半径为2的圆过一个半径为2的圆的圆心，则图中阴影部分的面积为8、 如图所示，四边形ABCD 是某个圆的圆外切四边形，已知∠A ＝∠B ＝120°，∠D ＝90°,且BC ＝1，则AD 的长为9、 设n 为不小于2的正整数，记n 的所有正约数（包括1和n ）的乘积为P(n),已知P(n)=n 12，则n 的最小值为10、 已知从1，2，…，9中可以取出m 个数，使得这m 个数中任意两个数之和不相等，则m 的最大值为二、解答题（本大题满分70分，共4个小题）11、 （本题14分）已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=-+=+14a x y x y x 恰有两组解，求实数a 的取值范围。
第8题图A12、 （本题16分）在△ABC 中，∠A ＝120°，K 、L 分别是AB 、AC 上的点，向△ABC的形外作正三角形BKP 和CLQ 。
2023年上海高中自主招生考试数学全真模拟试卷含详细参考答案
2023年上海自主招生数学全真模拟试卷(一)一．填空题1.关于x 的一元二次方程2(31)80x a x a +-++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121,1x x <>，则实数a 的取值范围为_________2.设x =48(1)x +=________3.若1x x -=，则1064108211x x x x x x ++++++的值为___________4.，x,y 的值分别是_____5.已知平行四边形ABCD 的周长为52，自顶点D 作DE ⟂AB ，DF ⟂BC ，点E 、F 为垂足，若DE=5，DF=8，则BE+BF=__________.6.请将112、16、14、13、512、12、712、23、34填入以下方格，使得每行、每列、每条对角线上的数之和都相等.7.已知梯形的一条底边比另一条底边长100个单位，梯形两腰中点的连线把梯形分成面积比为2：3的两部分.设x 是连接梯形的两腰，平行于梯形底边，并分梯形为面积相等的两部分的线段长度，则x 2=________.8.在△ABC 中，AB=7，BC=8，CA=9，过△ABC 的内切圆圆心I ，作DE||BC ，分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，则DE 的长为________.9.实系数二次多项式()p x 满足对所有的实数，都有2222()243x x p x x x -+≤≤-+，已知(11)181p =，则(16)_____p =10.如图，△ABC 的三边长BC=a ,CA=b ,AB=c ，a 、b 、c 都是整数，且a 、b 的最大公约数为2.点G 、I 分别为△ABC 的重心和内心，∠GIC=90°，则△ABC 的周长为________二．解答题.11.若两个不相等的实数a 、b ，使得2a b +与2a b +都是有理数，则称数对(a,b )是和谐的.(1)找出一对无理数，使得(a,b )是和谐的；(2)证明:若(a,b )是和谐的，且a+b 是不等于1的有理数，则a 、b 都是有理数；(3)证明:若(a,b )是和谐的，且a b是有理数，则a 、b 都是有理数.12.试求实数a 、b 使得抛物线21y x ax b =++与22y x bx a =++与x 轴有4个交点，且相邻两个点之间的距离相等.13.如图，C 是线段AB 的中点，△DCE 和△BDF 都是等腰直角三角形，连接AE 、AF ，请猜想∠EAF 的度数并证明.14.已知a+b+c 是a 、b 、c 的倍数，且每个数都不大于2021，则满足条件的(a,b,c )有几组？(3个数顺序不同，视为不同组数)参考答案1.解：题目已知等价于函数2()(31)8f x x a x a =+-++与x 轴的两交点横坐标121,1x x <>即有(1)480,2f a a =+<<-；下图方便同学们理解:2.设1y =≠，则有842842481644(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4(1),1,(1)125(1)y x y y y y y y y y y y y x x y -==++++++++--===+=-3.由已知得22242211(,717x x x x x x-=+=⇒+=,代入得原式=6424244242828842422242444(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)[(1)](1)(7)742(1)249247x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-++-++==++++++-+-===+--4.原代数式理解为坐标系中点A(-3,-2)B(x ,0)C(0,y )D(1,2),AB+BC+CD 的最小值，AB+BC+CD AD ≥，当点A 、B 、C 、D 共线时取最小值，AD ：y=x +1,此时易得x =-1,y=15.①DE 、DF 在外面时，易知AB:BC=8:5,而AB+BC=26，故AB=16，BC=10，而AE=5，CF=8BE+BF=26+13②DE 、DF 在外面时，易知AB:BC=8:5,而AB+BC=26，故AB=16，BC=10，而，CF=86.通分易知分母为12的分数，由三阶幻方的方法得到结果：7.设梯形较短的底长为a ，则其较长的底的长度为a +100,中位线长为a +50,由梯形面积计算公式得(2a +100):(2a +150)=2：3得a =75,设平分梯形面积的线段长为x ，延长两腰交于一点，以75、x 、175为底的三形都相似，相似比为752：x 2:1752,2222275175,18125x x x -=-=8.设ABC 的三边长为a 、b 、c ，内切圆I 的半径为r ，BC 边上的高为h ，则由等面积法可得11()22ah a b c r =++，r a h a b c =++而ADE~ABC 得h r DE h BC -=，DE=()()16(1)3h r a r a b c a h h a b c -+=-==++9.配方得22(1)1()2(1)1x p x x -+≤≤-+，左右两边表示的抛物线顶点都是(1,1),故p(x)的顶点也是(1,1)，设2()(1)1p x a x =-+，9(11)181,,(16)4065p a p ===10.如图延长GI ，与边BC 、CA 分别交于点P 、Q ，连接GC ，作GEBC ，GFAC ，设内切圆的半径为r ，BC 、CA 边上的高分别为,a b h h ，易知CP=CQ ，由PQC GPC GQC S S S ,∆∆∆=+，12E GF ()3a b r G h h =+=+，2S 2S 2S 162(),,3ABC ABC ABC ab a b c a b c a b a b∆∆∆=+++=+++而G 、I 不重合，ABC 不是正三角形；不妨设a>b ,(a,b )=2,设a =2m ,b=2n ,(m,n )=1，故612,()|12,|24,14,10,11,ab mn m n a b a b c a b m n=++===++此时周长为35.11.(1)(a,b 112,222-是和谐的.(答案不唯一)(2)由已知22()()()(1)t a b a b a b a b =+-+=-+-是有理数，a+b=s 是有理数，1t a b a b -=+-，解得1()21t a s s =+-是有理数，b=s-a 是有理数.(3)若20a b +=则a b b =-是有理数，因此22()a a b b =+-也是有理数；若20a b +≠，2221()(1()()1a a b b b x a a b b b ++==++是有理数，a y b =也是有理数，因此2211,1y x xy b b xy y x--==--是有理数，因此22()a a b b =+-也是有理数；12.设y 1与x 轴交于x 1,x 2,(x 1>x 2)设y2与x 轴相交于x3,x4,①当y 1与y 2在x 轴的交点不交错时，x 1>x 2>x 3>x 4,(y 1的两个交点都在y 2两交点的右侧),或x 3>x 4>x 1>x 2或x 1>x 3>x 4>x 2，由距离公式可得a=b ，矛盾;②当y 1与y 2在x 轴的交点交错时，即x 1>x 3>x 2>x 4或x 3>x 1>x 4>x 2，此时有x 1-x 3=x 3-x 2=x 2-x 4,x 3为x 1和x 2的中点，即点(,0)2a -，代入得2042a ab a -+=同理2b 042ab b -+=得4,0a b =-=或0,4a b ==-13.分析：题目中出现两个等腰直角三角形和中点，与中点有关的辅助线较多，给同学们很多思考方向，例如倍长中线；而等腰直角三角形性质特殊，也可以由此作为突破点进行思考.而两个等腰直角三角形可构造手拉手模型，亦可构造相似.方法一：构造正方形构造正方形CDGE ，易知△GDF ≌△CDB ，△AEC ≌△FEG,得△EAF 为等腰直角三角形，故∠EAF=45°方法二：手拉手全等延长DC 至G ，使CG=CD ，连接AG 、EG ，易证△CDB ≌△CGA ，而∠CDB=∠CGA ，∠AGE=∠CGA-45°，而∠EDF=45°+∠CDB-90°=∠CDB-45°，故∠AGE=∠EDF ；而AG=DF ，EG=ED ，得△AGE ≌△FDE ，得△AEF 为等腰直角三角形，故EAF=45°方法三：相似三角形取BF的中点G，连接EG、CF、EF，DG：DF=1：√2，CD：DE=1：√2，而∠EDF=∠CDG，故△DEF~△DCG，故CG：EF=1：√2，而CG：AF=1：√2，故EF：AF=1：√2，而∠AFE=45°，故△AEF为等腰直角三角形，故∠EAF=45°14.符合条件的类型为(k,k,k)有2021组，(k,k,2k)有1010X3=3030组，(k,2k,3k)有673X6=4038组，共9089组.。
上海高中数学试题及答案
上海高中数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)2. 已知等差数列{an}的前三项依次为2，5，8，则其第10项a10为：A. 27B. 28C. 29D. 303. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (2, -3)D. (-2, 3)4. 函数y = 2x + 3与y = -x + 1的交点坐标为：A. (-1, 1)B. (1, 1)C. (-1, -1)D. (1, -1)5. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a^2 + b^2 =c^2，那么三角形ABC是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不能确定6. 函数y = 3x - 2的反函数为：A. y = (x + 2)/3B. y = (x - 2)/3C. y = 3x + 2D. y = -3x + 27. 以下哪个选项是复数的共轭复数：A. z = 3 + 4iB. z* = 3 - 4iC. z = 3 - 4iD. z* = 3 + 4i8. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B为：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值为：A. -1B. 1C. 3D. 510. 直线y = 2x + 1与x轴交点的横坐标为：A. 0.5B. -0.5C. 0D. 1二、填空题（每题4分，共20分）1. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x) = _______。
2. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = 2an + 1，求a3 = _______。
24621_1999年上海市高中.doc
上海市高中数学班理科班招生测试数学卷一、填空题（本大题满分80分，每小题8分）1、 已知方程ax 2+bx+c=0的两根之积为-6，bx 2+cx+a=0的两根之积为8,则cx 2+ax+b=0的两根之积为2、 图1是由一些边长是1的正方形构成，那么，此图中边长为整数的正方形共有 个3、 如图2如示，正方形BDEF 和正方形PQRS 都是等腰直角△ABC 的内接正方形，则=BDEFPQRS S S4、 已知9919+=x 是方程x 4+bx 2+c=0的根,则整数b 、c 的和b+c=5、 已知正实数x 、y 、z 满足⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++35158zx x z yz z y xy y x 则x+y+z+xyz=6、 如图3如示，直角△ABC 中，∠BAC=90°,M 、N 是BC上的点，BM ＝MN ＝NC ，如果AM ＝4，AN ＝3，则MN ＝ 7、 已知二次函数()c bx ax x f ++=2的系数a 、b 、c 都是整数，并且1999)99()19(==f f 1000<c ，则c ＝8、 已知实数x 、y 满足()()11122=++++y y x x ，则x+y=9、 已知质数p 既可以表示为两个质数之和,也可以表示成两个质数之差，则p= 10、 如图4如示，点D 是等腰直角△ABC 的斜边BC 上的一点，BC ＝3BD ，CE ⊥AD ，则＝CEAE二、解答题（本大题满分70分） 11、 （本题满分14分）若实数a 满足()33333421112+--a＝，试求a 的值。
图1图2图3图412、 （本题满分16分）{}n x x x ,,,21 表示一个由n 个不同的数组成的集合，仅数的排列顺序不同的集合被认为是同一个集合，例如{}{}1323,2,1，，与是同一个集合，若{}{}zx yz xy x ，，与z ,y ,是同一个集合，试证明：x 、y 、z 的乘积为1。
2023年上海市高中自主招生数学全真模拟试卷(四)
高中自主招生数学全真模拟试卷(四)一．填空题1. 如图，已知A(-3,0)、B(0,-4),P 为双曲线12(0)y x x=>上任意一点，过点P 作PC ⟂x 轴于点C ，PD ⟂y 轴于点D ，则四边形ABCD 面积S 的最小值是_________.2. 如图，的直径AB 与弦CD(非直径)所在的直线交于圆外一点P ，且PA=AB=4，则PD 的取值范围是________.3. 如图，在△ABC 中，D 为边AB 的中点，G 为CD 的中点，过G 的直线分别为AC 、BC 交于点P 、Q ，则CA CB CP CP+的值为_______.4. 为了了解学生遵守《中华人民共和圆交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查，向被调查者提出问题：(1)你的学号是奇数吗？(2)在过路口的时候你是否闯红灯？要求被调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答每(1)个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪个问题，所以都如实做了回答，结果被调查者的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是”，由此可以估计出这600人中闯红灯的人数是_______,5. 对于每个x ，函数1232,2,212y x y x y x ==+=-+这三个函数的最上值，则函数y 的最大值是________6. 有五张分别写有1、2、3、4、5数字的卡片，每次从中抽取一张，记下卡片上的数字，然后放回，这样抽取4次，则抽到的最大数与最小数的差小于4的可能性为______7. 只有初、高中生参加的某种棋赛，其计分方式为：胜者得1分，败者得0分，和局双方各得0.5分，每一位选手与其他选手对局一次，已知参赛选手中高中生为初中生的两倍，但其所得部分为初中生的10倍，则初中生参赛人数至多为______.8. 如图，等腰梯形ABCD 与其内切圆如图所示，点M 、N 为切点，则AM DM AP DQ+的值为______二．解答题9. 若n 2-18,则使1+17n 是完全平方数的正整数n 有几个？10. 如果两圆外切，且它们的公切线相交成的锐角为60°，那么大圆的半径与小圆的半径的比值是多少？11. 解方程：22202251x y z =++,其中x ，y,z 为正整数12. 设关于x 的方程3222()(32)0a b x a ab b x a b -+-+++=的根都是整数，a-b 也是整数，求b 的最小值.参考答案1. 设P(12,x x )则C(x ,0)、D(0,12x ),知CA=x +3,DB=12x +4,则S=12CA ·DB=112(3)(4)2x x++化简得S=92()12x x ++又x>0,90x >于是2966x x +=+≥当且仅当9x x =，x =3时等号成立，S 24≥ 2. 如图，连接OD ，在POD 中，有PO-OD<PD<PO+OD,则4<PD<8,过点P 作PE 切圆O 于点E ，连接EC 、ED ，由切割线定理得PE 2=PA ·PB=32，,综上得<PD<83. 如图，作AE||PQ 与CD 交于点E ，BF||PQ 与CD 的延长线交于点F ，则AF||BF ，因为AD=BD ，故ED=FD ，又CA CE ,,,,CP CG CB CF CE CD DE CF CD FD CQ CG ===-=+故CA CB CE CF 2CD 4CP CQ CG CG++=== 4. 180个回答“是”(1),150(2),30{，这意味着300个回答(2)的人中有30个人回答“是”,600X10%=60人5. 在同一坐标系内分别画出123,,y y y 的图像，进而可得函数y 的图像，易知当x =103时，y 有最大值1636. 这5个数中只有5-1=4，因此1、5两张卡片不能同时被抽中；4次抽取可能出现的结果有45种，在这45种结果中，没有抽到1的有44，没有抽到5的有44种，5和1都没有抽中的有43种，所以P=1-44444435+-=1946257. 设初、高中生分别有x 、2x 人，由题设，所有学生得分总和是初中生的11倍，即223C 11C x x ≥解得4x ≤,故x 的最大值为4，当x=4时，初中生与高中生之间的比赛中，初中生均负.8. 连接PN 、NM ，易知△NAP~△MAN ，设AN=a ,∠ABM=α,所以2220MAN 22NAP S AM AM (2)22cos(180)54cos AP S AN a a a a C aα∆∆+-⋅⋅-====+同理得DM 54cos DQ C =-，故原式的值为10.9. 设1+17n=a 2,(a 为正整数),则21(1)(1)1717a a a n --+==因为n 为正整数，17为质数，所以117ab +=或117ac -=(b 、c 为整数)①当117a b +=时，221172201817a nb b -==-≤因为b 为整数，所以110b ≤≤此时有10个正整数使1+17n 是完全平方数；②当117a c -=时，221172201817a n c c -==+≤同理，有10个正整数使1+17n 是完全平方数.综上，符合条件的正整数n 有20个.10. 分如下三种情况进行求解：设大圆、小圆的半径分别为R 、r ，易知①如图1，0R R cos60,3;r r R r -==+②如图1，0R R sin30,3;rr R r -==+③如图1，0R R sin 60,7rr R r -==++ 11. 若2x ≥，则22510(mod 4)y z ++≡即2210(mod 4)y z ++≡，这不可能，故x =1即22202251y z =++，故22510(mod3)y z ++≡即221(mod3)y z +≡因此3|y 由此212(mod 5)y +≡，故1(mod5)y ≡±又2022>y 2,所以144y ≤≤，故y=6,9,21,24,36,39,代入可知(x,y,z )=(1,24,17),(1,39,10)12. 若a-b =0,方程可化为a+b =0,此时方程有无穷多个根，不合题意.若0a b -≠,令()a b x t -≠则t 为整数，且2()(2)()0a b t a b t a b -+-++=是关于t 的二次方程,由韦达定理得122b a t t a b -+=-，12a b t t a b+=-，故12122()3t t t t -+=所以12(2)(2)7t t --=；不妨设12t t ≥，则有122721{t t -=-=或122127{t t -=--=-得t 1=9,t 2=3或t 1=1,t 2=-5；则212,27b a a b a b a b -+==--或24,5b a a b a b a b-+=-=---得13a =14b 或2b =3a ,若13a =14b 则113a b b -=为整数，所以b 为整数且13|b ；又1()3,9,39,11713a b x t bx bx -====结合b 与x 为整数知b min =-39(若b=-117时，11,3x x =-=-，舍去)；若2b =3a ,同理可得b min =-3,综上，b 的最小值为-39。
2024学年上海市高中名校高三年级开学考数学试题附答案(共2套)
一、填空题1.已知集合(](]2,2,1,3A B =−=，则A B ⋂=____________2.不等式10x x−≤的解集为____________3.在621x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中，含6x 项的系数为____________4.椭圆2212516x y +=的离心率为____________5.若复数z 是方程220x x ++=的一个虚根，则z =____________ 6.已知X ~B 14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，Y ~N 21,2σ⎛⎫⎪⎝⎭，()()31P X P Y a =+<=，则()1P Y a >−=____________7.已知等比数列{}n a 中，21a =，公比12q =，则数列{}n a 的所有项和为____________ 8.某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天PM 2.5的浓度（单位：3/m g μ），数据依次为53,56,69,70,72,79,65,80,45,41,m (m >50)，已知这组数据的极差为40，则这组数据第m 百分位数为____________9.设点M 、N 均在双曲线22:143x y C −=上运动，12,F F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +−的最小值为____________10.某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，依据以往成绩估算该同学在物理、化学、政治科目等级中达A +的概率分别为532,,645，假设各门科目考试的结果互不影响，则该同学等级考至多有1门学科没有获得A +的概率为____________11.在周长为16的PMN 中，MN =6，PM PN ⋅的取值范围是____________12.设直线12,l l 分别是函数()ln 01ln 1x x f x x x −<<⎧=⎨>⎩图像上点12,P P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且12,l l 分别与y 轴相交点A 、B ，则PAB 面积的取值范围是____________二、选择题2024学年上海市高中名校高三年级开学考数学试题（一）13.已知ABC 的三边,,a b c 满足333a b c +=，则此三角形的形状是（ ） A .锐角三角形B .钝角三角形C .直角三角形D .无法确定14.若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为53π的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（ ）A .4B .2C .18D .915.有线性相关关系的变量,x y 的观测数据()(),1,2,3,,15i i x y i =，已知它们之间的线性回归方程是ˆ511yx =+，15118i i x ==∑，则151i i y ==∑（ ） A .17B .86C .101D .25516.已知函数()y f x =与它的导函数()'y f x =的定义域均为R ，现有下述两个命题：①“()y f x =是奇函数”是“()'y f x =为偶函数”的充分非必要条件②“()y f x =为严格增函数”是“()'y f x =为严格增函数”的必要非充分条件A .命题①和②均为真命题B .命题①为真命题，命题②为假命题C .命题①为假命题，命题②为真命题D .命题①和②均为假命题三、解答题17. 已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且2319a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记2nn a nb =，求数列{}n b 前n 项和n S .18.如图，三棱锥P -ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，2ABC π∠=，点D 、E 在线段AC 上，且AD =DE =EC =2，PD =PC =4，BC =3，点F 在线段AB 上，且EF //平面PBC .（1）求证：AB ⊥平面PEF ； （2）求二面角A -BC -P 的大小.19.通常公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园的适度，40%以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是8万人，下表是10月1日至7日4个时段该公园的人数统计，下表记录了10月1日至7日的实时在园人数：（1）甲同学从10月1日至7日随机1天的下午14时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率； （2）从10月1日至7日中任选两天，记这两天中这4个时间段的游览舒适度都为“舒适”的天数为X ，求X 的分布列和数学期望.20.已知抛物线2y x =上的运动()00,M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点交直线x t =于A 、B 两点.（1）若点M M 与焦点的距离；（2）若1t =−，P (1,1)、()1,1Q −，求证：A B y y ⋅为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数?若存在，求出t 的所有值；若不存在，请说明理由.21.已知函数()sin f x ax b x =+，当3x π=时，()f x 取得最小值为3π−.（1）求,a b 的值；（2）设直线():l y g x =，曲线():S y F x =，若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件：①直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点；②对任意x R ∈都有()()g x F x ≥，则称直线l 为曲线S 的“上夹线”。
2023年上海高中自主招生数学全真模拟试卷(七),含详细参考答案
自主招生数学全真模拟试卷(七)一．填空题1.如图，在△ABC 中，AB=9，BC=8，CA=7，AD 为内角平分线，以AD 为弦作一圆与BC 相切，且与AB 、AC 分别交于点M 、N ，则MN=________.2.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，在斜边AB 上分别截取AD=AC ，BE=BC ，DE=6，O 是△CDE 的外心，则O 到△ABC 三边距离之和是_______3.对于三个数a 、b 、c ，用min{a,b,c }表示这三个数中最小的数，例如min{-1,2,3}=-1,min{-1,2,a }=,11,1{aa a ≤-->-,那么min{21,(1),2x x x +--}的最大值为______. 4. 如图，在矩形OABC 中，OA=6，OC=5，反比例函数的图像与AB 、BC 分别交于点E 、F ，且CF<FB,OEF 与BFE 的面积之差等于11530，则此反比例函数的解析式为_________ 5. 设实数x 不等于0和1，则4231x x y x x-+=-的取值范围是________.6. 已知12345,,,,x x x x x 是非负实数，且12345100x x x x x ++++=，M 是12233445,,,x x x x x x x x ++++的最大值，则M 的最小值m=_________.7. 从1，2，3......20这20个整数中，每次取3个数，组成一个有序实数对(a,b,c ),使b 为a ，c 的比例中项，则不同的有序实数对(a,b,c )共有________对.8. 在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，从AB 中点P 0射出的光线到达边BC 的点经反射到达边CD 上的点P 2，再经反射到达边DA 上的点P 3，最后经反射到达边AB 上的点P 4，若P 0P 4=1，则tan ∠BP 0P 1=_________.二．解答题9. 已知正方形ABCD 的边长为5，P 为正方形内一点，且PC=5，求PB 的长.10. 用[x]表示不超过x 的最大整数(如[3.1]=3,[-3.1]=-4),设实数x 不为整数，且，求x 的值.11. 已知m 、n 都是实数，且3331m n mn ++=，求m+n 的值.12. 如图所示，在ABC 中，BC 边上依次有B 、D 、E 、C ，AC 边上依次有A 、G 、F 、C ，满足BD=CE=14BC ，CF=AG=14AC ，BF 交AE 于点J ，交AD 于点I ，BG 交AE 于点K ，交AD 于点H ，且ABC S ∆=1，求KHIJ S .参考答案1. 如图，连接DM ，由∠BDM=∠BAD=∠CAD=∠CMN ，得MN||BC 则△AMN~△ABC ，易知BD=92，又因为BM ∙BA=BD 2，所以BM ∙9=29()2得BM=94，从而有AM=274，又MN AM 3BC AB 4==因此MN=6. 2. 如图，连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，由OC=OD 知O 在CD 的垂直平分线上，又AD=AC ，则OA 平分CAD ，同理OB 平分CBD ，故O 是ABC 的内心，因此O 到ABC 的三边距离均与ABC 的内切圆的半径相等，半径为1()32AC BC AB +-=，故所求之和为9.3. 分别作出21,(1),2y x y x y x =+=-=-的图像如图所示，由图像知2min{1,(1),2}x x x +--的最大值为14. 由已知得A(6,0),B(6,5)，C(0,5),设此反比例函数为k y x =，则E(6,6k )F(5,5k ),故1S S ,(5)(6)256OAE OCF BEFk k k S ∆∆∆+==--，所以2F BE 161S -S 3030OE F k k ∆∆=-+=解得k=7或23，因为CF<FB 所以35k <，故反比例函数为7y x= 5. 显然2211x x y x x -=+-令t 1=21x x-则2110x t x --=其判别式2114t ∆=+，可知t1可取遍每一个非零实数，再令12111(0)t t t t +=≠则212110t t t -+=，判别式2124t ∆=-得2||2t ≥即||2y ≥，所以2211x x y x x -=+-的取值范围是2y ≥或2y ≤- 6. 依题意有12M x x ≥+，23M x x ≥+，45M x x ≥+，三式相加得23100M x ≥+即1003M ≥,当241351000,3x x x x x =====，此时1003M =，故M 的最小值为10037. 因为222214,319,.......12916818=⨯=⨯=⨯=⨯，每个等都有两组有序实数对(a,b )产生，所以共有22对.8. 当点P 4在点P 0左侧时，由对称性得图，因为P0P4=1，P 0为AB 的中点，且AB=4，AD=3，则AP 4=1，EA=1,EF=6,FG=10,P 0H=7，所以tan ∠BP 0P 1=76,同理，当P 4在点P 0的左侧时，有tan ∠BP 0P 1=32.9. 如图，作PE△AB 于点E ，PF△BC 于点F ，设PE=m ，PF=n ，在Rt△PAE 和Rt△PCF 中，分别由勾股定理得5)5(25)5(2222{=-+=+-n m n n 得m=n -2,代入得n=3或n=4；当n=3时，m=1,得PB=10；当n=4时m=2得PB=52，综上PB=10或5210. 去分母得0)113][])([(113][][113][22=--→+=+x x x x x x x x x x ,x 不是整数，故0][≠-x x ，0113][=-x x ，令)10(][<<+=t t x x ,代入得0113][][2=-+x t x 解得][][1132x x t -=，易知[x ]=-11，t =118,故11310-=x 11. 由已知01)()()(22233=-+++--+n m n mn m n m 即有0)1)(1()1)((22=++-++-++-n m n m n m n mn m 即0])1()1())[(1(222=++++--+n m n m n m 得1,01=+=-+n m n m ；10)1()1()(222-===++++-n m n m n m 时，，故m+n=1或-212.由梅涅劳斯定理有1AC FA JF BJ BE CE =⋅⋅又，，43AC FA 31BE CE ==则14JF BJ =即54BF BJ =同理可得，，，74BG BH 134BF BI 1312BG BK ===由共角比例定理得有6548131254S S BJK =⋅=⋅=∆∆BG BK BF BJ BFG 同理9116S S BFG BIH =∆∆故455256S S S S S HIH BJK HIJK =-=∆∆∆∆BFG BFG 四而21S S ABC BFG =∆∆，故455128S HIJK =四。
高一数学(解析版)(上海专用)-2024年秋季高一入学分班考试模拟卷
2024年秋季高一年级入学分班考试模拟卷数学满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试内容：初中内容+初升高衔接内容4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．计算：62a a ÷（-）（-）＝．【答案】4a -【分析】先依据公式得出正确的符号，再利用幂的除法公式计算．【解析】62624a a a a a -÷--÷-（）（）＝（）＝．故答案为：4a -．【点睛】本题考查幂的运算，正确运用公式是解题的关键．2．计算：cos 60sin 60cot 30tan 45︒-︒=︒-︒【答案】12-/0.5-【分析】根据特殊角三角函数代入求解即可得到答案；【解析】解：原式1122===-，故答案为：12-．【点睛】本题考查特殊角三角函数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角三角函数值．3．若一次函数(1)24y k x k =-+-的图象不过第一象限，则k 的取值范围是．【答案】12k <≤【分析】若函数y kx b =+的图象不过第一象限，则此函数的0k <，0b ≤，据此求解．【解析】 函数(1)24y k x k =-+-的图象不过第一象限，10,240k k ∴-<-≤，12k ∴<≤，故答案为：12k <≤．【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题关键是掌握一次函数的图象经过第几象限，取决于x 的系数是大于0或是小于0．4．不等式11x >-的解集是．【答案】{|0x x >或1}x <-【分析】由已知结合分式不等式的求法即可求解．【解析】由11x>-,可得1110x x x ++=>，即(1)0x x +>，解得0x >或1x <-．故答案为：{|0x x >或1}x <-．5．函数()1f x x =-的定义域为.【答案】[)(]4,11,4- 【分析】根据解析式列出不等式求解.【解析】因为()f x =所以2160x -≥且10x -≠，解得44x -≤≤且1x ≠，故函数的定义域为[)(]4,11,4- .故答案为：[)(]4,11,4- 6．某班进行一次班级活动，要在2名男同学和3名女同学中，随机选出2名学生担任主持人，那么选出的2名学生恰好是一男一女的概率是．【答案】35/0.6【分析】本题考查的是画树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．先画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得到答案．【解析】解：根据题意画图如下：共有20种等可能的情况数，选出的2位同学恰好为一男一女的有12种，则主持人是一男一女的概率为123205=．故答案为：35．7．已知方程22240x ax a -+-=的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数a 的取值范围.【答案】()0,4【分析】设()2224f x x ax a =-+-，结合题意，得到()20f <，即可求解.【解析】设()2224f x x ax a =-+-，因为方程22240x ax a -+-=的一个实根小于2，另一个实根大于2，则满足()2240f a a =-<，解得04a <<，即实数a 的取值范围为()0,4.故答案为：()0,4.8．如图，点G 是ABC 的重心，DE 过点G 且平行于BC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，设AB a=，AC b = ，那么DE = ．（用a 、b 表示）【答案】2233b a- 【分析】先根据三角形重心的性质（重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1），求得DE 与BC 的数量关系，然后根据=BC AC AB - ，可得DE 与AC 、AB 的数量关系．【解析】解，连接AG ，并延长AG 交BC 于点F ，∵DE BC ∥，∴23AGAF =∶∶，∴23DEBC =∶∶，即2:3DE AF :=，∵BC AC AB =-，∴()222333DE AC AB b a -=- =，故答案为：2233b a - ．【点睛】本题考查了三角形的重心，平面向量，能够熟练掌握重心的性质是解决本题的关键．9．已知方程()21204x m x m +-+=有两个不相等的正根，则实数m 的取值范围是.【答案】()0,1【分析】利用判别式与韦达定理得到关于m 的不等式组，从而得解.【解析】因为()21204x m x m +-+=有两个不相等的正根，即()24240x m x m +-+=有两个不相等的正根，所以()()2Δ16244042040m m m m ⎧=--⨯>⎪-->⎨⎪>⎩，解得01m <<.故答案为：()0,1.10．如图，斜坡AB 的坡度13i =AH 的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡AC 的坡度21:2.4i =，已知斜坡10AB =米，那么斜坡AC =米．【答案】13【分析】根据斜坡AB 的坡度1i =AB 的值先求出AH ，再根据斜坡AC 的坡度21:2.4i =，求得AC ，即可求解．【解析】解：∵1i =∴tan3ABH ∠==，∴30ABH ∠=︒，∴152AH AB ==,∵21:2.4i =，∴1tan 2.4AH ACB CH ∠==，∵5AH =，∴12=CH ，在Rt ACH 中，13AC ==,故答案为：13．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．11．在平面直角坐标系中给出以下定义：点(),A m n ，点(),B m n ''，3m m '=，6n n '=-，则我们称B 是A的“跳跃点”．若二次函数()2560y ax ax a x =--≥的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线236y x =-+上，则a 的取值范围为．【答案】01a <≤且17a ≠【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，涉及到新定义，一次函数的图象，解不等式，解题的关键是利用数形结合的思想．先求出点C 、D 所在的直线表达式为6y x =-，当0a >时，还出抛物线与直线CD 的大致图象，联立直线和抛物线的表达式，用a 的代数式表示出x ，根据x 的范围求出a 的范围，还需考虑根的判别式；当a<0时，不成立．【解析】解：设二次函数图象上的两点为点C 、D ，题意得点(),C m n 的“跳跃点”为()3,6m n -，将()3,6m n -代入236y x =-+，得：6n m =-，∴(),6C m m -，则点C 在直线6y x =-上，同理点D 也在直线6y x =-上，。
2023年上海高中自主招生数学全真模拟试卷(二),含详细参考答案
自主招生数学全真模拟试卷(二)一．填空题1.方程3456x x x x ++=有_______个解.2.将一个棱长为正整数的正方体分割为99个小正方体，其中98个小正方体为单位正方体，则原正方体的表面积为_________.3.方程2()abc a b c =++的正整数解共有_______组.4.在△ABC 中，已知111222A C B tan tan tan +=，且b=4,则a+c =_______.5.已知二次函数()f x 满足(2)1f -=，(2)2f =且21()(4)4x f x x ≤≤+对于一切实数x 均成立，则(4)f =_______6.设整数a 、b 、c 满足246a b c ++≤(2)(2)(2)a b c -+-+-=__________7.已知面积为的△ABC 的两条中线AD 、BE 的长分别为3和6，则第三条中线CF 的长为________8.一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多上跃三级，从地面上到最上一级，一共有_________种不同的爬跃方法.二．解答题9.设2215M (2)5242a b b b a =-+-++(M 、b 均为整数，)在a 、b 变动下变动，当M 最小时，求22a b -的值.10.已知十个互不相等的有理数，其中，每九个的和都是分母为22的既约真分数(分子分母没有公约数的真分数)，那么这十个有理数的和S 为多少？11.在∆ABC 中，AB=c ，BC=a ，CA=b ，已知BC 边上的高为3a ，求b c c b的最大值.12.如图，已知⊙O 1过梯形ABCD 的两顶点A 、B ，并切腰CD 于点N ，⊙O 2过点C 、D 并切腰AB 于点M ，求证：AM ∙MB=CN ∙ND参考答案1.解：易知x =3,为原方程的一个解.(通过尝试可得)，下证解的唯一性.当x >3时，有333334455()(,()(),()(),666666x x x <<<333345334()()()()()()1666666x x x ++<++=故原方程有且仅有x =3一个解.2.设原正方体的边长为x ，99个小正方体的边长为1和y (x>y >1),则3398x y -=，即有2()[()3]98x y x y xy --+=所以(x-y )|98,所以x-y =1,2,7,14,49,98，由333()98,x y x y -<-=得x-y =1,2；当x-y =1时，有3xy =97，矛盾;当x-y =2时，有xy =15,解得(x,y )=(5,3),故原正方体表面积为150.3.注意到原方程关于a,b,c 对称，不妨设a b c ≤≤，则2a b c +≤,代入原方程得26ab <≤当ab =3时，得(a,b,c )=(1,3,8)；当ab =4时，得(a,b,c )=(1,4,5)，(2,2,4)；当ab =5时，得(a,b,c )=(1,5,4)当ab =6时，c 不为正整数，综上，a b c ≤≤时，原方程有三组正整数解(1,3,8)(1,4,5)(2,2,4),故原方程的正整数的解共有15组.4.如图，(为了证明tan 2A r p a=-),设△ABC 内切圆为⊙I ，半径为r ，⊙I 与边BC 、CA 分别切于点D 、E 、F ，连接IA 、IB 、IC 、ID 、IE 、IF ，由切线长定理得AF=p-a,BD=p-b,CE=p-c ，其中p=1()2a b c ++，在Rt △AIF 中，tan ∠IAF=IF AF ,即tan 2A r p a=-；同理可得，B tan 2r p b =-，C tan 2r p c=-，代入已知等式得4()3,62p a p c p b b a c r r r ---+=+==5.设2()(0)f x ax bx c a =++≠由已知可得(2)421(2)422{f a b c f a b c -=-+==++=得b=14,c=342a -,又21()(4)4x f x x ≤≤+对一切实数x 均成立，则2(1)0,ax b x c +-+≥21((1)04a x bx c -++-≤对一切实数x 均成立，易知14a ≠,故20,(1)40a b ac >--≤，2110,4()(1)044a b a c -<---≤，而b=14,c=342a -得23313,(),161644a f x x x ==++19(4)4f =6.由题设得2460,1,2a b c ++=，当2460,a b c ++=时，a=b=c =0,此时(2)(2)(2)3a b c -+-+-=；2461a b c ++=，a 、b 、c 中有一个1或-1，两个0，此时(2)(2)(2)0a b c -+-+-=或32；当2462a b c ++=时，a 、b 、c 中有一个是0,另两个取1或-1，当0,1a b c ===时，(2)(2)(2)3a b c -+-+-=-；当0,1a b c ===-时，(2)(2)(2)0a b c -+-+-=；当0,1,1a b c ===-时，3(2)(2)(2)2a b c -+-+-=-；故(2)(2)(2)3a b c -+-+-=±或0或32±7.如图所示，设△ABC 的重心为点G ，CF=3x ，延长GF 到P ，使得FP=GF ，则四边形APBG为平行四边形，且APBG ABG ABC 11S S S 1523∆∆===，APBG APG 1S S (S-)(S-g)(S-p)2a ∆==其中a 、g 、p 为AGP 的边长，且2S a p g =++由已知条件得2,g=AP=4,a PG x ==p=AG=2,S=3x +代入得(3)(3)(1)(1)15x x x x +--+=，x =1或6，故CF=6或368.81种；9.注意到22221751425(21)(1)04222b M a ab b a b a b =-++-+=-++-+>，M 为整数，故M 最小值为1，即有22(242)(2)2a b b -++-=，b 为整数，则2(2)b -为完全平方数，故22(242)1,(2)1a b b -+=-=或22(242)2,(2)0a b b -+=-=解方程组，且满足仅有2213,1,24a b a b ==-=-10.分母为22的既约真分数为22i ，其中i=1,3,5....21，由题设各大，十个互不相等的有理数1210,.......a a a ，每一次取九个的和i S a -(i=1,2...10),应为上面十个既约真分数中的一个，故1332159S=+++.....5,222222229S ==11.由面积公式得：21sin 26a bc A =，即23sin bc A a =，由余弦定理得：2bccosA=b 2+c 2-a 2所以223sin 2cos 3sin 2cos 13sin()b c b c bc A bc A A A A c b bc bcθ+++===+=+，故最大值为1312.如图，延长BA 、CD 相交于点O ，若OA=a ，OD=b ，2OC ,0t t OD=>，因为AD||BC ，所以2OB OC t OA OD ==，故2222OB=OAt ,at OC ODt bt ===，ON=at ,则2CN=OC-ON=bt at -，ND=ON-OD=t a b -，故2CNND=(bt -t)(t-b)=(bt-)()t,a a a at b -同理22AM=-,,()()()()bt a MB at bt AM MB bt a at bt bt a at b t =-⋅=--=--，故AM MB=CN ND ⋅⋅。
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上海市高中理科班、数学班招生选拔测试数学试卷
一、填空题(本大题满分80分,每小题8分)本题共有10道小题,要求直接将答案写在横线上.
1
．= .
2． 已知关于ｘ的方程2ｘ2-4ｘ+ａ-1=0至少有一个正实数根,则ａ的取值范围是. .
3. 在梯形ＡＢＣＤ中,ＡＢ∥ＤＣ,ＡＢ=ＡＣ=ＡＤ
ＢＣ
,则ＢＤ= .
4. 已知ａ2
-ａ-1=0,且42323293,2112a xa a xa a -+=-+-则ｘ= . 5. 在凸四边形ＡＢＣＤ中,ＡＤ
,ＡＢ+ＣＤ
∠ＢＡＤ=60°,∠ＡＤＣ=120°.Ｍ是ＢＣ的中点, 则ＤＭ= .
6. 在平面直角坐标系中,点Ｐ的坐标是
+ｍ
, +ｎ),这里ｍ,ｎ都是有理数, 过点Ｐ作ｙ轴的垂线, 垂足为Ｈ,
已知△ＯＰＨ的面积为2
, 其中Ｏ为坐标原点,则满足条件的有序数对(ｍ,ｎ)有对. . 7. 今有浓度分别为3%、8%、11%的甲、乙、丙三种盐水50千克、70千克、60千克,现要用甲、乙、丙这三种盐水配制浓度为7%的盐水100千克,则丙种盐水最多可用. 千克.
8. 已知实数ｘ,ｙ满足方程(ｘ2+2ｘ+3)(3y 2+2ｙ+1)=,43
则ｘ+ｙ= . 9. 已知ＡＢ是半径为1的圆Ｏ的直径,ＣＤ是过ＯＢ中点的弦,且ＣＤ⊥ＡＢ,以ＣＤ为直径的圆交ＡＢ于Ｅ,ＤＥ的延长线交圆Ｏ于Ｆ,连结ＣＦ,则ＣＦ=. .
10. 已知二次函数ｙ=ａｘ2(ａ≥1)的图象上点Ａ,Ｂ的横坐标分别为-1,2,Ｏ是坐标原点,如果△ＯＡＢ是直角三角形,则△ＯＡＢ的周长为 .
二、解答题(本大题满分70分,共4小题)
11. (本题满分14分)已知实数ａ,ｂ,ｃ满足不等式|ａ|≥|ｂ+ｃ|,|ｂ|≥|ｃ+ａ|,|ｃ|≥|ａ+ｂ|,求证:ａ+ｂ+ｃ=0.
12. (本题满分16分)在凸四边形ＡＢＣＤ中,Ｍ是ＡＢ的中点,Ｏ是对角线ＡＣ与ＢＤ的交点,延长ＭＯ与ＣＤ交于Ｑ点,求证: BCO ADO S CQ S DQ
∆∆=. 13. (本题满分20分)求满足方程ｘ2+ｙ2=2(ｘ+ｙ)+ｘｙ的所有正整数ｘ,ｙ.
14 (本题满分20分)如图所示,在梯形ＡＢＣＤ中,ＡＤ∥ＢＣ,ＢＣ=ＢＤ=1,ＡＢ=ＡＣ,ＣＤ<1,且∠ＢＡＣ+∠ＢＤＣ=180°,求ＣＤ的长.。