2017年9月5日 数列的通项公式-试题君之每日一题君2017-2018学年高二数学 含解析 精品
数列求通项公式 所有方法类型全归纳 含解析答案 精品文档可编辑
一． 观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999， (2),17164,1093,542,211（3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21--二、公式法三.累加法求形如1n a +=n a ＋f(n)的递推数列的通项公式的基本方法。
（其中f(n)能求前n 项和即可）利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+⋅⋅⋅-求通项公式的方法称为累加法。
累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）.例1.已知数列{}n a 中，1129,21,(2,*)n n a a a n n n N -==+-≥∈,求这个数列的通项公式。
练习：已知数列{}n a 中，113,2,(*)n n n a a a n N ==+∈＋，求n a例3. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。
累乘法：求形如1n a +=g(n)n a 的递推数列通项公式的基本方法。
（其中g(n)可求前n 项 积即可）。
利用恒等式321121(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积).例1.若满足111,(*),1n n a na n N a n +==∈+求这个数列的通项公式。
变式练习：设{}n a 是首项为1的正数组成的数列，且2211(1)0(12)n n n n n a na a a n +++-+==，，…，则它的通项公式为n a = ．（倒数法）例题6:已知数列{}n a 中满足11a =，131nn n a a a +=+，求数列的通项n a .变式练习：知数列{}n a 中满足11a =，1231nn n a a a +=+，求数列的通项.待定系数法：例10：设数列}{n c 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n例11. 已知数列{}n c 中，b b c +=11，bbc b c n n ++⋅=-11，其中b 是与n 无关的常数，且1±≠b 。
数列的通项公式(重要完整)
数列通项公式的求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d ∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=】点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
二、公式法若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解。
例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。
解：由1121111=⇒-==a a S a当2≥n 时，有,)1(2)(211nn n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯- ].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3212---+=n n n a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
最全数列的通项公式求法含答案
（7）待定系数法： an+2 = pan+1 + qan （其中 p, q 均为常数）.
解法：先把原递推公式转化为 an+2 − san+1 = t(an+1 − san )
s + t =p 其中 s, t 满足 st = −q ，再按第（4）种情况求解.
(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而 找到恰当的解决方法．
例题分析
1.设数列{an} 中， a1 = 2, an+1 = an + n +1，则通项 an = .
【解析】法一：由题意可知： a1 = 2, an+1 = an + n +1 所以有 an= an−1 + (n −1) +1，
an−2 − an−3 = (n − 3) +1， ， a3 − a2 =2 +1 ， a2 − a1 =1+1 ， a1 = 2= 1+1.
将以上各式相加得： an = (n −1) + (n − 2) + (n − 3) + + 2 +1 + n +1
=
(n −1) (n −1) +1 += n +1
(n −1) n += n +1
n (n +1) +1
n(n +1)
故应填
+1.
2
2
2
数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案
数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案求数列通项公式的方法有很多种。
这个问题通常是高考试卷的第一问，如果无法解决或没有思路，那么即使后面的问题可以解决，也是无济于事的。
下面我们逐个讲解这些重要的方法。
递推公式法是指利用an=Sn−Sn−1的形式，其中Sn表示数列的前n项和。
这种方法有两种类型。
第一种类型是题目中给出的是Sn=f(n)的形式，要将n改成n-1，包括角标，这样加上题中给出的式子就得到两个式子，两式子做差，即可整理出通项公式。
但是需要注意的是，求出的通项公式一定要检验是否需要写成分段的形式，即验证一下a1和S1是否相等，若不相等，则需要写成分段的形式。
第二种类型是a(n-1),an和a(n+1)与S(n-1),Sn和S(n+1)同时存在于一个等式中，我们的思路是将n改写成n-1，又得到另一个式子，这两个式子做差，在做差相减的过程中，要将等式的一端通过移项等措施处理为零，这样整理,容易得出我们想要的关系式。
累加法（迭、叠加法）是在教材上推导等差数列通项公式和前n项和公式的时候使用的一种方法。
其实这个方法不仅仅适用于等差数列，它的使用范围是非常广泛的。
只要适合an=an-1+f(n)的形式，都可以使用累加法。
基本的书写步骤是将an-an-1=f(n)展开，然后累加，得到an-a1=f(2)+f(3)+f(4)+。
+f(n)。
因此重点就是会求后边这部分累加式子的和，而这部分累加的式子，绝大部分都是三种情况之一，要么是一个等差数列的前n-1项的和，要么是一个等比数列的前n-1项的和，要么就是能够在累加过程能够中消掉，比如使用裂项相消法等。
累乘法的使用条件是，凡是适合an=an-1*f(n)形式的求通项公式问题，都可以使用累乘法。
它的基本书写步骤格式是：an=a1*f(2)*f(3)*。
*f(n)。
以上是数列通项公式的三种求法。
2.改写每段话：首先，我们来看等式左右两边的乘积。
左边相乘得到的总是1，右边相乘得到的是f(2)乘以f(3)乘以f(4)一直到f(n)。
数列的通项计算
数列的通项计算数列是数学中的一个重要概念，它是由一列按照特定规律排列的数字组成。
在数列中，每个数字称为项，而通项则是指某一项与它的位置之间的关系。
在本文中，我们将探讨数列的通项计算方法。
一、等差数列的通项计算等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值保持恒定的数列。
我们可以使用以下公式来计算等差数列的通项：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差（即相邻两项之间的差值），n表示项数。
例如，我们有一个等差数列的首项为2，公差为3，我们希望计算此数列的第10项。
根据上述公式，我们可以进行如下计算：a10 = 2 + (10-1)3= 2 + 9*3= 2 + 27= 29因此，该等差数列的第10项为29。
二、等比数列的通项计算等比数列是指数列中的相邻两项之间的比值保持恒定的数列。
我们可以使用以下公式来计算等比数列的通项：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比（即相邻两项之间的比值），n表示项数。
举个例子，假设我们有一个等比数列的首项为2，公比为3，我们希望计算此数列的第5项。
根据上述公式，我们可以进行如下计算：a5 = 2 * 3^(5-1)= 2 * 3^4= 2 * 81= 162因此，该等比数列的第5项为162。
三、斐波那契数列的通项计算斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项都为1，之后的每一项都等于前两项之和。
为了计算斐波那契数列的通项，我们可以使用下面的公式：an = an-1 + an-2其中，an表示第n项，an-1表示前一项，an-2表示前两项。
作为示例，我们希望计算斐波那契数列的第8项。
我们知道前两项分别为1，1，因此我们可以使用如下递推关系进行计算：a3 = a2 + a1= 1 + 1= 2a4 = a3 + a2= 2 + 1= 3a5 = a4 + a3= 3 + 2= 5a6 = a5 + a4= 5 + 3= 8a7 = a6 + a5= 8 + 5= 13a8 = a7 + a6= 13 + 8= 21因此，斐波那契数列的第8项为21。
数列通项公式(全)
11
2．已知各项均为正数的数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 S1 1 ，且 6Sn (an 1)( an 2) ， n N ．求
an 的通项公式；
12
类型十 例题：
f (n)S n1 g (n)S n = 0
1． 在数列 a n 与 bn 中，a1 1, b1 4 ， 数列 a n 的前 n 项和 S n 满足 nSn1 n 3S n 0 , 2a n 1 为 bn 与 bn 1 的等比中项， n N * . （Ⅰ）求 a 2 , b2 的值； （Ⅱ）求数列 a n 与 bn 的通项公式；
1 1 ， a n 1 a n 2 ，求 an 。 2 n n
2
类型二
an1 f (n)an
解题步骤：累乘法 Step1 逐项列举
a a a2 f (1)，3 f (2)， ，n 1 f (n) a1 a2 an
Step2 累积消元
n an1 a1 f (k ) 2 ，an1 an n1 (2 )2n (n N ) ，其中 0 ．求数列 an 的通项 公式；
5.已知数列｛an｝满足：a1＝
3 3na n－1 ，且 an＝ 求数列｛an｝的通项公式； （n 2，n N） 2 2a n－1＋n－ 1
3，„） ，则它的
3
类型三 an+1 = pan + f(n) q(常数) an+1 = pan + an+1 + λ = p（an + λ ）
kn + m 一次函数 an+1 + A n + 1 + B = an + An + B a p an r an+1 an r q n+1 r. qn 指数函数 = ∙ n + 或 n+1 = n + ∙ ( )n n+1 q q q q p p p p
数列通项公式的求法
数列通项公式的求法首先，为了更好地理解数列通项公式的求法，我们先了解一些基本的数列概念。
数列是按照一定规律排列的数字或者符号的序列。
数列中的每个数字称为项，用a1, a2, a3,…, an,…表示，其中a1表示第一个项，a2表示第二个项，以此类推。
通项公式也称为数列的递推公式，是指通过已知的数列项之间的关系，利用一个通项变量n来表示数列中任意一项。
通项公式的形式可以是一个公式或者一个递推关系。
下面我们将介绍几种常见数列的通项公式的求法。
1.等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻项之差都相等的数列。
假设等差数列的第一个项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
2.等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻项之比都相等的数列。
假设等比数列的第一个项为a1，公比为q，则等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
3.斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指数列中每一项是前两项之和的数列。
假设斐波那契数列的第一个项为a1，第二项为a2，则斐波那契数列的通项公式为an = a(n-1) + a(n-2)，其中n≥3以上是几种常见数列的通项公式的求法。
但是并不是每个数列都可以通过明显的规律来推导出通项公式。
对于一些复杂的数列，可以通过以下几种方法来求解其通项公式：4.直接法直接法是指通过观察数列中数项之间的规律，直接写出通项公式。
这种方法适用于数列的规律比较明显的情况。
5.递推法递推法是指通过已知数列中的几个连续项之间的关系，通过递推的方式求解数列的通项公式。
需要注意的是，递推法只适用于数列中每一项都与前几项相关的情况。
6.差分法差分法是指通过将数列的项逐次相减，得到一个新的数列，再求解这个新数列的通项公式。
差分法适用于含有常数项或者n的多项式项的数列。
7.递归法递归法是指通过已知数列前几项的通项公式，将数列的第n项表示为前几项的函数形式。
需要注意的是，递归法只适用于递归关系明显的数列。
数列的通项公式
数列的通项公式数列是数学中常见的一个概念。
在数列中，每个数都按照一定的规律排列，并且数与数之间存在着某种关系。
通项公式是数列中的一个重要概念，它可以用来表示数列中任意一项与项号之间的关系。
本文将介绍数列的通项公式以及如何推导通项公式。
一、数列的定义和表示数列是按照一定的规律排列的一系列数。
数列中的每个数叫做数列的项，用a1, a2, a3, ... 表示。
项与项之间的关系可以通过一个公式来表示，这个公式叫做数列的通项公式。
二、通项公式的推导方法通项公式的推导方法主要有以下几种：1. 等差数列的通项公式如果数列中相邻两项之间的差值是一个常数d，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式可以通过以下推导得到：设数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则有：an = a1 + (n-1)d。
这个公式就是等差数列的通项公式。
2. 等比数列的通项公式如果数列中相邻两项之间的比值是一个常数q，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的通项公式可以通过以下推导得到：设数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，则有：an = a1 * q^(n-1)。
这个公式就是等比数列的通项公式。
3. 其他数列的通项公式除了等差数列和等比数列之外，还有一些特殊的数列，其通项公式可以通过其他方法推导得到。
例如斐波那契数列、调和级数等。
三、使用通项公式求解问题通项公式可以帮助我们求解数列中的各种问题，例如确定数列中某一项的值、确定数列中的某些特定项、求解数列中的和等。
通过使用通项公式，我们可以更加简洁地解决这些问题。
四、总结数列的通项公式是数列中的一个重要概念，它可以用来表示数列中任意一项与项号之间的关系。
通项公式的推导方法主要有等差数列的通项公式和等比数列的通项公式。
通项公式可以帮助我们求解数列中的各种问题，是数列研究中的重要工具。
参考文献：1. 《高等数学》教材；。
数列的通项公式
数列的通项公式数列，也称为序列，是按照一定规律排列的一串数。
在数学中，数列的通项公式是指能够用一种确定的公式来表示数列中任意一项与其位置之间的关系。
本文将探讨数列的通项公式，以及一些常见的数列类型及其通项公式。
一、等差数列的通项公式等差数列是指数列中每一项与其前一项之间的差值都相等的数列。
设等差数列的第一项为a₁，公差为d，则第n项的通项公式可以表示为：an = a₁ + (n-1)d。
其中，an表示第n项的值。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，第一项a₁=1，公差d=2，第n项的通项公式为an = 1 + (n-1)×2。
二、等比数列的通项公式等比数列是指数列中每一项与其前一项之间的比值都相等的数列。
设等比数列的第一项为a₁，公比为r，则第n项的通项公式可以表示为：an = a₁×(r^(n-1))。
其中，an表示第n项的值。
例如，对于等比数列2, 6, 18, 54，第一项a₁=2，公比r=3，第n项的通项公式为an = 2×(3^(n-1))。
三、斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
设斐波那契数列的第一、第二项分别为a₁和a₂，则第n项的通项公式可以表示为：an = a₁ + a₂(n-1)。
其中，an表示第n项的值。
例如，对于斐波那契数列1, 1, 2, 3, 5，第一项a₁=1，第二项a₂=1，第n项的通项公式为an = 1 + 1×(n-1)。
四、几何数列的通项公式几何数列是指数列中每一项与其前一项之间的比值都相等的数列。
设几何数列的第一项为a₁，公比为q，则第n项的通项公式可以表示为：an = a₁×(q^(n-1))。
其中，an表示第n项的值。
例如，对于几何数列2, 4, 8, 16，第一项a₁=2，公比q=2，第n项的通项公式为an = 2×(2^(n-1))。
五、其他数列的通项公式除了上述常见的数列类型外，还存在一些特殊的数列类型，其通项公式亦有不同表示形式。
数列的通项公式求解
数列的通项公式求解数列是数学中常见的一个概念，它由一系列按照特定规律排列的数字组成。
在数列中，每个数字被称为该数列的项，而数列的通项公式则是用来表示数列中任意一项的公式。
本文将介绍一些常见数列的求解方法和相应的通项公式。
一、等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，那么等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d其中，n表示第n项，a1为首项，d为公差。
通过这个通项公式，我们可以轻松计算等差数列中的任意一项。
例如，对于等差数列1，3，5，7，9...，其中首项a1=1，公差d=2。
要求该数列的第10项an，我们可以将这些值代入等差数列的通项公式中，得出：a10 = 1 + (10-1)2 = 1 + 9*2 = 19因此，该等差数列的第10项为19。
二、等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an，那么等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * r^(n-1)其中，n表示第n项，a1为首项，r为公比。
通过这个通项公式，我们可以轻松计算等比数列中的任意一项。
例如，对于等比数列2，4，8，16，32...，其中首项a1=2，公比r=2。
要求该数列的第5项an，我们可以将这些值代入等比数列的通项公式中，得出：a5 = 2 * 2^(5-1) = 2 * 2^4 = 2 * 16 = 32因此，该等比数列的第5项为32。
三、斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是一个古老而饶有趣味的数列，它的定义是从第3项开始，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的通项公式可以表示为：an = fib(n-1) + fib(n-2)其中，n表示第n项，fib(n)表示第n项斐波那契数的值。
一般而言，斐波那契数列的首两项是1，1或者0，1。
例如，斐波那契数列的前几项为0，1，1，2，3，5，8，13...。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
9月5日 数列的通项公式
高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
典例在线
（1）数列1，579
,
,,-- 的一个通项公式是
A B C
D （2）数列,,,,24816
-- 的一个通项公式是
A ．12
n -
B ．(1)2
n n
- C ．1(1)2n n
+-
D ．1(1)2
n n --
（3）在数列1，2是这个数列的
A ．第16项
B ．第24项
C ．第26项
D ．第28项
【参考答案】（1）D ；（2）B ；（3）C ．
【名师点睛】（1）由于仅给出数列的有限项而没有指出其变化规律，因此归纳出的通项公式并不唯一，而只是满足条件的许多通项公式中的一个．学-
（2）根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：①首先观察数列的前几项是否具有以下几个特征：各项的符号特征、各项能否分拆、分式的分子与分母的特征、相邻项的变化规律等；②其次寻找各项与对应的项的序号之间的规律． （3）寻找各项与对应的项的序号之间的规律的常用方法：
①熟记一些特殊数列的通项公式，比如2101
,,21,2,9
n n n n n n n a a n a n a a n -===-== 等，熟悉它们的变化规律，并灵活运用．
②将数列的各项分解成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”，如分式形式的数列，可将分子、分母分别求通项．
③当一个数列各项的符号出现“+”“−”相间时，应把符号分离出来，可用（−1）n
或（−1）
n +1
来实现．
④奇偶相间的数列可以用分段的形式给出，也可以从奇偶相间的特征进行考虑，将给出的各项统一化成某种形式．
学霸推荐
1．已知数列{}n a 的通项公式为43n a n =-，则5a 的值是 A ．9
B ．13
C ．17
D ．21
2．已知数列：2，0，2，0，2，0，…前六项不适合下列哪个通项公式 A ．11(1)n n a +=+- B ．2|sin |2
n n a π
= C ．1(1)n n a =--
D ．2sin
2
n n a π= 3．求下列数列的一个通项公式： （1）1,3,7,15,31,…；
（2）1111,0,,0,,0,,0,3
57
--…；
（3）246810
,
,,,315356399
，…．
1．【答案】C
【解析】把n =5代入n a =4n －3中得到所求值为17，即517a =．故选C ． 2．【答案】D
【解析】将6,5,4,3,2,1=n 分别代入，对于D ，当3=n 时，23-=a 不满足，故选D ．
3．【答案】（1）21n
n a =-；（2）
πsin
2n n a n = （或1
cos π2n n a n
-=）；（3）)12)(12(2+-=n n n a n ．
（3）分子为正偶数数列，分母为,,119,97,75,53,31 ⨯⨯⨯⨯⨯可得
)
12)(12(2+-=
n n n
a n ．。