最不利原则的讲解

第十二讲最不利原则
在生活中，要保证完成某一个任务，必须考虑最不利条件。

只有用最不利条件下也能实现的做法，才可以使这个任务必能完成，这就是解决问题时要采用的最不利原则。

因此，必须全面分析给定的条件，分析最不利的因素，然后选用万无一失的方法。

本讲运用学生已有的数学工具（如枚举法、余数的妙用、可能性分析等），确定最不利的情况，培养学生严谨的思维习惯和应用现有知识解决实际问题的能力。

1. 红桃、黑桃各2张，要保证从中摸出两张同色的，至少要摸出张。

2．红桃、黑桃各5张，要保证从中摸出两张同色的，至少要摸出张。

3．红桃、黑桃各4张，要保证从中摸出3张同色的，至少要摸出张。

[解答]两种颜色的扑克，要摸出两张同色的，至少都要摸出3张，就能保证有两个扑克同色，在每种扑克数量足够多的情况下，与扑克的数量多少没有关系。

摸出3张同色的，最不利的情形是先各摸出红、黑2张，再摸出1张，就肯定有3张同色的。

1、3张；
2、3张；
3、5张。

[例1]灰太狼抓住了懒羊羊。

聪明的喜羊羊决定去营救懒羊羊。

他对灰太狼说：“我知道你很聪明，那你有胆量和我比一下么？如果你赢了的话，那么我也愿意被你吃掉；如果你输了，请把懒羊羊放掉。

题目很简单，就是随意把1和2分别填入下面立方体的格子中，使每个面上的4个数的和都不一样”灰太狼不假思索答应了。

请问谁赢了？为什么？
【解析】随意填1，2，那么每个面上4个格子的4个数的和最小为4，最大为8；4到8，共有5个数。

而立方体有6个面。

一定有相同的和。

【例2】120名少先队员选举大队长，有甲、乙、丙三个候选人，每个少先队员只能选他们之中一个人，不能弃权。

若前100票中，甲得45票，乙得35票，甲要当选至少还要（）张选票。

【解答】丙已得20票.后面的20票即使全给丙不影响甲当选。

最不利的情况是20票都给了乙。

为了避免这种情况发生，甲还需得6票，就能保证当选。

【例3】某小学四年级的学生身高（都按整数厘米计算），最矮的是138厘米，最高的是160厘米。

如果任意从这些学生中选出若干人，那么至少要选出多少人，才能保证有5人的身高相同？
【解析】138-160中共有22+1个数（植树问题的应用）；最不利的情况是每一个厘米数都有4人。

因此保证有5人身高相同，需要选23×4+1=93人。

【例4】皮夹里有2元，3元，4元的邮票各10张，现在要寄一封12元邮资的信，不用眼睛看，从皮夹里抽出若干张邮票，为了保证从抽出的邮票中一定能凑出12元的邮票组合来，那么至少要抽出（）张邮票。

【解析】
先分析最有利的情况，取出4元3张；
最不利的情况可能是取出2元6张；但这是最不利的情况吗？
如果取出2元5张，3元1张呢？这种情况不能保证从抽出的邮票中一定能凑出12元的邮票组合来。

但再取一张任意的2，3，4元可以保证完成任务。

答案为7张。

【例5】一把钥匙只能开一把锁，现有8把钥匙和8把相配的锁，至少要试验多少次才能保证全部的钥匙和锁相匹配？
分析：要保证匹配就要从最不利的情况考虑，也就是第一把钥匙试7次，如果都不成功，它必然和第八把锁匹配，所以第一把钥匙只试7次，同理，第二把钥匙在其余的7把锁中试6次，第三把试5次，第四把4次……最后剩一把钥匙一把锁就不用试了。

解：7+6+5+4+3+2+1=28（次）
答：最少要试验28次才能保证全部的钥匙和锁相匹配。

【例6】若干箱货物总重15吨，每箱重量在290—310千克之间，今有载重量为3吨的汽车，至少需要多少辆，才能确保这批货物一次全部运走？
【解析】最有利的情况：汽车的载重量是3吨。

如果每箱的重量是300千克那么每辆汽车都是满载，即运了10箱。

此时需要汽车15÷3＝5（辆）。

如果装箱的情况不能使汽车满载，那么5辆汽车就不能把这批货物一次运走。

为了确保把这批货物一次运走，需要从最不利的装箱情况来考虑。

最不利的情况就是使每辆车运得尽量少，即空载最多。

因为310×9＜3000，所以每辆车至少装9箱。

每箱300千克，每车能装10箱。

如果每箱比300千克略多一点，比如301千克，那么每车就只能装9箱了。

此时，每车载重301×9＝2709（千克），空载3000-2709＝291（千克）。

注意，这就是前面所说的“最不利的情况”。

前5辆汽车共空载5×291＜3000，也就是说，按最不利的情况，6辆车可确保将这批货物一次运走。

1、一列2个小方格，每个方格中随意涂红黑两种颜色中的一种，当涂完第几列时，至少有2列是相同的？（有一列与另一列重复）。

2、上海世博会的现场，建筑工人们正在努力的工作。

为了保证工作餐的营养，工人叔叔每天的午饭是一个荤菜加上一个素菜。

目前职工食堂的厨师会做5种荤菜，假如你是职工食堂的经理，请你想一想，至少需要多少种素菜才能保证一个月（按31天算）之内吃的午饭不重复。

3、733名小朋友参加2009年走美夏令营，这些小朋友中，至少有多少人是同月同日出生？
4、一个同学用硬币掷着玩，每次掷四枚，而后他将四枚硬币是正面向上还是反面向上的结果记录下来，他一共掷了14次，在他记录的结果中至少有多少次是相同的？
5、一排椅子只有15个座位，部分座位已有人
就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。

问：在乐乐之前已就座的最少有几人？
6、每场足球比赛分胜、负、平3种结果。

英超每轮有10场比赛，给你50000次机会，你一定能猜出所有比赛的正确结果吗？
7.一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？
1、有5050张数字卡片，其中一张上写着1，2张上写着2，3张上写着3，……100张上写着100。

现在要从中抽取若干张，为了确保抽出的卡片中至少有10张以上的数字完全相同，至少要抽取（）张卡片。

【解答】最不利的情况是
1张1，2张2，3张3，…，9张9，9张10，9张11，…9张100
共计：1+2+3…+9+9×91=864.
至少要取873+1=865.
2、小明和小强玩一个猜数字的游戏。

小明心里想一个100以内的数字，然后小强来猜。

小强每猜一个数字，小明就告诉他，心里想的这个数比猜的这个数大还是小。

请问小强至少要猜多少次才能保证猜到小明想的这个数字？（7次）
3、有1，2，3，4的数字卡片各有100张，每次任意选其中5张卡片相加，至少选（）次才能保证有两次相加的和相等。

4、口袋中放有红、黄、白、黑四种颜色的袜子各10只，只需用手摸，不许用眼看，至少要从口袋中取出（）只袜子，才能保证配成5双（一双指颜色相同的袜子两只）袜子。