08北京-理

2008年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）（北京卷）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合()U A B ð等于（ ）A ．{}|24x x -<≤B ．{}|34x x x 或≤≥C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤【标准答案】: D【试题分析】: C U B=[-1, 4]，()U A B ð＝{}|13x x -≤≤ 【高考考点】:集合 【易错提醒】: 补集求错 【备考提示】: 高考基本得分点 2．若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【标准答案】: A【试题分析】:利用估值法知a 大于1，b 在0与1之间，c 小于0. 【高考考点】: 函数的映射关系，函数的图像。

【易错提醒】: 估值出现错误。

【备考提示】: 大小比较也是高考较常见的题型，希望引起注意。

3．“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【标准答案】: B【试题分析】: 函数()()f x x ∈R 存在反函数，至少还有可能函数()f x 在R 上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。

【高考考点】: 充要条件，反函数，映射关系，函数单调性。

【易错提醒】: 单调性与一一对应之间的关系不清楚 【备考提示】: 平时注意数形结合训练。

4．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【标准答案】: D【试题分析】: 把P 到直线1x =-向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。

【高考考点】: 二次函数的定义。

【易错提醒】: 没有转化的意识【备考提示】: 基本概念、基本技巧、基本运算的训练是基础。

5．若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则23x y z +=的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．9【标准答案】: B【试题分析】: 解出可行域的顶点，带入验证。

【高考考点】: 线性规划 【易错提醒】: 顶点解错 【备考提示】: 高考基本得分点。

6．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ） A ．165- B ．33- C ．30-D ．21-【标准答案】: C【试题分析】: 由已知4a ＝2a +2a ＝ -12，8a ＝4a +4a ＝－24,a=8a +2a = -30【高考考点】: 数列【易错提醒】: 特殊性的运用【备考提示】: 加强从一般性中发现特殊性的训练。

7．过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90【标准答案】: C【试题分析一】: 过圆心M 作直线l ：y=x 的垂线交与N 点，过N 点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为600。

【试题分析二】:明白N 点后，用图象法解之也很方便 【高考考点】: 直线与圆的位置关系。

【易错提醒】: N 点找不到。

【备考提示】: 数形结合这个解题方法在高考中应用的非常普遍，希望加强训练。

8．如图，动点P 在正方体1111A B C D A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）【标准答案】: B【试题分析】: 显然，只有当P 移动到中心O 时，MN 有唯一的最大值，淘汰选项A 、C ；P 点移动时，x 与y 的关系应该是线性的，淘汰选项D 。

【高考考点】: 截面，线与面的位置关系。

【易错提醒】: 找不到特殊点O ，或者发现不了O 的特殊性。

【备考提示】: 加强空间想象力的训练，加强观察能力的训练。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．已知2()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ． 【标准答案】: -1【试题分析】: a 2－2ai －1＝a 2－1－2ai ＝2i ，a=－1 【高考考点】: 复数的运算【易错提醒】: 增根a=1没有舍去。

【备考提示】: 高考基本得分点。

10．已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么(2)+ b a b 的值为 ．【标准答案】: 0【试题分析】: 利用数形结合知，向量a 与2a+b 垂直。

【高考考点】: 向量运算的几何意义【易错提醒】: 如果使用直接法，易出现计算错误。

【备考提示】: 向量的共线、平行、垂直、构成特殊三角形、特殊四边形等希望引起考生注意。

11．若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n = ，其展开式中的常数项为 ．（用数字作答）【标准答案】: 5 10【试题分析】: 显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即n=5；将5拆分成“前3后2”恰好出现常数项，C 25＝10.【高考考点】: 二项式【易错提醒】: 课本中的典型题目，套用公式解题时，易出现计算错误ABC DMNP A 1B 1C 1D 1yxA ．OyxB ．OyxC ．Oyx D ．O【备考提示】: 二项式的考题难度相对较小，注意三基训练。

12．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆ ．（用数字作答） 【标准答案】: 2 -2【试题分析】: f(0)=4，f(4)=2；由导数的几何意义知(1)(1)l i mx f x f x∆→+∆-=∆－2.【高考考点】: 函数的图像，导数的几何意义。

【易错提醒】: 概念“导数的几何意义”不清。

【备考提示】: 在函数、三角函数、平面向量、复数、解析几何、导数范围，数形结合是最常用的手段之一，希望引起足够重视。

13．已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，有如下条件： ①12x x >； ②2212x x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ． 【标准答案】: ②【试题分析】: 函数2()cos f x x x =-显然是偶函数，其导数y ’=2x+sinx 在0<x<2π时，显然也大于0，是增函数，想象其图像，不难发现，x 的取值离对称轴越远，函数值就越大，②满足这一点。

当x 1=2π,x 2=-2π时，①③均不成立。

【高考考点】: 导数，函数的图像，奇偶性。

【易错提醒】: 忽视了函数是偶函数。

【备考提示】: 加强导数综合应用的训练。

14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时， 111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，．()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．2 BCAyx1 O 3 4 5 612 3 4【标准答案】: (1,2) (3, 402) 【试题分析】: T ⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-5251k T k 组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1……(k=1,2,3,4……)。

一一带入计算得：数列{}n x 为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5……；数列{}n y 为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4…….因此，第6棵树种在 (1,2)，第2008棵树种在(3, 402)。

【高考考点】: 数列的通项【易错提醒】: 前几项的规律找错【备考提示】: 创新题大家都没有遇到过，仔细认真地从前几项（特殊处、简单处）体会题意，从而找到解题方法。

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分） 已知函数2π()sin 3sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．【高考考点】: 三角函数式恒等变形，三角函数的值域。

【易错提醒】: 公式的记忆，范围的确定，符号的确定。

【备考提示】: 综合性大题的高考基本得分点，复习时，应该达到熟练掌握的程度。

【解】：（Ⅰ）1cos 23()sin 222xf x x ωω-=+311sin 2cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫--⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．如图，在三棱锥P A B C -中，2AC BC ==，90ACB ∠= ，AP BP AB ==，P C A C ⊥． （Ⅰ）求证：P C A B ⊥；（Ⅱ）求二面角B A P C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面A P B 的距离． 【标准答案】: （见后）【高考考点】: 直线与直线的垂直，二面角，点面距离【易错提醒】: 二面角的平面角找不到，求点面距离的方法单一 【备考提示】: 找二面角的方法大致有十种左右，常见的也有五六种，希望能够全面掌握。