北京市西城区2018届高三二模试题数学文
2018年北京市西城区高考数学模拟试卷(二)
2018年北京市西城区高考数学模拟试卷（二）一、选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知全集U={1, 2, 3}，集合A={1, 3}，那么集合∁U A等于（）A.{1}B.{2}C.{3}D.{1, 2}2. 点(1, −1)到直线x+y−1=0的距离是（）A.1 2B.√22C.√2D.√323. 函数f(x)=log a(1−x)的定义域是（）A.(−1, 0)B.(0, 1)C.(−1, 1)D.(−∞, 1)4. 已知向量a→=(−1, 2)与向量b→=(2, x)平行，那么x等于（）A.−1B.−2C.−3D.−45. 已知点A(3, 4)是角α终边上的一点，那么cosα等于（）A.3 4B.43C.35D.456. 已知圆x2+y2=1与圆(x−3)2+y2=4，那么两圆的位置关系（）A.内切B.相交C.外切D.外离7. 在平面直角坐标系xOy中，函数y=2sin(x−π6)的图象（）A.关于直线x=π6对称B.关于点(π6,0)对称C.关于直线x=−π6对称D.关于点(−π6,0)对称8. 给出下列四个函数：①y=−2x−1；②y=x2；③y=lnx；④y=x3．其中在定义域内是奇函数且单调递增函数的序号是（）A.①B.②C.③D.④9. 在△ABC中，∠C=60∘，AC=2，BC=3，那么AB等于（）A.√5B.√6C.√7D.2√210. 已知某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的体积是（）A.13B.1C.32D.92 11. 如果幂函数f(x)=x α的图象经过点(3,19)，则α=( )A.−2B.2C.−12D.1212. log 223+log 26等于（ ）A.1B.2C.5D.6 13. 在△ABC 中，已知a =3√2，cosC =13，S △ABC =4√3，则b =( )A.√3B.2√3C.4√3D.3√214. 函数f(x)={2x −1,x ≤01x−2,x >0 零点的个数为（ ） A.0B.1C.2D.315. 已知sinα=45，且α∈(π2,π)，那么cos2α等于（ ）A.−725B.725C.925D.−92516. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①如果m // α，n ⊂α，那么m // n ；②如果m ⊥α，m ⊥β，那么α // β；③如果α⊥β，m ⊥α，那么m // β；④如果α⊥β，α∩β=m ，m ⊥n ，那么n ⊥β．其中正确的命题是（ ）A.①B.②C.③D.④17. 如图，在△ABC 中，B =45∘，D 是BC 边上一点，AD =√7，AC =3，DC =2，则AB 的长为（ ）A.√22B.3√62C.3√32D.3√2218. 某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）A.计算机行业好于化工行业B.建筑行业好于物流行业C.机械行业最紧张D.营销行业比贸易行业紧张19. 盒中装有大小形状都相同的5个小球，分别标以号码1，2，3，4，5，从中随机取出一个小球，其号码为偶数的概率是（）A.1 5B.25C.35D.4520. 已知向量a→=(0, 2)，b→=(1, 0)，那么向量a→−2b→与b→的夹角为（）A.135∘B.120∘C.60∘D.45∘21. 某车站在春运期间为了改进服务，随机抽样调查了100名旅客从开始在购票窗口排队到购到车票所用的时间t（以下简称购票用时，单位：min）．下面是这次抽样的频率分布表和频率分布直方图，则旅客购票用时的平均数可能落在哪一个小组（）A.第二组B.第三组C.第四组D.第五组22. 已知点A(−2, 0)，B(2, 0)，如果直线3x−4y+m=0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，那么实数m等于（）A.±4B.±5C.±8D.±1023. 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45∘，沿A向北偏东30∘方向前进100m到达B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30∘，则水柱的高度是（）A.50mB.100mC.120mD.150m24. 如图，在圆O中，已知弦AC=4，那么AO→∗AC→的值为（）A.8B.6C.4D.225. 2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从元上调至元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于（）A.5000∼6000元B.6000∼8000元C.8000∼9000元D.9000∼16000元二、解答题（共分）已知函数f(x)=√3sin2x+cos2x,x∈R．)=________．(Ⅰ)f(π4brack的最大值和最小值．(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期及在x∈[0,π2如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A⊥底面，AB=AC，D是BC的中点．(Ⅰ)求证：BC⊥平面A1AD；(Ⅱ)若∠BAC=90∘，BC=A1D=4，求三棱柱ABC−A1B1C1的体积．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆经过点A(−1, 0)．(Ⅰ)⊙O的方程________；(Ⅱ)设M是直线3x+y−4=0上的一个动点，ME，MF是⊙O的两条切线，切点为E，F．(ⅰ)如果∠EMF=60∘，求点M的横坐标；(ⅱ)求四边形MEOF面积的最小值．已知函数f(x)的定义域是{x|x>0}，并且满足：当x>1时，f(x)>2；∀x1，x2∈(0, +∞)，都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)−f(x1)−f(x2)+2（1）求f(1)（2）求证函数f(x)在(1, +∞)上单调递增．（3）当f(2)=5时，求不等式f(x)<17的解集．参考答案与试题解析2018年北京市西城区高考数学模拟试卷（二）一、选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】补集及其运算【解析】利用补集定义直接求解．【解答】∵全集U={1, 2, 3}，集合A={1, 3}，∴集合∁U A={2}．2.【答案】B【考点】点到直线的距离公式【解析】利用点到直线的距离公式直接求解．【解答】点(1, −1)到直线x+y−1=0的距离：d=√2=√22．3.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】由对数式的真数大于0求解得答案．【解答】由1−x>0，得x<1．∴函数f(x)=log a(1−x)的定义域是(−∞, 1)．4.【答案】D【考点】平行向量的性质【解析】根据平面向量的共线定理列出方程求x的值．【解答】向量a→=(−1, 2)与向量b→=(2, x)平行，则−1⋅x−2×2=0，解得x=−4．5.【答案】C【考点】三角函数【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】∵点A(3, 4)是角α终边上的一点，∴x=3，y=4，r=|OA|=5，那么cosα=xr =35，6.【答案】C【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】根据两圆的圆心距与半径的关系，判断两圆的位置关系．【解答】圆x2+y2=1的圆心为M(0, 0)，半径为r1=1；圆(x−3)2+y2=4的圆心为N(3, 0)，半径为r2=2；|MN|=3，且r1+r2=3，∴两圆的位置关系是相外切．7.【答案】B【考点】正弦函数的奇偶性【解析】直接利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】利用排除法和代入法求解，当x=π6时，y=2sin(π6−π6)=0，8.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】四种基本初等函数，分别是一次函数，二次函数，对数函数，三次函数（幂函数），需要对每种函数的函数性质进行分析即可．【解答】①一次函数y=kx+b的单调性由k决定，k>0时，函数递增，k<0时，函数递减，故y=−2x−1是减函数，且其不是奇函数．不合题意．②二次函数的单调性由开口方向和对称轴决定，函数y=x2在(−∞, 0)单调递减，在(0, +∞)是单调递增，且其不是奇函数，不合题意．③对数函数是非奇非偶函数，不符合题意．④幂函数y=x3，在R是单调递增，且f(−x)=−f(x)，为奇函数，符合题意．9.【答案】C【考点】余弦定理【解析】由已知及余弦定理即可求值得解．【解答】∵∠C=60∘，AC=2，BC=3，∴由余弦定理可得：AB=√AC2+BC2−2AB∗AC∗cosC=√4+9−2×2×3×12=√7．10.【答案】C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由三棱锥的三视图得该三棱锥是三棱锥P−ABC其中PO⊥平面ABCD，O在AC上，AO=2，CO=BO=1，PO=3，由此能求出该三棱锥的体积．【解答】由三棱锥的三视图得该三棱锥是如图所示的三棱锥P−ABC，其中PO⊥平面ABCD，O在AC上，AO=2，CO=BO=1，PO=3，∴该三棱锥的体积：V P−ABC=1×S△ABC×PO=13×12×AC×BO×PO=13×12×3×1×3=32．11.【答案】A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】把点的坐标代入幂函数f(x)的解析式，解方程求出α的值．【解答】幂函数f(x)=xα的图象经过点(3,19)，则3α=19，解得α=−2．12.【答案】B【考点】对数的运算性质【解析】利用对数运算性质即可得出．【解答】原式=log 2(23×6)=log 222=2．13.【答案】B【考点】正弦定理【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC 的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】∵ cosC =13，∴ sinC =√1−cos 2C =2√23， 又∵ 由已知可得S △ABC =4√3=12absinC =12×3√2×b ×2√23， ∴ 解得b =2√3．14.【答案】C【考点】分段函数的应用【解析】画出分段函数的图象，数形结合得答案．【解答】作出函数f(x)={2x −1,x ≤01x−2,x >0 的图象如图，由图可知，函数f(x)={2x −1,x ≤01x−2,x >0 零点的个数为2． 15.【答案】A【考点】二倍角的三角函数【解析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】∵ sinα=45，且α∈(π2,π)，∵ cos2α=1−2sin 2α=1−2×(45)2=−725．16.【答案】B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】①如果m // α，n ⊂α，m 与n 平行或异面，故①错误；②如果m ⊥α，m ⊥β，那么由平面与平面平行的判定定理得α // β，故②正确； ③如果α⊥β，m ⊥α，那么m // β或m ⊂β，故③错误；④如果α⊥β，α∩β=m ，m ⊥n ，那么n 与β相交，平行或n ⊂β，故④错误． 17.【答案】B【考点】解三角形【解析】先根据余弦定理求出∠C 度数，最后根据正弦定理可得答案【解答】在△ADC 中，AD =√7，AC =3，DC =2，由余弦定理得cosC =AC 2+DC 2−AD 22×AC×DC =9+4−72×3×2=12， ∴ ∠C =60∘，在△ABC 中，AC =3，∠B =45∘，∠C =60∘，由正弦定理得 AC sinB =AB sinC ，∴ AB =ACsinC sinB =3×√32√22=3√62， 18.【答案】B【考点】分布和频率分布表 【解析】观察两个表中前五位的行业，建筑行业招聘人数是76516，而应聘人数没有排在前五位，小于65280，建筑行业人才是供不应求，观察物流行业是物流行业是供大于求，得到结论． 【解答】∵ 用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况， ∴ 建筑行业招聘人数是76516，而应聘人数没有排在前五位，小于65280， 建筑行业人才是供不应求，∵ 物流行业应聘人数是74570，而招聘人数不在前五位，要小于70436， ∴ 物流行业是供大于求，∴ 就业形势是建筑行业好于物流行业， 19.【答案】 B【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】从5个球中随机取出一个小球共有5种方法，其中号码为偶数的为：2，4，共两种，由古典概型的概率公式可得答案． 【解答】解：从5个球中随机取出一个小球共有5种取法， 其中号码为偶数的为：2，4，共两种 由古典概型的概率公式可得： 其号码为偶数的概率是25. 故选B . 20.【答案】 A【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】利用向量的坐标运算转化求解向量的夹角即可． 【解答】向量a →=(0, 2)，b →=(1, 0)， 向量a →−2b →=(−2, 2)， 向量a →−2b →与b →的夹角为θ， cosθ=(a →−2b →)∗b→|a →−2b →||b →|=2√2×1=−√22． 可得θ=135∘． 21.【答案】C【考点】频率分布直方图【解析】由频率分布表和频率分布直方图得第四组的频率为0.5，从而求得旅客购票用时的平均数，由此得到旅客购票用时的平均数落第四小组．【解答】由频率分布表和频率分布直方图得第四组的频率为：1−0.1−0.1−0.3=0.5，由频率分布表和频率分布直方图得旅客购票用时的平均数为：7.5×0.10+12.5×0.10+17.5×0.50+22.5×0.3=17.5，∴旅客购票用时的平均数落第四小组．22.【答案】D【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】直线3x−4y+m=0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，则此直线与圆：x2+y2=4相切．【解答】直线3x−4y+m=0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，则此直线与圆：x2+y2=4相切．∴=2，解得m=±10．√32+(−4)223.【答案】A【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】如图所示，AO⊥平面OCD．CD=100．∠ACO=30∘，∠ADO=45∘．∠ODC=60∘．设OA=ℎ．在Rt△OAD，可得OD=ℎ．同理可得：OC=√3ℎ．在△OCD中，利用余弦定理即可得出．【解答】如图所示，AO⊥平面OCD．CD=100．∠ACO=30∘，∠ADO=45∘．∠ODC=60∘．设OA=ℎ．在Rt△OAD，则OD=ℎ．同理可得：OC=√3ℎ．在△OCD中，OC2=OD2+CD2−20D⋅CD⋅cos60∘．∴(√3ℎ)2=ℎ2+1002−2×ℎ×100×1，2化为：ℎ2+50ℎ−5000=0，解得ℎ=50．因此水柱的高度是50m．24.【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】由已知结合向量在向量上投影的概念求解．【解答】∵O为三角形ABC的外接圆的圆心，∴AO→在AC→上的投影为12|AC→|，又AC=4，∴AO→∗AC→=|AO→|∗|AC→|cos∠OAC=12|AC→|2=12×16=8．25.【答案】C【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】根据列表即可分别求出个税免征额为3500元和7000元时，此人当月所缴纳的税款，进而即可得出此人当月少缴纳此项税款的值．【解答】解：设该人当月工资、薪金所得为x元，由题意得：1500×3%+3000×10%+(x−8000)×20%−(x−7000)×3%=332，整理，得：0.17x=1377，解得x=8100.故选C.二、解答题（共分）【答案】√3【考点】两角和与差的三角函数三角函数的周期性及其求法三角函数的最值【解析】(Ⅰ)直接利用函数的关系式求出函数的值．(Ⅱ)首先通过三角函数关系式的恒等变换，求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】(Ⅰ)f(x)=√3sin2x+cos2x,x∈R，所以f(π4)=√3．(Ⅱ)因为f(x)=√3sin2x+cos2x=2(√32sin2x+12cos2x)=2(sin2xcosπ6+cos2xsinπ6)=2sin(2x+π6)．所以函数f(x)的最小正周期T=2π|ω|=2π2=π．由x∈[0,π2brack，可得2x+π6∈[π6,7π6brack，所以−12≤sin(2x+π6)≤1．所以−1≤2sin(2x+π6)≤2，所以当2x+π6=7π6，即x=π2时，函数f(x)的最小值为−1；当2x+π6=π2，即x=π6时，函数f(x)的最大值为2．【答案】证明：(Ⅰ)因为D是BC的中点，AB=AC，所以BC⊥AD．因为A1A⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1A⊥BC，又因为AA1∩AD=D，所以BC⊥平面A1AD．(Ⅱ)因为∠BAC=90∘，BC=A1D=4，D是BC的中点，所以AD=12BC=2，AB=AC=2√2．因为A1A⊥底面ABC，所以AA1=√A1D2−AD2=√42−22=2√3．所以三棱柱ABC−A1B1C1的体积：V=S△ABC∗AA1=12×2√2×2√2×2√3.=8√3．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直【解析】(Ⅰ)推导出BC⊥AD，A1A⊥BC，由此能证明BC⊥平面A1AD．(Ⅱ)推导出AD=12BC=2，AB=AC=2√2．由A1A⊥底面ABC，得AA1=√A1D2−AD2=√42−22=2√3，由此能求出三棱柱ABC−A1B1C1的体积．【解答】证明：(Ⅰ)因为 D 是BC 的中点，AB =AC ， 所以 BC ⊥AD ．因为 A 1A ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以 A 1A ⊥BC ，又因为 AA 1∩AD =D ， 所以 BC ⊥平面A 1AD ．(Ⅱ)因为∠BAC =90∘，BC =A 1D =4，D 是BC 的中点， 所以 AD =12BC =2，AB =AC =2√2． 因为 A 1A ⊥底面ABC ，所以 AA 1=√A 1D 2−AD 2=√42−22=2√3． 所以三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积：V =S △ABC ∗AA 1=12×2√2×2√2×2√3.=8√3．【答案】 x 2+y 2=1 【考点】圆的切线方程 【解析】(Ⅰ)由|OA|=1，直接得到圆O 的方程为x 2+y 2=1．(Ⅱ)(ⅰ)连接OM ，由题意可知△OEM 为直角三角形．可得|OM|=2|OE|=2．由M 是3x +y −4=0直线上的动点，设点M 的坐标为(t, −3t +4)．结合|OM|=2，解得t ．则点M 的横坐标可求．(ⅱ)|OM|的最小值即为原点O 到直线3x +y −4=0的距离d =√32+1=√10，由△OEM为直角三角形，可得|ME|2=|OM|2−12≥35．即|ME|最小值是√155．代入面积公式可得四边形MEOF 面积的最小值． 【解答】（1）∵ |OA|=1，∴ 圆O 的方程为x 2+y 2=1， 故答案为：x 2+y 2=1． (2)(ⅰ)如图，连接OM ，由题意可知△OEM 为直角三角形． ∵ ∠EMF =60∘，∴ ∠OME =30∘． ∴ |OM|=2|OE|=2．∵ M 是3x +y −4=0直线上的动点， ∴ 设点M 的坐标为(t, −3t +4)．∴ |OM|=√(t −0)2+[(−3t +4)−0]2=2，解得t =6−√65，或t =6+√65．∴ 点M 的横坐标为6−√65或6+√65．(ⅱ)∵ 原点O 到直线3x +y −4=0的距离d =√32+1=√10，∴ |OM|的最小值是√10．∵ △OEM 为直角三角形，∴ |ME|2=|OM|2−12≥35． ∴ |ME|最小值是√155．∵ S 四边形MEOF =2S △MEO =2×12×1×|ME|=|ME|， 四边形MEOF 面积的最小值是√155．【答案】∀x 1，x 2∈(0, +∞)，都有f(x 1x 2)=f(x 1)f(x 2)−f(x 1)−f(x 2)+2， 则令x 1=x 2=1，则f(1)=f 2(1)−2f(1)+2，解得f(1)=1或2，若f(1)=1，则令x 1=1，x 2=x ，则有f(x)=f(1)f(x)−f(1)−f(x)+2，即有f(x)=1．这与当x >1时，f(x)>2矛盾，故f(x)=1舍去，若f(1)=2，令x 1=1，x 2=x ，则有f(x)=f(1)f(x)−f(1)−f(x)+2恒成立， 故有f(1)=2；证明：令1<x 1<x 2，则x 2x 1>1，由于当x >1时，f(x)>2，则有f(x2x 1)>2，则f(x 2)=f(x 1⋅x 2x 1)=f(x 1)⋅f(x 2x 1)−f(x 1)−f(x 2x 1)+2=f(x 2x 1)(f(x 1)−1)−f(x 1)+2 >2f(x 1)−2−f(x 1)+2=f(x 1)， 则函数f(x)在(1, +∞)上单调递增；令x 1=x 2=2，则f(4)=f 2(2)−2f(2)+2=25−10+2=17， 则不等式f(x)<17即为f(x)<f(4)，由f(1)=2，则f(x ∗1x )=f(x)f(1x )−f(x)−f(1x )+2=2， 即有f(1x )=f(x)f(x)−1，令0<x<1，则1x >1，f(1x)>2，解得1<f(x)<2，同（2）可得(0, 1)也为增区间，故f(x)在(0, +∞)递增，则有f(x)<f(4)得到0<x<4．即解集为(0, 4)．【考点】抽象函数及其应用【解析】（1）令x1=x2=1，则f(1)=1或2，检验得到f(1)不成立，f(1)=2；（2）令1<x1<x2，则x2x1>1，由于当x>1时，f(x)>2，则有f(x2x1)>2，则f(x2)=f(x1⋅x2x1)再由条件即可得到得证；（3）令x1=x2=2，则f(4)=17，不等式f(x)<17即为f(x)<f(4)，同（2）可得(0, 1)也为增区间，故f(x)在(0, +∞)递增，即可解出不等式．【解答】∀x1，x2∈(0, +∞)，都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)−f(x1)−f(x2)+2，则令x1=x2=1，则f(1)=f2(1)−2f(1)+2，解得f(1)=1或2，若f(1)=1，则令x1=1，x2=x，则有f(x)=f(1)f(x)−f(1)−f(x)+2，即有f(x)=1．这与当x>1时，f(x)>2矛盾，故f(x)=1舍去，若f(1)=2，令x1=1，x2=x，则有f(x)=f(1)f(x)−f(1)−f(x)+2恒成立，故有f(1)=2；证明：令1<x1<x2，则x2x1>1，由于当x>1时，f(x)>2，则有f(x2x1)>2，则f(x2)=f(x1⋅x2x1)=f(x1)⋅f(x2x1)−f(x1)−f(x2x1)+2=f(x2x1)(f(x1)−1)−f(x1)+2>2f(x1)−2−f(x1)+2=f(x1)，则函数f(x)在(1, +∞)上单调递增；令x1=x2=2，则f(4)=f2(2)−2f(2)+2=25−10+2=17，则不等式f(x)<17即为f(x)<f(4)，由f(1)=2，则f(x∗1x )=f(x)f(1x)−f(x)−f(1x)+2=2，即有f(1x )=f(x)f(x)−1，令0<x<1，则1x >1，f(1x)>2，解得1<f(x)<2，同（2）可得(0, 1)也为增区间，故f(x)在(0, +∞)递增，则有f(x)<f(4)得到0<x<4．即解集为(0, 4)．。
2018年北京市西城区高三一模文科数学试题及参考答案
2018年北京市西城区高三一模文科数学试题及参考答案西城区高三统一测试数学（文科） 2018.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则AB =（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R （C ）2{|3}3x x ∈-<<R （D ）{|3}x x ∈>R2．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a = （A ）7（B ）7-（C ）1（D ）1-7．已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ= （A ）2- （B ）12- （C）（D8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．满足到直线1AA 和CD的距离相等的点P（A ）不存在（B ）恰有1个（C ）恰有2个（D ）有无数个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数1()ln f x x =的定义域是____．10．已知x ，y 满足条件1,1,10, x y x y x +⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≥则2z x y =+的最小值为____．11．已知抛物线28yx=-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____； 双曲线的渐近线方程是____．12．在△ABC 中，7b =，5c =，3B 2π∠=，则a =____．13．能够说明“存在不相等的正数a ，b ，使得a b ab +=”是真命题的一组a ，b 的值为____．14．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）设等差数列{}na 的公差不为0，21a，且2a ，3a ，6a 成等比数列．（Ⅰ）求{}na 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}na 的前n 项和为nS ，求使35nS成立的n的最小值．16．（本小题满分13分）函数π()2cos cos()3f x x x m =⋅-+的部分图象如图所示． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）求0x 的值．17．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，求这2人均被录用的概率； （Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论） 18．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C的中点，如图2．（Ⅰ）求证：//EF 平面1A BD ； （Ⅱ）求证：平面1A OB ⊥平面1A OC ；（Ⅲ）线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？说明理由．图1 图219．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为，以椭圆C 的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A 是椭圆C 的右顶点，点B 在x 轴上．若椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，求点B 横坐标的取值范围．20．（本小题满分13分）已知函数()e (ln )xf x a x =⋅+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线e xy =-垂直，求a 的值；（Ⅱ）记()f x 的导函数为()g x ．当(0,ln 2)a ∈时，证明：()g x 存在极小值点0x ，且0()0f x <．西城区高三统一测试数学（文科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．B 3．C 4．A5．D 6．B 7．A 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．(0,1)(1,)+∞ 10．5-110x ±= 12．313．3,32（答案不唯一） 14．22注：第11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}na 的公差为d ，0d ≠．因为2a ，3a ，6a 成等比数列， 所以2326a a a =⋅． [ 2分]即2(1)14d d+=+，[ 4分]解得2d =，或d =（舍去）．[ 6分]所以{}n a 的通项公式为2(2)23n a a n d n =+-=-． [ 8分]（Ⅱ）因为23n a n =-，所以 2121()()222n n n n a a n a a S n n -++===-．[10分]依题意有 2235n n ->，解得 7n >．[12分]使35nS 成立的n的最小值为8． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，有2π()13f =-，[ 2分]所以 2ππ2cos cos 133m ⋅+=-， 解得12m =-．[ 4分]（Ⅱ）因为π1()2cos cos()32f x x x =⋅--112cos (cos )22x x x =⋅-[ 6分]21cos cos 2x x x =+-12cos22x x =+[ 9分]πsin(2)6x =+．[10分]所以 ()f x 的最小正周期2ππ2T ==． [11分]所以02ππ7π326x =+=．[13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 表中所有应聘人员总数为5334671000+=，被该企业录用的人数为 264169433+=． 所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P =． 3分]（Ⅱ）记应聘E 岗位的男性为1M ，2M ，3M ，被录用者为1M ，2M ；应聘E 岗位的女性为1F ，2F ，3F ，被录用者为1F ，2F ．[ 4分]从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，共9种情况，即：111213212223313233,,,,,,,,M F M F M F M F M F M F M F M F M F ．[ 7分]这2人均被录用的情况有4种，即：11122122,,,M F M F M F M F ． [ 8分]记“从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，这2人均被录用”为事件K ，则4()9P K =．[10分]（Ⅲ）这四种岗位是：B 、C 、D 、E ． [13分] 18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ． [ 1分]因为 在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，12DE BC =． 因为 H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点， 所以 //HF BC ，12HF BC =， 所以 //HF DE ，HF DE =，所以 四边形DEFH 为平行四边形， [ 3分]所以//EF HD． [ 4分]因为 EF ⊄平面1A BD ， HD ⊂平面1A BD ， 所以 //EF 平面1A BD． [ 5分]（Ⅱ）因为 在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 AD AE =．所以11A D A E=，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE⊥．[ 6分]因为 平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ，所以 1A O ⊥平面BCED ， [ 7分]所以1CO A O⊥． [ 8分]在△OBC 中，4BC =，易知 OB OC ==所以 CO BO ⊥， 所以 CO ⊥平面1A OB， [ 9分] 所以平面1A OB ⊥平面1A OC．[10分]（Ⅲ）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG． [11分]否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，连接 GE ，GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在 Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥，得 G 为OC 的中点． [12分]在 △EOC 中，因为OC GE⊥，所以 EO EC =，这显然与1EO =，EC 矛盾！ 所以 线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ． [14分] 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得c a =ab =222ab c =+．[ 3分]解得2a =，b 所以椭圆C的方程为22142x y +=．[ 5分]（Ⅱ）“椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P，使得0PA PB −−→−−→⋅=成立”． [ 6分]依题意，(2,0)A ．设(,0)B t ，(,)P m n ，则2224m n +=，[ 7分]且 (2,)(,)0m n t m n --⋅--=， 即2(2)()0m t m n --+=．[ 9分]将 2242m n -=代入上式， 得2(2)()24m m t m ---+=．[10分]因为 22m -<<，所以 202mt m +-+=，即 22m t =+． [12分]所以 2222t -<+<， 解得 20t -<<，所以 点B 横坐标的取值范围是(2,0)-． [14分] 20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）11()e (ln )e e (ln )x x x f x a x a x x x'=⋅++⋅=⋅++． [ 2分]依题意，有 (1)e (1)ef a '=⋅+=，[ 3分]解得a =．[ 4分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得 1()e (ln )x g x a x x=⋅++，所以2211121()e (ln )e ()e (ln )x x xg x a x a x x x xx x'=⋅+++⋅-=⋅+-+． [ 6分] 因为e 0x >，所以()g x '与221ln a x x x+-+同号． 设221()ln h x a xx x=+-+，[ 7分]则223322(1)1()x x x h x x x -+-+'==．所以 对任意(0,)x ∈+∞，有()0h x '>，故()h x 在(0,)+∞单调递增． [ 8分]因为 (0,ln 2)a ∈，所以 (1)10h a =+>，11()ln 022h a =+<， 故存在01(,1)2x ∈，使得0()0h x =． [10分]()g x 与()g x '在区间1(,1)上的情况如下： 所以 ()g x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增． 所以 若(0,ln 2)a ∈，存在01(,1)2x ∈，使得0x 是()g x 的极小值点． [11分]令 0()0h x =，得 02012ln x a x x -+=，所以第 18 页 共 4 页 000002012()e (ln )e 0x x x f x a x x -=⋅+=⋅<．[13分]。
2018年高三最新 北京市西城区2018年抽样测试高三数学
北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．设全集为R ，若集合}50|{},1|{<≤=≥=x x N x x M ，则N ( )等于A ．}5|{≥x xB ．}10|{<≤x xC ．}5|>x xD ．}51|{<≤x x2．函数1)62sin(3)(--=πx x f 的最小值和最小正周期分别是A ．π,13--B ．π,13+-C ．π,3-D ．π2,13--3． 函数)0(12>+=x x y 的反函数是 A ．)0(12>-=x x y B ．)0(12>--=x x yC ．)1(12>-=x x yD ．)1(12>--=x x y3．等差数列6427531,4,}{a a a a a a a a n ++=+++则中=A ．3B ．4C ．5D ．64．设命题p ：若001:;11,<⇔<<>ab bq b a b a 则. 给出下列四个复合命题：①p 或q ；②p 且q ；③ p ；④q 其中真命题的个数有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．函数])5,2[)(1(log )(21∈-=x x x f 的最大值与最小值之和是A ．－2B ．－1C ．0D ．26．已知直线21,l l 与平面α. 则下列结论正确的是 A ．若A l l =⊂αα 21,，则21,l l 为异面直线. B ．若α//,//121l l l ，则α//2l . C ．若,,121α⊥⊥l l l 则.//2αlD ．若,,21αα⊥⊥l l ，则21//l l .7．直线02=-y x 与圆9)1()2(:22=++-y x C 交于A ，B 两点，则△ABC （C 为圆心）的面积等于A ．52B ．32C ．34D ．548．某人上午7:00乘汽车以匀速1υ千米/时（30≤1υ≤100）从A 地出发到距300公里的B地，在B 地不作停留，然后骑摩托车以匀速2υ千米/时（4≤2υ≤20）从B 地出发到距50公里的C 地，计划在当天16:00至21:00到达C 地。
高三试卷—北京2018西城区高三(上)期末数学(文)试题及答案
数学试题答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1．A
2．B
3．D
5．C
6．B
7．C
4．C 8．B
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
9． 0
10． x2 y2 1 3
12．1； 13
x y 1≥ 0.
x2 x, 2 ≤ x ≤ c,
14．已知函数
f
(x)
1 x
,
若 c 0 ，则 f (x) 的值域是____；若 f (x) 的值域是[ 1 , 2] ，则实数 c 的
c x ≤ 3.
4
取值范围是____． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
（A）{x | 1 x 3} （C）{x | 0 x 2}
（B）{x | 1 x 0} （D）{x | 2 x 3}
2．在复平面内，复数 2i 对应的点的坐标为 1i
（A） (1,1)
（B） ( 1,1)
（C） ( 1, 1)
（D） (1, 1)
3．下列函数中，在区间 (0,) 上单调递增的是
[ 6 分]
依
次
为
：
(ab, cde), (ac, bde), (ad , bce), (ae, bcd ), (bc, ade), (bd , ace), (be, acd ), (cd , abe),
(ce, abd),(de,abc) ．
[ 8 分]
所以“甲、乙两组各有一名 B 类学生”的概率为 6 3 ． 10 5
2018北京市各城区二模数学(文科)分类汇编之数列含答案
2018市各城区二模数学（文科）分类汇编之数列含答案【西城二模】15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111a b ==，22a b =，432a b +=． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意，得21,2(13).d q d q +=⎧⎨++=⎩………………2分 解得2,3,d q =⎧⎨=⎩或1,0.d q =-⎧⎨=⎩（舍去）………………4分所以21n a n =-，13n n b -=．………………6分 （Ⅱ）因为1213n n n a b n -+=-+，………………7分所以21[135(21)](1333)n n S n -=++++-+++++………………9分[1(21)]13213nn n +--=+-………………11分 2312n n -=+．………………13分【海淀二模】（15）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1223n n a a n +-=+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和.15．（本小题13分） 解：（Ⅰ）方法1： 因为数列{}n a 是等差数列，所以212n n n a a a +++=. 因为3221+=-+n a a n n ，所以223n a n +=+. 所以，当3n ≥时，2(2)321n a n n =-+=-. 所以21(1,2,3,).n a n n =-=………………6分方法2：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为3221+=-+n a a n n ，所以21322527.a a a a -=⎧⎨-=⎩所以11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩所以112.a d =⎧⎨=⎩所以1(1)21(1,2,3,)n a a n d n n =+-=-=………………6分（Ⅱ）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n n a b -+=因为21n a n =-，所以12(21)n n b n -=--.设数列{}n b 的前n 项和为n S ， 则1(1242)[135(21)]n n S n -=++++-++++-12(121)122n n n -+-=-- 221n n =--所以数列{}n b 的前n 项和为221.n n --. ………………13分 【东城二模】（15）（本小题13分）已知{}n a 是公差为2等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，且1(1)n n n a b nb ++=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n b 的前n 项和n S ． （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为1(1)n n n a b nb ++=，所以121(1)1a b b +=⨯． 因为11b =，212b =， 所以11a =．因为等差数列{}n a 的公差为2，所以21n a n =-，*n ∈N ．……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知21n a n =-．因为1(1)n n n a b nb ++=， 所以11(21)12n n b n b n +==-+． 所以数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列． 所以数列{}n b 的前n 项和n S 11()122[1()]1212nn -==--，*n ∈N ．……………13分 【XX 二模】16.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn =+（p ，q ∈R ，*n ∈N ）且13a =，424S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】解:（Ⅰ）∵数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn =+∴当1n =时,11a S p q ==+当2n ≥时,21(1)(1)n S p n q n -=-+-∴221()[(1)(1)]2nn n a S S pn qn p n q n pn q p -=-=---+-=+-检验1a p q =+符合2n a pn q p =+-∴数列{}n a 的通项公式为2n a pn q p =+-∵12(1)(2)2,()n na a p n q p pn q p p p +-=++--+-=∈R∴{}n a 是等差数列,设公差为d ∵143,24a S ==∴414342S a d ⨯=+解得2d = ∴数列{}n a 的通项公式为*3(1)221()n a n n n =+-⨯=+∈N（Ⅱ）由（Ⅰ）可知21n a n =+∴2122n a n nb +==设数列{}n b 的前n 项和为n T , 则12124242424n n nT -=⨯+⨯++⨯+⨯1212(4444)n n -=++++4(14)214n -=⨯- 8(41)3n -=所以数列{}n b 的前n 项和为8(41).3n n T -=【丰台二模】 （16）（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和2=3n S n ，等比数列{}n b 满足11=3a b ，242b b a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列21{}n b -的前n 项和n T ． （16）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为23n S n =，所以113a S ==．…………………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=-2233(1)n n =--63n =-．…………………3分因为当1n =时，16133a ⨯-==，…………………4分 所以数列{}n a 的通项公式是63n a n =-．…………………5分 （Ⅱ）设数列{}n b 的公比为q ．因为113a b =，所以11b =．…………………6分 因为242b b a ⋅=，所以239b =．…………………8分因为2310b b q =>，所以33b =，且23q =．…………………10分因为{}n b 是等比数列，所以21{}n b -是首项为11b =，公比为23q =的等比数列．…………………11分所以212(1())131(31)1132n n nn b q T q --===---． 即1(31)2nn T =-．…………………13分 【昌平二模】 16.（本小题13分） 已知数列{}n a 满足1211,2a a ==，数列{}n b 是公差为2的等差数列，且11n n n n b a a na +++=. （I ）求数列{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n a 前n 项的和n S . 16.（共13分）解：（Ⅰ）因为11n n n nb a a na +++=，所以1221b a a a += . 又因为1212a a =1，=, 所以11b =.所以数列{}n b 的通项公式是2-1n b n =. --------------------7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2-1n b n =，且11n n n n b a a na +++=.所以11(21)n n nn a a na ++-+=，得到112n n a a += .所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列. 那么数列{}n a 前n 项和111()222112nn n S --==--.--------------------13分 【顺义二模】15.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且151, 3.a a =-=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式;（Ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =,求数列{}n b 的前n 项和.【房山二模】 （15）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =．问：5b 与数列{}n a 的第几项相等？解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为432a a -=，所以2d =．又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =． 所以42(1)22n a n n =+-=+(1,2,)n =．…………6分 （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =． 所以5154264b -=⨯=． 由6422n =+得31n =．所以5b 与数列{}n a 的第31项相等．…………13分。
(全优试卷)北京市西城区高三5月模拟测试(二模)数学(文)试题Word版含答案
西城区高三模拟测试数学（文科）2018.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1（A（B（C（D2（A（B（C（D3（A（B（C（D4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是（A（B（C（D5（A（B（C（D6（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7．设不等式组（A（B（C（D8．地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（A）A （B）B （C）D （D）E第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9____．10____．11．12____．13．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，计划3年后全年植树12.5．14．范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）16．（本小题满分13分）17．（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；（Ⅱ）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；（III）某研究机构提出，随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率．18．（本小题满分14分）19．（本小题满分13分）20．（本小题满分14分）全优试卷．．西城区高三模拟测试数学（文科）参考答案及评分标准2018.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．A 3．D 4．B5．D 6．D 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.910111213．25% 14注：第12题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：依题意，得 (2)分解得或 (4)分所以 (6)分（Ⅱ）因为 (7)分所以 (9)分 (11)分 (13)分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由 (2)分得 (3)分所以 (4)分 (5)分（Ⅱ）因为 (7)分 (9)分 (11)分由（Ⅰ）得所以 (12)分所以 (13)分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为 (2)分 (4)分（Ⅱ）指标检测值不低于5的样本中，37人． (6)分此地区该项身体指标检测值不低于5 (8)分100个样本数据中， (10)分 (12)分 (13)分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为所以所以……2分因为3分所以4分因为所以所以 (6)分因为所以所以所以所以 (7)分因为所以所以 (8)分所以 (9)分所以 (10)分（Ⅲ）设由（Ⅰ）得由（Ⅱ）得所以所以 (11)分由（Ⅱ）得所以 (12)分 (14)分19．（本小题满分13分）解： (2)分依题意，有即 (4)分解得 (5)分所以 (8)分因为所以 (9)分设 (10)分则故 (11)分所以即 (12)分故 (13)分20．（本小题满分14分）解：且 (2)分解得 (3)分所以 (4)分（Ⅱ）（ⅰ）由 (5)分由得 (6)分设则 (8)分由 (9)分所以 (10)分因为所以所以 (12)分 (14)分。
2018西城二模数学
2018西城二模数学2018年西城区的高中二模考试中，数学科目是很多学生们一直都担心的。
数学作为一门依赖于理解和解题能力的学科，需要学生具备良好的逻辑思维和数学基础。
本文将回顾2018年西城二模数学考试的题型和难点，并提供一些学习和备考的建议。
一、题目分析2018年西城二模数学试卷包含了选择题、填空题、解答题和应用题。
本次考试的题目相对来说难度较大，涵盖了数学的各个知识点。
以下是一些题目的例子：1. 选择题：已知矩形ABCD中，AB=2AD，点E是AB的中点，连接CE交BD于点F，若BE=2，求CF的长度。
2. 填空题：设函数f(x) = a(x - 1)(x - 2)(x - 3)，给定f(x)在点x = 0处的函数值为6，求a的取值范围。
3. 解答题：已知函数f(x) = x^2 + 4ax + 3a + 2，其中a为常数，求a的取值范围，使得f(x)的图像在坐标系中的所有点的纵坐标都大于0。
4. 应用题：设甲、乙两人同一时间从A、B两地同时出发相向行驶，甲始终以恒定速度行驶，乙在前2小时内行驶了50公里，然后以与甲相同的恒定速度行驶。
已知甲行驶的时间与乙行驶的距离成正比，请问乙行驶了多少时速？二、难点分析从以上的题目例子可以看出，2018年西城二模数学试卷的难点主要集中在解答题和应用题上。
一方面，这些题目需要学生对数学概念的理解能力和运用能力进行综合性的考察。
另一方面，这些题目要求学生具备良好的逻辑思维和问题解决能力。
对于解答题而言，学生需要具备分析问题、建立方程、解方程等解题技巧。
例如，在第三道题中，学生需要将函数的纵坐标都大于0这个条件转化为数学方程，并通过解方程求解出满足条件的a的取值范围。
对于应用题而言，学生需要能够将数学知识与实际问题相结合，进行问题的建模和求解。
例如，在第四道题中，学生需要根据题目提供的条件，利用比例关系建立数学模型，并通过解方程求解出乙的行驶速度。
三、备考建议在备考2018西城二模数学考试时，学生可以按照以下步骤进行准备：1. 复习基础知识：数学是一门层层递进的学科，建立在扎实的基础知识上。
2018北京市西城区高三数学(文)(上)期末
（Ⅰ）求 { an } 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 { an} 的前 n 项之积为 Tn ，求 Tn 的最大值．
17．（本小题满分 13 分） 某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为
A， B 两类（评定标准见表 1）．根据男女学生比例，使用分层抽
样的方法随机抽取了 10000 名学生的得分数据，其中等级为 A1 的学生中有 40% 是男生，等级为 A2 的学生中有一半
（ D） ( , 4)
第Ⅱ卷 （非选择题 共 110 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
9．若函数 f ( x) x( x b) 是偶函数，则实数 b ____．
10．已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1的一个焦点是 F (2,0) ，其渐近线方程为
y
11．向量 a,b 在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格
6．一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的
（ D） b 4a
三视图如图所示，则截去．．的几何体是
（ A）三棱锥
7．函数 f (x) sin(x
对称”的
（ B）三棱柱
（C）四棱锥
（ D）四棱柱
) 的图象记为曲线 C．则“ f (0) f (π) ”是“曲线 C关于直线 x π 2
18．（本小题满分 14 分）
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB 平面 AA1C1C ，AA1 AC . 过 AA1 的平面交 B1C1 于点 E ，交 BC 于点 F . （Ⅰ）求证： A1C 平面 ABC 1 ；
（Ⅱ）求证： A1A // EF ；
（Ⅲ）记四棱锥 B1
AA1 EF 的体积为 V1 ，三棱柱 ABC
2018年高三最新 北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷(文科)02018 精品
北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷（文科）参考公式：三角函数的和差化积公式正棱台、圆台的侧面积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+l c c S )(21+'=台侧 2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=-其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示 2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+斜高或母线长. 2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-球体的体积公式：334R V π=球 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列各函数中，（ ）是R 上的偶函数A ．x x y 22-=B ．x y 2=C ．x y 2cos =D ． 1||1-=x y2．设全集为实数集R ，集合A=∈<x x x ,1log |{2R }，集合B=∈<-x x x ,1|2||{R }，则 B A 等于（ ）A ．}1|{≤x xB ．}10|{≤<x xC ．}21|{<≤x xD ．}3|{≥x x3．抛物线2ax y =的准线方程为1-=y ，则实数a 的值是（ ）A ．41 B ．21 C ．41-D ．－21 4．5．设,4||0πα<<则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．ααsin 2sin >B ．ααcos 2cos <C ．ααtg tg >2D ．ααctg ctg <25．若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之 比为 （ ）A ．2:2B ．2:3C ．2:5D ．2:36．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1（5-，0），点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为（0，2），则双曲线的方程是 （ ）A ．1422=-y xB ． 1422=-y xC ．13222=-y xD ．12322=-y x7．函数)(x f 的部分图象如下图所示，则)(x f 的解析式可以是 （ ）A ．x x x f sin )(+=B ．xxx f cos )(=C ．x x x f cos )(=D ．)23()2()(ππ-⋅-⋅=x x x x f8．某航空公司经营A 、B 、C 、D 这四个城市之间的客运业务. 它的部分机票价格如下：A —B 为2000元；A —C 为1600元；A —D 为2500元；B —C 为1200元；C —D 为900元. 若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B —D 的机票价格为（ ）（注：计算时视A 、B 、C 、D 四城市位于同一平面内） A ．1000元 B ．1200元 C ．1400元 D ．1500元 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 9．设∈z C ，且i z i -=⋅2，则复数z 等于 ；||i z +等于 .10．正四棱锥S —ABCD 的底面边长为2，高为2，则异面直线AB 与SC 所成角的大小是 .11．从3名男同学1名女同学中选出3人，分别担任班长、体委、宣委职务，其中女同学不能担任体委职务，那么不同的任职方案共有 种（用数字作答）. 12．已知)(x f 是定义在[－4，0]上的减函数，其图象端点为A （－4，1），B （0，－1），记)(x f 的反函数是)(1x f -，则)1(1-f 的值是 ；)(x f 的值域是 . 13．如果曲线C 的方程是,23++=x x y 那么曲线C 的对称中点坐标是 .14．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥MNP 的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本题满分13分）已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为.621,33=⋅=S a S n （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）求).111(lim 21nn S S S +++∞→ .16．（本题满分14分） 在△ABC 中，三个内角是A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，其中c =10，且.34c o s c o s ==a b B A （I ）求证：△ABC 是直角三角形；（II ）设圆O 过A 、B 、C 三点，点P 位于劣弧AC 上，∠PAB=60°.求四边形ABCP 的面积.（17．（本题满分14分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°. BC=CC1=AC=a.（I）求证：BC1⊥平面AB1C；（II）求二面角B—AB1—C的大小；（III）求三棱锥A1—AB1C的体积.18．（本题满分13分） 已知O （0，0）、A （3，0）为椭圆的两个焦点，P 为椭圆与y 轴的一个公共点，且|PO|+|PA|=2. （I ）写出椭圆的方程并求出其离心率；（II ）设直线)0(:>=k kx y l 与（I ）中的椭圆交于B 、C 两点. 求△ABC 的面积是,21求k 的值.19．（本题满分12分）某城市2018年末粮食储备量为100万吨，预计此后每年耗用上一年末粮食储备量的5%，并且每年新增粮食储备量均为x万吨.（I）记2018年末的粮食储备量为a1万吨，以后各年末的粮食储备量依次为a2万吨，a3万吨，…. 写出a1，a2，a3和a n（n∈N）的表达式；（II）当x=6时，是否可以保证该城市的粮食储备量永远不超过120万吨？请加以论证.20．（本题满分14分）设a ≥0，曲线C 的方程为∈+=x ax x y (2R ）.P 是曲线C 上横坐标为1的点，Q 是曲线C 的顶点. （I ）若直线PQ 的斜率是2时，求实数a 的值；（II ）设直线l 经过点P 且与曲线C 有且只有一个公共点，记直线l 交x 轴于点)0,(0x .证明：.121000=≤<x x 或高三数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1.C 2.B 3.A 4.B 5.C 6.A 7.C 8.D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．10;21i --（第一个空2分，第二个空3分）10．60°（5分） 11．18（5分） 12．－4；}11|{≤≤-y y （第一个空2分，第二个空3分） 13．（－2，1）（5分） 14．①、③（多答、少答、错答均不给分） 三、解答题：本大题共6小题，共80分.其它解法，请仿此给分. 15．（本题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差是d ，依题意得，.1222336211=⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=+d a d a解得⎩⎨⎧==.2,21d a ………………5分∴数列{}n a 的通项公式为.2)1(1n d n a a n =-+=…………7分 （Ⅱ）解：∵n a n 2=，∴).1(2)(1+=+=n n a a n S n n …………9分 ∵)1(132121111121+++⨯+⨯=+++n n S S S n =.111)111()3121()3121()2111(+-=+-++-++-+-n n n∴.1)111(lim )111(lim 21=+-=+++∞→∞→n S S S n n n ……13分16．（本题满分14分）（Ⅰ）证明：根据正弦定理得，.sin sin cos cos AB BA =…………2分整理为，sinAcosA=sinBcosB ，即sin2A=sin2B.∵sin2A －sin2B=0， ∴2cos(A+B)·sin(A －B)=0. ∵A+B=π－C ， ∴cosC·sin(A －B)=0.…………5分.,0πππ<-<-<<B A C ∴.0,2=-=B A C 或π…………7分,34=a b ∴舍去A=B. ∴2π=C . 故△ABC 是直角三角形.………………8分 （Ⅱ）解：由（1）可得：a =6，b=8. 在Rt △ACB 中，.54cos ,53sin =∠==∠CAB AB BC CAB ∴)60sin(sin CAB PAC ∠-︒=∠=CAB CAB ∠⋅︒-∠⋅︒sin 60cos cos 60sin =).334(10153215423-=⨯-⨯…………11分 连结PB ，在Rt △APB 中，AP=AB ·cos ∠PAB=5， ∴四边形ABCP 的面积PAC AC AP ab S S S PAC ACB ABCP ∠⋅⋅+=+=∆∆sin 2121四边形 =24+)334(1018521-⨯⨯⨯ =18+38.………………14分17．（本题满分14分）（1）证明：∵ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴CC 1⊥平面ABC ， ∴AC ⊥CC 1. ∵AC ⊥BC ， ∴AC ⊥平面B 1BCC 1. ∴BC 1⊥AC.∵BC=CC 1， ∴四边形B 1BCC 1是正方形， ∴BC 1⊥B 1C.∴BC 1⊥平面AB 1C.………………5分（Ⅱ）解：设BC 1∩B 1C=O ，作OP ⊥AB 1于点P ，连结BP.∵BO ⊥AC ，且BO ⊥B 1 C ，∴BO ⊥平面AB 1C.∴OP 是BP 在平面AB 1C 上的射影.根据三垂线定理得，AB 1⊥BP.∴∠OPB 是二面角B —AB 1—C 的平面角.…………8分∵△OPB 1~△ACB 1， ∴,11AB OB AC OP = ∴.6611a AB AC OB OP =⋅= 在Rt △POB 中，3==∠OP OB OPB tg ， ∴二面角B —AB 1—C 的大小为60°…………10分（Ⅲ）解：∵B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，.6123131*********a a a C B S V V AC A C AA B C AB A ==⋅==∆--…………14分 18．（本题满分13分）（Ⅰ）解：由图可知，椭圆的中心为线段OA 的中点.∵|PO|+|PA|=2， ∴该椭圆的长轴长2a =2.…………2分∴a =1， .21,2322=-==c a b c ∴椭圆方程为.14)23(22=+-y x …………5分 ∴其离心率为.23==a c e …………6分 （Ⅱ）解：将y=k x 代入14)23(22=+-y x ，消去x ， 整理为.0413)14(22=--+y k y k…………8分 设),(),,(2211y x C y x B ， 则21221214)(23||||21y y y y y y OA S ABC -+=-⋅=∆=.21411322=++⋅kk k …………11分 注意到k>0，解得.22=k …………13分19．（本题满分12分）（Ⅰ）解：a 1=100，a 2=0.95×100+x ，a 3=0.95a 2+x =0.952×100+0.95x +x .…………3分 对于n>2，有a n =0.95a n －1+x =0.952×a n －2+(1+0.95)x =… ∴x x a a n n n n n 05.095.0110095.0)95.095.01(95.011211-----+⋅=++++= =.95.0)20100(201-⋅-+n x x …………6分（Ⅱ）解：[解法1] 当x =6时，.95.0201201-⋅-=n n a.120]95.020120[lim lim 1=⋅-=-∞→∞→n n n n a …………9分 并且数列{}n a 的逐项增加，可以任意靠近120.因此，可以保证该城市的粮食储备量永远不超过120万吨.…………12分[解法2] 当x =6时，.95.0201201-⋅-=n n a.12095.0201200.195.00,01,11<⋅-=≤≤<≥-∴∈--n n n a n N n 因此，可以保证该城市的粮食储备量永远不超过120万吨.…………12分20．（本题满分14分）（Ⅰ）解：容易得到P （1，1+a ），).4,2(2a a Q -- 依题意得，.2.221412==+++=a a a a k PQ 解得…………4分 （Ⅱ）证明：①当直线l 的斜率不存在时，其方程为1=x ，直线l 与曲线C 有且只有一个公共点),1,1(a +合适题意，此时10=x .…………6分②当直l 的斜率存在时，设其方程为),1()1(-=+-x k a y代入.0)1()(,22=--+-++=a k x k a x ax x y 整理为依题意，得.0)1(4)(2=----=∆a k k a 即.2,0)2(4)(4)(22a k k a k a k a +=∴=+-=+-+-……9分直线l 方程为：).1)(2()1(-+=+-x a a y 令y=0，得.2112)1(0aa a x +=+++-=…………11分 ∵,0≥a ∴212100≤+=<a x ，当且仅当a =0时，.210=x 综上，.121000=≤<x x 或………………14分。
北京市西城区20xx届高考二模数学试题(文)及答案(1).doc
西城区高三模拟测试数学（文科）2018.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合 A { x | 0 x 1} ，B { x | x2 2x 0} ，则下列结论中正确的是（A）A B （B）A B R（C） A B （D） B A2．复数1 1 i（A）1i （ B ） 1 i （ C） 1 i （D）1i 2 2 2 2 2 2 2 23．下列函数中，既是偶函数又在区间(0, ) 上单调递减的是（ A ）y 1 （ B ）y x2 （ C）y cosx （D ） y ln | x | x4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是（A）10（B）11（C）4 10（D）4 11．向量 a, b,c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量 a b 与c5共线，则实数（A） 2 （B） 1 （C）1 （D）26．设 a,b R，且ab 0 ．则“ ab 1 1”是“ a”的b（ A ）充分而不必要条件（ B ）必要而不充分条件（ C）充分必要条件（ D）既不充分也不必要条件x ≥ 1,7．设不等式组x y ≥ 3,表示的平面区域为D ．若直线 ax y 0 上存在区域D 上的点，2xy ≤ 5则实数 a 的取值范围是（A ） [ 1,2]（B ） [ 1,3]22（ C ） [1,2]（ D ） [2,3]8．地铁某换乘站设有编号为A ， B ，C ， D ， E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间如下：安全出口编号 A ， B B ， C C ，D D ，E A ， E 疏散乘客时间（ s ）120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（A ）A（B ）B（ C ）D（D ）E第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分．1的最大值是 ____．9．函数 y| x | 210．执行如右图所示的程序框图，输出的 k 值为 ____．11．在△ ABC 中， a3 ， b2 ， cos B4，则 sin A ____．522 22 212 ．双曲线 C :yx C 的渐近线相切，则1 的焦距是 ____ ；若圆 ( x 1)yr (r 0)与双曲线 9 16r ____．13．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4 万棵，计划 3 年后全年植树 12.5 万棵．若植树的棵数每年的增长率均为a ，则 a ____．a 2x , x ≤1, R . 如果函数 f (x) 恰有两个零点， 那么 a 的取值范围是 ____．14．已知函数 f ( x)1 x 其中 aa, x 1,2三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 13 分）在等差数列 { a n } 和等比数列 { b n } 中， a 1 b 1 1， a 2 b 2 ， 2 a 4 b 3 ． （Ⅰ）求 { a n } 和 { b n } 的通项公式； （Ⅱ）求数列 { a n b n } 的前 n 项和 S n ．16．（本小题满分 13 分）已知函数 cos2 x ．f ( x)cos xsin x（Ⅰ）求 f ( x) 的定义域；（Ⅱ）求 f ( x) 的取值范围．17．（本小题满分 13 分）在某 地区，某项职业的从业者共约8.5 万人，其中约 3.4 万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过 6 的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100 名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a，b 的值；（Ⅱ）试估计此地区该项身体指标检测值不低于 5 的从业者的人数；（ III ）某研究机构提出，可以选取常数X 0 4.5 ，若一名从业者该项身体指标检测值大于X0，则判断其患有这种职业病；若检测值小于X 0，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率．18．（本小题满分14 分）如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，AB // CD // EF ， AB AD ，G 为AB的中点． CD DA AF FE 2，AB4．（Ⅰ）求证：DF // 平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCF平面GCE；（Ⅲ）求多面体AFEBCD 的体积．19．（本小题满分13 分）ln x已知函数 f ( x)ax ，曲线 y f ( x) 在x 1 处的切线经过点(2,1) ．x（Ⅰ）求实数 a 的值；1（Ⅱ）设 b 1 ，求 f ( x)在区间[, b] 上的最大值和最小值．20．（本小题满分14 分）已知椭圆 C ：x2y2 1 ( a b 0) 的离心率为6，经过点 (0,1) ．a2 b2 3（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设直线 y x 与椭圆C交于 A， B两点，斜率为k的直线l与椭圆C交于 M ，N两点，与直线 y x 交于点 P（点 P 与点 A， B， M ，N不重合）．（ⅰ）当 k 1 时，证明：| PA || PB | |PM ||PN |；（ⅱ）写出| PA || PB |以 k 为自变量的函数式（只需写出结论）．|PM ||PN |西城区高三模拟测试数学（文科）参考答案及评分标准2018.5一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1． C 2． A 3． D 4 ．B 5． D 6． D 7． B 8． C二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9．110． 5 11．9 2 1012．10313． 25% 14．1 ，5[2, )2注：第 12 题第一空 3 分，第二空 2 分 .三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）设等差数列{ a n } 的公差为 d ，等比数列{ b n}的公比为q．依题意，得1 d q,2 (1 3d ) q2 .解得 d 2, 或 d1, （舍去）q 3, q 0.所以 a n 2n 1 ， b n 3n 1．（Ⅱ）因为a n b n 2n 1n 13 ，所以S n [135 (2 n 1)] (1 3 32 3n 1)n[1 (2 n 1)] 1 3n2 1 3n2 3n 1 ．216．（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）由 sin x cos x 0 ，得π0 ，2 sin( x )4所以πZ ．x kπ，其中k4所以 f ( x) 的定义域为 { x R | xπkπ, k Z } ．4（Ⅱ）因为cos2 x sin2 x f ( x)cos xsin xcos x sin xπ2 cos( x ) ．4由（Ⅰ）得x πkπ，其中k Z ，4所以 1πcos(x ) 1 ，4所以 f ( x) 的取值范围是 ( 2 , 2) ．,,,,,, 2 分,,,,,, 4 分,,,,,, 6 分,,,,,, 7 分,,,,,, 9 分,,,,,, 11 分,,,,,, 13 分,,,,,, 2 分,,,,,, 3 分,,,,,, 4 分,,,,,, 5 分,,,,,, 7 分,,,,,, 9 分,,,,,, 11 分,,,,,, 12 分,,,,,, 13 分17．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100 的样本中，患病者的人数为100 3.440 人．,,,,,, 2 分8.5a 1 0.10 0.35 0.25 0.15 0.10 0.05 ，b 1 0.10 0.20 0.30 0.40 ．,,,,,, 4 分（Ⅱ）指标检测值不低于 5 的样本中，有患病者 40 (0.30 0.40) 28 人，未患病者 60 (0.10 0.05) 9人，共37人．,,,,,, 6 分此地区该项身体指标检测值不低于 5 的从业者的人数约为37 85000 31450 人．100,,,,,, 8 分（Ⅲ）当 X0 4.5 时，在 100 个样本数据中，有 40 (0.10 0.20) 12 名患病者被误判为未患病，,,,,,, 10 分有 60 (0.10 0.05) 9 名未患病者被误判为患病者，,,,,,, 12 分因此判断错误的概率为21 ．,,,,,, 13 分10018．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）因为CD // EF ，且 CD EF ，所以四边形 CDFE 为平行四边形，所以DF//CE．,, 2 分因为DF 平面 BCE ，,, 3 分所以DF // 平面BCE．,, 4 分（Ⅱ）连接FG ．因为平面 ABCD 平面 ABEF ，平面ABCD I平面 ABEF AB，AD AB ，所以AD 平面 ABEF，所以BF AD ．,,,,,, 6 分因为G 为AB的中点，所以AG // CD ，且 AG CD ； EF//BG，且 EF BG ，所以四边形 AGCD 和四边形 BEFG 均为平行四边形．所以AD// CG ，所以BF CG ．,,,,,, 7 分因为EF EB ，所以四边形 BEFG 为菱形，所以 BF EG ．,,,,,, 8 分 所以 BF 平面 GCE ．,,,,,, 9 分 所以 平面 BCF平面 GCE ．,,,,,,10 分（Ⅲ）设BFIGE O ．由（Ⅰ）得 DF // CE ，所以 DF // 平面 GCE ，由（Ⅱ）得AD // CG ，所以 AD // 平面 GCE ，所以 平面 ADF// 平面 GCE ，所以 几何体 AD F GCE 是三棱柱．,,,,,,11 分由（Ⅱ）得 BF 平面 GCE ．所以 多面体 AFEBCD 的体积 VVADF GCEVB GCE,,,,,,12 分S GCE FO1BOS GCE34FO 8 3 ．,,,,,,14 分S GCE3319．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ） f ( x) 的导函数为 f (x)1ln x ax 2 ， ,,,,,,2 分x 2所以 f (1) 1 a ．依题意，有f (1) ( 1) 1 a，1 2即 a 11a，,,,,,,4 分 12解得 a 1 ．,,,,,,5 分（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f ( x)1 x2 ln x．x 2当 0 < x < 1 时， 1 x 2 0 ， ln x0 ，所以 f ( x) 0 ，故 f (x) 单调递增；当 x > 1 时， 1 x 20 ， ln x 0 ，所以 f ( x) 0 ，故 f ( x) 单调递减．所以 f ( x) 在区间 (0,1) 上单调递增，在区间 (1, ) 上单调递减．,,,,,, 8 分 因为 0 1 b ， 所以f ( x) 最大值为 f (1) 1 ．,,,,,,9 分1b设h (b)f (b)f ( 1 ) (b 1 )ln b b 1，其中 b 1 ． ,,,,,,10 分b b b则 h (b)(112 )ln b0 ，b故 h(b) 在区间 (1,) 上单调递增．,,,,,, 11 分 所以 h(b) h(1)0 ， 即 f (b)f ( 1 ) ， ,,,,,,12 分b故 f ( x) 最小值为 f ( 1 )b ln b 1 ．,,,,,,13 分bb20．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）设椭圆 C 的半焦距为 c ．依题意，得c6， b1 ， 且 a 2b 2c 2 ．,,,,,,2 分a3解得 a3 ．,,,,,,3 分2所以椭圆C的方程是x21 ．,,,,,,4 分3y（Ⅱ）（ⅰ）由y x,得 A(3 , 3)， B(3 , 3) ．,,,,,,5 分x 23y 23,2222k1 时，设直线 l 的方程为 yx t ．由y x t,得 4x 2 6tx 3t 23 0 ．,,,,,,6分x23 y23,令36t 2 48(t 2 1) 0 ，解得 t 2 4 ．设 M ( x 1 , y 1 ), N( x 2 , y 2 ) ，则 x 1x 2 3t3t 23 ,,,,,,8 分， x 1 x 2．24y x t ,t t) ．,,,,,,9 分由x,得 P( ,2 y2所以 | PA ||PB |2t3 2 t 3t 2 3 ． ,,,,,,10 分22 222因为 | PM | (tx )2(ty )22tx ，同理 |PN |2 tx ．21212122所以 |PM ||PN |2txt x2122t 2 t 3t 3t 23222 44t 2 3.2所以 | PA||PB | |PM ||PN |．（ⅱ）| PA ||PB | 1 3k 2．|PM ||PN | 2(1 k2),,,,,, 12 分,,,,,, 14 分。
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西城区高三模拟测试数学（文科） 2018.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|01}A x x =<<，2{|20}B x x x =-<，则下列结论中正确的是 （A ）AB =∅（B ）A B =R（C ）A B ⊆ （D ）B A ⊆2．复数11i =- （A ）1i 22+ （B ）1i22-+（C ）1i22--（D ）1i 22- 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是 （A ）1y x=（B ）2y x = （C ）cos y x = （D ）ln ||y x =-4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是（A（B（C ）（D ）5．向量,,a b c 在正方形格中的位置如图所示．若向量λ+a b 与c共线，则实数λ= （A ）2-（B ）1-（C ）1 （D ）26．设,a b ∈R ，且0ab ≠．则“1ab >”是“1a b>”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7．设不等式组1,3,25xx yx y⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤表示的平面区域为D．若直线0ax y-=上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（A）1[,2]2（B）1[,3]2（C）[1,2]（D）[2,3]8．地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：（A）A （B）B （C）D （D）E第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数1||2yx=+的最大值是____．10．执行如右图所示的程序框图，输出的k值为____．11．在△ABC中，3a=，2b=，4cos5B=，则sin A=____．12．双曲线22:1916y x C -=的焦距是____；若圆222(1)(0)x y r r -+=>与双曲线C 的渐近线相切，则r =____．13．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，计划3年后全年植树12.5万棵．若植树的棵数每年的增长率均为a ，则a =____．14．已知函数2,1,()1,1,2x a x f x x a x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩≤ 其中a ∈R .如果函数()f x 恰有两个零点，那么a 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111a b ==，22a b =，432a b +=． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）已知函数cos2()sin cos xf x x x=+．（Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）求()f x 的取值范围．17．（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；（Ⅱ）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；（III）某研究机构提出，可以选取常数04.5X=，若一名从业者该项身体指标检测值大于X，则判断其患有这种职业病；若检测值小于X，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率．18．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，////AB CD EF，AB AD⊥，G为AB的中点．2CD DA AF FE====，4AB=．（Ⅰ）求证：//DF平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCF⊥平面GCE；（Ⅲ）求多面体AFEBCD的体积．19．（本小题满分13分）已知函数ln ()xf x ax x =-，曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设1b >，求()f x 在区间1[,]b b上的最大值和最小值．20．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2222 1 (0)x y a b a b+=>>(0,1)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y x =与椭圆C 交于A ，B 两点，斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，与直线y x =交于点P （点P 与点A ，B ，M ，N 不重合）． （ⅰ）当1k =-时，证明：||||||||PA PB PM PN =； （ⅱ）写出||||||||PA PB PM PN 以k 为自变量的函数式（只需写出结论）．西城区高三模拟测试数学（文科）参考答案及评分标准2018.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．A 3．D 4．B5．D 6．D 7．B 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．12 10．511．91012．10，35 13．25% 14．1[2,)2--注：第12题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意，得 21,2(13).d q d q +=⎧⎨++=⎩……………… 2分 解得 2,3,d q =⎧⎨=⎩或1,0.d q =-⎧⎨=⎩（舍去） ……………… 4分 所以 21n a n =-，13n n b -=． ……………… 6分 （Ⅱ）因为 1213n n n a b n -+=-+， ……………… 7分所以 21[135(21)](1333)n n S n -=++++-+++++ ……………… 9分[1(21)]13213nn n +--=+- ………………11分 2312n n -=+． ………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由 sin cos 0x x +≠， ……………… 2分得π)04x +≠， ……………… 3分所以 ππ4x k +≠，其中k ∈Z ． ……………… 4分所以()f x 的定义域为π{|π,}4x x k k ∈≠-∈R Z ． ……………… 5分（Ⅱ）因为 22cos sin ()sin cos x xf x x x-=+ ……………… 7分cos sin x x =- ……………… 9分π)4x +． ………………11分由（Ⅰ）得 ππ4x k +≠，其中k ∈Z ，所以 π1cos()14x -<+<， ………………12分所以 ()f x 的取值范围是(． ………………13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为3.4100408.5⨯=人． ……………… 2分 10.100.350.250.150.100.05a =-----=，10.100.200.300.40b =---=． ……………… 4分（Ⅱ）指标检测值不低于5的样本中，有患病者40(0.300.40)28⨯+=人，未患病者60(0.100.05)9⨯+=人，共37人．……………… 6分此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数约为378500031450100⨯=人．……………… 8分（Ⅲ）当0 4.5X =时，在100个样本数据中， 有40(0.100.20)12⨯+=名患病者被误判为未患病， ………………10分有60(0.100.05)9⨯+=名未患病者被误判为患病者， ………………12分 因此判断错误的概率为21100． ………………13分 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 //CD EF ，且CD EF =，所以 四边形CDFE 为平行四边形，所以 //DF CE ． …… 2分因为 DF ⊄平面BCE ，…… 3分所以 //DF 平面BCE ．…… 4分 （Ⅱ）连接FG ．因为 平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD I 平面ABEF AB =，AD AB ⊥， 所以 AD ⊥平面ABEF ，所以 BF AD ⊥． ………………6分 因为 G 为AB 的中点，所以 //AG CD ，且AG CD =；//EF BG ，且EF BG =， 所以 四边形AGCD 和四边形BEFG 均为平行四边形．所以 //AD CG ， 所以 BF CG ⊥． ……………… 7分 因为 EF EB =，所以 四边形BEFG 为菱形，所以 BF EG ⊥． ……………… 8分 所以 BF ⊥平面GCE ． ……………… 9分所以 平面BCF ⊥平面GCE ． ………………10分 （Ⅲ）设 BF GE O =I ．由（Ⅰ）得 //DF CE ，所以 //DF 平面GCE ，由（Ⅱ）得 //AD CG ，所以 //AD 平面GCE ， 所以 平面//AD F 平面GCE ，所以 几何体AD F GCE -是三棱柱． ………………11分 由（Ⅱ）得 BF ⊥平面GCE ．所以 多面体AFEBCD 的体积 ADF GCE B GCE V V V --=+ ………………12分13GCE GCE S FO S BO ∆∆=⋅+⋅43GCE S FO ∆=⋅=． ………………14分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为221ln ()x ax f x x --'=， ……………… 2分所以(1)1f a '=-． 依题意，有 (1)(1)112f a --=--，即1112a a -+=--， ……………… 4分 解得 1a =． ……………… 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得221ln ()x xf x x --'=．当0<<1x 时，210x ->，ln 0x ->，所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当>1x 时，210x -<，ln 0x -<，所以()0f x '<，故()f x 单调递减．所以 ()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减． ……………… 8分 因为 101b b<<<， 所以 ()f x 最大值为(1)1f =-． ……………… 9分 设 111()()()()ln h b f b f b b b b b b =-=+-+，其中1b >． ………………10分则 21()(1)ln 0h b b b '=->， 故 ()h b 在区间(1,)+∞上单调递增． ………………11分所以 ()(1)0h b h >=， 即 1()()f b f b>， ………………12分故 ()f x 最小值为11()ln f b b b b=--． ………………13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得c a =， 1b =， 且 222a b c =+． ……………… 2分解得 a ． ……………… 3分 所以 椭圆C 的方程是 2213x y +=． ……………… 4分（Ⅱ）（ⅰ）由 22,33,y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得A ，(B ． ……………… 5分 1k =-时，设直线l 的方程为y x t =-+．由 22,33,y x t x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 2246330x tx t -+-=． ……………… 6分 令223648(1)0t t ∆=-->，解得 24t <． 设 1122(,),(,)M x y N x y ，则 1232t x x +=，212334t x x -⋅=． ……………… 8分由 ,,y x t y x =-+⎧⎨=⎩ 得(,)22t tP ． ……………… 9分所以 23||||2t PA PB -=+=． ………………10分因为 1||PM x ==-，同理2||PN x =．所以 12||||222t tPM PN x x =-⋅-·11· 2233324224t t t t -=-⋅+ 232t -=.所以 ||||||||PA PB PM PN =． ………………12分 （ⅱ）22||||13||||2(1)PA PB k PM PN k +=+． ………………14分。