概率论1.2随机事件的概率

从n 个不同元素中任取 k 个（1 ≤ k ≤ n）的不同组合总 数为

n 个不同元素分为 k 组，各组元素数目分别为ri （1 ≤ i ≤ k）的分法的总数为
三、等可能概型（古典概型）
• 计算方法
2. 排列组合方法
③ 二项式

令a = b = 1，则

令a = -1 、 b = 1，则
三、等可能概型（古典概型）
– 非负性： p(A) ≥ 0 – 规范性： p(Ω) = 1 – 有限可加性：
k p Ai p Ai i 1 i 1
k
二、概率及其性质
• 概率的公理化定义：设E是随机试验，Ω是 它的样本空间，对E的每一个事件A，将其 对应于一个实数，记为P(A)，若集合函数 P(· )满足下列三个条件： 1）非负性： P(A) ≥ 0 2）规范性： P(Ω) = 1 3）可列可加性： P Ai P Ai i 1 i 1 则称其为事件A的概率。
三、等可能概型（古典概型）
• 若事件A含有k个基本事件，则
k A包含的基本事件数 P A n 中基本事件总数
• 计算步骤： ① 求随机试验E的样本空间的样本点的个数； ② 求事件A中包含样本点的个数； ③ 求二者比值即可。
三、等可能概型（古典概型）
• 计算方法
1. 基本计数原理
① 加法原理
二、概率及其性质
① P(Φ) = 0 ② （有限可加性）若Ai（i=1,… ,k）是一组两 两互不相容的事件，则
n n P Ai P Ai i 1 i 1 ③ 若事件A是事件B的子事件，则 P(B-A) = P(B) - P(A)， P(B) ≥ P(A)
三、等可能概型（古典概型）
• 计算方法
1. 基本计数原理
② 乘法原理
– 设完成一件事情有 m 个步骤，其中第 i 个步骤有 ni 种方法 （i=1,…,m），必须通过每个步骤才算完成这件事情，则 完成这件事的方法总数为 n1 × n2 × … × nm 。
– 例：若一个男人有三条裤子和两件背心，问他可以有多少 种打扮？
• 计算方法
2. 排列组合方法
③ 二项式

由( 1+x ) m + n=( 1+x) m ( 1+x ) n展开后比较两边 x k 的系 数得
三、等可能概型（古典概型）
• 例3 将一枚硬币抛两次， ① 设事件A1“恰好有一次出现正面”，求P(A1)； ② 设事件A2“至少有一次出现正面”，求P(A2)。 • 例4 设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中 无放回地依次摸出2只球，试求 ① 取到的两只球都是白色的概率； ② 取到的两只球颜色相同的概率； ③ 取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
三、等可能概型（古典概型）
• 例5 将 n 个球随机地放入 N ( N ≥ n )个盒 子中去，设盒子的容量不限，试求 ① 每个盒子至多有一只球的概率； ② n 个盒子中各有一球的概率。 • 例6 盒中有 n 张奖券，其中 k 张有奖。现 在有 n 个人依次各取一张，证明每个人抽 得有奖奖券的概率都是 k/n。
三、等可能概型（古典概型）
• 计算方法
2. 排列组合方法
① 排列公式
从n 个不同元素中任取 k 个（1 ≤ k ≤ n）的不同排列总 数为

在允许重复的条件下，从n 个不同元素中任取 k 个（1 ≤ k ≤ n）的不同排列总数为
三、等可能概型（古典概型）
• 计算方法
2. 排列组合方法
② 组合公式
– 设完成一件事情有 m 种方式，其中第 i 种方式有 ni 种方法 （i=1,…,m），无论通过哪种方法都可以完成这件事情， 则完成这件事的方法总数为 n1 + n2 + … + nm 。
– 例：某人要从甲地去乙 地，可以乘车或乘船。 已知火车有两班，轮船 有三班，试问他共有多 少种方法从甲地去乙地？
二、概率及其性质
④ 对任一事件A ， P(A) ≤ 1 ⑤ 对任一事件A ，有
P A 1 P A ⑥ （加法公式）对任意两个事件A和B，有 P A B P A PB P AB

二、概率及其性质
例1 设A, B为两事件，且P(B) = 0.3， P(A + B) = 0.6，求 P AB . 例2 设P(B) = P(A) = 0.5，证明P AB P AB .
三、等可能概型（古典概型）
• 例7 一位常饮奶茶的女士称：她能从一杯 冲好的奶茶中辨别出该奶茶是先放牛奶还 是先放茶冲制而成。做了10次测试，结果 是她都正确地辨别出来了。问该女士的、频率及其性质
• 在相同条件下，进行了n次试验，若事件A 在这n次重复试验中出现了nA次，则称比值 nA / n为事件A发生的频率，记为fn(A)，即 fn(A) = nA / n
– 非负性： fn(A) ≥ 0 – 规范性： fn(Ω) = 1 – 有限可加性：若Ai（i=1,… ,k）是一组两两互不 相容的事件，则 k k
f n Ai f n Ai i 1 i 1
二、概率及其性质
• 概率的统计定义：在相同条件下进行n次重 复试验，若事件A发生的频率 fn(A) = nA/n 随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数 p附近摆动，则称p为事件A 的概率，记为 p(A)。


三、等可能概型（古典概型）
• 若随机试验E具有如下两个特征： ① 试验的样本空间有限，即 Ω={ωi (i=1,…,n)} ② 每一基本事件发生的概率相同，设Ai= {ωi} (i=1,…,n)，即 P(Ai) = P(Aj) =1/n (i, j=1,…,n) 则称该随机试验E为等可能概型（古典概型）。