一元二次方程求根公式
一元二次求根公式定理
一元二次求根公式定理一元二次求根公式定理，这可是数学学习中的一个重要家伙！咱们先来说说啥是一元二次方程。
就像“ax² + bx + c = 0”（a≠0）这样的式子，这里的 a、b、c 都是已知数，x 是未知数。
那怎么求出 x 的值呢？这时候一元二次求根公式就闪亮登场啦！求根公式是：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。
这公式看起来有点复杂，是吧？但别怕，咱们来仔细瞅瞅。
比如说，有个方程 x² + 2x - 3 = 0，这里 a = 1，b = 2，c = -3。
把这些数带进求根公式里，先算 b² - 4ac ，就是 2² - 4×1×(-3) = 16。
然后再算√16 = 4 。
接下来，x = [-2 ± 4] / 2 ，就能得出 x₁ = 1，x₂ = -3 。
我还记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙一脸懵地看着我，嘴里嘟囔着：“老师，这也太难了！”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步一步来。
”我拿起笔，在黑板上一步一步地推导，让他跟着我的思路走。
慢慢地，他那紧锁的眉头松开了，眼睛里也有了光，兴奋地说：“老师，我好像懂了！”那一刻，我心里别提多有成就感了。
再来说说这个求根公式的厉害之处。
它就像是一把万能钥匙，不管什么样的一元二次方程，只要能确定 a、b、c 的值，就能用它来找到方程的根。
而且，在实际生活中，一元二次求根公式也大有用处呢。
比如说，计算抛物线与 x 轴的交点，或者解决一些与面积、速度有关的问题。
不过，要想熟练掌握这个公式，可得多做练习。
不能只是死记硬背，得理解其中的道理。
就像学骑自行车，刚开始可能摇摇晃晃，但多练几次，掌握了平衡的技巧，就能骑得又稳又快。
总之，一元二次求根公式定理虽然有点复杂，但只要咱们用心去学，多思考，多练习，一定能把它拿下！相信大家在数学的海洋里，都能凭借这个有力的工具，畅游无阻，发现更多的精彩！。
一元二次方程及求根公式
一元二次方程及求根公式二次方程是指含有二次项的方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
对于这类方程，我们可以利用求根公式来求解方程的根。
一、求根公式的推导对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以通过完成平方的方法将其转化为(x + p)^2 = q的形式，其中p和q是待求常数。
具体推导过程如下：1. 将二次项系数前的a提出来得到 a(x^2 + (b/a)x) = -c；2. 完成平方的方式是，将(x^2 + (b/a)x)的一半系数（即b/2a）提出来得到 [(x + (b/2a))^2 - (b/2a)^2] = -c；3. 将上式右边展开，变为 (x + (b/2a))^2 - (b^2/4a^2) = -c；4. 通过移项，可以将式子转化为 (x + (b/2a))^2 = (b^2 - 4ac)/4a^2；5. 由此可得(x + (b/2a)) = ±√ [(b^2 - 4ac)/4a^2]；6. 化简后得到 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/2a。
上述推导过程就是一元二次方程求根公式的推导过程，通过这个公式我们可以计算二次方程的根。
二、求解实根和虚根根据一元二次方程的求根公式，我们可以得知方程的根取决于判别式Δ = b^2 - 4ac 的值。
1. 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根。
即 x1 = (-b + √Δ)/2a 和x2 = (-b - √Δ)/2a。
2. 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根。
即 x1 = x2 = -b/2a。
3. 当Δ < 0 时，方程无实根，但有两个互为共轭的虚根。
此时令Δ = -D，则方程的根为 x1 = (-b + i√D)/2a 和 x2 = (-b - i√D)/2a，其中i为虚数单位。
三、实例演示下面通过一个实际的例子，来演示如何利用求根公式求解一元二次方程。
一元二次函数求根公式
一元二次函数求根公式一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且 a ≠ 0。
求解一元二次方程的根是数学中非常重要的问题，而求根公式是解决这个问题的关键。
在本文中，我们将详细介绍一元二次函数求根公式的推导过程，并且解释其在实际问题中的应用。
首先，我们从一元二次方程ax^2 + bx + c = 0出发，通过一系列的推导过程得到求根公式。
首先，我们将方程两边同时乘以4a，得到4a^2 x^2 + 4abx + 4ac = 0。
接下来，我们在方程两边同时加上b^2，得到4a^2 x^2 + 4abx + b^2 + 4ac = b^2。
然后，我们观察到等式左边可以写成一个完全平方的形式，即(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac。
再进一步，我们可以取方程两边的平方根，得到2ax + b = ±√(b^2 - 4ac)。
最后，我们解出x的表达式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)这就是一元二次函数的求根公式。
其中，±表示两种可能的解，即一个加号对应的是正根，一个减号对应的是负根。
接下来，我们来看看这个求根公式在实际问题中的应用。
一元二次函数经常被用来描述各种现象和关系。
例如，在物理学中，抛物线轨迹可以用一元二次函数来表示。
当我们需要计算一个抛物线轨迹与某个点的交点时，我们可以使用求根公式来解方程并求得交点的横坐标。
同时，在经济学中，一元二次函数也经常被用来建模。
例如，当我们需要确定一个商品的最大收益时，我们可以建立一个关于商品价格的二次函数模型，并使用求根公式来计算最大收益对应的价格。
此外，一元二次函数还可以用来解决一些几何问题。
例如，在构造一个玩具弹射器时，我们可以使用一元二次函数来确定弹射器的形状，使得发射的物体能够达到最远的距离。
通过使用求根公式，我们可以找到使得发射距离最大的弹射器形状所对应的参数。
一元二次方程式的求根公式
一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的一元二次方程式，求解这种方程的根一直是数学学习中的重点和难点。
幸运的是，数学家们在几个世纪前就已经找到了一元二次方程的求根公式，这个公式被广泛地应用于解决各种实际问题和数学推导中。
一元二次方程的求根公式，也称为根的判别式，是一种能够根据方程系数直接求出方程根的公式。
它的应用在实际生活中非常广泛，例如在物理学和工程学中，用于计算物体的运动轨迹或者建筑结构的稳定性。
而在数学研究中，一元二次方程的求根公式更是作为代数方程的基石，为高阶方程的求解提供了重要的思路。
为了更好地理解一元二次方程的求根公式，我们首先来简单了解一下一元二次方程。
一元二次方程一般写作ax²+bx+c=0，其中a、b、c 分别为方程的系数。
那么，方程的根就是能够使得方程成立的未知数的值，也就是x的值。
而一元二次方程的求根公式就是用来求出这些根的具体数值。
这个公式可以分为求判别式和求根两个部分。
首先求判别式，通过计算Δ=b²-4ac来判断方程的根的情况。
如果Δ大于0，则方程有两个不相等的实根；如果Δ等于0，则方程有两个相等的实根；如果Δ小于0，则方程没有实根。
判别式不仅是用来判断方程根的情况，更重要的是它为我们之后的计算提供了信息。
接着是求根的部分，根据判别式的结果，我们可以直接套用求根公式来求出方程的根。
如果Δ大于0，方程的两个根分别为x1=(-b+√Δ)/2a和x2=(-b-√Δ)/2a；如果Δ等于0，方程的两个根为x1=x2=-b/2a；如果Δ小于0，方程没有实根，但可以求出两个虚根。
通过这样的求根过程，我们可以直观地得出方程的根，并且可以根据判别式的结果对根的情况有一个清晰的认识。
在日常生活和学习中，一元二次方程的求根公式为我们解决各种问题提供了便利。
无论是物理问题中的抛物线运动，还是工程问题中的结构稳定性，都可以通过一元二次方程的求根公式得到精确的解答。
在数学的学习中，理解和掌握一元二次方程的求根公式，不仅有助于我们进一步学习高阶方程和代数方程的解法，更能够帮助我们提高数学建模和分析问题的能力。
一元二次方程求根公式推导过程
一元二次方程求根公式推导过程
一元二次方程求根是数学中的一个常见问题，它的数学表达式为
ax²+bx+c=0，这里a、b、c是未知数，且a≠0。
要求解这个方程，就要根据a、b、c来求解二次方程的两个根。
解求方法增添一个变量Δ，Δ=b²-4ac，可以有三种不同的情况。
第一种是，Δ>0，此时二次方程有两个不相等的实数根，其求根
公式为x₁= [-b+√Δ]/2a、x₂= [-b-√Δ]/2a。
第二种情况下，Δ=0，此时二次方程有一个重根，求根公式为x= -b/2a 。
第三种情况，Δ<0，此时二次方程没有任何实数根，只有复根，
即无解。
因此，一元二次方程求根公式就是这样的，当Δ>0时，根为
x₁=[-b+√Δ]/2a、x₂=[-b-√Δ]/2a；当Δ=0时，根为x=-b/2a；
当Δ<0时，方程无实数根。
通过改变a、b、c的值，可以实际求解一
元二次方程的根。
计算一元二次方程的根
计算一元二次方程的根一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知实数并且a不为0。
计算一元二次方程的根是解方程的过程，通过求解方程得到x的值。
本文将介绍如何计算一元二次方程的根，并给出相应的求根公式以及求解步骤。
一、求根公式要计算一元二次方程的根，可以使用求根公式。
求根公式是根据一元二次方程的形式推导出来的，可以直接求得方程的根。
根据求根公式，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的根可以表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)其中，±表示两个解，即方程有两个不同的根；√表示求平方根；b^2 - 4ac被称为判别式，用来判断方程的根的情况。
当判别式大于0时，方程有两个不同的实根；当判别式等于0时，方程有两个相同的实根；当判别式小于0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
二、求解步骤下面以具体的例子来介绍如何计算一元二次方程的根。
例题：求解方程2x^2 - 5x + 2 = 0的根。
Step 1: 确认方程的系数该例中，方程的系数是a = 2，b = -5，c = 2。
Step 2: 计算判别式判别式D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4*2*2 = 25 - 16 = 9。
根据判别式的值，可以得到方程的根的情况为大于0，即存在两个不同的实根。
Step 3: 求根x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)将方程的系数代入求根公式，得到：x = (-(-5) ± √(25 - 4*2*2))/(2*2)= (5 ± √(25 - 16))/4= (5 ± √9)/4化简可得：x1 = (5 + 3)/4 = 8/4 = 2x2 = (5 - 3)/4 = 2/4 = 0.5所以，方程2x^2 - 5x + 2 = 0的根为x1 = 2，x2 = 0.5。
一元二次方程求根公式及讲解
主讲：黄冈中学高级教师一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识总结1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：① ②③ ④⑤ ⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
一元二次方程求根公式
一元二次方程求根公式一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知的常数，x为未知数。
解一元二次方程的方法有很多种，其中最常用的方法之一就是利用求根公式来求解。
本文将详细介绍一元二次方程求根公式的推导过程和应用方法。
一、求根公式的推导。
我们先来推导一元二次方程的求根公式。
设一元二次方程为ax^2 + bx + c = 0，我们要求出方程的根。
首先，我们假设方程有两个根x1和x2，那么根据因式分解的性质，我们可以将方程写成(x x1)(x x2) = 0的形式。
展开这个式子得到x^2 (x1 +x2)x + x1x2 = 0。
比较这个式子和原方程ax^2 + bx + c = 0的系数，我们可以得到以下关系：x1 + x2 = -b/a。
x1x2 = c/a。
接下来，我们要解出x1和x2的具体值。
我们可以利用上面的两个关系式来求解。
首先，我们可以将x1表示成-x2，然后代入第二个关系式中，得到x1 = (-b +√(b^2 4ac)) / (2a)，同理可得x2 = (-b √(b^2 4ac)) / (2a)。
这就是一元二次方程的求根公式，也称为根的公式。
二、求根公式的应用。
一元二次方程的求根公式在实际问题中有着广泛的应用。
比如在物理学中，当我们需要求解抛体运动的轨迹方程时，就会遇到一元二次方程。
又比如在工程学中，当我们需要求解某些结构的受力情况时，也会用到一元二次方程的求解。
下面我们通过一个例子来说明一元二次方程求根公式的应用。
例，已知一元二次方程x^2 3x + 2 = 0，求出方程的根。
根据一元二次方程的求根公式，我们可以直接代入a=1，b=-3，c=2，然后带入公式x1 = (-b + √(b^2 4ac)) / (2a)和x2 = (-b √(b^2 4ac)) / (2a)中进行计算。
计算的结果为x1=2，x2=1，所以方程的根为x1=2和x2=1。
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一、选择题 1．用公式法解方程 4x2-12x=3，得到（ ） ． A．x=
3 6 2 3 2 3 2
B．x=
3 6 2C．x=Fra bibliotekD．x=
3 2 3 2
2．方程 2 x2+4 3 x+6 2 =0 的根是（ 当 堂 反 馈 A．x1= 2 ，x2= 3 C．x1=2 2 ，x2= 2
） ．
2．当 x=______时，代数式 x2-8x+12 的值是-4． 3．若关于 x 的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0 有一根为 0，则 m 的值是_____． 三、综合提高题 1．用公式法解关于 x 的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
2. 运用求根公式解下列方程：
（1）5x2=3x
例 1．用公式法解下列方程． （1）2x2-4x-1=0
（2）5x+2=3x2
（3） （x-2） （3x-5）=0
（4）4x2-3x+1=0
任 务 二
例 2、判断下列方程的根的情况： （1）
1 2 x -4x-3=0 2
(2)3x2+x+5=0
（2）x2-6x=-9
（4）x2+(m-1)x-3=0
例 3．某数学兴趣小组对关于 x 的方程（m+1） x m
(2)x2- 2 2 x +2=0
(3)(y-1)(y+3)+5=0
3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过 A 千瓦 时，•那么这户居民这个月只交 10 元电费，如果超过 A 千瓦时，那么这个 A 月除了交 10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时 元收费． 100 （1）若某户 2 月份用电 90 千瓦时，超过规定 A 千瓦时，则超过部分 电费为多少元？（•用 A 表示） （2）下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况 月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元） 3 80 25 4 45 10 根据上表数据，求电厂规定的 A 值为多少？
2
2
+（m-2）x-1=0 提出
任 务 三
了下列问题． （1）若使方程为一元一次方程，m 是否存在？若存在，求出 m 并解 此方程． （2）若使方程为一元二次方程 m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？
1、请同学们试着完成 P37 练习 1（步骤要规范）
课 堂 练 习 2、 完成 P42 习题 22.2 第 4、5 题
2、用配方法解下列方程： （1）6x2-7x+1=0
（2）4x2-3x=52
阅读课本 P34—P37 及查阅相关复习资料 一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0） ，你能否用上面配方法的步 骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 问题：已知 ax2+bx+c=0（a≠0） ，试推导它的两个根 x1=
一元二次方程求根公式 宝丰一高
学习 内容 学习 目标
崔素丽
一元二次方程求根公式的推导过程 新授 课时 1 课时 课型 利用公式法解一元二次方程 课 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用 公式法解一元二次方程． 1、复习回顾“配方法”解一元二次方程的步骤？（口答）
引 领
预 习
本节课同学们主要学到了什么？有什么困惑？ 课 堂 小 结 课后 作业
P43：
11
b b2 4ac ， 2a
x2=
b b2 4ac 2a
任 务 一
交 流 展 示
思考： （1） 对于任意一个一元二次方程都一定有根吗？如果有根一定有几个 根？它的根由什么来决定的？
（2） 一元二次方程的求根公式是什么？两根之和与两根之积和 a、b、c 的关系？
（3） 一元二次方程的根的判别式（△ =b2-4ac ）是怎样来判别根的情况 的？
B．x1=6，x2= 2 D．x1=x2=- 6
3． （m2-n2） （m2-n2-2）-8=0，则 m2-n2 的值是（ ） ． A．4 B．-2 C．4 或-2 D．-4 或 2 2 4. 对于一元二次方程 ax +bx+c=0,下列叙述正确的是 A.方程总有两个实数根 B.只有当 b2-4ac≥0 时,才有 两实根 C.当 b2-4ac<0 时,方程只有一个实根 D.当 b2-4ac=0 时,方程无实根 二、填空题 1．一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件 是________．