22.2.2 一元二次方程的解法-公式法(1)
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22.2.2公式法
第二十二章
一元二次方程
22.2降次—— 解一元二次方程
22.2.2公式法
案例作者：浙江省温州市第二十中学 董连武 课件制作者：河北省藁城市增村中学 王志敏
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？ （1）把二次项系数化为1； （2）移项，方程的一边为二次项和一次 项，另一边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半 的平方； （4）用直接开平方法求出方程的根.
1.必做题：
教科书第37页练习第1题（2）（4）（6）； 第2 题. 教科书第42页习题22.2第4、5题. 2.选做题： 教科书第43页习题22.2第14题.
2 2
(2)当b 4ac 0时，
2
方程有两个相等的实数 根，
b x1 x2 . 2a
2 b 4ac 2 (3)当b 4ac＜0时， ＜0. 2 4a
因此方程无实数根 .
一般地，式子 b 4ac叫做方程
2
ax2 bx c 0(a 0)根的判别式， 通常用希腊字母 Δ表示，即Δ b 4ac.
2
2.利用求根公式解一元二次方程的方 法叫做公式法.
例2.解下列方程.
(1) x 4 x 7 0; 解：a 1, b 4, c 7
2
Δ b 4ac (4) 4 1 (7) 44 ＞0 (4) 44 x 2 1 x1 2 11, x2 2 11.
1.推导求根公式
b c 解：方程两边都除以 a, 得x x 0. a a b c 2 移项 , 得x x . a a b b 2 c b 2 2 配方 , 得x x ( ) ( ) . a 2a a 2a b 2 b 2 4ac 即： (x ) . 2 2a 4a
一元二次方程
22.2降次—— 解一元二次方程
22.2.2公式法
案例作者：浙江省温州市第二十中学 董连武 课件制作者：河北省藁城市增村中学 王志敏
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？ （1）把二次项系数化为1； （2）移项，方程的一边为二次项和一次 项，另一边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半 的平方； （4）用直接开平方法求出方程的根.
1.必做题：
教科书第37页练习第1题（2）（4）（6）； 第2 题. 教科书第42页习题22.2第4、5题. 2.选做题： 教科书第43页习题22.2第14题.
2 2
(2)当b 4ac 0时，
2
方程有两个相等的实数 根，
b x1 x2 . 2a
2 b 4ac 2 (3)当b 4ac＜0时， ＜0. 2 4a
因此方程无实数根 .
一般地，式子 b 4ac叫做方程
2
ax2 bx c 0(a 0)根的判别式， 通常用希腊字母 Δ表示，即Δ b 4ac.
2
2.利用求根公式解一元二次方程的方 法叫做公式法.
例2.解下列方程.
(1) x 4 x 7 0; 解：a 1, b 4, c 7
2
Δ b 4ac (4) 4 1 (7) 44 ＞0 (4) 44 x 2 1 x1 2 11, x2 2 11.
1.推导求根公式
b c 解：方程两边都除以 a, 得x x 0. a a b c 2 移项 , 得x x . a a b b 2 c b 2 2 配方 , 得x x ( ) ( ) . a 2a a 2a b 2 b 2 4ac 即： (x ) . 2 2a 4a
22.2.2 降次--解一元二次方程(公式法)
东辛店镇中学人教版初中数学九年级教学案
年级： 九年级 学科： 数学 命题人： 王金涛 审核人： 叶书生
东 辛 店 中 学 验 标 题
（满分： 50+20 时间： 10 分钟 成绩： ）
必做题：（共5题，每题10分）
1、方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式是 ，求根公式是 。
2、方程()()1422-=-+x x x 化为一般形式得 ，其中，a= ，b= ，c= ，=-ac b 42 ，用求根公式求得方程的两根=1x ，=2x 。
3、方程 ()()
22312+-=+x x x x 化简整理后，写出 ()002≠=++a c bx ax 的形式，其中a = ，b = ，c = 。
4、用公式法解下列方程：
（1）1382-=x x
（2）()()43213-+=-x x x
选做题：（共2题，每题10分）
1、（2012·德州）若关于x 的方程()0222
=+++a a ax 有实数解，那么实数a 的取值范围是 。
2、用长为100cm 的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积不能是（ ）
A 2325cm
B 2500cm
C 2625cm
D 2
800cm。
一元二次方程的解法
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
1
1
x 6 x 7 ( x 7)(x 1) ①竖分二次项系数与常数项
2
7
②交叉相乘，和相加为一次项系数
1
③检验确定，横写因式
1 7 6
试一试：
3x 4 x - 15 ( x 3)(3x 5)
方法叫做配方法.
拓展1
例、用配方法解下列方程：
(1)
(2)
x 6x 7 0
2
2 x 3x 1 0
2
请归纳配方法解一元 二次方程的步骤
1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两 边都除以二次项系数)； 2、把常数项移到方程右边； 3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方， 使左边成为完全平方； 4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方 法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无解。
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边不为零的化为 零（化成一般式） 。 2o将方程左边分解成两个一次因式的乘 积。 3o至少 有一个一次因式为零，得到两 个一元一次方程。 一元一次方程的解就是原方程的 4o两个 解。
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为 方程右边化为零 x2+2x－8 =0 (x－2)(x+4)=0 左边分解成两个一次因式 的乘积 x－2=0或x+4=0 至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程 两个一元一次方程的解就是原方程的 ∴ x1=2 ,x2=-4 解
• 补充： • 平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)
1、方程x2- 4=0，这个方程可以化成x2 = 4，所以方程的根 x1=2，x2= - 2
22.2.2公式法
1 x 4 x 7 0; 2 2 2 x 2 2 x 1 0; 2 3 5 x 3x x 1; 2 4 x 17 8 x
2
随堂练习
请同学们马上完成课本12页第1题.（限时10分钟） 请同学们核对答案：
32 32 , x2 1 x1 2, x2 3 2 x1 2 2 3 15 3 15 3 , x2 3 x1 4 x1 0, x2 3 3 2 2 14 2 14 , x2 5 x1 3, x2 3 6 x1 2 2
2 b 4ac （2） b2－4ac=0，此时 =0，由得，方程有两个相等的实数根 2 4a
x1 x 2
b ; 2a
2 b 2 4ac b x ﹤0，而x取任何实 （3）b2－4ac=0，此时 4a 2 ﹤0，由可知 2a
b 数都不能使 x ﹤0，因此方程无实数根 2a
当堂测试
1
1、下列方程中，有两个不等实数根的是（ 2 B． A．
D）
x 3x 8
2
C．
7 x 14 x 7 0
9 m 2
D．
x 5x 10 x2 7 x 5x 3
2
2、当m满足
时，关于x的方程
x2－4x+m－
1 2
= 0有两个
不相等的实数根．
3、如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数 1 k 且k 0 根，那么k的取值范围是 . 4
2
ax bx c 0 a 0
2
有两个相等的实数根； 无实数根； 我们可以不解 方程判断出根 的情况！
22.2.2降次--解一元二次方程公式法(一)
b b2 4ac x 2a 2a
x2
-b-
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
4ac b (2) b 4ac 0, 这时 0 4a b b 4ac ＝0 即 x
2
2a
2a
此时，方程有两个相等的实数根 b x1 x2 2a
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
b 而x取任何实数都不可能使 ( x ) 2a
因此方程无实数根
4ac b (3) b 4ac 0, 这时 0 4a
例2 用公式法解下列方程
（1） （2） （3 ） （4 ）
x - 4x - 7 0
2
2x - 2 2x 1 0
2
5x - 3x x 1
2
x 17 8x
2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 b 4ac 的值，
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为 互为相反数？
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
2
x2 4、写出方程的解： x1、
随堂 练习 用公式法解下列方程：
解一元二次方程(公式法)课件
,
x2
b
b2 4ac ; 2a
（2）当 b2 4ac 0 时，一元二次方程
ax2 bx c 0（a 0）有两个相等的实数根．
b
x1
x2
; 2a
（3）当 b2 4ac 0 时，一元二次方程
ax2 bx c 0（a 0）无实数根．
2．求根公式
ax2 bx c 0(a 0) ax2 bx c 0(a 0)
（x
b ）2 2a
b2
4ac 4a2
方程右边的值有哪些情况呢？ 从而方程的解的个数及解的情况又 如何呢？说说你的想法。
因为a≠0,4a2＞0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）当 b2 4ac 0 时，一元二次方程 ax2 bx c 0（a 0） 有两个不相等的实数根．
x1 b
x b b2 4ac 2a
3．知识归纳
方程 ax2 bx c 0(a 0)
x b b2 4ac 2a
x1
x2
b ; 2a
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值.
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无实数根. 3、代入求根公式 : x b b2 4ac ；
1.探究新知
问题：我们知道，任意一个一元 二次方程都可以转化为一般形式
ax2 bx c 0(a 0)
你能用配方法得出它的解吗？试试看！
解： 移项，得 ax2 bxc
二次项系数化为1，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2
b a
x
b
2
2a
c a
b
2
22.2.2一元二次方程解法公式法1
心动
2
不如行动
公式法是这样生产的
ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
你能用配方法解方程
5.开方:根据平方根意义,方程两 b b 4ac 边开平方; x . 2a 2a 6.求解:解一元一次方程; 2 b b 4ac 2 x . b 4ac 0 . 7.定解:写出原方程的解.
2
公式法
1.变形:化已知方 程为一般形式;
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数; 3.计算: b2-4ac 的值; 4.代入:把有关数 值代入公式计算; 5.定根:写出原方 程的根.
6 x1 ; x2 2. 5
b b 2 4ac x 2a 4 256 4 16 . 25 10 28 5
老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
书P42归纳
学习是件很愉快的事
解 : a 5, b 4, c 12
b 2 4ac 4 4 5 (12) 256 0.
用公式法解一元二次方程的
小结
一般步骤：
由配方法解一般的一元二 1、把方程化成一般形式, 次方程 ax2+bx+c=0 并写出a，b，c的值。 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 2、求出b2-4ac的值。 得 3、代入求根公式 :
求根公式 : X=
X=
(a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
课件：22.2.2一元二次方程解法 配方法 (共12张PPT)
一元二次方程的解法
配方法
知识回顾：
一元二次方程的解法
上节课我们主要学习了哪两种解一元二次 方程的方法?我们应该如何选择合适的解法? (1) 直接开平方法 当左边是一个完全平方形式，而右边 是一个非负常数时，用直接开平方法非常 简单; (2) 因式分解法
当右边为零，而左边可以分解因式时， 可以用因式分解法.
(2) 4x2 -12x-1 = 0
解: 移项,得 两边除以4，得x2
2
4x2 -12x = 1
1 - 3x = ，配方，得 4
2 2
x2 –2 · x· 2 + 22 = -1+ 22
即:
(x -2)2 =3 x1=2+
3 3 1 3 x 2x 2 2 4 2 3 2 10 (x - ) 即: 2 4
演练
用配方法解下列方程:
(1) 3x2 -6x -1 = 0 解:
1 x 2x 3
2
(2) 2x2–4 = 5x 解:
2
2x2 5x 4 5 25 25 x x 2 2 16 16 5 57 x 4 16 x 5 57 4 4
2
1 2 x 2x 1 1 3 x 12 4 3 x 1 x1 2 3 3
(4)
4x2 -6x
+( )= 4(x -
9 4
4 3 2 4) =(2x
-
3 )2 2
2．用配方法解下列方程：
(1) x2 + 8x –2 = 0 (2) x2 -5x -6 = 0
一元二次方程的解法
例. 用配方法解方程: x2 + px + q = 0 ( p 2 – 4q ≥ 0 ) 解: 移项，得 x2 + px = -q 方程左边配方，得 即
配方法
知识回顾：
一元二次方程的解法
上节课我们主要学习了哪两种解一元二次 方程的方法?我们应该如何选择合适的解法? (1) 直接开平方法 当左边是一个完全平方形式，而右边 是一个非负常数时，用直接开平方法非常 简单; (2) 因式分解法
当右边为零，而左边可以分解因式时， 可以用因式分解法.
(2) 4x2 -12x-1 = 0
解: 移项,得 两边除以4，得x2
2
4x2 -12x = 1
1 - 3x = ，配方，得 4
2 2
x2 –2 · x· 2 + 22 = -1+ 22
即:
(x -2)2 =3 x1=2+
3 3 1 3 x 2x 2 2 4 2 3 2 10 (x - ) 即: 2 4
演练
用配方法解下列方程:
(1) 3x2 -6x -1 = 0 解:
1 x 2x 3
2
(2) 2x2–4 = 5x 解:
2
2x2 5x 4 5 25 25 x x 2 2 16 16 5 57 x 4 16 x 5 57 4 4
2
1 2 x 2x 1 1 3 x 12 4 3 x 1 x1 2 3 3
(4)
4x2 -6x
+( )= 4(x -
9 4
4 3 2 4) =(2x
-
3 )2 2
2．用配方法解下列方程：
(1) x2 + 8x –2 = 0 (2) x2 -5x -6 = 0
一元二次方程的解法
例. 用配方法解方程: x2 + px + q = 0 ( p 2 – 4q ≥ 0 ) 解: 移项，得 x2 + px = -q 方程左边配方，得 即
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
更多资源 更多资源 2、关于 的一元二次方程 2+bx+c=0 的一元二次方程ax 、关于x的一元二次方程
(a≠0)。 。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为 ， ， 满足什么条件时， 互为相反数？ 互为相反数 练习 用公式法解下列方程： 用公式法解下列方程：
（1）2x2-9x+8=0; ） （2）9x2+6x+1=0; ） （3）16x2+8x=3. ）
思考题
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 、 取什么值时 取什么值时， 有两个相等的实数解
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax + bx + c = 0
2
解: 把方程两边都除以 a 移项，得 移项， 配方， 配方，得
b c x + x+ =0 a a b c 2 x + x= a a
2
b b c b x + x+ = + a a 2a 2a
2
2
2
即
b b2 4ac x + 2a = 4a 2
即：
x1 = x2 = 3
解方程： 例 3 解方程：( x 2 ) ( 1 3 x ) = 6 解：去括号，化简为一般式： 去括号，化简为一般式：
b ± b 2 4ac x= 2a
3x 7x + 8 = 0
2
这里
2
a = 3、 b= - 7、 c= 8
2
Q b 4ac =（ 7 4 × 3 × 8 ） = 49 96 = - 47 < 0
即：
x1 = 9 x 2 = 2
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、 、 的值。 、把方程化成一般形式，
2、求出 b 4ac 的值， 、 的值，
2
特别注意:当 特别注意 当 b 2 4ac < 0 时无解
b ± b 2 4ac 3、代入求根公式 : ∴ x = 、 2a
2
一元二次方程的 求根公式
b ± b 2 4ac x= 2a
解方程： 例 1 解方程： x 7 x 18 = 0
2
解： 这里 a = 1 b = 7 c = 18
Q b 4ac =（ 7 4 × 1 × 18 = 121 ） （ ）
2 2
7 ± 121 7 ± 11 ∴ x= = 2×1 2
2
更多资源 更多资源
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax + bx + c = 0
2
当 b2 + 4ac ≥ 0 时 Q 4a > 0 ∴
2
b b 4ac x+ =± 2a 4a 2
2
特别提醒
即
b b 4ac x+ = ± 2a 2a
2
b ± b 4ac ∴ x= 2a
x 4、写出方程的解： x1、 2 、写出方程的解：
b ± b 2 4ac x= 2a
解方程： 例 2 解方程： x + 3 = 2 3 x
2
解： 化简为一般式：x 2 2 3 x + 3 = 0 化简为一般式：
3、 这里 a = 1、 b= - 2 3、 c= 3
Q b 2 4ac =（ 2 3 2 4 × 1 × 3 = 0 ） （ ） -2 3 ± 0 2 3 ∴ x= = = 3 2×1 2
(a≠0)。 。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为 ， ， 满足什么条件时， 互为相反数？ 互为相反数 练习 用公式法解下列方程： 用公式法解下列方程：
（1）2x2-9x+8=0; ） （2）9x2+6x+1=0; ） （3）16x2+8x=3. ）
思考题
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 、 取什么值时 取什么值时， 有两个相等的实数解
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax + bx + c = 0
2
解: 把方程两边都除以 a 移项，得 移项， 配方， 配方，得
b c x + x+ =0 a a b c 2 x + x= a a
2
b b c b x + x+ = + a a 2a 2a
2
2
2
即
b b2 4ac x + 2a = 4a 2
即：
x1 = x2 = 3
解方程： 例 3 解方程：( x 2 ) ( 1 3 x ) = 6 解：去括号，化简为一般式： 去括号，化简为一般式：
b ± b 2 4ac x= 2a
3x 7x + 8 = 0
2
这里
2
a = 3、 b= - 7、 c= 8
2
Q b 4ac =（ 7 4 × 3 × 8 ） = 49 96 = - 47 < 0
即：
x1 = 9 x 2 = 2
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、 、 的值。 、把方程化成一般形式，
2、求出 b 4ac 的值， 、 的值，
2
特别注意:当 特别注意 当 b 2 4ac < 0 时无解
b ± b 2 4ac 3、代入求根公式 : ∴ x = 、 2a
2
一元二次方程的 求根公式
b ± b 2 4ac x= 2a
解方程： 例 1 解方程： x 7 x 18 = 0
2
解： 这里 a = 1 b = 7 c = 18
Q b 4ac =（ 7 4 × 1 × 18 = 121 ） （ ）
2 2
7 ± 121 7 ± 11 ∴ x= = 2×1 2
2
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用配方法解一般形式的一元二次方程
ax + bx + c = 0
2
当 b2 + 4ac ≥ 0 时 Q 4a > 0 ∴
2
b b 4ac x+ =± 2a 4a 2
2
特别提醒
即
b b 4ac x+ = ± 2a 2a
2
b ± b 4ac ∴ x= 2a
x 4、写出方程的解： x1、 2 、写出方程的解：
b ± b 2 4ac x= 2a
解方程： 例 2 解方程： x + 3 = 2 3 x
2
解： 化简为一般式：x 2 2 3 x + 3 = 0 化简为一般式：
3、 这里 a = 1、 b= - 2 3、 c= 3
Q b 2 4ac =（ 2 3 2 4 × 1 × 3 = 0 ） （ ） -2 3 ± 0 2 3 ∴ x= = = 3 2×1 2