数学分析考研2021复旦与山东科大考研真题库
2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题完整版(含答案及解析)
dt
dt
dt dt
dt
dt
当 r = 10, h = 5 时， dV = −100 , dS = −40 ，故选 D.
dt
dt
（4）设函数 f (x) = ax − b ln x(a 0) 有两个零点，则 b 的取值范围是（ ） a
A.(0, + )
B.(0,0)
C.(0, 1 ) e
【答案】A.
.
x (0,2)
【答案】1.
【解析】方程两边对 x 求导可得 z + (x +1) z x
+
y1 z
z x
−
1
+
2y 4x2
y
2
=0.
将 x = 0, y = 2 代入可得 z = 1 ，再将 x = 0, y = 2, z = 1代入可得 z = 1. x
（14）已知函数 f (t) =
t
dx
dt
有因为 x et2 dt = x (1+ t2 + (t2 ))dt = x + 1 x3 + (x3 ) ，故
0
0
3
原式
=
lim
x→0
x
−
1 x3 3!
+
(
x3
)
1
+
x
+
1 x3 3!
x2
+
(
x3
)
−
x
−
1 2
x2
+ (x2 )
=
lim
x→0
1 2
x2
+ (x2 ) x2
=
1 2
2021考研数学(二)真题(含详细解析)
2k 1 1 2n n
lim
n
n k 1
f
k
1
n
1
f (x)dx .选（B）.
0
（8）二次型 f (x1, x2, x3) (x1 x2 )2 (x2 x3)2 (x3 x1)2 的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）
（A）2,0
（B）1,1
（C）2,1
（D）1,2
【答案】B
【解析】方法 1： f (x1, x2, x3) (x1 x2 )2 (x2 x3)2 (x3 x1)2 2x22 2x1x2 2x2x3 2x1x3 ，其二
）
（A）
lim
n
n k 1
f
2k 1 2n
1 2n
（B）
lim
n
n k 1
f
2k 1 1 2n n
（C）
lim
n
n k 1
f
k 1 2n
1 n
【答案】B
（D）
lim
n
n k 1
f
Hale Waihona Puke k 2 2n n【解析】由于
k n
k
2k 1 2n
k 1 n
，则 lim n
n k 1
f
t 1 1)et
t2
确定，则
d2y dx2
t0
.
【答案】 2 3
【解析】利用参数方程的求导公式
dy dx
yt xt
' '
4tet 2t 2et 1
，
d2y dx2
d dx
dy dx
d dx
4tet 2et
2t 1
d dt
复旦数学考研试题及答案
复旦数学考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(x)。
A. 3x^2 - 12x + 11B. 6x^2 - 12x + 11C. 3x^2 - 6x + 11D. 3x^2 - 6x + 6答案：A2. 已知矩阵A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}，求A的行列式。
A. 2B. -2C. 5D. -5答案：C3. 设集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B。
A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}答案：B4. 若随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求E(X)。
A. λB. 1/λC. λ^2D. λ/2答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设f(x) = sin(x) + cos(x)，求f''(x)。
答案：-cos(x) - sin(x)2. 求极限lim (x→0) [sin(x)/x]。
答案：13. 设函数f(x) = ln(x)，求f'(x)。
答案：1/x4. 求定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
答案：1/3三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数y = e^x - x^2的极值点。
解：首先求导数y' = e^x - 2x。
令y' = 0，解得x = ln(2)。
当x < ln(2)时，y' < 0；当x > ln(2)时，y' > 0。
因此，函数y =e^x - x^2在x = ln(2)处取得极小值。
2. 求矩阵A的特征值和特征向量，其中A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}。
解：首先求特征多项式|A - λI| = 0，得到(2 - λ)^2 - 1 = 0，解得λ1 = 3，λ2 = 1。
2021年考研数学一真题分析及答案解析考研必看版
考研数学一真题及答案解析一、选取题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出四个选项中，只有一项符合题目规定，请将所选项前字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数1,0(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处持续，则（ ） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x xf x ax a++→→==在0x =处持续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，因此选C 。
（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D【答案】D【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradfgradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表达甲速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表达乙速度曲线2()v v t =，三块阴影某些面积数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s0000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=TE x 有非零解，故0αα-=T E 。
2021数学类考研陈纪修《数学分析》考研真题库
2021数学类考研陈纪修《数学分析》考研真题库第1部分名校考研真题第9章数项级数一、判断题1．若对任意的自然数p都有，则收敛．（）[东南大学研]【答案】错查看答案【解析】根据级数收敛的Cauchy收敛准则，举出反例：例如，对任意的自然数p，有，但是发散．正确的说法应该是，关于p一致有．2．若，且对任意的n，有，则收敛．（）[重庆大学研]【答案】错查看答案【解析】举反例：例如，虽然对任意的n，有，但是发散．n 必须足够大，才可以成立．二、解答题1．设收敛，证明：[华东师范大学研]证明：记级数的前n项和S n．则对上式两边取极限，从而即2．证明下列级数收敛．[东北师范大学研]证明：（1）方法一所以所以收敛。
方法二由于所以而收敛，从而收敛．（2）由比值判别法知收敛，再由比较判别法知收敛，即收敛。
3．证明：[浙江大学研]证明：因为且单调减，所以反复利用分部积分法，又所以将②代入①得4．讨论级数的敛散性．[复旦大学研]解：（1）若p、q>1，则绝对收敛。
（因为，例如p>q，则为优级数）；（2）若0＜p=q≤1，应用莱布尼兹定理知级数收敛，且是条件收敛；（3）当p、q>0，原级数与级数同时敛散，若p>1，0＜q ≤1或q>1，0＜p≤1时级数一敛一散，故原级数发散．若0＜p＜q＜1，则，且与同阶（当）；故级数发散，从而原级数发散．同理可证，若0＜q＜p＜1，原级数发散．5．若一般项级数与都收敛且下列不等式成立证明：级数也收敛．又若与都发散，试问一定发散吗？[汕头大学研、北京工业大学研]证明：由于级数与都收敛，所以由Cauchy收敛准则知对任意的ε＞0，存在N∈N，使得当n＞N及对任意的正整数p，都有又，所以，从而由Cauchy收敛准则知级数也收敛．若与都发散，不一定发散．反例：．6．设，证明：收敛．[浙江大学2006研]证明：因为令，则易知，所以因为，而收敛，所以收敛．7．设，举例说明存在（从而级数收敛），但，从而级数收敛的D’Alember判别法失效．[天津工业大学2006研]解：级数．由于故，所以用D’Alember判别法无法判别其敛散性．又，所以由根式判别法知收敛．8．判断级数的敛散性．[青岛科技大学研]解：令，则故由Raabe判别法知收敛．9．设f（x）在[1，+∞）上单调，证明：若广义积分收敛，则级数也收敛．[北京化工大学研]证明：不妨设f（x）在[1，+∞）上单调递减．先证明f（x）在[1，+∞）上非负，若存在，使得．由于当时，，又发散，故由比较判别法知发散，矛盾，所以f（x）在[1，+∞）上非负．因为f（x）在[1，+∞）上非负且单调递减，对任意的正数A，f（x）在[1，A]上可积，从而有依次相加可得由于收敛，于是对任意正整数m，有即非负级数部分和有界，故收敛．10．设是严格递减的正数列，且，证明：级数收敛．[南京农业大学研、上海理工大学研]证明：因为是严格递减的正数列，所以即是严格递减的数列．又由极限的性质知故由Leibniz判别法知收敛．11．讨论级数的收敛性．[厦门大学研]解：利用带Peano余项的Taylor公式（当x→0时），有于是．所以当x＞1－p时收敛，当x≤1－p时发散．12．，证明：存在，并求之．[上海大学研]证明：令，则从而因为，所以故有14．判断级数的绝对收敛性和相对收敛性．[武汉大学2005研]解：（1）绝对收敛性（主要使用放缩法）（2）相对收敛性：（A-D判别法）①；②。
2021考研数学二真题及解析
2021考研数学二真题及解析考研数学二一直以来都是众多考生心中的一座大山，而 2021 年的考研数学二真题更是充满了挑战与机遇。
下面就让我们一起来详细剖析一下这一年的真题。
首先，我们来看选择题部分。
选择题的难度整体适中，涵盖了多个重要的知识点。
比如，在第一道选择题中，考查了函数的极限定义，这需要考生对极限的概念有清晰的理解。
第二道题则涉及到导数的计算，通过给出一个复杂的函数，要求考生运用求导法则准确求出导数。
填空题部分，同样注重对基础知识的考查。
像其中一题考查了定积分的计算，需要考生熟练掌握积分公式和积分的基本运算方法。
还有一题是关于空间向量的问题，检验考生对向量的运算和性质的掌握程度。
接下来是解答题。
第一道解答题通常是关于函数的单调性和极值问题，这是数学二中的常见考点。
考生需要通过求导来判断函数的单调性，并找出极值点。
在这道题中，函数的表达式较为复杂，需要考生有较强的化简和计算能力。
第二道解答题是关于二重积分的计算。
二重积分一直是考研数学二的重点和难点，这道题需要考生正确选择积分次序，并准确计算出积分的值。
对于很多考生来说，能否清晰地画出积分区域，选择合适的积分方法，是解题的关键。
再看后面的题目，有一道是关于常微分方程的求解。
这要求考生熟悉各种类型常微分方程的解法，并且能够根据题目所给条件准确地求出方程的通解和特解。
还有一道关于曲线积分的问题，考查了考生对曲线积分的定义、性质以及计算方法的掌握。
这道题需要考生具备较强的空间想象能力和数学运算能力。
总的来说，2021 年考研数学二真题紧扣考试大纲，全面考查了考生对数学知识的掌握和运用能力。
从知识点的分布来看，函数、导数、积分、微分方程等核心内容都有涉及。
对于考生来说，要想在考试中取得好成绩，首先要对基本概念和定理有深入的理解，不能只是死记硬背。
其次，要通过大量的练习来提高解题能力和计算速度。
在平时的学习中，要注重总结解题方法和技巧，形成自己的解题思路。
数学考研真题答案2021
数学考研真题答案2021数学考研作为研究生入学考试的重要组成部分，其难度和重要性不言而喻。
2021年的数学考研真题，涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计等多个领域。
以下是对2021年数学考研真题的部分答案解析。
一、选择题1. 根据极限的定义，若\(\lim_{x \to a} f(x) = L\)，则对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε。
此题考查了极限的ε-δ定义。
2. 线性代数中的矩阵运算，若A和B是两个可逆矩阵，则AB也是可逆的，且\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)。
此题考查了矩阵的逆运算。
3. 概率论中的全概率公式，设事件A1, A2, ..., An是两两互斥的完备事件组，即P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) = 1，对于任意事件B，有P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + ... + P(An)P(B|An)。
此题考查了全概率公式的应用。
二、填空题1. 根据泰勒公式，函数f(x)在x=a处的泰勒展开为\(f(x) = f(a) +f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + ... +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)\)，其中R_n(x)是余项。
此题考查了泰勒公式的理解和应用。
2. 线性空间中，向量组的线性相关性可以通过行列式来判定。
若向量组构成的矩阵的行列式为零，则该向量组线性相关。
此题考查了线性空间中向量组的线性相关性。
3. 连续型随机变量的分布函数F(x)定义为P(X ≤ x)，其中X是连续型随机变量。
此题考查了连续型随机变量分布函数的定义。
三、解答题1. 高等数学中的微分方程问题，求解给定的一阶微分方程，需要运用分离变量法、变量替换法或特征方程法等。
2021年考研《数学》试题及答案(卷一)
2021年考研《数学》试题及答案（卷一）[ABCD参考答案：A[单选题]设随机变量，则方程有实根的概率为()。
ABCD0参考答案：C[单选题]ABCD参考答案：D[问答题]设，则参考答案：因为P(A-B)=P(A)-P(AB)，所以P(A+B)=P(A-B)+P(B)=0.8。
[问答题]二元函数f(x，y)=在(0，0)点是否可微?________。
(填是或否)参考答案：否[问答题]设随机变量X，Y相互独立，D(X)=4D(Y)，令U=3X+2Y，V=3X-2Y，则=_____。
参考答案：[单选题]函数y=x+ex的反函数的二阶导数=()。
ABCD[问答题]设随机变量X服从参数为2的泊松分布，令Y=4X-3，则E(Y)=_____。
D(Y)=_____。
参考答案：因为X~P(2)，所以E(X)=D(X)=2，于是E(Y)=4E(X)-3=5，D(Y)=16D(X)=32[问答题]参考解析：[问答题]参考答案：[问答题]一工人同时独立制造3个零件，第k个零件不合格的概率为;，以随机变量X表示3个零件中不合格的零件个数，则P(X=2)=______。
参考答案：令Ak={第k个零件不合格}(k=1，2，3)，则[问答题]参考答案：[问答题]设y=y(x)满足y’=x+y，且满足y(0)=1，讨论级数的敛散性。
参考答案：[单选题]设，则A与B()。
A合同且相似B合同但不相似C不合同但相似D不合同且不相似参考答案：A[单选题]设f(x)的导函数为，则f(x)的一个原函数是()。
A1+arctan xB1-arctan xC1+ln(1+x2)D1-ln(1+x2)参考答案：C[单选题]设总体X服从N(μ，σ2)，与分别是取自总体X的样本容量为10和15的两个样本均值，记P1=。
AP1<p2< p="">BP1=P2CP1>P2DP1=1，P2=σ参考答案：C[问答题]设f(x)是连续函数，且，则f(7)=______。
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数学分析考研2021复旦与山东科大考研真题库
一、山东科技大学《603数学分析》考研真题
二、复旦大学数学系
第1部分数项级数和反常积分
第9章数项级数
一、判断题
1．若收敛，则存在．[重庆大学2003研] 【答案】错查看答案
【解析】举反例：，虽然，但是
发散．
2．若收敛，，则收敛．[南京师范大学研] 【答案】错查看答案
【解析】举反例：满足条件，而且很容易知道
但是发散，所以发散．
二、解答题
1．求级数的和．[深圳大学2006研、浙江师范大学2006研] 解：
2．讨论正项级数的敛散性．[武汉理工大学研]
解：由于，所以当a＞1时收敛，当0＜a＜1时发散；当a＝1时，由于
，故发散．
3．证明：收敛．[东南大学研]
证明：因为所以
又因为
而收敛，故收敛．
4．讨论：，p∈R的敛散性．[上海交通大学研]
证明：因为为增数列，而为减数列，所以．从而
所以．于是当p＞0时，由积分判别法知收敛，故由Weierstrass判别法知
收敛：当p＝0时，因为发散，所以发散：当p＜0时，
发散．
5．设级数绝对收敛，证明：级数收敛．[上海理工大学研]
证明：因为绝对收敛，所以．从而存在N＞0，使得当n＞N 时，有，则有
，故由比较判别法知级数收敛．
6．求．[中山大学2007研]
解：由于，所以绝对收敛．
7．设，且有，证明：
收敛．[大连理工大学研]
证明：因为，所以对任意的ε，存在N，当n＞N时，有
，
即
取ε充分小，使得，即．因为，所以单调递减，且
现在证明．因为，即则
．
所以对任意的ε，存在N，当n＞N时，有．对任意的0＜c-ε＜r，有
所以存在N，当n＞N时，，则
因此
，
由两边夹法则可得．故由交错级数的Leibniz判别法知收敛．
8．说明下面级数是条件收敛或绝对收敛[复旦大学研]
解：数列是n的单调递减函数．且
由莱布尼兹判别法，可知收敛．
所以
故当2x＞1，即时收敛，即
绝对收敛；
当2x≤1，即时，发散，即
条件收敛．
9．证明：若绝对收敛，则亦必绝对收敛．[华东师范大学研]
证明：绝对收敛，从而收敛，记
则
由比较判别法知敛散性相同，而收敛，所以
收敛，即
绝对收敛．
10．证明级数发散到[吉林大学研]
证明：令则
易知发散到所以
又，所以
所以原级数发散到。