期末复习讲义专题一

期末专题一：一次函数与四边形1、一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动，快车离乙地的路程y1（km）与行使的时间x（h）之间的函数关系，如图中AB所示；慢车离乙地的路程y2（km）与行使的时间x（h）之间的函数关系，如图中线段OC所示，根据图象进行以下研究．解读信息：（1）甲，乙两地之间的距离为（2）线段AB的解析式为线段OC的解析式为问题解决：（3）设快，慢车之间的距离为y（km），求y与慢车行驶时间x（h）的函数关系式，(1)甲，乙两地之间的距离为450 km；(2)线段AB的解析式为: y1=450-150x ,(0≤x≤3)；线段OC的解析式为: y2=75x ,(0≤x≤6)；(3)设快，慢车之间的距离为y（km），求y与慢车行驶时间x（h）的函数关系式：由（2）可以得出距离关系式：0≤x≤3时，快慢车都在行驶，y=│y1-y 2│=│450-225x│，(0≤x≤3)3≤x≤6时，快车已到站停止行驶，x=3时快车刚到站，两车距离为225 km，y=75x ,(3≤x≤6)函数图象：2、（2013•无锡）如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，点P从A出发，以2cm/s 的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD 匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t（s）．△APQ的面积S（cm2）与t （s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．（1）求点Q运动的速度；（2）求图2中线段FG的函数关系式；（3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．3、如图已知一次函数y=-1/2x=b的图像经过点A(2,3)AB垂直于X轴，垂足为B 连接OA设点P为直线y=-1/2x+b上的一点且在第一象限内经过P作x轴的垂线垂足为Q若三角形POQ的面积=5/4三角形AOB的面积求点P的坐标解：y=-0.5x+b过A（2，3），则b=4∴y＝-0.5x+4∵P在直线y＝-0.5x+4 上，设P（x, -0.5x+4）且SΔAOB=2×3/2=3SΔPOQ=0.5x(-0.5x+4)=(5/4) ,SΔAOB=15/4∴x²-8x+15=0解得：x1=3,x2=5故：P(3,2.5)或P(5,1.5)4、（2013•天水）如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解．（2）由△ABD由△AOP旋转得到，证明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠P AO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标．（3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（t，0）：①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时，关键是求出D点的纵坐标，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值．②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时．即＜t≤0时，方法同①类似，也是在直角三角形DBG用BD的长表示出DG，进而求出GF的长，然后同①．③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤时，方法同②．综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值．解答：解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．由已知得：BF=OE=2，OF==，∴点B的坐标是（，2）设直线AB的解析式是y=kx+b（k≠0），则有．解得．∴直线AB的解析式是y=x+4；（2）如图2，∵△ABD由△AOP旋转得到，∴△ABD≌△AOP，∴AP=AD，∠DAB=∠P AO，∴∠DAP=∠BAO=60°，∴△ADP是等边三角形，∴DP=AP=．如图2，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH．方法（一）在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．∴BG=BD•cos60°=×=．DG=BD•sin60°=×=．∴OH=EG=，DH=∴点D的坐标为（，）方法（二）易得∠AEB=∠BGD=90°，∠ABE=∠BDG，∴△ABE∽△BDG，∴；而AE=2，BD=OP=，BE=2，AB=4，则有，解得BG=，DG=；∴OH=，DH=；∴点D的坐标为（，）．（3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于．设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG=t，∴DH=2+t．∵△OPD的面积等于，∴，解得，（舍去）∴点P1的坐标为（，0）．②∵当D在x轴上时，根据勾股定理求出BD==OP，∴当＜t≤0时，如图，BD=OP=﹣t，DG=﹣t，∴GH=BF=2﹣（﹣t）=2+t．∵△OPD的面积等于，∴，解得，，∴点P2的坐标为（，0），点P3的坐标为（，0）．③当t≤时，如图3，BD=OP=﹣t，DG=﹣t，∴DH=﹣t﹣2．∵△OPD的面积等于，∴（﹣t）【﹣（2+t）】=，解得（舍去），∴点P4的坐标为（，0），综上所述，点P的坐标分别为P1（，0）、P2（，0）、P3（，0）、P4（，0）．5、（2013济宁）如图，直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．考点：一次函数综合题．分析：（1）根据直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，得出==，据此可以求得点P的运动速度；（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；（3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可．解答：解：（1）∵直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，∴x=0时，y=4，y=0时，x=8，∴==，当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，∵EP∥BO，∴==，∴AP=2t，∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，则∵OQ=FQ=t，P A=2t，∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t，∴8﹣3t=t，解得：t=2，如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，∵OQ=t，P A=2t，∴OP=8﹣2t，∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8，∴t=3t﹣8，解得：t=4；（3）如图1，当Q在P点的左边时，∵OQ=t，P A=2t，∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t，∴S矩形PEFQ=QP•QF=（8﹣3t）•t=8t﹣3t2，当t=﹣=时，S矩形PEFQ的最大值为：=4，如图2，当Q在P点的右边时，∵OQ=t，P A=2t，∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8，∴S矩形PEFQ=QP•QE=（3t﹣8）•t=3t2﹣8t，∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，∴0≤t≤4，当t=﹣=时，S矩形PEFQ的最小，∴t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：3×42﹣8×4=16，综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16．6、（2012江苏无锡10分）如图1，A．D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P 从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示．（1）求A．B两点的坐标；（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式．【答案】解：（1）在图1中，连接AD，设点A的坐标为（a，0），由图2知，当点P到达点A时，DO+OA=6，即DO=6﹣AO=6﹣a，S△AOD=4，∴12DO•AO=4，即12（6﹣a）a＝4。

∴a2﹣6a+8=0，解得a=2或a=4。

由图2知，DO＞3，∴AO＜3。

∴a=2。

∴A的坐标为（2，0），D点坐标为（0，4）。

在图1中，延长CB交x轴于M，由图2，知AB=11﹣6＝5，CB=12﹣11＝1。

∴MB =4﹣1＝3。

∴2222AM=AB MB 534-=-=。

∴OM =2+4＝6。

∴B 点坐标为（6，3）。

（2）显然点P 一定在AB 上．设点P （x ，y ），连PC ．PO ，则S 四边形DPBC =S △DPC +S △PBC =12S 五边形OABCD =12（S 矩形OMCD ﹣S △ABM ）=9， ∴12×6×（4﹣y ）+12×1×（6﹣x ）=9，即x +6y =12①。

同理，由S 四边形DP AO =9可得2x +y =9②。

联立①②，解得x =4211，y =1511。

∴P （4211，1511）。

设直线PD 的函数关系式为y =kx +4，将P （4211，1511）代入，得1511=4211k +4。

解得，k =﹣2942。

∴直线PD 的函数关系式为y =﹣2942x +4。

【考点】动点问题，一次函数综合题，矩形的性质，勾股定理，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。