2020年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷(一)(有答案解析)
2020年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足iz=4-5i（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A. 5-4iB. -5+4iC. 5+4iD. -5-4i2.设集合M={x|log2（x-1）＜0}，集合N={x|x≥-2）}，则N∩M=（）A. {x|-2≤x＜2}B. {x|x≥-2}C. {x|x＜2}D. {x|1＜x＜2}3.如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（）A. 11B. 11.5C. 12D. 12.54.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（）（参考数据：，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305．）A. 12B. 24C. 48D. 965.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.6.已知为单位向量，当的夹角为时，在上的投影为（）A. 5B.C.D.7.已知函数f（x）=sin x+cos x，把函数f（x）的图象向右平移个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数g（x）的图象，当x∈[0，]时，方程g（x）-k=0有两个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A. [1，]B. [，2）C. [1，2]D. [1，2）8.过x轴正半轴上一点M（x0，0），作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，若，则x0的最小值为（）A. 1B.C. 2D. 39.已知函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时f（x）＞0，对任意的x，y∈（0，+∞），f（x）+f（y）=f（x•y）成立，若数列{a n）满足a1=f（1），且f（a n+1）=f（2a n+1），n∈N*，则a2017的值为（）A. 22014-1B. 22015-1C. 22016-1D. 22017-110.如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（）A.B.C. 81πD. 128π11.已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A.B.C.D.12.已知f（x）=，对于∀x∈[-1，+∞），均有f（x）-2≤m（x+1），则实数m的取值范围是（）A. [，+∞）B. [，+∞）C. [）D. [，）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______．14.若实数x，y满足不等式组，则z=|x|+3y的最大值是______．15.四面体A-BCD中，AB=CD=4，BC=AC=AD=BD=5，则四面体外接球的表面积为______．16.已知数列{a n}中，a1=1，a n-a n-1=n（n≥2，n∈N*），设b n=+++…+，若对任意的正整数n，当m∈[1，2]时，不等式m2-mt+＞b n恒成立，则实数t的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知向量=（cos，-1），=（sin，cos2），设函数f（x）=+1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2+b2=6ab cos C，sin2C=2sin A sin B，求f（C）的值．18.参加成都七中数学选修课的同学，对某公司的一种产品销量与价格进行了统计，得到如下数据和散点图：定价x（元102030405060 /kg）年销量y（kg）115064342426216586z=2ln y14.112.912.111.110.28.9（参考数据：，，）（1）根据散点图判断，y与x，z与x哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）？（2）根据（1）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）．（3）定价为多少元/kg时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（x n，y n），其回归直线=•x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：==，=-•．19.如图，在三棱锥B-ACD中，AB=BD=CD=1，AC=，BE⊥AC，CD⊥DE，∠DCE=30°．（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面ACD；（Ⅱ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．20.如图，设椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）过F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．21.已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C的普通方程为（x-2）2+（y-1）2=5，点P的极坐标为（2，）．（1）求直线l的普通方程和曲线C的极坐标方程；（2）若将直线l向右平移2个单位得到直线l′，设l′与C相交于A，B两点，求△PAB的面积．23.设f（x）=|x-3|+|x-4|．（1）求函数的定义域；（2）若存在实数x满足f（x）≤ax-1，试求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵iz=4-5i，∴i2z=（4-5i）i，∴-z=4i+5，化为z=-5-4i．∴z的共轭复数=-5+4i．故选：B．利用复数的运算法则和共轭复数的意义即可得出．本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．2.答案：D解析：解：∵集合M={x|log2（x-1）＜0}={x|1＜x＜2}，集合N={x|x≥-2）}，∴N∩M={x|1＜x＜2}．故选：D．分别求出集合M，集合N，由此能求出N∩M．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：C解析：解：由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12．故选：C．由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数．本题考查频率分布直方图，考查样本重量的中位数，考查学生的读图能力，属于基础题．4.答案：B解析：【分析】本题考查程序框图的应用，考查循环结构，属于简单题．列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．5.答案：C解析：解：由三视图知，该几何体是圆锥的一部分，如图所示的S-AOB，底面为扇形AOB，圆心角为120°，半径为2，锥体的高为4．∴该几何体的体积为：V==．故选：C．根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状是解答的关键．6.答案：D解析：解：由题意可得||===，||===，cos＜，＞===，故在上的投影为：||•cos＜，＞=•=，故选：D．由条件求得||和||的值，求得cos＜，＞=的值，再根据在上的投影为||•cos＜，＞，计算求得结果．本题主要考查一个向量在另一个向量上的投影的求法，求向量的模，两个向量的夹角公式，属于中档题．7.答案：D解析：解：把函数f（x）=sin x+cos x=2sin（x+）的图象向右平移个单位，可得y=2sin （x-）的图象；再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数g（x）=2sin（2x-）的图象；当x∈[0，]时，2x-∈[-，]，sin（2x-）∈[-，1]，∴2sin（2x-）∈[-1，2]．方程g（x）-k=0有两个不同的实根，即y=g（x）的图象和直线y=k有两个不同的交点．由于g（x）在[0，]上单调递增，在[，]上单调递减，g（）=g（）=1，最大值g（）=2，最小值g（0）=-1，可得1≤k＜2，故选：D．利用两角和差的正弦公式，化简函数的解析式，再利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，由题意可得y=g（x）的图象和直线y=k有两个不同的交点，结合g（x）的单调性，求得k的范围．本题主要考查两角和差的正弦公式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．8.答案：B解析：【分析】如图，当|AB|=时，M在y轴右侧，当M往左运动时，|AB|长变小，往右运动时，|AB|长变大，故连接CA，CB，MC，由MA及MB为圆C的切线，根据切线性质得到CA与AM垂直，CB与BM垂直，由圆C的方程找出圆心坐标和圆的半径，可得到|AC|的长，利用HL证明三角形ACM与三角形BCM全等，再利用三线合一得到CN 与AB垂直，N为AB中点，可求出|AN|的长，在直角三角形中由射影定理求出|CM|的长，在直角三角形COM中，利用勾股定理求出|OM|的长，可得出此时M的坐标，则x0的最小值可求．本题考查圆的切线方程，考查了直角三角形中的勾股定理和射影定理，解答此题的关键是明确当|AB|最小时x0的值最小，是中档题．【解答】解：如图，过M作圆C的两条切线MA，MB，切点为A，B，连结CA，CB，则△CAM、△CBM为两个全等的直角三角形，∴∠BCM=∠ACM，又CA=CB，∴CN⊥AB．当|AB|取最小值时，|AN|=，由圆半径为1，知|CA|=1，∴．在直角三角形CAM中，由射影定理得|CA|2=|CM|•|CN|，∴|CM|=，在直角三角形COM中，∵|OC|=，∴|OM|=．∴x0的最小值为．故选：B．9.答案：C解析：解：当x＞1时f（x）＞0．在（0，+∞）上任取两数x1，x2，且x1＜x2，令=k，则f（k）＞0．∴f（x2）=f（kx1）=f（k）+f（x1）＞f（x1）∴f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．令x=y=1，则f（1）+f（1）=f（1），解得f（1）=0．数列{a n）满足a1=f（1）=0，∵f（a n+1）=f（2a n+1），n∈N*，∴a n+1=2a n+1，变形为：a n+1+1=2（a n+1），∴数列{a n+1}是等比数列，公比为2，首项为1．则a2017+1=22016，因此a2017=22016-1，故选：C．当x＞1时f（x）＞0．在（0，+∞）上任取两数x1，x2，且x1＜x2，令=k，则f（k）＞0．可得f（x2）＞f（x1）f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．令x=y=1，则f（1）+f （1）=f（1），解得f（1）．数列{a n）满足a1=f（1）=0，由f（a n+1）=f（2a n+1），n∈N*，利用单调性可得a n+1=2a n+1，变形为：a n+1+1=2（a n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了抽象函数的单调性、数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：B解析：解：设小圆柱体底面半径为5cosθ，所以高为5+5sinθ，，小圆柱体积V=π•（5cosθ）2（5+5sinθ），设sinθ=t，t∈（0，1），则V=125π（-t3-t2+t+1），时，．故选：B．设小圆柱体底面半径为5cosθ，则高为5+5s inθ，，小圆柱体积V=π•（5cosθ）2（5+5sinθ），设sinθ=t，t∈（0，1），则V=125π（-t3-t2+t+1），利用导数性质能求出小圆柱体积的最大值．本题考查圆柱体积的最大值的求法，考查空间想象能力，利用导数判断函数最值、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.答案：C解析：【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及圆的弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．设双曲线的一条渐近线方程为x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由向量共线的坐标表示，可得Q的坐标，求得弦长|PQ|，运用中点坐标公式，可得PQ的中点坐标，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得m=，r=，运用圆的弦长公式计算即可得到a，b的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：方法一：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由=3，可得Q（3m，），因为∠PAQ=60°，所以为等边三角形，所以圆的半径为r=|PQ|==2m•，PQ的中点为H（2m，），由AH⊥PQ，可得=-，解得m=，r=．A到渐近线的距离为d==，则|PQ|=2=r，即为d=r，即有=•．可得=，e====．方法二：可得△PAQ为等边三角形，设OP=x，可得OQ=3x，PQ=2x，设M为PQ的中点，可得PM=x，AM==x，tan∠MOA===，则e==．故选：C．12.答案：B解析：解：若∀x∈[-1，+∞），均有f（x）-2≤m（x+1），得∀x∈[-1，+∞），均有f（x）≤m（x+1）+2即f（x）的图象都在直线y=m（x+1）+2的下方，直线y=m（x+1）+2过定点（-1，2），作出f（x）的图象，由图象知f（-1）=2，设过（-1，2）与f（x）=ln（x+1）相切的直线的切点为（a，ln（a+1）），则函数的导数f′（x）=，即切线斜率k=，则切线方程为y-ln（a+1）=（x-a），即y=x-+ln（a+1），∵切线过点（-1，2），∴2=--+ln（a+1）=-1+ln（a+1）即ln（a+1）=3，则a+1=e3，则a=e3-1，则切线斜率k==要f（x）的图象都在直线y=m（x+1）+2的下方，则m≥k=，即实数m的取值范围是[，+∞），利用条件转化为f（x）≤m（x+1）+2，即f（x）的图象都在直线y=m（x+1）+2的下方，求出函数f（x）=ln（x+1）过点（-1，2）的切线方程，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查分段函数的应用以及不等式恒成立问题，利用数形结合转化为两个图象关系，结合导数的几何意义求出切线方程和斜率是解决本题的关键．13.答案：6解析：【分析】本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．求出系统抽样的抽取间隔，即可得出结论．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=6，则48-6×7=6，则抽到的最小学号为6，故答案为：6．14.答案：19解析：解：满足约束条件的平面区域如图所示：z=|x|+3y表示一条折线（图中虚线），由得A（-4，5）代入z=|x|+3y得z=|-4|+3×5=19，当x=-4，y=5时，|x|+3y有最大值19．故答案为：19．根据题意先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，由z=|x|+3y，进一步求出目标函数z=|x|+3y的最大值．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域②求出可行域各个角点的坐标③将坐标逐一代入目标函数④验证，求出最优解．15.答案：33π解析：【分析】本题考查球的内接几何体，球的表面积的求法，考查计算能力．分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段，由条件可知，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，求出球的半径，然后求出球的表面积．解：分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段CE，ED，EF，由条件，AB=CD=4，BC=AC=AD=BD=5，可知，△ABC与△ADB，都是等腰三角形，即DE⊥AB，CE⊥AB，DE∩CE=E，DE、CE平面ECD，∴AB⊥平面ECD，又EF、CD平面ECD，∴AB⊥EF，CD⊥EF，∴EF是AB与CD的公垂线，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，（△AGB≌△CGD）DE==，DF=2，EF==，∴GF==，球半径DG===，∴外接球的表面积为4πDG2=4π×=33π，故答案为：33π．16.答案：（-∞，1）解析：【分析】本题考查等差数列的前n项和，涉及数列的函数特征，不等式恒成立问题，属于中档题．根据已知条件利用累加法，结合等差数列求和公式得到a n(n≥2），验证a1适合此公式，进而可得数列{a n}的通项公式，通过研究的正负得到数列{b n}是单调递减数列，即当n=1时，b n取得最大值，进而问题转化为m2-mt+＞对任意m∈[1，2]恒成立，进而得到t的取值范围.【解答】解：∵a1=1，a n-a n-1=n（n≥2，n∈N*），当n≥2时，a n-a n-1=n，a n-1-a n-2=n-1，…，a2-a1=2，累项相加，得：a n-a1=n+（n-1）+…+3+2，∴a n=1+2+3+…+n=n（n+1），又∵当n=1时，a1=1也满足上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=n（n+1），∴对于任意的n≥2恒成立，∴数列{b n}是单调递减数列，即当n=1时，b n取得最大值，∴m2-mt+＞，即m2-mt＞0对任意m∈[1，2]恒成立，即，∴t＜1，即实数t的取值范围为（-∞，1）.故答案为（-∞，1）.17.答案：解：（1）∵=（cos，-1），=（sin，cos2），∴f（x）=+1=sin cos-cos2+1=sin x-cos x+=sin（x-）+，令2kπ-≤x-≤2kπ+（k∈），得到2kπ-≤x≤2kπ+（k∈），∴f(x)的单调递增区间为[2kπ-，2kπ+]（k∈）；（2）由a2+b2=6ab cos C，由sin2C=2sin A sin B，利用正弦定理化简得：c2=2ab，∴cos C===3cos C-1，即cos C=，又∵0＜C＜π，∴C=，∴f（C）=f（）=sin（-）+=+=1．解析：本题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的递增区间即可确定出f（x）的递增区间；（2）已知第二个等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cos C，将第一个等式及化简得到的关系式代入求出cos C的值，确定出C的度数，即可求出f（C）的值．18.答案：解：（1）由散点图可知：z与x具有较强的线性相关性；（2）由==35，==11.55，==≈-0.10，由=-•=15.05≈15，=x+=15-0.10x，线性回归方程为：=15-0.10x，则y关于x的回归方程==，∴y关于x的回归方程==；（3）年利润L（x）=x•=x•，求导L′（x）=•（1-x•），令导L′（x）=0，解得：x=20，由函数的单调性可知：当x=20时，年利润的预报值最大，∴定价为20元/kg时，年利润的预报值最大．解析：（1）由散点图可知：z与x具有较强的线性相关性；（2）求得样本中心点（，），则==≈-0.10，由=-•=15.05≈15，即可求得线性回归方程，则；（3）年利润L（x）=x•=x•，求导，令L′（x）=0，即可求得年利润L（x）的最大值．本题考查线性回归方程的应用，考查利用最小二乘法求线性回归方程，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．19.答案：解：（Ⅰ）由已知得，∴BE2+DE2=BD2，∴BE⊥DE又∵BE⊥AC，∴BE⊥面ACD，∵BE⊂，面BDE，∴面BDE⊥面ACD（Ⅱ）方法一：设C到平面ABD的距离为h，由V B-ACD=V C-ABD，得则．设AC于平面ABD所成角为α，则，∴AC与平面ABD所成角的正弦值为．方法二：建立如图所示直角坐标系，则D（0，0，0），A（，，0），B（，0，），C（0，1，0），∴=（，，0），=（，，0）=（，0，）设平面ABD的一个法向量为n=（x，y，z），则∴取n=（，，-1）设AB于平面ABD所成角为α，∴AC与平面ABD所成角的正弦值为解析：（Ⅰ）要证平面BCE⊥平面ACD，需证BE⊥面ACD，即可．（Ⅱ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．用等体积方法求出C到面ABD的距离即可．本题考查空间直线和平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，空间直角坐标系的运算，是中档题．20.答案：解：（1）∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，∴a=2，又∵椭圆C1的离心率是．∴c=，⇒b=1，∴椭圆C1的标准方程：．（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得y2-8my-16=0．y1+y2=8m，y1y2=-16，∴|AB|==8（1+m2）．过F且与直线l垂直的直线设为：y=-m（x-2）联立得（1+4m2）x2-16m2x+16m2-4=0，x C+2=，⇒x C=．∴|CF|=•．△ABC面积s=|AB|•|CF|=．令，则s=f（t）=，f′（t）=，令f′（t）=0，则t2=，即1+m2=时，△ABC面积最小．即当m=±时，△ABC面积的最小值为9，此时直线l的方程为：x=±y+2．解析：（1）由已知可得a，又由椭圆C1的离心率得c，b=1即可．（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得y2-8my-16=0．|AB|=，同理得|CF|=•．△ABC面积s=|AB|•|CF|=．令，则s=f（t）=，利用导数求最值即可．本题考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．21.答案：解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为，所以，，所以，a=1．所以，，．由f '（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得0＜x＜2．所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．（Ⅱ），由f'（x）＞0解得；由f '（x）＜0解得．所以，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．所以，当时，函数f（x）取得最小值，．因为对于∀x∈（0，+∞）都有f （x）＞2（a-1）成立，所以，即可．则．由解得．所以，a的取值范围是．（Ⅲ）依题得，则．由g'（x）＞0解得x＞1；由g'（x）＜0解得0＜x＜1．所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．又因为函数g（x）在区间[e-1，e]上有两个零点，所以，解得．所以，b的取值范围是．解析：（Ⅰ）求出函数的定义域，在定义域内，求出导数大于0的区间，即为函数的增区间，求出导数小于0的区间即为函数的减区间．（Ⅱ）根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f（x）＞2（a-1）恒成立，需使函数的最小值大于2（a-1），从而求得a的取值范围．（Ⅲ）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间[e-1，e]上有两个零点，得到，解出实数b的取值范围．本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．22.答案：解：（1）∵直线l的参数方程为，将t=x+1代入y=1+t得：直线l的普通方程为y=x+2，∵曲线C的普通方程为（x-2）2+（y-1）2=5，∴曲线C的极坐标方程为（ρcosθ-2）2+（ρsinθ-1）2=5，即ρ=4cosθ+2sinθ…（5分）（2）将直线l向右平移2个单位得到直线l′，则l′的普通方程为y=x，所以其极坐标方程为θ=，代入ρ=4cosθ+2sinθ得：ρ=3，故|AB|=3，因为OP⊥l′，所以点P到直线l′的距离为2，所以△PAB的面积S=×3×2=6…（10分）解析：（1）根据直线l的参数方程，消参可得直线l的普通方程，根据曲线C的普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入化简，可得曲线C的极坐标方程；（2）由题意得l′的普通方程为y=x，所以其极坐标方程为θ=，联立C的极坐标方程，可得弦长，求出弦心距，可得三角形面积．本题考查的知识点是简单曲线的极坐标方程，参数方程与普通方程的互化，三角形面积公式，难度中档．23.答案：解：（1）∵，它与直线y=2交点的横坐标为和．∴不等式的定义域为．（5分）（2）函数y=ax-1的图象是过点（0，-1）的直线，作出图象，如下图：结合图象可知，a取值范围为．（10分）解析：（1）求出f（x）=|x-3|+|x-4|与直线y=2交点的横坐标为和，由此能求出不等式的定义域．（2）函数y=ax-1的图象是过点（0，-1）的直线，作出图象，结合图象能求出实数a的取值范围．本题考查函数的定义域的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．。
2020年甘肃省三校生高考数学卷
2020年甘肃省三校生高考数学试卷一、单项选择（每小题3分，共21分）1.已知集合A={x||x|<3}，集合B={x|−1<x<5}，则A∩B=（）A.{x|−1<x<5}B.{x|−1<x<3}C.{x|−1<x<−5}D.{x|−1≤x≤3}2.函数y=lg3x+√x+2的定义域为（）A.{x|x>0}B.{x|x≥−2}C.{x|x≥0}D.{x|x≥−2且x≠0}3.下列等式中，错误的是（）8=(−2)14 C.lg1000=3 D.lg2t lg5=1A.√3√3=334B.√(−2)24.若sinα>0且cosα<0，则点P(tan α,−tanα)位于第几象限（）A.一B.二C.三D.四5.数列的通项公式为a n=(−1)n+1cos nπ，则数列的第10项为（）4A.1B.-1C.0D.0√22的直线，与直线x−√3y+1=0的位置关系是（）6.过点(1,2)且倾斜角为π3A.平行B.重合C.相交但不垂直D.垂直7.平面α外一条直线L与平面α内的两条直线a，b都垂直，则直线L与平面α的关系是（）A. 平行B. 垂直C.异面D.不能确定二、填空题（每小题3分，共2分），则tanα=_______________.1.若α为第四象限角，且cosα=452.在等差数列{a n}中，若a3=−4，a7=8，则该数列的前10项和s10=______________.3.已知向量a=(−2,3)，b=(3,1)，则|2a+b|=______________.4.袋中有除颜色外，外形、质量等完全相同的5个球，其中3个白球、2个红球，从中任取两球，取到的全是红球的概率为______________三、解答题（第1小题5分、第2、第3小题各6分，共17分）1.已知向量a=(1,−2)，b=(3−k,k),若a⊥b，求k的值。
甘肃省张掖市2020届高三数学第一次(12月)诊断联考试题 文(无答案)
张掖市2020年度高三第一次诊断考试数学（文科）第I 卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}|20A x x =+=，集合{}2|40B x x =-=，则A B =I （ ）A ．{}2-B ．{}2 C ．{}2,2-D ．∅2．i 是虚数单位，=（ ） A.1+2i B.﹣1﹣2iC.1﹣2iD.﹣1+2i3．等差数列}{n a 中，23a =，349a a +=，则61a a 的值为（ ）A ．14B ．18C ． 21D ．274．为了得到函数)12cos(+=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象上所有的点（ ） A. 向左平移21个单位长度 B. 向右平移21个单位长度 C. 向左平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度5．一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A.πB.34π+C.4π+D.24π+6．设m 、n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A ．m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n C ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ．则α⊥βD ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β7．已知M 是ABC ∆内的一点，且AB AC 23⋅=u u u r u u u r，BAC 30∠=o，若MBC ∆，MCA ∆，MAB ∆的面积分别为x y1,,2，则x y 14+的最小值为（ ）A.20B.18C.16 D .9 8．函数cos y x x =+的大致图像是（ ）9．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（ ） A. 0.42B. 0.28C. 0.3D. 0.710．某程序框图如图所示，则输出的n 值是( )A ．21B ．22C ．23D ．2411．已知二次曲线224x y m +=1，则当[]1,2--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）A．2 B．[2 C． D． 12．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即{}.x m = 在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题：①11()22f -=；②(3.4)0.4f =-；③11()()44f f -<；④()y f x =的定义域是R ，值域是11[,]22-. 则其中真命题的序号是 （ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④ 第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13．已知函数212log ()y x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_______ _____．14．过抛物线x y 42=的焦点作一条直线交抛物线于B A ,两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为2，则||AB 等于 . 15．设a ρ为单位向量，①若a ρ为平面内的某个向量，则a ρ＝|a ρ|·0a ρ；②若0a ρ与a ρ平行，则a ρ＝|a ρ|·0a ρ；③若0a ρ与a ρ平行且|a ρ|＝1，则a ρ＝0a ρ.上述命题中，假命题个数是________．16．已知函数()()244,1,ln 43,1,x x f x g x xx x x ⎧-≤⎪==⎨-+>⎪⎩，则函数()()y f x g x =-的零点个数为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本大题12分） 已知数列{}n a 与{}n b ，若13a =且对任意正整数n 满足12,n n a a +-= 数列{}n b 的前n 项和2n nS n a =+．（I ）求数列{}{}n n a b ,的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和.n T18．（本大题12分）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD ACD -，且这个几何体的体积为10． （I ）求棱1A A 的长；（II ）若11A C 的中点为1O ，求异面直线1BO 与11A D 所成角的余弦值.19．（本大题12分）某小组共有A 、B 、C 、D 、E 五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指 AB C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标19.2 25.1 18.5 23.3 20.9（I ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率； （II ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[)18.5,23.9中的概率．20．（本大题12分）已知椭圆：()222210y x a b a b +=>>，离心率为22，焦点()()120,,0,F c F c -过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，且△MN F 2的周长为4. (I) 求椭圆方程;(II) 与y 轴不重合的直线l 与y 轴交于点P(0,m)(m ≠0),与椭圆C 交于相异两点A,B 且AP PB λ=u u u r u u u r .若4OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r,求m 的取值范围。
甘肃省张掖市全市高三备考质量检测第三次诊断考试数学(文)试题及答案
张掖市高考备考第三次诊断考试数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则集合的元素的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 设是虚数单位，，则复数的虚部是（）A. B. C. D.3. 已知向量与满足，，，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.4. 已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.5. 设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为（）A. 2B. 8C. 28D. 226. 已知，则（）A. B. C. D.7. 已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（）A. B. C. D.8. 已知点是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，若，则线段中点的纵坐标为（）A. B. C. D.9. 等比数列的前三项和，若，，成等差数列，则公比（）A. 2或B. 或C. 或D. 或10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 64B. 32C. 96D. 4811. 已知底面为正方形的四棱锥，各侧棱长都为，底面面积为16，以为球心，2为半径作一个球，则这个球与四棱锥相交部分的体积是（）A. B. C. D.12. 已知函数有唯一零点，则负实数（）A. B. C. D. 或第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某校高一年级3个学部共有800名学生，编号为：001,002，…，800，从001到270在第一学部，从271到546在第二学部，547到800在第三学部．采用系统抽样的方法从中抽取100名学生进行成绩调查，且随机抽取的号码为004，则第二学部被抽取的人数为__________．14. 更相减损术是出自《九章算术》的一种算法．如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入，，则输出的值为__________．15. 已知函数若，，互不相等，且，则的取值范围是__________．16. 过点做直线（，不同时为零）的垂线，垂足为，已知点，则的取值范围是__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知，，设函数．（1）求函数的单调增区间；（2）设的内角，，所对的边分别为，，，且，，成等比数列，求的取值范围．18. 某医药公司生产五中抗癌类药物，根据销售统计资料，该公司的五种药品，，，，的市场需求量（单位：件）的频率分布直方图如图所示．（1）求的值；（2）若将产品的市场需求量的频率视为概率，现从、两种产品中利用分层抽样的方法随机抽取5件，然后从这5件产品中任取3件，求“至少有2件取自产品”的概率．19. 在梯形中（图1），，，，过、分别作的垂线，垂足分别为、，已知，，将梯形沿、同侧折起，使得，，得空间几何体（图2）．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．20. 已知函数（为实数）．（1）当与切于，求，的值；（2）设，如果在上恒成立，求的范围．21. 已知椭圆：的离心率为，圆：与轴交于点、，为椭圆上的动点，，面积最大值为．（1）求圆与椭圆的方程；（2）圆的切线交椭圆于点、，求的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标为．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线和曲线有三个公共点，求以这三个公共点为顶点的三角形的面积．23. 已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围．张掖市高考备考第三次诊断考试数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则集合的元素的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】故选B.2. 设是虚数单位，，则复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】复数的虚部是.故选A.3. 已知向量与满足，，，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C则故选C.4. 已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】命题命题：，，是真命题；命题：若，则是假命题，故是真命题，故选B．5. 设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为（）A. 2B. 8C. 28D. 22 【答案】C【解析】作出变量，满足约束条件的可行域：将目标函数变形为，作直线将其平移至时，纵截距最大，最大．由得所以的最大值．故选C．6. 已知，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题故选D.7. 已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：要是函数的值域为R，需使，∴，∴，故选C.考点：函数图象、函数值域、不等式组的解法.8. 已知点是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，若，则线段中点的纵坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵是抛物线的焦点，准线方程设解得∴线段的中点横坐标为故选B．【点睛】本题考查抛物线上的点到焦点的距离问题，其中利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是解题的关键．9. 等比数列的前三项和，若，，成等差数列，则公比（）A. 2或B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】设等比数列的公比为，由成等差数列，所以，即①，又②，由①得：③，得：，解得：或故选C．10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 64B. 32C. 96D. 48【答案】A【解析】根据几何体的三视图如图所示可知,该几何体为一个长方体挖去一个顶点在长方体的下底面,底面为正方形且与长方体的上底面相同的四棱锥,体积为长方体的体积减去四棱锥的体积,故正确答案为A.点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.11. 已知底面为正方形的四棱锥，各侧棱长都为，底面面积为16，以为球心，2为半径作一个球，则这个球与四棱锥相交部分的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】构造棱长为4的正方体,四棱锥O-ABCD的顶点O为正方体的中心,底面与正方体的一个底面重合.可知所求体积是正方体内切球体积的,所以这个球与四棱锥O-ABCD相交部分的体积是:. 本题选择C选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．12. 已知函数有唯一零点，则负实数（）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】函数有有唯一零点，设则函数有唯一零点，则3e|t|-a（2t+2-t）=a2，设∴为偶函数，∵函数有唯一零点，∴与有唯一的交点，∴此交点的横坐标为0，解得或（舍去），故选A．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某校高一年级3个学部共有800名学生，编号为：001,002，…，800，从001到270在第一学部，从271到546在第二学部，547到800在第三学部．采用系统抽样的方法从中抽取100名学生进行成绩调查，且随机抽取的号码为004，则第二学部被抽取的人数为__________．【答案】【解析】因为间隔为，且随机抽的号码为004，则随机抽取的号码构成一个等差数列，通项公式为，由，即，即，共有34人.故答案为34.【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔，利用等差数列进行求解是解决本题的关键．14. 更相减损术是出自《九章算术》的一种算法．如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入，，则输出的值为__________．【答案】【解析】输入，执行程序框图，第一次；第二次；第三次；第四次，满足输出条件，输出的的值为，故答案为.15. 已知函数若，，互不相等，且，则的取值范围是__________．【答案】【解析】作出函数的图象如图，直线交函数图象于如图，不妨设由正弦曲线的对称性，可得关于直线对称，因此当直线线向上平移时，经过点时图象两个图象恰有两个公共点（此时重合），所以时，两个图象有三个公共点，此时满足，由可得，因此可得故答案为．【点睛】本题以三角函数和对数函数为例，考查了函数的零点与方程根个数讨论等知识点．其中利用数形结合，观察图象的变化，从而得出变量的取值范围是解决本题的关键．16. 过点做直线（，不同时为零）的垂线，垂足为，已知点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】直线（，不同时为零）化为令解得∴直线过定点．∴点在以为直径的圆上，圆心为线段的中点，半径线段MN长度的最大值线段MN长度的最大值故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知，，设函数．（1）求函数的单调增区间；（2）设的内角，，所对的边分别为，，，且，，成等比数列，求的取值范围．【答案】(1)，．(2).【解析】试题分析：（1）由题，根据正弦函数的性质可求其单调增区间；（2）由题可知，（当且仅当时取等号），所以，，由此可求的取值范围．试题解析：（1），令，则，，所以函数的单调递增区间为，．（2）由可知，（当且仅当时取等号），所以，，，综上，的取值范围为．18. 某医药公司生产五中抗癌类药物，根据销售统计资料，该公司的五种药品，，，，的市场需求量（单位：件）的频率分布直方图如图所示．（1）求的值；（2）若将产品的市场需求量的频率视为概率，现从、两种产品中利用分层抽样的方法随机抽取5件，然后从这5件产品中任取3件，求“至少有2件取自产品”的概率．【答案】(1)；(2)0.3.【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图可得，由此可求的值；（2）由（1）知，产品的市场需求量的频率为：，产品的市场需求量的频率为：，利用古典概型可求“至少有2件取自产品”的概率．故从两件产品中利用分层抽样的方法抽取5件产品，则产品有2件，试题解析：（1）由频率分布直方图可得，组距为：20，所以，解得．（2）由（1）知，产品的市场需求量的频率为：，产品的市场需求量的频率为：，故从两件产品中利用分层抽样的方法抽取5件产品，则产品有2件，分别记作，，产品有3件，分别记作，，，从中任取3件，所有不同结果为：，，，，，，，，，共10种，其中“至少有2件取自产品”的结果有，，共3种，所以“至少有2件取自产品”的概率为．19. 在梯形中（图1），，，，过、分别作的垂线，垂足分别为、，已知，，将梯形沿、同侧折起，使得，，得空间几何体（图2）．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）连接交于，取的中点，连接，由三角形中位线定理可得，由已知得，所以，由线面平行的判定可得BE∥面ACD；．（2）由已知得，四边形为正方形，可证面，所以，又，进而证明平面，故面，所以是三棱锥的高，四边形是直角梯形，则由可求体积.试题解析：（1）证明：连接交于，取的中点，连接，则是的中位线，所以，由已知得，所以，连接，又因为面，面，所以面，即面．学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...．20. 已知函数（为实数）．（1）当与切于，求，的值；（2）设，如果在上恒成立，求的范围．【答案】(1)，；(2).【解析】【试题分析】（1）根据切点和斜率,列出方程组,解出的值.(2)化简出的表达式后,对其求导.注意到,对分类讨论函数的单调区间,使得函数的最小值大于,即可求得的取值范围.【试题解析】（1），由与切于点，则解得，．（2），∴，且．①当时，，可知在递增，此时成立；②当时，，可知在递增，在递减，此时，不符合条件；③当时，恒成立，可知在递减，此时成立，不符合条件；④当时，，可知在递减，此时成立，不符合条件；⑤当时，，可知在递增，此时成立．综上所述，．【点睛】本小题主要考查导数与切线问题,考查利用导数分类讨论函数的极值和最值的问题,考查了分类讨论的数学思想方法. 解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；另外，函数的单调区间不能出现“并”的错误写法.分类讨论要做到不重不漏.21. 已知椭圆：的离心率为，圆：与轴交于点、，为椭圆上的动点，，面积最大值为．（1）求圆与椭圆的方程；（2）圆的切线交椭圆于点、，求的取值范围．【答案】(1)，.(2).【解析】试题分析：（1）由离心率公式和的关系，结合椭圆的定义可得即为椭圆的焦点，可得，再由位于椭圆短轴端点时，的面积取得最大值，解方程即可得到的值，即有圆和椭圆的方程；（2）讨论直线的斜率不存在时，求得切线的方程，代入椭圆方程可得交点和弦长；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，运用直线和圆相切的条件，再由直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，化为的函数式，运用换元法和二次函数的最值求法，即可得到所求弦长的范围．试题解析：（1）由题意得，解得，①因为，所以，点、为椭圆的焦点，所以，设，则，所以，当时，，代入①解得，所以，，所以，圆的方程为，椭圆的方程为．（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，因为直线与圆相切，所以，即，联立消去可得，，，，，令，则，所以，，所以，所以；②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得，，．综上，的取值范围是．【点睛】本题考查圆的方程和椭圆方程的求法和运用，考查直线和相切的条件，以及直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标为．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线和曲线有三个公共点，求以这三个公共点为顶点的三角形的面积．【答案】(1)，；(2)4.【解析】试题分析：（1）由消去参数，得，即为曲线的普通方程.由得，结合互化公式可得曲线的直角坐标方程.因为曲线和曲线都是关于轴对称的图形，它们有三个公共点，所以原点是它们的其中一个公共点，所以中，解得三个交点的坐标分别为，，，即可得到以这三个公共点为顶点的三角形的面积.试题解析：（1）由消去参数，得，即为曲线的普通方程.由得，结合互化公式得，即为曲线的直角坐标方程.（2）因为曲线和曲线都是关于轴对称的图形，它们有三个公共点，所以原点是它们的其中一个公共点，所以中，解得三个交点的坐标分别为，，，所以所求三角形面积.23. 已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由，得，两边同时平方可解不等式；（2）当时，问题可转化为，即对恒成立，由此可求的取值范围．试题解析：（1）由，得，不等式两边同时平方得，解得，∴所求不等式的解集为．（2）当时，，∴，即对恒成立，即对恒成立，又，∴且，∴．。
2020届甘肃省普通高中高三年级下学期第一次高考诊断性考试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前甘肃省普通高中2020届高三年级下学期第一次高考诊断性考试数学(理)试题(解析版)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}1A x x =<，{}21x B x =<，则AB =（ ） A. ()1,0-B. ()0,1C. ()1,-+∞D. (),1-∞ 【答案】D【解析】【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集. 【详解】解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210x B x x x =<=< A B =(),1-∞故选：D【点睛】考查集合的并集运算，基础题.2.已知()32z i i =-,则z z ⋅=（ ）A. 5B.C. 13D.【答案】C【解析】【分析】先化简复数()32z i i =-,再求z ,最后求z z ⋅即可.【详解】解：()3223z i i i =-=+,23z i =-222313z z ⋅=+=,故选：C【点睛】考查复数的运算,是基础题.3.已知平面向量a ,b 满足()1,2a =-,()3,b t =-,且()a a b ⊥+,则b =（ ）A. 3B.C.D. 5 【答案】B【解析】【分析】先求出a b +,再利用()0a a b ⋅+=求出t ,再求b .【详解】解：()()()1,23,2,2t t a b -+-=-=-+由()a a b ⊥+,所以()0a a b ⋅+= ()()()12220t ⨯-+-⨯-=,1t =,()3,1b =-,10=b故选：B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算,是基础题.4.已知抛物线()220y px p =>经过点(M ,焦点为F ,则直线MF 的斜率为（ ）A. B. 4 C. 2 D. -【答案】A【解析】。
甘肃省张掖市2020届高三年级第三次诊断考试数学(理)试题
张掖市2020届高三年级第三次诊断考试数学试卷（理）一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为（）A．B．C．D．2.设集合，则（）A．B．C．D．3．右图是一容量为的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（）A．11 B．11.5 C．12 D．12.54. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的值为（）参考数据：，，.A. 12B. 24C. 48D. 965．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6. 已知，为单位向量，当的夹角为时，在上的投影为（）A．B．C．D．7.的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．B．C．D．8．已知函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数的图象，当时，方程有两个不同的实根，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．9.已知函数的定义域为，当时，，对任意的，成立，若数列满足，且，则的值为（）A．B．C．D．10. 如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（）A．B．C．D．11. 如图，已知双曲线的右顶点为为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，，若，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12. 已知函数，若对恒成立（是自然对数的底数），则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______．14. 设函数，若，，则等于______．15. 已知数列中，，设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．16. 已知的准线交轴于点，焦点为，过且斜率大于0的直线交于，，则______．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）已知向量，设函数（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，，求的值．18．（本小题满分12分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对位已经选拔入围的学生进行运动协调能一般良好优秀一般良好优秀例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有人．由于部分数据丢失，只知道从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．(Ⅰ)求，的值；(Ⅱ)从参加测试的位学生中任意抽取位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；(Ⅲ)从参加测试的位学生中任意抽取位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随机变量的分布列及其数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，底面，，为的中点，为的中点，，.（Ⅰ）求与平面成角的正弦值；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得平面.若存在，请说明点N的位置，若不存在，请说明理由.20．（本小题满分12分）如图，设椭圆：，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率是．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程．21. （本小题满分12分）已知函数．(1)若，证明：当时,；(2)设，若函数在上有2个不同的零点，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题共10分）在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的参数方程为，（为参数），曲线的普通方程为，点的极坐标为．（I）求直线的普通方程和曲线的极坐标方程；（II）若将直线向右平移2个单位得到直线，设与相交于两点，求的面积．23．（本小题共10分）设（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）若存在实数满足，试求实数的取值范围.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案A D CB D D D DC B A A13.6, 14.23, 15. 1t <, 16.17. （1）2311()3cos cos 1cos 22222x x x f x x x =-+=-+1sin 62x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 令222,22()26233k x k k x k k Z πππππππππ-≤-≤+-≤≤+∈ 6分所以所求增区间为2[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈ 7分（2）由226cos a b ab C +=，2sin 2sin sin C A B =，22c ab = 8分2226cos 2cos 3cos 122a b c ab C ab C C ab ab +--===-，即1cos 2C = 10分 又∵0C π<<，3C π= 11分 ()()13f C f π∴== 12分18． 解析：(Ⅰ)设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人． 则62()205a P A +==．解得 2a =．所以4b = …………… 4分 (Ⅱ)设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．则21222062()1()195C P B P B C =-=-=． …………… 7分（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2．20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．所以21222033(0)95C P C ξ===，1112822048(1)95C C P C ξ===，2822014(2)95C P C ξ===．所以ξ的分布列为所以，0E ξ=⨯33951+⨯48952+⨯1495764955==． …………… 12分19． （Ⅱ）解：在平面ABC 中，过点A 作，BC AD // 因为 ⊥BC 平面PAC ，所以 ⊥AD 平面PAC ，由 PA ⊥底面ABC ，得PA ，AC ，AD 两两垂直，……………… 1分所以以A 为原点，AD ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,1,1)H ，11(0,,)22M . 设平面AHB 的法向量为(,,)x y z =n ，因为 (0,1,1)AH =u u u r，(1,2,0)AB =u u u r ， 由 0,0,AH AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 得 0,20,y z x y +=⎧⎨+=⎩ 令1=z ，得(2,1,1)=-n . ……………… 4分设PM 与平面AHB 成角为θ， 因为)23,21,0(-=，所以ξ12P339548951495ABCPHMNzxyDsin cos ,PM PM PM θ⋅=<>==⋅u u u u r u u u u r u u u u r n n n，即sin θ=. ……………… 7分（Ⅲ）解：因为 (1,2,2)PB =-u u u r ，设PN PB λ=u u u r u u u r ，所以 (,2,2)PN λλλ=-u u u r ， 又因为 13(0,,)22PM =-u u u u r ，所以13(,2,2)22MN PN PM λλλ=-=--u u u u r u u u r u u u u r . 因为 //MN 平面ABC ，平面ABC 的法向量(0,0,2)AP =u u u r，所以 340MN AP λ⋅=-=u u u u r u u u r ，解得 43=λ. -----11 即点N 是靠近点B 的四等分点 …………… 12分20．【解析】（Ⅰ）∵椭圆1C ： 22221(0)x y a b a b+=>>，长轴的右端点与抛物线2C ： 28y x =的焦点F 重合，∴2a =，又∵椭圆1C的离心率是2，∴c = 1b =，∴椭圆1C 的标准方程为2214x y +=．……………………………………………..4分（Ⅱ）过点()2,0F 的直线l 的方程设为2x my =+，设()11,A x y ， ()22,B x y ，联立22,{8,x my y x =+=得28160y my --=，∴128y y m +=， 1216y y =-，∴()281AB m ==+．过F 且与直线l 垂直的直线设为()2y m x =--，联立()222,{1,4y m x x y =--+=得()222214161640m x m x m +-+-=，2216214C m x m +=+，故()2224141C m x m -=+，∴2441C F CF x m =-=+ ABC ∆面积()221611241m S AB CF m +=⋅=+t =，则()321643tS f t t ==-， ()()()42221649'43t t f t t -=-， 令()'0f t =，则294t =，即2914m +=时， ABC ∆面积最小，即当2m =±时， ABC ∆面积的最小值为9，此时直线l 的方程为22x y =±+．……………………………………..12分21.（1）当a=1时...因为，所以，所以在时单调递减，所以，即.……………………………………………3分（2）法一：（i）当时，没有零；……………………………………………..4分（ii）当时，，当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.故是在上最小值…………6分①若，即时，在上没有零点； (7)分②若，即时，在上只有1个零点；……………………………………………8分③若，即时，由于，所以在（0，2）上有1个零点，………………………9分由（1）知，当时，，因为，所以.故在（2，4a）上有1个零点，因此在上有2个不同的零点。
2020年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷(理科)含答案解析
2020年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3=3，S9﹣S6=27，则该数列的首项a1等于（）A．B．C．D．4．某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的N=5，则输出i=（）A．6 B．7 C．8 D．95．双曲线﹣2y2=1的渐近线与圆x2+（y+a）2=1相切，则正实数a的值为（）A．B． C．D．6．在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．34137．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．16πB．4πC．8πD．2π8．已知ω＞0，函数f（x）=cos（ωx+）在（，π）上单调递增，则ω的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]9．在△ABC中， +=2，||=1，点P在AM上且满足=2，则•（+）等于（）A．B．C．﹣D．﹣10．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数f′（x），f′（0）＞0，且f（x）的值域为[0，+∞），则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．11．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使=，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（，1）12．若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式的展开式中常数项为．14．若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是．15．我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值．16．设数列{a n}，（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则[++…+]=．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．设函数f（x）=sin2x﹣cos2（x+）．（1）若x∈（0，π），求f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，b=1，求△ABC面积的最大值．18．某超市从2020年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如图：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=2，AA1=2，∠ACB=90°，M是AA1的中点，N是BC1的中点（1）求证：MN∥平面A1B1C1；（2）求点C1到平面BMC的距离；（3）求二面角B﹣C1M﹣A1的平面角的余弦值大小．20．设抛物线C的方程为x2=4y，M为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．（Ⅰ）当M的坐标为（0，﹣1）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；（Ⅱ）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=e x﹣（x＞﹣1）．（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当a＞0时，设f（x）在x=x0处取得最小值，求证：f（x0）≤1．选做题[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是☉O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交☉O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE 是☉O的切线；（Ⅱ）若=，求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设a，b，c为正数，且a+b+4c=m，求++的最大值．2020年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数，得出其共轭复数．【解答】解：==，∴复数的共轭复数是+．故选：A．2．若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．【解答】解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选A．3．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3=3，S9﹣S6=27，则该数列的首项a1等于（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a3=3，S9﹣S6=27，可得，解得a1=．故选：D．4．某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的N=5，则输出i=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】计算循环中n与i的值，当n=1时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：模拟执行程序，可得n=5，i=1执行循环体，满足条件n是奇数，n=16，i=2，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=8，i=3，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=4，i=4，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=2，i=5，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=1，i=6，满足条件n=1，退出循环，输出i的值为6．故选：A．5．双曲线﹣2y2=1的渐近线与圆x2+（y+a）2=1相切，则正实数a的值为（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据圆方程，得到圆心坐标C（0，﹣a），圆与双曲线的渐近线相切，说明C到渐近线的距离等于半径1，列出方程求出a的值即可．【解答】解：圆x2+（y+a）2=1∴圆心坐标C（0，﹣a），圆的半径为：1．∵双曲线的渐近线为x±2y=0，双曲线的渐近线与圆x2+（y+a）2=1相切，∴C到渐近线的距离为，解得a=故选：C．6．在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．3413【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，也就是x在（0，1）的概率．【解答】解：正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]=×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p==0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359=1359．故选B．7．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．16πB．4πC．8πD．2π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，并判断出位置关系，判断出几何体的外接球的球心位置，从而求出外接球的半径，代入求的表面积公式求解即可．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，如图：底面是一个直角三角形，AC⊥BC，D是AB的中点，PD⊥平面ABC，且AC=、BC=1，PD=1，∴AB==2，AD=BD=CD=1，∴几何体的外接球的球心是D，则球的半径r=1，即几何体的外接球表面积S=4πr2=4π，故选：B．8．已知ω＞0，函数f（x）=cos（ωx+）在（，π）上单调递增，则ω的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数y=cosx的单调递增区间，结合函数在（，π）上单调递增，得出关于ω的不等式（组），从而求出ω的取值范围．【解答】解：∵函数y=cosx的单调递增区间是[﹣π+2kπ，2kπ]，k∈Z；∴﹣π+2kπ≤ωx+＜ωπ+≤2kπ，k∈Z；解得： +≤x≤﹣（k∈Z），∵函数f（x）=cos（ωx+）在（，π）上单调递增，∴（，π）⊆[+，﹣]（k∈Z），解得4k﹣≤ω≤2k﹣；又∵4k﹣﹣（2k﹣）≤0，且4k﹣＞0，∴k=1，∴ω∈[，]．故选：D．9．在△ABC中， +=2，||=1，点P在AM上且满足=2，则•（+）等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】易得M是BC的中点，P是三角形ABC的重心，进而得•（+）=，由数量积的定义可得答案．【解答】解：：由题意易知：M是BC的中点，P是三角形ABC的重心，因为，所以，，所以•（+）=．故选D．10．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数f′（x），f′（0）＞0，且f（x）的值域为[0，+∞），则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．【考点】二次函数的性质．【分析】由f（x）的值域为[0，+∞），可得对于任意实数x，f（x）≥0成立求出a的范围及a，b c的关系，求出f（1）及f′（0），作比后放缩去掉c，通分后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵f（x）的值域为[0，+∞），即f（x）≥0恒成立，∴，∴c=．又f′（x）=2ax+b，∴f′（0）=b＞0，f（1）=a+b+c．∴=1+=1+=1+≥1+=2．当且仅当4a2=b2时，“=”成立．即的最小值为2故选：C．11．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使=，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（，1）【考点】正弦定理；椭圆的简单性质．【分析】由“”的结构特征，联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解出x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．【解答】解：在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：aPF1=cPF2设点P（x0，y0）由焦点半径公式，得：PF1=a+ex0，PF2=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解得：x0==由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则＞﹣a，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜﹣﹣1或e＞﹣1，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈（﹣1，1），故选D．12．若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）【考点】函数的图象．【分析】由题意可得e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围．【解答】解：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，且函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，∴h（0）=e0﹣﹣lna＞0，∴lna＜ln，∴a＜，∴a的取值范围是（﹣∞，），故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式的展开式中常数项为7．【考点】二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：展开式的通项是=令解得r=6故展开式的常数项为=7故答案为714．若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是24．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x易得最大值和最小值，作差可得答案．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x可知当直线经过点A（8，0）时，目标函数取最小值b=﹣8，当直线经过点B（4，4）时，目标函数取最大值a=16，∴a﹣b=16﹣（﹣8）=24故答案为：2415．我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值．【考点】类比推理．【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．【解答】解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=a，BO=AO=，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，故答案为：a．16．设数列{a n}，（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则[++…+]=2020．【考点】等差数列的通项公式．【分析】构造b n=a n+1﹣a n，可判数列{b n}是4为首项2为公差的等差数列，累加法可得a n=n （n+1），裂项相消法可得答案．【解答】解：构造b n=a n+1﹣a n，则b1=a2﹣a1=4，由题意可得（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=b n+1﹣b n=2，故数列{b n}是4为首项2为公差的等差数列，故b n=a n+1﹣a n=4+2（n﹣1）=2n+2，=2n，故a2﹣a1=4，a3﹣a2=6，a4﹣a3=8，…，a n﹣a n﹣1以上n﹣1个式子相加可得a n﹣a1=，解得a n=n（n+1），故++…+=2020（++…+）=2020（1﹣+﹣+…+﹣）=2020﹣，∴[++…+]=2020，故答案为：2020．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．设函数f（x）=sin2x﹣cos2（x+）．（1）若x∈（0，π），求f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，b=1，求△ABC 面积的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；余弦定理．【分析】（1）由三角恒等变换化简f（x），由此得到递增区间．（2）由等式得到，利用余弦定理及三角形面积公式即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，==，由，可解得：．又因为x∈（0，π），所以f（x）的单调递增区间是和．（Ⅱ）由，可得，由题意知B为锐角，所以，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：，即，且当a=c时等号成立，因此，所以△ABC面积的最大值为．18．某超市从2020年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如图：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）按照题目要求想结果即可．（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．求出P（A），P（B），P（C）．（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）a=0.015；…s12＞s22．…（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3．…所以．…（Ⅲ）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3．…P（X=0）=C30×0.30×0.73=0.343，P（X=1）=C31×0.31×0.72=0.441，P（X=2）=C32×0.32×0.71=0.189，P（X=3）=C33×0.33×0.70=0.027．所以X的分布列为X 0 1 2 3P 0.343 0.441 0.189 0.027…所以X的数学期望EX=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．…19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=2，AA1=2，∠ACB=90°，M是AA1的中点，N是BC1的中点（1）求证：MN∥平面A1B1C1；（2）求点C1到平面BMC的距离；（3）求二面角B﹣C1M﹣A1的平面角的余弦值大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）由直三棱柱的几何特征，取B1C1中点D，连接ND、A1D，易得四边形A1MND 为平行四边形，然后由线面平行的判定定理得到MN∥平面A1B1C1；（2）可证BC⊥平面A1MC1，在平面ACC1A1中，过C1作C1H⊥CM，又BC⊥C1H，所以C1H为点C1到平面BMC的距离，在等腰三角形CMC1中，可求C1H的长．（3）在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于点E，A1C1于点F，则CE为BE在平面ACC1A1上的射影，可得BEF为二面角B﹣C1M﹣A的平面角，在等腰三角形CMC1中，可求∠BEC，即可求得∠BEF，从而可求二面角B﹣C1M﹣A1的平面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图所示，取B1C1中点D，连接ND、A1D，则DN∥BB1∥AA1又DN=BB1=AA1=A1M，∴四边形A1MND为平行四边形．∴MN∥A1D又MN⊄平面A1B1C1，AD1⊂平面A1B1C1∴MN∥平面A1B1C1；（2）解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，C1C⊥BC∵∠ACB=90°，∴BC⊥平面A1MC1，在平面ACC1A1中，过C1作C1H⊥CM，又BC⊥C1H，所以C1H为点C1到平面BMC的距离在等腰三角形CMC1中，C1C=2，CM=C1M=∴C1H=．（3）解：在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于点E，A1C1于点F，则CE为BE在平面ACC1A1上的射影，∴BE⊥C1M，∴∠BEF为二面角B﹣C1M﹣A的平面角，在等腰三角形CMC1中，CE=C1H=，∴tan∠BEC=∴∠BEC=arctan，∴∠BEF=π﹣arctan，∴cos∠BEF=即二面角B﹣C1M﹣A1的平面角的余弦值为20．设抛物线C的方程为x2=4y，M为直线l：y=﹣m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．（Ⅰ）当M的坐标为（0，﹣1）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；（Ⅱ）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）设过M点的切线方程，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx+4=0，令△=0，可得A，B的坐标，利用M到AB的中点（0，1）的距离为2，可得过M，A，B三点的圆的方程，从而可判断圆与直线l：y=﹣1相切；（Ⅱ）设切点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l上的点为M（x0，y0），可得x1，x2是方程x2﹣2x0x+4y0=0的两实根，从而k MA•k MB==y0，由此可得结论．【解答】解：（Ⅰ）当M的坐标为（0，﹣1）时，设过M点的切线方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx+4=0，①令△=（4k）2﹣4×4=0，解得k=±1，代入方程①得x=±2，故得A（2，1），B（﹣2，1）．因为M到AB的中点（0，1）的距离为2，从而过M，A，B三点的圆的标准方程为x2+（y ﹣1）2=4．∵圆心坐标为（0，1），半径为2，∴圆与直线l：y=﹣1相切．…（Ⅱ）设切点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l上的点为M（x0，y0），过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为y﹣y1=k（x﹣x1），因为，k=，从而过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为y﹣y1=（x﹣x1），又切线过点M（x0，y0），所以得y0=x0﹣，即．同理可得过点B（x2，y2）的切线方程为，…因为k MA=，k MB=，且x1，x2是方程x2﹣2x0x+4y0=0的两实根，所以所以k MA•k MB==y0，当y0=﹣1，即m=1时，直线l上任意一点M均有MA⊥MB，…当y0≠﹣1，即m≠1时，MA与MB不垂直．综上所述，当m=1时，直线l上存在无穷多个点M，使MA⊥MB，当m≠1时，直线l上不存在满足条件的点M．…21．设函数f（x）=e x﹣（x＞﹣1）．（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当a＞0时，设f（x）在x=x0处取得最小值，求证：f（x0）≤1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）当a=1时，求出函数f（x）的解析式和导函数，利用f′（x）＞0，函数单调递增，f′（x）＜0，函数单调递减；（2）当a＞0时，求导，利用导数求得函数的单调性，根据单调性求得函数的最小值，利用f′（x0）=0，求得a的值，构造辅助函数g（x）=e x（﹣x2﹣x+1），（x＞﹣1），求导，求出函数的g（x）的极大值，由g（x）≤g（0）=0，即可证明f（x0）≤1．【解答】解：（1）当a=1时，f′（x）=e x﹣，∵e x单调递增，﹣（x＞﹣1）单调递增，∴f′（x）在（﹣1，+∞）单调递增，且f′（0）=0，∴当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，故f（x）在（﹣1，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）证明：当a＞0时，f′（x）=e x﹣，∵e x单调递增，﹣（x＞﹣1）单调递增，∴f′（x）在（﹣1，+∞）单调递增．又f′（2﹣1）=e﹣＞﹣，当b满足﹣1＜b＜且b＜0时，f′（b）＜0，故f′（x）存在唯一零点，设零点为x1，当x∈（﹣1，x1）时，f′（x）＜0；当x∈（x1，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣1，x1）单调递减，在（x1，+∞）单调递增，∴当x=x1时，f（x）取得最小值，由条件可得x1=x0，f（x）的最小值为f（x0）．由于f′（x0）=e﹣=0，∴a=e x0•（x0+1）2，f（x0）=e x0﹣=e x0﹣e x0•x0•（x0+1）=e x0（﹣x02﹣x0+1），设g（x）=e x（﹣x2﹣x+1），（x＞﹣1），则g′（x）=e x（﹣x2﹣3x）=﹣x（x+3）e x，令g′（x）＞0，得﹣1＜x＜0；令g′（x）＜0，得x＞0，故g（x）在（﹣1，0）单调递增，（0，+∞）单调递减，g（x）≤g（0）=0，故f（x0）=g（x0）≤1．选做题[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是☉O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交☉O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE 是☉O的切线；（Ⅱ）若=，求的值．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）连结OD，由圆的性质得OD∥AE，由AE⊥DE，得DE⊥OD，由此能证明DE是⊙O切线．（Ⅱ）过D作DH⊥AB于H，则有cos∠DOH=cos∠CAB==，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，AH=7x，由已知得△AED≌AHD，△AEF∽△DOF，由此能求出．【解答】（Ⅰ）证明：连结OD，由圆的性质得∠ODA=∠OAD=∠DAC，OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，又OD为半径，∴DE是⊙O切线．（Ⅱ）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，cos∠DOH=cos∠CAB==，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，DH⊥AB，交AB于H，∴△AED≌AHD，∴AE=AH=7x，又OD∥AE，∴△AEF∽△DOF，∴====．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论；（2）联立曲线C1与曲线C2的方程，利用参数的几何意义，即可求|AB|的最大值和最小值．【解答】解：（1）对于曲线C2有，即，因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆．（2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：，∴t1+t2=2sinα，t1t2=﹣13，因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设a，b，c为正数，且a+b+4c=m，求++的最大值．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】（Ⅰ）由条件化简得f（x+2）=m﹣|x|，由绝对值不等式的解法求出不等式的解集，由解集为[﹣1，1]求出m的值；（Ⅱ）由（I）得a+b+4c=1，利用柯西不等式求出的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=m﹣|x﹣2|得，f（x+2）=m﹣|x|，由f（x+2）≥0得，|x|≤m，解得﹣m≤x≤m，∵f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]，∴m=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a，b，c为正数，且a+b+4c=m=1，∴由柯西不等式可得，≤[][]=（a+b+4c）=，当且仅当时取等号，则，∴的最大值是．2020年8月1日。
甘肃省张掖市2019-2020学年中考三诊数学试题含解析
甘肃省张掖市2019-2020学年中考三诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．将抛物线y=12x 2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ） A ．y=12（x ﹣8）2+5 B ．y=12（x ﹣4）2+5 C ．y=12（x ﹣8）2+3 D ．y=12（x ﹣4）2+32．如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，若∠A=50°10′，∠COD=100°，则∠C 等于（ ）A ．30°10′B ．29°10′C ．29°50′D ．50°10′3．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3tan 3CAB ∠=，3AB =，点D 在以斜边AB 为直径的半圆上，点M 是CD 的三等分点，当点D 沿着半圆，从点A 运动到点B 时，点M 运动的路径长为（ ）A ．π或2π B ．2π或3π C ．3π或π D ．4π或3π 4．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域，并涂上了相应 的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是 ( )A ．16B ．13 C ．12D ．235．点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）在反比例函数y= 1x的图象上，若x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 1＜y 36．某机构调查显示，深圳市20万初中生中，沉迷于手机上网的初中生约有16000人，则这部分沉迷于手机上网的初中生数量，用科学记数法可表示为（ ） A ．1.6×104人B ．1.6×105人C ．0.16×105人D ．16×103人7．某中学篮球队12名队员的年龄如下表： 年龄：（岁） 13 14 15 16 人数1542关于这12名队员的年龄，下列说法错误的是( ) A ．众数是14岁B ．极差是3岁C ．中位数是14.5岁D ．平均数是14.8岁8．如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC=30°，弦EF ∥AB ，则EF 的长度为（ ）A ．2B ．23C ．3D ．229．某市今年1月份某一天的最高气温是3℃，最低气温是—4℃，那么这一天的最高气温比最低气温高 A ．—7℃B ．7℃C ．—1℃D ．1℃10．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x 个，那么可列方程为( ) A ．30x＝456x + B ．30x＝456x - C ．306x -＝45xD ．306x +＝45x11．如图，在ABC V 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA P ，DF BA P ．下列四种说法： ①四边形AEDF 是平行四边形；②如果90BAC ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形；④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形. 其中，正确的有（ ） 个A ．1B ．2C ．3D ．412．下列分子结构模型的平面图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．抛物线y＝2x2+3x+k﹣2经过点（﹣1，0），那么k＝_____．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD 沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为_____．15．函数121y xx=-+-中自变量的取值范围是______________16．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是_____．17．学校乒乓球社团有4名男队员和3名女队员，要从这7名队员中随机抽取一男一女组成一队混合双打组合，可组成不同的组合共有_____对.18．二次函数y＝（x﹣2m）2+1，当m＜x＜m+1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数kyx=（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．（1）求a ，b 的值及反比例函数的解析式；（2）若点P 在直线y ＝﹣x+2上，且S △ACP ＝S △BDP ，请求出此时点P 的坐标；（3）在x 轴正半轴上是否存在点M ，使得△MAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，说明理由．20．（6分）如图，在等边ABC V 中，BC 5cm =，点D 是线段BC 上的一动点，连接AD ，过点D 作DE AD ⊥，垂足为D ，交射线AC 与点E.设BD 为xcm ，CE 为ycm ．小聪根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小聪的探究过程，请补充完整：()1通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：x /cm 00.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5y /cm 5.03.3 2.0 ___ 0.4 0 0.3 0.4 0.3 0.2 0(说明：补全表格上相关数值保留一位小数)()2建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； ()3结合画出的函数图象，解决问题：当线段BD 是线段CE 长的2倍时，BD 的长度约为_____cm ．21．（6分）为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB 由西向东行驶．在A 处测得岸边一建筑物P 在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B 处时，测得建筑物P 在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P 到赛道AB 的距离（结果保留根号）．22．（8分）如图，已知一次函数y=32x ﹣3与反比例函数k y x=的图象相交于点A （4，n ），与x 轴相交于点B．填空：n的值为，k的值为；以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；考察反比函数kyx=的图象，当2y≥-时，请直接写出自变量x的取值范围．23．（8分）如图所示，已知一次函数y kx b=+（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数ymx=（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD=1．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．24．（10分）解方程（2x+1）2=3（2x+1）25．（10分）当a=3，b=2时，求代数式222222a b b aba ab b a b+--++-的值．26．（12分）某校对学生就“食品安全知识”进行了抽样调查（每人选填一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）。
2020年高考模拟甘肃张掖市民乐一中(3月份)高考(理科)数学模拟试卷 含解析
2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜4}，B＝{x|﹣4＜x＜6}，则（∁R A）∩B＝（）A．{x|4＜x＜6}B．{x|﹣4＜x＜﹣3}∪{x|4＜x＜6}C．{x|4≤x＜6}D．{x|﹣4＜x≤﹣3}∪{x|4≤x＜6}2．若复数，|z|＝（）A．B．C．1D．23．等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a4＝4，a2+a5＝8，则＝（）A．2017B．2018C．2019D．20204．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用．今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U．其计算式子为，其中，kc为静电常量，x1x2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移．已知，，且（1+x）﹣1≈1﹣x+x2，则U的近似值为（）A．B．﹣C．D．﹣5．已知向量，满足，，且，则向量与的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．6．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，]C．（0，）D．[，1）7．已知数列{a n}的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3+a4＝7，a5+a6＝13，则a7+a8＝（）A．4B．19C．20D．238．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．39．已知，则（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c10．形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为（）A．20B．18C．16D．1111．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝120°，∠F1PF2的平分线交x轴于点A，则|PA|＝（）A．B．C．D．12．若x，a，b均为任意实数，且（a+2）2+（b﹣3）2＝1，则（x﹣a）2+（lnx﹣b）2的最小值为（）A．3B．18C．3﹣1D．19﹣6二、填空题（共4小题）13．若a1，a2，...，a2020的平均数、方差分别是2和1，则b i＝3a i+2（i＝1，2， (2020)的平均数为，方差为．14．已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）＝f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣2017）＝．15．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则+的最小值为．16．正项等比数列{a n}满足，且2a2，，a3成等差数列，设，则b1b2•…•b n取得最小值时的n值为．三、解答题17．在平面直角坐标系xOy中，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，2sin2C＝3sin A sin B．（1）求C；（2）设P（﹣1，cos A），Q（﹣cos A，1），且A≤C，与的夹角为θ，求cosθ的值．18．已知a∈R，函数f（x）＝（﹣x2+ax）•e x．（1）a＝2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，求a的取值范围．19．如图，三棱柱ABC﹣A'B'C'的棱长均为2，O为AC的中点，平面A'OB⊥平面ABC，平面AA'C'C⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：A'O⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣C'的余弦值．20．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点M（m，9）到其焦点F的距离为10．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|•|BQ|的取值范围．21．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得﹣300分．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0；（2）以（1）中确定的p0作为p的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量X，求每盘游戏出现音乐的概率p1，及随机变量X的期望EX；（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（θ为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长．参考答案一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜4}，B＝{x|﹣4＜x＜6}，则（∁R A）∩B＝（）A．{x|4＜x＜6}B．{x|﹣4＜x＜﹣3}∪{x|4＜x＜6}C．{x|4≤x＜6}D．{x|﹣4＜x≤﹣3}∪{x|4≤x＜6}【分析】根据题意，求出结合A的补集，进而由交集的定义分析可得答案．解：根据题意，集合A＝{x|﹣3＜x＜4}，则（∁R A）＝{x|x≤﹣3或x≥4}，又由B＝{x|﹣4＜x＜6}，则（∁R A）∩B＝{x|﹣4＜x≤﹣3或4≤x＜6}＝{x|﹣4＜x≤﹣3}∪{x|4≤x＜6}；故选：D．2．若复数，|z|＝（）A．B．C．1D．2【分析】先利用i2＝﹣1化简复数z，再利用复数的模长公式计算即可．解：复数＝＝i2019＝（i2）1009•i＝（﹣1）1009•i＝﹣i，∴|z|＝1，故选：C．3．等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a4＝4，a2+a5＝8，则＝（）A．2017B．2018C．2019D．2020【分析】由已知结合等差数列的通项公式可求a1，d，然后结合等差数列的求和公式即可求解．解：因为a1+a4＝4，a2+a5＝8，所以，解可得，d＝2，a1＝﹣1，所以，所以＝﹣1+2019＝2018．故选：B．4．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用．今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U．其计算式子为，其中，kc为静电常量，x1x2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移．已知，，且（1+x）﹣1≈1﹣x+x2，则U的近似值为（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】根据题意，由题目中所给的公式变形分析可得答案．解：根据题意，＝（1+﹣﹣）＝[1+（1﹣+）﹣（1﹣+）﹣（1++）]＝[﹣++﹣﹣﹣]＝﹣；故选：D．5．已知向量，满足，，且，则向量与的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件，结合斜率的数量积转化求解向量与的夹角的余弦值．解：由题意可知，，且，可得3+2＝4，解得，向量与的夹角的余弦值：．故选：D．6．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，]C．（0，）D．[，1）【分析】由•＝0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴c＜b，c2＜b2＝a2﹣c2．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，∵•＝0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2＝a2﹣c2．∴e2＝＜，∴0＜e＜．故选：C．7．已知数列{a n}的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3+a4＝7，a5+a6＝13，则a7+a8＝（）A．4B．19C．20D．23【分析】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由通项公式可得d，q的方程组，解方程可得d，q，进而得到所求和．解：数列{a n}的奇数项依次成公差为d的等差数列，偶数项依次成公比为q的等比数列，a1＝1，a2＝2，a3+a4＝7，a5+a6＝13，可得1+d+2q＝7，1+2d+2q2＝13，解得d＝q＝2，则a7+a8＝1+3×2+2×23＝23，故选：D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．3【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A ﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论．解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE 的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED＝＝，S△ABC＝S△ABE＝＝，S△ACD＝＝，故选：B．9．已知，则（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【分析】容易得出，然后根据函数在（0，+∞）上的单调性即可得出a，b，c的大小关系．解：，，；∵3＜9＜16，在（0，+∞）上单调递增；∴；∴b＜c＜a．故选：A．10．形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为（）A．20B．18C．16D．11【分析】“波浪数”中十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，是解题的突破口．解：此“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4；是4时“波浪数”有A22A33＝12；另一数3时4、5必须相邻即45132；45231；13254；23154．四种．则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为16．故选：C．11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝120°，∠F1PF2的平分线交x轴于点A，则|PA|＝（）A．B．C．D．【分析】由余弦定理可得PF1PF2的乘积，由面积公式进而求出三角形PF1F2的面积，再由双曲线的定义PF1﹣PF2＝2a可得PF1，PF2的值，因为PA为角平分线，再由题意S＝S+S，可得PA的值．解：由题意可得a2＝1，b2＝3，在三角形PF1F2中，设P在右支上，由余弦定理可得F1F22＝PF12+PF22﹣2PF1•PF2•cos120°＝（PF1﹣PF2）2+2PF1•PF2+PF1PF2，即4c2＝4a2+3PF1PF2，所以可得PF1PF2＝＝＝＝4，PF1﹣PF2＝2a＝2，可得PF1＝+1，PF2＝﹣1，所以S＝•sin120°＝＝，因为PA为角平分线，所以∠F1PA＝∠F2PA＝60°，而S＝S+S＝（PF1•PA sin60°+PF2•PA•sin60°）＝PA •（PF1+PF2）＝PA（+1+﹣1）＝PA，所以＝PA，所以PA＝，故选：B．12．若x，a，b均为任意实数，且（a+2）2+（b﹣3）2＝1，则（x﹣a）2+（lnx﹣b）2的最小值为（）A．3B．18C．3﹣1D．19﹣6【分析】由题意可得（a，b）在（﹣2，3）为圆心，1为半径的圆上，（x﹣a）2+（lnx ﹣b）2表示点（a，b）与点（x，lnx）的距离的平方，设过切点（m，lnm）的切线与过（﹣2，3）的法线垂直，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程求得切点，圆心和切点的距离d，可得距离的最小值为d﹣r，可得所求值．解：（a+2）2+（b﹣3）2＝1，可得（a，b）在（﹣2，3）为圆心，1为半径r的圆上，（x﹣a）2+（lnx﹣b）2表示点（a，b）与点（x，lnx）的距离的平方，设过切点（m，lnm）的切线与过（﹣2，3）的法线垂直，可得•＝﹣1，即有lnm+m2+2m＝3，由f（m）＝lnm+m2+2m在m＞0递增，且f（1）＝3，可得切点为（1，0），圆心与切点的距离为d＝＝3，可得（x﹣a）2+（lnx﹣b）2的最小值为（3﹣1）2＝19﹣6，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若a1，a2，...，a2020的平均数、方差分别是2和1，则b i＝3a i+2（i＝1，2， (2020)的平均数为8，方差为9．【分析】根据题意，对于a1，a2，…，a2020，由数据的平均数、方差的计算公式可得数据可得＝（a1+a2+……+a2020）＝2，且s2＝[（a1﹣）2+（a2﹣）2+……+[（a2020﹣）2]＝1，进而对于b i＝3a i+2，分析可得答案．解：根据题意，若a1，a2，…，a2020的平均数、方差分别是2和1，则有其平均数＝（a1+a2+……+a2020）＝2，则a1+a2…+a2020＝4040，且s2＝[（a1﹣）2+（a2﹣）2+……+[（a2020﹣）2]＝1，对于b i＝3a i+2（i＝1，2， (2020)其平均数′＝（3a1+2+3a2+2……+3a2020+2）＝×[3（a1+a2+……+a2020）+3×2020]＝3×2+2＝8，其方差s2′＝[（b1﹣′）2+（b2﹣′）2+……+[（b2020﹣′）2]＝32×1＝9；故答案为：8，9．14．已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）＝f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣2017）＝1．【分析】利用函数的奇偶性的定义以及函数的周期性化简，可得f（﹣2017）＝f（1），代入已知解析式，求解即可得到答案．解：由已知函数是偶函数，且x≥0时，都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），所以f（﹣2017）＝f（2017）＝f（2×1008+1）＝f（1）＝log22＝1．故答案为：1．15．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则+的最小值为9．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求+的最小值．解：由z＝ax+by（a＞0，b＞0）得y＝，作出可行域如图：∵a＞0，b＞0，∴直线y＝的斜率为负，且截距最大时，z也最大．平移直线y＝，由图象可知当y＝经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大．由，解得，即A（1，1）．此时目标函数的最大值为1即z＝a+b＝1，则+＝（+）（a+b）＝1+4++＝5+4＝9，当且仅当＝，即b＝2a＝时，取等号，故+的最小值为9，故答案为：9．16．正项等比数列{a n}满足，且2a2，，a3成等差数列，设，则b1b2•…•b n取得最小值时的n值为2．【分析】正项等比数列{a n}的公比设为q（q＞0），运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，可得a n，b n，再由指数的运算性质和等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，可得所求最小值时n的值．解：正项等比数列{a n}的公比设为q（q＞0），，可得a1+a1q2＝，2a2，，a3成等差数列，可得a4＝2a2+a3，即q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2（﹣1舍去），a1＝，则a n＝•2n﹣1＝2n﹣3，b n＝a n a n+1＝2n﹣3•2n﹣2＝•4n，则b1b2•…•b n＝（41•42…•4n）＝2﹣5n•41+2+…+n＝2，由n2﹣4n＝（n﹣2）2﹣4，当n＝2时，b1b2•…•b n取得最小值．故答案为：2．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分．）17．在平面直角坐标系xOy中，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，2sin2C＝3sin A sin B．（1）求C；（2）设P（﹣1，cos A），Q（﹣cos A，1），且A≤C，与的夹角为θ，求cosθ的值．【分析】（1）由已知利用由正弦定理得，结合已知可求a2+b2+2ab＝3c2，根据余弦定理得cos C的值，进而可求C的值．（2）由（1）知，代入已知，并结合正弦定理得sin A的值，可求A＝30°，B＝90°，利用平面向量的坐标运算可求，进而根据平面向量数量积的运算可求cosθ的值．解：（1）∵2sin2C＝3sin A sin B，∴，∴由正弦定理得，∵，∴a2+b2+2ab＝3c2，根据余弦定理得：，∴．（2）由（1）知，代入已知，并结合正弦定理得：，解得或sin A＝1（舍去），所以A＝30°，B＝90°，∴，而，∴．18．已知a∈R，函数f（x）＝（﹣x2+ax）•e x．（1）a＝2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，求a的取值范围．【分析】（1）求出a＝2的函数f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（2）求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，即为a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，再由二次函数的图象和性质，得到不等式组，即可解得a的范围．解：（1）a＝2时，f（x）＝（﹣x2+2x）•e x的导数为f′（x）＝e x（2﹣x2），由f′（x）＞0，解得﹣＜x＜，由f′（x）＜0，解得x＜﹣或x＞．即有函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），单调增区间为（﹣，）．（2）函数f（x）＝（﹣x2+ax）•e x的导数为f′（x）＝e x[a﹣x2+（a﹣2）x]，由函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，则有f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，即为a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，则有1+（a﹣2）﹣a≤0且1﹣（a﹣2）﹣a≤0，解得a≥．则有a的取值范围为[，+∞）．19．如图，三棱柱ABC﹣A'B'C'的棱长均为2，O为AC的中点，平面A'OB⊥平面ABC，平面AA'C'C⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：A'O⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣C'的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出AC⊥BO，从而AC⊥平面BOA′，进而AC⊥A′O，由此能证明A'O⊥平面ABC．（Ⅱ）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣C'的余弦值．解：（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A'B'C'的棱长均为2，O为AC的中点，∴AC⊥BO，∵平面A'OB⊥平面ABC，平面A'OB∩平面ABC＝OB，∴AC⊥平面BOA′，∴AC⊥A′O，∵平面AA'C'C⊥平面ABC．平面AA'C'C∩平面ABC＝AC．∴A'O⊥平面ABC．（Ⅱ）解：以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），C′（0，2，），＝（﹣，1，0），＝（﹣，2，），设平面BCC′的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，，﹣1），平面ABC的法向量＝（0，0，1），设二面角A﹣BC﹣C'的平面角为θ，由图知θ是钝角，∴cosθ＝﹣＝﹣＝﹣．∴二面角A﹣BC﹣C'的余弦值为﹣．20．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点M（m，9）到其焦点F的距离为10．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|•|BQ|的取值范围．【分析】（Ⅰ）可得抛物线的准线为，∴，解得，p＝2，即可得抛物线的方程．（Ⅱ）设l：y＝kx+1．设A（），B（x2，），可得．．同理可得，，即可得|AP|•|BQ|的取值范围．解：（Ⅰ）已知M（m，9）到焦点F的距离为10，则点M到其准线的距离为10．∵抛物线的准线为，∴，解得，p＝2，∴抛物线的方程为x2＝4y．…………………………（Ⅱ）由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，因为F（0，1），则l：y＝kx+1．设A（），B（x2，），由消去y得，x2﹣4kx﹣4＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4．由于抛物线C也是函数的图象，且，则．令y＝0，解得，∴P，从而．同理可得，，∴＝＝．∵k2≥0，∴|AP|•|BQ|的取值范围为[2，+∞）．……………………………21．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得﹣300分．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0；（2）以（1）中确定的p0作为p的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量X，求每盘游戏出现音乐的概率p1，及随机变量X的期望EX；（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．【分析】（1）求得一盘游戏中仅出现一次音乐的概率f（p），由导数的应用可得最大值点；（2）求得每盘游戏出现音乐的概率，再由二项分布的数学期望公式可得所求；（3）由题可设每盘游戏的得分为随机变量ξ，则ξ的可能值为﹣300，50，100，150，分别求得其概率，计算数学期望，即可得到结论．解：（1）由题可知，一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，f'（p）＝3（3p﹣1）（p﹣1），由f'（p）＝0得或p＝1（舍），当时，f'（p）＞0；当时，f'（p）＜0，∴f（p）在上单调递增，在上单调递减，∴当时，f（p）有最大值，即f（p）的最大值点；（2）由（1）可知，，则每盘游戏出现音乐的概率为，由题可知，∴；（3）由题可设每盘游戏的得分为随机变量ξ，则ξ的可能值为﹣300，50，100，150，∴P（ξ＝﹣300）＝（1﹣p）3，；；P（ξ＝150）＝p3，∴＝，令，则，所以g（p）在单调递增；∴g（p）＜g（）＝﹣＜0，即有EX＜0，这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（θ为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系，建立方程组，利用极径的应用求出结果．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：，所以直线的倾斜角为．所以：，曲线C1的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2＝4．转换为极坐标方程为：ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标的方程为：，整理得：，线l交曲线C1于O，A两点，则：，解得：A（﹣2，），直线和曲线C2于O，B两点则：，解得：B（﹣4，），所以：|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝4﹣2．。
甘肃省张掖市数学高考理数三模考试试卷
甘肃省张掖市数学高考理数三模考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A .B .C .D . 52. （2分）方程cos（π+x）=（）x在区间（0，100π）内解的个数是（）A . 98B . 100C . 102D . 2003. （2分）已知且，则等于（）A . 5B . 10C .D . 154. （2分） (2016高一下·黄山期末) 在平面区域{（x，y）|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P 的坐标（x，y）满足y≤2x的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·大庆模拟) 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A . 4B . 5C . 2D . 36. （2分）(2017·大庆模拟) 给出下列四个命题：①若x∈A∩B，则x∈A或x∈B；②∀x∈（2+∞），都有x2＞2x；③若a，b是实数，则a＞b是a2＞b2的充分不必要条件；④“∃x0∈R，x02+2＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+2≤3x”；其中真命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分）(2017·大庆模拟) 等比数列{an}的公比q＞0，已知a2=1，an+2+an+1=6an则{an}的前4项和S4=（）A . ﹣20B . 15C .D .8. （2分）(2017·大庆模拟) 函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx 的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度9. （2分）(2017·武邑模拟) 在平行四边形ABCD中，，则 |=（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·大庆模拟) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A .B . 27C .D .11. （2分）(2017·大庆模拟) 已知点F2 ， P分别为双曲线的右焦点与右支上的一点，O为坐标原点，若2 |，且，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）= ，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A . （﹣∞，e2+ ]B . （0，e2+ ]C . （e2+ ，+∞]D . （﹣e2﹣，e2+ ]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·怀仁期中) 已知向量，，且，则向量在方向上的投影为________.14. （1分）(2017·大庆模拟) 不等式组表示的平面区域为Ω，直线y=kx﹣1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为________．15. （1分）(2017·大庆模拟) 某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是________．16. （1分）(2017·大庆模拟) 巳知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，都有不等式f（x）+xf'（x）＞0成立，若，则a，b，c的大小关系是________．三、解答题 (共7题；共50分)17. （5分） (2017高一下·滨海期末) 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．已知sinC= sinB，c=2，cosA= ．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（2A﹣）的值．18. （10分）在一场垒球比赛中，其中本垒与游击手的初始位置间的距离为1，通常情况下，球速是游击手跑速的4倍．（1）若与连结本垒及游击手的直线成α角（0°＜α＜90°）的方向把球击出，角α满足什么条件下时，游击手能接到球？并判断当α=15°时，游击手有机会接到球吗？（2）试求游击手能接到球的概率．（参考数据 =3.88，sin14.5°=0.25）．19. （5分）(2017·大庆模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD．中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证；平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20. （5分）(2017·大庆模拟) 已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）椭圆左，右焦点分别为F1 ， F2 ，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．21. （5分）(2017·大庆模拟) 已知函数 f（x）=2lnx+x2﹣ax．（Ⅰ）当a=5时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是曲线y=f（x）图象上的两个相异的点，若直线AB的斜率k＞1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设函数f（x）有两个极值点x1 ， x2 ， x1＜x2且x2＞e，若f（x1）﹣f（x2）≥m恒成立，求实数m 的取值范围．22. （10分）(2017·大庆模拟) 将圆为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C．（1）求出C的普通方程；（2）设直线l：x+2y﹣2=0与C的交点为P1 ， P2 ，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．23. （10分）(2017·大庆模拟) 已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣5≥x；（2）设m，n∈{y|y=f（x）}，试比较mn+4与2（m+n）的大小．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2020年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷(文科)含答案解析
2020年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的虚部是（）A．B．C．D．2．若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．对于空间的两条直线m、n和一个平面α，下列命题中的真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m∥nD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n4．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3=3，S9﹣S6=27，则该数列的首项a1等于（）A．B．C．D．5．某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的N=5，则输出i=（）A．6B．7C．8D．96．该试题已被管理员删除7．若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48B．30C．24D．168．已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2B．﹣2C．3D．﹣39．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3+B．3+C．3++D．+10．函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．[0，+∞）D．（2，+∞）11．设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，﹣2]∪（0，]B．（﹣，﹣2]∪（0，]C．（﹣，﹣2]∪（0，]D．（﹣，﹣2]∪（0，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设f（x）=，若f（a）=3，则a=．14．从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinB=，且满足sin2B=sinA•sinC，accosB=12，则a+c=．16．设数列{a n}，（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则[++…+]=．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．设函数．（1）若x∈（0，π），求f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b=1，求△ABC面积的最大值．18．某超市从2020年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分別随机抽取100个．整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图：分组（日销售量）频率（甲种酸奶）[0，10]0.10（10，20]0.20（20，30]0.30（30，40]0.25（40，50]0.15（Ⅰ）写出频率分布直方图1中的a的值；并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；（Ⅱ）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s，s，试比较s与s的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该该组区间的中点值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月（按30天计箅）的销售量总量．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅱ）证明：EF⊥A1C．20．该试题已被管理员删除21．已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．四.考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1；几何证明选讲]（本小题满分10分）22．如图，AB是☉O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交☉O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE 是☉O的切线；（Ⅱ）若=，求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|x+3|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）当a=4时，已知f（x）=7，求x的取值范围；（Ⅱ）若f（x）≥6的解集为{x|x≤﹣4或x≥2}，求a的值．2020年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的虚部是（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴复数的虚部是﹣．故选：B．2．若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．【解答】解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选A．3．对于空间的两条直线m、n和一个平面α，下列命题中的真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m∥nD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A．利用线面平行的性质定理即可得出；B．利用线面平行的性质定理即可得出；C．利用线面平行与垂直的性质定理即可得出；D．利用线面垂直的性质定理即可得出．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m∥n、相交或为异面直线，因此A不正确；B．若m∥α，n⊂α，则m∥n或为异面直线，因此B不正确；C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n，因此C不正确；D．若m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质定理可知：m∥n．正确．故选：D．4．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3=3，S9﹣S6=27，则该数列的首项a1等于（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a3=3，S9﹣S6=27，可得，解得a1=．故选：D．5．某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的N=5，则输出i=（）A．6B．7C．8D．9【考点】程序框图．【分析】计算循环中n与i的值，当n=1时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：模拟执行程序，可得n=5，i=1执行循环体，满足条件n是奇数，n=16，i=2，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=8，i=3，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=4，i=4，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=2，i=5，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=1，i=6，满足条件n=1，退出循环，输出i的值为6．故选：A．6．该试题已被管理员删除7．若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48B．30C．24D．16【考点】简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设z=5y﹣x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点B（8，0）时的最小值，过点A（4，4）时，5y﹣x最大，从而得到a﹣b的值．【解答】解：满足约束条件的可行域如图所示在坐标系中画出可行域，平移直线5y﹣x=0，经过点B（8，0）时，5y﹣x最小，最小值为：﹣8，则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8．经过点A（4，4）时，5y﹣x最大，最大值为：16，则目标函数z=5y﹣x的最大值为16．z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是：24．故选C．8．已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和向量基本定理即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．则=（1，0），=（2，﹣2），=（1，2）．∵=λ+μ，∴（2，﹣2）=λ（1，2）+μ（1，0）=（λ+μ，2λ），∴，解得λ=﹣1，μ=3．∴λ+μ=2．故选：A．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3+B．3+C．3++D．+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是四棱锥，根据三视图判断几何体的结构特征及数据所对应的几何量，结合直观图求各个面的面积，再相加．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中SA⊥平面ABCD，SA=1，底面ABCD是直角梯形，直角梯形的直角腰AD=1，两底边CD=1，AB=2，∴SC==，BC=，SB=，SD=，∴三角形SBC为直角三角形，∴几何体的表面积S=×1×1+×1×2+××1+××+×1=3+．故选：C．10．函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．[0，+∞）D．（2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】问题等价于f′（x）=2在（0，+∞）上有解，分离出参数a，转化为求函数值域问题即可．【解答】解：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，即f′（x）=2在（0，+∞）上有解，而f′（x）=+a，即+a=2在（0，+∞）上有解，a=2﹣，因为x＞0，所以2﹣＜2，所以a的取值范围是（﹣∞，2）．故选B．11．设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2 =4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=；∴e====．故选B．12．已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，﹣2]∪（0，]B．（﹣，﹣2]∪（0，]C．（﹣，﹣2]∪（0，]D．（﹣，﹣2]∪（0，]【考点】分段函数的应用．【分析】由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），分别作出函数f（x）和y=h（x）=m（x+1）的图象如图：由图象可知f（1）=1，h（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线，当h（x）过（1，1）时，m=此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤，当h（x）过（0，﹣2）时，h（0）=﹣2，解得m=﹣2，此时两个函数有两个交点，当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时，即m（x+1）2+3（x+1）﹣1=0，当m=0时，x=，只有1解，当m≠0，由△=9+4m=0得m=﹣，此时直线和f（x）相切，∴要使函数有两个零点，则﹣＜m≤﹣2或0＜m≤，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设f（x）=，若f（a）=3，则a=4．【考点】函数的值．【分析】利用分段函数求值，分类讨论a的取值范围，求得a的值．【解答】解：当a＞0，f（a）==3，∴a=4，当a≤0，f（a）=2a=3，∴a=＞1，不成立；故答案为：4．14．从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为0.4．【考点】等可能事件的概率．【分析】求得从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母、取到字母a的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，共有=10种情况，取到字母a，共有=4种情况，∴所求概率为=0.4．故答案为：0.4．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinB=，且满足sin2B=sinA•sinC，accosB=12，则a+c=3．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】根据正弦定理以及余弦定理建立方程关系进行求解即可．【解答】解：在△ABC中，∵sin2B=sinA•sinC，∴b2=ac，∵sinB=，∴cosB=，∵accosB=12，∴ac=13，∴b2=ac=13，∵b2=a2+c2﹣2accosB，∴13=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=（a+c）2﹣2×13﹣2×13×，即（a+c）2=63，即a+c=3，故答案为：3．16．设数列{a n}，（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则[++…+]=2020．【考点】等差数列的通项公式．【分析】构造b n=a n+1﹣a n，可判数列{b n}是4为首项2为公差的等差数列，累加法可得a n=n （n+1），裂项相消法可得答案．【解答】解：构造b n=a n+1﹣a n，则b1=a2﹣a1=4，由题意可得（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=b n+1﹣b n=2，故数列{b n}是4为首项2为公差的等差数列，故b n=a n+1﹣a n=4+2（n﹣1）=2n+2，=2n，故a2﹣a1=4，a3﹣a2=6，a4﹣a3=8，…，a n﹣a n﹣1以上n﹣1个式子相加可得a n﹣a1=，解得a n=n（n+1），故++…+=2020（++…+）=2020（1﹣+﹣+…+﹣）=2020﹣，∴[++…+]=2020，故答案为：2020．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．设函数．（1）若x∈（0，π），求f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b=1，求△ABC 面积的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；余弦定理．【分析】（1）由三角恒等变换化简f（x），由此得到递增区间．（2）由等式得到，利用余弦定理及三角形面积公式即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，==，由，可解得：．又因为x∈（0，π），所以f（x）的单调递增区间是和．（Ⅱ）由，可得，由题意知B为锐角，所以，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：，即，且当a=c时等号成立，因此，所以△ABC面积的最大值为．18．某超市从2020年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分別随机抽取100个．整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图：分组（日销售量）频率（甲种酸奶）[0，10]0.10（10，20]0.20（20，30]0.30（30，40]0.25（40，50]0.15（Ⅰ）写出频率分布直方图1中的a的值；并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；（Ⅱ）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s，s，试比较s与s的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该该组区间的中点值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月（按30天计箅）的销售量总量．【考点】频率分布直方图；极差、方差与标准差．【分析】（I）根据频率分布直方图的给出的数据得出0.1﹣0.01﹣0.02﹣0.030﹣0.025=0，015，即可得出a的值．（II）运用非常公式求解即可得出大小．（III）求解平均数得出=26.5（箱），运用30天求解即可得出：26.5×30为一个月（按30天计箅）的销售量总量．【解答】解：（I）a=0.015（Ⅱ）S，（Ⅲ）乙种酸奶平均日销售量为：=5×0.20+15×0.10+25×0.35+35×0.15+45×0.25=26.5（箱）乙种酸奶未来一个月的销售量为：26.5×30=795（箱）19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅱ）证明：EF⊥A1C．【考点】平面与平面平行的判定．【分析】（I）利用已知及面面平行的性质可得AB∥DE，由E是棱BC的中点，即可得D是线段AC的中点．（II）先证明A1C⊥AC1，又由（1）可得AB⊥A1C，可证A1C⊥面ABC1，即可证明A1C⊥BC1，又EF∥BC1，从而得证EF⊥A1C．【解答】（本题满分为12分）解：（I）∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵在△ABC中E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中AC=AA1，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由（1）可得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴A1C⊥BC1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴EF⊥A1C．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．该试题已被管理员删除21．已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可．（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则kx0＞2lnx0⇒a＞，只需要k大于h（x）=的最小值即可．（3）分离参数，得到k＜，构造函数，求函数的最小值即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=1+lnx，∴f′（e）=1+lne=k﹣3∴k=5，（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则ax02＞x0lnx0，∴a＞设h（x）=则h′（x）=，当x∈[1，e]时，h′（x）≥0（仅当x=e时取等号）∴h（x）在[1，e]上单调递增，∴h（x）min=h（1）=0，因此a＞0．（3）由题意xlnx＞（k﹣3）x﹣k+2在x＞1时恒成立即k＜，设F（x）=，∴F′（x）=，令m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣=＞0在x＞1时恒成立所以m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，所以在（1，+∞）上存在唯一实数x0（x0∈（3，4））使m（x）=0当1＜x＜x0时m（x）＜0即F′（x）＜0，当x＞＜x0时m（x）＞0即F′（x）＞0，所以F（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，F（x）min=F（x0）===x0+2∈（5，6）故k＜x0+2又k∈Z，所以k的最大值为5四.考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1；几何证明选讲]（本小题满分10分）22．如图，AB是☉O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交☉O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE 是☉O的切线；（Ⅱ）若=，求的值．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）连结OD，由圆的性质得OD∥AE，由AE⊥DE，得DE⊥OD，由此能证明DE是⊙O切线．（Ⅱ）过D作DH⊥AB于H，则有cos∠DOH=cos∠CAB==，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，AH=7x，由已知得△AED≌AHD，△AEF∽△DOF，由此能求出．【解答】（Ⅰ）证明：连结OD，由圆的性质得∠ODA=∠OAD=∠DAC，OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，又OD为半径，∴DE是⊙O切线．（Ⅱ）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，cos∠DOH=cos∠CAB==，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，DH⊥AB，交AB于H，∴△AED≌AHD，∴AE=AH=7x，又OD∥AE，∴△AEF∽△DOF，∴====．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论；（2）联立曲线C1与曲线C2的方程，利用参数的几何意义，即可求|AB|的最大值和最小值．【解答】解：（1）对于曲线C2有，即，因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆．（2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：，∴t1+t2=2sinα，t1t2=﹣13，因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．[选修4-5：不等式选讲]24．（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|x+3|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）当a=4时，已知f（x）=7，求x的取值范围；（Ⅱ）若f（x）≥6的解集为{x|x≤﹣4或x≥2}，求a的值．【考点】带绝对值的函数．【分析】（I）当a=4时，根据绝对值的性质，我们求出当（x+3）（4﹣x）≥0时，即﹣3≤x≤4时f（x）=|x+3|+|x﹣4|取最小值7．（II）根据不等式的根与对应方程根的关系，可得﹣4和2是方程f（x）=|x+3|+|x﹣a|=0的两根，解方程组可得a的值【解答】解：（I）当a=4时，函数f（x）=|x+3|+|x﹣4|=|x+3|+|4﹣x|≥|x+3+4﹣x|=7当且仅当（x+3）（4﹣x）≥0时，即﹣3≤x≤4时取等号故x的取值范围为[﹣3，4]（II）若f（x）≥6的解集为{x|x≤﹣4或x≥2}，则﹣4和2是方程f（x）=|x+3|+|x﹣a|=0的两根即解得a=12020年7月20日。