2021北京海淀初二(上)期末数学

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2020-2021学年北京市海淀区育英中学八年级上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年北京市海淀区育英中学八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若方程x2−x+a=0有两个正根，则a的取值范围是()A. a≤14B. a<14C. 0<a≤14D. 0<a<142.如图，在△ABC中，∠CAB=120°，AB=AC=3，点E是三角形ABC内部一点，且满足BE2−CE2=3AE2，则点E在运动过程中所形成的图形的长为()A. √3B. √3π3C. 3√3D. 2√3π33.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“至和”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a−b+c=0那么我们称这个方程为“至美”方程，如果一个一元二次方程既是“至和”方程又是“至美”方程我们称之为“和美方程”.对于“和美方程”，下列结论正确的是()A. 方程两根之和等于0B. 方程有一根等于0C. 方程有两个相等的实数根D. 方程两根之积等于04.关于四边形，下列说法正确的是()A. 对角线相等的是矩形B. 对角线互相垂直的是菱形C. 对角线互相垂直且相等的是正方形D. 对角线互相平分的是平行四边形5.某小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为米，根据题意，可列方程为A. B.C. D.6.如图，矩形ABCD的一边CD在x轴上，顶点A、B分别落在双曲线y=1x、y=4x 上，边BC交y=1x于点E，连接AE，则△ABE的面积为()A. 94B. 34C. 38D. 987.已知是一次函数的图象上的两个点，则的大小关系是A. B. C. D. 不能确定8.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，按如图所示的方式放置．点A1，A2…和点C1，C2…分别在直线y=x+1和x轴上，则B7的坐标是()A. (127,63)B. (127,64)C. (128,63)D. (128,64)9.一直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，则另一直角边长为()A. 13B. 12C. 4D. 510.已知实数x、y互为倒数，则y随x变化的函数图象是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.一元二次方程(2x−3)2=2(2x−3)的解是______．12.如图，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护城河，那么一个长为15米的云梯______(填“能”或“否”)到达墙的顶端．13.已知x1，x2是方程x2+3x−6=0的两实根，则值为。

北京市海淀区八年级数学上学期期末考试试题（扫描版）(1)

北京市海淀区2021-2021学年八年级上学期期末考试数学试题（扫描版）海淀区八年级第一学期期末练习数学参考答案及评分标准一、选择题（此题共30分，每题3分）二、填空题（此题共18分，每题3分）三、解答题（此题共19分，第20题4分，其余每题5分）17．解：原式=21332+-+----------------------------------4分=133+ ------------------------------------5分18．解法一：∵D是BC 的中点，∴BD=CD . ------------------------------1分 ∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F，∴∠BED=∠CFD=90° . ---------------------------------------2分 ∵AB =AC ，∴ ∠B=∠C . ---------------------------------------3分∵ △BED 和△CFD 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CD BD C B CFD BED∴△BED ≌△CFD . ------------------------------------------------4分 ∴DE =DF . ----------------------------------------------------------5分解法二：连接AD .∵在△ABC 中， AB =AC ，D 是BC 的中点，∴AD 平分∠BAC . --------------------------------------------------3分 ∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，B B∴DE =DF . ----------------------------------------------------------5分19．解：原式=()()22229124yyx x x ---+-=22229124y y x x x -+-+-=91232+-x x ------------------------------------------------------------------------------3分 ∵0342=--x x ，∴342=-x x∴原式=()189339432=+⨯=+-x x ．----------------------------------------------------------5分20．作图痕迹：线段AB 的垂直平分线的作图痕迹2分覆盖区域S 的直线m 与n 的夹角的角平分线作图痕迹2分．（未标出点P 扣一分）四、解答题（此题共20分，每题5分） 21．解：方程两边同乘()32+x x ，得：x x 43=+----------------------------------------------------------2分解那个整式方程，得：1=x --------------------------------------------------------------4分查验：当1=x 时，()()0311232≠+⨯⨯=+x x ,∴原方程的解是1=x ．------------------------------------------------------------5分 22．解：原式=1211112++÷⎪⎭⎫⎝⎛+-++a a a a a a =121112++÷+-+a a a a a =()a a a a 211+⋅+ =1+a ------------------------------------------------------------4分当13-=a 时，原式=3113=+-．---------------------------------------5分23．解：设小伟每小时能够整理x 册图书,那么小明每小时能够整理1.2x 册图书.60158021120+=x x .-------------------------------------------------------2分解得: 80=x ----------------------------------------------------3分经查验80=x 是原方程的解且符合实际．-----------------------4分<答：小伟每小时能够整理80册图书,小明每小时能够整理96册图书. -----------5分 24．解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2 .∵DE ∥AC ∴ ∠2=∠ADE .∴ ∠1=∠ADE .∴AE =DE .-------------------------------------------------------3分 ∵AD ⊥DB ，∴∠ADB =90°∴∠1+∠ABD =90°，∠ADE +∠BDE =∠ADB =90°， ∴∠ABD =∠BDE .∴DE =BE .--------------------------------------------------------4分 ∵AB=5∴DE =BE= AE=5252121.AB =⨯=.------------------5分五、解答题（此题共13分，第25题6分，第26题7分） 25．（1）比较大小：21x + ≥ 2x （其中1x ≥）； 1x x +____2-（其中1x <-）---------2分（2）解： 111332+++=+++x n x x x x()()1111121+++=+++++x n x x x x x ∴2=n --------------------------------------------4分（3）当x = 0 时，133+++x xx 有最小值，最小值为 3 . （直接写出答案）---6分26．（1） AE=AB+DE ； ------------1分（2）解：猜想：AE =AB+DE +BD 21．------------2分证明：在AE 上取点F ，使AF =AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG =ED ，连结CG ． ∵C 是BD 边的中点，∴CB =CD=BD 21． ∵AC 平分BAE ∠，∴∠BAC =∠FAC ． ∵AF =AB ，AC =AC ，∴△ABC ≌△AFC .EDC BA图（1）GFEDCBA∴CF =CB ，∴∠BCA =∠FCA ．----------------------------4分同理可证：CD =CG ，∴∠DCE =∠GCE ． ∵CB =CD ，∴CG =CF∵120ACE ∠=︒，∴∠BCA +∠DCE=180°-120°=60°．图（2）∴∠FCA +∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．∴△FGC 是等边三角形．-------------------------5分 ∴FG =FC=BD 21． ∵AE =AF+EG+FG ． ∴AE =AB+DE +BD 21．-----------------------6分（3）2410+． ----------------7分说明：其它正确解法按相应步骤给分.EDCBA图（3）。

2021年北京初二(上)期末数学试卷汇编：分式章节综合

2021北京初二（上）期末数学汇编分式章节综合一、单选题1．（2021·北京西城·八年级期末）23−的计算结果为（）A ．6B ．19C ．16D ．92．（2021·北京东城·八年级期末）若分式11x x −+的值为0，则x 的值是（） A ．1x = B ．1x =− C ．1x =± D ．1x ≠−3．（2021·北京丰台·八年级期末）下列计算正确的是（）A ．236a a a ⋅⋅=B ．()428a a =C ．22a a −=−D ．33a a a ÷=4．（2021·北京东城·八年级期末）2020年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就．科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，1纳米91.010−=⨯米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是（）A ．91.2510−⨯米B ．81.2510−⨯米C ．71.2510−⨯米D ．61.2510−⨯米5．（2021·北京顺义·八年级期末）化简22a b ab b a−−结果正确的是（） A ．ab B ．ab − C ．22a b − D ．22b a −6．（2021·北京平谷·八年级期末）如果分式11m m −+的值为零，则m 的值是（） A ．1m =−B ．1m =C ．1m =±D ．0m =二、填空题 7．（2021·北京大兴·八年级期末）关于x 的分式方程3122m x x +=−−有增根，则m 的值为_______． 8．（2021·北京大兴·八年级期末）若分式22y y −−的值为零，则y ＝________． 9．（2021·北京昌平·八年级期末）计算：26193a a ÷=−+__________． 10．（2021·北京顺义·八年级期末）若代数式23x x −+的值等于零，则实数x 的值是________． 11．（2021·北京房山·八年级期末）某校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的A 型计算机和B 型计算机．已知一台A 型计算机的售价比一台B 型计算机的售价便宜400元，如果购买A 型计算机需要224 000元，购买B 型计算机需要240 000元．求一台A 型计算机和一台B 型计算机的售价分别是多少元．设一台B 型计算机的售价是x 元，依题意列方程为__．12．（2021·北京房山·八年级期末）若分式3a a−的值等于0，则a 的值为_____． 13．（2021·北京石景山·八年级期末）将分式42326xy x y约分可得____，依据为_____．14．（2021·北京延庆·八年级期末）化简：a b a b b a+−−22＝______________． 15．（2021·北京西城·八年级期末）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：3(1)441111a a a a a +−+==+−−−，212(1)332111a a a a a −+−==−+++．参考上面的方法，解决下列问题：（1）将1a a +变形为满足以上结果要求的形式：1a a =+_________；（2）①将321a a +−变形为满足以上结果要求的形式：321a a +=−_________；②若321a a +−为正整数，且a 也为正整数，则a 的值为__________．16．（2021·北京通州·八年级期末）某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛．已知A 型陶笛比B 型陶笛的单价低20元，用2700元购买A 型陶笛与用4500元购买B 型陶笛的数量相同，设A 型陶笛的单价为x 元，根据题意列出正确的方程是_______________________．三、解答题17．（2021·北京昌平·八年级期末）计算：2212y x y x y −−−． 18．（2021·北京西城·八年级期末）计算：21311211a a a a a a −−+÷−+++． 19．（2021·北京石景山·八年级期末）创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．20．（2021·北京石景山·八年级期末）关于x 的分式方程321x m x −=+的解是负数，求满足条件的整数m 的最大值．21．（2021·北京延庆·八年级期末）北京延庆于2020年12月1日6时26分迎来首列高铁G8881停靠标志着京张高铁延庆支线及市郊铁路S2线正式开通运营，综合交通服务中心（换乘中心）同步投入使用．作为京张高铁支线火车站，延庆综合交通服务中心是集高铁、市郊铁路、公交、出租车、自行车及停车场等多种形式于一体的综合枢纽．同时，作为北京2022年冬奥会重点交通服务配套设施，该中心将在冬奥会期间承担观众和部分注册人员的交通转换及服务功能，冬奥会后将服务于延庆区日常活动及通勤，并为游客提供出行便利．小李计划周末到延庆站参观．为了响应绿色出行号召，他从家到延庆站由驾车改为骑自行车．小李家距离延庆站20千米，在相同路线上，驾车的平均速度是骑自行车平均速度的4倍，骑自行车所用时间比驾车所用时间多45分钟，求小李驾车的平均速度是多少？22．（2021·北京延庆·八年级期末）先化简，再求值：23211(1)a a a a −−−÷，其中20a a −=． 23．（2021·北京丰台·八年级期末）先化简，再求值：23x y y x y ⎛⎫−⋅ ⎪+⎝⎭其中340x y −=．24．（2021·北京通州·八年级期末）解方程：11322x x x −=+−−． 25．（2021·北京门头沟·八年级期末）阅读材料，并回答问题：小亮在学习分式运算过程中，计算26193a a +−+解答过程如下：解：26193a a +−+ ()()61333a a a =++−+① ()()()()633333a a a a a −=++−+−② 63a =+−③3a =+④问题：（1）上述计算过程中，从步开始出现错误（填序号）；（2）发生错误的原因是：；（3）在下面的空白处，写出正确解答过程：26．（2021·北京门头沟·八年级期末）计算：（1）11a b−；（2）323236y x x y⋅． 27．（2021·北京平谷·八年级期末）计算：211121a a a a ⎛⎫+÷ ⎪−−+⎝⎭ 28．（2021·北京朝阳·八年级期末）2020年12月17日，中国研制的嫦娥五号返回器成功携带月球样品着陆地球，在接近大气层时，它的飞行速度接近第二宇宙速度，约为某列高铁全速行驶速度的112倍．如果以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒，那么第二宇宙速度是每秒多少千米？29．（2021·北京朝阳·八年级期末）解分式方程：31(1)(2)1x x x x +=−+−. 30．（2021·北京东城·八年级期末）解方程：214111x x x ++=−−．参考答案1．B【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算，即可得出结论．【详解】解：2211339−==．故选：B ．【点睛】此题考查了负整数指数幂的运算，掌握负指数幂的运算法则是解题的关键．2．A【分析】分式的值为0：分子等于0，分母不等于0，据此解答即可．【详解】解：依题意得，x ﹣1＝0，且x+1≠0，解得 x ＝1．故选：A ．【点睛】本题考查了分式值为0的条件，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．3．B【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、负整数指数幂、同底数幂相除逐一计算即可．【详解】解：A. 235a a a ⋅=，该项计算错误；B. ()428a a =，该项计算正确； C. 221a a −=，该项计算错误； D. 331a a ÷=，该项计算错误；故选：B ．【点睛】本题考查整式的运算，掌握同底数幂相乘、幂的乘方、负整数指数幂、同底数幂相除是解题的关键．4．C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】125纳米=125×10-9米=1.25×10-7米．故选：C ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10-n ，其中1≤｜a ｜<10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．B【分析】把分子分解因式后与分母约分即可．【详解】解：22a b ab b a −−=()ab a b b a−−=ab −．故选B ．【点睛】本题考查了分式的约分，解题的关键是确定公因式：取各系数的最大公因数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最低次幂，本题也考查了因式分解．6．B【分析】先根据分式为零的条件列出关于m 的不等式组并求解即可．【详解】解：∵11m m −+=0 ∴m-1=0，m+1≠0，解得m=1．故选B ．【点睛】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键，同时分母不等于零是解答本题的易错点．7．3【分析】分式方程有增根，则增根为x =2，把分式方程化为整式方程后，把x =2代入整式方程中，即可求得m 的值．【详解】由题意知，分式方程的增根为x =2分式方程去分母得：m －3=x －2把x =2代入上述整式方程中，解得m =3故答案为：3【点睛】本题考查了分式方程的增根，关键是确定分式方程的增根．8．-2 【分析】分式0A B=，则0A =且 0B ≠，据此解题．【详解】解：分式2=02y y −− 则2=0y −且20y −≠解得：2y =±且2y ≠2y ∴=−故答案为：-2．【点睛】本题考查分式的值为零，分式有意义的条件等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 9．63a − 【分析】根据分式的除法法则计算．【详解】解：原式=()()()6333a a a ⨯++− =63a −，故答案为63a − ．【点睛】本题考查分式的除法运算，熟练掌握分式的除法法则及整式的因式分解和分式的约分是解题关键．10．2．【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不等于零，列方程和不等式即可求出答案．【详解】解：∵代数式23x x −+的值等于0， ∴2030x x −=⎧⎨+≠⎩，解得2x =．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握则分子为零，且分母不等于零，是解题关键． 11．240000224000400x x =− 【分析】本题的等量关系是：224 000元购买A 型计算机的数量=240 000元购买B 型计算机数量，依此列出方程即可．【详解】解：设B 型计算机每台需x 元，则A 型计算机每台需（x-400）元，依题意有240000224000400x x =− 故填，240000224000400x x =−．【点睛】考查了分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，本题重点是熟悉单价，总价，数量之间的关系．12．3【分析】根据分子等于0，且分母不等于0求解即可．【详解】解：由题意得a-3=0，且a≠0，∴a=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．13． 3y x分式的分子和分母同时除以一个不为0的整式，分式的值不变【分析】根据分式的基本性质即可求解．【详解】解：分式42326xy x y的分子和分母同时除以 32xy 进行约分，可得3y x ，故答案为：3y x；分式的分子和分母同时除以一个不为0的整式，分式的值不变．【点睛】本题考查分式的约分，掌握分式的基本性质是解题的关键．14．a b +【分析】根据异分母分式的加减运算法则求解即可．【详解】原式=()()2222a b a b a b a b a b a b a b a b a b+−−−===+−−−−，故答案为：a b +．【点睛】本题考查分式的加减运算，掌握基本的运算法则是解题关键．15． 111a −+ 531a +− 2或6 【分析】（1）根据材料中分式转化变形的方法，即可把1a a +变形为满足要求的形式；（2）①根据材料中分式转化变形的方法，即可把321a a +−变形为满足要求的形式；②令325311a x a a +==+−−，可先求出a 与x 是整数时的对应值，再从所得结果中找出符合条件的a ，x 的值，即可得出结论．【详解】解：（1）1111111a a a a a +−==−+++；故答案为：111a −+；（2）①323(1)553111a a a a a +−+==+−−−；故答案为：531a +−； ②∵323(1)553111a a a a a +−+==+−−− 令531x a =+−，当x ， a 都为整数时，11a −=±或15a −=±，解得a ＝2或a ＝0或a ＝6或a ＝-4，当a ＝2时，x ＝8；当a ＝0时，x ＝-2；当a ＝6时，x ＝4；当a ＝-4时，x ＝2；∵x ， a 都为正整数，∴符合条件的a 的值为2或6．故答案为：2或6．【点睛】此题考查了分式的加减及求分式的值等知识，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键．16．2700450020x x =+ 【分析】设A 型陶笛的单价为x 元，则B 型陶笛的单价为（x +20）元，根据用2700元购买A 型陶笛与用4500元购买B 型陶笛的数量相同，列方程即可．【详解】设A 型陶笛的单价为x 元，则B 型陶笛的单价为（x +20）元，根据用2700元购买A 型陶笛与用4500元购买B 型陶笛的数量相同，可得2700450020x x =+．故答案为：2700450020x x =+．【点睛】本题考查了由实际问题，抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．17．1x y+ 【分析】首先把两分式通分化为同分母分式后，再按照分母不变，分子相加减的法则计算．【详解】解：原式2()()()()x y y x y x y x y x y +=−+−+− 2()()x y y x y x y +−=+−. ()()x y x y x y −=+−. 1x y=+. 【点睛】本题考查分式的加减运算，熟练掌握异分母分式的加减法则是解题关键．18．21a + 【分析】根据分式混合运算的运算顺序，先算分式的除法，再算加法，即可求出结果．【详解】解：21311211a a a a a a −−+÷−+++ 21311(1)1a a a a a −+=+−+− 13=1(1)1a a a a −+−+−（）13(1)1(1)1a a a a a a +−=++−+−（）（）22(1)1a a a −=+−（） 2(1)(1)1a a a −=+−（） 21a =+．【点睛】此题考查了分式的混合运算，掌握分式的除法法则及异分母分式加减法法则是解题的关键． 19．200【分析】设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()120x +%棵，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前4天完成任务列出方程即可求解．【详解】解：设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()120x +%棵，根据题意可得：()480048004120x x −=+%，解得200x =，经检验得200x =是分式方程的解，答：原计划每天植树200棵．【点睛】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20．-4【分析】先解分式方程，求出x=2+m ，根据方程的解是负数，且10x +≠，列得2+m<0且210m ++≠，求解即可．【详解】解：321x m x −=+ 3x-m=2（x+1）3x-m=2x+2x=2+m ，∵方程的解是负数，且10x +≠，∴2+m<0且210m ++≠，解得m<-2且m ≠-3．∴满足条件的整数m 的最大值-4．【点睛】此题考查已知分式方程的解求未知数的取值范围，正确解分式方程且掌握分母不等于零是解题的关键．21．80km/h【分析】根据驾车速度是骑自行车速度的4倍可以分别分别设出自行车速度为x ，驾车速度为4x ，根据两种交通方式的时间差为45分钟列分式方程解题即可．【详解】解：设骑自行车的平均时速为x km/h ，则驾车的平均时速为4x km/h ，由题意得：202045460x x −= 解得 20x经检验：20x 是所列方程的解，且符合实际问题的意义．当20x时， 442080x =⨯= 答：小李驾车的平均时速为80km/h ．【点睛】此题考查分式方程的实际应用，难度一般，注意解分式方程时要检验，列方程时注意单位要化统一．22．2−a a【分析】先化简分式得2−a a ，再通过方程得2a a − 【详解】解：23211(1)a a a a−−−÷ ＝232211a a a a a −+⋅− ＝232(1)1a a a a −⋅− ＝2−a a∵20a a −∴原式=2−a a=【点睛】本题考查分式的化简求值，能得到分式准确的最简结果是解题的关键23．33x y y−；1 【分析】先计算括号中的异分母分式减法，再计算乘法，由340x y −=得到3x=4y ，代入求值即可．【详解】解：原式223x y y x y−=⋅+ ()()3x y x y y x y+−=⋅+ 33x y y −=； 340x y −=34x y ∴= 原式431y y y−==．【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握分式的计算法则正确化简分式是解题的关键．24．无解【分析】本题的最简公分母是x-2，等式两边都乘以x-2，化简求解，最后检验即可．【详解】解：原方程整理得：11322x x x −=+−−，去分母得：()1132x x −=+−，移项合并得：24x −=−，解得：2x =，检验：把2x =代入最简公分母2x −中，2220x −=−=，∴2x =是增根，∴原方程无解．【点睛】本题主要考查的是分式方程，把分式方程转化为整式方程，最后检验是解答本题的关键是．25．（1）③；（2）分式加法法则运用错误；（3）见解析【分析】观察整个运算过程，根据分式的加法运算法则，找出错误的步骤并正确求解即可．【详解】（1）③；（2）同分母分式相加时，分母不变，分子相加，不能去掉分母；（3）原式()()61333a a a =++−+， ()()()()633333a a a a a −=++−+−，()()6333a a a +−=+−， 13a =−．【点睛】本题考查了分式的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．26．（1）b a ab−；（2）29x y 【分析】（1）根据分式减法运算法则，先通分，分母不变分子相减，计算得出答案即可．（2）根据分式乘法运算法则进行约分得到最简分式即可．【详解】（1）解：原式b a ab ab =− b a ab−=．（2）解：原式2222323y x x x y y ⋅⋅=⋅⋅ 29x y =．【点睛】本题考查了分式减法运算和分式乘法运算，熟练掌握分式运算法则是解题关键．27．1a −【分析】先计算括号内的异分母分式加法，再将除法化为乘法计算即可．【详解】解：211121a a a a ⎛⎫+÷ ⎪−−+⎝⎭ ()211111a a a a a −⎛⎫=+÷ ⎪−−⎝⎭− ()211a a a a −=− 1a =−．【点睛】此题考查分式的混合运算，正确掌握异分母分式的加减法计算法则，分式的除法计算法则是解题的关键．28．第二宇宙速度是每秒11.2千米．【分析】设第二宇宙速度是每秒xkm ，则高铁全速行驶的速度是每秒1112x km ，根据第二宇宙速度飞行560千米所用时间+50=该列高铁全速行驶10千米所用时间，列出方程求解即可．【详解】解：设第二宇宙速度是每秒xkm ，则高铁全速行驶的速度是每秒1112x km ，根据题意，11125601050x x +=，解得11.2x =，经检验11.2x =是该方程的解．所以，第二宇宙速度是每秒11.2千米．【点睛】本题考查分式方程的应用．能结合题意找出等量关系列出方程是解题关键．不要忘记验根哦．29．方程无解【分析】去分母将分式方程化为整式方程，求解并验证根即可．【详解】解：去分母得：3(1)(2)(2)x x x x +−+=+，去括号得：22322x x x x ++−=+，移项合并得：1x −=−，解得：1x =．经检验1x =是该方程的增根，即方程无解．方程求解．解分式方程一定不要忘了验根．30．x =﹣3【分析】通过去分母，把分式方程化成整式方程，求解整式方程，再把解代入最简公分母检验即可．【详解】解：方程两边乘以（x +1）（x ﹣1）得：2(1)4(1)(1)x x x ++=+−解这个方程得：x =﹣3检验：当x =﹣3时，（x +1）（x ﹣1）≠0∴x =﹣3是原方程的解∴原方程的解是：x =﹣3．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．。

北京市海淀区师达中学2021届数学八上期末学业水平测试试题

北京市海淀区师达中学2021届数学八上期末学业水平测试试题一、选择题1．计算式子（12）﹣1，得（）A．2 B．﹣2 C．﹣12D．﹣12．关于x的方程32211x mx x--=++有增根，则m的值是（）A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．23．分式方程61x-＝5(1)xx x+-有增根，则增根为（）A．0 B．1 C．1或0 D．﹣54．下列计算，结果等于a4的是()A．a+3a B．a5-a C．(a2)2D．a8÷a25．下列是平方差公式应用的是（）A．（x+y）（﹣x﹣y） B．（2a﹣b）（2a+b） C．（﹣m+2n）（m﹣2n） D．（4x+3y）（4y ﹣3x）6．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是( )．A．(x＋1)(x－1)＝x2－1B．x2－2x＋1＝x(x－2)＋1C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)D．mx＋my＋nx＋ny＝m(x＋y)＋n(x＋y)7．已知点P(﹣2，4)，与点P关于x轴对称的点的坐标是( )A．(﹣2，﹣4) B．(2，﹣4) C．(2，4) D．(4，﹣2)8．下列手机软件图标中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.9．下列说法：（1）线段的对称轴有两条；（2）角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线；（3）两个全等的等边三角形一定成轴对称；（4）两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线两侧；（5）到直线L距离相等的点关于L对称.其中说法不正确的有，（）A.3个B.2个C.1个D.4个10．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线交AC于点M，交AB于点E，BC的垂直平分线交AC于点N，交BC于点F，连接BM，BN，若AC＝24，则△BMN的周长是（）A．36 B．24 C．18 D．1611．如图，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是( )A.B.C. D.12．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，若D 与C 关于BE 成轴对称，则下列结论：①∠A ＝30°；②△ABE 是等腰三角形；③点B 到∠CED 的两边距离相等．其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个13．下列图中不具有稳定性的是( )A ．B ．C ．D ．14．已知△ABC 中，∠A ＝20°，∠B ＝70°，那么△ABC 是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．正三角形15．下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（）A ．正六边形和正方形B ．正五边形和正八边形C ．正六边形和正三角形D ．正十边形和正三角形二、填空题16．计算：20(1)--+=_____________.17．分解因式：2294x y -=______．18．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BD ：DC=3：2，点D 到AB 的距离为4，则BC 等于_____．19．在ABC △中，1123A B C ∠=∠=∠，则B ∠=_________度. 20．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，若△ABC 与△EBC 的周长分别是22、14，则AC 的长是________．三、解答题21．先化简，再求值：222x x x x x x⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，其中23x =-. 22．(1)当 x 取下列数值时，比较 4x ＋1 与 x 2＋5 的大小，用等号或不等号填空：①当 x ＝－1 时，4x ＋1 ▲ x 2＋5；②当 x ＝0 时，4x ＋1 ▲ x 2＋5；③当 x ＝2 时，4x ＋1 ▲ x 2＋5；④当 x ＝5 时，4x ＋1 ▲ x 2＋5．(2)再选一些 x 的数值代入 4x ＋1 与 x 2＋5，观察它们的大小关系，猜猜 x 取任意数值时， 4x ＋1 与 x 2＋5 的大小关系应该怎样？并请说明理由．23．已知，在ABC 中，点D 在BC 上，点E 在BC 的延长线上，且BD BA =，CE CA =． ()1如图1，若BAC 90∠=，B 45∠=，试求DAE ∠的度数；()2若BAC 90∠=，B 60∠=，则DAE ∠的度数为______(直接写出结果)；()3如图2，若BAC 90∠>，其余条件不变，探究DAE ∠与BAC ∠之间有怎样的数量关系？24．如图，点O 是等边ABC ∆内一点，110AOB ∠=︒，BOC α∠=，将CO 绕点C 顺时针方向旋转60︒得到CD ，连接AD ，OD .（1）当150α=︒时，判断AOD ∆的形状，并说明理由；（2）求DAO ∠的度数；（3）请你探究：当α为多少度时，AOD ∆是等腰三角形？25．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点P 为线段AD 上的一个动点，PE ⊥AD 交BC 的延长线于点E ．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E 得度数．（2）当点P 在线段AD 上运动时，设∠B=α，∠ACB=β（β＞α），求∠E 得大小．（用含α、β的代数式表示）【参考答案】***一、选择题16．217．()()3232x y x y +- 18．19．60︒20．8 三、解答题21．42x -+，3- 22．（1）①＜；②＜；③=；④＜；（2）4x ＋1≤x 2＋5，理由见解析.23．（1）45°（2）45（3）见解析【解析】【分析】根据三角形的内角和得到ACB ∠的度数，根据等腰三角形的性质得到CAE E ∠∠=，根据三角形的外角的性质得到E ∠，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到ADB ∠，根据三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】()1BAC 90∠=，B 45∠=，ACB 45∠∴=， CE AC =，CAE E ∠∠∴=，ACB CAE E 45∠∠∠=+=，E 22.5∠∴=，AB DB =，()1ADB 1804567.52∠∴=-=， DAE ADB E 45∠∠∠∴=-=；()2BAC 90∠=，B 60∠=，ACB 30∠∴=， CE AC =，CAE E ∠∠∴=，ACB CAE E 30∠∠∠=+=，E 15∠∴=，AB DB =，()1ADB 18060602∠∴=-=， DAE ADB E 45∠∠∠∴=-=；故答案为：45；()3设BAC α∠=，B β∠=，ACB 180αβ∠∴=--， CE AC =，CAE E ∠∠∴=，ACB CAE E 180αβ∠∠∠=+=--，11E 90αβ22∠∴=--， AB DB =，()11ADB 180β90β22∠∴=-=-， 1111DAE ADB E 90β90αβα2222∠∠∠⎛⎫∴=-=----= ⎪⎝⎭； BAC 2DAE ∠∠∴=．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．24．（1）AOD ∆为直角三角形，理由见解析；（2）50DAO ∠=︒；（3）当α为125︒或110︒或140︒时，AOD ∆为等腰三角形.【解析】【分析】（1）由旋转可以得出OCD ∆和ABC ∆均为等边三角形，再根据BOC ADC ∆≅∆求出150ADC BOC ∠=∠=︒，进而可得AOD ∆为直角三角形；（2）因为BOC ADC ∆≅∆进而求得∠=∠DAC CBO ，根据∠=DAO (20)1ABO BAO ︒-∠+∠，即可求出求DAO ∠的度数；（3）由条件可以表示出∠AOC=250°-a ，就有∠AOD=190°-a ，∠ADO=a-60°，当∠DAO=∠DOA ，∠AOD=ADO 或∠OAD=∠ODA 时分别求出a 的值即可．【详解】解：（1）AOD ∆为直角三角形，理由如下： CO 绕C 顺时针旋转60︒得到CD ，OCD ∴∆和ABC ∆均为等边三角形，BC AC =，OC CD =，60BCO ACO ∠+∠=︒，60ACD ACO ∠+∠=︒BCO ACD ∴∠=∠BOC ADC ∴∆≅∆150ADC BOC ∴∠=∠=︒，90ADO ADC ODC ∴∠=∠-∠=︒AOD ∴∆为直角三角形；（2）由（1）知：BOC ADC ∆≅∆，DAC CBO ∴∠=∠，60CBO ABO ∠=︒-∠，60CAO BAO ∠=︒-∠DAO DAC CAO CBO CAO ∴∠=∠+∠=∠+∠=()(6060)ABO BAO ︒-∠+︒-∠=(20)1ABO BAO ︒-∠+∠18011070ABO BAO ∠+∠=︒-︒=︒，1207050DAO ∴∠=︒-︒=︒；（3）∵∠AOB=110°，∠BOC=α∴∠AOC=250°-a ．∵△OCD 是等边三角形，∴∠DOC=∠ODC=60°，∴∠ADO=a-60°，∠AOD=190°-a ，当∠DAO=∠DOA 时，2（190°-a ）+a-60°=180°，解得：a=140°当∠AOD=ADO 时，190°-a=a-60°，解得：a=125°，当∠OAD=∠ODA 时，190°-a+2（a-60°）=180°，解得：a=110°∴α=110°，α=140°，α=125°．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，旋转的性质的运用，直角三角形的判定，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．25．(1) 25°;(2) ∠E=β-α。

北京市海淀区2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷(含答案解析)

北京市海淀区2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________1、下列冰雪运动项目的图标中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2、2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递．微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息．将数字0.000003用科学记数法表示应为（）A. 30×10−3B. 3×10−6C. 3×10−5D. 0.3×10−43、下列变形是因式分解的是（）A. x(x+1)=x2+xB. x2+6x+4=(x+3)2−5C. x2+xy−3=x(x+y)−3D. x2+2x+1=(x+1)24、下列计算正确的是（）A. (3a3)2=9a6B. a3+a2=2a5C. a3⋅a2=a6D. a8÷a2=a45、如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，DE⊥AC于点E.若EC=3，则DC的长为（）A. 4B. 5C. 6D. 76、下列变形正确的是（）A. yx =y+3x+3B. yx=−y−xC. yx=y2x2D. y x=x y7、如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B=75°，则∠ACD的度数为（）A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°8、某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为24，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为（）A. 1B. 32C. 2 D. 839、若分式1x−2有意义，则x的取值范围为．10、在平面直角坐标系xOy中，点A(2,4)与点B关于y轴对称，则点B的坐标是．11、分解因式：3a2−12=．12、若x=4是关于x的方程2x−mx−3=3的解，则m的值为．13、等腰三角形的一个角等于40°，则它的顶角的度数是．14、在〇处填入一个整式，使关于x的多项式x2+〇+1可以因式分解，则〇可以为.(写出一个即可)15、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF 平分∠ABC，EF=2，BC=8，则△CDF的面积为．16、如图，在△ABC中，AC=BC，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E.再分别以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点．作直线FG，若直线FG经过点E，则∠AEG的度数为°.17、计算：(−π)0+(13)−1−28÷26．18、化简：(x−2)2+(x+3)(x+1)．19、化简：[(x+3y)(x−3y)−x2]÷9y．20、解方程：1x =5x+321、如图，已知线段AB及线段AB外一点C，过点C作直线CD，使得CD⊥AB．小欣的作法如下：①以点B为圆心，BC长为半径作弧；②以点A为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于另外一点D；③作直线CD．则直线CD即为所求．(1)根据小欣的作图过程补全图形；(2)完成下面的证明．证明：连接AC，AD，BC，BD．∵BC=BD，∴点B在线段CD的垂直平分线上．(______)(填推理的依据)∵AC=______，∴点A在线段CD的垂直平分线上．∴直线AB为线段CD的垂直平分线．∴CD⊥AB．22、在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中△ABC是一个格点三角形．请在图1和图2中各画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形，并画出对称轴．23、如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D，E在BC边上，AD=AE.求证：CD=BE．24、已知a 2+2a −1=0，求代数式(a 2−1a 2−2a+1−11−a )÷1a 2−a的值． 25、某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需要的时间与原计划生产450台机器所需要的时间相同，现在平均每天生产多少台机器？26、如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点A(−4,0)，B(4,0)，C(0,4)，给出如下定义：若P 为△ABC内(不含边界)一点，且AP 与△BCP 的一条边相等，则称P 为△ABC 的友爱点．(1)在P 1(0,3)，P 2(−1,1)，P 3(−2,1)中，△ABC 的友爱点是______．(2)如图2，若P 为△ABC 内一点，且∠PAB =∠PCB =15°，求证：P 为△ABC 的友爱点；(3)直线l 为过点M(0,m)且与x 轴平行的直线，若直线l 上存在△ABC 的三个友爱点，直接写出m 的取值范围是______．27、在分式N M中，若M ，N 为整式，分母M 的次数为a ，分子N 的次数为b(当N 为常数时，b =0)，则称分式NM 为(a −b)次分式．例如，x+1x 4−x 3为三次分式． (1)请写出一个只含有字母x 的二次分式______；(2)已知A =mx+2x−3，B =nx+3x 2−9(其中m ，n 为常数)． ①若m =0，n =−5，则A ·B ，A +B ，A −B ，A 2中，化简后是二次分式的为______； ②若A 与B 的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求2m +n 的值．28、在△ABC 中，∠B =90°，D 为BC 延长线上一点，点E 为线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，连接EA ，EC ，ED ．(1)如图1，当∠BAC=50°时，则∠AED=______°；(2)当∠BAC=60°时，①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE.P为直线CF上一动点．当PE−PD的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为______，并证明．参考答案及解析1.答案：D解析：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，所以选：D．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.答案：B解析：0.000003=3×10−6．所以选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．3.答案：D解析：本题主要考查的是因式分解的概念的有关知识，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．A.是整式的乘法，故A错误；B.没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B错误．C.没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；D.把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D正确．所以选：D．4.答案：A解析：A、(3a3)2=9a6，故A符合题意；B、a3与a2不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；C、a3⋅a2=a5，故C不符合题意；D、a8÷a2=a6，故D不符合题意；所以选：A．利用合并同类项的法则，积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则掌握．5.答案：C解析：本题考查的是等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，能求出∠CDE=30°是解此题的关键．根据△ABC是等边三角形得出∠C=60°，由DE⊥AC得出∠DEC=90°，从而可以求出∠CDE=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出DC即可．因为△ABC是等边三角形，所以∠C=60°，因为DE⊥AC，所以∠DEC=90°，所以∠CDE=180°−∠DEC−∠C=180°−90°−60°=30°，所以EC=12DC，所以CD=2EC，因为EC=3，所以CD=2×3=6．6.答案：B解析：A、当x=y≠0时，yx =y+3x+3，故A不符合题意．B、yx =−y−x，故B符合题意．C、当x=y≠0时，yx =y2x2，故C不符合题意．D 、当x =y ≠0时，y x =x y ，故D 不符合题意．所以选：B ．根据分式的基本性质即可求出答案．本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 7.答案：C解析：因为△ABC≌△DEC ，所以∠ACB =∠DCE ，BC =EC ，所以∠ACB −∠ACE =∠DCE −∠ACE ，即∠BCE =∠ACD ，因为BC =EC ，所以∠BEC =∠B =75°，所以∠BCE =180°−∠B −∠BEC =30°，所以∠ACD =30°．所以选：C ．由全等三角形的性质可得∠ACB =∠DCE ，BC =EC ，从而可求得∠BCE =∠ACD ，∠BEC =∠B =75°，由三角形的内角和可求得∠BCE =30°，从而得解．本题主要考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．8.答案：B解析：设AB =a ，BC =b ，由四个正方形的周长之和为24，面积之和为12可得，4a ×2+4b ×2=24，2a 2+2b 2=12，即a +b =3①，a 2+b 2=6②，由①得，a 2+2ab +b 2=9③，③−②得2ab =3，所以ab =32，即长方形ABCD 的面积为32，所以选：B ．设AB =a ，BC =b ，由四个正方形的周长之和为24，面积之和为12列方程求解即可．本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提．。

2021年北京市八年级数学上期末试卷附答案

一、选择题1．要使分式()()221x x x ++-有意义，x 的取值应满足（）A ．1x ≠B ．2x ≠-C ．1x ≠或2x ≠-D ．1x ≠且2x ≠-2．小红用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小红和小丽买到相同数量的笔记本．设硬面笔记本每本售价为x 元，根据题意可列出的方程为（） A ．1524x x 3=+ B ．1524x x 3=- C ．1524x 3x=+ D ．1524x 3x=- 3．2222x y x y x y x y -+÷+-的结果是（） A ．222()x y x y ++ B ．222()x y x y +- C ．222()x y x y -+ D ．222()x y x y ++4．化简232a b c a b c c ba b c a c b c a b-+-+--++--+--的结果是（）A ．0B ．1C ．－1D ．2(2)b c c a b---5．已知代数式2366x x -+的值为9，则代数式226x x -+的值为（） A ．18B ．12C ．9D ．76．如表，已知表格中竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则m +n ＝（）A ．1B ．2C ．5D ．77．已知25y x -=，那么()2236x y x y --+的值为（） A ．10 B ．40 C ．80 D ．210 8．2a =1，b 是2的相反数，则a+b 的值是（）A ．1B ．-3C ．-1或-3D ．1或-3 9．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为（）A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°或20°10．已知123n A A A A 、、中，1A 与2A 关于x 轴对称，2A 与3A 关于y 轴对称，3A 与4A 关于x 轴对称，4A 与5A 关于y 轴对称……，如果1A 在第二象限，那么100A 在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD=3，BE=1，则DE 的长是（）A ．1.5B ．2C ．22D ．10 12．已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题13．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}min ,a b 表示a ，b 中的较小的值，如{}min 2,42=．（1）{}min 2,3--=__________________．（2）方程{}3min 2,322x x x--=---的解为_________________．（3）方程131min ,2222x x x x -⎧⎫=-⎨⎬---⎩⎭的解为_________________． 14．计算:1 2+123⨯+134⨯+145⨯+…+()1n 1n -+()1n n 1+=______．15．若23x =，25y =，则22x y +=____________． 16．若294x kx ++是一个完全平方式，则k 的值为_____． 17．如图，在射线OA ，OB 上分别截取11OA OB =，连接11A B ，在11B A ，1B B 上分别截取1212B A B B =，连接22A B ，……按此规律作下去，若11A B O α∠=，则1010A B O ∠=___________．18．如图，在ABC 中，点D 是BC 上一动点，BD ，CD 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点E ，F ，在点D 的运动过程中，EDF ∠与A ∠的大小关系是EDF ∠______A ∠（填“＞”“＝”或“＜”）．19．如图，AC AE =，AD AB =，90ACB DAB ∠=∠=︒，33BAE ∠=︒，//CB AE ，AC 与DE 相交于点F ．（1）DAC ∠=______．（2）当1AF =时，BC 的长为______．20．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果147∠=︒，220∠=︒，那么3∠= __________．三、解答题21．先化简，再求值：21122m m m m ⎭-+÷-⎛⎫ ⎪-⎝，其中12m =-． 22．“圣诞节”前期，某水果店用1000元购进一批苹果进行销售，由于销售良好，该店又以2500元购进同一种苹果，第二次进货价格比第一次每千克贵了1元，第二次所购进苹果的数量恰好是第一次购进苹果数量的2倍．求该水果店第一次购进苹果的单价． 23．若一个三位或三位以上的整数A 分成左、中、右三个数后满足：①中间数=左边数2-右边数2，则称中间数是A 的“吉祥数”．如231的“吉祥数”是3，4122的“吉样数”是12；②中间数=（左边数-右边数）2，则称中间数是A 的“如意数”．如143的“如意数”是4，5161和1165的“如意数”是16．（1）若一个三位数的“吉祥数”是5，则这个数是_________，若一个四位数的“如意数”是81，则这个数是____，（2）一个“吉祥数”与一个“如意数”的左边数均为m ，右边数均为n ，且这个“吉祥数”比这个“如意数”大12，求满足条件的“吉样数”．24．如图，在△ABC 中， AB =AC ．过点A 作BC 的平行线交∠ABC 的角平分线于点D ，连接CD ．(1)求证：△ACD 为等腰三角形． (2)若∠BAD =140°，求∠BDC 的度数．25．如图，Rt ABC 与Rt DEF △的顶点A ，F ，C ，D 共线，AB 与EF 交于点G ，BC 与DE 相交于点H ，90B E ∠=∠=︒，AF CD =，AB DE =．（1）求证：Rt ABC Rt DEF ≌；（2）若1GF =，求线段HC 的长．26．如图，在ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，60BAC ∠=︒，70C ∠=︒．求EAD ∠和∠BOE 的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据分式有意义的条件得出x +2≠0且x ﹣1≠0，计算即可．【详解】解：要使分式()()221x x x ++-有意义，必须满足x +2≠0且x ﹣1≠0，解得：x ≠﹣2且x ≠1，故选：D ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，能根据分式有意义的条件得出x +2≠0且x ﹣1≠0是解此题的关键．2．D解析：D 【分析】由设硬面笔记本每本售价为x 元，可得软面笔记本每本售价为()x 3-元，根据小红和小丽买到相同数量的笔记本列得方程．【详解】解：设硬面笔记本每本售价为x 元，则软面笔记本每本售价为()x 3-元，根据题意可列出的方程为：1524x 3x=-．故选：D ．【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系，由此列得方程是解题的关键．3．C解析：C 【分析】根据分式的除法法则计算即可. 【详解】2222x y x y x y x y -+÷+-()()22x y x y x y x y x y +--=⨯++222()x y x y -=+ 【点睛】此题考查分式的除法法则：先把除式的分子分母颠倒位置，再化为最简分式即可.4．A解析：A 【分析】通过变号，把分母变成同分母，相加即可．【详解】原式＝232a b c a b c c ba b c a b c a b c -+-+---+-+-+-，＝23()(2) a b c a b c c ba b c-+--+--+-，＝232a b c a b c c ba b c-+-+--++-，＝0.故选：A【点睛】本题考查了分式的加减，先把分母通过变号变为同分母是解题关键．5．D解析：D【分析】将x2﹣2x当成一个整体，在第一个代数式中可求得x2﹣2x＝1，将其代入后面的代数式即能求得结果．【详解】解：∵3x2﹣6x+6＝9，即3（x2﹣2x）＝3，∴x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+6＝1+6＝7．故选：D．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是将x2﹣2x当成一个整体来对待．6．D解析：D【分析】由题意竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则有m﹣3+4﹣（m+3）＝﹣3+1+n﹣（4+1），即可解出n＝5，从而求出m值即可．【详解】解：由题意得竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则有m﹣3+4﹣（m+3）＝﹣3+1+n﹣（4+1），整理得n＝5，则有m﹣3+4＝﹣3+1+5，解得m＝2，∴m+n＝5+2＝7，故选：D．【点睛】此题主要考查列一元一次方程解决实际问题，理解题意，找出等量关系是解题关键．7．B解析：B【分析】所求式子变形后，将已知等式变形代入计算即可求出值．【详解】 25y x -=∴ 25x y -=-()2236x y x y --+()()2=322x y x y ---＝()()2535--⨯- ＝25+15 =40 故选：B 【点睛】此题主要考查整体代入的思想，还考查代数式求值的问题，是一道基础题．8．C解析：C 【分析】根据平方及相反数定义求出a 、b 的值，代入a+b 计算即可．【详解】∵2a =1，b 是2的相反数， ∴1a =±，b=-2，当a=1时，a+b=1-2=-1，当a=-1时，a+b=-1-2=-3，故选：C ．【点睛】此题考查求代数式的值，根据平方及相反数定义求出a 、b 的值是解题的关键．9．D解析：D 【分析】设两内角的度数为x 、4x ，分两种情况，列出方程，即可求解．【详解】解：设两内角的度数为x 、4x ，当等腰三角形的顶角为x 时，x ＋4x ＋4x ＝180°，x ＝20°；当等腰三角形的顶角为4x 时，4x ＋x ＋x ＝180°，x ＝30°，4x ＝120°；因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法是解题的关键．10．A【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，以及循环的规律就可以得到．【详解】解：A1与A2关于x轴对称，A2与A3关于y轴对称，A3与A4关于x轴对称，A4与A5关于y 轴对称，A1与A5是同一个点，四次一循环，100÷4=25，A100与A4重合，即第一象限，故选：A．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．11．B解析：B【分析】根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=90︒，进而得出∆CEB≅∆ADC，就可以得出BE=DC，进而求出DE的值．【详解】∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90︒，∴∠EBC+∠BCE=90︒，∵∠BCE+∠ACD=90︒，∴∠EBC=∠DCA，在∆CEB和∆ADC中，∠E=∠ADC，∠EBC=∠DCA，BC=AC，∴∆CEB≅∆ADC(AAS)，∴BE=DC=1，CE=AD=3，∴DE=EC-CD=3-1=2，故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．12．B解析：B根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围．【详解】解：根据三角形的三边关系，设第三边的长为x ， ∵三角形两边的长分别是1和4， ∴4-1＜x ＜4+1，即3＜x ＜5．故选：B ．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，关键是正确确定第三边的取值范围．二、填空题13．-3【分析】（1）模仿题干可直接给出答案；（2）先将原式转化为分式方程求解即可；（3）根据题中的新定义化简求出分式方程的解检验即可【详解】解：（1）根据题意；（2）原方程为：去分母得解得：经检验是该解析：-3 34x = 0x = 【分析】（1）模仿题干可直接给出答案；（2）先将原式转化为分式方程，求解即可；（3）根据题中的新定义化简，求出分式方程的解，检验即可．【详解】解：（1）根据题意，{}min 2,33--=-；（2）原方程为：3322x x x-=---，去分母得33(2)x x +=--，解得：34x =，经检验34x =是该方程的根，故{}3min 2,322xx x--=---的解为：34x =；（3）当1322x x <--时，x ＞2，方程变形得：11222x x x -=---，去分母得：1=x-1-2x+4，解得：x=2，不符合题意；当1322x x >--时，即x ＜2，方程变形得：31222x x x -=---，解得：x=0，经检验x=0是分式方程的解，综上，所求方程的解为x=0．故答案为：-3，34x =，0x =．【点睛】本题考查新定义的实数运算，解分式方程．能将题目新定义的运算化为一般运算是解题关键．14．【分析】通过观察可发现规律：则原式=即可计算出结果【详解】故答案为：【点睛】本题考查分式的运算解题的关键是发现已知式子的规律解析：1n n + 【分析】通过观察可发现规律：()11111n n n n =-++，则原式=11111111112233411n n n n -+-+-+⋯+-+--+，即可计算出结果．【详解】()()111111111111111111223344511223341111n n n n n n n n n n n ++++⋯++=-+-+-+⋯+-+-=-=⨯⨯⨯-+-+++故答案为：1nn +．【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是发现已知式子的规律．15．75【分析】逆用积的乘方可得再逆用幂的乘方即可求解【详解】解：故答案为：75【点睛】本题考查积的乘方和幂的乘方的逆用掌握积的乘方和幂的乘方是解题的关键解析：75 【分析】逆用积的乘方可得22222x y x y +=⋅，再逆用幂的乘方即可求解．【详解】解：()2222222223575x yxyxy +=⋅=⋅=⨯=，故答案为：75．【点睛】本题考查积的乘方和幂的乘方的逆用，掌握积的乘方和幂的乘方是解题的关键．16．【分析】根据完全平方公式分和的完全平方公式和差的完全平方公式两种情形求解即可【详解】∵=∴kx=∴k=故应该填【点睛】本题考查了完全平方公式的应用熟记完全平方公式并能进行灵活公式变形是解题的关键解析：3±.根据完全平方公式，分和的完全平方公式和差的完全平方公式两种情形求解即可.【详解】 ∵294x kx ++=223()2x kx ++， ∴kx=322x ±⨯⨯，∴k=3±，故应该填3±.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式并能进行灵活公式变形是解题的关键. 17．【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A2B2O 依此类推即可得到结论【详解】解：∵B1A2＝B1B2∠A1B1O ＝α∴∠A2B2Oα同理∠A3B3O ∠A2B2Oα∠A4B4Oα∴∠AnBnOα 解析：512α．【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A 2B 2O ，依此类推即可得到结论．【详解】解：∵B 1A 2＝B 1B 2，∠A 1B 1O ＝α，∴∠A 2B 2O 12=α，同理∠A 3B 3O 12=∠A 2B 2O 212=α， ∠A 4B 4O 312=α， ∴∠A n B n O 112n -=α， ∴∠A 10B 10O 95221αα==．故答案为：512α．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．18．＝【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到EB=EDFD=FC 则根据等腰三角形的性质得到∠EDB=∠B ∠FDC=∠C 然后利用平角的定义得∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC ）利用三角形内角和定理解析：＝先根据线段的垂直平分线的性质得到EB=ED ，FD=FC ，则根据等腰三角形的性质得到∠EDB=∠B ，∠FDC=∠C ，然后利用平角的定义得∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC ），利用三角形内角和定理得到∠A=180°-（∠B+∠C ），所以∠EDF=∠A ．【详解】解：∵BD 、CD 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点E 、F ，∴EB=ED ，FD=FC ，∴∠EDB=∠B ，∠FDC=∠C ，∴∠EDB+∠FDC=∠B+∠C ，∵∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC ），∠A=180°-（∠B+∠C ），∴∠EDF=∠A ．故答案为：=．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．19．33°2【分析】（1）作DG ⊥AC 的延长线于G 然后根据平行线的性质可以推出结论；（2）证明△ADG ≌△BAC （AAS ）由全等三角形的性质得出DG ＝AC ＝AE ；AG ＝BC 证明△AEF ≌△GDF （AAS解析：33° 2【分析】（1）作DG ⊥AC 的延长线于G ，然后根据平行线的性质可以推出结论；（2）证明△ADG ≌△BAC （AAS ），由全等三角形的性质得出DG ＝AC ＝AE ；AG ＝BC ，证明△AEF ≌△GDF （AAS ），得出1122AF GF AG BC ===，则可得出答案．【详解】解：（1）∵90ACB ∠=︒，//AE BC ，∴18090CAE ACB ∠=︒-∠=︒．∵90DAB CAE ∠=∠=︒，∴DAC CAB BAE CAB ∠+∠=∠+∠，∴33DAC BAE ∠=∠=︒．故答案为：33．（2）如图，过点D 作DG AC ⊥，交AC 的延长线于点G ，∴90AGD ACB ∠=∠=︒．∵//AE CB ，∴DAG BAE B ∠=∠=∠．在ADG 和BAC 中，,,,AGO BCA DAG B AD BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ADG BAC ≅△△，∴DG AC AE ==，AG BC =．在AEF 和GDF 中，,,,EFA DFG EAF DGF AE DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS AEF GDF ≅△△， ∴1122AF GF AG BC ===， ∴22BC AF ==．故答案为：2．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是平行线的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等的三角形的判定与性质．20．35°【分析】先求出等边三角形正方形正五边形的内角度数再根据三角形的外角和为360°即可求解【详解】∵等边三角形的内角度数是60°正方形的度数是90°正五边形的度数是∴∠3=360°-60°-90°解析：35°【分析】先求出等边三角形，正方形，正五边形的内角度数，再根据三角形的外角和为360°，即可求解．【详解】∵等边三角形的内角度数是60°，正方形的度数是90°，正五边形的度数是(52)1801085-⨯︒=︒， ∴∠3=360°-60°-90°-108°-∠1-∠2=360°-60°-90°-108°-47°-20°=35°，故答案是：35°【点睛】本题主要考查正多边形的内角和以及外角和定理，准确分析图形中角的数量关系，是解题的关键．三、解答题21．11m m -+，3-．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将m 的值代入计算即可求出值．【详解】解：21122m m m m ⎭-+÷-⎛⎫ ⎪-⎝ ()()2212211m m m m m m -+-=⋅-+- ()()()212211m m m m m --=⋅-+- 11m m -=+；当12m =-时，原式1123112--==--+．【点睛】考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．22．4元【分析】利用第二次进货价格比第一次每千克贵了1元，设该水果店第一次购买苹果的单价为x 元，第二次进货价格（x+1）元，利用等量关系：第二次所购进苹果的数量恰好是第一次购进苹果数量的2倍构造方程．解之即可．【详解】解：设该水果店第一次购买苹果的单价为x 元，则1000250021x x ⨯=+，解得：4x =，经检验，4x =是分式方程的根，答：该水果店第一次购买苹果的单价是4元．【点睛】本题考查可化为一元一次方程解应用题，掌握列方程解应用题的方法和进价、花费钱数与水果数量之间关系，抓住第二次进货价格比第一次每千克贵了1元设未知数，抓住第二次所购进苹果的数量恰好是第一次购进苹果数量的2倍构造方程是解题关键．23．（1）这个数是352，这个数是9810；（2）满足条件的“吉样数”是7481，5212，5163，7136．【分析】（1）设左边数为m ，右边数为n ，由题意225m n -=，分解为51m n m n +=⎧⎨-=⎩解方程组=32m n ⎧⎨=⎩即可求出，设左边数为m ，右边数为n ，由题意()281m n -=，直接开平方得9m n -=，直接确定m=9，n=0，即可写出这个数；（2）由题意得()22212m n m n -=-+化简得26mn n -=，因式分解()6n m n -=分别讨论n 与m-n 都是6的因式组成方程组，解之即可．【详解】（1）一个三位数的“吉祥数”是5，,设左边数为m ，右边数为n ，m 、n 均为正整数， 225m n -=，51m n m n +=⎧⎨-=⎩， =32m n ⎧⎨=⎩，则这个数是352，一个四位数的“如意数”是81，设左边数为m ，右边数为n ，()281m n -=，9m n -=，m=9，n=0，则这个数是9810，故答案为：352；9810；（2）由题意得()22212m n m n -=-+， 26mn n -=，()6n m n -=，1=6n m n =⎧⎨-⎩，2=3n m n =⎧⎨-⎩，3=2n m n =⎧⎨-⎩，6=1n m n =⎧⎨-⎩， 17n m =⎧⎨=⎩，2=5n m =⎧⎨⎩，3=5n m =⎧⎨⎩，6=7n m =⎧⎨⎩，求满足条件的“吉样数”是7481，5212，5163，7136．【点睛】本题考查是三位或三位以上的整数A 的新定义问题，认真学习题中的定义，掌握如意数与吉祥数的约定，会根据题中的要求列出等式，会解不定方程或方程组是解题关键． 24．（1）证明见解析；（2）50BDC ∠=︒．【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠ADB=∠ABD ，从而可得AB=AD ，再依据等量代换即可得出结论；（2）根据等腰三角形等边对等角可求得∠ADB=20°，再依据角平分线的性质、平行线的性质和等腰三角形等边对等角求得70ADC ∠=︒，最后利用角的和差即可求得结论．【详解】解：（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ，∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠DBC ，∴∠ADB=∠ABD ，∴AB=AD ，∵AB =AC ，∴AC=AD ，即△ACD 为等腰三角形；（2）∵AB=AD ，∠BAD =140°，∴∠ADB=∠ABD=1802BAD ︒-∠=20°， ∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=2∠ABD=40°，∵AB =AC ，∴∠ACB=∠ABC=40°,∵AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB=40°,∵AC=AD ， ∴180702DAC ADC ACD ︒-∠∠=∠==︒, ∴50AD DC AD C B B ∠-∠=∠=︒．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的有关证明．（1）中需正确识别角平分线与平行线所构成的等腰三角形；（2）中能根据等边对等角依次计算角度是解题关键．25．（1）见详解；（2）1【分析】（1）先证明AC=DF ，再根据HL 证明Rt ABC Rt DEF ≌；（2）先证明∠AFG=∠DCH ，从而证明∆AFG ≅∆DCH ，进而即可求解．【详解】（1）∵AF CD =，∴AF+CF=CD+CF ，即AC=DF ，在Rt ABC 与Rt DEF △中，∵AC DF AB DE =⎧⎨=⎩， ∴Rt ABC ≅Rt DEF △（HL ）；（2）∵Rt ABC ≅Rt DEF △，∴∠A=∠D ，∠EFD=∠BCA ，∵∠AFG=180°-∠EFD ，∠DCH=180°-∠BCA ，∴∠AFG=∠DCH ，又∵AF CD =，∴∆AFG ≅∆DCH ，∴HC=GF =1．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握HL 和ASA 证明三角形全等，是解题的关键．26．10EAD ∠=︒，55BOE ∠=︒【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC=180°-60°-70°=50°，再由AE 是角平分线，求出∠EAC=12∠BAC=30°，由AD 是高，求出∠CAD=90°-∠C=20°，最后即可求出∠EAD=∠EAC-∠CAD=10°；根据角平分线的性质，得∠OAB=12∠BAC ，∠OBA=12∠ABC ，所以∠BOE=∠OAB+∠OBA=12（∠BAC+∠ABC ）=12（180°-∠C ）=12×（180°-70°）=55°．【详解】解：∠B AC =60°，∠C =70°∴∠ABC =180°−∠ABC −∠C =180°−60°-70°=50°，∵AE 是角平分线，∴∠EAC =12∠BAC =12×60°=30°， ∵AD 是高，∴∠ADC =90°，∴∠CAD =90°−∠C =90°−70°=20°，∴∠DAE =∠EAC −∠CAD =30°−20°=10°；∵AE ，BF 是角平分线，∴∠OAB =12∠BAC ,∠OBA =12∠ABC ， ∴∠BOE =∠OAB +∠OBA =12(∠BAC +∠ABC )=12(180°−∠C )=12×(180°−70°) =55°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．。

2021-2022学年北京市海淀区八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2021-2022学年海淀区初二第一学期期末数学试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1. 下列冰雪运动项目的图标中，是轴对称图形的是ABCD2. 2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现 “径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递. 微波理论上可以在0.000 003秒内接收到相距约1千米的信息. 将数字0.000 003用科学记数法表示应为 A ．33010-⨯B ．6310-⨯C ．5310-⨯D ．40.310-⨯3. 下列变形是因式分解的是A ．2(1)x x x x +=+B ．2264(3)5x x x ++=+-C ．23()3x xy x x y +-=+-D ．2221(1)x x x ++=+4. 下列计算正确的是A ．326(3)9a a =B ．3252a a a +=C ． 326a a a ⋅=D ．824a a a ÷=5. 如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上一点，DE ⊥AC 于点E . 若EC = 3，则DC 的长为 A ．4 B ．5 C ．6D ．76. 下列变形正确的是A ．3=3y y x x ++B ．=y y x x --C ．22=y y x xD ．=y x x y7. 如图，△ABC ≌△DEC ，点E 在线段AB 上，∠B =75°，则∠ACD 的度数为A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°8. 某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福. 小冬以长方形ABCD 的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示. 若四个正方形的周长之和为24，面积之和为12，则长方形ABCD 的面积为 A ．1B ．32C ．2D ．83二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若分式12x -有意义，则x 的取值范围是____________. 10. 在平面直角坐标系xOy 中，点A （2，4）与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标是____________. 11. 分解因式：2312a -=____________. 12. 若4x =是关于x 的方程233x mx -=-的解，则m 的值为____________. 13. 若等腰三角形有一个角为40°，则它的顶角度数为____________.14. 在处填入一个整式，使关于x 的多项式2+x +1可以因式分解，则可以为___________.（写出一个即可）15. 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线， CE ⊥AB 于点E ，AD与CE 交于点F ，连接BF . 若BF 平分∠ABC ，EF =2，BC =8，则 △CDF 的面积为____________.16. 如图，在△ABC 中，AC =BC ，以点A 为圆心，AB 长为半径作弧交BC 于点D ，交AC 于点E . 再分别以点C ，D 为圆心，大于12CD 的长为半径作弧，两弧相交于F ，G 两点. 作直线FG . 若直线FG 经过点E ，则∠AEG 的度数为 °.三、解答题（本题共60分，第17、18、19、21、22题每题4分，第20、23、24、25题每题5分，第26题6分，第27题7分，第28题7分） 17. 计算：01861(π)()223--+-÷.18. 化简：2(2)(3)(1)x x x -+++.19. 化简：2(3)(3)9x y x y x y ⎡⎤+--÷⎣⎦.20. 解方程：153x x =+ .21. 如图，已知线段AB 及线段AB 外一点C ，过点C 作直线CD ，使得CD ⊥AB .小欣的作法如下：① 以点B 为圆心，BC 长为半径作弧；② 以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，两弧交于点D ； ③ 作直线CD . 则直线CD 即为所求.（1）根据小欣的作图过程补全图形；（2）完成下面的证明. 证明：连接AC ，AD ，BC ，BD . ∵ BC =BD ，∴ 点B 在线段CD 的垂直平分线上.（）（填推理的依据） ∵ AC = ，∴ 点A 在线段CD 的垂直平分线上. ∴ 直线AB 为线段CD 的垂直平分线. ∴ CD ⊥AB .22. 在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形.图中△ABC是一个格点三角形. 请在图1和图2中各画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形，并画出对称轴.图1 图223. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D，E在BC边上，AD=AE. 求证：CD=BE.24. 已知2210a a+-=，求代数式222111211aa a a a a⎛⎫--÷⎪-+--⎝⎭的值．25. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？26．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点A (-4，0)，B (4，0)，C (0，4)，给出如下定义：若P 为△ABC 内(不含边界)一点，且AP 与△BCP 的一条边相等，则称P 为△ABC 的友爱点．（1）在P 1(0，3)，P 2(-1，1)，P 3(-2，1)中，△ABC 的友爱点是；（2）如图2，若P 为△ABC 内一点，且15PAB PCB ∠=∠=︒, 求证：P 为△ABC 的友爱点；（3）直线l 为过点(0)M m ，且与x 轴平行的直线，若直线l 上存在△ABC 的三个友爱点，直接写出m 的取值范围．图1 图227. 在分式NM中，若M ，N 为整式，分母M 的次数为a ，分子N 的次数为b (当N 为常数时， 0b =)，则称分式N M为()a b -次分式. 例如，431x x x+-为三次分式.（1）请写出一个只含有字母x 的二次分式__________；（2）已知23mx A x +=-，239nx B x +=-（其中m ，n 为常数）. ① 若0m =，5n =-，则A B ⋅，A B +，A B -，2A 中，化简后是二次分式的为 _________________；② 若A 与B 的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求2m n +的值.28．在△ABC 中，∠B =90°，D 为BC 延长线上一点，点E 为线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，连接EA ，EC ，ED ．（1）如图1，当∠BAC =50°时，则∠AED = °；（2）当∠BAC =60°时，①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE．P为直线CF上一动点．当PE PD的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_________，并证明．图1 图2 图32021-2022学年海淀区初二第一学期期末数学试卷参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 2x ≠； 10.（2-，4）； 11. 3(2)(2)a a +-； 12. 5； 13. 40°或100°； 14. 2x （答案不唯一）； 15. 4； 16. 126.三、解答题（本题共60分，第17、18、19、21、22题每题4分，第20、23、24、25题每题5分，第26题6分，第27题7分，第28题7分）17. 01861(π)()223--+-÷.解：原式=134+- ----------------------3分 =0. ----------------------4分 18. 化简：2(2)(3)(1)x x x -+++.解：原式=224443x x x x -++++ ----------------------2分=227x +. ----------------------4分 19. 化简：2(3)(3)9x y x y x y ⎡⎤+--÷⎣⎦.解：原式=()22299x y x y --÷----------------------2分 =299y y-÷----------------------3分=y -. ----------------------4分20. 解方程：153x x =+.解：方程两边同乘(3)x x +，得 ----------------------1分35x x +=. ----------------------3分解得34x =. ----------------------4分检验：当34x =时，(3)0x x +≠. ∴ 原分式方程的解为34x =. ----------------------5分21. （1）---------------------2分（2）与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；----------------------3分AD . ----------------------4分 22. 如图（答案不唯一）.---------------------2分---------------------4分23. 证明：∵ AD =AE ，∴ ∠AEB =∠ADC . ----------------------1分在△CAD 与△BAE 中，C B ADC AEB AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴ △CAD ≌△BAE . ----------------------4分 ∴ CD BE =. ----------------------5分 24. 解：∵ 2210a a +-=，∴ 221a a +=． ----------------------1分原式=()()()()21111111a a a a a a ⎡⎤+-+÷⎢⎥---⎢⎥⎣⎦=()11111a a a a a +⎛⎫+⋅- ⎪--⎝⎭=()211a a a a +⋅-- ----------------------3分 =22a a + ----------------------4分 =1． ----------------------5分25. 解：设原计划平均每天生产x 台机器，则现在平均每天生产()50x +台机器．---------1分依题意，得60045050x x=+． ----------------------2分解得 150x =． ----------------------3分经检验，150x =是原分式方程的解且符合实际． ----------------------4分 ∴50200x +=．答：现在平均每天生产200台机器． ----------------------5分 26．（1）P 1，P 2； ----------------------2分（2）证明：∵ 点A (-4，0)，B (4，0)，C (0，4)，∴ AO =CO =BO ． ∵ ∠AOC =∠BOC =90°，∴ ∠CAO =∠ACO =∠BCO =∠ABC =45°．∴ AC ＝BC ，∠ACB =∠ACO +∠BCO =90°． ----------------------3分∵ ∠PAB =∠PCB =15°，∴ ∠CAP =∠CAO -∠PAB =30°，∠ACP =∠ACB -∠PCB =75°． ∴ ∠APC =180°-∠ACP -∠CAP =75°． ∴ ∠APC=∠ACP ．∴ AP =AC ． ∴ AP =BC ．∴ 点P 为△ABC 的友爱点． ----------------------4分（3）0＜m ＜2． ----------------------6分 27. （1）21x ，答案不唯一． ----------------------1分（2）①A B ⋅，2A ； ----------------------3分 ② ∵ 223,39mx nx A B x x ++==--，∴2223(32)939(3)(3)mx nx mx m n xA Bx x x x+++++++=+=--+-．∵A与B的和是一次分式，∴m=0．----------------------4分∴(2)9(3)(3)n xA Bx x+++=+-．∵A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，∴(2)93(3)n x x++=+或(2)93(3)n x x++=--．∴1n=或5n=-．----------------------6分∴21m n+=或25m n+=-．----------------------7分28.（1）80；----------------------1分（2）①△AED是等边三角形．----------------------2分证明：90B∠=︒，60BAC∠=︒，∴150ACD B BAC∠=∠+∠=︒．线段AC, CD的垂直平分线交于点E，∴EA=EC=ED．----------------------3分∴∠EAC=∠ACE，∠EDC=∠DCE．在四边形EACD中，360360260AED EAC ACD EDC ACD∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠=︒．EA=ED，∴△AED是等边三角形．----------------------4分②数量关系：PE-PD＝2AB. ----------------------5分证明：作点D关于CF的对称点G，直线EG交CF于点P，此时PE－PD最大.连接AD，GC，GD.∵∠CFD＝∠CAE，∠CFD＋∠CFE＝180°，∴ ∠CAE＋∠CFE＝180°.∵∠AEF＝60°，∴ ∠ACF＝360°-(∠CAE＋∠CFE＋∠AEF)＝120°.∵∠ACD＝150°，∴ ∠DCP＝∠ACD-∠ACF＝30°. ----------------------6分∵点D与点G关于CF对称，∴∠GCD＝2∠DCP＝60°，GC＝CD，GP＝PD.∴ △GCD为等边三角形 .∵∠CDG＝∠ADE＝60°，DG＝DC，DE＝DA，∴ ∠1＝∠2.∴ △ACD ≌△EGD（SAS）.∴ AC＝EG.∴ PE-PD＝EG＝AC.在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，∴ AC=2AB.∴ PE-PD＝2AB.----------------------7分。

北京市海淀区2021届数学八年级上学期期末考试试题模拟卷二

北京市海淀区2021届数学八年级上学期期末考试试题模拟卷二一、选择题1．500米口径球面射电望远镜，简称FAST ，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”．2018年4月18日，FAST 望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为( )A ．-20.51910⨯B ．-35.1910⨯C ．-451.910⨯D ．-651910⨯ 2．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（） A.且 B.且 C. 且 D.3．生物学家发现一种病毒的长度约为0.00000403mm ，数0.00000403用科学记数法表示为( )A ．4.03×10﹣7B ．4.03×10﹣6C ．40.3×10﹣8D ．430×10﹣94．计算结果为x 2－5x －6的是（）A ．(x －6)(x ＋1)B ．(x －2)(x ＋3)C ．(x ＋6)(x －1)D ．(x ＋2)(x －3)5．在长方形ABCD 内，将两张边长分别为a 和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，设图1中未被这两张正方形纸片覆盖的面积为S 1，图2中未被这两张正方形纸片覆盖的面积为S 2，当S 2-S 1=b 时，AD-AB 的值为（）A.1B.2C.2a-2bD.b 6．下列计算中，正确的是（）A ．a 2•a 4＝a 8B ．（a 2）4＝a 6C ．a 2+a 4＝a 6D ．a 6÷a 4＝a 2 7．如图，BD ，CE 分别是△ABC 的高线和角平分线，且相交于点O ．若AB ＝AC ，∠A ＝40°，则∠BOE 的度数是（）A.60°B.55°C.50°D.40° 8．如图，已知△ABC 的面积为16，BP 是∠ABC 的平分线，且AP ⊥BP 于点P ，则△BPC 的面积是（）A.10B.8C.6D.49．如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，CD 、BE 分别是∠ACB ，∠ABC 的平分线，CD 、BE 相交于F 点，连接DE ，则图中全等的三角形有多少组（）A.3B.4C.5D.6 10．日常生活中，我们会看到很多标志，在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（） A ． B ． C ． D ．11．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，如果添加一个条件使△ABE ≌△CDF ，则添加的条件不能是（）A ．AE=CFB ．BE=FDC ．BF=DED ．∠1=∠212．如图，OC 是∠AOB 的平分线，∠BOD ＝13∠DOC ，∠BOD ＝12°，则∠AOD 的度数为( )A ．70°B ．60°C ．50°D ．48°13．把一副三角尺ABC 与BDE 按如图所示那样拼在一起，其中A 、D 、B 三点在同一直线上，BM 为ABC ∠的平分线，BN 为CBE ∠的平分线，则MBN ∠的度数是( )A.30oB.45oC.55oD.60o14．一个三角形，剪去一个角后所得的多边形内角和的度数是（）A ．180° B．360°C ．540° D．180°或 360°15．将长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC 、BD 为折痕，若∠ABC=35°,则∠DBE 的度数为A ．55°B ．50°C ．45°D ．60°二、填空题 16．将0.000025用科学记数法表示为______．17．已知6,7a b ab +==，则22a b +=_______________.【答案】2218．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图1，P ，Q 是直线l 同侧两点，请你在直线l 上确定一个点R ，使△PQR 的周长最小．小阳的解决方法如下：如图2，（1）作点Q 关于直线l 的对称点Q ；（2）连接PQ′交直线l 于点R ；（3）连接RQ ，PQ ．所以点R 就是使△PQR 周长最小的点．老师说：“小阳的作法正确．”请回答：小阳的作图依据是_____．19．如图，若∠1＝100°，∠2＝145°，则∠3＝_____°.20．如图，等腰直角三角形ABC 的底边长为62，AB ⊥BC ；等腰直角三角形CDE 的腰长为2，CD ⊥ED ；连接AE ，F 为AE 中点，连接FB ，G 为FB 上一动点，则GA 的最小值为____.三、解答题21．解方程与不等式组（1）解方程：31144xx x++=--（2）解不等式组3462211132x xx x-≤-⎧⎪⎨+--<⎪⎩①②22．因式分解是数学解题的一种重要工具，掌握不同因式分解的方法对数学解题有着重要的意义.我们常见的因式分解方法有：提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等.在此，介绍一种方法叫“试根法”.例：32331x x x-+-，当=1x时，整式的值为0，所以，多项式有因式=1x，设32331(1)x x x x-+-=-()21x ax++，展开后可得2a=-，所以()3223331(1)21(1)x x x x x x x-+-=--+=-，根据上述引例，请你分解因式：（1）2231x x-+；（2）32331x x x+++.23．如图在平面直角坐标系中，ABCV各顶点的坐标分别为：()A4,0，()B1,4-，()C3,1-()1在图中作A'B'C'V使A'B'C'V和ABCV关于x轴对称；()2写出点A'B'C'的坐标；()3求ABCV的面积．24．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．25．O为直线AB上的一点，OC⊥OD，射线OE平分∠AOD.(1)如图①，判断∠COE 和∠BOD 之间的数量关系，并说明理由；(2)若将∠COD 绕点O 旋转至图②的位置，试问(1)中∠COE 和∠BOD 之间的数量关系是否发生变化？并说明理由；(3)若将∠COD 绕点O 旋转至图③的位置，探究∠COE 和∠BOD 之间的数量关系，并说明理由．【参考答案】***一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 B B B A A D B B D A A B B D A16．5×10-517．无18．如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等：两点之间线段最短19．65202三、解答题21．（1）0x =；（2）213x -<≤ 22．（1）(1)(21)x x --；（2）3(1)x +23．（1）答案见解析；（2）A'()4,0，B' ()1,4--，C'()3,1--.（3）11.5【解析】【分析】()1直接利用关于x 轴对称点的性质，进而得出答案；()2直接利用()1中所画图形得出各点坐标即可；()3利用ABC V 所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．【详解】解：()1如图所示：A'B'C'V ，即为所求；()2点A'的坐标为()4,0，点B'的坐标为()1,4--，点C'的坐标为()3,1--；()3ABC V 的面积为：1117423451711.5222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．【点睛】本题考查轴对称变换以及格点三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．24．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）连接BF ，证明Rt △BCF ≌Rt △BEF ，根据全等三角形的性质即可证得CF ＝EF ；（2）连接BF ，证明Rt △BCF ≌Rt △BEF ，根据全等三角形的性质可得CF ＝EF ，由此即可证得结论；（3）连接BF ，证明Rt △BCF ≌Rt △BEF ，根据全等三角形的性质可得CF ＝EF ，由此即可证得结论.【详解】（1）证明：如图1，连接BF ，∵△ABC ≌△DBE ，∴BC ＝BE ，∵∠ACB ＝∠DEB ＝90°，在Rt △BCF 和Rt △BEF 中，BC BE BF BF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BCF ≌Rt △BEF （HL ），∴CF ＝EF ；（2）如图2，连接BF ，∵△ABC ≌△DBE ，∴BC ＝BE ， AC ＝DE,∵∠ACB ＝∠DEB ＝90°，在Rt △BCF 和Rt △BEF 中，BC BE BF BF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BCF ≌Rt △BEF （HL ），∴EF ＝CF ，∴AF+EF ＝AF+CF ＝AC ＝DE ；（3）如图3，连接BF ，∵△ABC ≌△DBE ，∴BC ＝BE ，AC ＝DE,∵∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∴△BCF 和△BEF 是直角三角形，在Rt △BCF 和Rt △BEF 中，BC BE BF BF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BCF ≌Rt △BEF （HL ），∴CF ＝EF ，∵AC ＝DE ，∴AF ＝AC+FC ＝DE+EF ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，证明Rt △BCF ≌Rt △BEF 是解决问题的关键.25．（1）BOD 2COE ∠=∠，见解析；（2）不发生变化，见解析；（3）2360BOD COE ∠+∠=o ，见解析.。

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2021北京海淀初二（上）期末数学2021．1学校____________班级____________姓名____________成绩____________一、选择题（本大题共24分，每小题3分）第1~8题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．1京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为ABCD2．KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病．“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m 的非油性颗粒．其中，0.0000003用科学记数法表示为 A ．6310−⨯ B ．7310−⨯C ．60.310−⨯D ．70.310−⨯3．下列计算正确的是A ．236a a a ⋅=B ．236()a a =C ．33(2)2a a =D ．1025a a a ÷=4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是A ．2(2)2x x x x −=−B ．22(1)21x x x +=++C ．24(2)(2)x x x −=+−D ．22(1)x x x+=+5．如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为A ．135︒B ．140︒C ．144︒D ．150︒6．小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：已知：AOB ∠．求作：A O B '''∠，使A O B AOB '''∠=∠．作法：（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）画一条射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；（3）以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D '；（4）过点D '画射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠．小聪作法正确的理由是 A ．由SSS 可得O C D OCD '''≌，进而可证A O B AOB '''∠=∠ B ．由SAS 可得O C D OCD '''≌，进而可证A O B AOB '''∠=∠C ．由ASA 可得O C D OCD '''≌，进而可证A O B AOB '''∠=∠D ．由“等边对等角”可得A O B AOB '''∠=∠7．如果2a b −=，那么代数式222a b ab a a b ⎛⎫+−⋅⎪−⎝⎭的值是 A ．2 B ．2−C ．12 D ．12−8．在ABC 中，AB AC ≠，线段AD ，AE ，AF 分别是ABC 的高，中线，角平分线，则点D ，E ，F 的位置关系为A ．点D 总在点E ，F 之间B ．点E 总在点D ，F 之间C ．点F 总在点D ，E 之间D ．三者的位置关系不确定二、填空题（本大题共24分，每小题3分） 9．若分式32x −有意义，则x 的取值范围是__________． 10．计算：()232a a a +÷=________________． 11．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，BD AC ⊥，垂足为D ．若=6AB ，则BD 的长为________________．A'B'O'C'D'DC O BA12．如图，AB BC ⊥，AD DC ⊥，垂足分别为B ，D ．只需添加一个条件即可证明ABC ADC ≌，这个条件可以是________________．（写出一个即可）13．某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b 的正方形的花坛．学生会提出两个方案：方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为1S ；方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为2S ；具体数据如图所示，则1S _________2S ．（填“>”，“<”或“=”）14．如图，AB AC =，40A ∠=︒，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ．则DBC ∠的大小为________．15．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(03)，，点B 与点A 关于x 轴对称，点C 在x 轴上，若ABC 为等腰直角三角形，则点C 的坐标为________________．16．图1是小明骑自行车的某个瞬间的侧面示意图，将小明右侧髋关节和车座看作一个整体抽象为A 点，将膝盖抽象为B 点，将脚跟、脚掌、踏板看作一个整体抽象为C 点，将自行车中轴位置记为D 点（注：自行车中轴是连接左右两个踏板，使两个踏板绕其旋转的部件），在骑行过程中，点A ，D 的位置不变，B ，C 为动ACD BCDBACD BAMN点．图2是抽象出来的点和线．若40cm AB BC ==，16cm CD =，小明在骑车前，需调整车座高度，保证在骑行过程中脚总可以踩到踏板，则AD 最长为_________cm ．三、解答题（本大题共52分，第17题8分，第18~21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题7分）17．（1）计算：2201()+2(2π)2−−−−；（2）分解因式：22363x xy y −+．18．已知2310x x −−=，求代数式(25)(25)2(1)x x x x +−+−的值．19．如图，C 是AB 的中点，CD ∥BE ，CD BE =，连接AD ，CE ．求证：AD CE =．EABCD20．《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”请补全上述命题的证明．已知：如图，在ABC △中，AC AB >．求证：____________________________．证明：如图，由于AC AB >，故在AC 边上截取AD AB =，连接BD ．（在上图中补全图形）AD AB =，ABD ∴=∠∠ ．（_________________________________）（填推理的依据） ADB ∠是BCD 的外角，ADB C DBC ∴∠=∠+∠．（_____________________________）（填推理的依据） ADB C ∴∠>∠． ABD C ∴∠>∠．ABC ABD DBC =+∠∠∠，ABC ABD ∴∠>∠． ABC C ∴∠>∠． 21．列方程解应用题开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚. 某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份. 近日，学校食堂花了2800元和2500元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多150千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低30%，求橘子每千克的价格.CBA22．如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 是AC 边上一点，连接BD ，EC AC ⊥，且=AE BD ，AE 与BC 交于点F ．（1）求证：CE AD =；（2）当AD CF =时，求证：BD 平分ABC ∠．23．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x 的多项式223x x −+，由于2223(1)2x x x −+=−+，所以当1x −取任意一对互为相反数的数时，多项式223x x −+的值是相等的．例如，当11x −=±，即2x =或0时，223x x −+的值均为3；当12x −=±，即3x =或1−时，223x x −+的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x 的多项式，若当x t −取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x t =对称．例如223x x −+关于1x =对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：（1）多项式246x x −+关于x =____________对称；（2）若关于x 的多项式223x bx ++关于3x =对称，求b 的值；（3）整式22(816)(44)x x x x ++−+关于x =____________对称．CDB AEF△是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E，24．已知ABC连接AD，AE，CE，DE．△是等边三角形；（1）如图1，当点D为线段BC的中点时，求证：ADE（2）当点D在线段BC的延长线上时，连接BE，F为线段BE的中点，连接CF．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段AD与CF的数量关系，并证明．25．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 为过点(0)M m ，且与x 轴垂直的直线．对某图形上的点()P a b ，作如下变换：当b m ≥时，作出点P 关于直线l 的对称点1P ，称为I()m 变换；当b m <时，作出点P 关于x 轴的对称点2P ，称为II()m 变换．若某个图形上既有点作了I()m 变换，又有点作了II()m 变换，我们就称该图形为-m 双变换图形．例如，已知(13)A ，，(21)B −，，如图1所示，当2m =时，点A 应作I(2)变换，变换后1A 的坐标是(33)，；点B 作II(2)变换，变换后1B 的坐标是(21)，．请解决下面的问题：（1）当0m =时，①已知点P 的坐标是(11)−，，则点P 作相应变换后的点的坐标是________； ②若点()P a b ，作相应变换后的点的坐标为(12)−，，求点P 的坐标；（2）已知点(15)C −，，(42)D −，，①若线段CD 是-m 双变换图形，则m 的取值范围是_________________； ②已知点()E m m ，在第一象限，若CDE 及其内部（点E 除外）组成的图形是-m 双变换图形，且变换后所得图形记为G ，直接写出所有图形G 所覆盖的区域的面积．图1 备用图二、 2021北京海淀初二（上）期末三、数学一、选择题（本大题共24分，每小题3分）第1~8题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．二、填空题（本大题共24分，每小题3分） 9．2x ≠ 10．32a + 11．312．答案不唯一，如：AB AD = 13．> 14．30︒15．(30)−，或(30)，（全写对得3分，只写对一个得1分，有错不得分） 16．64三、解答题（本大题共52分，第17题8分，第18~21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题7分） 17．（1）解：原式11144=+− ………………………3分 112=− 12=− ………………………4分（2）解：原式223(2)x xy y =−+ ………………………2分23()x y =− ………………………4分18．解：原式22425+22x x x =−− ………………………2分26225x x =−−………………………3分 2310x x −−=，231x x ∴−=． 22(3)25x x ∴=−−原式2125=⨯−23=−．………………………5分19．证明：C 是AB 的中点，AC CB ∴=．………………………1分CD ∥BE ，ACD B ∴∠=∠．………………………2分在ACD 和CBE 中，AC CB ACD B CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴ACD ≌CBE ．………………………4分∴AD CE =．………………………5分20．ABC C ∠>∠………………………1分………………………2分ADB ………………………3分等边对等角………………………4分三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和………………………5分21．解：设橘子每千克的价格为x 元，则香蕉每千克的价格为70%x 元．…………1分根据题意，得2800250015070%x x−=………………………3分解得10x =………………………4分检验：当10x =时，70%0x ≠.所以原分式方程的解为10x =且符合题意．答：橘子每千克的价格为10元．………………………5分22．（1）证明：EC AC ⊥，90BAC ∠=︒90ACE BAC ∴∠=∠=︒在RtCAE 和Rt ABD 中，AE BD CA AB =⎧⎨=⎩，， ∴Rt CAE ≌Rt ABD ．………………………1分∴CE AD =．………………………2分（2）证明：由（1）得RtCAE ≌Rt ABD ，21∴∠=∠，3E ∠=∠．………………………3分由（1）得CE AD =，AD CF =， CE CF ∴=．4E ∴∠=∠．………………………4分45∠=∠， 5E ∴∠=∠． 3E ∠=∠， 53∴∠=∠．623∠=∠+∠，675∠=∠+∠， 27∴∠=∠．………………………5分 21∠=∠，17∴∠=∠．∴BD 平分ABC ∠．………………………6分23．（1）2 ………………………1分（2）解：22223()3x bx x b b ++=++−， ………………………2分∴关于x 的多项式223x bx ++关于x b =−对称．3b ∴−=．3b ∴=−． ………………………3分（3）1− ………………………5分 24．（1）证明：点D ，E 关于直线AC 对称，AD AE ∴=，DAC EAC ∠=∠． ………………………1分7654321GCDBAEFABC 是等边三角形， AB AC ∴=，60BAC ∠=︒．点D 为线段BC 的中点，11=603022DAC BAC ∴∠=∠⨯︒=︒．30DAC EAC ∴∠=∠=︒． 60DAE ∴∠=︒． AD AE =，ADE ∴是等边三角形． ………………………2分（2）补全图形.………………………3分线段AD 与CF 的数量关系：2AD CF =．证明：延长CF 到点G ，使GF CF =，连接BG ．F 为线段BE 的中点，BF EF ∴=．在BFG 和EFC 中，GF CF BFG EFC BF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴BFG ≌EFC ．………………………4分∴GB CE =，G FCE ∠=∠．∴BG ∥CE ．ABC 是等边三角形， AC BC ∴=，60ACB ∠=︒． 120ACD ∴∠=︒．点D ，E 关于直线AC 对称，CD CE ∴=，120ACD ACE ∠=∠=︒． 60CD BG BCE ∴=∠=︒，．BG ∥CE ．180BCE CBG ∴∠+∠=︒．120CBG ∴∠=︒．………………………5分GFECDBAACD CBG ∴∠=∠．在ACD 和CBG 中，AC CB ACD CBG CD BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴ACD ≌CBG ．AD CG ∴=．2AD CF ∴=………………………6分25．（1）①(11)， ………………………1分②解：0m =，∴直线l 为y 轴．若0b ≥，则()P a b ，作I(0)变换，变换后的点为()a b −，，∴12.，−=−⎧⎨=⎩a b 12.，=⎧∴⎨=⎩a b 且符合题意.(12)P ∴，． ………………………2分若0b <，则(),P a b 作II(0)变换，变换后的点为()a b −，，∴12.，=−⎧⎨−=⎩a b 12.，=−⎧∴⎨=−⎩a b 且符合题意. (12)P ∴−−，．………………………3分综上，(12)P ，或(12)P −−，．（2）①52m −≤<−或25m <≤ ………………………5分 ②36 ………………………7分。