2020—2021学年北京市海淀区八年级下学期期末数学试卷及答案.doc

2017-2018学年北京市海淀区八年级（下）期末数学试卷一、选择题：（本题共30分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．1．下列各式中，运算正确的是（）A．B．C．D．2．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A．1，， B．3，4，5 C．5，12，13 D．2，2，33．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB=60°，BD=8，则AB的长为（）A．4 B．C．3 D．54．已知P1（﹣1，y1），P2（2，y2）是一次函数y=﹣x+1图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（）A．y1=y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．不能确定5．2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．如表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差s2：队员1队员2队员3队员4平均数（秒）51505150方差s2（秒2） 3.5 3.514.515.5根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．队员1 B．队员2 C．队员3 D．队员46．用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0，原方程应变形为（）A．（x﹣1）2=2 B．（x+1）2=4 C．（x﹣1）2=4 D．（x+1）2=27．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．13 B．14 C．15 D．168．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．则8min时容器内的水量为（）A．20 L B．25 L C．27L D．30 L9．若关于x的方程kx2﹣（k+1）x+1=0的根是整数，则满足条件的整数k的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图1，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，E是DC边上一个动点，F是AB边上一点，∠AEF=30°．设DE=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（）A．线段EC B．线段AE C．线段EF D．线段BF二、填空题：（本题共18分，每小题3分）11．写出一个以0，1为根的一元二次方程．12．若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是．13．如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理．14．若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，点P（3，4）在函数图象上，则关于x的不等式kx+b≤4的解集是．15．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF 的长为．16．如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于．三、解答题：（本题共22分，第17-19题每小题4分，第20-21题每小题4分）17．计算：．18．解方程：y（y﹣4）=﹣1﹣2y．19．已知x=1是方程x2﹣3ax+a2=0的一个根，求代数式3a2﹣9a+1的值．20．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（2，3）与点B（0，5）．（1）求此一次函数的表达式；（2）若点P为此一次函数图象上一点，且△POB的面积为10，求点P的坐标．21．如图，四边形ABCD中，AB=10，BC=13，CD=12，AD=5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．四、解答题：（本题共10分，第22题5分，第23题5分）22．阅读下列材料：北京市为了紧抓疏解非首都功能这个“牛鼻子”，迁市场、移企业，人随业走．东城、西城、海淀、丰台…人口开始出现负增长，城六区人口2016年由升转降．而现在，海淀区许多地区人口都开始下降．统计数字显示：2015年该区常住外来人口约为150万人，同比下降1.1%，减少1.7万人，首次实现了负增长．和海淀一样，丰台也在2015年首次实现了常住外来人口负增长，同比下降1.4%，减少1.2万人；东、西城，常住外来人口同样呈下降趋势：2015年东城同比下降2.4%，减少5000人，西城则同比下降5.5%，减少1.8万人；石景山，常住外来人口近年来增速放缓，预计到2016年年底，全区常住外来人口可降至63.5万，比2015年减少1.7万人，首次出现负增长；…2016年初，市发改委透露，2016年本市将确保完成人口调控目标﹣﹣城六区常住人口较2015年下降3%，迎来人口由升转降的拐点．人口下降背后，是本市紧锣密鼓疏解非首都功能的大战略．根据以上材料解答下列问题：（1）石景山区2015年常住外来人口约为万人；（2）2015年东城、西城、海淀、丰台四个城区常住外来人口同比下降率最高的是区；根据材料中的信息估计2015年这四个城区常住外来人口数最多的是区；（3）如果2017年海淀区常住外来人口降到121.5万人，求从2015年至2017年平均每年外来人口的下降率．23．如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE=BF．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；（2）若∠BEF=∠DAE，AE=3，BE=4，求EF的长．五、解答题：（本题共20分，第24题6分，第25-26题每小题6分）24．如图1，将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形ABCD．在菱形ABCD中，∠A的大小为α，面积记为S．（1）请补全表：α30°45°60°90°120°135°150°S1（2）填空：由（1）可以发现单位正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A大小的变化而变化，不妨把单位菱形的面积S记为S（α）．例如：当α=30°时，S=S（30°）=；当α=135°时，S=S=．由上表可以得到S（60°）=S（°）；S=S（°），…，由此可以归纳出S=（°）．（3）两块相同的等腰直角三角板按图2的方式放置，AD=，∠AOB=α，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注：可以利用（2）中的结论）．25．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN=90°，CM=MN．连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．（1）①依题意补全图形；②求证：BE⊥AC．（2）请探究线段BE，AD，CN所满足的等量关系，并证明你的结论．（3）设AB=1，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为（直接写出答案）．26．在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图1，矩形ABCD为△DEF的投影矩形，其投影比．（1）如图2，若点A（1，3），B（3，5），则△OAB投影比k的值为．（2）已知点C（4，0），在函数y=2x﹣4（其中x＜2）的图象上有一点D，若△OCD的投影比k=2，求点D的坐标．（3）已知点E（3，2），在直线y=x+1上有一点F（5，a）和一动点P，若△PEF的投影比1＜k＜2，则点P的横坐标m的取值范围（直接写出答案）．参考答案与试题解析一、选择题：（本题共30分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．1．下列各式中，运算正确的是（）A．B．C．D．【考点】二次根式的加减法．【分析】分别根据合并同类项的法则、二次根式的化简法则对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、3﹣=2≠3，故本选项错误；B、=2，故本选项正确；C、2与不是同类项，不能合并，故本选项错误；D、=2≠﹣2，故本选项错误．故选B．2．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A．1，， B．3，4，5 C．5，12，13 D．2，2，3【考点】勾股定理的逆定理．【分析】欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、12+（）2=3=（）2，故是直角三角形，故错误；B、42+32=25=52，故是直角三角形，故错误；C、52+122=169=132，故是直角三角形，故错误；D、22+22=8≠32，故不是直角三角形，故正确．故选D．3．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB=60°，BD=8，则AB的长为（）A．4 B．C．3 D．5【考点】矩形的性质．【分析】先由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB=OB=4即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=AC，OB=BD=4，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OB=4；故选：A．4．已知P1（﹣1，y1），P2（2，y2）是一次函数y=﹣x+1图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（）A．y1=y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．不能确定【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据一次函数y=﹣x+1中k=﹣1判断出函数的增减性，再根据﹣1＜2进行解答即可．【解答】解：∵P1（﹣1，y1）、P2（2，y2）是y=﹣x+1的图象上的两个点，∴y1=1+1=2，y2=﹣2+1=﹣1，∵2＞﹣1，∴y1＞y2．故选C．5．2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．如表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差s2：队员1队员2队员3队员4平均数（秒）51505150方差s2（秒2） 3.5 3.514.515.5根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．队员1 B．队员2 C．队员3 D．队员4【考点】方差；加权平均数．【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：因为队员1和2的方差最小，但队员2平均数最小，所以成绩好，所以队员2成绩好又发挥稳定．故选B．6．用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0，原方程应变形为（）A．（x﹣1）2=2 B．（x+1）2=4 C．（x﹣1）2=4 D．（x+1）2=2【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先移项，再配方，即方程两边同时加上一次项系数一般的平方．【解答】解：移项得，x2﹣2x=3，配方得，x2﹣2x+1=4，即（x﹣1）2=4，故选C．7．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．13 B．14 C．15 D．16【考点】平行四边形的性质．【分析】先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE=∠BEA，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，同理可得AB=AF，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，∴OA===8，∴AE=2OA=16；故选：D．8．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．则8min时容器内的水量为（）A．20 L B．25 L C．27L D．30 L【考点】函数的图象．【分析】用待定系数法求对应的函数关系式，再代入解答即可．【解答】解：设当4≤x≤12时的直线方程为：y=kx+b（k≠0）．∵图象过（4，20）、（12，30），∴，解得：，∴y=x+15 （4≤x≤12）；把x=8代入解得：y=10+15=25，故选B9．若关于x的方程kx2﹣（k+1）x+1=0的根是整数，则满足条件的整数k的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】根的判别式．【分析】当k=0时，可求出x 的值，根据x 的值为整数可得出k=0符合题意；k ≠0时，利用分解因式法解一元二次方程可求出x 的值，再根据x 的值为整数结合k 的值为整数即可得出k 的值．综上即可得出结论．【解答】解：当k=0时，原方程为﹣x+1=0，解得：x=1，∴k=0符合题意；当k ≠0时，kx 2﹣（k+1）x+1=（kx ﹣1）（x ﹣1）=0，解得：x 1=1，x 2=，∵方程的根是整数，∴为整数，k 为整数，∴k=±1．综上可知：满足条件的整数k 为0、1和﹣1．故选C ．10．如图1，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，AB=2，E 是DC 边上一个动点，F 是AB 边上一点，∠AEF=30°．设DE=x ，图中某条线段长为y ，y 与x 满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（ ）A ．线段ECB ．线段AEC ．线段EFD ．线段BF【考点】动点问题的函数图象．【分析】求出当点E 与点D 重合时，即x=0时EC 、AE 、EF 、BF 的长可排除C 、D ；当点E 与点C 重合时，即x=2时，求出EC 、AE 的长可排除A ，可得答案．【解答】解：当点E 与点D 重合时，即x=0时，EC=DC=2，AE=AD=2，∵∠A=60°，∠AEF=30°，∴∠AFD=90°，在RT△ADF中，∵AD=2，∴AF=AD=1，EF=DF=ADcos∠ADF=，∴BF=AB﹣AF=1，结合图象可知C、D错误；当点E与点C重合时，即x=2时，如图，连接BD交AC于H，此时EC=0，故A错误；∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴∠DAC=30°，∴AE=2AH=2ADcos∠DAC=2×2×=2，故B正确．故选：B．二、填空题：（本题共18分，每小题3分）11．写出一个以0，1为根的一元二次方程x2﹣x=0 ．【考点】根与系数的关系．【分析】先根据1+0=1，1×0=0，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一个一元二次方程．【解答】解：∵1+0=1，1×0=0，∴以1和0的一元二次方程可为x2﹣x=0．故答案为x2﹣x=0．12．若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是m≥﹣4 ．【考点】根的判别式．【分析】根据关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0有实数根，可得△≥0，从而可求得m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0有实数根，∴△=42﹣4×1×（﹣m）≥0，解得，m≥4，故答案为：m≥4．13．如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角．【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．【解答】解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角．（“矩形的四个角都是直角”没写不扣分）14．若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，点P（3，4）在函数图象上，则关于x的不等式kx+b≤4的解集是x≤3 ．【考点】一次函数与一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式．【分析】先根据待定系数法求得一次函数解析式，再解关于x的一元一次不等式即可．【解答】解法1：∵直线y=kx+b（k≠0）的图象经过点P（3，4）和（0，﹣2），∴，解得，∴一次函数解析式为y=2x﹣2，当y=2x﹣2≤4时，解得x≤3；解法2：点P（3，4）在一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上，则当 kx+b≤4时，y≤4，故关于x的不等式kx+b≤4的解集为点P及其左侧部分图象对应的横坐标的集合，∵P的横坐标为3，∴不等式kx+b≤4的解集为：x≤3．故答案为：x≤315．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF 的长为．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长【解答】解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，∴DF=AB=2.5，∵DE为△ABC的中位线，∴DE=BC=4，∴EF=DE﹣DF=1.5，故答案为：1.5．16．如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于．【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．【分析】过点P作MN∥AD交AB于点M，交CD于点N，根据正方形的性质可得出MN⊥AB，且PM≤PE、PN≤PF，由此即可得出AD≤PE+PF，再由正方形的面积为2即可得出结论．【解答】解：过点P作MN∥AD交AB于点M，交CD于点N，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴MN⊥AB，∴PM≤PE（当PE⊥AB时取等号），PN≤PF（当PF⊥BC时取等号），∴MN=AD=PM+PN≤PE+PF，∵正方形ABCD的面积是2，∴AD=．故答案为：．三、解答题：（本题共22分，第17-19题每小题4分，第20-21题每小题4分）17．计算：．【考点】二次根式的混合运算．【分析】先化简，然后根据混合运算的法则，先算括号里面的，然后算乘法，最后算减法．【解答】解：=，====．18．解方程：y（y﹣4）=﹣1﹣2y．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先去括号，移项合并同类项得到y2﹣2y+1=0，再根据完全平方公式即可求解．【解答】解：y（y﹣4）=﹣1﹣2y，y2﹣2y+1=0，（y﹣1）2=0，y 1=y2=1．19．已知x=1是方程x2﹣3ax+a2=0的一个根，求代数式3a2﹣9a+1的值．【考点】一元二次方程的解．【分析】根据方程解的定义，把x=1代入得出关于a的方程，求得a的值，再代入即可得出答案．【解答】解：∵x=1是方程x2﹣3ax+a2=0的一个根，∴1﹣3a+a2=0．∴a2﹣3a=﹣1．∴3a2﹣9a+1=3（a2﹣3a）+1=3×（﹣1）+1=﹣2．或解：∵x=1是方程x2﹣3ax+a2=0的一个根，∴1﹣3a+a2=0．∴a2﹣3a+1=0．解方程得．把代入得3a2﹣9a+1得3a2﹣9a+1=﹣2．20．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（2，3）与点B（0，5）．（1）求此一次函数的表达式；（2）若点P为此一次函数图象上一点，且△POB的面积为10，求点P的坐标．【考点】待定系数法求一次函数解析式．【分析】（1）设此一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0）．由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出该函数的表达式；（2）设点P的坐标为（a，﹣a+5）．根据三角形的面积公式即可列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）设此一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0）．∵一次函数的图象经过点A（2，3）与点B（0，5），∴，解得．∴此一次函数的表达式为y=﹣x+5．（2）设点P的坐标为（a，﹣a+5）．∵B（0，5），∴OB=5．=10，∵S△POB∴．∴|a|=4．∴a=±4．∴点P的坐标为（4，1）或（﹣4，9）．21．如图，四边形ABCD中，AB=10，BC=13，CD=12，AD=5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．【考点】勾股定理．【分析】连接AC，过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△ACD中根据勾股定理求出AC的长，由等腰三角形的性质得出AE=BE=AB，在Rt△CAE中根据勾股定理求出CE的长，再由S四边形ABCD =S△DAC+S△ABC即可得出结论．【解答】解：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E．∵AD⊥CD，∴∠D=90°．在Rt△ACD中，AD=5，CD=12，AC=．∵BC=13，∴AC=BC．∵CE⊥AB，AB=10，∴AE=BE=AB=．在Rt△CAE中，CE=．∴S四边形ABCD =S△DAC+S△ABC=．四、解答题：（本题共10分，第22题5分，第23题5分）22．阅读下列材料：北京市为了紧抓疏解非首都功能这个“牛鼻子”，迁市场、移企业，人随业走．东城、西城、海淀、丰台…人口开始出现负增长，城六区人口2016年由升转降．而现在，海淀区许多地区人口都开始下降．统计数字显示：2015年该区常住外来人口约为150万人，同比下降1.1%，减少1.7万人，首次实现了负增长．和海淀一样，丰台也在2015年首次实现了常住外来人口负增长，同比下降1.4%，减少1.2万人；东、西城，常住外来人口同样呈下降趋势：2015年东城同比下降2.4%，减少5000人，西城则同比下降5.5%，减少1.8万人；石景山，常住外来人口近年来增速放缓，预计到2016年年底，全区常住外来人口可降至63.5万，比2015年减少1.7万人，首次出现负增长；…2016年初，市发改委透露，2016年本市将确保完成人口调控目标﹣﹣城六区常住人口较2015年下降3%，迎来人口由升转降的拐点．人口下降背后，是本市紧锣密鼓疏解非首都功能的大战略．根据以上材料解答下列问题：（1）石景山区2015年常住外来人口约为65.2 万人；（2）2015年东城、西城、海淀、丰台四个城区常住外来人口同比下降率最高的是西城区；根据材料中的信息估计2015年这四个城区常住外来人口数最多的是海淀区；（3）如果2017年海淀区常住外来人口降到121.5万人，求从2015年至2017年平均每年外来人口的下降率．【考点】一元二次方程的应用；用样本估计总体．【分析】（1）由2016年全区常住外来人口63.5万，比2015年减少 1.7万人，列式为63.5+1.7=65.2；（2）依次把四个区人口的同比下降率作比较即可得出同比下降率最高的是西城区，再计算四个城区2015年的人口数进行比较；（3）设海淀平均每年常住外来人口的下降率为x ，原数为150万人，后来数为121.5万人，下降了两年，根据降低率公式列方程解出即可．【解答】解：（1）63.5+1.7=65.2，故答案为：65.2，（2）因为海淀区同比下降1.1%，丰台同比下降1.4%，东城同比下降2.4%，西城则同比下降5.5%，所以同比下降率最高的是西城，2015年这四个城区常住外来人口数：海淀区：约为150万人，丰台：1.2×104÷1.4%﹣12000≈845142≈85（万人），东城：5000÷24%﹣5000≈15833≈1.6（万人），西城：18000÷5.5%﹣18000≈309272≈31（万人），则常住外来人口数最多的是海淀区；故答案为：西城，海淀；（3）解：设海淀平均每年常住外来人口的下降率为x ．由题意，得150（1﹣x ）2=121.5．解得，x 1=0.1=10%，x 2=1.9．（不合题意，舍去）答：海淀平均每年常住外来人口的下降率为10%．23．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在CD 边上，点F 在DC 延长线上，AE=BF ．（1）求证：四边形ABFE 是平行四边形；（2）若∠BEF=∠DAE ，AE=3，BE=4，求EF 的长．【考点】矩形的性质；平行四边形的判定与性质．【分析】（1）欲证明四边形ABFE 是平行四边形，只要证明AE ∥BF ，EF ∥AB 即可．（2）先证明△AEB 是直角三角形，再根据勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，∠D=∠BCD=90°．∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°．∴∠D=∠BCF．在Rt△ADE和Rt△BCF中，∴Rt△ADE≌Rt△BCF．∴∠1=∠F．∴AE∥BF．∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形．（2）解：∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90°．∵∠BEF=∠DAE，∴∠BEF+∠1=90°．∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，∴∠AEB=90°．在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，AB=．∵四边形ABFE是平行四边形，∴EF=AB=5．五、解答题：（本题共20分，第24题6分，第25-26题每小题6分）24．如图1，将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形ABCD．在菱形ABCD中，∠A的大小为α，面积记为S．（1）请补全表：α30°45°60°90°120°135°150°S1（2）填空：由（1）可以发现单位正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A大小的变化而变化，不妨把单位菱形的面积S记为S（α）．例如：当α=30°时，S=S（30°）=；当α=135°时，S=S=．由上表可以得到S（60°）=S（120 °）；S=S（30 °），…，由此可以归纳出S=（α°）．（3）两块相同的等腰直角三角板按图2的方式放置，AD=，∠AOB=α，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注：可以利用（2）中的结论）．【考点】四边形综合题．【分析】（1）过D作DE⊥AB于点E，当α=45°时，可求得DE，从而可求得菱形的面积S，同理可求当α=60°时S的值，当α=120°时，过D作DF⊥AB交BA的延长线于点F，则可求得DF，可求得S的值，同理当α=135°时S的值；（2）根据表中所计算出的S的值，可得出答案；（3）将△ABO沿AB翻折得到菱形AEBO，将△CDO沿CD翻折得到菱形OCFD．利用（2）中的结论，可求得△AOB和△COD的面积，从而可求得结论．【解答】解：（1）当α=45°时，如图1，过D作DE⊥AB于点E，则DE=AD=，∴S=AB•DE=，同理当α=60°时S=，当α=120°时，如图2，过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，则∠DAE=60°，∴DF=AD=，∴S=AB•DF=，同理当α=150°时，可求得S=，故表中依次填写：；；；；（2）由（1）可知S（60°）=S，S=S（30°），∴S=S（α）故答案为：120；30；α；（3）两个带阴影的三角形面积相等．证明：如图3将△ABO沿AB翻折得到菱形AMBO，将△CDO沿CD翻折得到菱形OCND．∵∠AOD=∠COB=90°，∴∠COD+∠AOB=180°，∴S△AOB =S菱形AMBO=S（α）S△CDO =S菱形OCND=S由（2）中结论S（α）=S∴S△AOB =S△CDO．25．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN=90°，CM=MN．连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．（1）①依题意补全图形；②求证：BE⊥AC．（2）请探究线段BE，AD，CN所满足的等量关系，并证明你的结论．（3）设AB=1，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为（直接写出答案）．【考点】四边形综合题．【分析】（1）①依照题意补全图形即可；②连接CE，由正方形以及等腰直角三角形的性质可得出∠ACD=∠MCN=45°，从而得出∠ACN=90°，再根据直角三角形的性质以及点E为AN的中点即可得出AE=CE，由此即可得出B、E在线段AC的垂直平分线上，由此即可证得BE⊥AC；（2）BE=AD+CN．根据正方形的性质可得出BF=AD，再结合三角形的中位线性质可得出EF=CN，由线段间的关系即可证出结论；（3）找出EN所扫过的图形为四边形DFCN．根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出BD ∥CN，由此得出四边形DFCN为梯形，再由AB=1，可算出线段CF、DF、CN的长度，利用梯形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1所示．②证明：连接CE，如图2所示．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，AB=BC，∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=45°，∵∠CMN=90°，CM=MN，∴∠MCN=45°，∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°．∵在Rt△ACN中，点E是AN中点，∴AE=CE=AN．∵AE=CE，AB=CB，∴点B，E在AC的垂直平分线上，∴BE垂直平分AC，∴BE⊥AC．（2）BE=AD+CN．证明：∵AB=BC，∠ABE=∠CBE，∴AF=FC．∵点E是AN中点，∴AE=EN，∴FE是△ACN的中位线．∴FE=CN．∵BE⊥AC，∴∠BFC=90°，∴∠FBC+∠FCB=90°．∵∠FCB=45°，∴∠FBC=45°，∴∠FCB=∠FBC，∴BF=CF．在Rt△BCF中，BF2+CF2=BC2，∴BF=BC．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AD，∴BF=AD．∵BE=BF+FE，∴BE=AD+CN．（3）在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．∵∠BDC=45°，∠DCN=45°，∴BD∥CN，∴四边形DFCN为梯形．∵AB=1，∴CF=DF=BD=，CN=CD=，∴S=（DF+CN）•CF=（+）×=．梯形DFCN故答案为：．26．在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图1，矩形ABCD为△DEF的投影矩形，其投影比．（1）如图2，若点A（1，3），B（3，5），则△OAB投影比k的值为．（2）已知点C（4，0），在函数y=2x﹣4（其中x＜2）的图象上有一点D，若△OCD的投影比k=2，求点D的坐标．（3）已知点E（3，2），在直线y=x+1上有一点F（5，a）和一动点P，若△PEF的投影比1＜k＜2，则点P的横坐标m的取值范围1＜m＜3或m＞5 （直接写出答案）．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）在图2中作出△OAB的投影矩形ACBD，根据投影比的定义即可得出结论；（2）设出D点的坐标，分0≤x≤2和x＜0两种情况考虑，找出两种情况下△OCD的投影矩形，根据投影比的定义列出关于x的方程，解方程即可得出结论；（3）根据题意画出图形，根据投影矩形的不同分四种情况考虑（m≤1，1＜m＜3，3≤m≤5和m ＞5），找出每种情况下的投影矩形投影比，根据m的取值范围确定k的取值范围，由此即可得出结论．【解答】解：（1）在图2中过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D，则矩形ACBD为△OAB的投影矩形，∵点B（3，5），∴OC=3，BC=5，∴△OAB投影比k的值为=．（2）∵点D为函数y=2x﹣4（其中x＜2）的图象上的点，设点D坐标为（x，2x﹣4）（x＜2）．分以下两种情况：①当0≤x≤2时，如图3所示，作投影矩形OMNC．∵OC≥OM，∴，解得x=1，∴D（1，﹣2）；②当x＜0时，如图4所示，作投影矩形MDNC．∵点D坐标为（x，2x﹣4），点M点坐标为（x，0），∴DM=|2x﹣4|=4﹣2x，MC=4﹣x，∵x＜0，∴DM＞CM，∴，但此方程无解．∴当x＜0时，满足条件的点D不存在．综上所述，点D的坐标为D（1，﹣2）．（3）令y=x+1中y=2，则x+1=2，解得：x=1．①当m≤1时，作投影矩形A′FB′P，如图5所示．此时点P（m，m+1），PA′=5﹣m，FA′=6﹣（m+1）=5﹣m，△PEF的投影比k==1，∴m≤1不符合题意；②当1＜m＜3时，作投影矩形A′FB′Q，如图6所示．此时点P（m，m+1），FB′=5﹣m，FA′=6﹣2=4，△PEF的投影比k==，∵1＜m＜3，∴1＜k＜2，∴1＜m＜3符合题意；③当3≤m≤5时，作投影矩形A′FB′E，如图7所示．此时点E（3，2），FA′=6﹣2=4，FB′=5﹣3=2，△PEF的投影比k==2，∴3≤m≤5不符合题意；④当m＞5时，作投影矩形A′PB′E，如图8所示．此时点P（m，m+1），点E（3，2），PB′=m+1﹣2=m﹣1，PA′=m﹣3，△PEF的投影比k==，∵m＞5，∴1＜k＜2，∴m＞5符合题意．综上可知：点P的横坐标m的取值范围为1＜m＜3或m＞5．故答案为：1＜m＜3或m＞5．2017年2月18日。