2010年江苏高考数学试题(含答案详解
2010年江苏高考数学试题及参考答案
40 20 m2 80 m2 20 3(m2 80) 3(m2 20)
(x
3(m2 20) )
m2 20
,
m2 80 m2 20
化简得
y
20 m2 20
10 m2 40
(x
3(m2 20) m2 20
)
令 y 0 ，解得 x 1 ，即直线 MN 过 x 轴上定点 (1,0) 。
(2)设实数 t 满足( AB tOC )· OC =0，求 t 的值
（1） AB (3,5), AC (1,1)
求两条对角线长即为求 | AB AC | 与 | AB AC | ，
由 AB AC (2,6) ，得 | AB AC | 2 10 ，
由 AB AC (4, 4) ，得 | AB AC | 4 2 。
19．（16 分）设各项均为正数的数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已知 2a2 a1 a3 ，数列 Sn 是公差为 d 的
等差数列.
20.（16 分）设 f (x) 使定义在区间 (1,) 上的函数，其导函数为 f '(x) .如果存在实数 a 和函数 h(x) ，其中
h(x) 对任意的 x (1,) 都有 h(x) >0， 使得 f '(x) h(x)(x2 ax 1) ，则称函数 f (x) 具有性质 P(a) . (1)设函数 f (x) h(x) b 2 (x 1) ，其中 b 为实数
x 1 ①求证：函数 f (x) 具有性质 P(b)
求函数 f (x) 的单调区间
(2)已 知 函 数 g(x) 具 有 性 质 P(2) ， 给 定 x1, x2 (1,), x1 x2 ,设m为实数， mx1 (1 m)x2 ，
(1 m)x1 mx2 ，且 1, 1 ，若| g( ) g( ) |<| g(x1 ) g(x2 ) |,求 m 的取值范围
江苏2010年高考数学试卷(含答案、解析)
h(x) >0， 使得 f '(x) = h(x)(x 2 − ax + 1) ，则称函数 f (x) 具有性质 P(a) . (1)设函数 f (x) = h(x) + b + 2 (x > 1) ，其中 b 为实数
x +1 ①求证：函数 f (x) 具有性质 P(b)
求函数 f (x) 的单调区间
（1）估计该问题目有错，似乎为 f (x) = ln x + b + 2 (x > 1) ，则有如下解答： x +1
①
f
'( x)
=
1 x
−
b+2 (x + 1)2
=
1 x(x +1)2
(x2
− bx +1)
∵
x
> 1 时， h(x) =
1 x(x + 1)2
> 0 恒成立，
∴函数 f (x) 具有性质 P(b) ；
20)
(x
−
3(m2 − 20) )
m2 + 20
,
m2 + 80 m2 + 20
化简得
y
+
20 m2 + 20
=
−
10 m2 − 40
(x
−
3(m2 − 20) m2 + 20 )
令 y = 0 ，解得 x = 1 ，即直线 MN 过 x 轴上定点 (1,0) 。
{ } 19．（16 分）设各项均为正数的数列 {an }的前 n 项和为 Sn ，已知 2a2 = a1 + a3 ，数列 Sn 是公差为 d 的等差数列.
2010江苏省高考数学真题(含答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析数学I试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题(第1题一一第14题)、解答题(第15题一一第20题)。
本卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4. 请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。
作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。
请注意字体工整，笔迹清楚。
5. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
6. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
参考公式:锥体的体积公式：V锥体=1Sh,其中S是锥体的底面积，h是咼。
3一、填空题：本大题共置上14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位1、设集合A={-1,1,3} , B={a+2,a 2+4},A n B={3}，则实数a= _▲ _2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i (其中i为虚数单位)，则z的模为3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ ▲ __.4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间［5,40］中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有▲ 根在棉花纤维的长度小于20mm。
5、设函数f(x)=x(e x+ae-x)(x R)是偶函数，则实数a= ▲____双曲线右焦点的距离是 —▲ _________78、函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为 a k+i ,k 为正整数，a i =16， 贝V a i +a 3+a 5= ▲2 29、 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆x y 4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是 ________ ▲ _____10、 定义在区间 0,于 上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为 P ,过点P 作PP 1丄x 轴于点P 1,直线PP 1与y=sinx 的图像交于点 P 2,则线段P 1P 2的长为 ____________▲ _____ 。
2010江苏省高考数学真题含答案清晰版
2010江苏高考试卷锥体的体积公式：Sh V 31=锥体，其中S 是锥体的底面面积，h 是高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1. 设集合{}3,1,1-=A ，{}4,22++=a a B ，{}3=⋂B A ，则实数a 的值为 . 2. 设复数z 满足i i z 46)32(+=-（其中i 为虚数单位），则z 的模为 . 3. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 . 4. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有 根在棉花纤维的长度小于20mm. 5. 设函数))(()(R x ae e x x f x x ∈+=-是偶函数，则实数a = .6. 平面直角坐标系xOy 中，双曲线112422=-y x 上一点M ，点M 的横坐标 是3，则M 到双曲线右焦点的距离是 .7. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 .8. 函数)0(2>=x x y 的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5 = .9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线0512=+-c y x 的距离为1，则实数c 的取值范围是 . 10. 定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数x y cos 6=的图像与x y tan 5=的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与x sin =的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为 .11. 已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是 .12. 设实数y x ,满足94,8322≤≤≤≤y x xy ，则43yx 的最大值是 .13. 在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b aC a b +=，则tan tan tan tan C CA B+= . 14. 将边长为m 1正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长）梯形的面积,则S 的最小值是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1). （1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值.（第4题图）（第7题图）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900. （1）求证：PC ⊥BC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离.17. （本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度m h 4=，仰角 ∠ABE=α，∠ADE=β. （1）该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？（第17题图）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为A,B ，右顶点为F ，设过点T （m t ,）的直线TB TA ,与椭圆分别交于点M ),(11y x ，),(22y x N ，其中0>m ,0,021<>y y .（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；（2）设31,221==x x ，求点T 的坐标；（3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点.（其坐标与m 无关）19.（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}nS 是公差为d 的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立，求证：c 的最大值为29. （第18题图）设)(x f 是定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P . （1）设函数)(x f )1(12)(>+++=x x b x h ，其中b 为实数 （ⅰ）求证：函数)(x f 具有性质)(b P ； （ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；（2）已知函数)(x g 具有性质)2(P ，给定为实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|,求m 的取值范围.2010高考数学答案11。
2010年江苏高考数学试题答案
2010年江苏高考数学试题及参考答案一、填空题1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲________ 答案：1；2、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______答案：63；3、函数y=x2(x>0)的图像在点(a k,a k2)处的切线与x轴交点的横坐标为a k+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____答案：21；解答题15、（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长(2)设实数t满足()·=0，求t的值（1）求两条对角线长即为求与，由，得，由，得。
（2），∵()·，易求，，所以由()·=0得。
16、（14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB ∥DC，∠BCD=900(1)求证：PC⊥BC(2)求点A到平面PBC的距离（1）∵PD⊥平面ABCD，∴，又，∴面，∴。
（2）设点A到平面PBC的距离为，∵,∴容易求出17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H 的值(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大现在上传的图片版与WORD试卷都有错误，该题似乎缺少长度的条件，暂无法解答（1）∵，，∴（2）直线,化简得令，解得，即直线过轴上定点。
19．（16分）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列.20.（16分）设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质.(1)设函数，其中为实数①求证：函数具有性质求函数的单调区间(2)已知函数具有性质，给定，，且，若||<||,求的取值范围（1）估计该问题目有错，似乎为，则有如下解答：①∵时，恒成立，∴函数具有性质；【理科附加题】21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分）(1)几何证明选讲AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC（证明略）(2)矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0，k∈R，M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值（B点坐标不清，略）(3)参数方程与极坐标在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a 的值（过程略）(4)不等式证明选讲已知实数a,b≥0，求证：（略）22、（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。
2010年江苏高考数学试题(含答案详解
2 2
，故点 A 到平面 PBC 的距离等于
2。
5
（方法二）体积法：连结
AC 。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h。
0 0
因为 AB ∥ DC ，∠ BCD=90 ，所以∠ ABC=90 。 从而 AB=2 ， BC=1 ，得
ABC 的面积 S ABC
1。
1 3 S
ABC
由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1 ，得三棱锥 P-ABC 的体积 V 因为 PD⊥平面 ABCD ， DC 又 PD=DC=1 ，所以 平面 ABCD ，所以 PD⊥ DC 。
0 0
平面 ABCD ，所以 PD ⊥ BC 。
由∠ BCD=90 ，得 CD ⊥ BC ， 又 PD DC=D ， PD 、 DC 平面 PCD ，
所以 BC ⊥平面 PCD 。 因为 PC （ 2） （方法一）分别取 平面 PCD，故 PC⊥ BC 。 AB 、 PC 的中点 E 、 F，连 DE 、 DF ，则：
p 3 6 1 2
z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与 3+2 i 的模相等， z 的模为 2 。
3 只白球， 1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，
从中随机抽取
了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质 量的重要指标） ，所得数据都在区间 [5,40] 中，其频率
时， S 的最小值是
。
（方法二）利用函数的方法求最小值。
令3
x
t,t
(2,3),
1 t
1 1 ( , ) ，则： S 3 2
4 3 t
2
t
2
4 8 3 8 t
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷)(含答案)
2010年江苏高考数学试题及参考答案一、填空题1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲________ 答案：1；2、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______答案：63；3、函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=____▲_____答案：21；解答题15、（14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长(2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值（1）(3,5),(1,1)AB AC ==-求两条对角线长即为求||AB AC + 与||AB AC - ，由(2,6)AB AC +=，得||AB AC +=由(4,4)AB AC -=，得||AB AC -=（2）(2,1)O C =-- ，∵(OC t AB -)·OC 2AB OC tOC =- ，易求11AB OC =- ，25OC = ， 所以由(OC t AB -)·OC =0得115t =-。
16、（14分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PD⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900(1)求证：PC⊥BC(2)求点A 到平面PBC 的距离D CB APE（1）∵PD⊥平面ABCD ，∴PD BC ⊥，又BC C D ⊥，∴B C ⊥面P C D ，∴BC PC ⊥。
（2）设点A 到平面PBC 的距离为h ，∵A PBC P ABC V V --=,∴1133PBC ABC S h S PD ⋅=容易求出h =17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β(1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24,tan β=1.20,,请据此算出H 的值(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m ，问d 为多少时，α-β最大（1）∵tan AE AB α=，tan AE AD β=，∴tan 31tan 30A D A B αβ== （2）。
2010年江苏高考数学试题(含答案详解
2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析数学Ⅰ试题参考公式：锥体的体积公式: V 锥体=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．.1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =______▲_____. [解析] 考查集合的运算推理。
3∈B, a+2=3, a=1.2、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为______▲_____. [解析] 考查复数运算、模的性质。
z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与3+2 i 的模相等，z 的模为2。
3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ ▲__.[解析]考查古典概型知识。
3162p ==4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm 。
[解析]考查频率分布直方图的知识。
注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。
本卷满分160分，考试时间为120分钟。
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2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
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2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析数学Ⅰ试题参考公式：锥体的体积公式: V 锥体=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．.1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =______▲_____. [解析] 考查集合的运算推理。
3∈B, a+2=3, a=1.2、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为______▲_____. [解析] 考查复数运算、模的性质。
z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与3+2 i 的模相等，z 的模为2。
3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ ▲__.[解析]考查古典概型知识。
3162p ==4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm 。
[解析]考查频率分布直方图的知识。
注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。
本卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。
作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。
请注意字体工整，笔迹清楚。
5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
100×（0.001+0.001+0.004）×5=305、设函数f(x)=x(e x +ae -x )(x ∈R)是偶函数，则实数a =_______▲_________ [解析]考查函数的奇偶性的知识。
g(x)=e x +ae -x 为奇函数，由g(0)=0，得a =－1。
6、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线112422=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是___▲_______ [解析]考查双曲线的定义。
422MF e d ===，d 为点M 到右准线1x =的距离，d =2，MF=4。
7、右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是______▲_______[解析]考查流程图理解。
2412223133,++++=<输出25122263S =++++=。
8、函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=____▲_____[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(a k ,a k 2)处的切线方程为：22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2ka x =， 所以1135,1641212kk a a a a a +=++=++=。
9、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是______▲_____ [解析]考查圆与直线的位置关系。
圆半径为2， 圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，||113c <，c 的取值范围是（-13，13）。
10、定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为_______▲_____。
[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。
线段P 1P 2的长即为sinx 的值， 且其中的x 满足6cosx=5tanx ，解得sinx=23。
线段P 1P 2的长为2311、已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是__▲___。
[解析]考查分段函数的单调性。
2212(1)10x x x x ⎧->⎪⇒∈-⎨->⎪⎩12、设实数x,y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43yx 的最大值是 ▲ 。
[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。
22()[16,81]x y ∈，2111[,]83xy ∈，322421()[2,27]x x y y xy =⋅∈，43yx 的最大值是27。
13、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b aC a b+=，则tan tan tan tan C CA B+=____▲_____。
[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。
一题多解。
（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性。
当A=B 或a=b 时满足题意，此时有：1cos 3C =，21cos 1tan 21cos 2C C C -==+，tan 22C =，1tan tan tan 2A B C===，tan tan tan tan C CA B+= 4。
（方法二）226cos 6cos b a C ab C a b a b +=⇒=+，2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B CA B C A B C A B C A B+++=⋅=⋅=⋅由正弦定理，得：上式=22222214113cos ()662c c c c C ab a b =⋅===+⋅14、将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长）梯形的面积,则S 的最小值是____▲____。
[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。
一题多解。
设剪成的小正三角形的边长为x，则：222(3)(01)1x S x x -==<<- （方法一）利用导数求函数最小值。
22(3)()1x S x x -=-，2222(26)(1)(3)(2)()(1)x x x x S x x -⋅---⋅-'=-222222(26)(1)(3)(2)2(31)(3)(1)(1)x x x x x x x x -⋅---⋅----==-- 1()0,01,3S x x x '=<<=，当1(0,]3x ∈时，()0,S x '<递减；当1[,1)3x ∈时，()0,S x '>递增；故当13x =时，S的最小值是3。
（方法二）利用函数的方法求最小值。
令1113,(2,3),(,)32x t t t -=∈∈，则：222186681t S t t t t==-+--+-故当131,83x t ==时，S的最小值是3。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15、（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值。
[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。
满分14分。
（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=所以||210,||4 2.AB AC AB AC +=-=故所求的两条对角线的长分别为42、210。
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则:E 为B 、C 的中点，E （0，1）又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4） 故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210； （2）由题设知：OC =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++。
由(OC t AB -)·OC =0，得：(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=， 从而511,t =-所以115t =-。
或者：2· AB OC tOC =，(3,5),AB =2115||AB OC t OC ⋅==-16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900。
(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离。
[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。
满分14分。
（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC 。
由∠BCD=900，得CD ⊥BC ， 又PDDC=D ，PD 、DC ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD 。
因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC 。
（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等。
又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍。
由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F 。
易知DF=22，故点A 到平面PBC 的距离等于2。
（方法二）体积法：连结AC 。
设点A 到平面PBC 的距离为h 。
因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠ABC=900。
从而AB=2，BC=1，得ABC ∆的面积1ABC S ∆=。
由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P-ABC 的体积1133ABC V S PD ∆=⋅=。