高中数学必修2导学案 第一章 空间几何体(复习)
4.必修二第一章《空间几何体》导学案.
三、达标检测
1.下列四个命题中，真命题是（
）
A. 棱柱的面中，至少有两个面互相平行
;
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱的任意两个侧面一定不平行
D.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
2.下列几何体中，不属于多面体的是 ……………………
A. 立方体
B. 三棱柱
C.长方体
(一 )阅读教材第 3 页，回答下列问题：
旋转体：
.
(二 )阅读教材第 5～ 6 页，回答下列问题：
1.圆柱、锥、台和球的定义以及结构特征，相关概念
.
2.画出圆柱、锥、台，并画出轴、母线，指出圆柱、锥、台的轴、底面、侧面、母线
.
（注意标出几何体的顶点字母）
3.球的截面的性质：用一个平面去截球，得到一个截面，
、
、
；
旋转体包括：
、
、
、
.
（ 2）分类方式二：
柱体包括：
、
；
锥体包括：
、
；
台体包括：
、
.
球体 .
2.指出下列图形是由哪些简单的几何体构成的
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 1）
；
（ 2）
；
（ 3）
.
二、合作探究
例 1：如图，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆和三角形对接成的轴对称图形，若将它
轴旋转 1800 后形成一个组合体，下列说法中不正确的是
4.利用斜二测画法画直观图时： ①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形； 以上结论中，正确的是
.
【学习重点】 画出简单组合体的三视图 .
新人教版高一数学导学案必修2 第1章 空间几何体
§1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；3. 理解多面体的有关概念；.24引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活新知1：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做，( 1 )探究2：旋转体的相关概念问题：仔细观察下列物体的相同点是什么？新知2：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫探究3：问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗?新知3：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism）.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高）试试1：你能指出探究3中的几何体它们各自的底、侧面、侧棱和顶点吗？你能试着按照某种标准将探究3中的棱柱分类吗？新知4：①按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱（不垂直）和直棱柱（垂直）.试试2：探究3中有几个直棱柱？几个斜棱柱？棱柱怎么表示呢?新知5：我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图(1)中这个棱柱表示为棱柱ABCD—A B C D ''''.探究4：棱锥的结构特征问题：探究1中的埃及金字塔是人类建筑的奇迹之一，它具有什么样的几何特征呢？新知6：有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥(pyramid).这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高；棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥…等等，棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示，如下图中的棱锥S ABCDE -.探究5：棱台的结构特征问题：假设用一把大刀能把金字塔的上部分平行地切掉,则切掉的部分是什么形状?剩余的部分呢?新知7：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成的几何体叫做棱台(frustum of a pyramid).原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫侧棱，侧面与两底面的公共点叫顶点.两底面间的距离叫棱台的高.棱台可以用上、下底面的字母表示，分类类似于棱锥.试试3：请在下图中标出棱台的底面、侧面、侧棱、顶点,并指出其类型和用字母表示出来.反思：根据结构特征,从变化的角度想一想,棱柱、棱台、棱锥三者之间有什么关系？※ 典型例题例 由棱柱的定义你能得到棱柱下列的几何性质吗？①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.仿照棱柱,棱锥、棱台有哪些几何性质呢？三、总结提升 ※ 学习小结1. 多面体、旋转体的有关概念；2. 棱柱、棱锥、棱台的结构特征及简单的几何性质.※ 知识拓展1. 平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱；2. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；3. 正棱锥：底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥；.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（ ）.A ．棱锥B ．棱柱C ．平面D ．长方体 2. 棱台不具有的性质是（ ）. A.两底面相似 B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点3. 已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面体}，则（ ）.A.E F D C B A ⊆⊆⊆⊆⊆B.E D F B C A ⊆⊆⊆⊆⊆C.E F D B A C ⊆⊆⊆⊆⊆D.它们之间不都存在包含关系4. 长方体三条棱长分别是AA '=1AB =2，4AD =，则从A 点出发，沿长方体的表面到C ′的最短矩离是_____________.5. 若棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，则截得这棱台的原棱锥的高为___________. 1. 已知正三棱锥S-ABC 的高SO =h，斜高(侧面三角形的高)SM =n ，求经过SO 的中点且平行于底面的截面△A 1B 1C 1的面积.2. 在边长a为正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF 和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.问折起后的图形是个什么几何体？它§1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；3. 能概述圆柱、圆锥、圆台台体、球的结构特征；4. 能描述一些简单组合体的结构.57复习：①______________________________叫多面体,______________________________________ _____________叫旋转体.②棱柱的几何性质：_______是对应边平行的全等多边形，侧面都是________，侧棱____且____，平行于底面的截面是与_____全等的多边形；棱锥的几何性质：侧面都是______，平行于底面的截面与底面_____，其相似比等于____________.引入：上节我们讨论了多面体的结构特征，今天我们来探究旋转体的结构特征.二、新课导学※探索新知探究1：圆柱的结构特征问题：观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？新知1；以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱（circular cylinder），旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线，如图所示：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中的圆柱可表示为OO .圆柱和棱柱统称为柱体.探究2：圆锥的结构特征问题：下图的实物是一个圆锥,与圆柱一样也是平面图形旋转而成的. 仿照圆柱的有关定义，你能定义什么是圆锥以及圆锥的轴、底面、侧面、母线吗？试在旁边的图中标出来.新知2：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥.圆锥也用表示它的轴的字母表示.棱锥与圆锥统称为锥体.探究3：圆台的结构特征问题：下图中的物体叫做圆台，也是旋转体.它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢?除了旋转得到以外,对比棱台,圆台还可以怎样得到呢?新知3；直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆台(frustum of a cone).用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分也是圆台. 圆台和圆柱、圆锥一样，也有轴、底面、侧面、母线，请你在上图中标出它们，并把圆台用字母表示出来. 棱台与圆台统称为台体.反思：结合结构特征，从变化的角度思考，圆台、圆柱、圆锥三者之间有什么关系？探究4：球的结构特征问题：球也是旋转体，怎么得到的?新知4：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体（solid sphere），简称球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径；球通常用表示球心的字母O表示，如球O.探究5：简单组合体的结构特征问题：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？新知5：由具有柱、锥、台、球等简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体.现实生活中的物体大多是简单组合体.简单组合体的构成有两种方式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成.※典型例题例将下列几何体按结构特征分类填空：⑴集装箱⑵运油车的油罐⑶排球⑷羽毛球⑸魔方⑹金字塔⑺三棱镜⑻滤纸卷成的漏斗⑼量筒⑽量杯⑾地球⑿一桶方便面⒀一个四棱锥形的建筑物被飓风挂走了一个顶，剩下的上底面与地面平行；①棱柱结构特征的有________________________；②棱锥结构特征的有________________________；③圆柱结构特征的有________________________；④圆锥结构特征的有________________________；⑤棱台结构特征的有________________________；⑥圆台结构特征的有________________________；⑦球的结构特征的有________________________；⑧简单组合体______________________________.※动手试试练. 如图，长方体被截去一部分，其中EH‖A D'',剩下的几何体是什么?截去的几何体是什么?三、总结提升※学习小结1. 圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征及有关概念；2. 简单组合体的结构特征.※知识拓展圆柱、圆锥的轴截面：过圆柱或圆锥轴的平面与圆柱或圆锥相交得到的平面形状，通常圆柱的轴.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. Rt ABC∆三边长分别为3、4、5，绕着其中一边旋转得到圆锥，对所有可能描述不对的是（）.A.是底面半径3的圆锥B.是底面半径为4的圆锥C.是底面半径5的圆锥D.是母线长为5的圆锥2. 下列命题中正确的是（）.A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是旋转体C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线3. 一个球内有一内接长方体,其长、宽、高分别为5、4、3，则球的直径为（）.A.4. 已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB,CD.且AB>CD，绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体中是由、、的几何体构成的组合体.5. 圆锥母线长为R，侧面展开图圆心角的正弦__________.1.如图,是由等腰梯形、矩形、半圆、倒形三角对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴旋转0180后形成一个组合体，下面说法不正确的是___________A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B.该组合体仍然关于轴l对称C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D.该组合体中的球和半球只有一个公共点2. 用一个平面截半径为25cm的球,截面面积是249cm,则球心到截面的距离为多少？§1.2.1 中心投影与平行投影§1.2.2 空间几何体的三视图1. 了解中心投影与平行投影的区别；2. 能画出简单空间图形的三视图；3. 能识别三视图所表示的空间几何体；1114复习1：圆柱、圆锥、圆台、球分别是_______绕着________、_______绕着___________、_______绕着__________、_______绕着_______旋转得到的.复习2：简单组合体构成的方式：________________和_____________________________________.二、新课导学※探索新知探究1：中心投影和平行投影的有关概念问题：中午在太阳的直射下，地上会有我们的影子；晚上我们走在路灯旁身后也会留下长长的影子，你知道这是什么现象吗？为什么影子有长有短？新知1：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中光线叫投影线，留下物体影子的屏幕叫投影面.光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，中心投影的投影线交于一点.在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影，平行投影的投影线是平行的.在平行投影中，投影线正对着投影面时叫正投影,否则叫斜投影.思考：中午太阳的直射是什么投影？路灯、蜡烛的照射是什么投影？试试：在下图中,分别作出圆在中心投影和平行投影中正投影的影子.结论:中心投影其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化；平行投影其投影的大小与这个平面图形的形状和大小是完全相同的.探究2：柱、锥、台、球的三视图问题：我们学过的几何体(柱、锥、台、球),为了研究的需要，常常要在纸上把它们表示出来，该怎么画呢？能否用平行投影的方法呢?新知2：为了能较好把握几何体的形状和大小，通常对几何体作三个角度的正投影.一种是光线从几何体的前面向后面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的正视图；一种是光线从几何体的左面向右面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的侧视图；第三种是光线从几何体的上面向下面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图称为几何体的三视图.一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.三视图中，能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示. 下图是一个长方体的三视图.思考：仔细观察上图长方体和下图圆柱的三视图,你能得出同一几何体的三视图在形状、大小方面的关系吗？能归纳三视图的画法吗?小结：1.正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映的是长度和宽度，侧视图反映的是宽度和高度；2.正视图和俯视图高度相同，俯视图和正视图长度相同，侧视图和俯视图宽度相同；3.三视图的画法规则：①正视图、侧视图齐高，正视图、俯视图长对正，俯视图、侧视图宽相等，即“长对正”、“高平齐”、“宽相等”；②正、侧、俯三个视图之间必须互相对齐，不能错位.探究3：简单组合体的三视图 问题：下图是个组合体，你能画出它的三视图吗?小结：画简单组合体的三视图，要先观察它的结构，是由哪几个基本几何体生成的，然后画出对应几何体的三视图，最后组合在一起.注意线的虚实.※ 典型例题例1 画出下列物体的三视图：例2 说出下列三视图表示的几何体：※ 动手试试练 作出下图中两个物体的三视图三、总结提升 ※ 学习小结1. 平行投影与中心投影的区别；2. 三视图的定义及简单几何体画法：正视图（前往后）、侧视图（左往右）、俯视图（上往下）；画时注意长对正、高平齐、宽相等；3. 简单组合体画法：观察结构，各个击破.※ 知识拓展画三视图时若相邻两物体表面相交,则交线要用实线画出；确定正视、俯视、侧视的方向，同一物体放置的方向不同，所画的三视图可能不※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列哪种光源的照射是平行投影（ ）. A.蜡烛 B.正午太阳 C.路灯 D.电灯泡 2. 左边是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）.A.四棱锥B.圆锥C.三棱锥D.三棱台3. 如图是个六棱柱,其三视图为（A. B. C. D.4. 画出下面螺母的三视图__________________________ . 5.下图依次是一个几何体的正、俯、侧视图，，则它的立体图为________.1. 画出下面几何体的三视图.(箭头的方向为正前方)2. 一个正方体的五个面展开如图所示,请你在图中合适的位置补出第六个面来.(画出所有可能的情况)§1.2.3 空间几何体的直观图1. 掌握斜二测画法及其步骤；2. 能用斜二测画法画空间几何体的直观图. 1619复习1：中心投影的投影线_________；平行投影的投影线_______.平行投影又分___投影和____投影.复习2：物体在正投影下的三视图是_____、______、_____；画三视图的要点是_____ 、_____ 、______. 引入：空间几何体除了用三视图表示外，更多的是用直观图来表示.用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图.要画空间几何体的直观图，先要学会水平放置的平面图形的画法.我们将学习用斜二测画法来画出它们.你知道怎么画吗?二、新课导学※ 探索新知探究1：水平放置的平面图形的直观图画法 问题：一个水平放置的正六边形，你看过去视觉效果是什么样子的?每条边还相等吗?该怎样把这种效果表示出来呢?新知1：上面的直观图就是用斜二测画法画出来的，斜二测画法的规则及步骤如下：(1)在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，建立直角坐标系，两轴相交于O .画直观图时,把它们画成对应的x '轴与y '轴，两轴相交于点O '，且使x O y '''∠=45°(或135°).它们确定的平面表示水平面；(2) 已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴或y '轴的线段； (3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半；(4) 图画好后，要擦去x 轴、y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）.※ 典型例题例 1 用斜二测画法画水平放置正六边形的直观图.讨论：把一个圆水平放置，看起来象个什么图形?它的直观图如何画？结论：水平放置的圆的直观图是个椭圆，通常用椭圆模板来画.探究2：空间几何体的直观图画法问题：斜二测画法也能画空间几何体的直观图，和平面图形比较，空间几何体多了一个“高”，你知道画图时该怎么处理吗？例2 用斜二测画法画长4cm 、宽3cm 、高2cm 的长方体的直观图.新知2：用斜二测画法画空间几何体的直观图时，通常要建立三条轴：x 轴，y 轴，z 轴；它们相交于点O ，且45xOy ∠=°，90xOz ∠=°；空间几何体的底面作图与水平放置的平面图形作法一样，即图形中平行于x 轴的线段保持长度不变，平行于y 轴的线段长度为原来的一半，但空间几何体的“高”，即平行于z 轴的线段，保持长度不变.※ 动手试试练 1. 用斜二测画法画底面半径为4cm ,高为3cm 的圆柱.例3 如下图，是一个空间几何体的三视图，请用斜二测画法画出它的直观图.练2. 由三视图画出物体的直观图.正视图 侧视图 俯视图小结：由简单组合体的三视图画直观图时，先要想象出几何体的形状，它是由哪几个简单几何体怎样构成的；然后由三视图确定这些简单几何体的长度、宽度、高度，再用斜二测画法依次画出正视图 侧视图俯视图来.三、总结提升 ※ 学习小结1. 斜二测画法要点①建坐标系，定水平面；②与坐标轴平行的线段保持平行；③水平线段(x 轴)等长,竖直线段(y 轴)减半；④若是空间几何体,与z 轴平行的线段长度也不变.2. 简单组合体直观图的画法；由三视图画直观图.※ 知识拓展1. 立体几何中常用正等测画法画水平放置的圆.正等测画法画圆的步骤为： （1）在已知图形⊙O 中，互相垂直的x 轴和y 轴画直观图时，把它们画成对应的x '轴与y '轴，且使0120x O y '''∠=(或060)； （2）已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴或y '轴的线段； （3）平行于x 轴或y 轴的线段，长度均保持不变.2. 空间几何体的三视图与直观图有密切联系：三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸）,直观图是对空间几何体的整体刻画，根据直观图的结构想象实※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 一个长方体的长、宽、高分别是4、8、4，则画其直观图时对应为（ ）.A. 4、8、4B. 4、4、4C. 2、4、4D.2、4、22. 利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形，其中正确的是（ ）.A.①②B.①C.③④D.①②③④3. 一个三角形的直观图是腰长为4的等腰直角三角形，则它的原面积是（ ）.A. 8B. 16C.4. 下图是一个几何体的三视图请画出它的图形为_____________________. 5. 等腰梯形ABCD 上底边CD =1，腰AD =CB =2， 下底AB =3，按平行于上、下底边取x 轴，则直观图ABC D ''''的面积为________. 1. 一个正三角形的面积是2，用斜二测画法画出其水平放置的直观图，并求它的直观图形的面积.2. 用斜二测画法画出下图中水平放置的四边形的直观图.§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）1. 理解和掌握柱、锥、台的表面积计算公式；2. 能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题. 2325复习：斜二测画法画的直观图中，x '轴与y '轴的夹角为____，在原图中平行于x 轴或y 轴的线段画成与___和___保持平行；其中平行于x 轴的线段长度保持_____，平行于y 轴的线段长度____________.正视图 俯视图 侧视图引入：研究空间几何体，除了研究结构特征和视图以外，还得研究它的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积，表示几何体表面的大小；体积是几何体所占空间的大小.那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢？二、新课导学 ※ 探索新知探究1：棱柱、棱锥、棱台的表面积问题：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（下图），你觉的它们展开图与其表面积有什么关系吗？结论： 正方体、长方体是由多个平面围成的多面体，其表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积.新知1：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表面积就是其侧面展开图的面积加上底面的面积.试试1：想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子，它们的表面积如何计算？展开图是什么图形？它们的表面积等于什么？你能推导它们表面积的计算公式吗？新知2：（1）设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即2222()S r rl r r l πππ=+=+. （2）设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆形），即2()S r rl r r l πππ=+=+.试试2：圆台的侧面展开图叫扇环，扇环是怎么得到的呢？（能否看作是个大扇形减去个小扇形呢）你能试着求出扇环的面积吗？从而圆台的表面积呢？新知3：设圆台的上、下底面半径分别为r '，r ，母线长为l ，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即2222()()S r r r l rl r r r l rl ππππ''''=+++=+++.反思：想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗？※ 典型例题例1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S ABC -，求它的表面积.例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm ,盆底直径为15cm ,底部渗水圆孔直径为1.5cm ,盆壁长15cm .为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(π取3.14,结果精确到1毫升)?※ 动手试试练1. 一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为a ，求它的表面积.练2. 粉碎机的上料斗是正四棱台形状，它的上、下底面边长分别为80mm 、440mm ，高(上下底面的距离)是200mm , 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.三、总结提升 ※ 学习小结1. 棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式；2. 将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法.※ 知识拓展当柱体、锥体、台体是一些特殊的几何体,比如直棱柱、正棱锥、正棱台时，它们的展开图是一些规则的平面图形，表面积比较好求；当它们不是特殊的几何体，比如斜棱柱、不规则的四面体时，要注意分析各个面的形状、特点，看清楚题目所给的条件，想办法求出各个面的面积，最※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 正方体的表面积是64,则它对角线的长为（ ）.A. B. C.162. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）.A.122ππ+ B.144ππ+ C.12ππ+ D.142ππ+ 3. 一个正四棱台的两底面边长分别为m ,n ()m n >,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为（ ）.A.mn m n +B.mn m n -C.m n mn +D.m n mn- 4. 如果圆锥的轴截面是正三角形,则该圆锥的侧面积与表面积的比是_____________.5. 已知圆台的上、下底面半径和高的比为1︰4︰4,母线长为10,则圆台的侧面积为___________. 1. 圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，侧面展开图扇形的圆心角为θ，求证：360rlθ=⋅（度）.2. 如图，在长方体中，AB b =，BC c =，1CC a =，且a b c >>，线长.§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积（2）。
高中数学必修二导学案：第一章空间几何体复习
第一章空间几何体复习三维目标1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的构造特点；2.能画出简单空间几何体的三视图，能辨别三视图所表示的立体模型；3.认识球、柱体、锥体与台体的表面积和体积的计算公式. 能用这些公式解决简单实质问题.________________________________________________________________________________目标三导学做思 1问题 1.请做以下基础练习（ 1）充满气的车轮内胎可由下边某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是()（ 2）如图，在正四周体A－ BCD中， E 、 F、 G 分别是三角形ADC、 ABD、 BCD的中心，则△EFG在该正四周体各个面上的射影全部可能的序号是（C）A．①③B．②③④C．③④D．②④AF??EB G?CD①②③④*(3) 如下图，圆台的上、下底半径和高的比为1:4:4 ，母线长为 10，则圆台的侧面积为( ) A．81πB．100πC．14πD．169π1问题 2.请梳理本章的知识构造.【学做思2】1. 已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形，两条侧棱长为6311333________．22，则第三条侧棱长的取值范围是2正视图侧视图3俯视图2．―个几何体的三视图如下图( 单位 : m ), 则该几何体的体积为 ______ m3 .*3 ．长方体A1B1C1D1ABCD 内接于底面半径为1，高为 1 的圆柱内，如图，设矩形 ABCD 的面积为S，长方体 A1B1C1D1－ ABCD 的体积为 V，设矩形ABCD 的一边长 AB＝ x.(1)将 S 表达为 x 的函数；(2)求 V 的最大值．达标检测1. 已知两个圆锥，底面重合在一同，此中一个圆锥极点究竟面的距2(2)离为 2cm，另一个圆锥极点究竟面的距离为3cm，则其直观图中这两个极点之间的距离为() A． 2cm B．3cm C．2.5cm D．5cm2. 一个几何体的三视图如图(2) 所示，此中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体能够拼成一个棱长为 4 的正方体．3．圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个同样的球( 球的半径与圆柱的底面半径同样 ) 后，水恰巧吞没最上边的球如图(3) 所示，则球的半径是________cm.(3)*4 ．已知在直三棱柱ABC－ A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ ACB＝ 90°， AC＝ 6，BC＝ CC1＝2，P 是 BC1上一动点，如图所示，则CP＋ PA1的最小值为 _____．3。
人教版高中数学必修二教案第一章+空间几何体复习
第一学期高二年级数学（文科）教案项目内容第1章空间几何体复习课题修改与创新（共 1 课时）通过总结和归纳空间几何体的知识，能够使学生综合运用知识解决有教学关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴目标趣，培养其分类讨论的思想和提高其抽象思维能力. 教学重点：①空间几何体的结构特征. 教学②由三视图还原为实物图. 重、③面积和体积的计算. 难点教学难点：①由三视图还原为实物图. ②组合体的结构特征. 教学多媒体课件准备一、导入新课：我们生活的世界，存在各式各样的物体，它们大多是由具有柱、锥、台、球等形状的物体组成的.认识和把握柱体、锥体、台体、球体的几何结构特征，是我们认识空间几何体的基础.教师引出课题.二、讲授新课：教学过提出问题程 1.本章接触到的空间几何体是单一的柱体、锥体、台体、球体，或者是它们的简单组合体.你能说出较复杂的几何体（如你身边的建筑物）的结构吗？ 2.对于空间几何体，可以有不同的分类标准.你能从不同的方面认识柱、锥、台、球等空间几何体吗？你分类的依据是什么？ 3.为了研究空间几何体，我们需要在平面上画出空间几何体.空间几何体有哪些不同的表现形式？4.利用斜二测画法，我们可以画出空间几何体的直观图.你能回顾用斜二测画法画空间几何体的基本步骤吗？5.计算空间几何体的表面积和体积时，要充分利用平面几何知识，把空间图形转化为平面图形，特别是柱、锥、台体侧面展开图.请同学们回顾柱、锥、台体的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？柱、锥、台体的体积之间是否存在一定的关系？ 6.球是比较特殊的空间几何体，它的表面积公式和体积公式是什么？7.画出本章的知识结构图. 活动：让学生自己回顾所学知识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按课本的章节标题来分类.对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后，再画本章的知识结构图. 讨论结果：1.略.以实际情况来确定. 2.按围成几何体的面是否是平面分为：棱柱棱柱柱体圆柱多面体棱锥棱锥棱台锥体按底面的情况分为：简单几何体圆锥简单几何体圆柱棱台圆锥台体旋转体圆台圆台球球体 3.空间几何体有两种表现形式：三视图和直观图. 4.略. 5. 结构特棱柱棱锥棱台圆柱圆锥圆台球征平行由三角由梯侧面展不可展四边形拼接形拼矩形扇形扇环开图开形成接成表面积的计算各个面的面积之和就是表面积方法柱、锥、台体的体积之间的关系：柱体和锥体可以看作由台体变化得到.柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.柱体和锥体的体积公式都可以看作由台体的体积公式演变而来. 426.半径为R的球，其表面积为S=4πR，体积V=. 表33R7.本章的知识结构图如图1所示. 图1 应用示例例1 下列几何体是台体的是（）图2 活动：学生回顾台体的结构特征. 分析：A中的“侧棱”没有相交于一点，所以A不是台体；B中的几何体没有两个平行的面，所以B不是台体；很明显C是棱锥，D是台体. 答案：D 点评：本题主要考查台体的结构特征.像这样的概念辨析题，主要是依靠对简单几何体的结构特征的准确把握. 变式训练1.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（） A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆台、一个圆柱 C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥分析：因为梯形的两底平行，故另一底旋转形成了圆柱面，而两条腰由于与旋转轴相交，故旋转形成了锥体，因此得到一个圆柱、两个圆锥. 答案：D2.下列三视图表示的几何体是（）图3 A.圆台 B.棱锥 C.圆锥 D.圆柱分析：由于俯视图是两个同心圆，则这个几何体是旋转体，又侧视图和正视图均是等腰梯形，所以该几何体是圆台. 答案：A3.下列有关棱柱的说法：①棱柱的所有的棱长都相等；②棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形；③棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；④棱柱的上、下底面形状、大小相同. 正确的有______________. 分析：棱柱的所有面都是平的，所有侧棱长都相等，但底面上的棱与侧棱不一定相等，其侧面都是平行四边形，只有当棱柱是直棱柱时，侧面才是矩形，侧面个数与底面边数相等，棱柱的上、下底面是全等的多边形，由此可知③④正确. 答案：③④例2 (2006福建高考，理5)已知正方体外接球的体积是，那么正方3体的棱长等于（）234222A. B. C. 3343D. 3活动：学生思考交流正方体和球的结构特征，教师可以借助于信息技术，展示图形. 分析：过正方体的相对侧棱作球的截面，可得正方体的对角线是球的直径.3a3a设正方体的棱长为a，球的半径为R，则有2R=，所以R=，则243a32433()，解得a=. 3233答案：D 点评：球与其他几何体的简单组合体问题，通常借助于球的截面来明确构成组合体的几何体的结构特征及其联系，本题利用正方体外接球的直径是正方体的对角线这一隐含条件使得问题顺利获解.空间几何体的表面积和体积问题是高考考查的热点之一.主要以选择题或填空题形式出现，也不排除作为解答题中的最后一问，题目难度属于中、低档题，以考查基础知识为主，不会出现难题.其解决策略是利用截面或展开图等手段，转化为讨论平面图形问题，结合平面几何的知识来求解. 变式训练 1.（2005全国高考卷Ⅰ，理5）如图4（1）所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）4323A. B.C. D. 3233(1) (2) 图4 分析：如图4(2)所示，过B作BG⊥EF于G，连接CG，则CG⊥EF，BF=1，12223△BCG中，BG=，BC边上的高为，而S=×1×=, △BCG2222421212∴V=.同理过A作AH⊥EF于H，则有V=，显F—BCGE—AHD342242422然BCG—ADH为三棱柱，∴V=×1=，则由图4(2)可知BCG—ADH442V=V+V+V=. ADE—BCFF—BCG E—答案：A 点评：本题求几何体体积的方法称为割补法，AHDBCG—ADH3经常应用这种方法求多面体体积.割补法对空间想象能力的要求很高且割补法的目的是化不规则为规则.因此可以说割补法是一种综合的方法，这和我们高考的理念和命题原则是相通的，高考题中出现这样的问题也是很正常的，所以这将是高考对立体几何这部分知识命题的方向. 2.（2007广东中山高三期末统考，文6）某个容器的底部为圆柱，顶部为圆锥，其正视图如图5所示，则这个容器的容积为（）图5 7833mm3A.B. C.3π m 333D.12π m分析：由该容器的正视图可知，圆柱的底面半径为1 m，高为2 m，圆锥33的底面半径为1 m，高为1 m.则圆柱的体积为2π m，圆锥的体积为m，373m所以该容器的容积为. 3答案：A 点评：三视图是新课标高考的新增内容，在高考中会重点考查，在该知识点出题的可能性非常大，应予以重视.此类题目的解题关键是利用三视图获取体积公式中所涉及的基本量的有关信息，这要依靠对三视图的理解和把握. 3.（2007广东佛山一模，理4）如图6所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）图6 842433A. B. C. D. 3336分析：根据三视图可知该几何体是正四棱锥，且底面积是4，高为正视图1433等边三角形的高，所以体积为. 33答案：B 课堂小结：本节课复习了： 1.第一章知识及其结构图. 2.三视图和体积、面积的有关问题. 3.空间几何体的概念.布置作业：课本本章复习参考题A组 7、8、9. 板书设计教学反思。
高中数学 第一章 空间几何体章末复习课学案 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学学案
第一章空间几何体章末复习课1.空间几何体的结构特征(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行.棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的.这三种几何体都是多面体.(2)圆柱、圆锥、圆台、球分别是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体.在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面.(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体.2.空间几何体的三视图与直观图(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；它包括正视图、侧视图、俯视图三种.画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则. 注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出.熟记常见几何体的三视图.画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验.(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法.它的主要步骤：(1)画轴；(2)画平行于x、y 、z 轴的线段分别为平行于x ′、y ′、z ′轴的线段；(3)截线段：平行于x 、z 轴的线段的长度不变，平行于y 轴的线段的长度变为原来的一半.三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化，这也是高考考查的重点；根据三视图的画法规则理解三视图中数据表示的含义，从而可以确定几何体的形状和基本量.3.几何体的侧面积和体积的有关计算 柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式面积体积圆柱 S 侧＝2πrh V ＝Sh ＝πr 2h圆锥S 侧＝πrl V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13πr 2l 2－r 2圆台 S 侧＝π(r 1＋r 2)lV ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)h直棱柱 S 侧＝Ch V ＝Sh 正棱锥S 侧＝12Ch ′ V ＝13Sh正棱台S 侧＝12(C ＋C ′)h ′V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S 球面＝4πR 2V ＝43πR 3方法一 几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图、直观图以及两者之间的转化是本章的难点，也是重点.解题需要依据它们的概念及画法规则，同时还要注意空间想象能力的运用.【例1】 将正方体如图(1)所示截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )解析还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线.答案 B【训练1】若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )解析所给选项中，A、C选项的正视图、俯视图不符合，D选项的侧视图不符合，只有B 选项符合.答案 B方法二几何体的表面积与体积几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题等.这里应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系.在计算中，要充分利用平面几何知识，特别注意应用柱体、锥体、台体的侧面展开图.组合体的表面积和体积，可以通过割补法转化为柱体、锥体、台体等的表面积和体积.【例2】如图所示，已知三棱柱ABC－A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABC－A′B′C′的体积.解连接A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥.设所求体积为V ，显然三棱锥A ′－ABC 的体积是13V .而四棱锥A ′－BCC ′B ′的体积为13Sa ，故有13V ＋13Sa ＝V ，即V ＝12Sa .【训练2】 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.16＋8πB.8＋8πC.16＋16πD.8＋16π解析 将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解.原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V ＝4×2×2＋12π×22×4＝16＋8π.答案 A方法三 转化与化归思想运用转化与化归的思想寻求解题途径，常用如下几种策略：(1)已知与未知的转化.由已知想可知，由未知想需知，通过联想，寻找解题途径.(2)正面与反面的转化.在处理某一问题时，按照习惯思维方式从正面思考遇到困难，甚至不可能时，用逆向思维的方式去解决，往往能达到以突破性的效果.(3)一般与特殊的转化.特殊问题的解决往往是比较容易的，可以利用特殊问题内含的本质联系，通过演绎，得出一般结论，从而使问题得以解决.(4)复杂与简单的转化.把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决，这是解数学问题的一条重要原则.【例3】 如图所示，圆台母线AB 长为20 cm ，上、下底面半径分别为5 cm 和10 cm ，从母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到B 点，求这条绳子长度的最小值.解 如图所示，作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥. 连接MB ′，P 、Q 分别为圆台的上、下底面的圆心.在圆台的轴截面中，∵Rt △OPA ∽Rt △OQB ， ∴OA OA ＋AB ＝PA QB ，∴OA OA ＋20＝510.∴OA ＝20(cm). 设∠BOB ′＝α，由扇形弧BB ′︵的长与底面圆Q 的周长相等， 得2×10×π＝2×OB ×π×α360°， 即20π＝2×(20＋20)π×α360°，∴α＝90°.∴在Rt △B ′OM 中，B ′M ＝OM 2＋OB ′2＝302＋402＝50(cm)，即所求绳长的最小值为50 cm.【训练3】 圆柱的轴截面是边长为5 cm 的正方形ABCD ，从A 到C 圆柱侧面上的最短距离为( ) A.10 cm B.52π2＋4 cm C.5 2 cmD.5π2＋1 cm解析 如图所示，沿母线BC 展开，曲面上从A 到C 的最短距离为平面上从A 到C 的线段的长.∵AB ＝BC ＝5，∴A ′B ＝AB ︵＝12×2π×52＝52π.∴A ′C ＝A ′B 2＋BC 2＝254π2＋25＝5π24＋1＝52π2＋4(cm). 答案 B1.(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A．20π B．24πC．28π D．32π解析由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l＝（23）2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S锥侧＝12×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.答案 C2．(2016·全国Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A．18＋36 5 B．54＋18 5C．90 D．81解析由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3，3，45，几何体的表面积S＝3×6×2＋3×3×2＋3×45×2＝54＋18 5.答案 B3.(2015·全国Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛解析 由题意知：米堆的底面半径为163(尺)，体积V ＝13×14πR 2·h ≈3209(立方尺).所以堆放的米大约为3209×1.62≈22(斛).答案 B4.(2015·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A.8 cm3B.12 cm3C.323 cm3D.403cm 3解析 先由三视图还原几何体，再利用相应的体积公式计算.由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体.下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3).所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3).答案 C5.(2015·陕西高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.2π＋4D.3π＋4解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为：S ＝2×12π×12＋12×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.答案 D6.(2014·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A.90 cm 2B.129 cm 2C.132 cm 2D.138 cm 2解析 该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为 6 cm ，4 cm ，3 cm ，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm ，4 cm ，5 cm ，所以表面积S ＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5×3＋4×3＋2×12×4×3＝99＋39＝138(cm 2).答案 D7．(2016·北京高考)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．解析 由三视图知该四棱柱为直四棱柱，底面积S ＝（1＋2）×12＝32，高h ＝1，所以四棱柱体积V ＝S ·h ＝32×1＝32.答案 328．(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.解析 由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的边长为2 cm ，下面长方体是底面边长为4 cm ，高为2 cm ，其直观图如右图：其表面积S ＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm 2)．体积V ＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm 3)．答案 80 409.(2013·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm 3.解析 由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥，如图所示.三棱柱的底面为直角三角形，且直角边长分别为3和4，三棱柱的高为5，故其体积V 1＝12×3×4×5＝30(cm 3)，小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同，高为3，故其体积V 2＝13×12×3×4×3＝6(cm 3)，所以所求几何体的体积为30－6＝24(cm 3).答案 24。
《新课程标准高中数学必修②复习讲义》第一、二章-立体几何
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一)空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点.旋转体--把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中,这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥,台，球的结构特征 1。
棱柱1。
1棱柱—-有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1。
2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等,侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1。
4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，,则，222sin sin sin 1αβγ++=222cos cos cos 2αβγ++=.1.5侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长,h 为棱柱的高)2.圆柱2。
1圆柱—-以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的母线截面（轴截面）是全等的矩形.2。
人教A版高中数学必修2《第一章 空间几何体 复习参考题》_3
空间几何体的外接球学案基础知识1.球的性质1：用一个平面去截球，截面是圆面.大圆：截面过球心，截面半径=r 球半径R .小圆：截面不过球心.2.球的性质2：球心和截面圆心的连线垂直于截面.（球的垂径定理）则球心到截面的距离d ，截面半径r 以及球半径R 满足勾股定理：3.球的表面积公式：4.球的体积公式：5.多面体的外接球：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.6.基本方法（1）定心：确定球心，构造直角三角形利用正余弦定理及勾股定理求解（222d r R +=）；该方法是解决外接球问题的主要的通法，但对空间想象能力、作图能力要求较高；所以熟悉以下的几种模型才能准确快速的解决外接球问题.（2）补形：补成长方体，利用长方体对角线求解（22224c b a R ++=）；有些几何体比较难确定球心，而几何体刚好是长方体的一部分，其外接球与长方体的外接球是同一个球．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，故可利用长方体模型求解. 常用模型一、长方体模型例1：长方体的长、宽、高分别为3、2、1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 . 小结：练习1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 .*三条棱两两垂直的三棱锥例2：（1）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积为.（2）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，他们的面积分别为6、4、3，则其外接球的表面积为 .长方体外接球的球心O ：长方体对角线 长方体外接球的半径R ：2222)2(c b a R ++=练习2：三棱锥ABC P -中，ABC ∆为等边三角形，3===PC PB PA ，PB PA ⊥，则三棱锥ABC P -的外接球的体积为 .*对棱分别相等的三棱锥例3：在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则其外接球的表面积为 .小结：练习3：正四面体BCD A -的棱长为a 2，则其外接球的半径为 .二、线面垂直模型例4：三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA ，则该三棱锥的外接球体积为 .小结：练习4：在三棱锥ABC P -中，已知⊥PA 底面ABC ，︒=∠60BAC ，2=PA ，3==AC AB ，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 .三、锥体模型——侧棱相等的棱锥例5：（1）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为 60，则该三棱锥外接球的体积为 .（2）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为 .练习5：正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 .四、柱体模型例6：直三棱柱11A B C A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .小结：练习6：已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 .五、直二面角模型例7：在矩形A B CD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形A B CD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 .小结：练习7：已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面⊥SCA 平面SCB ，AC SA =,BC SB =,三棱锥ABC S -的体积为9，则球O 的表面积为 . 课后作业：赢在微点课时作业（四十五）参考答案：例1：π14；练习1：π24；例2（1）：π9；（2）π29；练习2：π2327；例3：π229；练习3：a 26；例4：π332；练习4：π8；例5（1）：π34；（2）π49；练习5：π34；例6：π20；练习6：π43；例7：π6125；练习7：π36；。
高一数学必修2--第一章-空间几何体-导学案
高一数学必修2 编号:SX--02--0011.1《空间几何体的结构》导学案姓名: 班级: 组别: 组名:【学习目标】1、理解空间几何体的概念及其含义，了解空间几何体的分类及相关概念；2、通过实物模型，观察大量的空间图形，认识柱体、锥体和台体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；3、了解组合体的概念，会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征。
【重点难点】重点：感受大量空间实物及模型，概括出台体、球体的结构特征.难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括【知识链接】经典的建筑给人以美的享受，其中奥秘为何？世间万物，为何千姿百态？在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分，如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。
【学习过程】阅读课本第2页到第4页的内容，尝试回答以下问题:知识点一多面体的结构特征问题1、多面体：由若干个围成的几何体叫做多面体。
问题2、棱柱、棱锥、棱台的结构特征及相关概念多面体定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都互相，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.底面（底）：侧面：侧棱：顶点：棱锥有一个面是，而其余各面都是有一个公共顶点的，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
底面（底）：侧面：侧棱：顶点：棱台用一个的平面去截棱锥，截面和底面间的部分叫做棱台.下底面、上底面、侧面、侧棱、顶点练习：下列命题中正确的是（）A、有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。
B、有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。
C、有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱。
D、有两个相邻侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱。
阅读课本第5页到第6页的内容，尝试回答以下问题:知识点二旋转体的结构特征问题1、旋转体：同一个平面图形绕它所在平面内的一条旋转所形成的叫做旋转体。
这条直线叫做旋转体的。
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第一章空间几何体（复习）
学习目标：
1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；
2. 能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型；
3. 会用斜二侧画法画几何体的直观图；
4. 会求简单几何体的表面积和体积.
学习重点：各空间几何体的特征，计算公式，空间图形的画法。
学习难点：空间想象能力的建立，空间图形的识别与应用。
课前预习
（预习教材P2~ P37，找出疑惑之处）
复习1：空间几何体的结构
①多面体、旋转体有关概念；
②棱柱、棱锥、棱台结构特征及其分类；
③圆柱、圆锥、圆台结构特征；
④球的结构特征；
⑤简单组合体的结构特征.
复习2：空间几何体的三视图和直观图
①中心投影与平行投影区别，正投影概念；
②三视图的画法：长对正、高平齐、宽相等；
③斜二测画法画直观图：x'轴与y'轴夹角0
45，平行于x轴长度不变，平行于y轴长度减半；
复习3：空间几何体的表面积与体积
①柱体、锥体、台体表面积求法（利用展开图）；
②柱体、锥体、台体的体积公式；
③球的表面积与体积公式.
课内探究
例1 在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是______. （写出所有正确结论的编号）
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四边
体；④每个面都是等边三角形的四边体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.
例2 将正三棱柱截去三个角（如图1所示，A、B、C分别是GHI
△三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图为（）.
例3 如下图，已知一平面图形的直观图是底角为45°，上底和腰均为1的等腰梯形，画出原图形，并求出原图形的面积.
例4 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中的尺寸，这个几何体的体积是多少?
x'
45
O'
y'
B'
C'
A'
20
20 20
10
练1. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）.
①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥
A. ①②
B. ①③
C. ①④
D. ②④
练2. 正四棱锥S ABCD
S A B C D都在同一个球面上，则该-2,,,,
球的体积为多少?
练3. 一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为2m、高为4m的圆柱形物体，上面是一个半球形体，如果每平方米大约需要鲜花200朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.14）?
当堂检测
1. 已知ABC ∆是一个直角三角形，则经过平行投影后所得三角形是（ ）. A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能
2. 某棱台上、下底面半径之比为1﹕2，则上、下底面的面积之比为（ ）. A.1﹕2 B.1﹕4 C.2﹕1 D.4﹕1
3. 长方体的高等于h ，底面积等于S ，过相对侧棱的截面面积为S '，则长方体的侧面积等于（ ）. A.222S h S '+ B.22222S h S '+ C.2222S h S '+ D.222S h S '+
4. 下图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是__________.
5. 三棱柱ABC A B C '''-中，若,E F 分别为,AB AC 的中点，平面EB C F ''将三棱柱分成体积为12,V V 的两部分，那么1V ﹕2V =________. 课后反思
1. 空间几何体结构的掌握；
2. 实物图、三视图、直观图三者之间的转换；
3. 特殊几何体(正棱柱、正棱锥、正棱台、球)表面积与体积的求法；特殊空间关系（内外切、内外接）的处理. 知识拓展
通过本章的学习，同学们应该理解和掌握处理空间几何体的基本方法：把空间图形转化为平面图形；并且体会到解题过程中归纳、转化、数形结合的数学思想，初步了解运动变化这一辨证唯物主义观点在解题过程中的应用. 课后训练
1、若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是 （ ）
A ．圆锥
B ．正四棱锥
C ．正三棱锥
D ．正三棱台
2、一个梯形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来梯形面积的（ ） A.
42倍 B. 2
1
倍 C. 22倍 D. 2倍
俯视
主视
左视
3、将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥体积之比为
（ ）
A ．3∶4
B ．9∶16
C ．27∶64
D ．都不对 4、利用斜二测画法得到的
①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形； ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的是
（ ）
A ．①②
B ． ①
C ．③④
D ． ①②③④
5、有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )
A 棱台
B 棱锥
C 棱柱
D 都不对
6、如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm ），则此几何体的侧面积是（ ）
A. 23cm 2
B. 43cm 2
C. 12 cm 2
D. 14 cm 2
7、若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为 8、将圆心角为0
120，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积
9、 如图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，0
135ADC ∠=，5AB =，22CD =，2AD =，
求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积
10、（如图）在底半径为2母线长为4的 圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积
11. 正四棱台高是12cm ，两底面边长之差为10cm ,全面积为2512cm ，求上、下底面的边长.
12. 如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V 1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V 2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，试比较12,V V 的大小关系.。