2023年数学必修二知识点练习空间几何体的三视图和直观图教师
高中数学必修二空间几何体的三视图和直观图PPT授课课件
忙碌的一天的人们以各自的方式奔向 那个让 人休憩 被人们 赋予了 太多温 情的地 方—— 家。而 我却朝 着与家 相反的 方向， 也因此 看到了 在两点 一线的 惯常中 不一样 的'画面 ，至今 不肯忘 怀。
忙碌的一天的人们以各自的方式奔向 那个让 人休憩 被人们 赋予了 太多温 情的地 方—— 家。而 我却朝 着与家 相反的 方向， 也因此 看到了 在两点 一线的 惯常中 不一样 的'画面 ，至今 不肯忘 怀。
先定正视，俯视，侧视方向，同一物体放的位置不同，三视图可能不一样
忙碌的一天的人们以各自的方式奔向 那个让 人休憩 被人们 赋予了 太多温 情的地 方—— 家。而 我却朝 着与家 相反的 方向， 也因此 看到了 在两点 一线的 惯常中 不一样 的'画面 ，至今 不肯忘 怀。
忙碌的一天的人们以各自的方式奔向 那个让 人休憩 被人们 赋予了 太多温 情的地 方—— 家。而 我却朝 着与家 相反的 方向， 也因此 看到了 在两点 一线的 惯常中 不一样 的'画面 ，至今 不肯忘 怀。
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忙碌的一天的人们以各自的方式奔向 那个让 人休憩 被人们 赋予了 太多温 情的地 方—— 家。而 我却朝 着与家 相反的 方向， 也因此 看到了 在两点 一线的 惯常中 不一样 的'画面 ，至今 不肯忘 怀。
忙碌的一天的人们以各自的方式奔向 那个让 人休憩 被人们 赋予了 太多温 情的地 方—— 家。而 我却朝 着与家 相反的 方向， 也因此 看到了 在两点 一线的 惯常中 不一样 的'画面 ，至今 不肯忘 怀。
空间几何体的直观图与三视图知识点归纳总结
变式2 利用斜二测画法, 一个平面图形的直观图时边长为1的正方形, 如图8-11所示,则该平面图形的面积为()
A. B.2 C. D. 4
题型2.直视图 三视图
思路提示
已知直观图描绘三视图的原则是:
先看俯视图, 观察几何体的摆放姿态, 再看正视图与侧视图同高, 正视图与俯视图同长, 侧视图与俯视图同宽.
A. B. C. D.
变式3 若几何体的三视图如图8-35所示, 则该几何体的体积是().
A. B. C. D.
例8.13一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图8-36所示,
则该几何体的侧面积为cm2.
分析由三视图是2个三角形和1个矩形, 可知该几何体是正四棱锥.
解析先看俯视图定底面——正四棱锥的底面, 再结合正视图和俯视图, 将中心 “拔地而起”得直观图, 如图8-37所示, 再由口诀知数据, 且可知斜高 ,所以几何体的侧面积 .
故选C.
变式1 （2012湖北理4）已知某几何体的三视图如图8-54所示，则该几何体的体积为（ ）.
A. B. C. D.
例8.17 如图8-55所示为由长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块的块数为（ ）.
A.3块B4块C.5块D.6块
分析 先看俯视图，从下往上“拔地而起”.
解析 先看俯视图定底，再结合正视图和侧视图，从下往上堆积可知其直观图，如图8-56所示. 故选B.
变式2 将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体, 则该几何体的左视图为().
变式3 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形, 则该正方体的正视图的面积面积不可能等于()
A. 1 B. C. D.
第一课时空间几何体三视图和直观图知识点教师版
空间几何体的结构第一课时棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球1．棱柱的定义：表示法：思考:棱柱的特点：.【答】2．棱锥的定义：表示法：思考:棱锥的特点：.【答】3．棱台的定义：表示法：思考:棱台的特点：.【答】4．多面体的定义：5．多面体的分类：⑴棱柱的分类⑵棱锥的分类⑶棱台的分类6、圆柱的定义：母线底面轴7．圆锥的定义：8．圆台的定义：9．球的定义：10．旋转面的定义：11．旋转体的定义：12．圆柱、圆锥、圆台和球的画法。
【精典范例】例1：设有三个命题：甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。
以上各命题中，真命题的个数是（A）A．0 B. 1 C. 2 D. 3例2：画一个四棱柱和一个三棱台。
【解】四棱柱的作法：⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形；⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段；⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去．点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得思维点拔：解柱、锥、台概念性问题和画图需要：(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点：例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。
反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？答：不能．点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。
追踪训练一1. 如图，四棱柱的六个面都是平行四边形。
这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？答由四边形ABCD 沿AA1方向平移得到．2.右图中的几何体是不是棱台？为什么？答：不是，因为四条侧棱延长不交于一点．3．多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体。
2023年高考数学一轮复习点点练26空间几何体的三视图与直观图表面积与体积含解析理
第八单元立体几何考情分析多以两小一大的形式出现，每年必考，分值为17～22分．重点考查几何体的三视图问题、几何体的表面积与体积、空间线面位置关系，用向量法计算空间角，其中与球有关的接(切)问题是考查的难点．对于空间向量的应用，空间直角坐标系的建立是否合理是解决有关问题的关键，有时所给空间图形不规则——没有三条互相垂直的直线，不利于空间直角坐标系的建立，另外，探索性问题中动点坐标的设法及有关计算是难点．点点练26空间几何体的三视图与直观图、表面积与体积一基础小题练透篇1．[2022·山东济宁检测]已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A．3B．22C．32D．342．[2021·江西吉安联考]某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体中，最长的棱的长度为( )A．3B．32C．33D．63．[2022·四川成都七中高三期中]已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为( )A ．3πB ．4πC．5πD．6π4．[2021·衡水模拟]已知正三棱锥S ABC 的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为2，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A ．πB．3πC．6πD．9π5．[2022·云南大理模拟预测]一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A ．43πB．2πC．πD．83π 6．[2021·江苏海安高级月考]三棱锥A BCD 中，∠ABC ＝∠CBD ＝∠DBA ＝60°，BC ＝BD ＝1，△ACD 的面积为114，则此三棱锥外接球的表面积为( ) A ．4πB．16πC．163πD．323π7．[2022·四川省南充市白塔模拟]如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球C 的表面上，则球C 的表面积是( )A ．8πB．12πC．16πD．32π 8.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．9．[2022·湘豫名校联考]在四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝5，AD ＝BC ＝13，AC ＝BD ＝10，则此四面体的体积为________．二能力小题提升篇1.[2022·深圳市高三调研]已知圆柱的底面半径为2，侧面展开图为面积为8π的矩形，则该圆柱的体积为( )A ．8πB．4πC．83πD．2π2.[2022·浙江省高三测试]如图是用斜二测画法画出的∠AOB 的直观图∠A ′O ′B ′，则∠AOB 是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．无法判断3．[2022·河南省洛阳市高三调研]大约于东汉初年成书的我国古代数学名著《九章算术》中，“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”实际是知道了球的体积V ，利用球的体积，求其直径d 的一个近似值的公式：d ＝3169V ，而我们知道，若球的半径为r ，则球的体积V ＝43πr 3，则在上述公式d ＝3169V 中，相当于π的取值为( )A.3B ．227C ．278D ．1694.[2021·云南省曲靖市高三二模]如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P 处，则小虫爬行的最短路程为( )A ．123B ．16C ．24D ．24 35．[2022·江西省兴国县高三月考]已知三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，且三棱锥P ABC 外接球的表面积为36π.则PA ＝________．6．[2022·广东七校第二次联考]在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝2a ，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为________．三高考小题重现篇1.[2021·山东卷]已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A ．2B.2 2 C ．4D.4 22．[2021·全国甲卷]在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G .该正方体截去三棱锥A EFG 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是( )3．[2021·全国甲卷]已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．4．[2021·全国甲卷]已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥OABC的体积为( )A．212B．312C．24D．345．[2020·山东卷]已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．6．[2019·全国卷Ⅱ]中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．四经典大题强化篇1.在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且点O 为AC的中点．(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求三棱锥C1ABC的体积．2．已知点P，A，B，C是半径为2的球面上的点，PA＝PB＝PC＝2，∠ABC＝90°，点B 在AC上的射影为D，求三棱锥P－ABD体积的最大值．点点练26 空间几何体的三视图与直观图、表面积与体积一 基础小题练透篇1．答案：A解析：由题图可知原△ABC 的高AO ＝3，BC ＝B ′C ′＝2，∴S △ABC ＝12·BC ·OA ＝12×2×3＝ 3.2．答案：C解析：由三视图还原几何体，可得该几何体可看作如图所示的棱长为3的正方体中，以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥，其最长的棱为BD ，且BD ＝32＋32＋32＝3 3.3．答案：B解析：由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同，底面圆的半径r ＝1，圆锥的母线长l ＝（3）2＋1＝2，记该几何体的表面积为S ，故S ＝12（2πr ）l ＋12×4πr 2＝4π.4．答案：C解析：正三棱锥的外接球即是棱长为2的正方体的外接球，所以外接球的直径2R ＝（2）2＋（2）2＋（2）2＝6，所以4R 2＝6，外接球的表面积4πR 2＝6π.5．答案：A解析：根据三视图可知几何体是由有公共的底面的圆锥和圆柱体的组合体，由三视图可知，圆锥的底面半径为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1，所以组合体的体积为13π×12×1＋π×12×1＝4π3.6．答案：A解析：∵BC ＝BD ＝1，∠CBD ＝60°，∴CD ＝1，又AB ＝AB ，∠ABC ＝∠DBA ＝60°，BC ＝BD ，∴△ABC ≌△ABD ，则AC ＝AD ，取CD 中点E ，连接AE ，又由△ACD 的面积为114，可得△ACD 的高AE ＝112，则可得AC ＝AD ＝3，在△ABC 中，由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos60°，∴3＝AB 2＋1－2×AB ×1×12，解得AB ＝2，则AC 2＋BC 2＝AB 2，可得∠ACB ＝90°，∴∠ADB＝90°，∴AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，根据球的性质可得AB 为三棱锥外接球的直径，则半径为1， 故外接球的表面积为4π×12＝4π.7．答案：A解析：由三视图可还原几何体为从长、宽均为2，高为2的长方体中截得的四棱锥S ABCD ，则四棱锥S ABCD 的外接球即为长方体的外接球， ∴球C 的半径R ＝122＋2＋4＝2，∴球C 的表面积S ＝4πR 2＝8π. 8．答案：2＋22解析：如图1，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E .在Rt△ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22.又四边形AECD 为矩形，AD ＝EC ＝1，∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1，由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形A ′B ′C ′D ′.在梯形A ′B ′C ′D ′中，A ′D ′＝1，B ′C ′＝22＋1，A ′B ′＝2. ∴这块菜地的面积S ＝12（A ′D ′＋B ′C ′）·A ′B ′＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.9．答案：2解析：设四面体ABCD 所在的长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a 2＋c 2＝13，b 2＋c 2＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以四面体ABCD 的体积V ＝abc －13×12abc ×4＝13abc ＝2.二 能力小题提升篇1．答案：A解析：设圆柱的高为h ，则2π×2×h ＝8π⇒h ＝2，所以圆柱的体积为π×22×2＝8π.2．答案：C解析：根据斜二测画法规则知，把直观图∠A ′O ′B ′还原为平面图，如图所示：所以∠AOB 是钝角． 3．答案：C解析：由d ＝3169V 得V ＝916·（2r ）3＝43·278r 3，比较V ＝43πr 3，相当于π的取值为278. 4．答案：A解析：如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为θ，则由题可得2π×4＝12θ，则θ＝2π3，在Rt△POP ′中，OP ＝OP ′＝12，则小虫爬行的最短路程为PP ′＝122＋122－2×12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12 3.5．答案：27解析：由PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，∵三棱锥外接球的表面积为36π，设外接球的半径为R ，则4πR 2＝36π，解得R ＝3∴三棱锥外接球的半径为3，直径为6，∵AB ＝AC ＝2，∴22＋22＋PA 2＝62，∴PA ＝27.6．答案：（2－2）a解析：方法一 由题意知，球内切于四棱锥P ABCD 时半径最大．设该四棱锥的内切球的球心为O ，半径为r ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OP ，则V P －ABCD ＝V O －ABCD ＋V O －PAD ＋V O －PAB ＋V O －PBC ＋V O －PCD ，即13×2a ×2a ×2a ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 2＋2×12×2a ×2a ＋2×12×2a ×22a ×r ，解得r ＝（2－2）a .方法二 易知当球内切于四棱锥P －ABCD ，即与四棱锥P －ABCD 各个面均相切时，球的半径最大．作出相切时的侧视图如图所示，设四棱锥P －ABCD 内切球的半径为r ，则12×2a ×2a＝12×（2a ＋2a ＋22a ）×r ，解得r ＝（2－2）a . 三 高考小题重现篇1．答案：B解析：设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则πl ＝2π×2，解得l ＝2 2.2．答案：D解析：根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，结合选项可知该几何体的侧视图为D.3．答案：39π解析：设该圆锥的高为h ，则由已知条件可得13×π×62×h ＝30π，解得h ＝52，则圆锥的母线长为h 2＋62＝254＋36＝132，故该圆锥的侧面积为π×6×132＝39π. 4．答案：A解析：如图所示，因为AC ⊥BC ，且AC ＝BC ＝1，所以AB 为截面圆O 1的直径，且AB ＝ 2.连接OO 1，则OO 1⊥面ABC ，OO 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22，所以三棱锥O ABC 的体积V ＝13S △ABC ×OO 1＝13×12×1×1×22＝212. 5．答案：2π2解析：如图，连接B 1D 1，易知△B 1C 1D 1为正三角形，所以B 1D 1＝C 1D 1＝2.分别取B 1C 1，BB 1，CC 1的中点M ，G ，H ，连接D 1M ，D 1G ，D 1H ，则易得D 1G ＝D 1H ＝22＋12＝5，D 1M ⊥B 1C 1，且D 1M ＝ 3.由题意知G ，H 分别是BB 1，CC 1与球面的交点．在侧面BCC 1B 1内任取一点P ，使MP ＝2，连接D 1P ，则D 1P ＝D 1M 2＋MP 2＝（3）2＋（2）2＝5，连接MG ，MH ，易得MG ＝MH ＝2，故可知以M 为圆心，2为半径的圆弧GH 为球面与侧面BCC 1B 1的交线．由∠B 1MG ＝∠C 1MH ＝45°知∠GMH ＝90°，所以GH 的长为14×2π×2＝2π2. 6．答案：26 2－1 解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x ，则22x ＋x ＋22x ＝1，解得x ＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1. 四 经典大题强化篇1．解析：（1）证明：因为AA 1＝A 1C ，且O 为AC 的中点，所以A 1O ⊥AC ，又平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABC .（2）∵A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴A 1C 1∥平面ABC ，即C 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离．由（1）知A 1O ⊥平面ABC ，且A 1O ＝AA 21 －AO 2＝3，∴VC 1－ABC ＝VA 1－ABC ＝13S △ABC ·A 1O ＝13×12×2×3×3＝1. 2.解析：设点P 在平面ABC 上的射影为G ，如图，由PA ＝PB ＝PC ＝2，∠ABC ＝90°，知点P 在平面ABC 上的射影G 为△ABC 的外心，即AC 的中点．设球的球心为O ，连接PG ，则O 在PG 的延长线上．连接OB ，BG ，设PG ＝h ，则OG ＝2－h ，所以OB 2－OG 2＝PB 2－PG 2，即4－（2－h ）2＝4－h 2，解得h ＝1，则AG ＝CG ＝ 3.设AD ＝x ，则GD ＝x －AG ＝x －3，BG ＝3，所以BD ＝BG 2－GD 2＝－x 2＋23x ，所以S △ABD ＝12AD ·BD ＝12－x 4＋23x 3. 令f （x ）＝－x 4＋23x 3，则f ′（x ）＝－4x 3＋63x 2.由f ′（x ）＝0，得x ＝0或x ＝332，易知当x ＝332时，函数f （x ）取得最大值24316，所以（S △ABD ）max ＝12×934＝938.又PG ＝1，所以三棱锥P －ABD 体积的最大值为13×938×1＝338.。
高中数学必修2知识点总结：第一章-空间几何体
高中数学必修2知识点总结第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积24R S π=（二）空间几何体的体积1柱体的体积 h S V ⨯=底 2锥体的体积 h S V ⨯=底313台体的体积 h S S S S V ⨯++=)31下下上上（ 4球体的体积 334R V π=222r rl S ππ+=第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构一、选择题1、下列各组几何体中是多面体的一组是（）A 三棱柱四棱台球圆锥B 三棱柱四棱台正方体圆台C 三棱柱四棱台正方体六棱锥D 圆锥圆台球半球2、下列说法正确的是（）A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形3、下面多面体是五面体的是（）A 三棱锥B 三棱柱C 四棱柱D 五棱锥4、下列说法错误的是（）A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成5、下面多面体中有12条棱的是（）A 四棱柱B 四棱锥C 五棱锥D 五棱柱6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（）A 1 个B 2 个C 3个D 4个二、填空题7、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点，有—————————个棱。
高中数学必修2 空间几何体的结构特征及三视图和直观图附答案
空间几何体的结构特征及三视图和直观图一．相关知识点1．空间几何体的结构特征2．空间几何体的三视图(1)三视图的形成与名称空间几何体的三视图是用平行投影得到的，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。
(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线。
②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线。
3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直。
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中还是平行于坐标轴的线段。
平行于x轴和z一、细品教材1．(必修2P15练习T4改编)如图为一个几何体的三视图，则该几何体是()A．四棱柱B．三棱柱C．长方体D．三棱锥2．(必修2P29B组T1改编)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积为()A．9π B．10π C．11π D．12π答案：1.B， 2.D二、基础自我检测1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是() A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体2．下列三种叙述，其中正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。
A．0个B．1个C．2个D．3个3．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()4．如图所示，等腰△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形5．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是________，截去的几何体是________。
高中数学 必修二 1.2空间几何体的三视图和直观图cp
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原 长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
例2.画水平放置的正三角形的直
y C
观图。
画法按如下步骤完成:
A O
B
x
第一步 在已知的正三角形ABC中,
取AB所在的直线为x轴, 取对称轴
A
C
D
4．如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观 图是一个等腰梯形，它的底角为45°，两腰和上 底边长均为1，求这个平面图形的面积.
y′
D′
C′
D
C
A′（O′）
B′ x′
A
B
空间几何体的直观图的特点: 1. 保持平行关系和竖直关系不变． 2. 保持水平长度和竖直长度不变； 3. 纵向长度取其一半．
• [答案] 4
[解析] 该几何体是一个底面为直角三角形、一条侧 棱垂直于底面的三棱锥，如图，V＝13×12×5×6×h＝20， ∴h＝4 cm.
4、已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，画出
给几何体的三视图.
5.一个空间几何体的三视图，
如图所示，则这个空间几何体
的表面积是
.
正确答案 4(π＋1)
22 侧视图
俯视图
高考题欣赏（共10道）1、（全国新课标 ）
（8）在一个几何体的三视图中，
正视图与俯视图如右图所示，则
相应的侧视图可以为
D
2、（浙江 ）（7）几何体的 三视图如图所示，则这个几何 体的直观图可以是 【答案】B
3、
• （湖南，13)如下图中的三个直角三角形 是一个体积20cm3的几何体的三视图，则 h＝________ cm.
高中数学必修2空间几何体的三视图和直观图
俯视图
圆锥的三视图
正视图 侧视图
俯视图
思考：下列两组三视图分别是什么几何体？
正视图
侧视图
正视图
侧视图
俯视图
俯视图
圆台
三棱锥
一个几何体的三视图如下，则这个几 六棱锥 何体是______
正视图
主视图
左视图
俯视图
俯视图
画法说明
1、同一张图样中，同类图线的宽度应基本一致。 2、虚线、点划线相交时，应使两小段相交。
C
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF
y
F
M
E D
A
B
O
x
N
C
斜二测画法的步骤:(平面图形)
(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴,两轴 相交于O点．画直观图时，把它画成对应的 x 轴、 轴,使 xOy=45 或135 ,它确定的平面表示水平 y 平面. (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观 图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． (3)已知图形中平行于x 轴的线段,在直观图中保 持原长度不变;平行于y 轴的线段,长度为原来的一 半．
y
F
M
E D
A
y
F M E
N
A
B
O
x
N
B
O
D
C
x
C
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF
y
F
M
E D
y
A
B
O
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1.2 空间几何体旳三视图和直观图
1.2.1中心投影与平行投影
1．投影旳定义
由于光旳照射，在不透明物体背面旳屏幕上可以留下这个物体旳影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子旳屏幕叫做投影面．
2．中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体旳三视图
1．平行投影和中心投影都是空间图形旳一种画法，但两者又有区别
(1)中心投影旳投影线交于一点，平行投影旳投影线互相平行．
(2)平行投影下，与投影面平行旳平面图形留下旳影子，与这个平面图形旳形状和大小完全相似；而中心投影则不一样．
2．每个视图都反应物体两个方向上旳尺寸．正视图反应物体旳上下和左右尺寸，俯视图反应物体旳前后和左右尺寸，侧视图反应物体旳前后和上下尺寸．
3．画几何体旳三视图时，能看见旳轮廓线和棱用实线表达，看不见旳轮廓线和棱用虚线表达．
1.2.3 空间几何体旳直观图
斜二测画法-------空间几何体直观图旳一种画法.
(1) 建立平面直角坐标系: 在已知平面图形中取互相垂直旳x轴和y轴,两轴相交于点O.
(2) 画出斜坐标系: 在画直观图旳纸上(平面上)画出对应旳x'轴和y'轴, 两轴相交于点O',且使∠x'O'y' =45度(或135度), 它们确定旳平面表达水平平面.
(3) 画对应图形: 在已知图形平行于x轴旳线段, 在直观图中画成平行于x'轴, 长度保持不变。
在已知图形平行于y轴旳线段, 在直观图中画成平行于y'轴, 且长度为本来二分之一.
(4)对于一般线段，要在本来旳图形中从线段旳各个端点引垂线，再按上述规定画出这些线段，确定端点，从而画出线段.
(5) 擦去辅助线: 图画好后,要擦去x'轴,y'轴及为画图添加旳辅助线.
用斜二测画法作几何体直观图旳一般环节：
1.画轴.画x.y.z三轴交原点，使xOy=45°xOz=90°.
2.画底面.在对应轴上取底面旳边，并交于底面各顶点.
3.画侧棱或横截面侧边.使其平行于z轴.
4.成图.连接对应端点，去掉辅助线，将被遮挡部分改为虚线等.
画几何体旳直观图时，假如不作严格规定，图形尺寸可以合适选用.用斜二测画法画图旳角度也可是自定，但规定图形有一定旳立体感.作水平放置旳圆旳直观图可借助椭圆模板.
斜二测画法口诀：
平行仍旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现。
注：1．对于同一物体放置旳位置不一样，所画旳三视图也许不一样．
2．对于画简朴组合体旳三视图，要先弄清由哪几种基本几何体组合而成，并注意它们旳构成方式，尤其是它们旳交线位置．
3．对于还原组合体，需要综合主视图、左视图、俯视图旳特性，确定分界线，找出构成组合体旳简朴几何体，再将组合体还原，其中确定分界线是对旳还原旳关键．
基础练习题
1.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1旳中点，G是正方形BCC1B1旳中心，则四边形AGFE在该正方体旳各个面上旳投影也许是图中旳________．
1.[思绪点拨]由平行投影旳定义知投影线垂直于投影面，故确定四边形AGFE旳四顶点在各个投影面旳位置，把各投影点连线即可．
[精解详析](1)四边形AGFE在下底面ABCD旳投影中，AE重叠为点A，F为CD中
点，G为BC中点，故在下底面旳投影为：，即为a图，在上底面旳投影与a图相似．
(2)四边形AGFE在正面ABB1A1旳投影中，F点为A1B1中点，G为B1B中点，图形为
，即为c图，其在面DCC1D1内旳投影与c图相似．
(3)四边形AGFE在侧面ADD1A1旳投影中，F点与D1重叠，G点在正方形ADD1A1旳中
心处即在AD1中点上，图形为，即是b图，其在另一侧面BCC1B1内旳投影与b图相似．
[答案] a b c
[一点通]画出一种图形在一种平面上旳投影旳关键是确定该图形旳要点，如顶点、端点等，措施是先画出这些要点旳投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上旳投影．2．如下有关投影旳论述不．对旳旳是()
A．手影就是一种投影
B．中心投影旳投影线相交于点光源
C．斜投影旳投影线不平行
D．正投影旳投影线和投影面垂直
2.解析：平行投影旳投影线互相平行，分为正投影和斜投影两种，故C错．
答案：C
3.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC旳中
点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上旳投影为()
3.解析：N在面ADD1A1内旳投影是AD中点，M在面ADD1A1内旳投影是AA1中点．
答案：A
4.画出如右图所示旳四棱锥旳三视图．
4.[思绪点拨]画图时，要注意做到“长对正、高平齐、宽相等”．
[精解详析]几何体旳三视图如下：
[一点通]画三视图旳注意事项
(1)务必做到长对正，宽相等，高平齐．
(2)三视图旳安排措施是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图旳正下方．
(3)若相邻两物体旳表面相交，表面旳交线是它们旳分界线，在三视图中，要注意实、虚线旳画法．
5.观测下图所示旳几何体：
该几何体旳正视图为________；侧视图为________；俯视图为________．
5.解析：(1)为正视图，(2)为俯视图，(3)为侧视图．
答案：(1)(3)(2)
6.．画出下图所示几何体旳三视图．
6.解：该几何体为三棱柱，三视图如下：
7．将长方体截去一种四棱锥，得到旳几何体如图所示，则该几何体旳侧视图为()
7.解析：
根据正投影旳性质，并结合侧视图规定及如图所示，AB旳正投影为A′B′，BC旳正投影为B′C′，BD′旳正投影为B′D′，综上可知侧视图为选项D.
答案：D
8.根据图中旳物体旳三视图，画出物体旳形状．
(1)
(2)
8.[思绪点拨]由三视图还原空间几何体重要考察学生旳空间想象能力．要注意结合三种视图间旳关系推测几何体旳形状，再运用三种视图加以验证．
[精解详析](1)由三视图可知，下面为棱柱、上方为正方体故表达物体旳实物图形如图．
(6分)
(2)由三视图可知，上面为半球，下面为三棱柱，如图
(10分) [一点通]由三视图还原几何体时，一般先由俯视图确定底面，由正视图与侧视图确定
几何体旳高及位置，同步想象视图中每一部分对应实物部分旳形状．
9.若右图是一种几何体旳三视图，则这个几何体是()
A．圆柱 B．圆台
C．圆锥D．棱台
9.解析：由三种视图可分析，该几何体为圆台．
答案：B
10.根据如图所示旳俯视图，找出对应旳物体．
(1)对应________；(2)对应________；
(3)对应________；(4)对应________；
(5)对应________．
10.析：(1)对应D.(2)对应A.(3)对应E.(4)对应C.(5)对应B.
答案：D A E C B。