用导数法解决三角函数最值问题
高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.2 导数的应用 第2课时 导数与函数的极值、最值教师用书
第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数解决函数极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 (1)(2016·绍兴模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案(1)C (2)D解析(1)由f′(x)图象可知，x＝0是函数f(x)的极大值点，x＝2是f(x)的极小值点，故选C.(2)由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 命题点2 求函数的极值例2 (2016·台州模拟)已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解 (1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－ae x .又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴， 得f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解得a ＝e. (2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，即x ＝ln a ， 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． 命题点3 已知极值求参数例3 (1)(2016·杭州模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.(2)(2016·福州质检)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间(12，3)上有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，52)B ．[2，52)C ．(2，103)D ．[2，103)答案 (1)－7 (2)C解析 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7.(2)若函数f (x )在区间(12，3)上无极值，则当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立．当x ∈(12，3)时，y ＝x ＋1x 的值域是[2，103)；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x恒成立，a ≤2；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在(12，3)上有极值点，实数a 的取值范围是(2，103)．思维升华 (1)求函数f (x )极值的步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．(1)函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝0(2)函数y ＝2x －1x2的极大值是________．答案 (1)C (2)－3解析 (1)∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，∵由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.又当x <－1时，f ′(x )<0， 当－1<x <0时，f ′(x )>0. 当0<x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点． (2)y ′＝2＋2x3，令y ′＝0，得x ＝－1.当x <－1，x >0时，y ′>0；当－1<x <0时，y ′<0. ∴当x ＝－1时，y 取极大值－3. 题型二 用导数求函数的最值例4 已知a ∈R ，函数f (x )＝a x＋ln x －1.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝1x＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，x ∈(0，＋∞)．因此f ′(2)＝14，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为14.又f (2)＝ln 2－12，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2－12)＝14(x －2)，即x －4y ＋4ln 2－4＝0.(2)因为f (x )＝ax＋ln x －1，所以f ′(x )＝－a x2＋1x＝x －ax2，x ∈(0，e]．令f ′(x )＝0，得x ＝a .①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值． ②若0<a <e ，则当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增， 所以当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值ln a .③若a ≥e，则当x ∈(0，e]时，f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减， 所以当x ＝e 时，函数f (x )取得最小值ae.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )在区间(0，e]上无最小值； 当0<a <e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ln a ； 当a ≥e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ae .思维升华 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1,2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围是________________．答案 (－∞，72)解析 由题意知，f ′(x )＝3x 2－x －2， 令f ′(x )＝0，得3x 2－x －2＝0， 解得x ＝1或x ＝－23，又f (1)＝72，f (－23)＝15727，f (－1)＝112，f (2)＝7，故f (x )min ＝72，∴a <72.题型三 函数极值和最值的综合问题例5 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x2x ，a ln x x(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．解 (1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘↗↘故当x ＝0时，函数f (x )取得极小值f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝23.(2)①当－1≤x ＜1时，由(1)知，函数f (x )在[－1,0]和[23，1)上单调递减，在[0，23]上单调递增．因为f (－1)＝2，f (23)＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1,1)上的最大值为2. ②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ， 当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增， 则f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a . 故当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.思维升华 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5,0) B ．(－5,0) C ．[－3,0) D ．(－3,0)答案 C解析 由题意，得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)， 故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得， x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5>0，解得a ∈[－3,0)．3．利用导数求函数的最值典例 (15分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)两小问中，由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．[3分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－axx>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞.[5分]综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.[6分](2)①当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a . [7分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[9分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .[13分]综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .[15分]用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题 第一步：(求导数)求函数f (x )的导数f ′(x )；第二步：(求极值)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f (x )在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范.1．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极大值为( )A.283 B ．6 C.263 D ．7 答案 A解析 f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)，f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的极大值为f (－2)＝283.2．(2016·四川)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2 答案 D解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减， ∴f (x )的极小值点为a ＝2.3．(2016·温州模拟)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0 D ．不存在 答案 A解析 f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x且x >0.令f ′(x )>0，得x >1. 令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，f (1)＝12－ln 1＝12.4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0. ∴a >6或a <－3.*5.(2016·安阳模拟)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －34(a ，b ，c ∈R )的导函数为f ′(x )，若不等式f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，f (x )的极小值等于－115，则a 的值是( )A ．－8122 B.13 C ．2 D ．5答案 C解析 由已知可得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由3ax 2＋2bx ＋c ≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}可知a >0， 且－2,3是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 则由根与系数的关系知2b 3a ＝－1，c3a ＝－6，∴b ＝－3a2，c ＝－18a ，此时f (x )＝ax 3－3a 2x 2－18ax －34，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数； 当x ∈(－2,3)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，∴f (3)为f (x )的极小值，且f (3)＝27a －27a2－54a －34＝－115，解得a ＝2，故选C.6．(2016·奉化模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( )A.14B.13C.12 D ．1 答案 D解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f (1a)＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18 B ．11 C ．18D ．17或18答案 C解析 ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11. 而当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去． ∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．答案 (22，＋∞) 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数递减；当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数递增．∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0，解得a >22. ∴a 的取值范围是(22，＋∞)． 9．(2016·宁波模拟)已知函数f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m 在[0,1]上的最小值为13，则实数m 的值为________．答案 2解析 由f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m ， 可得f ′(x )＝x 2－2x －1，令x 2－2x －1＝0，可得x ＝1± 2.当x ∈(1－2，1＋2)时，f ′(x )<0，即函数f (x )在(1－2，1＋2)上是减函数，即f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)，所以13－1－1＋m ＝13，解得m ＝2. 10．(2016·杭州模拟)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．答案 －4解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0.即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4. f ′(x )＝－3x 2＋6x ，由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， ∴对m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.11．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x. 令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝x －x －x .令f ′(x )＝0，解得x ＝2或3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.综上，f (x )的单调递增区间为(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间为(2,3)，f (x )的极大值为92＋6ln 2，极小值为2＋6ln 3.12．设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切． (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在[1e，e]上的最大值． 解 (1)f ′(x )＝a x－2bx ，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝a －2b ＝0，f ＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝ln x －12x 2， f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x， 当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e≤x <1， 令f ′(x )<0，得1<x ≤e，∴f (x )在[1e，1)上单调递增， 在(1，e]上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－12. *13.(2017·杭州调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a >0，b ∈R )．(1)设a ＝1，b ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若对任意的x >0，f (x )≥f (1)，试比较ln a 与－2b 的大小．解 (1)由f (x )＝ax 2＋bx －ln x ，x ∈(0，＋∞)，得f ′(x )＝2ax 2＋bx －1x. ∵a ＝1，b ＝－1，∴f ′(x )＝2x 2－x －1x ＝x ＋x －x (x >0)．令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴f (x )的单调递减区间是(0,1)；单调递增区间是(1，＋∞)．(2)由题意可知，f (x )在x ＝1处取得最小值， 即x ＝1是f (x )的极值点，∴f ′(1)＝0，∴2a ＋b ＝1，即b ＝1－2a . 令g (x )＝2－4x ＋ln x (x >0)，则g ′(x )＝1－4x x. 令g ′(x )＝0，得x ＝14. 当0<x <14时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 当x >14时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， ∴g (x )≤g (14)＝1＋ln 14＝1－ln 4<0，∴g (a )<0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a <0， 故ln a <－2b .。
三角函数最值的求法
三角函数最值的求法摘要： 本文主要讨论三角函数的最值的求法，总结归纳出六种常用的方法：上下界法、二次函数法、几何法、不等式法、判别法和用导数法。
关键词：三角函数；最值；求法。
三角函数是当今高考必考的内容之一，而三角函数的最值是函数最值的重要内容，同时也是三角函数的重要分支，故重视和加强这部分内容对于学习三角函数的恒等变换，求解最值，掌握三角函数最值与二次函数、二次方程及不等式性质的关系的应用有着重要的意义。
下面就求三角函数最值问题谈谈我的若干解决方法。
一．上下界法。
根据1sin ≤x 或1cos ≤x 把给定的三角函数或通过适当的恒等变形化成k x A ++)sin(ϕω或k x A ++)cos(ϕω（其中、k 、A 、ϕω均为常数）的形式，然后求出最大值和最小值的方法称为上下界法。
例1：求函数x x y 2sin cos 2-=的最值。
分析：先把原函数变形，然后根据1cos ≤x 直接求出最值。
解：x x y 2sin 22cos 1-+=x x 2sin 2cos 2121-+= 21)2cos(25++=ϕx 帮所求2125max +=y ，2125min +-=y例2：已知函数.,2cos 32sin R x x x y ∈+=求y 的最大值、最小值及相应的x 的集合；解：sin 2sin()2223x x x y π==+ ∴当2232x k πππ+=+，即4,3x k k Z ππ=+∈时，y 取得最大值2，此时x 的取值范围为 |4,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； 当2232πππ-=+k x ，即Z k k x ∈-=,354ππ时，y 取得最小值2－，此时x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,354|ππ。
点评：（1）这种基本题型非常重要，在高考考题中出现的频率较高；（2）当自变量x 的取值范围有限制时，我们在转化时往往要注意变量x 的取值范围，否则容易造成结果错误。
用导数法解决三角函数最值问题
用导数法解决三角函数最值问题作者：张艳来源：《高中生学习·高二文综版》2015年第05期整体思想可以降低“设角”难度例1 ;已知函数[f（θ）=sinθ-3cosθ][（0<θ<π4），]试求当[tanθ]为何值时，函数取最小值.解析 ;[f（θ）=-cos2θ-（3-sinθ）（-sinθ）cos2θ][=3sinθ-1cos2θ，]令[f（θ）=0]，则[sinθ=13].当[sinθ>13]时，[f（θ）>0].当[sinθ<13]时，[f（θ）<0].∴当角[θ]满足[sinθ=13]时，[f（θ）]最小.点拨 ;本题角度也不是特殊角，没有令[sinθ0=13]，而是直接作为整体，判断出函数[f （t）]，也就是[f（sinθ）]在[（0，13）]上单调递减，在[（13，22）]上单调递增，从而求出函数的最小值.例2 ;已知[f（α）=33-5cosαsinα]（[α∈（0，π2）]），试求当角[α]的余弦值为何值时，函数取最小值.解析 ;∵[f（α）=5-33cosαsin2α]，令[cosα=t，|t|<1]，则[y=5-33t1-t2.]∴令[y=0]得，[t=533].当[t<533]时，[y>0].当[t>533]时，[y<0].∴[t=533]时，[y]取得最大.∵[cosα]在[α∈（0，π2）]上是减函数，∴当[α]满足[cosα=533]时，[f（α）]最小.点拨 ;整体法有个易错的地方，就是上面解法如果不添加“[cosα]在[α∈（0，π2）]上是减函数”这句话，不考虑内层函数的单调性，我们是不是就会得出当[cosα=533]时，[f（cosα）]取最大呀？很明显函数[f（t）]应该在[（-1，533）]上单调递增，在[（533，1）]上单调递减，那么对函数[f（t）]来说，在[t=533]处只能取得极大值，而不是极小值，这就和题目要求的结果相悖.事实上，这都是复合函数惹的祸，或者说就是余弦函数惹的祸.因为作为内层函数[cosα]在[α∈（0，π2）]上是减函数，外层函数的单调性直接受到内层函数的影响，所以当角[α]满足[cosα=533]时，[f（α）]取得最小.换元之后再求导可减少运算量例3 ;求函数[y=sin2x+4sinx+32+sinx]最小值与最大值.解析 ;设[t=2+sinx（1≤t≤3）]，则[1+sinx=t-1]，[3+sinx=t+1].[y=sin2x+4sinx+32+sinx=（sinx+1）（sinx+3）2+sinx]=[（t-1）（t+1）t=t-1t]，[1≤t≤3].求导，[y=1+1t2>0]，故[y]在[t∈[1，3]]上是增函数.∴当[t=1]时，[ymin=0].当[t=3]时，[ymax=83].点拨 ;对于本题，我们要直接求导也不是不可以，但是稍微难了.而上面的解法先换元再求导，可以大大地降低运算量.以角度所在的区间作为函数单调区间例4 ;已知[x]为锐角，求函数[y=63sinx+2cosx]的最值.解析 ;因为[y=63sinx+2cosx]，所以[y=-63cosxsin2x+2sinxcos2x=2sin3x-63cos3xsin2xcos2x].当[y=0]时，解得[tan3x=33]，即[tanx=3].又因为[x]是锐角，所以[x=π3].当[0<x<π3]时，[y<0].当[π3<x<π2]时，[y>0].函数[y]在[（0，π3）]上单调递减，在[（π3，π2）]上单调递增，因此，当[x=π3]时函数有最小值16，函数无最大值.点拨 ;三角函数的单调区间一般使用弧度制，在确定单调区间之后，便可以确定函数的极值点，从而确定三角函数的最值，这一点和一般函数并没有二样.将角度直接作为三角函数式子的一部分例5 ;某园林公司计划在一块[O]为圆心，[R]（[R]为常数）为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形[CMDC]区域用于观赏样板地，[ΔO CD]区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元.[草皮地][花木地][观赏样板地][草皮地]（1）设[∠COD=θ]，[CMD=l]，分别用[θ]，[l]表示弓形[CMDC]的面积[S弓=f（θ），S弓=g（l）];（2）园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？解析 ;（1）[S扇=12R2θ]，[SΔOCD=12R2sinθ]，[S弓=f（θ）=12R2（θ-sinθ）].又[S扇=12Rl]，[∴SΔOCD=12R2sinlR]，[S弓=g（l）=12R（l-RsinlR）].（2）设总利润为[y]元，草皮利润为[y1]元，花木地利润为[y2]，观赏样板地成本为[y3.][y1=3（12πR2-12lR）]，[y2=12R2sinθ∙8]，[y3=12R（l-Rsinθ）∙2]，[∴y=y1+y2-y3=3（12πR2-12R2θ）+12R2sinθ∙8-12R2（θ-sinθ）∙2][=12R2[3π-（5θ-10sinθ）]].设[g（θ）=5θ-10sinθ]，[θ∈（0，π）].[g（θ）=5-10cosθ]， [g（θ）<0，cosθ>12，][g（θ）在θ∈（0，π3）]上为减函数.[g（θ）>0，cosθ<12，g（θ）在θ∈（π3，π）]上为增函数.当[θ=π3]时，[g（θ）]取到最小值，此时总利润最大.所以当园林公司把扇形的圆心角设计成[π3]时，总利润最大.点拨 ;一般来说，一个三角函数式中各个部分都应是三角函数，但是本题却部分出现了角度单列的现象. 其实不就是求导吗？一个角度其实就是一个自变量[x]，单独的[x]难道就不能求导了吗？当然本题要是写成[g（x）=x-2sinx]或许你就会了吧？“设而不求”应对非特殊角极值点横坐标例6 ;函数[y=sinθ（2cosθ+1）]在[[0，π3]]上取最大值时，[cosθ]的值.解析 ;当[0<θ<π3]时，求导得，[y=cosθ2cosθ+1+sinθ-2sinθ=4cos2θ+cosθ-2.]令[y=0]得，[cosθ=33-18].记区间[（0，π3）]上余弦值等于[33-18]的角为[θ0]（惟一存在）.列表如下：[[θ]＼&[0，θ0]＼&[θ0]＼&[（θ0，π3）]＼&[y]＼&[+]＼&0＼&[-]＼&[y]＼&增函数＼&极大值＼&减函数＼&]所以当[θ=θ0]，即[cosθ=33-18]时，[y]取得最大.点拨 ;本题和前面例题不同之处在于，极值点横坐标不是特殊的角度，不能直接表达单调区间.怎么办？遇到此类情形，因为这个极值点是存在的，但是我们最终又不需要求出这个横坐标，只需要对应的函数值，因此我们完全可以“设而不求”.例7 ;求函数[f（θ）=3cosθ+2sinθ2+1]，[θ∈（0，π2）]取最大值时，[tanθ]的值.解析 ;[f（θ）=-3sinθ+cosθ2]，令[f（θ）=0，][sinθ2=16]，设[sinθ02=16，][f（θ）>0，][sinθ2<16]，[θ2<θ02]，即[0<θ<θ0].[f（θ）<0，][sinθ2>16]，[θ2>θ02]，即[θ0<θ<π2].函数[f（θ）]在[（0，θ0）]上单调递增，在[（θ0，π2）]上单调递减，所以函数[f（θ）]在[θ=θ0]处取最大值.此时[sinθ02=16，][tanθ02=135]，[tanθ0=2tanθ021-tan2θ02=2351-135=3517.]所以，[f（θ）]取最大值时，[tanθ]的值为[3517].点拨 ;本题实际上可以用二倍角公式展开，再用二次函数解决的，这里仅仅为了熟悉“设而不求”的手段.。
探究导数思想在三角函数性质中应用
１三角函数的单调性 问题
２ ０ １ ３ 年第 １ ２ 期
福建中学数学
４ ｌ
我们 知道 正 弦 函数 Ｙ＝ｓ ｉ ｎ ｘ的导数 是 Ｙ ＝Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ，
也 就 是 说 明 了 Ｙ：ｓ ｉ ｎ ｘ的 单 调递 增 区 间是 余 弦 函 数
Ｙ＝Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ图象在 轴 上 方部 分 ， Ｙ＝ｓ ｉ ｎ ｘ的单 调递 减
即 ＋ ２ ｃ ｏ Ｘ 等 ＋ ２ ，
． ．
．
４ ｏ ｃ
＋
∞
４ ｏ ｃ
≤
＋
Ｃ Ｏ
（ Ｊ ｝ ｉ ∈ｚ ） ，
区间是 余弦 函数 Ｙ＝Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ图象 在 轴 下 方部分 ， 这 样 学 生就 很容 易 写 出 Ｙ＝ｓ ｉ ｎ ｘ的单调 区间 ，并 更深刻 理 解 正弦 函数 与余 弦 函数 的关 系 ． 知识点 １ ． １ Ｙ＝ｓ ｉ ｎ ｘ的单调递 增 区间是 Ｙ＝Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ ≥０的解集 ， Ｙ＝ｓ ｉ ｎ ｘ的单 调递 减 区间是 Ｙ＝Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ ０
苏 飞文 洪 丽敏
１ 福 建 省 南安侨 光 中学 （ ３ ６ ２ ３ １ ４ ） ２福建 省南 安第一 中学 （ ３ ６ ２ ３ ０ ０ ） 可 能 由于 三 角 函数 具有 的特殊 完 美 的性 质 ，笔
入三 角函数教 学 中 ．
者 发现 ，老 师 或学 生在 三 角 函数解 题 中应 用很 少应 用到 导数 思 想 ，特 别 是高 三第 一 轮复 习中 ，如 果在
…
ｎ ２ ）．
２
②如 图 ５ ，两个 同 心圆圆 心为 ０，大 圆的半径 为 Ｒ，小 圆的半径 为 ｒ （ ＞ｒ ） ， Ａ为大 圆上任 意一 点 ， Ｊ Ｄ Ｑ为小 圆的直径 ，则 Ａ Ｐ ＋ Ｑ 为 定值 ．
三角函数的极值
三角函数的极值三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
这些函数在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
其中一个重要的概念是极值，即函数的最大值和最小值。
在本文中，将探讨三角函数的极值特性以及如何求解。
一、正弦函数的极值正弦函数是最基本的三角函数之一，表示为sin(x)，其中x为自变量。
正弦函数的定义域是所有实数，值域在[-1, 1]之间。
正弦函数的图像是一条连续的波形，具有无限多个极大值和极小值。
我们可以观察正弦函数的图像，发现它在自变量增大到π/2和3π/2的倍数时，取得极大值1；在自变量增大到π的倍数时，取得极小值-1。
由此可知，正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
除此之外，正弦函数在其他点上的取值介于-1和1之间。
二、余弦函数的极值余弦函数是另一种常见的三角函数，表示为cos(x)。
余弦函数的定义域也是所有实数，值域同样在[-1, 1]之间。
余弦函数的图像形状与正弦函数相似，但相位不同。
与正弦函数类似，余弦函数也有无限多个极大值和极小值。
观察余弦函数的图像，可以发现它在自变量增大到2π的倍数时，取得极大值1；在自变量增大到π/2和3π/2的倍数时，取得极小值-1。
其他点上余弦函数的取值也落在-1和1之间。
三、正切函数的极值正切函数是三角函数中的另一个重要函数，表示为tan(x)。
正切函数的定义域是所有实数，但在某些点上存在无穷大或无穷小的间断点。
正切函数的值域包含所有实数。
正切函数的图像呈周期性分布，并且在自变量增大到π/2的倍数时，取得无穷大的极大值；在自变量增大到π的倍数时，取得无穷小的极小值。
其他点上正切函数的取值没有特殊限制。
四、求解要求解三角函数的极值，我们可以首先观察它们的图像，确定函数的周期性和取值范围。
然后，通过求导数的方法，找到函数在定义域内的临界点。
最后，将临界点带入函数，求得对应的函数值，进一步确定最大值和最小值。
需要注意的是，某些三角函数在定义域的某些点上没有极值，而是趋于无穷大或无穷小。
高考数学一轮复习三角函数与解三角形中的最值(范围)问题
，∵函数f（x）＝cos（2x＋φ）（0＜φ＜π）在区间
π π
− ,
6 6
上单调递
π
− ≥ 0,
π
π
π
2π
减，∴ − + , + ⊆[0，π]，即ቐ 3π
解得 ≤φ≤ .令f（x）＝cos
3
3
3
3
+ ≤ π,
3
π
π π
（2x＋φ）＝0，则2x＋φ＝ ＋kπ（k∈Z），即x＝ － ＋ （k∈Z），又函数f
4
解：（2）f（x）＝－
1 2 5
sin−
＋ ＋a.
2
4
17
, 5
4 ⇒൝4
()max ≤
由题意得ቐ
()min ≥ 1
17
,
4 ⇒2≤a≤3，
+ ≤
−1 ≥ 1
即实数a的取值范围是[2，3].
三角形中的最值（范围）问题
考向1 利用三角函数的性质求最值（范围）
【例4】 △ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
重难专攻（四）
三角函数与解
三角形中的最值（范围）问题
三角函数与解三角形中的最值（范围）问题是高考的热点，主要涉及：
（1）三角函数式的最值（范围）问题；（2）利用三角函数性质求某些量的最
值（范围）；（3）三角形中的最值（范围）（周长、面积等），其求解方法多
样，一般常用方法有：（1）利用三角函数的单调性（正、余弦函数的有界性）
3
3
答案
3
3
－
3
3
2
1+ 2
，
｜解题技法｜
sin+
导数与三角函数的综合的解题技巧
导数与三角函数的综合的解题技巧
1.使用导数公式：对于三角函数，有 sin'x=cosx, cos'x=-sinx, tan'x=sec^2x, cot'x=-csc^2x。
根据公式，可以快速求导数。
2.化简式子：如果要求导数的式子比较复杂，可以先把式子化简，再使用导数公式。
3.注意多项式函数：如果式子包含多项式函数，可以先对多项式函数求导，再根据导数公式求出整个式子的导数。
二、解题技巧
1.化简式子：对于一些比较复杂的题目，可以先把式子化简，减少计算难度。
2.注意特殊点：三角函数的周期性很强，要注意特殊点，如0度、90度、180度、270度、360度等，这些点的函数值会有特殊的表现。
3.使用变形公式：有些题目可以使用三角函数的变形公式，如和角公式、差角公式、倍角公式等，将原式化简成已知的函数形式，再进行计算。
4.备选法：如果在计算中出现不确定的式子，可以先把各种可能的取值列出来，再逐一验证。
综上所述，求导数和解题技巧是解决导数与三角函数综合题目的关键。
在解题过程中，要善于化简式子，注意特殊点，灵活运用三角函数的变形公式和备选法，从而提高解题的效率和准确性。
巧用导数法解答三类三角函数问题
有些三角函数问题较为复杂，直接运用三角函数的图象、性质很难使问题获解.此时可直接对三角函数求导，分析导函数的性质，巧妙运用导数法来轻松获得问题的答案.尤其是三角函数的单调性问题、最值问题、零点问题，运用导数法，可使解题的过程变得简单，这样有利于提升解题的效率.一、求解三角函数单调性问题对于简单的三角函数单调性问题，可直接利用三角函数的单调性求解.而对于较为复杂的三角函数单调性问题，则需借助导数法，通过对函数求导，分析导函数与0之间的关系，从而判断出函数的单调性.一般地，若导函数大于0，则函数单调递增，其对应的区间为单调递增区间；若导函数小于0，则函数单调递减，其对应的区间为单调递减区间.例1.已知函数f ()x =cos 2x -2cos 2x 2，则f ()x 的单调递增区间为().A.æèöøπ3,2π3 B.æèöøπ6,π2C.æèöø0,π3 D.æèöø-π6,π6解：对函数求导可得：f ′()x =sin x ()1-2cos x =2sin x æèöø12-cos x ，由f ′()x >0，可得ìíîcos x -12>0，sin x <0，或ìíîcos x -12<0，sin x >0，由图1可得，当x ∈æèöø2kπ-π3,2kπ或x ∈(2kπ+π3,)2kπ+π,k ∈Z 时，f ′()x >0，此时函数单调递增.所以选项A 正确.该三角函数式较为复杂，无法直接利用三角函数的单调性判断出其单调递增的区间.于是运用导数法，对函数求导，根据导函数与函数单调性之间的关系，确定f ′()x >0,据此建立不等式，解该不等式，即可求得x 的取值范围，确定函数的单调递增区间.例2.已知函数f ()x =2sin æèöø2x +π6，求函数g ()x=的单调区间.解：由题意可知g ()x=+=，令t =sin æèöø2x +π6，t ∈[]-1,1，则g ()t =1+t+1-t ，g ′()t，当x ∈[)-1,0时，g ′()t >0，则函数g ()t 单调递增；当x ∈(]0,1时，g ′()t <0，则函数g ()t 单调递减.因为在()-1,0上，函数g ()t 单调递增，则-1≤sin æèöø2x +π6≤0，则2k π-π2≤2x +π6≤2k π，解得k π-π3≤x ≤k π-π12，k ∈Z ，2k π+π≤2x +π6≤2k π+3π2，解得k π+5π12≤x ≤k π+2π3，k ∈Z ，故函数g ()x 在éëùûk π+5π12,k π+2π3（k ∈Z ）上单调递减；在éëùûk π-π3,k π-π12（k ∈Z ）上单调递增.同理可得，函数g ()x 在éëùûk π-π12,k π+π6（k ∈Z ）上单调递减；在éëùûk π+π6,k π+5π12（k ∈Z ）上单调递增.综上可知，函数g ()x 的单调递增区间为éëùûk π-π3,k π-π12，éëùûk π+π6,k π+5π12，k ∈Z ；单调递减区间为éëùûk π-π12,k π+π6，éëùûk π+5π12,k π+2π3，k ∈Z .利用导数法解答三角函数单调性问题的基本思路为：①求出三角函数的导函数；②令导函数f ′()x >0或f ′()x <0，求出其解集；③根据导函数与函数单调性之间的关系判断三角函数的单调性，确定其单调区间.二、求解三角函数最值问题对于一些较为复杂的三角函数最值问题，利用导数法求解比较奏效.通常需先对三角函数式求导，并令f ′()x =0，求得其零点；然后用零点将函数的定义域划分为几个子区间，在每个子区间上判断出函数的单调图1刘伟解题宝典43解题宝典性，并求得函数的极值.一般地，若在x 0左侧的函数单调递增、右侧的单调递减，则f ()x 0是函数f ()x 的极大值；若在x 0左侧的函数单调递减、右侧的单调递增，则f ()x 0是函数f ()x 的极小值.最后将函数的极值与定义域的端点值相比较，即可求得三角函数的最值.例3.已知f ()x =2sin x +sin 2x ，则函数f ()x 的最小值是____.解：由题意可得f ′()x =2cos x +2()2cos 2x -1=2()2cos 2x +cos x -1，令t =cos x ,t ∈[]-1,1，∴f ′()t =2()t 2+t -1=2()2t -1()t +1，令f ′()t =0，可得t =-1或t =12，即cos x =-1或cos x =12，解得x =π3，x =5π3或x =π，∵函数f ()x =2sin x +sin 2x 是周期函数，且周期为2π，∴当x ∈æèöø0,π3⋃æèöø5π3,2π时，f ′()x >0；当x ∈æèöøπ3，π⋃æèöøπ，5π3时，f ′()x <0，∴函数f ()x 在æèöø0,π3⋃æèöø5π3,2π上单调递增，在æèöøπ3，π⋃æèöøπ，5π3上单调递减，∴f ()x ≥f æèöø5π3=2sin 5π3+sin 10π3=，∴函数f ()x 的最小值为.对三角函数式求导得到f ′()x ，并令f ′()x =0，即可确定函数的极值点.最后比较临界值和极值的大小，即可确定函数的最小值.用导数法求解三角函数的最值问题，关键是求函数的极值点和极值.三、求解三角函数零点问题对于函数式较为复杂的三角函数零点问题，需利用导数法，才能顺利获解.通常要先根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，求得函数的极值；然后画出函数的大致图象，通过研究图象，确定函数图象与x 轴的交点的位置或取值范围，进而求得问题的答案.例4.已知函数f ()x =5||sin 2x -sin ||x -1，则该函数在区间éëùû-5π2,5π2上的零点个数是_____.解：令f ()x =5||sin 2x -sin ||x -1=0，可得||sin 2x -sin ||x =15，设g ()x =||sin 2x -sin ||x ，h ()x =sin 2x -sin x ，∴h ′()x =cos x ()2sin x -1，∴当x ∈éëùû0,π6时，h ′()x ≤0，∴函数h ()x 在éëùû0,π6上单调递减，且h ()x ≥0，∴g ()x 在éëùû0,π6上单调递增，且g ()x ≥0，由上表可画出函数g ()x 在éëùû0,5π2的图象，如图2所示.图2由图2可知函数g ()x 在éëùû0,5π2上有8个零点，且函数g ()x 为偶函数，∴函数g ()x 在区间éëùû-5π2,5π2上有16个零点.我们先根据函数零点的定义，令f ()x =0，并将其变形得||sin 2x -sin ||x =15，将问题转化为求函数y =||sin 2x -sin ||x 与y =15交点的个数；然后构造函数g ()x =||sin 2x -sin ||x ，h ()x =sin 2x -sin x ，通过分析两个函数的导数的性质，画出函数的图象，根据图象判断出函数零点的个数.通过上述分析，不难发现导数法是求解三角函数单调性问题、最值问题、零点问题的重要手段.值得注意的是，运用导数法解答三角函数问题，需熟练掌握并灵活运用求导公式、求导法则、导数与函数单调性之间的关系、极值.这是运用导数法解题的关键.（作者单位：安徽省灵璧中学）44。