六年级下册数学试题-奥数中的容斥问题 人教版 含解析

奥数中的容斥问题

在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C

类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）。

例如：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？

分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。为15+12-4=23。

两个集合的容斥关系公式：A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |(∩：重合的部分）

三个集合的容斥关系公式：|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| +

|A∩B∩C|

详细推理如下：

1、等式右边改造= {[（A+B - A∩B）+C - B∩C] - C∩A }+ A∩B∩C

2、维恩图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C

3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分：

那么A∪B∪C还缺部分7。

4、等式右边[]号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，

减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。

5、等式右边{}里减去C∩A （即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5，

则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。

例1.

第一种与第三种刻度线重合的[6，4]=12，60÷12－1=5－1=4(条)

第二种与第三种刻度线重合的[5，4]=20，60÷20－1=3－1=2(条)

三种刻度线重合的没有，[6、5、4]=60

因此，共有刻度线9+11+14－1－4－2=27条，木棍总共被锯成27+1=28段。

解二：

10、12、15的最小公倍数是60，假设木棍就是长60，

1、那么，分成10等份的每份6，刻度就是

0，6，12，18，24，30，36，42，48，54，60

2、分成12等分的每份就是5，

0，5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60

3、分成15等分的每份就是4，

0，4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60

4、把相同刻度的合并，就是有刻度如下：

0，4，5，6，8，10，12，15，16，18，20，24，25，28，30，32，35，36，40，42，44，45，48，50，52，54，55，56，60

例4:小明、小刚、小红、小英四人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了79题，小刚做对了88题，小红做对了91题，小英作对了89题。

问题：

①小明和小刚都最对的题目至少有几题？

②小明、小刚、小红都最对的题目至少有几题？

③小明、小刚、小红、小英四人最对的题目至少有几题？

解析：

①小明和小刚都最对的题目至少有79+88-100=67人

②小明、小刚、小红都最对的题目至少有79+88+91-2×100=58人

③小明、小刚、小红、小英四人最对的题目至少有79+88+91+89-3×100=47人。