2011南京市高三一模(数学)含答案
南京市2011届高三第一次模拟考试（数学）2011.01 参考公式：1.样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x 是这组数据的平均数。
2.柱体、椎体的体积公式：1,3
V Sh V Sh ==柱体椎体，其中S 是柱（锥）体的底面面积，h 是高。
一、填空题：（5分×14=70分）
1.函数22y x x =-的定义域是 .
2.已知复数z 满足(2)1z i i -=+（i 为虚数单位）
，则z 的模为 . 3. 已知实数,x y 满足20,
0,
1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
则2z x y =+的最小值是 . 4.如图所示的流程图，若输入的9.5x =-，则输出的结果为 .
5.在集合{}2,3A =中随机取一个元素m ，在集合{}1,2,3B =中随机取一个元
素n ，得到点(,)P m n ，则点P 在圆229x y +=内部的概率为 .
6.已知平面向量,a b 满足||1,||2a b ==，a 与b 的夹角为3
π，以,a b 为邻边
作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 .
7.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 .
8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若tan 21tan A c B b
+=，则角A 的大小为 . 9.已知双曲线C:22221(0,0)x
y a b a b
-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F,它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为 .
10.已知正数数列{}n a 对任意,p q N *∈，都有p q p q a a a +=⋅，若24a =，则9a = .
11.已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面。
下列命题：
①若,,||,||,l m l m ααββ⊂⊂则||αβ； ②若,||,,l l m αβαβ⊂=则||l m ； ③若||,||,l αβα则||l β； ④若,||,||,l m l ααβ⊥则m β⊥.
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）.
12.已知2()log (2)f x x =-，若实数,m n 满足()(2)3f m f n +=，则m n +的最小值是 .
13. 在△ABC 中，已知BC=2，1AB AC ⋅=,则△ABC 面积的最大值是 .
14.若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()f x 的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数()f x 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看
作同一个“友好点对”）.已知函数2241,0,()2,0,x x x x f x x e
⎧++<⎪=⎨≥⎪⎩则()f x 的“友好点对”有 个.
二、解答题：（本大题共6小题，共计90分）.
15.（本题满分14分）
已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且()24f π
=.
（1）求,ωϕ的值；（2）若6()(0)25
f α
απ=-<<，求cos2α的值。
16. （本题满分14分）
如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，D 、1D 分别是
BC 和11B C 的中点.
（1）求证：11A D ∥平面1AB D ；
（2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，160O B BC ∠=，求三棱锥1B ABC -的体积。
17. （本题满分14分）
如图，在半径为30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上。
（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最
大面积；
（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的
圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才
能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积.
18. （本题满分16分）
在直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22,1)到两焦点的距离之和为43.
（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴下方，且3AF FB =.求过O 、A 、B 三点的圆的方程.
19. （本题满分16分）
将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：
1
234
56789a a a a a a a a a
已知表中的第一列数125,,,
a a a 构成一个等差数列，记为{}n
b ，且254,10b b ==.表中每一行正中间一个数137,,,a a a 构成数列{}n
c ，其前n 项和为n S .
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）若上表中，从第二行起，每一行．．．
中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且131a =.①求n S ；②记{}|(1),n M n n c n N λ*=+≥∈，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围.
20. （本题满分16分）
已知函数()1ln ()f x x a x a R =--∈.
（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，求实数a 的值；
（2）求证：()f x ≥0恒成立的充要条件是1a =；
（3）若0a <，且对任意12,(0,1]x x ∈，都有1212
11|()()|4|
|f x f x x x -≤-，求实数a 的取值范围.
南京市2011届高三第一次模拟考试 数学附加题 2011.01
21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.
A.选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是半圆O 的直径，C 是圆周上一点（异于A 、
B ），过
C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线A
D ，垂足为
D ，AD 交半圆于点E.求证：CB=CE.
B. 选修4-2：矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y ++=在矩阵14a M b ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线:40m x y --=，求实数,a b 的值.
C. 选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C ：10cos ρθ=和直线:3cos 4sin 300l ρθρθ--=相交于A 、B 两点，求线段AB 的长.
D.选修4-5:不等式选讲
解不等式|24|4||x x -<-.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,30,1,6O O ACB BAC BC A A ∠=∠===，M 是1CC 的中点.
（1）求证：11A B AM ⊥;
（2）求二面角B AM C --的平面角的大小.
23.已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，n S 是它的前n 项和.求证：131n n S n S n
++≤.。
南京市2011届高三第一次模拟考试
南京市2011届高三第一次模拟考试21. A. 选修4-1：几何证明选讲证明：(方法1)连结BE .因为AB 是半圆O 的直径，E 为圆周上一点，所以∠AEB ＝90°，即BE ⊥AD . 又AD ⊥l ， 所以BE ∥l . 所以∠DCE ＝∠CEB .(5分) 因为直线l 是圆O 的切线，所以∠DCE ＝∠CBE ， 所以∠CBE ＝∠CEB ，所以CE ＝CB .(10分) (方法2)连结AC 、BE ，在DC 延长线上取一点F . 因为AB 是半圆O 的直径，C 为圆周上一点， 所以∠ACB ＝90°，即∠BCF ＋∠ACD ＝90°. 又AD ⊥l ，所以∠DAC ＋∠ACD ＝90°. 所以∠BCF ＝∠DAC .(5分) 又直线l 是圆O 的切线， 所以∠CEB ＝∠BCF . 又∠DAC ＝∠CBE ， 所以∠CBE ＝∠CEB .所以CE ＝CB .(10分) B. 选修4-2：矩阵与变换 解：(方法1)在直线l ：x ＋y ＋2＝0上分别取两点A (－2,0)，B (0，－2)． A 、B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′、B ′. 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－2b ，所以A ′的坐标为(－2，－2b )； ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a －8， 所以B ′的坐标为(－2a ，－8)．(6分) 由题意A ′、B ′在直线m ：x －y －4＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－2)－(－2b )－4＝0，(－2a )－(－8)－4＝0.解得a ＝2，b ＝3.(10分) (方法2)设直线l ：x ＋y ＋2＝0上任意点(x ，y )在矩阵M 对应的变换作用下对应于点(x ′，y ′)．因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 所以x ′＝x ＋ay ，y ′＝bx ＋4y .解得x ＝－4x ′＋ay ′ab －4，y ＝bx ′－y ′ab －4.(6分) 因此－4x ′＋ay ′ab －4＋bx ′－y ′ab －4＋2＝0，即(b －4)x ′＋(a －1)y ′＋(2ab －8)＝0. 因为直线l 在矩阵M 对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0. 所以b －41＝a －1－1＝2ab －8－4.解得a ＝2，b＝3.(10分)C. 选修4-4：坐标系与参数方程 解：分别将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程： 圆C ：x 2＋y 2＝10x ，即(x －5)2＋y 2＝25，圆心C (5,0)．直线l ：3x －4y －30＝0.(6分)因为圆心C 到直线l 的距离d ＝|15－0－30|5＝3. 所以AB ＝225－d 2＝8.(10分) D. 选修4-5：不等式选讲 解：当x ＞2时，原不等式同解于2x －4＜4－x ，解得x ＜83.所以2＜x ＜83；(4分) 当0≤x ≤2时，原不等式同解于4－2x＜4－x ，解得x ＞0，所以0＜x ≤2；(6分)当x ＜0时，原不等式同解于4－2x ＜4＋x ，解得x ＞0，所以x ∈∅.(8分)综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜83.(10分)22. (1) 证明：以点C 为原点，CB 、CA 、CC 1所在直线为x 、y 、z 轴， 建立空间直角坐标系C —xyz ，如图所示， 则B (1,0,0)，A (0，3，0)，A 1(0，3，6)，M (0,0，62)．所以A 1B →＝(1，－3，－6)，AM →＝(0，－3，62)．(2分)因为A 1B →·AM →＝1×0＋(－3)×(－3)＋(－6)×(62)＝0，所以A 1B ⊥AM .(4分) (2) 解：因为ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC .又BC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BC . 因为∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面ACC 1，即BC ⊥平面AMC .所以CB →是平面AMC 的一个法向量，CB →＝(1,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BAM 的一个法向量，BA →＝(－1，3，0)，BM →＝(－1,0，62)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0，n ·BM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0，－x ＋62z ＝0. 令z ＝2，得x ＝6，y ＝2，所以n ＝(6，2，2)．(8分)因为|CB →|＝1，|n|＝23，所以cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →||n|＝22.因此二面角B —AM —C 的大小为45°.(10分)23. 证明：由已知，得S n ＝3n －1，S n ＋1S n ≤3n ＋1n 等价于3n ＋1－13n －1≤3n ＋1n ， 即3n ≥2n ＋1.(*)(2分)(方法1)用数学归纳法证明．① 当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)成立；(4分)② 假设当n ＝k 时，(*)成立，即3k ≥2k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，3k ＋1＝3×3k ≥3(2k ＋1)＝6k ＋3≥2k ＋3＝2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，(*)成立．(8分) 综合①②，得3n ≥2n ＋1成立．所以S n ＋1S n ≤3n ＋1n.(10分)(方法2)当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)成立；(4分)当n ≥2时，3n ＝(1＋2)n ＝C 0n ＋C 1n ×2＋C 2n ×22＋…＋C n n ×2n ＝1＋2n ＋…＞1＋2n .所以S n ＋1S n ≤3n ＋1n.(10分)21. A. 选修41：几何证明选讲 解： 连OC .∵ ∠ABC ＝60°，∠BAC ＝40°， ∴ ∠ACB ＝80°.(4分)∵ OE ⊥AB ，∴ E 为AB 的中点，∴ BE 和BC 的度数均为80°. ∴ ∠EOC ＝80°＋80°＝160°.(8分) ∴ ∠OEC ＝10°.(10分)B. 选修42：矩阵与变换解： 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .(5分) ∵ P ′是曲线C 1上的点，∴ C 2的方程(x －2y )2＋2y 2＝1.(10分) C. 选修44：坐标系与参数方程 解：将曲线C 1化成普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，圆心是(1,0)，直线C 2化成普通方程是y －2＝0，则圆心到直线的距离为2.(5分) ∴ 曲线C 1上的点到直线C 2的距离的最小值为1，该点为(1,1)．(10分)D. 选修45：不等式选讲证明：由柯西不等式，得(C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n )2 ≤(1＋1＋…＋1)(C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n )(5分) ＝n [(1＋1)n －1]＝n (2n －1)．∴ C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn≤n (2n－1).(10分) 22. 证明：①当n ＝1时，左边＝1×2×3＝6，右边＝1×2×3×44＝6＝左边，∴ 等式成立；(2分) ② 设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立， 即1×2×3＋2×3×4＋…＋k ×(k ＋1)×(k ＋2)＝k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)4.(4分)则当n ＝k ＋1时，左边＝1×2×3＋2×3×4＋…＋k ×(k ＋1)×(k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)＝k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)4＋(k ＋1)(k ＋2)(k＋3) ＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)(k 4＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)(k ＋4)4＝(k ＋1)(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)(k ＋1＋3)4. ∴ n ＝k ＋1时，等式成立．(8分) 由①、②可知，原等式对于任意n ∈N *成立．(10分) 23. 解：(1)第一班若在8：20或8：40发出，则旅客能乘到，其概率为P ＝12＋14＝34.(3分) (2) 旅客候车时间的分布列为(3) 候车时间的数学期望为 10×12＋30×14＋50×116＋70×18＋90×116＝5＋152＋258＋354＋458＝30.(9分) 答： 这旅客候车时间的数学期望是30分钟．(10分)21. 解：(1) 设P (x ，y )，由抛物线定义知， 点P 的轨迹E 为抛物线，方程为y 2＝4x .(4分)(2) l ：y ＝x －1，代入y 2＝4x ，消去x ，得 y 2－4y －4＝0.(6分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1,2＝2±22；|y 2－y 1|＝4 2.(8分)∴ △AOB 的面积S ＝12×OF ×|y 2－y 1|＝12×1×42＝2 2.(10分) 22. 解：(1) 记“摸出的三球中既有红球又有白球”为事件A ，依题意知P (A )＝C 15C 23＋C 25C 13C 38＝4556.(3分) ∴ 摸出的三个球中既有红球又有白球的概率为4556.(4分) (2) P (X ＝0)＝C 05C 33C 38＝156，P (X ＝1)＝C 15C 23C 38＝1556，P (X ＝2)＝C 25C 13C 38＝3056， P (X ＝3)＝C 35C 03C 38＝1056. 则X 的分布列为∴ X 的数学期望E (X )＝0×156＋1×1556＋2×3056＋3×1056＝158.(10分)23. 解：(1) 以D 为原点，建立空间直角坐标系D —xyz 如图所示，则A (3,0,0)，C 1(0,3,3)，AC 1→＝(－3,3,3)， D 1(0,0,3)，E (3,0,2)，D 1E →＝(3,0，－1)．(2分)∴ cos 〈AC 1→，D 1E →〉＝AC 1→·D 1E →|AC 1→||D 1E →| ＝－9－333×10 ＝－23015.(4分) 则两条异面直线AC 1与D 1E 所成角的余弦值为23015.(5分)(2) B (3,3,0)，BE →＝(0，－3,2)，D 1E →＝(3,0，－1)． 设平面BED 1F 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1E →＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －z ＝0，－3y ＋2z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，z ＝3x . 则n ＝(x,2x,3x )． 取x ＝1，得n ＝(1,2,3)．(8分)设直线AC 1与平面BED 1F 所成角为α， 则sin α＝|cos 〈AC 1→，n 〉| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC 1→·n |AC 1→||n| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3＋6＋933×14＝24221. ∴ 直线AC 1与平面BED 1F 所成角的正弦值为24221.(10分) 24. 解：(1) f (1)＜g (1)，f (2)＜g (2)，f (3)＞g (3)，f (4)＞g (4)．(2分)(2) 猜想：当n ≥3，n ∈N *时，有n n ＋1＞(n ＋1)n .(3分)证明：① 当n ＝3时，猜想成立(已验证)；② 假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，猜想成立，即k k ＋1＞(k ＋1)k (*)．下面证明当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由(*)得k k ＋1(k ＋1)k＞1.∵ (k ＋1)2＞k (k ＋2)，∴ k ＋1k ＋2＞k k ＋1.(5分) ∴ (k ＋1)k ＋2(k ＋2)k ＋1＝(k ＋1k ＋2)k ·(k ＋1)2k ＋2(7分)＞(kk＋1)k·k＝k k＋1(k＋1)k＞1.(9分)则(k＋1)k＋2＞(k＋2)k＋1.由①②知，猜想对一切n≥3，n∈N*都成立．(10分)无锡市2010年秋学期高三期末考试试卷1. 解：设OM →＝λOC →＝(0，λ，2λ)．(2分)∴ MA →＝MO →＋OA →＝(1，－λ，2－2λ)，(3分)MB →＝MO →＋OB →＝(2,2－λ，－2λ)，(4分) ∴ MA →·MB →＝2－λ(2－λ)－2λ(2－2λ) ＝5λ2－6λ＋2(6分) ＝5(λ－35)2＋15，(8分) ∴ 当λ＝35时，MA →·MB →最小，此时M ⎝⎛⎭⎫0，35，65.(10分)2. 解：(1) X 的分布列为：(2) E (X )＝0×611＋1×922＋2×122＝12，(8分) V (X )＝12×922＋22×122－14＝1544.(10分)3. 解：(1) ∵ T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x n －r (x )r ，(1分)x 的指数为－n －r 3＋r2＝0，(2分) ∵ ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋x n的展开式中的常数项为第五项，∴ r ＝4.(3分) 解得n ＝10.(4分)(2) ∵ T r ＋1＝C r10⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 10－r(x )r ， 其系数为C r 10·210－r.(5分) 设第k ＋1项的系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ C k10·210－k ≥C k ＋110·29－k ，C k 10·210－k ≥C k －110·211－k ，(6分) 化简得⎩⎪⎨⎪⎧2(k ＋1)≥10－k ，11－k ≥2k ，即83≤k ≤113，∴ k ＝3.(8分) 即第四项系数最大，则T 4＝C 310·27·x －56＝15 360x －56.(10分) 4. 解：当n ＝1时，51＋2×30＋1＝8，∴ m ≤8，(2分)下证5n ＋2×3n －1＋1(n ∈N *)能被8整除．(3分) ① 当n ＝1时已证；(4分)② 假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即5k ＋2×3k －1＋1能被8整除．(5分) 则当n ＝k ＋1时， 5k ＋1＋2×3k ＋1＝5·5k ＋6·3k －1＋1(6分) ＝(5k ＋2×3k －1＋1)＋4(5k ＋3k －1)，(7分) ∵ 5k ＋2×3k －1＋1能被8整除，而5k ＋3k －1为偶数， ∴ 4(5k ＋3k －1)也能被8整除，即当n ＝k ＋1时命题也成立．(8分) 由①②得m 的最大值为8.(10分)常州市教育学会学生学业水平监测21. A. 选修41：几何证明选讲解：∵ P A ＝10－2OA ＝4，PC ·PD ＝P A ·PB ＝40， ∴ PC ＝5，CD ＝PD －PC ＝3.(4分)∴ △OCD 为正三角形．∴ ∠COD ＝60°.(8分) ∴ ∠CBD ＝30°.(10分)B. 选修42：矩阵与变换解：设⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 在M 的变换下得到⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋ay bx ＋2y ， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋ay ，y 0＝bx ＋2y .(2分) 由题意，得(x ＋ay )＋2(bx ＋2y )＝1，即(1＋2b )x ＋(a ＋4)y ＝1.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2b ＝1，a ＋4＝2.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝0.(5分) ∴ M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2.(7分) ∴ M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 2202 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 12.(10分)C. 选修44：坐标系与参数方程 解：曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 所以曲线C 是以(0,2)为圆心，2为半径的圆．(3分) 直线l 的普通方程为x －y －2＝0.(6分)所以d min ＝|0－2－2|2－2＝22－2.(10分)D. 选修45：不等式选讲证明：∵ A －B ＝(2x 2＋y 2＋1)－(2xy －2x ) ＝(x 2－2xy ＋y 2)＋(x 2＋2x ＋1)(4分) ＝(x －y )2＋(x ＋1)2≥0，(6分) ∴ A ≥B .(8分) 当且仅当x ＝y ＝－1时，等号成立．(10分) 22. 解：由题意，得⎩⎨⎧p 1＋12＝34，p 1＋p 2＝12，解得p 1＝p 2＝14.(2分)(1) 设事件A 为学生甲不能通过A 高校自主招生考试，则P (A )＝14＋34×14＋34×34×14＝3764. 答：学生甲不能通过A 高校自主招生考试的概率为3764.(4分)(2) 由题意知：ξ＝0,1,2,3.P (ξ＝0)＝14＋12×14＋12×12×14＋12×12×12＝916， P (ξ＝2)＝14×14×14＋14×14×12＋14×12×14＋12×14×14＝764， P (ξ＝3)＝14×14×14＝164，∵ P(ξ＝i )＝1，∴ P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)－P (ξ＝3) ＝516.(7分)ξ的数学期望Eξ＝0×916＋1×516＋2×764＋3×164＝3764.(10分)23. 解：如图，以B 为原点，BA 、BC 、BP 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设BC ＝a ，BP ＝b ，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0，a,0)，D (2,2,0)，P (0,0，b )． ∵ PD →＝(2,2，－b )，CD →＝(2,2－a,0)，CD ⊥PD ， ∴ CD →·PD →＝0.∴ 4＋4－2a ＝0，a ＝4. 又P A →＝(2,0，－b )，CD →＝(2，－2,0)，异面直线P A 和CD 所成角等于60°，∴ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪P A →·CD →|P A →||CD →|＝12，即4b 2＋4·22＝12， 解得b ＝2.(2分)(1) PC →＝(0,4，－2)，AD →＝(0,2,0)，P A →＝(2,0，－2)．设平面P AD 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD →＝0，n 1·P A →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝0，x 1－z 1＝0.(4分)取n 1＝(1,0,1)， ∵ sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PC →·n 1|PC →||n 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－220·2＝1010， ∴ 直线PC 和平面P AD 所成角的正弦值为1010.(6分)(2) 假设存在．设PE →＝λP A →，且E (x ，y ，z )，则(x ，y ，z －2)＝λ(2,0，－2)，E (2λ，0,2－2λ)．设平面DEB 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BE →＝0，n 2·BD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧λx 2＝(λ－1)z 2，x 2＝－y 2.(8分) 取n 2＝(λ－1,1－λ，λ)，又平面ABE 的法向量n 3＝(0,1,0)，由cos θ＝⎪⎪⎪⎪n 2·n 3|n 2||n 3|＝66，得|1－λ|2(1－λ)2＋λ2＝66，解得λ＝23或λ＝2(不合题意)．故存在这样的E 点，E 为棱P A 上的靠近A 的三等分点．(10分)盐城市2010～2011学年度高三年级第一次调研考试21. A. 选修41：几何证明选讲 证明：连结OF ，因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD ＝90°， 所以∠OFC ＋∠CFD ＝90°. 因为OC ＝OF ， 所以∠OCF ＝∠OFC . 又CO ⊥AB 于O ， 所以∠OCF ＋∠CEO ＝90°， 所以∠CFD ＝∠CEO ＝∠DEF ， 所以DF ＝DE .(6分) 又DF 是⊙O 的切线，所以DF 2＝DB ·DA ， 所以DE 2＝DB ·DA .(10分) B. 选修42：矩阵与变换 解：特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3.(3分)由f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3.(5分) 将λ1＝1代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－x －y ＝0⇒x ＋y ＝0，可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1为属于特征值λ1＝1的一个特征向量；(8分) 同理，当λ2＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x ＋y ＝0⇒x －y ＝0，所以可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为属于特征值λ2＝3的一个特征向量． 综上所述，该矩阵的特征值为λ1＝1，λ2＝3；对应的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1与⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(10分)C. 选修44：坐标系与参数方程解：(1) 曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ，又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.(5分) (2) 令y ＝0，得点M 的坐标为(2,0)．(7分) 又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径r ＝1，则|MC |＝5，所以|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1.(10分) D. 选修45：不等式选讲 证明：因为1＋m ＞0， 所以要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m ， 只要证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，(5分) 即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0， 即证(a －b )2≥0，显然成立，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m.(10分) 22. 解：(1) 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 011＝(1－2)2 011＋(1－1)2 0 11＝－1.(4分)(2) 因为2C 1m ＋C 1n ＝2m ＋n ＝20，所以n ＝20－2m ，则x 2的系数为22C 2m ＋C 2n＝4×m (m －1)2＋n (n －1)2 ＝2m 2－2m ＋12(20－2m )(19－2m ) ＝4m 2－41m ＋190，(7分) 所以当m ＝5，n ＝10时，f (x )展开式中x 2的系数最小，最小值为85.(10分)23. 解：(1) 记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A ，则P (A )＝34·616＝932.(4分) (2) 由题意得，ξ的取值有0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝14， P (ξ＝1)＝932， P (ξ＝2)＝34·1016·5464＝4051 024，P (ξ＝3)＝34·1016·1064＝751 024，即随机变量ξ的概率分布列为所以Eξ＝0×14＋1×932＋2×4051 024＋3×751 024＝1 3231 024.(10分)扬州市2010～2011学年度第一学期期末调研测试试题21. 解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， 得⎣⎢⎡⎦⎥⎤b d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，d ＝0.(2分) 再由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2bc ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝2，c ＋2d ＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，c ＝1.(4分) 所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，(6分) M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.(10分) 22. 解：由ρ＝8sin θ1＋cos2θ， 得ρcos 2θ＝4sin θ，ρ2cos 2θ＝4ρsin θ， 又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，故所求曲线的直角坐标方程是x 2＝4y ，(8分) 故焦点到准线的距离为2.(10分) 23. 解：(1)设正三棱柱的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，A 1(0，－1,2)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)， 所以AB →＝(3，1,0)，CA 1→＝(0，－2,2)，A 1B →＝(3，1，－2)．因为PC ⊥AB ，所以CP →·AB →＝0，(CA 1→＋A 1P →)·AB →＝0，(CA 1→＋λA 1B →)·AB →＝0，λ＝－CA 1→·AB →A 1B →·AB→＝12.(5分) (2)由(1)知：CP →＝⎝⎛⎭⎫32，－32，1，AC 1→＝(0,2,2)， cos 〈CP →，AC 1→〉＝CP →·AC 1→|CP →||AC 1→|＝－3＋22·22＝－28， 所以异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值是28.(10分) 24. 证明：由x 1＝1，x n ＋1＝1＋x np ＋x n 知，x n ＞0(n ∈N *)．(1)当p ＝2时，x n ＋1＝1＋x n2＋x n ， ①当n ＝1时，x 1＝1＜2，命题成立； ②假设当n ＝k 时，x k ＜2，则当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝1＋x k 2＋x k ＝2－22＋x k ＜2－22＋2＝2，即n ＝k ＋1时，命题成立．根据①②，x n ＜2(n ∈N *)．(4分) (2)用数学归纳法证明，x n ＋1＞x n (n ∈N *)．①当n ＝1时，x 2＝1＋x 1p ＋x 1＞1＝x 1，命题成立；②假设当n ＝k 时，x k ＋1＞x k ，∵ x k ＞0，p ＞0，∴ p p ＋x k ＋1＜pp ＋x k， 则当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝1＋x k p ＋x k ＝2－p p ＋x k ＜2－pp ＋x k ＋1＝x k ＋2， 即n ＝k ＋1时，命题成立．根据①②，x n ＋1＞x n (n ∈N *)．(8分)故不存在正整数M ，使得对于任意正整数n ，都有x M ≥x n .(10分)苏北四市201121. A. 选修41：几何证明选讲 证明：因为P A 与圆相切于A ，所以DA 2＝DB ·DC . 因为D 为P A 中点， 所以DP ＝DA ， 所以DP 2＝DB ·DC ， 即PD DC ＝DBPD .(5分) 因为∠BDP ＝∠PDC ，所以△BDP ∽△PDC ，所以∠DPB ＝∠DCP .(10分)B. 选修42：矩阵与变换解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4.(1分) 因为λ1＝3方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1.(3分) 由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1，(5分) 设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，得x ＝－y ，(8分) 令x ＝1，则y ＝－1， 所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.(10分) C. 选修44：坐标系与参数方程 解：消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1；(2分) ρ＝22(sin θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， 得⊙C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，(6分) 圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2， 所以直线l 和⊙C 相交．(10分)D. 选修45：不等式选讲解：因为y 2＝(1－x ＋2·2＋x )2证明：设A (x 1，x 21)，B (x ， 的斜率分别为2的方程为y －x 2＝2x(2a －a 2)＋3×a 22＝4a ＋12.(5分)(2) P (ξ＝1)－P (ξ＝0)＝12[(1－a 2)－(1－a )2]＝a (1－a )，P (ξ＝1)－P (ξ＝2)＝12[(1－a 2)－(2a －a 2)]＝1－2a 2，P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝12[(1－a 2)－a 2]＝1－2a22. 由⎩⎨⎧a (1－a )≥0，1－2a 2≥0，1－2a 22≥0和0＜a ＜1，得0＜a ≤12，即a 的取值范围是(0，12]．(10分)南京市2011届高三第二次模拟考试21. A. 选修4-1：几何证明选讲证明：因为CE 为圆的切线，所以∠DCE ＝∠DAC .(3分)因为AD ∥BC ，所以∠DAC ＝∠BCA .所以∠DCE ＝∠BCA .(6分)因为梯形ABCD 为圆内接四边形，所以∠EDC ＝∠ABC .所以△ABC ∽△EDC .(10分)B. 选修4-2：矩阵与变换 解：由条件可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，(4分)所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，解得a ＝λ＝2.(7分) 因此A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4， 所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 10－5 14.(10分) C. 选修4-4：坐标系与参数方程 解：曲线C 的普通方程为(x －m )2＋y 2＝4.曲线D 的普通方程为3x ＋4y ＋2＝0.(4分) 因为曲线C 、D 有公共点， 所以|3m ＋2|5≤2，|3m ＋2|≤10.(8分)解得－4≤m ≤83，即m 的取值范围是[－4，83]．(10分) D. 选修4-5：不等式选讲 证明：(方法1)因为a 、b 都是正实数，且ab ＝2， 所以2a ＋b ≥22ab ＝4.(5分) 所以(1＋2a )(1＋b )＝1＋2a ＋b ＋2ab ≥9.(10分) (方法2)因为a 、b 都是正实数， 所以由柯西不等式可知(1＋2a )(1＋b )＝[12＋(2a )2][12＋(b )2] ≥(1＋2ab )2.(7分)又ab ＝2，所以(1＋2ab )2＝9.所以(1＋2a )(1＋b )≥9.(10分)(方法3)因为ab ＝2， 所以(1＋2a )(1＋b )＝(1＋2a )⎝⎛⎭⎫1＋2a ＝5＋2⎝⎛⎭⎫a ＋1a .(5分) 因为a 为正实数，所以a ＋1a ≥2a ·1a ＝4. 所以(1＋2a )(1＋b )≥9.(10分) (方法4)因为a 、b 都是正实数， 所以(1＋2a )(1＋b )＝(1＋a ＋a )⎝⎛⎭⎫1＋b 2＋b 2 ≥3·3a 2·3·3b 24＝9·3a 2b24.(8分) 又ab ＝2，所以(1＋2a )(1＋b )≥9.(10分)22. 解：以AC 的中点O 为坐标原点，OB 为x 轴建立如图所示的直角坐标系O —xyz ，则 A (0，－1,0)，D (0,0,1)， B (3，0,0)，B 1(3，0,1)，C (0,1,0)．所以AD →＝(0,1,1)，BB 1＝(0,0,1)， B 1C →＝(－3，1，－1)，所以BM →＝BB 1→＋B 1M →＝BB 1→＋λB 1C →＝(－3λ，λ，－λ＋1)．(4分) 因为向量AD →与BM →的夹角小于45°，所以cos 〈AD →，BM →〉∈⎝⎛⎦⎤22，1， 即22＜12×4λ2＋(－λ＋1)2≤1，(8分) 解得0＜λ＜25.所以λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，25.(10分) 23. 解：(1) X 的概率分布列为E (X )＝0×116＋2×14＋4×38＋6×14＋8×116＝4.(或E (X )＝8×12＝4)(4分) (2) ① 连续3次投篮未中，不同投法为1＋C 16＋C 26＋(C 36－4)＋(C 13＋C 13)＝44(种)；② 只因累计7次投篮未中，不同投法为C 13＋1＝4(种)．所以该同学恰好投篮10次，被停止投篮测试的概率为P ＝481 024＝364.(10分)苏锡常镇四市2011届高三调研测试(一)21. A. 选修4-1：几何证明选讲证明：∵ AT 是圆O 的切线，∠ATP ＝∠ANT ，又∠TAP ＝∠NAT ，∴ △ATP ∽△ANT ，(3分)∴ AT AN ＝PTTN，(4分)同理AS AN ＝PSNS ，(6分) 两式相乘AT ·AS AN 2＝PT ·PS NT ·NS .(8分) ∵ AT ＝AS ，∴ AT 2AN 2＝PT ·PS NT ·NS.(10分) B. 选修4-2：矩阵与变换 解：这个变换的逆变换是先作关于x 轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转45°变换，(2分) 其矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos (－45°) －sin (－45°)sin (－45°) cos (－45°)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1(6分) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －22－22 －22.(10分)C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：曲线ρ＝12sin θ的直角坐标系方程为x 2＋(y －6)2＝36，(2分)其圆心为(0,6)，半径为6；(4分)曲线ρ＝12cos(θ－π6)的直角坐标系方程为(x －33)2＋(y －3)2＝36，(6分)其圆心为(33，3)，半径为6.(8分) ∴ AB 的最大值＝(33－0)2＋(3－6)2＋6＋6＝18.(10分)D. 选修4-5：不等式选讲证明：∵ m 3n ＋n 3m －m 2－n 2＝m 3－n 3n＋n 3－m 3m(2分) ＝(m 3－n 3)(m －n )mn＝(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)mn，(6分)又m 、n均为正实数，(8分) ∴ m 3n ＋n 3m≥m 2＋n 2.(10分)22. (1) 证明：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴建立空间直角坐标系．则B (1,0,0)，D 1(0,1,1)，E (0,0，t )，F (1,1,1－t )，其中0≤t ≤1，则BE →＝FD 1→＝(－1,0，t )，所以BE ∥FD 1， 所以B 、E 、D 1、F 四点共面．(5分) (2) 解：BA 1→＝(－1,0,1)， BE →＝(－1,0，t )，BF →＝(0,1,1－t )，可求平面BFE 的法向量n ＝(t ，t －1,1)， 由已知sin30°＝|BA 1→·n ||BA 1→||n|， 所以12＝|－t ＋1|2t 2＋1＋(t －1)2， 平方可求得t ＝0，所以点E 与点A 重合时，直线A 1B 和平面BFE 所成角等于π6.(10分)23. 证明：(1) (1＋3)k ＝1＋C 1k 3＋C 2k(3)2＋…＋C k k (3)k，(1－3)k ＝1－C 1k 3＋C 2k (3)2－…＋C k k (－1)k (3)k，因此(1＋3)k ＋(1－3)k ＝2[1＋C 2k (3)2＋C 4k (3)4＋…]．∵ 3的偶数次幂均为正整数， ∴ (1＋3)k ＋(1－3)k 是正整数．(5分)(2) (证法1)因为0＜(1－3)2n＜1，由(1)知(1＋3)2n ＋(1－3)2n 为正整数，所以大于(1＋3)2n的最小整数为(1＋3)2n ＋(1－3)2n .由于(1＋3)2n ＋(1－3)2n ＝[(1＋3)2]n＋[(1－3)2]n ＝2n [(2＋3)n ＋(2－3)n ]，由二项式定理知(2＋3)n ＋(2－3)n 是一偶数，所以(1＋3)2n ＋(1－3)2n 能被2n ＋1整除．(10分)(证法2)大于(1＋3)2n 的最小整数为(1＋3)2n ＋(1－3)2n ，设a ＝4＋23，b ＝4－23，只要证a n ＋b n 能被2n ＋1整除，由a n ＋1＋b n ＋1＝(a ＋b )(a n ＋b n )－ab (a n －1＋b n －1)及数学归纳法获证．南通市201121. A. 选修4-1：几何证明选讲解：因为MA 为圆O 的切线， 所以MA 2＝MB ·MC . 又M 为P A 的中点，所以MP 2＝MB ·MC 因为∠BMP ＝∠PMC ，所以△BMP ∽△PMC .(5分)于是∠MPB ＝∠MCP .在△MCP 中，由∠MPB ＋∠MCP ＋∠BPC ＋∠BMP ＝180°，得∠MPB ＝20°.(10分B. 选修4-2：矩阵与变换 解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1＝λ1α1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.(5分) 同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8， 解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1.因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1.(10分)C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22化简为ρcos θ＋ρsin θ＝4， 则直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4.(4分)设点P 的坐标为(2cos α，sin α)，得P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋sin α－4|2，即d ＝|5sin (α＋φ)－4|2，其中cos φ＝15，sin φ＝25.(8分) 当sin(α＋φ)＝－1时，d max ＝22＋102.(10分) D. 选修4-5：不等式选讲 解：因为正数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1所以⎝⎛⎭⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥(1＋1＋1)2，(5分) 即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1， 当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，原式取最小值1.(10分) (1) 不妨设正方体的棱长为DD 1→为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D —xyz .则⎫，C (0,1,0)，32＝令p表示恰好得到即p n－23＝－12⎝⎛⎭⎫p n－1－23.于是⎩⎨⎧⎭⎬⎫p n－23是以p1－23＝12－23＝－16为首项，以－12为公比的等比数列．所以p n－23＝－16⎝⎛⎭⎫－12n－1，即p n＝13⎣⎡⎦⎤2＋⎝⎛⎭⎫－12n.答：恰好得到n分的概率是13⎣⎡⎦⎤2＋⎝⎛⎭⎫－12n.(10分)苏北四市高三年级第三次模拟考试21. A. 选修4-1：几何证明选讲证明：(1) 因为MA 是圆O 的切线， 所以OA ⊥AM . 又AP ⊥OM ，在Rt △OAM 中，由射影定理知，OA 2＝OM ·OP .(4分) (2) 因为BK 是圆O 的切线，BN ⊥OK ，同(1)，有OB 2＝ON ·OK .又OB ＝OA ，所以OP ·OM ＝ON ·OK ，即ON OP ＝OMOK .又∠NOP ＝∠MOK ， 所以△ONP ∽△OMK ， 故∠OKM ＝∠OPN ＝90°.(10分) B. 选修4-2：矩阵与变换 解：(1) 由已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 b c 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤812，即2＋3b ＝8,2c ＋6＝12，b ＝2，c ＝3，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 2.(4分) (2) 设曲线上任一点P (x ，y )，P 在M 作用下对应点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝3x ＋2y ，解之得⎩⎨⎧x ＝y ′－x ′2，y ＝3x ′－y ′4，代入5x 2＋8xy ＋4y 2＝1得x ′2＋y ′2＝2， 即曲线5x 2＋8xy ＋4y 2＝1在M 的作用下的新曲线的方程是x 2＋y 2＝2.(10分)C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：(1) 直线l 的极坐标方程ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝32， 则22ρsin θ－22ρcos θ＝32， 即ρsin θ－ρcos θ＝6，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋6＝0.(4分) (2) P 为椭圆C ：x 216＋y 29＝1上一点，设P (4cos α，3sin α)，其中α∈[0,2π)， 则P 到直线l 的距离d ＝|4cos α－3sin α＋6|2＝|5cos (α＋φ)＋6|2，其中cos φ＝45，所以当cos(α＋φ)＝1时，d 的最大值为1122.(10分) D. 选修4-5：不等式选讲 证明：因为x 2＋y 2≥2xy ≥0， 所以x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)≥xy (x ＋y )，(4分) 同理y 3＋z 3≥yz (y ＋z )，z 3＋x 3≥zx (z ＋x )，三式相加即可得2(x 3＋y 3＋z 3)≥xy (x ＋y )＋yz (y ＋z )＋zx (z ＋x )．又xy (x ＋y )＋yz (y ＋z )＋zx (z ＋x )＝x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )， 所以2(x 3＋y 3＋z 3)≥x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )．(10分)22. (1) 证明：建立如图所示直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)， C (0,1,0)，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，P ⎝⎛⎭⎫12，0，1，M ⎝⎛⎭⎫0，1，12，N ⎝⎛⎭⎫12，12，0， NP →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，1，AM →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12. 因为PN →·AM →＝0×0＋1×12＋(－1)×12＝0， 所以PN ⊥AM .(4分) (2) 解：设平面PMN 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，NP →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，1，NM →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，12，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·NP →＝0n 1·NM →＝0⇒⎩⎨⎧－12y 1＋z 1＝0，－12x 1＋12y 1＋12z 1＝0.令y 1＝2，得z 1＝1，x 1＝3， 所以n 1＝(3,2,1)．(6分)又MB →＝⎝⎛⎭⎫1，－1，－12， 所以sin θ＝n 1·MB →|n 1||MB →|＝1232×14＝1442.(10分)23. 证明：(1) 因为|a n |＞1，a n ＋1＝4a 3n －3a n所以|a n ＋1|＝|4a 3n －3a n |＝|a n |(4|a n |2－3)＞1.(2分)(2) ① 假设|a 1|＞1，则|a 2|＝|4a 31－3a 1|＝|a 1|(4|a 1|2－3)＞1. 若|a k |＞1，则|a k ＋1|＝|4a 3k －3a k |＝|a k |(4|a k |2－3)＞1. 所以当|a 1|＞1时，有|a n |＞1(n ∈N *)， 这与已知a m ＝1矛盾， 所以|a 1|≤1.(6分)② 由①可知，存在θ，使得a 1＝cos θ. 则a 2＝4cos 3θ－3cos θ＝cos3θ假设n ＝k 时，有a n ＝cos3n －1θ即a k ＝cos3k －1θ，则a k ＋1＝4a 3k －3a k ＝4(cos3k －1θ)3－3(cos3k －1θ)＝cos3kθ.所以对任意n ∈N *，a n ＝cos3n －1θ，则a m ＝cos3m －1θ＝1,3m －1θ＝2k π，其中k∈Z ，即θ＝2k π3m －1，所以a 1＝cos 2k π3m －1(其中k 为整数)．(10分)盐城市2010～2011学年度高三年级第二次调研考试21. A. 选修41：几何证明选讲解：连结AO ，P A 为圆的切线， ∴ △P AO 为Rt △，122＋r 2＝(r ＋6)2，(4分) ∴ r ＝9.(6分) 又CD 垂直于P A ，于是PC PO ＝CD AO ，∴ CD ＝185 cm.(10分) B. 选修42：矩阵与变换解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4，(4分) 因为λ1＝3方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1.(7分) 由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1.(10分) C. 选修44：坐标系与参数方程 解：(1) 由ρ＝1得x 2＋y 2＝1， 又ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝cos θ－3sin θ， ∴ ρ2＝ρcos θ－3ρsin θ.(5分)∴ x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－x ＋3y ＝0， 得A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，－32，∴ AB ＝⎝⎛⎭⎫1＋122＋⎝⎛⎭⎫0＋322＝3.(10分)D. 选修45：不等式选讲证明：因为⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋1a 3m＝(a 1＋a 2＋a 3)⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋1a 3 ≥33a 1·a 2·a 3·331a 1·1a 2·1a 3＝9，当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝m3时等号成立，(5分)又m ＝a 1＋a 2＋a 3＞0，所以1a 1＋1a 2＋1a 3≥9m.(10分) 22. 解：(1) 因为y ＝21－x 2，所以y ′＝22×11－x 2×(－2x )＝－2x 1－x 2，(3分) 故切线l 的方程为y －21－x 20＝－2x 01－x 20(x －x 0)，即y ＝－2x 01－x 20x ＋21－x 20.(5分) (2) 设A (x 1,0)、B (0，y 2)，M (x ，y )是轨迹上任一点，在y ＝－2x 01－x 20x ＋21－x 20中令y ＝0， 得x 1＝1x 0；令x ＝0，得y 2＝21－x 20， 则由OM →＝OA →＋OB →，得⎩⎨⎧x ＝1x 0，y ＝21－x 20，(8分) 消去x 0，得动点M 的轨迹方程为1x 2＋4y2＝1(x ＞1)．(10分) 23. 解：当n ＝1时，a 2＝－a 21＋pa 1＝a 1(－a 1＋p )， 因为a 1∈(0,2)，所以欲a 2∈(0,2)恒成立．则要⎩⎪⎨⎪⎧p ＞a 1，p ＜a 1＋2a 1恒成立，解得2≤p ＜22，由此猜想p 的最小值为2.(4分)因为p ≥2，所以要证该猜想成立， 只要证：当p ＝2时，a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立．(5分)现用数学归纳法证明：① 当n ＝1时结论显然成立．(6分) ② 假设当n ＝k 时结论成立，即a k ∈(0, 2)，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝－a 2k ＋2a k ＝a k (2－a k )，一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )>0成立，(8分) 另一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )＝－(a k －1)2＋1≤1<2，所以a k ＋1∈(0, 2)，即当n ＝k ＋1时结论也成立．(9分) 由①、②可知，猜想成立，即p 的最小值为2.(10分)。
2011年南京市鼓楼区数学一模试卷答案
3 这个二次函数的关系式为 y＝－ x2＋3x＋2. …………………………4 分 4 3 3 （2）y＝ (x－2)2－1.（或 y＝ x2－3x＋2 ） 4 4 …………………………7 分
24． （本题 8 分） 解： （1）直线 BC 与⊙A 相切． 理由如下：过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，…………………………1 分 在 Rt△ ADC，∠C＝30° ，AC＝2，
共有 6 种结果，它们出现的可能性相同．…………………………3 分 所有的结果中，摸到的 2 个球都是白球的结果有 2 种， 1 所以 P（摸出 2 个白球）＝ ． 3 4 （2） …………………………6 分 9 ⑶ 4 …………………………7 分 9 …………………………4 分
数学答案
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O
2 2 2 2 2 2
M A N
D E G F N′ G B C M′
答：ON 至少为 4.5 米…题 10 分） BC 4 解： （1）在 Rt△ ABC 中，AB＝4 3，BC＝4，∠B＝90° ，∴tan∠BAC＝ ＝ ． AB 4 3 ∴tan∠BAC＝ 3 ．∵∠BAC 是锐角，∴∠BAC＝30° ． 3
（2）设 AB 所在直线的函数关系式为 y＝kx＋b， 将点 A(0，30)，B(7.5，18)代入 y＝kx＋b 得：
b＝30， 18k＋b＝7.5 b＝30， 解得 k＝－1.6
…………………………4 分
∴AB 所在直线的函数关系式为 y＝－1.6x＋30 …………………………6 分 答：AB 所在直线的函数关系式为 y＝－1.6x＋30. （3） 甲到达扶梯底端所需时间为 60÷ 2.4＝25 s， 乙到达扶梯底端所需时间是 18.75 s，
数学_2011年江苏省南京市某校高三摸底数学试卷(含答案)
2011年江苏省南京市某校高三摸底数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 若复数(2+a)−ai（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为________．2. 若sin(π6−α)=−13，则cos(π3+α)=________．3. 过原点作曲线y=1nx的切线，则切线方程为________．4. 设集合A={x|13<3x<√3}，B={x|x−1x<0}，则A∪B=________．5. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20−80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为________人．6. 已知扇形的半径为10cm，圆心角为120∘，则扇形的面积为________cm2．7. 将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．8. 把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为________．9. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50, 60)元的同学有30人，则n的值为________．10. 已知抛物线y2=2px(p>0)焦点F恰好是双曲线x2a2−y2b2=1的右焦点，且双曲线过点(3a2 p ,2b2p)，则该双曲线的渐近线方程为________11. 已知函数f(x)={2x−1,x>0−x2−2x,x≤0，若函数g(x)=f(x)−m有3个零点，则实数m的取值范围是________．12. 当0≤x ≤12时，|ax −2x 3|≤12恒成立，则实数a 的取值范围是________．13. 首项为正数的数列{a n }满足a n+1=14(a n 2+3)，n ∈N +，若对一切n ∈N +都有a n+1>a n ，则a 1的取值范围是________．14. 已知函数f(x)=|x|−1，关于x 的方程f 2(x)−|f(x)|+k =0，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根． 其中真命题的序号为________．二、解答题（共6小题，满分90分）15. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2A2+cosA =0．（1）求角A 的值；（2）若a =2√3，b +c =4，求△ABC 的面积．16. 如图：PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，PA ＝AB ＝1，AD =√3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(Ⅰ)求三棱锥E −PAD 的体积；(Ⅱ)当点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由； (Ⅲ)证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF ．17. 某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为[(1024√x+20)x100+2]k 元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元． （1）试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当k =100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？18. 已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点A(0, 2√3)，离心率为12 (1)求椭圆P 的方程；(2)是否存在过点E(0, −4)的直线l 交椭圆P 于点R ，T ，且满足OR →⋅OT →=167．若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．19. 数列{a n }满足：a n+1=3a n −3a n 2，n =1，2，3，…， （1）若数列{a n }为常数列，求a 1的值；（2）若a 1=12，求证：23<a 2n ≤34；（3）在（2）的条件下，求证：数列{a 2n }单调递减． 20. 已知函数f(x)=a |x|+2a x(a >0, a ≠1)，（1）若a >1，且关于x 的方程f(x)=m 有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围； （2）设函数g(x)=f(−x)，x ∈[−2, +∞)，g(x)满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a 无关．试求a 的取值范围．2011年江苏省南京市某校高三摸底数学试卷答案1. −22. −133. y =1e x4. {x|−1<x <1}5. 43206.1003π7. y =2cos 2x 8. 239. 100 10. y =±√104x 11. (0, 1) 12. −12≤a ≤32 13. 0<a 1<1或a 1>3 14. ①②③④15. 解：（1）由2cos 2A2+cosA =0，得1+cosA +cosA =0，即cosA =−12，∵ A 为△ABC 的内角，∴ A =2π3，（2）由余弦定理：a 2=b 2+c 2−2bccosA∴ a 2=(b +c)2−bc 即12=42−bc∴ bc =4 ∴ S △ABC =12bcsinA =√3．16. （1）三棱锥E −PAD 的体积V =13PA ⋅S △ADE =13PA ⋅(12AD ⋅AB)=√36．（2）当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行． ∵ 在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点，∴ EF // PC ，又EF ⊄平面PAC ，而PC ⊂平面PAC ， ∴ EF // 平面PAC ． (Ⅲ)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，∴ EB ⊥PA ，又EB ⊥AB ，AB ∩AP ＝A ，AB ，AP ⊂平面PAB ， ∴ EB ⊥平面PAB ，又AF ⊂平面PAB ， ∴ AF ⊥BE ．又PA ＝AB ＝1，点F 是PB 的中点， ∴ AF ⊥PB ，又∵ PB ∩BE ＝B ，PB ，BE ⊂平面PBE ， ∴ AF ⊥平面PBE ． ∵ PE ⊂平面PBE ， ∴ AF ⊥PE ．17. 解：（1）设摩天轮上总共有n 个座位，则x =kn即n =kx，y =8k kx+k x [(1024√x+20)x100+2]k =k 2(10x+1024√x+20100)，定义域{x|0<x ≤k2，kx ∈Z}； （2）当k =100时，令y =100(1000x+1024√x +20)f(x)=1000x+1024√x ，则f′(x)=−1000x 2+√x=−1000+512x 32x 2=0，∴ x 32=12564⇒x =(12564)23=2516，当x ∈(0,2516)时，f′(x)<0，即f(x)在x ∈(0,2516)上单调减， 当x ∈(2516，50)时，f′(x)>0，即f(x)在x ∈(2516，50)上单调增，y min 在x =2516时取到，此时座位个数为1002516=64个．18. 解：(1)设椭圆P 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 由题意得b =2√3，ca =12， ∴ a =2c ，b 2=a 2−c 2=3c 2， ∴ c =2，a =4，∴ 椭圆P 的方程为：x 216+y 212=1．(2)假设存在满足题意的直线L ．易知当直线的斜率不存在时，OR →⋅OT →<0，不满足题意． 故设直线L 的斜率为k ，R(x 1, y 1)，T （x 2, y 2 ）．∵ OR →⋅OT →=167，∴ x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=167，由{y =kx −4x 216+y 212=1 ，可得（3+4k 2 ）x 2−32kx +16=0， 由Δ=(−32k)2−4(3+4k 2)⋅16>0， 解得k 2>14 ①． ∴ x 1+x 2=32k 3+4k2，x 1⋅x 2=163+4k 2，∴ y 1⋅y 2=（kx 1−4 ）(kx 2−4)=k 2 x 1⋅x 2−4k(x 1+x 2)+16， ∴ x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=163+4k 2+16k 23+4k 2−128k 23+4k 2+16=167，∴ k 2=1 ②，由①、②解得k =±1，∴ 直线l 的方程为y =±x −4， 故存在直线l:x +y +4=0，或x −y −4=0，满足题意． 19. 解：（1）因为数列{a n }为常数列， 所以a n+1=a n ，a n =√a n +32，解得a n =0或a n =23，由n 的任意性知，a 1=0或a 1=23，所以a =0，或a =23；（2）用数学归纳法证明23<a 2n ≤34， 1当n =1时，a 2=34，符合上式， ②假设当n =k(k ≥1)时，23<a 2k ≤34，因为23<a 2k ≤34，所以916≤3a 2k −3a 2k 2<23，即916≤a 2k+1<23，从而23<3a 2k+1−3a 2k+12≤189256，即23<a 2k+2≤189256， 因为189256<34，所以，当n =k +1时，23<a 2k+2≤34成立，由①，②知，23<a 2k ≤34；（3）因为a 2n −a 2n−2=3(3a 2n−2−3a 2n−22)−3(3a 2n−2−3a 2n−22)2−a 2n−2=−27a 2n−24+54a 2n−23−36a 2n−22+8a 2n−2(n ≥2)，所以只要证明−27a 2n−24+54a 2n−23−36a 2n−22+8a 2n−2<0，由（2）可知，a 2n−2>0，所以只要证明−27a 2n−23+54a 2n−22−36a 2n−2+8<0，即只要证明27a 2n−23−54a 2n−22+36a 2n−2−8>0， 令f(x)=27x 3−54x 2+36x −8，f ′(x)=27×3x 2−54×2x +36=9(9x 2−12x +4)=9(3x −2)2≥0， 所以函数f(x)在R 上单调递增，因为23<a 2n−2≤34，所以f(a 2n−2)>f(23)=0，即27a 2n−23−54a 2n−22+36a 2n−2−8>0成立， 故a 2n <a 2n−2，所以数列{a 2n }单调递减． 20. 解：（1）令a x =t ，x >0， ∵ a >1，所以t >1，∴ 关于x 的方程f(x)=m 有两个不同的正数解转化为：方程t +2t=m 有相异的且均大于1的两根，∴ {△=m 2−8>0m2>112−m +2>0解得2√2<m <3，故实数m 的取值范围是(2√2，3)．（2）g(x)=a |x|+2a x ，x ∈[−2, +∞) ①当a >1时，x ≥0时，a x ≥1，g(x)=3a x ，所以g(x)∈[3, +∞)，−2≤x <0时，1a 2≤a x <1，g(x)=a −x +2a x ，所以g′(x)=−a −x lna +2a x lna =2(a x )2−1a xlnaⅰ当1a 2>√12即1<a <√24时，对∀x ∈(−2, 0)，g′(x)>0，所以g(x)在[−2, 0)上递增，所以g(x)∈[a 2+2a 2，3)，综上：g(x)有最小值为a 2+2a 2与a 有关，不符合ⅱ当1a 2≤√12即a ≥√24时，由g′(x)=0得x =−12log a 2， 且当−2<x <−12log a 2时，g′(x)<0， 当−12log a 2<x <0时，g′(x)>0，所以g(x)在[−2,−12log a2]上递减，在[−12log a2，0]上递增，所以g(x)min=g(−12log a2)=2√2，综上：g(x)有最小值为2√2与a无关，符合要求．②当0<a<1时，a)x≥0时，0<a x≤1，g(x)=3a x，所以g(x)∈(0, 3]b)−2≤x<0时，1<a x≤1a2，g(x)=a−x+2a x，所以g′(x)=−a−x lna+2a x lna=2(a x)2−1a xlna<0，g(x)在[−2, 0)上递减，所以g(x)∈(3,a2+2a2]，综上：a)b)g(x)有最大值为a2+2a2与a有关，不符合综上所述，实数a的取值范围是a≥√24．。
2011南京市高三第三次模拟考试数学试卷
南京市高三数学试卷2011届高三第三次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)2011．05一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.命题“∀x∈R，sin x＞0”的否定是________．2.已知复数z＝4－3i(i为虚数单位)，则复数z＋5i的虚部为________．3.如图，已知集合A＝{2,3,4,5,6,8}，B＝{1,3,4,5,7}，C＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．(第3题)4.在水平放置的长为5m的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端距离都大于2m的概率是________．5.设变量x、y满足约束条件－1≤0，＋y＋1≥0，－y＋3≥0则目标函数z＝2x＋y的最小值是________．6.右图是一个算法的流程图，则输出的值是________．(第6题)7.已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)．若＝3，则________.8.已知l、m、n、β、γ①若l∥m，n⊥m，则n⊥l；②若l∥m，m⊂α，则l∥α；③若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥m；④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ.其中真命题是________．(填序号)9.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，D在斜边BC上，且CD＝2DB，则AB→·AD→的值为________．(第9题)10.已知数列{a n }的前n 项和S n＝2n 2＋pn ，a 7＝11，若a k ＋a k ＋1＞12，则正整数k 的最小值为________．11.若不等式4x 2＋9y 2≥2k xy 对一切正整x 、k 的最大值为________．12.已知直线y ＝mx (m ∈R )与函数f (x )2－12x ，x ≤0，12x 2＋1，x ＞0的图象恰有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是________．13.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得PF 1PF 2＝e ，则该椭圆离心率e 的取值范围是________．14.如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB 、CD 于点M 、N ，则当MN BN 取最小值时，CN ＝________.(第14题)二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本题满分14分)已知a 、b 、c 分别为△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，且a cos C ＋c cos A ＝2b cos B .(1)求角B 的大小；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E、F分别为边AB、AD的中点，现将△ADE 沿DE折起，得四棱锥A—BCDE.(1)求证：EF∥平面ABC；(2)若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积．2014年青奥会水上运动项目将在J地举行．截至2010年底，投资集团B在J地共投资100百万元用于房地产和水上运动两个项目的开发．经调研，从2011年初到2014年底的四年间，B集团预期可从三个方面获得利润：一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的20%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元．(1)B集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？(2)假设从2012年起，J地政府每年都要向B集团征收资源占用费，2012年征收2百万元，以后每年征收的金额比上一年增加10%.若B集团投资成功的标准是：从2011年初到2014年底，这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于总投资额的18%，问B集团投资是否成功？在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(－4,0)、B(4,0)，动点P与A、B连线的斜率之积为－14.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C.半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为3r.(ⅰ)求⊙M的方程；(ⅱ)当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a n ＋1＝2S n ＋2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在a n 与a n ＋1之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成一个公差为d n 的等差数列．(ⅰ)求证：1d 1＋1d 2＋1d 3＋…＋1d n ＜1516(n ∈N *)；(ⅱ)在数列{d n }中是否存在三项d m 、d k 、d p (其中m 、k 、p 成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．已知函数f(x)＝x3＋x2－ax(a∈R)．(1)当a＝0时，求与直线x－y－10＝0平行，且与曲线y＝f(x)相切的直线方程；(2)求函数g(x)＝f(x)x－a ln x(x＞1)的单调递增区间；(3)如果存在a∈[3,9]，使函数h(x)＝f(x)＋f′(x)(x∈[－3，b]在x＝－3处取得最大值，试求b的最大值．高三数学附加题试卷第页(共2页)2011届高三第三次模拟考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修41：几何证明选讲如图，AB为⊙O的切线，A为切点，过线段AB上一点C作⊙O的割线CED(E在C、D 之间)，若∠ABE＝∠BDE，求证：C为线段AB的中点．B.选修42：矩阵与变换求曲线C：xy＝1在矩阵M＝11－11对应的变换作用下得到的曲线C1的方程．C.选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：ρ＝22cosθ和直线l：θ＝π4(ρ∈R)相交于A、B两点，求线段AB的长．D.选修45：不等式选讲已知a、b都是正实数，且a＋b＝2，求证：a2a＋1＋b2b＋1≥1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，点P在平面A1B1C1D1内，若D1P⊥平面PCE，试求线段D1P的长．23.假设位于正四面体ABCD顶点处的一只小虫，沿着正四面体的棱随机地在顶点间爬行，记小虫沿棱从一个顶点爬到另一个顶点为一次爬行．小虫第一次爬行由A等可能地爬向B、C、D中的任意一点，第二次爬行又由其所在顶点等可能地爬向其他三点中的任意一点，如此一直爬下去，记第n(n∈N*)次爬行后小虫位于顶点A处的概率为p n.(1)求p2，p3，p4的值，并写出p n的表达式(不要求证明)；(2)设S n＝p1C1n＋p2C2n＋p3C3n＋…＋p n C n n(n∈N*)，试求S n(用含n的式子表示)．。
江苏省南京市2011届高三第三次数学模拟考试
南京市2010/2011学年度高三年级第三次调研考试数学试卷注意事项：1、本试卷共160分。
考试时间150分钟。
2、答题前，考生务必将学校、姓名、准考证号写在答题纸的对应位置。
答案写在答题纸上对应题目的横线上。
考试结束后，请交回答题纸。
一、题空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．。
1、命题“0sin ,>∈∀x R x ”的否定 ▲ .2、已知复数i z 43+=（i 为虚数单位），则复数i z 5+的虚部为 ▲ .3、如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 ▲ .4、在水平放置的长为5cm 的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端距离都大于2cm 的概率是▲ .5、设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥++≤-030101y x y x x ，则目标函数y x z +=2的最小值是 ▲ .6、右图是一个算法的流程图，则输出的值是 ▲ .7、已知函数==+=)413(,3)4(),2sin(2)(ππϕf f x x f 则若 ▲ . 8、已知l ，m ，n 是三条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题：①若l ∥m ，n ⊥m ，则n ⊥l ；②若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α；③若l ⊂α，m ⊂β，α∥β，则l ∥m ；④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l ，则l ⊥γ其中真命题是 ▲ .（写出所有真命题的序号）。
9、如图，在△ABC 中，∠ABC=900，AB=6，D 在斜边BC 上，且CD=2DB ， 则∙的值为________▲_______.10、已知数列{}n a 的前n 项和12.11,2172>+=+=+k k n a a a pn n S 若，则正整数k 的最小值为 ▲ .11、若不等式xy y x k29422≥+对一切正数x ，y 恒成立，则整数k 的最大值为 ▲ . 12、已知直线)(R m mx y ∈=与函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤-=0,1210,)21(2)(2x x x x f x 的图象恰有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ .13、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得e PF PF =21，则该离心率e 的取值范围是 ▲ . 14、如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当BNMN 取最小值时，CN= ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定的区域内．．．．．．．．．作答，解答是时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2011南京市高三一模(数学)含答案
南京市2011届高三第一次模拟考试（数学）2011.01参考公式：1.样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x 是这组数据的平均数。
2.柱体、椎体的体积公式：1,3V Sh V Sh ==柱体椎体，其中S 是柱（锥）体的底面面积，h 是高。
一、填空题：（5分×14=70分）1.函数y 的定义域是 .2.已知复数z 满足(2)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为 . 3. 已知实数,x y 满足20,0,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最小值是 . 4.如图所示的流程图，若输入的9.5x =-，则输出的结果为 .5.在集合{}2,3A =中随机取一个元素m ，在集合{}1,2,3B =中随机取一个元素n ，得到点(,)P m n ，则点P 在圆229x y +=内部的概率为 .6.已知平面向量,a b 满足||1,||2a b ==，a 与b 的夹角为3π，以,a b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 .7.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 .8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若t a n 21t a n A c B b+=，则角A 的大小为 . 9.已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F,它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为 .10.已知正数数列{}n a 对任意,p q N *∈，都有p q p q a a a +=⋅，若24a =，则9a = .11.已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面。
下列命题：①若,,||,||,l m l m ααββ⊂⊂则||αβ； ②若,||,,l l m αβαβ⊂=则||l m ； ③若||,||,l αβα则||l β； ④若,||,||,l m l ααβ⊥则m β⊥.其中真命题是 （写出所有真命题的序号）. 12.已知2()log (2)f x x =-，若实数,m n 满足()(2)3f m f n +=，则m n +的最小值是 .13. 在△ABC 中，已知BC=2，1AB AC ⋅=,则△ABC 面积的最大值是 .14.若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()f x 的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数()f x 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看作同一个“友好点对”）.已知函数2241,0,()2,0,x x x x f x x e⎧++<⎪=⎨≥⎪⎩则()f x 的“友好点对”有 个.二、解答题：（本大题共6小题，共计90分）.15.（本题满分14分）已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且()4f π=（1）求,ωϕ的值；（2）若6()(0)25f ααπ=-<<，求cos 2α的值。
江苏省南京市 中学第一学期高三质量检测
江苏省南京市2011--2012学年度第一学期高三质量检测数 学 试 题一、填空题（本大题共16小题，每小题5分，共80分） 1．已知集合P QP R x x x x Q x x 则集合},,06|{},72|{2是 . 2．计算ii12的结果是 . 3．若xy y x y x R y x 则且,12,0,0,, 的最大值为 . 4．函数x x f 2log 1)( 的定义域是 .5．在边长为1的正方形A BCD 中，若|2|.,,c b a c AC b BC a AB 则的值是 .6．满足条件z i z 的复数|21||1| 在复平面内对应的点表示的图形的面积为 .7．若x x x x tan ),0,(,51cos sin 则 的值是 .8．若变量x,y 满足约束条件y x z y x y x y x4,33,1,1则目标池数的最大值为 .9．若)26sin(,135)6cos(x x则的值是 . 10．已知向量b a b a b a b a 与那么,),3,1(),sin 2,cos 2( 的夹角的大小是 . 11．函数)(22cos 32)4(sin 4)(2R x x x x f的单调减区间是 .12．将下面不完整的命题补充完整，并使之成为一个真命题：若函数xx f 2)( 的图象与函数)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g 的解析式是 .（填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）13．若定义域为（－1，1）的奇函数)(x f y 又是减函数，且0)9()3(2a f a f ，则实数a 的取值范围是 .14．设函数,0,1,0,0,0,1)(x x x x f )(),1()(2x g x f x x g 则函数 的递减区间是 .15．若钝角三角形的三个内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为P ，则P 的取值范围是 .16．如果有穷数列)(,,,21为正整数m a a a m 满足条件：,,,121 m m a a a a),,,2,1(11m i a a a a i m i m 即则称其为“对称”数列.例如：1，2，5，2，1，与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列1211,}{c c c n 中，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则数列}{n c 的所有项的和为 .（用数字作答） 二、解答题17．（1）已知复数z 满足i iz z 242 ，求复数z. （2）解关于x 的不等式).(02R a xa a x 18．已知向量a,b 满足|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角为60°，向量c=2a+b . （1）求c 的模；（2）若向量d =ma －b ,d //c ，求实数m 的值.19．在锐角△A BC 中，A ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，P =（A +c,b ）,Q =（c －a ,b －c ）,且p ⊥q .（1）求A 的大小；（2）记)(),62sin(sin 2)(2B f B B B f 求的值域.20．渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k （k>0）（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）. （1）写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； （2）求鱼群年增长量的最大值；（3）求鱼群的年增长量达到最大值时k 的取值范围.21（文科）设命题P ：函数)1lg()(2ax ax x f 的定义域为R ；命题q ：不等式193 a x x 对一切正实数均成立.（1）如果P 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果命题p 且q 为真命题，求实数a 的取值范围.（文科）已知*)4(2N n n n 且个正数排成一个n 行n 列的数阵：第1列第2列 第3列 … 第n 列第1行1,1a 2,1a 3,1a… n a ,1 第2行 1,2a 2,2a 3,2a … n a ,2 第3行 1,3a 2,3a3,3a…n a ,3… 第n 行1,n a 2,n a 3,n a…n n a ,其中)1,1*,,(,n k n i N k i a k i 且表示该数阵中位于第i 行第k 列的数，已知该数阵中各行的数依次成等比数列，各列的数依次成公比为2的等比数列，已知a 2,3=8，a 3,4=20.（1）求1,1a 2,2a ；（2）设n A a a a a A n n n n n n :1,2,31,2,1求证 能被3整除.江苏省南京市 中学2009-2010学年度第一学期高三质量检测数学试题参考答案一、填空题（本大题共16小题，每小题5分，共80分）1．{3} 2．i 2321 3．814．]2,0( 5．23 6．5 7．34 8．11 9．.169119 10．211．.],1211,125[Z k k k 12．直线轴y x x g x y ;log )(,2 ，x x g )21()( （答案不惟一）13．)3,22( 14． （0，1）二、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）解 设.,,,yi x R y x yi x z 则由题意，得.242)2()(2))((22i xi y y x i yi x yi x yi x 故解得,1,1,3,1y x y x 或i z i z 131或 （2）解 不等式等价于,0))((2a x a x 若a=0，则 x x 所以,02若a=1，则 x x 所以,0)1(2若a<0，或a>1，则a<a 2，所以),(2a a x 若0<a<1，则),(,22a a x a a 所以 18．（1）12460cos 214444)2(||2222b b a a b a c即32|| c ；（2）因为d//c ，所以存在实数 ，使c d ，即).2(b a b ma 又a,b 不共线，所以.2,1,2 m m 解得19．（1）由题意，因为,0)())((, c b b a c c a q p q p 所以即.222bc a c b 在.212cos ,,222bc a c b A ABC 由余弦定理中 又.3),,0(A A 所以（2）)62sin(sin 2)(2B B B f.1)62sin()2cos 212sin 23(2cos 1B B B B 又ABC 为锐角三角形，所以),2,0(32),2,0(B C B 即,65626,26B B 所以所以1)62sin(21 B ，故].2,23()(的值域为B f 20．解：（1）由题意，空闲率为)1(,1mxkx y m x 所以，定义域为（0,m ）；（2）由（1）得,4)2()1(2kmm x m k m x kx y 因为;4,2,0),,0(max kmy m x k m x 时所以当（3）由题意有.420,0m kmm m y x 即因为m>0，解得,0,22 k k 又故k 的取取值范围为（0，2）.21．（文科）（1）由题意，若命题p 为真，则012 ax ax 对任意实数x 恒成立 若a=0，1>0，显然成立； 若,40,040,02a a a a a 解得是故命题p 为真命题时a 的取值范围为)4,0[（2）若命题q 为真，则a xx 193对一切正实数恒成立.,45)213(1932 x x x因为x>0，所以1),0,(193,13 a xx x 因此所以 故命题q 为真命题时，.1 a又命题p 且q 为真命题，即命题p 与q 均为真，故,411,40 a a a 解得所以满足题意的实数a 的取值范围为)4,1[.22．（文科）（1）由题意，5,3,20,84,13,14,33,2 a a a a 所以， 故第1行公差d=1，所以.62,3,22,12,22,11,1 a a a a 得 （2）同（1）可得，11,22,122,31,2,122,23,),1(2,2,1 n n n n n n n a a n a n a n a所以1,2,31,2,1n n n n n a a a a A1321222)2(2)1(2)1( n n n n n n n n n n n A 22232)1(22)1(21321两式相减，得n n n n A 222222)1(1321n n n 2221)21(2)1(1 n n n 2222)1( n n 323所以n A n A n nn 故),12(3能被3整除.。
2011届南京市高三数学第一学期学情调研试卷及答案
证明：（方法一）
因为a，b是正数，利用均值不等式，
(a＋)(2b＋)＝2ab＋＋2＋…………………………5分
＝(2ab＋)＋≥2＋＝．
所以(a＋)(2b＋)≥．…………………………10分
（方法二）
因为a，b是正数，利用柯西不等式，
(a＋)(2b＋)＝[()2＋()2][()2＋()2]……………………5分
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，AD是∠BAC的平分线，⊙O过点A且与BC边相切于点D，与AB，AC分别交于E，F，求证：EF∥BC．
B．选修4—2：矩阵与变换
已知a，b∈R，若矩阵M＝所对应的变换把直线l：2x－y＝3变换为自身，求a，b的值．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
将参数方程(t为参数)化为普通方程．
（方法二）设(x，y)为直线l上任意一点，则
＝，…………………………3分
因为M对应的变换把直线变换为自身，所以点(－x＋ay，bx＋3y)仍在直线l上，
代入直线方程得：2(－x＋ay)－(bx＋3y)＝3，…………………………7分
化简得(－2－b)x＋(2a－3)y＝3，又直线l：2x－y＝3，
所以解得…………………………10分
≥(×＋×)2＝(＋)2＝．
所以(a＋)(2b＋)≥．………………………10分
22．解：（1）由题设知，X可能的取值为：3，4，5，6，7．
随机变量X的概率分布为
X
3
4
5
6
7
P
………………………3分
因此X的数学期望E(X)＝(3＋4＋6＋7)×＋5×＝5．………………………5分
2011届高三学情调研卷
数学附加题参考答案及评分标准2来自10.0921．A．选修4—1：几何证明选讲
数学答案汇编
数学参考答案 第页(共64页)数学参考答案及评分标准南京市2011届高三第一次模拟考试1. [0,2] 解析：由题意令2x －x 2≥0得0≤x ≤2.即定义域为[0,2]．2. 10 解析：设z ＝a ＋b i ，则(a －2＋b i)i ＝－b ＋(a －2)i ＝1＋i ，∴ 令⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝1，a －2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1， 即|z |＝a 2＋b 2＝10. 3. －1 解析：由已知作出可行域：作直线l ：z ＝2x ＋y ，平移l .当l 经过点A (－1,1)时，z 有最小值－1.4. 1 解析：输入x ＝－9.5不满足x >0则循环“x ＋2”直到x ＝0.5时满足“x >0”，此时c ＝2x ＝1.5. 13解析：由题意知P 点(m ，n )共有2×3＝6个．∵ P 在圆内部，∴ m 2＋n 2<9，∴ 满足条件的P 共有(2,1)，(2,2)这两个点．故P ＝26＝13.6. 3 解析：由题意作出以a ，b 为邻边的平行四边形OACB ，如图所示： 则较短的一条对角线为AB ，在△AOB中由余弦定理得AB ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos π3＝ 3. 7. 5 解析：由茎叶图知平均数 x －＝16(14＋17＋18＋18＋20＋21)＝18，由方差公式得s 2＝16[(14－18)2＋(17－18)2＋(18－18)2×2＋(20－18)2＋(21－18)2]＝5.8. π3 解析：由已知1＋tan A tan B ＝2cb ，切化弦得cos A sin B ＋sin A cos B cos A sin B ＝2c b ，即sin (A ＋B )cos A sin B＝2sin Csin B ，又sin(A ＋B )＝sin C ≠0，sin B ≠0，∴ cos A ＝12， ∴ A ＝π3.9. 2＋1 解析：由题意A (a,0)，F (c,0)，B ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，0. ∵ A 为线段BF 的中点，∴ 2a ＝c －a 2c ，即e －1e ＝2，得e ＝2＋1. 10. 512 解析：由已知a n >0且对∀p ，q ∈N *，a p ＋q ＝a p ·a q ，∴ a 2＝a 21＝4⇒a 1＝2，a 4＝a 22＝16，a 8＝a 24＝162＝28，∴ a 9＝a 1·a 8＝29＝512.11. ②④ 解析：①假命题：“当l ∩m ＝A ”时命题才为真；③假命题：l ∥β或l ⊂β.12. 7 解析：由已知log 2(m －2)＋log 2(2n－2)＝3，即log 2(m －2)(2n －2)＝log 28，∴ (m －2)(n －1)＝4，∴ m ＋n ＝m ＋4m －2＋1＝m －2＋4m －2＋3≥ 24m －2·(m －2)＋3＝7，等号当且仅当m ＝4时成立．13. 2 解析：由题意AB →·AC →＝1，即bc cos A ＝1，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2＋c 2＝6≥2bc ⇒bc ≤3，当且仅当b ＝c ＝3时取“＝”，此时(sin A )max ＝223，∴ S max ＝12(bc )max ·(sin A )max ＝ 2. 14. 2 解析：由题意作f (x )的图象如图甲所示，设P ⎝⎛⎭⎫x ，2e x ，则P 关于原点的对称点为P ′⎝⎛⎭⎫－x ，－2e x .令2x 2＋4x ＋1＝－2e x ，作出图象如图乙所示，∵ 图象有两个交点，∴ “友好点对”有2个． 甲乙15. 解：(1) 由函数的周期为π，可知2πω＝π，所以ω＝2.(2分)又由f (π4)＝2，得2sin(π2＋φ)＝2，所以cos φ＝22.又φ∈(0，π)，所以φ＝π4.(5分)(2) (方法1)由f (α2)＝－65，得sin(α＋π4)＝－35.(7分) 因为α∈(0，π)，所以α＋π4∈(π4，5π4)．又sin(α＋π4)＝－35＜0，所以α＋π4∈(π，5π4)， 所以cos(α＋π4)＝－45.(10分)所以cos2α＝sin(π2＋2α)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2425.(14分) (方法2)由f (α2)＝－65，得sin(α＋π4)＝－35.(7分) 因为α∈(0，π)，所以α＋π4∈(π4，5π4)．又sin(α＋π4)＝－35＜0，所以α＋π4∈(π，5π4)， 所以cos(α＋π4)＝－45.(10分)所以cos α＝cos[(α＋π4)－π4]＝cos(α＋π4)·cos π4＋sin(α＋π4)sin π4＝－7210. 所以cos2α＝2cos 2α－1＝2×(－7210)2－1＝2425.(14分) (方法3)由f (α2)＝－65，得sin(α＋π4)＝－35.(7分) 所以sin α＋cos α＝－325.所以1＋sin2α＝1825， 即sin2α＝－725.(10分)因为α∈(0，π)，所以α＋π4∈(π4，5π4)．又sin(α＋π4)＝－35＜0，所以α＋π4∈(π，5π4)， 即α∈(3π4，π)，2α∈(3π2，2π)．所以cos2α＝1－sin 22α＝2425.(14分)16. (1) 证明：如图，连结DD 1.在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，因为D 、D 1分别是BC 与B 1C 1的中点， 所以B 1D 1∥BD ，且B 1D 1＝BD .所以四边形B 1BDD 1为平行四边形， 所以BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1.又AA 1∥BB 1，AA 1＝BB 1，所以AA 1∥DD 1，AA 1＝DD 1，所以四边形AA 1D 1D 为平行四边形，所以A 1D 1∥AD .(4分)又A 1D 1⊄平面AB 1D ，AD ⊂平面AB 1D ， 故A 1D 1∥平面AB 1D .(6分)(2) 解：(方法1)在△ABC 中，因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC .因为平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ，交线为BC ，AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面B 1C 1CB ，即AD 是三棱锥A —B 1BC 的高．(10分) 在△ABC 中，由AB ＝AC ＝BC ＝4，得AD ＝2 3.在△B 1BC 中，B 1B ＝BC ＝4，∠B 1BC ＝60°，所以△B 1BC 的面积S △B 1BC ＝34×42＝4 3.所以三棱锥B 1—ABC 的体积，即三棱锥A —B 1BC 的体积V ＝13×S △B 1BC ·AD ＝13×43×23＝8.(14分)(方法2)在△B 1BC 中，因为B 1B ＝BC ，∠B 1BC ＝60°，所以△B 1BC 为正三角形，因此B 1D ⊥BC . 因为平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ，交线为BC ，B 1D ⊂平面B 1C 1CB ，所以B 1D ⊥平面ABC ，即B 1D 是三棱锥B 1—ABC 的高．(10分)在△ABC 中，由AB ＝AC ＝BC ＝4得△ABC 的面积S △ABC ＝34×42＝4 3.在△B 1BC 中，因为B 1B ＝BC ＝4，∠B 1BC ＝60°，所以B 1D ＝2 3.所以三棱锥B 1—ABC 的体积V ＝13×S △ABC ·B 1D ＝13×43×23＝8.(14分) 17. 解：(1) (方法1)连结OC .设BC ＝x ，矩形ABCD 的面积为S . 则AB ＝2900－x 2，其中0＜x ＜30.(2分)所以S ＝2x 900－x 2＝2x 2(900－x 2)≤x 2＋(900－x 2)＝900.(4分)当且仅当x 2＝900－x 2，即x ＝152时，S 取最大值为900 cm 2.答：取BC 为15 2 cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为900 cm 2.(6分)(方法2)连结OC .设∠BOC ＝θ，矩形ABCD 的面积为S .则BC ＝30sin θ，OB ＝30cos θ，其中0＜θ＜π2.(2分) 所以S ＝AB ·BC ＝2OB ·BC ＝900sin2θ.(4分)所以当sin2θ＝1，即θ＝π4时，S 取最大值为900 cm 2，此时BC ＝15 2.答：取BC 为15 2 cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为900 cm 2.(6分)(2) (方法1)设圆柱底面半径为r ，高为x ，体积为V .由AB ＝2900－x 2＝2πr ，得r ＝900－x 2π， 所以V ＝πr 2h ＝1π(900x －x 3)，其中0＜x＜30.(10分)由V ′＝1π(900－3x 2)＝0，得x ＝103，因此V ＝1π(900x －x 3)在(0,103)上是增函数，在(103，30)上是减函数．(12分)所以当x ＝103时，V 的最大值为6 0003π. 答：取BC 为10 3 cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为6 0003πcm 3.(14分)(方法2)连结OC ，设∠BOC ＝θ，圆柱底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则圆柱的底面半径为r ＝30cos θπ，高h ＝30sin θ，其中0＜θ＜π2.所以V ＝πr 2h ＝27 000πsin θcos 2θ＝27 000π(sin θ－sin 3θ)．(10分)设t ＝sin θ，则V ＝27 000π(t －t 3)．由V ′＝27 000π·(1－3t 2)＝0，得t ＝33，因此V ＝27 000π(t －t 3)在(0，33)上是增函数，在(33，1)上是减函数．(12分)所以当t ＝33时，即sin θ＝33，此时BC＝103时，V 的最大值为6 0003π.答：取BC 为10 3 cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为6 0003πcm 3.(14分)18. (1) 解：由题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝43，a ＝2 3.(2分)因为点(22，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，所以812＋1b2＝1，解得b ＝3，故所求椭圆方程为x 212＋y 23＝1.(5分)(2) 证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)．点F 的坐标为F (3,0)．由AF →＝3FB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x 1＝3(x 2－3)，－y 1＝3y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－3x 2＋12，y 1＝－3y 2， ①(7分) 又A 、B 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧(－3x 2＋12)212＋(－3y 2)23＝1，x 2212＋y223＝1，解得⎩⎨⎧x 2＝103，y 2＝23.所以B (103，23)，代入①得A 点坐标为(2，－2)．(12分)因为OA →·AB →＝0，所以OA ⊥AB .所以过O 、A 、B 三点的圆就是以OB 为直径的圆，其方程为x 2＋y 2－103x －23y ＝0.(16分)19. 解：(1) 设数列{b n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋d ＝4，b 1＋4d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，d ＝2，所以b n ＝2n .(4分)(2) ① 设每一行组成的等比数列的公比为q .由于前n 行共有1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2个数，且32＜13＜42，所以a 10＝b 4＝8.所以a 13＝a 10q 3＝8q 3.又a 13＝1，解得q ＝12.因此c n ＝2n ·(12)n －1＝n2n －2.(7分) 所以S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝12－1＋220＋321＋…＋n 2n －2. 12S n ＝120＋221＋…＋n －12n －2＋n2n －1. 因此12S n ＝12－1＋120＋121＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1.解得S n ＝8－n ＋22n －2.(10分)② 由①知，c n ＝n2n －2，不等式(n ＋1)c n ≥λ，可化为n (n ＋1)2n －2≥λ.设f (n )＝n (n ＋1)2n －2，计算得f (1)＝4，f (2)＝f (3)＝6，f (4)＝5，f (5)＝154.因为f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋1)(2－n )2n －1， 所以当n ≥3时，f (n ＋1)＜f (n )．(14分) 因为集合M 的元素的个数为3， 所以λ的取值范围是(4,5]．(16分)20. (1) 解：因为f ′(x )＝1－ax，所以f ′(1)＝1－a .所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处切线的斜率为1－a .因为曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线为3x －y －3＝0，所以1－a ＝3，解得a ＝－2.(3分)(2) 证明：① 充分性．当a ＝1时，f (x )＝x －1－ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x， 所以当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数；当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(0,1)上是减函数．所以f (x )≥f (1)＝0.(5分) ② 必要性．(方法1)f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，其中x ＞0.(ⅰ) 当a ≤0时，f ′(x )＞0恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．而f (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，f (x )＜0，与f (x )≥0恒成立相矛盾．所以a ≤0不满足题意．(7分) (ⅱ) 当a ＞0时， 因为当x ＞a 时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(a ，＋∞)上是增函数；当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(0，a )上是减函数．所以f (x )≥f (a )＝a －1－a ln a . 因为f (1)＝0，所以当a ≠1时，f (a )＜f (1)＝0，此时与f (x )≥0恒成立相矛盾．所以a ＝1.综上所述，f (x )≥0恒成立的充要条件是a ＝1.(10分)(方法2)f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，其中x ＞0.(ⅰ) 当a ≤0时，因为f ′(x )＞0恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．而f (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，f (x )＜0，与f (x )≥0恒成立相矛盾．所以a ≤0不满足题意．(7分) (ⅱ) 当a ＞0时， 因为当x ＞a 时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(a ，＋∞)上是增函数；当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(0，a )上是减函数．所以f (x )≥f (a )＝a －1－a ln a . 于是，由f (x )≥0恒成立可知，存在a ＞0，使得f (a )＝a －1－a ln a ≥0.记函数φ(x )＝x －1－x ln x ，则φ′(x )＝－ln x ，当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，所以函数φ(x )在(0,1)上是增函数，当x ＞1时，φ′(x )＜0，所以函数φ(x )在(1，＋∞)上是减函数，所以φ(x )≤φ(1)＝0，所以a ＝1.综上所述，f (x )≥0恒成立的充要条件是a ＝1.(10分)(3) 解：由(2)可知， 当a ＜0时，函数f (x )在(0,1]上是增函数．又函数y ＝1x在(0,1]上是减函数．不妨设0＜x 1≤x 2≤1，则|f (x 1)－f (x 2)|＝f (x 2)－f (x 1)， 1x 1－1x 2＝1x 1－1x 2， 所以|f (x 1)－f (x 2)|≤41x 1－1x 2等价于f (x 2)－f (x 1)≤4x 1－4x 2，即f (x 2)＋4x 2≤f (x 1)＋4x 1.设h (x )＝f (x )＋4x ＝x －1－a ln x ＋4x ，则|f (x 1)－f (x 2)|≤41x 1－1x 2等价于函数h (x )在区间(0,1]上是减函数．(13分)因为h ′(x )＝1－a x －4x 2＝x 2－ax －4x 2，所以x 2－ax －4≤0在x ∈(0,1]时恒成立，即a ≥x －4x 在x ∈(0,1]上恒成立，即a 不小于y ＝x －4x在区间(0,1]内的最大值．而函数y ＝x －4x 在区间(0,1]上是增函数，所以y ＝x －4x的最大值为－3.所以a ≥－3.又a ＜0，所以a ∈[－3,0)．(16分)南通市2011届高三第一次调研测试1. {1} 解析：N ＝[0,2]，M ＝{－1,1}⇒M ∩N ＝{1}．2. 0.2 解析：P ＝1－0.5－0.2－0.1＝0.2.3. 5 解析：由已知，|(1＋2i)z －|＝|3－4i|，即5|z －|＝5，∴ |z |＝|z －|＝ 5. 4. 55 解析：S ＝1＋2＋3＋…＋10＝55. 5. 690 解析：1200×200－85200＝690人．6. －1 解析：x 2－2x －3>0⇔x <－1或x >3. ∵ “x <－1或x >3”是“x <a ”的必要不充分条件． ∴ (－a ，a －∞，－1)∪(3，＋∞)⇒a ≤－1，即a max ＝－1.7. ④ 解析：①反例：直线a 平行于面α与β的交线；②若a ⊥α，α⊥β，则α∥β；③反例：直线a 与b 相交且分别平行于α，如图．故④为真命题．8. 52解析：由题意M 在双曲线右支上，设为(x ，y )，∵ 右焦点(4,0)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)2＋y 2＝3x 24－y 212＝1⇒x ＝52.9. 1 解析：∵ f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3， f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|min ＝π2，∴ T 4＝π2⇒T ＝2π⇒ω＝2πT＝1.10. 2－2 解析：由题意得|h ＋2|2≥1⇒h ≥2－2.故h 的最小值为2－2.11. (－1，－3) 解析：OB 方程4x －3y ＝0.设C (x ，y )，其中x <0，y <0.点C 在∠AOB 的平分线上．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧|4x －3y |5＝|x |x 2＋y 2＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3⇒C 点坐标(－1，－3)． 12. [－7，－1) 解析：由题意得f ′(x )＝x 2＋2x ＋2a －1＝0在(1,3]有解．∴ f ′(x )＝(x ＋1)2＋2a －2在(1,3]有零点． ⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝2a ＋2<0f ′(3)＝2a ＋14≥0⇒－7≤a <－1，即a 的取值范围是[－7，－1)． 13. m ≥14解析：∵ 对∀x 1∈[－1,3)时，∃x 2∈[0,2]使f (x 1)≥g (x 2)．∴[g (x 2)]min ≤[f (x 1)]min .f (x )＝x 2在x 1∈[－1,0]上递减，x 1∈(0,3]上递增⇒f (x 1)∈[0,9]，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m 在x 2∈[0,2]上递减⇒g (x 2)∈⎣⎡⎦⎤14－m ，1－m ，∴ 14－m ≤0⇒m ≥14.14. 2 解析：如图，设等腰三角形顶角为θ，腰长为2a ，取AB ＝AC ＝2a .D 为AC 中点，∴ 由题意BD ＝ 3.在△ABD 中，由余弦定理，得cos θ＝5a 2－34a 2，且由三角形性质，得33<a < 3.∴ sin θ＝1－cos 2θ＝－9a 4＋30a 2－916a 4，∴ S △ABC ＝12·2a ·2a ·sin θ＝2a 2·－9⎝⎛⎭⎫a 2－532＋164a 2＝－9⎝⎛⎭⎫a 2－532＋162，∴ 当a 2＝53时，S △ABC 取最大值为2.15. 解： (1)由|a －b|＝2，得|a －b|2＝a 2－2a·b ＋b 2＝4＋1－2a·b ＝4，∴ a·b ＝12.(7分)(2)|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝4＋2×12＋1＝6，∴ |a ＋b|＝ 6.(14分)16. 证明：(1) 设AC ∩BD ＝G ，连结FG . 由四边形ABCD 为平行四边形，得G 是AC 的中点．又F 是EC 中点，∴ 在△ACE 中，FG ∥AE .(3分)∵ AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ， ∴ AE ∥平面BFD .(6分)(2) ∵ ∠AEB ＝π2，∴ AE ⊥BE .又直线BC ⊥平面ABE ，∴ AE ⊥BC . 又 BC ∩BE ＝B ，∴ 直线AE ⊥平面BCE .(8分)由(1)知，FG ∥AE ，∴ 直线FG ⊥平面BCE .(10分)又直线FG ⊂平面DBF ，∴ 平面DBF ⊥平面BCE .(14分)17. 解： (1) 由条件，得A ＝2，T4＝3.(2分)∵ T ＝2πω， ∴ ω＝π6.(4分)∴ 曲线段FBC 的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋2π3.当x ＝0时，y ＝OC ＝ 3.又CD ＝3，∴∠COD ＝π4，即∠DOE ＝π4.(7分)(2) 由(1)，可知OD ＝ 6.又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P 在弧DE 上，故OP ＝ 6.(8分)设∠POE ＝θ，0＜θ＜π4，“矩形草坪”的面积为S ＝6sin θ(6cos θ－6sin θ) ＝6(sin θcos θ－sin 2θ)＝6⎝⎛⎭⎫12sin2θ＋12cos2θ－12 ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4－3.(13分) ∵ 0＜θ＜π4，∴ 当2θ＋π4＝π2时，即θ＝π8时，S 取得最大值．(15分) 18. 解： (1) 由已知，A (－4,0)、B (4,0)、F (2,0)，直线l 的方程为x ＝8.设N (8，t )(t >0)，因为AM ＝MN ，所以M (2，t2)．由M 在椭圆上，得t ＝6.故所求的点M 的坐标为M (2,3)．(4分)所以MA →＝(－6，－3)，MB →＝(2，－3), MA →·MB →＝－12＋9＝－3 .cos ∠AMB ＝MA →·MB→|MA →||MB →|＝－336＋9·4＋9＝－6565.(7分)(用余弦定理也可求得)(2) (方法1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A 、F 、N 三点坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧16－4D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，64＋t 2＋8D ＋Et ＋F ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－t －72t ，F ＝－8.因为圆的方程为x 2＋y 2＋2x －(t ＋72t)y －8＝0，令x ＝0，得y 2－(t ＋72t)y －8＝0.(11分)设P (0，y 1)，Q (0，y 2)，则y 1、2＝t ＋72t ±(t ＋72t)2＋322.由线段PQ 的中点坐标为(0,9)，得y 1＋y 2＝18，t ＋72t＝18.此时所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －18y －8＝0.(15分)(本题用韦达定理也可解)(方法2)由圆过点A 、F 得圆心横坐标为－1，由圆与y 轴交点的纵坐标为(0,9)，得圆心的纵坐标为9，故圆心坐标为(－1,9)．(11分)易求得圆的半径为310，(13分)故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －9)2＝90.(15分)19. 解：(1) ∵ g (x )的图象与g (x )的图象关于y 轴对称，∴ f (x )的图象上任意一点P (x ，y )关于y 轴对称的对称点Q (－x ，y )在g (x )的图象上．当x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，则f (x )＝g (－x )＝ln(－x )－ax 2.(2分)∵ f (x )为[－1,1]上的奇函数，∴ f (0)＝0.(4分)当x ∈(0,1]时，－x ∈[－1,0)，f (x )＝－f (－x )＝－ln x ＋ax 2.(6分)∴ f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )－ax 2(－1≤x ＜0)，0(x ＝0)，－ln x ＋ax 2(0＜x ≤1).(7分)(2) 由已知， f ′(x )＝－1x ＋2ax .①若f ′(x )≤0在(0,1]上恒成立，则－1x＋2ax ≤0⇒a ≤12x 2.此时，a ≤12，f (x )在(0,1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝a ，∴ f (x )的值域为[a ，＋∞)与|f (x )|≥1矛盾．(11分)②当a ＞12时，令f (x )＝－1x＋2ax ＝0⇒x＝12a∈(0,1]，∴ 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎦⎤12a ，1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，∴ f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12a ＝－ln ⎝⎛⎭⎫12a ＋a ⎝⎛⎭⎫12a 2＝12ln(2a )＋12.由|f (x )|≥1，得12ln(2a )＋12≥1⇒a ≥e2.(15分)综上所述，实数a 的取值范围为a ≥e2.(16分)20. 解：(1) ①不妨设a 1≥1，设数列{a n }有n 项在1和100之间，则a 1·⎝⎛⎭⎫32n －1≤100.所以⎝⎛⎭⎫32n －1 ≤100. 两边同取对数，得 (n －1)( lg3－lg2)≤2.解得 n ≤12.37.故n 的最大值为12，即数列{a n }中，最多有12项在1和100之间．(5分)②不妨设1≤a 1＜a 1·32＜a 1·⎝⎛⎭⎫322＜…＜a 1·⎝⎛⎭⎫32n －1 ≤100，其中a 1，a 1·32，a 1·⎝⎛⎭⎫322，…，a 1·⎝⎛⎭⎫32n －1均为整数，所以a 1为2n －1的倍数． 所以3n －1≤100，所以n ≤5.(8分)又16,24,36,54,81是满足题设要求的5项．所以当q ＝32时，最多有5项是1和100之间的整数．(10分)(2) 设等比数列{aq n －1}满足100≤a ＜aq＜ …＜aq n －1≤1 000，其中a ，aq ，…，aq n －1均为整数，n ∈N *，q ＞1，显然，q 必为有理数．(11分)设q ＝ts，t ＞s ≥1，t 与s 互质，因为aq n －1＝a ⎝⎛⎭⎫t s n －1为整数，所以a 是s n －1的倍数．(12分)令t ＝s ＋1，于是数列满足 100≤a ＜a ·s ＋1s ＜…＜a ·⎝⎛⎭⎫s ＋1s n －1≤100. 如果s ≥3，则1 000≥a ·⎝⎛⎭⎫s ＋1s n －1≥(s ＋1)n －1≥4n －1，所以n ≤5；如果s ＝1，则1 000≥a ·2n －1≥100·2n －1，所以n ≤4；如果s ＝2，则1 000≥a ·⎝⎛⎭⎫32n －1≥100·⎝⎛⎭⎫32n －1，所以n ≤6.(13分) 另一方面，数列128,192,288,432,648,972满足题设条件的6个数，所以当q ＞1时，最多有6项是100到1 000之间的整数．(16分)苏州市2011届高三调研测试试卷1. －3－4i 解析：(1＋2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i ，(1＋2i )2＝－3－4i.2. 3 解析：由已知e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，又b a >0，∴ b a＝ 3. 3. 2 解析：∵ x －＝11＋8＋9＋10＋75＝9，∴ s 2＝15[(11－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(7－9)2]＝2.4. π4 解析：由图知A ＝3，T ＝2πω＝8，∴ ω＝π4，∴ f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ 由图得f (1)＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝3，∴ π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴ φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又φ∈[0,2π)，∴ φ＝π4. 5. 58解析：我们将基本事件一一列举出来，有(2,2,2)，(2,2,5)，(2,5,2)，(5,2,2)，(2,5,5)，(5,2,5)，(5,5,2)，(5,5,5)这8种等可能结果．其中(2,2,2)，(2,5,5)，(5,2,5)，(5,5,2)，(5,5,5)这5种情况可构成三角形， ∴ P ＝58. 6. 10 解析：AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·23AB →＋13AC →＝29AB →2＋29AC →2＝10. 7. ①② 解析：③④反例分别如图甲、乙． 甲乙对于图(乙)，面ABCD 与面ABC 1D 1相交，但不垂直，BC 、AB 分别为两平面内两条线，但AB ⊥BC .8. π4 解析：tan2β＝2tan β1－tan 2β＝34，∵ tan β＝13<1， ∴ β∈⎝⎛⎭⎫0，π4 2β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 又tan2β<1，∴ 2β∈⎝⎛⎭⎫0，π4，又tan α＝17<1， ∴ α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴ α＋2β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 又tan(α＋2β)＝tan α＋tan2β1－tan αtan2β＝1，∴ α＋2β＝π4. 9. 25 解析：我们将循环体中涉及的“P ，S ，a ”列出：当P ＝24时满足P <S ，∴ 输出S ＝25.10. (1,121) 解析：两圆x 2＋y 2＝m 与(x ＋3)2＋(y －4)2＝36相交，∴ 圆心距r 1r 2＝5∈(|m －6|，m ＋6)， ∴ m ∈(1,121)．11. 100 解析：将卫生纸沿着一条母线展开后，由等体积可得0.1×lh ＝π(602－202)h \，可得l ＝100m. 12. 200 解析：a 1＝2，a 2＝5a 1－133a 1－7＝3，a 3＝5a 2－133a 2－7＝1，a 4＝5a 3－133a 3－7＝2，∴ {a n }的周期为3，∴ S 100＝33(2＋3＋1)＋2＝200.P 1×9 2×8 3×7 4×6 5×5 6×4S 0 9 16 21 24 25a 1 2 3 4 5 6作出可行域：∴ x ＝b a ∈⎝⎛⎭⎫34，53. 14. 3324 解析：设切点P (x 0，－x 30＋1)(0<x 0<1)，y ′＝－3x 2，∴ 切线方程：y －(－x 30＋1)＝－3x 20(x －x 0)，令x ＝0，y ＝2x 30＋1；令y ＝0，x ＝2x 30＋13x 20.∴ S ＝12×(2x 30＋1)×2x 30＋13x 20(0<x 0<1)，∴ S ′＝8x 60＋2x 30－13x 30＝(2x 30＋1)(4x 30－1)3x 30，∴ 当x 30∈⎝⎛⎭⎫0，14时S ′<0，当x 30∈⎝⎛⎭⎫14，1时S ′>0， ∴ 当x 30＝14时，S min ＝12×(2x 30＋1)23x 20＝3324. 15. 解：(1) 由条件，得(b ＋c )2－a 2＝3bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，(2分)∴ cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.(4分)∵ A 是三角形内角，∴ A ＝60°.(6分)(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧B ＋C ＝120°，B －C ＝90°，得B ＝105°，C ＝15°.(8分)由正弦定理得b sin105°＝4sin15°，即b ＝4sin105°sin15°.(10分)∴ b ＝4tan75°.(12分)∵ tan75°＝tan(45°＋30°)＝1＋tan30°1－tan30°＝2＋3，∴ b ＝8＋43.(14分)16. 证明：(1) 连DA 、DB 1、DO ， ∵ AB ＝A 1A ，D 为C 1C 的中点，而DB 1＝DC 21＋C 1B 21， DA ＝DC 2＋CA 2， ∴ DB 1＝DA .(2分)又O 是正方形A 1ABB 1对角线的交点， ∴ DO ⊥AB 1.(4分)又A 1B ⊥AB 1，A 1B ∩DO ＝O ， ∴ AB 1⊥平面A 1BD .(7分) (2) 取A 1O 的中点F ， 在△A 1OA 中，∵ E 是OA 中点，∴ EF 綊12AA 1.(9分) 又D 为C 1C 的中点，∴ CD 綊12AA 1.∴ EF 綊CD ，故四边形CDFE 是平行四边形．∴ CE ∥DF .(12分)又DF ⊂平面A 1BD ，CE ⊄平面A 1BD ， ∴ EC ∥平面A 1BD .(14分)17. 解：(1) 依题意，设d ＝k v 2l ，其中k 是待定系数，∵ 当v ＝60时，d ＝1.44l ， ∴ 1.44l ＝k ×602l .(2分)∴ k ＝0.000 4.则d ＝0.000 4v 2l .(4分) ∵ d ≥l ，∴ 0.000 4v 2l ≥l .则v ≥50.∴ 最低车速为50 km/h.(7分) (2) 因为两车间距为d ，则两辆车头间的距离为l ＋d (m)，一小时内通过汽车的数量为Q ＝1 000vl ＋0.000 4v 2l，即Q ＝ 1 000l (1v ＋0.000 4v ).(9分)∵ 1v ＋0.000 4v ≥21v ×0.000 4v ＝0.04，∴ Q ≤25 000l.(12分)当1v ＝0.000 4v ，即v ＝50时，Q 取得最大值为25 000l.∴当v＝50 km/h时，单位时段内通过的汽车数量最多．(14分)18. 解：(1) 由条件，得F(－1,0)，A(0，3)，直线AF的斜率k1＝ 3.∵AB⊥AF，∴直线AB的斜率为－33.则直线AB的方程为y＝－33x＋3.(2分)令y＝0，得x＝3.∴点C的坐标为(3,0)．(3分)由⎩⎨⎧y＝－33x＋3，x24＋y23＝1，得13x2－24x＝0.解得x1＝0(舍)，x2＝2413.∴点B的坐标为(2413，5313)．(5分)∵AB→＝λBC→，∴λ＞0，且λ＝ABBC.∴λ＝24133－2413＝85.(7分)(2) ∵△ACF是直角三角形，∴△ACF外接圆的圆心为D(1,0)，半径为2.∴圆D的方程为(x－1)2＋y2＝4.(9分)∵AB是定值，∴当△P AB的面积最大时，点P到直线AC的距离最大．过D作直线AC的垂线m，则点P为直线m与圆D的交点．(11分)∴直线m的方程为y＝3(x－1)．(13分)代入圆D的方程，得(x－1)2＋3(x－1)2＝4.(14分)∴x＝0或x＝2(舍)．则点P的坐标为(0，－3)．(16分)19. 解：(1) 依题意，n＝1时，S1＝2，n＝2时，S2＝6.(2分)∵1S1＋1S2＋…＋1S n＝nn＋1，①n≥2时，1S1＋1S2＋…＋1S n－1＝n－1n，②①－②，得1S n＝nn＋1－n－1n，∴S n＝n(n＋1)．(4分)上式对n＝1也成立，∴S n＝n(n＋1)(n∈N*)．(5分)(2) 由(1)知，S n＝n(n＋1)，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n.(7分)∵a1＝2，∴a n＝2n(n∈N*)．(8分)∴b n＝(14)n.∵b n＋1b n＝14，∴数列{b n }是等比数列．(10分)则＝14(1－14n)1－14＝13(1－14n)．(12分)∵13(1－14n)随n的增大而增大，∴14≤＜13.(13分)依条件，得⎩⎨⎧1m＜14，m2－6m＋163≥13.(14分)即⎩⎪⎨⎪⎧m＜0，或m＞4，m≤1，或m≥5.∴m＜0或m≥5.(16分)20. (1) 解：当k＝1时，f(x)＝ln x－1a·x12＋ax－12－ln a，∵f′(x)＝1x－12a·x－12－a2x－32(1分)＝－(x－a)22axx≤0，(3分)∴函数f(x)在(0，＋∞)上是单调减函数．(4分)(2) 证明：当k＝0时，f(x)＝ln x＋ax－12－ln a，f′(x)＝1x－a2x x＝2x－a2x x，令f′(x)＝0，解得x＝a4.(6分)当0＜x ＜a4时，f ′(x )＜0，f (x )是单调减函数；当x ＞a4时，f ′(x )＞0，f (x )是单调增函数．∴ 当x ＝a 4时，f (x )有极小值为f (a4)＝2－2ln2.(8分)∵ e ＞2，∴ f (x )的极小值f (a 4)＝2(1－ln2)＝2lne2＞0.∴ f (x )＞0恒成立．(10分)(3) 证明：∵ f (x )＝ln x －k a ·x 12＋ax－12－ln a ， ∴ f ′(x )＝－kx ＋2ax －a2axx.令f ′(x 0)＝0，得kx 0－2ax 0＋a ＝0.(12分)∴ x 0＝a 1－1－kk.(x 0＝a1＋1－kk舍去) ∴ x 0＝a(1＋1－k )2.(14分)当0＜x ＜x 0时，f ′(x )＜0，f (x )是单调减函数；当x ＞x 0时，f ′(x )＞0，f (x )是单调增函数．因此，当x ＝x 0时，f (x )有极小值f (x 0)．(15分)又f (x 0)＝ln x 0a －k x 0a ＋ax 0，而x 0a ＝1(1＋1－k )2是与a 无关的常数， ∴ ln x 0a ，－k x 0a ，a x 0均与a 无关．∴ f (x 0)是与a 无关的常数．则f (x )的极小值是一个与a 无关的常数．(16分)无锡市2010年秋学期高三期末考试试卷1. {－1,1,5} 解析：由已知A ∩B ＝{1}，∴ log 2(a ＋3)＝1， 即a ＝－1，则b ＝1.∴ A ＝{5,1}，B ＝{－1,1}，∴ A ∪B ＝{－1,1,5}．2. (1，2) 解析：∵ 复数对应的点在第二象限，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2<0m －1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2<m < 2.m >1⇒m ∈(1，2)． 3. (－1,3) 解析：∵ ∃x ∈R 使x 2＋(a －1)x ＋1≤0为假命题， ∴ 对∀x ∈R ，x2＋(a －1)x ＋1>0，∴ Δ＝(a －1)2－4<0，解得a ∈(－1,3)． 4. 6 解析：a ＝4，b ＝2，c ＝6.∵“b >a ”(否)，∴ 进入“c >a ”(是)，∴ a ←c ，即a ＝6. 5. 112 解析：等待的时间小于5min 即在55分～60分， ∴ P ＝560＝112.6. 3＋23 解析：sin ⎝⎛⎭⎫5π6－x ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝33， sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝±63，∴ sin ⎝⎛⎭⎫5π6－x ＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＝33＋69＝3＋23.7. 53 解析：|2a －3b |＝(2a －3b )2＝ 4a 2＋9b 2－12a ·b ＝4×5＋9×1＋12×2＝53.8. 132或133 解析：渐进线为y ＝±2x 3.①若焦点在x 轴上，则有b a ＝23，则a ∶b ∶c＝3∶2∶13，∴ e ＝133；②若焦点在y 轴上，则有ab＝23，则a ∶b ∶c ＝2∶3∶13，∴ e ＝132，∴ 综上①②得e ＝132或133.9. 8 解析：①当k ＝1时，a 1＋a 2＝S 2＝－10∉(16,22)，故k ≠1；②当k ≥2时，a k＋a k ＋1＝S k ＋1－S k －1＝4k －14， ∵ 16<a k ＋a k ＋1<22，∴ 16<4k －14<22，则7.5<k <9.又k ∈N *，∴ k ＝8. 10. 90 解析：以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系D —xyz ，则O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，M ⎝⎛⎭⎫1，1，12，则D 1O →＝⎝⎛⎭⎫12，12，－1，AC →＝(－1,1,0)，CM →＝⎝⎛⎭⎫1，0，12.设面ACM 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝0，x ＋z 2＝0， 可取n＝(1,1，－2)，则cos 〈D 1O →·n 〉＝36×32＝1，∴ D 1O →∥n .又n ⊥面AMC ，∴ D 1O ⊥面AMC ，故成90°角．11. 2 解析：y ′＝3x 2＋a ，则任一点P (x 0，y 0)处的切线为y －x 30－ax 0－1＝(3x 20＋a )(x －x 0)，即y ＝(3x 20＋a )x －2x 30＋1，即为y ＝2x ＋1，∴ 令⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋a ＝2，1－2x 30＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，a ＝2. 12. [1,3] 解析：⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥|a －2|＋sin y 对∀x 、y ≠0恒成立，∴ ⎪⎪⎪⎪x ＋1x min ≥[|a －2|＋sin y ]max . ∵ ⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，sin y ∈[－1,1]，∴ [|a －2|＋sin y ]max ＝1＋|a －2|，∴ 2≥1＋|a －2|⇒－1≤a －2≤1，∴ a ∈[1,3]．13. 8 解析：f (x ＋t )≤3x ，即x 2＋(2t －1)x ＋t 2＋2t ≤0对∀x ∈[1，m ]恒成立，∴ x ＝1时，t 2＋4t ≤0⇒－4≤t ≤0.记g (x )＝x 2＋(2t－1)x ＋t 2＋2t ，对称轴x ＝12－t ，∵要求m max ，∴ ⎝⎛⎭⎫12－t max ＝92，则1＋m max ＝2×92， ∴ m max ＝8.14. π2解析：作f (x )＝|x 2－2|的大致图象：∵ f (a )≥f (b )，∴ |a 2－2|≥|b 2－2|，又0≤a ≤b ， ∴ a ∈[0，2]，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2≥b 2－2⇒a 2＋b 2≤4，0≤a ≤b ， 作出可行域：S ＝18×(π×22)＝π2. 15. 解：(1) 因翻折后B 、C 、D 重合(如图)，所以MN 应是△ABF 的一条中位线，(3分)则⎭⎪⎬⎪⎫MN ∥AF MN ⊄平面AEF AF ⊂平面AEF ⇒MN ∥平面AEF .(7分)(2) 因为⎭⎪⎬⎪⎫AB ⊥BE AB ⊥BF ⇒AB ⊥平面BEF ，(9分)且AB ＝6，BE ＝BF ＝3，所以V A —BEF ＝9.(11分) 又V E —AFMN V E —ABF ＝S AFMN S △ABF ＝34， 所以V E —AFMN ＝274(cm 3)．(14分)16. 解：(1) 由已知AD →＝511DB →，即DB →＝115AD →， ∵ |AD →|＝5，∴ |DB →|＝11.(2分)∵ CD →·AB →＝0，∴ CD ⊥AB .(3分) 在Rt △BCD 中，BC 2＝BD 2＋CD 2， 又CD 2＝AC 2－AD 2，∴ BC 2＝BD 2＋AC 2－AD 2＝196，(5分)∴ |AB →－AC →|＝|BC →|＝14.(6分)(2) 在△ABC 中，cos ∠BAC ＝12，∴ θ＝π3.(7分) 即cos(θ＋x )＝cos(π3＋x )＝45，sin(π3＋x )＝±35，(9分) 而－π2＜x ＜0，－π6＜π3＋x ＜π3，(10分)则－12＝sin(－π6)＜sin(π3＋x )＜sin π3＝32，(12分)∴ sin(π3＋x )＝35，∴ sin x ＝sin[(π3＋x )－π3]＝3－4310.(14分)17. 解：(1) 因为∠ABC ＝θ，则AC ＝2R sin θ，BC ＝2R cos θ，则S 2＝12AC ·BC ＝2R 2sin θcos θ＝R 2sin2θ.(3分)设AB 的中点为O ，连MO 、NO ，则MO ⊥AC ，NO ⊥BC .易得三角形AMC 的面积为R 2sin θ(1－cos θ)，(5分)三角形BNC 的面积为R 2cos θ(1－sin θ)，(7分)故S 1＝R 2sin θ(1－cos θ)＋R 2cos θ(1－sin θ) ＝R 2(sin θ＋cos θ－2sin θcos θ)．(8分)(2) ∵ S 1S 2＝R 2(sin θ＋cos θ－2sin θcos θ)2R 2sin θcos θ＝sin θ＋cos θ2sin θcos θ－1，(10分) 令sin θ＋cos θ＝t ∈(1，2]，则2sin θcos θ＝t 2－1.∴ S 1S 2＝t t 2－1－1＝1t －1t－1.(12分) ∴ S 1S 1的最小值为2－1.(14分) 18. 解：(1) 直线AM 的斜率为1时，直线AM 方程为y ＝x ＋2，(1分)代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0，(2分)解之得x 1＝－2，x 2＝－65，∴ M (－65，45)．(4分) (2) 设直线AM 的斜率为k ，则AM ：y ＝k (x ＋2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1， 化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.(6分)∵ 此方程有一根为－2，∴ x M ＝2－8k 21＋4k 2，(7分) 同理可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.(8分)由(1)知若存在定点，则此点必为P (－65，0)．(9分)∵ k MP ＝y Mx M ＋65＝k ⎝⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2，(11分) 同理可计算得k PN ＝5k4－4k 2.(13分)∴ 直线MN 过x 轴上的一定点P (－65，0)．(16分)19. (1) 证明：∵ 1a n ＋1＝23＋13a n，∴ 1a n ＋1－1＝13⎝⎛⎭⎫1a n －1，(2分) 且∵ 1a 1－1≠0，∴ 1a n－1≠0(n ∈N *)，(3分)∴ 1a n ＋1－11a n－1＝13，∴ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等比数列．(4分)(2) 解：由(1)可求得1a n －1＝23×⎝⎛⎭⎫13n －1，∴ 1a n＝2×⎝⎛⎭⎫13n ＋1.(5分) S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝n ＋2(13＋132＋…＋13n) ＝n ＋2·13－13n ＋11－13＝n ＋1－13n ，(7分)若S n ＜100，则n ＋1－13n ＜100，∴ n max＝99.(9分)(3) 解：假设存在，则m ＋n ＝2s ，(a m －1)·(a n －1)＝(a s －1)2.(10分)∵ a n ＝3n 3n ＋2，∴ (3n 3n ＋2－1)·(3m3m ＋2－1)＝(3s3s ＋2－1)2.(12分)化简得：3m ＋3n ＝2·3s ，(13分)∵ 3m ＋3n ≥2·3m ＋n ＝2·3s ，当且仅当m ＝n 时等号成立．(15分)又m 、n 、s 互不相等，∴ 不存在．(16分)20. (1) 解：∵ f (x )－g (x )＝x 2－1x－ln x ，令h (x )＝x 2－1x－ln x ，∵ h ′(x )＝12＋1x 2－1x ＝x 2＋2－2x2x 2＞0，(2分)∴ h (x )在[1，e]上单调增，∴ h (x )∈[－12，e 2－1e－1]．(3分)∴ |f (x )－g (x )|≤1，即在区间[1，e]上f (x )能被g (x )替代．(4分)(2) 证明：令t (x )＝f (x )－g (x )＝x －ln x .∵ t ′(x )＝1－1x ＝x －1x，(5分)且当0＜x ＜1时，t ′(x )＜0；当x ＞1时，t ′(x )＞0，(6分)∴ t (x )≥t (1)＝1，即f (x )－g (x )＝x －ln x ≥1，(7分)∴ f (x )在(1m，m )(m ＞1)上不能被g (x )替代．(8分)(3) 解：∵ f (x )在区间[1，e]上能被g (x )替代，即|f (x )－g (x )|≤1对于x ∈[1，e]恒成立．∴ |a ln x －ax ＋12x 2－x |≤1，即－1≤a ln x －ax ＋12x 2－x ≤1，(9分)由(2)知，当x ∈[1，e]时，x －ln x ＞0恒成立，∴ ① a ≤12x 2－x ＋1x －ln x .(10分)令F (x )＝12x 2－x ＋1x －ln x，∵ F ′(x )＝(x －1)(x －ln x )－(1－1x )(12x 2－x ＋1)(x －ln x )2＝(x －1)(12x ＋1－ln x －1x)(x －ln x )2， 由(1)的结果可知12x ＋1－ln x －1x ＞0，(11分)∴ F ′(x )恒大于零，∴ a ≤12.(12分)② a ≥12x 2－x －1x －ln x ，(13分)令G (x )＝12x 2－x －1x －ln x，∵ G ′(x )＝(x －1)(x －ln x )－(1－1x )(12x 2－x －1)(x －ln x )2＝(x －1)(12x ＋1－ln x ＋1x)(x －ln x )2， ∵ 12x ＋1－ln x ＋1x ＞12x ＋1－ln x －1x＞0，(14分)∴ G ′(x )恒大于零，∴ a ≥e 2－2e －22(e －1).(15分)综上，实数a 的范围为e 2－2e －22(e －1)≤a ≤12.(16分)常州市教育学会学生学业水平监测1. 2 解析：(a ＋i)(1＋2i)＝5i ，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＝5a －2＝0⇒a ＝2. 2. 13 解析：从集合{－1,0,1,2}中任取两个不同的元素，有(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,1)，(0,2)，(1,2)共6种情形．其中乘积“ab <0”的有(－1,1)，(－1,2)2种，∴ P ＝26＝13.3. ⎣⎡⎦⎤0，π8 解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .∵ x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴ 增区间为⎣⎡⎦⎤0，π8. 4. 150 解析：支出在[50,60]元的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，∴ 0.3×500＝150人．5. 83解析：f (1＋log 23)＝f (log 23－2)＝⎝⎛⎭⎫12log 32－3＝83. 6. 96 解析：a 依次取4,8,24,96.∵ b ＝48，∴ a ＝96. 7. 103 解析：a 2 009＋a 2 011a 2 010＝32 009－32 008＋32 011－32 01032 010－32 009＝3－1＋33－3232－3＝103. 8. －2 解析：∵ f (x ＋4)＝f (x )，∴ f (7)＝f (3)．又f (x )为奇函数，∴ f (3)＝－f (－3)＝－f (1)＝－2.9. {1} 解析：由题意可建立如图所示的直角坐标系． 则M (1,0)，N ⎝⎛⎭⎫12，32，设P ⎝⎛⎭⎫x 0，3x 03－33， ∴ MN ：3x ＋y －3＝0，MP ：x －3y －1＝0， ∴ OM ′→＝2x 03＋13，ON ′→＝2x 03－23， ∴ x －y ＝1，即所求集合为{1}． 10. x 24－y 216＝1 解析：y ＝x 3－3x 2＋2x ，y ′＝3x 2－6x ＋2，∴ y ′|x ＝0＝2，∴ l ：y ＝2x .∴ ⎩⎨⎧2c 5＝4b a ＝2c 2＝a 2＋b 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝16， 故双曲线方程为x 24－y 216＝1.11. ③④ 解析：①是既不充分也不必要条件；②反例：，l ⊆α时l 也能垂直于α内无数条直线．12. 29解析：由题意作出可行域 ∵ z ＝14x 2＋y ∴ z max ＝－14(－12)2－7＝29 13. (2－23，2)∪(2,2＋23) 解析：由题意以A (2,2)为圆心1为半径的圆与以B (m,0)为圆心3为半径的圆相交，∴ 4<(m －2)2＋4<16， ∴ －23＋2<m <23＋2，且m ≠2. 14. {2} 解析：题中条件等价于⎩⎪⎨⎪⎧(k －1)x －1≥0，(k －1)x －1≤(x ＋1)ln x . 对∀x ∈[1,2e]恒成立，∴ k ≥2 ①，且k －1≤1x ＋(x ＋1)x ln x 在[1,2e]上恒成立，令y ＝1x ＋⎝⎛⎭⎫1x＋1ln x ，y ′＝x －ln xx 2>0，在x ∈[1,2e]上恒成立，即y 在[1,2e]上递增，∴ y min ＝1，∴ k －1≤1， ∴ k ≤2 ②，由①②知k ＝2.15. 解：(1) ∵ cos2C ＝1－8b 2a2， ∴ sin 2C ＝4b 2a 2. ∵ C 为三角形内角，∴ sin C ＞0.∴ sin C ＝2ba .(2分)∵ a sin A ＝b sin B ， ∴ b a ＝sin B sin A. ∴ 2sin B ＝sin A sin C .(4分) ∵ A ＋B ＋C ＝π，∴ sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C .∴ 2sin A cos C ＋2cos A sin C ＝sin A sin C .(6分)∵ sin A ·sin C ≠0，∴ 1tan A ＋1tan C ＝12.(8分) (2) ∵ 1tan A ＋1tan C ＝12，∴ tan A ＝2tan Ctan C －2.(10分)∵ A ＋B ＋C ＝π，∴ tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C＝tan 2C2tan 2C －tan C ＋2. ∴ 815＝tan 2C 2tan 2C －tan C ＋2， 整理，得tan 2C －8tan C ＋16＝0.(12分) 解得tan C ＝4.∴ tan A ＝4.(14分)16. (1) 证明：∵ AA 1∥CC 1且AA 1＝CC 1，∴ AC ∥A 1C 1且AC ＝A 1C 1.(2分)∵ O 1、O 分别是A 1C 1、AC 的中点， ∴ OC ∥A 1O 1且OC ＝A 1O 1.∴ 四边形A 1O 1CO 为平行四边形． ∴ A 1O ∥O 1C .(4分) 又A 1O ⊄平面CB 1D 1，O 1C ⊂平面CB 1D 1， ∴ A 1O ∥平面CB 1D 1.(6分)(2) 解：(方法1)等积变换．设点O 到平面CB 1D 1的距离为h . ∵ D 1D ⊥平面ABCD ，∴ D 1D ⊥CO . ∵ AC 、BD 为菱形ABCD 的对角线， ∴ CO ⊥BD .∵ D 1D ∩BD ＝D ，∴ CO ⊥平面BB 1D 1D .(8分) 在菱形ABCD 中，BC ＝1，∠BCD ＝60°，CO ＝32.∵ B 1D 1＝1，OB 1＝OD 1＝OB 2＋BB 21＝1＋14＝52，∴ △OB 1D 1的面积S △OB 1D 1＝12. ∴ 三棱锥C —OB 1D 1的体积V ＝13S △OB 1D 1·CO ＝312.(11分)在△CB 1D 1中，CB 1＝CD 1＝2，B 1D 1＝1，△CB 1D 1的面积S △CB 1D 1＝74.由V ＝13S △CB 1D 1·h ＝13·74·h ＝312，得h＝217.因此，点O 到平面CB 1D 1的距离为217.(14分) (方法2)作垂线．∵ AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， ∴ AA 1⊥B 1D 1.∵ A 1C 1、B 1D 1为菱形A 1B 1C 1D 1的对角线，∴ B 1D 1⊥A 1C 1.∵ AA 1∩A 1C 1＝A 1， ∴ B 1D 1⊥平面AA 1C 1C .∴ 平面CB 1D 1⊥平面AA 1C 1C .(8分) 在平面AA 1C 1C 内，作OH ⊥CO 1，H 为垂足，则OH ⊥平面CB 1D 1，线段OH 的长为点O 到平面CB 1D 1的距离．(10分)在矩形AA 1C 1C 中，∠OCH ＝∠CO 1C 1，sin ∠CO 1C 1＝CC 1CO 1＝172＝27，sin ∠OCH ＝OH OC ＝OH 32＝2OH3，(12分)∴ 27＝2OH 3，OH ＝217.因此，点O 到平面CB 1D 1的距离为217.(14分) 17. 解：(1) 当150＜x ≤200(x ∈N *)时， u (x )＝150－(x －150)＝300－x . 此时，u (200)＝100.(2分)。
江苏省重点学校2011届高三第一次调研联考数学测试试卷及答案解析(原始打印版)
江苏省重点学校2011届高三第一次调研联考数学测试试卷参考公式:一组样本数据n x x x ,,,21 ，方差2211()ni i s x x n ==-∑一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．命题p :2,2x R x ∃∈>，则命题p 的否定为 ▲ . 2．若复数i i i z 其中,2)1(=+是虚数单位，则复数z z ⋅= ▲ .3．已知函数2,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，则((2))f f -= ▲ . 4．若123123,,,,2,3,3,3,,3n nx x x x x x x x 的方差为则的方差为 ▲ .5．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为6．已知3tan(),45παα+=则tan = ▲ .7．直线110,l x ky -+=:210l kx y -+=:，则1l ∥2l 的充要条件是 ▲ .8．已知|a |=3，|b |=4，(a +b )⋅(a +3b )=33，则a 与b 的夹角为 .9．如果执行右面的程序框图，那么输出的S = ▲ .10．设1F 和2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，若1F ，2F ，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 ▲ .11．函数2cos y x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取最大值时，x 的值是___▲___． 12．我们知道若一个边长为a ，面积为S 的正三角形的内切圆半径23Sr a =，由此类比，若一个正四面体的一个面的面积为S ,体积为V ,则其内切球的半径r = ▲ .13．设12a =，121n n a a +=+，211n n n a b a +=--，*n∈b 14．图为函数()1)f x x =<<的图象，其在点(())M t f t ，l l y 处的切线为，与轴和直线1=y 分别交于点P 、Q ，点N(0，1)，若△PQN 的面积为b时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为 ▲ .二、解答题:本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分) 已知函数21()2cos 22f x x x x =--∈R ，．(Ⅰ)求函数()f x 的最小值和最小正周期；(Ⅱ)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且()0c f C ==，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，AD CD =，DB 平分ADC ∠，E 为PC 的中点．(Ⅰ)证明://PA BDE 平面； (Ⅱ)证明:AC PBD ⊥平面．17. (本小题满分15分)如图,某小区准备在一直角围墙ABC 内的空地上植造一块“绿地ABD ∆”,其中AB 长为定值a ,BD 长可根据需要进行GFDC A DCBPE调节(BC 足够长).现规划在ABD ∆的内接正方形BEFG 内种花,其余地方种草,且把种草的面积1S 与种花的面积2S 的比值12S S 称为“草花比y ”.(Ⅰ)设DAB θ∠=,将y 表示成θ的函数关系式； (Ⅱ)当BE 为多长时,y 有最小值?最小值是多少?18. (本小题满分15分)已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设Q为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.19．(本小题满分16分)已知函数()ln a f x x x =-.(Ⅰ)求函数()f x 的单调增区间；(Ⅱ)若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为32，求实数a 的值；(Ⅲ)若函数2()f x x <在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 的首项为b ，公比为a (其中,a b 均为正整数)． (Ⅰ) 若1122,a b a b ==，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若1213,,,k n n n a a a a a ，，，12(3)k n n n <<<<<成等比数列，求数列{}k n 的通项公式；(Ⅲ) 若11223a b a b a <<<<，且至少存在三个不同的b 值使得等式()m n a t b t N +=∈成立，试求a 、b 的值．附加题部分(满分40分) 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题；每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4－1:几何证明选讲如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P ． (1)求证:PM2=PA·PC ；(2)若⊙O 的半径为，，求MN 的长．OCM NA PB （第1题）考试证号———————————————————————B ．选修4－2:矩阵与变换试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，N =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦．C ．选修4－4:坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O:cos sin ρθθ=+和直线sin 4l ρθπ⎛⎫-=⎪⎝⎭:． (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当(0,)θ∈π时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．D ．选修4－5:不等式选讲用数学归纳法证明不等式:211111(1)12n n n n n n *++++>∈>++N 且．【必做题】第22题，23题，每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；(2)设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随机变量ξ的期望)(ξE ．23．已知点F(0，1)，点P 在x 轴上运动，M 点在y 轴上，N 为动点，且满足0PM PF ⋅=， PN PM +=0．(1)求动点N 的轨迹C 方程；(2)由直线y= -1上一点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为A ，B ，求证:AQ ⊥BQ ．参考答案1、2,2x R x ∀∈≤ 2、2 3、4 4、18 5、1100 6、14-7、1- 8、120︒ 9、650 10、2 11、6π 12、34V S 13、201221- 14、18,427⎛⎫⎪⎝⎭ 15．解:(1)1cos 21()2sin 21226x f x x x +π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， (3分)则()f x 的最小值是－2，(4分)最小正周期是22T π==π；(6分)(2)()sin 210,sin 2166f C C C ππ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则， 110,022,2666C C C ππ<<π∴<<π∴-<-<π， 2,623C C πππ∴-==， (8分)sin 2sin B A =， 由正弦定理，得12a b =，① (10分) 由余弦定理，得222222cos ,33c a b ab a b abπ=+-=+-即， ②由①②解得1,2a b ==． (14分) 16．证明:(1)连结AC ，设ACBD H =，连结EH ，在ADC ∆中，因为AD CD =，且DB 平分ADC ∠，所以H 为AC 的中点，又∵E 为PC 的中点， ∴//EH PA ，……………………………4分 又EH BDE ⊂平面，且PA BDE ⊄平面， ∴//PA BDE 平面；……………………7分 (2)∵PD ABCD ⊥平面，AC ABCD ⊂平面， ∴PD AC ⊥，由(1)得BD AC ⊥， 又PDDB D =， 故AC PBD ⊥平面．……………14分17. 解:(Ⅰ)因为tan BD a θ=,所以ABD ∆的面积为21tan 2a θ((0,)2πθ∈)…(2分) 设正方形BEFG 的边长为t ,则由FG DG AB DB =,得tan tan t a t aa θθ-=,解得tan 1tan a t θθ=+,则2222tan (1tan )a S θθ=+…………………………………………………………(6分)所以222212211tan tan tan 22(1tan )a S a S a θθθθ=-=-+,则212(1tan )12tan S y S θθ+==- (9分)(Ⅱ)因为tan (0,)θ∈+∞,所以1111(tan 2)1(tan )2tan 2tan y θθθθ=++-=+1≥… (13分) 当且仅当tan 1θ=时取等号,此时2aBE =.所以当BE 长为2a时,y 有最小值1…………………………… (15分) 18. 解:(Ⅰ)设圆心C (,)a b ,则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩,解得00a b =⎧⎨=⎩…………… (3分) 则圆C 的方程为222x y r +=,将点P 的坐标代入得22r =,故圆C 的方程为222x y +=…………………… (5分) (Ⅱ)设(,)Q x y ,则222x y +=,且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++… (7分) =224x y x y +++-=2x y +-,所以PQ MQ ⋅的最小值为4-(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)(Ⅲ)由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设:1(1)PA y k x -=-,:1(1)PB y k x -=--,由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩,得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--= …………………………………………(11分)因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22211A k k x k --=+………… (13分) 同理,22211B k k x k +-=+, 所以(1)(1)2()1B A B A B A AB B A B A B Ay y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====---=OP k所以,直线AB 和OP 一定平行……………………………………(15分)19、解:(1)由题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，且221()a x a f x x x x +'=+=．……2分①当0a ≥时，()0f x '>，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞．………………(3分) ②当0a <时，令()0f x '>，得x a >-，∴()f x 的单调增区间为(,)a -+∞．…4分(2)由(1)可知，2()x af x x +'=①若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[1,]e 上恒成立，()f x 在[1,]e 上为增函数，∴min 3[()](1)2f x f a ==-=，∴32a =-(舍去)．…………… (6分) ②若a e ≤-，则0x a +≤，即()0f x '≤在[1,]e 上恒成立，()f x 在[1,]e 上为减函数，∴min 3[()]()12a f x f e e ==-=，∴2e a =-(舍去)．………………………8分 ③若1e a -<<-，当1x a <<-时，()0f x '<，∴()f x 在(1,)a -上为减函数， 当a x e -<<时，()0f x '>，∴()f x 在(,)a e -上为增函数，∴min 3[()]()ln()12f x f a a =-=-+=，∴a =综上所述，a =………………………………………………………………10分(3)∵2()f x x <，∴2ln ax x x -<．∵0x >，∴3ln a x x x >-在(1,)+∞上恒成立……………………………12分令32()ln ,()()1ln 3g x x x x h x g x x x '=-==+-，则2116()6x h x x x x -'=-=. ∵1x >，∴()0h x '<在(1,)+∞上恒成立，∴()h x 在(1,)+∞上是减函数，∴()(1)2h x h <=-，即()0g x '<，∴()g x 在(1,)+∞上也是减函数，∴()(1)1g x g <=-．∴当2()f x x <在(1,)+∞恒成立时，1a ≥-．……………………………………16分20．解:(Ⅰ)由1122,a b a b ==得:a ba b ab=⎧⎨+=⎩，解得:0a b ==或2a b ==，,a b N +∈， 2a b ∴==，从而2,2nn n a n b ==…………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得132,6a a ==，∴1213,,,k n n n a a a a a ，，，构成以2为首项，3为公比的等比数列，即:123k k n a +=⋅ ……………………………………………………… 7分1223k k n +=⋅，13k k n +∴=…………………………………………10分(Ⅲ) 由11223a b a <<<得:2a b a b ab a b <<+<<+，由a b ab +<得:()1a b b->；由2ab a b <+得:()12a b b-<，而*,,a b N a b ∈<，即:1b a >≥，从而得:12211241111b b a b b b b <+=<<=+≤----，2,3a ∴=，当3a =时，2b =不合题意，故舍去，所以满足条件的2a =. …………………………………………………………………12分 又2(1)m a b m =+-，12n n b b -=⋅，故()1212n b m t b -+-+=⋅，即:()1212n m b t--+=+①若1210n m --+=，则2t N =-∉，不合题意；………………………………… 14分②若1210n m --+≠，则1221n t b m -+=-+，由于121n m --+可取到一切整数值，且3b ≥，故要至少存在三个b 使得()m n a t b t N +=∈成立，必须整数2t +至少有三个大于或等于3的不等的因数，故满足条件的最小整数为12，所以t 的最小值为10，此时3b =或4或12…………………………………………………………………16分附加题部分21． A ．(1)证明:连结ON ．∵PN 切⊙O 于N ，∴∠ONP=90°．∴∠ONB+∠BNP=90°． ∵OB=ON ，∴∠OBN=∠ONB ．∵BO ⊥AC 于O ，∴∠OBN +∠BMO=90°．∴∠BNP=∠BMO=∠PMN ，∴PM=PN ． ∴PM2=PN2=PA·PC ．………………………………………………………5分(2)解:OM=2，BO=BM=4．∵BM·MN=CM·MA=(+2)(-2)=8，∴MN=2．………………………………10分B ．解:MN = 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=10202⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，---------------------------------------------------4分即在矩阵MN 变换下122x x x y y y ⎡⎤''⎡⎡⎤⎤⎢⎥→=⎢⎢⎥⎥⎢⎥''⎦⎦⎣⎣⎢⎦⎣，-------------------------------------7分 则1sin 22y x ''''=，即曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =．----------10分C ．解:(1)圆O:cos sin ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+， 圆O 直角坐标方程为:22x y x y +=+，直线sin 4l ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭:， 即sin cos 1ρθρθ-=，则直线l 的直角坐标方程为:1y x -=； --------------------------------------6分(2)由220,10,x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩得0,1,x y =⎧⎨=⎩故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1,)2π．----------------------------------10分D ．证明:(1)当2n =时，左边＝11113123412++=>，∴2n =时成立； ----------3分(2)假设当(2)n k k =≥时成立，即21111112k k k k ++++>++， 那么当1n k =+时，左边2221111()11(1)k k k k =++++++++ 222111111()11(1)k k k k k k =++++++-+++2221111(21)111(1)k k k k k k k -->++⋅-=+>++，∴1n k =+时也成立， --------------------------------------8分根据(1)(2)可得不等式对所有的1n >都成立． ---------------------------10分22．解:(1)分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件1A 、2A 、3A ；E 表示事件“恰有一人通过笔试”，则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++0.60.50.60.40.50.60.40.50.4=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.38=；--------------5分(2)解法一:因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，，故()30.30.9E np ξ==⨯=．------------10分 解法二:分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件AB C ，，， 则()()()0.3P A P B P C ===所以2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=，3(3)0.30.027P ξ===． 于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=．23．解:(1)设N(x ，y)．因PN PM +=0，故P 的坐标为(2x，0)，M(0，-y)，于是，(,)2x PM y =--，(,1)2x PF =-， 因0PM PF ⋅=，即得曲线C 的方程为x2=4y ； -------------------5分(2)设Q(m ，-1)．由题意，两条切线的斜率k 均存在，故可设两切线方程为y=k(x-m)-1， 将上述方程代入x2=4y ，得x2-4kx+4km+4=0，依题意，∆=(-4k)2-4(4km+4)=0，即k2-mk-1=0，上述方程的两根即为两切线的斜率，其积为-1，即它们所在直线互相垂直． -------------------10分。