同济版高数下册第八至十二章复习要点

0 0 0
dx
Fy
z
0
0
0
x
y
b.
方程组形式：不必记公式，参考课堂例题解法即可. 高阶偏导数的定义及计算：p69 函数 z = f ( x, y) 的二阶混合偏导数相等的充分条件：若二阶混合偏导数 ∂∂y∂zx 、 ∂∂x∂zy 都连续，则
2 2
∂x
Fz
∂y
Fz
全微分
设函数 定义：
∂2 z ∂2 z = . ∂y∂x ∂x∂y z = f ( x, y )
切向量 法向量
T = (1 , ϕ ′( x) , ψ ′( x))
切线方程： x −1 x 法平面方程：
0
=
y − y0 z − z0 = ϕ ′( x 0 ) ψ ′( x 0 )
空间曲面
Σ：
F ( x, y , z ) = 0
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ) )
(α ≤ t ≤ β ) y = ϕ ( x) z = ψ ( x)
切向量
T = (ϕ ′(t 0 ) , ψ ′(t 0 ) , ω ′(t 0 ))
x−x y−y z−z 切线方程： ϕ = = ′(t ) ψ ′(t ) ω ′(t )
0 0 0 0 0 0
法平面方程：
ϕ ′(t 0 ) ( x − x0 ) + ψ ′(t 0 ) ( y − y 0 ) + ω ′(t 0 )( z − z 0 ) = 0
旋转曲面、柱面方程，空间曲线在坐标面上的投影，利用平面束方程求空间直线及平面方程…
第九章 多元函数微分法及其应用
多元函数 概念、极限、连续性 的基本概 念 设 z = f ( x, y) 在点 P ( x , y ) 的某邻域内有定义，若极限 偏导数 定义： f ( x + ∆x, y ) − f ( x , y )
Ax + By + Cz + D = 0
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高等数学（下）
点法式Biblioteka 期末总复习A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C( z − z0 ) = 0
点向式
x − x0 y − y0 z − z 0 = = m n p
x − x1
三点式
y − y1 y2 − y1 y3 − y1
z − z1 z2 − z1 = 0 z3 − z1
切平面方程： 法线方程：
期末总复习
f x ( x 0 , y 0 )( x − x0 ) + f y ( x 0 , y 0 )( y − y 0 ) − ( z − z 0 ) = 0
n = ( f x ( x0 , y0 ) , f y ( x0 , y0 ) , − 1 )
x − x0 y − y0 z − z0 = = f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) −1
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高等数学（下）
第十章 重积分
期末总复习
积分类型
计算方法 （1） 利用直角坐标系 (“投影、穿越”) X—型 ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy
点 M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
投影
a ⋅b b
平面
法向量 n = { A, B, C } 方程名称 一般式 点 M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
直线
方向向量 T = {m , n, p} 方程名 称 一般式
方程形式及特征
方程形式及特征
A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
cosϕ = m1m2 + n1n2 + p1 p2 m +n + p ⋅ m +n + p
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
s = {m, n, p}
sin ϕ =
2 2
Am + Bn + Cp A + B + C 2 ⋅ m2 + n2 + p 2
空间曲线 Γ ：
x = ϕ (t )， y = ψ (t )， z = ω (t )，
0 0 0 x 0 0 0 0 0
∆x → 0
lim
0
0
0
0
∆x
隐函数存在定理 1：设函数 F ( x, y) 在点 P ( x , y ) 的某一邻域内具有连续偏导数，且 F (x , y ) = 0 ， F (x , y ) ≠ 0 ， 则方程 F ( x, y ) = 0 在点 P ( x , y ) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y = f ( x) ，满 足条件 F dy y = f ( x ) ，且 =− .
a = ax 2 + a y 2 + az 2
c = a + b = {ax ± bx , a y ± by , a z ± bz }
和差
c =a+b
单位向量
c=a b
－
a ≠ 0 ，则 ea =
a a
ea =
( ax , a y , az ) ax 2 + a y 2 + az 2 ax a ，cosβ = ay a ，cosγ = az a
0
2 0 0 0 ( x0 , y0 )
+ ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) ∆z = A ⋅ ∆x + B ⋅ ∆y + o( ρ )
，若它可以表示成
期末总复习
dz =
∂z ∂z dx + dy . ∂x ∂y
二元函数 连续、可 导、可微 三者之间 的关系
∂z ∂z ， 在 P( x, y) 处存在且连续，则函数 可微的充分条件：若函数 z = f ( x, y) 的两个偏导数 ∂ x ∂y z = f ( x, y ) 在点 P ( x, y ) 处可微. u ∂u ∂u dx + dy + dz . 全微分叠加原理：p75.： u = f ( x, y, z ) ， du = ∂ ∂x ∂y ∂z 全微分形式不变性：p84.
方向余弦
设 a 与 x, y , z 轴的夹角分别为 α，β，γ ，则方向余弦分别为
cos α =
cos α，cosβ，cosγ
ea = ( cos α，cosβ，cosγ )
cos 2 α +cos2 β + cos2γ = 1
点乘（数量 积） 叉乘（向量 积）
a ⋅ b = a b cosθ ， θ 为向量 a 与 b 的夹角 c = a b sin θ θ 为向量 a 与 b 的夹角 向量 c 与 a ， b 都垂直
0 0 0
存在，则称此极限为二元函数 z = f ( x, y) 在点 P ( x , y ) 处关于 x 的偏导数，记作 f ( x , y ) … 几何意义：p68：曲线 z = f ( x, y) 在 P ( x , y ) 处的切线对 x 轴的斜率. 计算方法： （1）基本方法 （2）复合函数求导法则：a.两个中间变量、两个自变量；b.两个或以上中间变量、一个自变量；c. 其他 （3）隐函数求导公式 a.单个方程形式：
两点式 线线垂 直 线线平 行 线面平 行 参数式
x2 − x1 x3 − x1
x = x 0 + mt y = y 0 + nt z = z + pt 0
x − x0 y − y0 z − z0 = = x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0
截距式 面面垂直 面面平行
x y z + + =1 a b c
0 0 0 0 0 y
0 0 0 0 0
x
0
0
隐函数存在定理 2：设方程 F ( x, y, z ) = 0 .条件： F ( x , y , z ) = 0 ， F ( x , y , z ) ≠ 0 . 结论：存在一个 连续且具有连续导数的函数 z = f ( x, y) ，满足 F F ∂z ∂z =− ， =− .
x − x0 y − y0 z − z0 = = Fx ( x 0 , y 0 , z 0 ) F y ( x 0 , y 0 , z 0 ) Fz ( x 0 , y 0 , z 0 )
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高等数学（下）
z = f ( x, y )
n = ( − f x ( x0 , y0 ) ,
或
− f y ( x0 , y0 ) , 1 )
a ⊥ b ⇔ a⋅b = 0 a // b ⇔ a × b = 0
a ⋅ b = a x bx + a y b y + a z b z
i a × b = ax bx
j ay by
k az bz
c = a×b
垂直 平行
定理与公式
a ⊥ b ⇔ a x bx + a y b y + a z bz = 0
n1 = { A1 , B1 , C1} n2 = { A2 , B2 , C2 }
cos θ= | A1 A2 + B1B2 + C1C2 | A + B + C ⋅ A2 + B2 + C2
2 1 2 1 2 1 2 2 2
s1 = {m1 , n1 , p1 } s 2 = {m2 , n2 , p 2 }
方向导数 方向导数的定义、存在的充分条件（p104:可微分） ； 与梯度 梯度的定义、及其与方向导数之间的关系（p107：沿着梯度方向，方向导数变化最快） 微分法的 几何应用： （参看第八章表格） 应用 （1）空间曲线的切线与法平面 （2）曲面的切平面与法线 多元函数的极值及其方法： （1）定义：p112. （2）取极值的必要条件：设多元函数具有偏导数，若在某点处取极值，则在该极值点处偏导数必 为零. （3）取极值的充分条件：p113. （4）无条件极值 （5）条件极值：利用拉格朗日乘数法，p117. （6）最值