正锥体的一个性质
圆锥体的认识与性质
圆锥体的认识与性质圆锥体是一种三维几何体，它由一个平面底和一个顶点组成，底是一个圆，顶点位于底的正上方。
在圆锥体中，我们可以探索其形状、性质以及在现实生活中的应用。
本文将介绍圆锥体的认识与性质。
一、圆锥体的形状与构成圆锥体由两个基本构成部分组成：底面和侧面。
底面是一个平面圆，起到了圆锥体的稳定作用。
而侧面则连接底面和顶点，形成了完整的几何体。
圆锥体的形状特点是：底面是一个圆，侧面由多条直线段组成。
侧面上的直线段从顶点连到底面上对应的点，使得圆锥体的形状呈锥状，顶点位于底面正上方。
二、圆锥体的性质1. 顶角特性：圆锥体的顶角是其最尖锐的角，通常位于顶点。
顶角决定了圆锥体的形状的尖锐程度，当顶角为直角或钝角时，圆锥体的形状将相应变得平缓或扁平。
2. 相似性：与其他几何体一样，圆锥体也具有相似性质。
具有相似性质的圆锥体在比例缩放下，其形状保持不变，即便形状尺寸变大或变小，锥的形状仍然保持相同。
3. 体积计算：圆锥体的体积可通过公式计算。
圆锥体的体积公式为V = (1/3)πr²h，其中V代表体积，π代表圆周率，r代表底面半径，h代表圆锥体的高度。
4. 表面积计算：圆锥体的表面积也可以通过公式计算。
表面积公式为S = πr² + πrl，其中S代表表面积，π代表圆周率，r代表底面半径，l代表从底面到顶点的斜高度。
三、圆锥体的应用圆锥体在现实生活中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 圆锥形的建筑物：许多建筑物采用圆锥体的形状设计，如塔楼、钟塔、灯塔等。
这些建筑物不仅具有美观的外形，还能提供强大的结构支撑。
2. 圆锥形的容器：圆锥形容器常用于起到集中物体的作用，如漏斗、聚光灯罩等。
由于圆锥体的形状，物体可以集中到底面所在的点，以便进行倾倒或集中。
3. 圆锥形的交通标志：许多道路上的交通标志采用圆锥体的形状设计，如交通锥、道路锥等。
这些圆锥形标志可以引导和警示交通参与者，提高道路安全性。
立体图形知识点梳理总结
立体图形知识点梳理总结立体图形是指在三维空间中存在的图形。
它具有体积和表面积的概念。
立体图形是立体几何的研究对象，包括了各种各样的形态，如立方体、长方体、圆柱体、球体、锥体等等。
掌握立体图形的知识对于学生学习数学和物理都是非常重要的。
本文将系统地总结立体图形的相关知识点，包括定义、性质、计算公式等内容，帮助读者更好地理解和掌握立体图形的概念。
一、基本概念1. 立体图形的定义立体图形是在三维空间中存在的图形。
它具有长度、宽度和高度三个方向。
立体图形由许多平面图形组成，例如长方体由6个矩形组成，圆柱体由两个平行的圆面和一个侧面组成。
2. 常见立体图形的名称和特点（1）长方体- 定义：长方体是六个面都是矩形的立体图形。
- 性质：长方体的体积为长×宽×高，表面积为2×(长×宽+长×高+宽×高)。
（2）正方体- 定义：正方体是六个面都是正方形的立体图形。
- 性质：正方体的体积为边长的立方，表面积为6×(边长的平方)。
（3）圆柱体- 定义：圆柱体是由两个相同的平行圆面和一个侧面组成的立体图形。
- 性质：圆柱体的体积为底面积×高，表面积为2×底面积+侧面积。
（4）球体- 定义：球体由无数个与球心距离相等的点组成的立体图形。
- 性质：球体的体积为4/3×π×半径的立方，表面积为4×π×半径的平方。
（5）圆锥体- 定义：圆锥体是由一个圆锥面和一个底面组成的立体图形。
- 性质：圆锥体的体积为1/3×底面积×高，表面积为π×底面半径×斜高+底面积。
二、计算公式1. 计算立体图形的体积和表面积（1）长方体的体积和表面积计算公式- 体积：V=长×宽×高- 表面积：S=2×(长×宽+长×高+宽×高)（2）正方体的体积和表面积计算公式- 体积：V=边长的立方- 表面积：S=6×(边长的平方)（3）圆柱体的体积和表面积计算公式- 体积：V=底面积×高- 表面积：S=2×底面积+侧面积（4）球体的体积和表面积计算公式- 体积：V=4/3×π×半径的立方- 表面积：S=4×π×半径的平方（5）圆锥体的体积和表面积计算公式- 体积：V=1/3×底面积×高- 表面积：S=π×底面半径×斜高+底面积2. 其他常见立体图形的计算公式（1）平面图形组成的立体图形的计算- 若一个立体图形由多个平面图形组成，可以通过计算每个平面图形的面积和相加来得到立体图形的体积和表面积。
圆锥体的定义
圆锥体的定义圆锥体是一种几何体，它由一个底面为圆的平面图形与一个顶点连线相交形成。
圆锥体有许多特性和应用，是几何学中重要的研究对象之一。
一、形状特征圆锥体的形状特征主要由底面和侧面决定。
底面是一个圆，而侧面则是由底面上的每个点与顶点连线所形成的三角形。
这些三角形共同构成了圆锥体的侧面。
顶点是圆锥体的顶端，它位于侧面上所有三角形的交点处。
二、分类根据圆锥体的底面形状，我们可以将圆锥体分为不同的类型：1. 圆锥：底面为圆的圆锥体。
2. 正圆锥：底面为正圆的圆锥体。
3. 椭圆锥：底面为椭圆的圆锥体。
4. 正椭圆锥：底面为正椭圆的圆锥体。
5. 非正圆锥：底面为非圆形的圆锥体。
三、性质与公式圆锥体有许多性质与公式，下面介绍其中几个重要的：1. 体积：圆锥体的体积公式为V = 1/3 * π * r^2 * h，其中r为底面半径，h为圆锥体的高度。
2. 曲面积：圆锥体的曲面积公式为S = π * r * (r + l)，其中r为底面半径，l为斜高。
3. 母线：圆锥体的母线是连接顶点与底面上各点的线段，它是圆锥体最长的一条线段。
4. 母线长度：母线长度公式为L = √(h^2 + r^2)，其中r为底面半径，h为圆锥体的高度。
5. 直母线：直母线是与底面平行且经过顶点的线段。
6. 斜高：斜高是底面上任意一点到圆锥体顶点的距离，它与底面上的半径构成直角三角形。
四、应用圆锥体广泛应用于各个领域，以下是一些常见的应用场景：1. 圆锥形容器：圆锥形容器常用于储存颗粒状物体，如谷物、瓜果等。
圆锥形状可以方便物体的倾倒和取出。
2. 圆锥形建筑：一些建筑物，如教堂尖顶、塔楼等，常采用圆锥形状，以增加建筑物的美观性和独特性。
3. 圆锥形雪堆：在雪地中，圆锥形雪堆是一种常见的现象。
当雪花堆积在一起时，由于重力作用，雪堆会逐渐形成圆锥形状。
4. 圆锥形器具：一些实验室器具和工具，如漏斗、喷嘴等，常采用圆锥形状，以便于物质的流动和控制。
圆锥体的认识
圆锥体的认识圆锥体是一种几何图形，由一个平面（底面）和一个不在同一平面上的点（顶点）构成。
底面为圆形，顶点与底面中心相连的线段为高，顶点到底面上任意一点的线段称为母线。
圆锥体可以看作是一个将一个直角三角形绕其一个直角边旋转一周所形成的几何立体。
圆锥体的性质1. 圆锥体的底面是一个圆，其半径可以为任意值。
2. 圆锥体的侧面是由顶点与底面上的点相连形成的直线段，所以圆锥体的侧面是一个弯曲的三角形。
3. 圆锥体的高是指从顶点到底面的距离，可以垂直于底面或不垂直于底面。
圆锥体的体积圆锥体的体积计算公式为：V = (1/3)πr²h其中，V表示圆锥体的体积，r表示圆锥体底面圆的半径，h表示圆锥体的高。
圆锥体的表面积圆锥体的表面积计算公式为：S = πr² + πrl其中，S表示圆锥体的表面积，r表示底面圆的半径，l表示母线的长度。
圆锥体的分类根据底面与母线的位置关系，圆锥体可以分为以下几类：1. 直圆锥体：底面的圆心和顶点连线垂直于底面，即底面圆的半径与高线重合。
2. 斜圆锥体：底面的圆心和顶点连线不垂直于底面，即底面圆的半径与高线不重合。
3. 正圆锥体：底面为一个半径为r的圆，母线与底面平行。
4. 斜圆锥体：底面为一个半径为r的圆，母线与底面不平行。
圆锥体的应用圆锥体作为一种常见的几何图形，广泛应用于现实生活和各个领域中：1. 圆锥形的帐篷、帽子等日常用品使用了圆锥体的形状，使其具有更好的空间利用和视觉效果。
2. 圆锥形的交通锥、路障等设施用于指示道路边界和交通安全，起到警示作用。
3. 圆锥形的喇叭、扩音器等声学设备利用了圆锥体聚焦声波的特性，使声音传播更加集中和清晰。
4. 圆锥形的冰淇淋、蛋筒等美食利用了圆锥体的形状，方便食用和提供更好的口感。
在数学和工程领域，圆锥体也有广泛应用。
例如，在建筑工程中，园锥形的柱体常用于设计建筑物的柱子、钟楼等；在数学几何学中，圆锥体具有许多独特的性质和定理，是重要的研究对象。
小学数学知识归纳认识圆锥体和圆锥体的性质
小学数学知识归纳认识圆锥体和圆锥体的性质圆锥体是初等数学中一个重要的几何图形，它与圆有着密切的联系。
本文将归纳总结圆锥体的概念、性质以及在小学数学中的应用。
一、圆锥体的概念在几何学中，圆锥体是由一个平面沿一条封闭曲线（直角三角形的斜边）移动而形成的立体图形。
简单地说，圆锥体可以看作是一个封闭于尖顶和底面上的圆的立体。
二、圆锥体的性质1. 圆锥体的底面圆锥体的底面为一个圆，其半径与圆锥体的形状有关。
根据底面的不同形状，圆锥体可以分为圆锥、正圆锥和斜圆锥。
2. 圆锥体的侧面圆锥体的侧面连接圆锥的顶点和圆锥体的底面上的点。
侧面可看作是由许多不相交的直线段组成的。
3. 圆锥体的顶点圆锥体的顶点是圆锥体的封闭曲线上的一个点，它与底面上的点以及侧面上的点都有一定的关系。
4. 圆锥体的高圆锥体的高是指圆锥体的顶点到底面垂直距离的长度，可用垂直高度来表示。
高度大小也与圆锥体的形状有关。
5. 圆锥体的体积圆锥体的体积计算公式为V = (1/3)πr²h，其中r为底面半径，h为高度。
根据不同底面的形状，计算公式也会有所变化。
三、圆锥体的应用圆锥体是几何学中的一个重要概念，在现实生活中也有广泛的应用。
以下是一些圆锥体的应用场景：1. 圆锥形的堆沙子当我们堆沙子或堆土的时候，由于松弛效应，堆放的形状通常呈圆锥形。
圆锥形的堆沙子在稳定性方面更有优势。
2. 圆锥形的路障在道路交通管理中，圆锥形的路障被广泛使用。
圆锥形的设计使其能够在道路上清晰可见，以提醒驾驶员注意安全。
3. 圆锥形的帽子圆锥形的帽子在日常生活中非常常见，一般由圆锥体的形状和底面的圆帽组成。
帽子可随着个人的品味和需求而具有不同的外观设计。
综上所述，圆锥体是小学数学中重要的几何图形之一，它与圆的关系密切，具有许多独特的性质和应用。
通过学习圆锥体的概念和性质，我们能够更好地理解和应用于实际生活中的问题。
几何图形的分类与特征
几何图形的分类与特征几何学是研究空间和形状的数学学科，其中涉及到许多基本的几何图形。
几何图形可以根据其特征和性质进行分类，而这些分类对于我们理解和应用几何学非常重要。
本文将介绍几何图形的分类方式，以及各个图形的特征和性质。
一、基本几何图形的分类基本几何图形是指构成几何学研究的基础的图形，包括点、线、面和体。
根据几何图形的维度和特征，可以将基本几何图形进行分类。
1. 点（Point）：点是最基本的几何图形，它是空间中的一个位置，没有长度、宽度和高度。
点可以用字母表示，例如A、B、C等。
2. 线（Line）：线是由无限多个点构成的直线，它没有宽度和厚度。
线可以用字母表示，例如AB、CD等。
3. 面（Plane）：面是由无限多个线构成的平面，它有长度和宽度，但没有厚度。
面可以用大写字母表示，例如平面P、平面Q等。
4. 体（Solid）：体是由无限多个面构成的立体图形，它有长度、宽度和厚度。
体可以用大写字母表示，例如立方体C、球体S等。
二、平面图形的分类与特征平面图形是由线组成的二维几何图形，包括直线、折线、封闭曲线和封闭图形。
根据平面图形的特征和性质，可以将平面图形进行分类。
1. 直线（Line Segment）：直线是由两个端点构成的线段，它是最简单的平面图形，没有弯曲、角度和曲线。
直线可以用带箭头的线段表示。
2. 折线（Polyline）：折线是由多条线段构成的线段，它是由一系列连接的线段组成的。
折线可以有任意多个角，但是不能有闭合形状。
折线可以用带箭头的线段表示。
3. 封闭曲线（Closed Curve）：封闭曲线是由一条曲线构成的线段，它始点和终点相同，并且形成一个封闭形状。
封闭曲线可以有任意多个角，但是不能有从内到外的洞。
封闭曲线可以用带箭头的线段表示。
4. 封闭图形（Closed Shape）：封闭图形是由封闭曲线构成的平面图形，它可以有一个或多个内部洞。
封闭图形可以用带箭头的线段表示。
根据封闭图形的边数和角数，可以进一步将封闭图形进行分类，例如三角形、四边形、多边形、圆等。
九年级数学下正圆锥体表面积和体积
九年级数学下正圆锥体表面积和体积引言本文将介绍九年级数学下的正圆锥体的表面积和体积的计算方法。
正圆锥体是一种常见的几何图形，了解其表面积和体积的计算方法对于研究几何学非常重要。
正圆锥体的定义和性质正圆锥体是由一个圆锥面和一个底面为圆的锥体。
其特点是底面和顶点之间的线段垂直于底面，并且所有的侧面都是等腰三角形。
表面积的计算方法正圆锥体的表面积由底面积和侧面积组成。
底面积是一个圆的面积，可以通过半径计算得出。
侧面积是由所有侧面的面积之和构成，每个侧面的面积为底面周长与母线的乘积的一半。
所以正圆锥体的表面积可以通过以下公式计算得出：表面积 = 圆底面积 + 侧面积表面积 = 圆底面积 + 底面周长 ×母线 / 2表面积= π × r^2 + π × r × l其中，π为圆周率，r为底面半径，l为母线的长度。
体积的计算方法正圆锥体的体积可以通过以下公式计算得出：体积 = 圆底面积 ×高 / 3体积= (π × r^2 × h) / 3其中，h为锥体的高度。
示例计算假设一个正圆锥体的底面半径r为5cm，锥体的高度h为8cm。
我们可以按照以下步骤计算其表面积和体积：1. 计算圆底面积：圆底面积= π × r^2= 3.14 × 5^2= 3.14 × 25= 78.5 cm^22. 计算侧面积：母线l = √(r^2 + h^2)= √(5^2 + 8^2)= √(25 + 64)= √89≈ 9.43 cm侧面积 = 底面周长 ×母线 / 2 = 2 ×π × r × l / 2= π × r × l= 3.14 × 5 × 9.43≈ 148.29 cm^23. 计算表面积：表面积 = 圆底面积 + 侧面积= 78.5 + 148.29≈ 226.79 cm^24. 计算体积：体积 = 圆底面积 ×高 / 3= 78.5 × 8 / 3= 628 / 3≈ 209.33 cm^3结论本文介绍了九年级数学下正圆锥体的表面积和体积的计算方法，并通过一个示例计算进行了说明。
初中数学知识归纳圆锥体的基本概念与性质
初中数学知识归纳圆锥体的基本概念与性质初中数学知识归纳：圆锥体的基本概念与性质圆锥体是数学中的一个重要几何概念，是由一个圆和一条与圆不在同一平面上的直线围成的立体。
在初中数学中，我们需要了解圆锥体的基本概念与性质。
本文将对圆锥体的定义、元素以及相关性质展开归纳和阐述。
1.圆锥体的定义圆锥体是由一个平面上的圆沿着一条不在同一平面上的直线旋转形成的立体。
其中，直线称为母线，圆为底面圆，旋转直线的一端为顶点。
圆锥体可以看作是一个有封闭边界的锥形，顶点位于顶部，底面圆位于底部。
2.圆锥体的元素圆锥体包含两个基本元素：底面圆和母线。
底面圆是一个平面上的圆，决定了圆锥体的形状和大小。
母线是通过顶点和底面圆上的各个点连成的线段，可以看作是圆锥体的轴线。
3.圆锥体的性质圆锥体有许多重要的性质，以下是其中一些常见的性质：3.1.高圆锥体的高是指从顶点到底面的最短距离。
对于任何圆锥体来说，其高都是唯一确定的。
在计算圆锥体的体积和表面积时，高是一个重要的参数。
3.2.侧面圆锥体的侧面是指连接顶点和底面上所有点的线段所形成的曲面。
侧面的形状取决于底面圆和高，可以是圆锥形、锥台形等。
3.3.正圆锥体与斜圆锥体根据锥轴与底面圆的位置关系，圆锥体可以分为正圆锥体和斜圆锥体两种情况。
当锥轴垂直于底面圆时，得到的圆锥体为正圆锥体；当锥轴与底面圆不垂直时，得到的圆锥体为斜圆锥体。
3.4.体积圆锥体的体积是指圆锥体所占据的三维空间大小。
根据圆锥体的定义，可以通过底面圆的半径和圆锥体的高来计算体积。
计算公式为V = (1/3)πr²h。
3.5.表面积圆锥体的表面积是指圆锥体所有表面的总面积。
包括底面圆的面积和侧面的面积。
计算公式为S = πr² + πrl，其中r为底面圆的半径，l为圆锥体的母线长度。
4.参考例题下面列举一些与圆锥体相关的例题，以帮助读者更好地理解圆锥体的基本概念与性质。
例题1：已知一个圆锥体的底面半径为6 cm，高为10 cm，求它的体积和表面积。
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在平时的解题活动中 ,注重反思总结 ,善 于从特殊的个案中觉察规律 ,提出猜想 ,通过 检验、证明等一系列科学方法 ,往往可得意外 收获,提炼出更一般的规律. 1 预备知识 (1)三角形周长为 p,面积为 S ,则内切圆半 径 r = 2S / p . (2) 棱锥的全面积为 S ,体积为 V ,则内切 球半径 r = 3V / S . (3) 正 n 边形内切圆半径为 R ,半径与各边 n−2 π , 夹角为 α ,边长为 a ,面积为 S ,则 α = 2n a = 2 R cot α , S = nR 2 cot α . 2 探索过程 (1) 圆锥内切球半径 r = 1 ,圆锥母线与底 面所成角为 2θ . 1) 当 θ 取何值时 , 圆锥体积 V 取得最小 值？ 2)是否存在一个 θ 值,使圆锥全面积 S ,体 积 V 同时取得最小值？ 解 1) 如图为圆锥轴截面 ,圆锥底面半径 R ,母线 l ,高为 h ,则 R = cot θ , h = cot θ tan 2θ , cot θ l= . cos2θ V = π R2 h / 3 = π cot 2 θ cot θ tan 2θ / 3 2π 8 = ≥ π, 2 2 3tan θ (1 − tan θ ) 3 当且仅当 θ = arctan( 2/2) 时,等号成立. ∴当 θ = arctan( 2/2) 时, Vmin = 8π / 3 . ② S = π Rl + π R 2 ・22・
8 r3 32 V= ⋅ ≥ r3 , 2 2 3 tan θ (1 − tan θ ) 3 S= 8r 2 ≥ 32r 2 . 2 tan θ (1 − tan θ )
2
一类点的轨迹方程的探求
福建漳州第一中学 林新建
∴当 θ = arctan( 2/2) 时, 32 1 Vmin = r3 , S min = 32r 2 ,且 Vmin = rSmin . 3 3 3 推测规律 定 理 正锥体(正 n 棱锥或圆锥)的内切球 半径 r 为定值 ,棱锥侧面( 或圆锥母线 ) 与底面 所成角为 2θ , 则当 θ = arctan( 2/2) 时 , 正锥 体的体积 V 和全面积 S 同时取得最小值,且 Vmin = rSmin / 3 . 证 明 当正锥体是圆锥时,由 2 中(1)表明 命题成立 . 当正锥体是正 n 棱锥时 ,设棱锥的 高为 h ,底面边长为 a ,底面内切圆半径为 R , n−2 记α = π , a = 2 R cot α ,则 S 底 = nR 2 cot α . 2n 又 R = r cot θ , h = R tan2θ = r cot θ tan2θ , 1 1 ∴ V = S底 h = nR2 cot α ⋅ r ⋅ cot θ tan θ . 3 3 2nr 3 cot α = 3tan 2 θ (1 − tan 2 θ ) 8nr 3 8 nr 3 n −2 cot α = cot π, ≥ 3 3 2n 当且仅当 θ = arctan( 2/2) 时,等号成立. ∴当 θ = arctan( 2/2) 时, 8nr 3 n −2 Vmin = cot π. 3 2n 3V nr 2 cot α 又∵ S = = 2 r tan θ (1 − tan 2 θ ) n−2 ≥ 8nr 2 cot π, 2n ∴当 θ = arctan( 2/2) 时, n−2 S min = 8nr 2 cot π . 2n 显然 Vmin = rSmin / 3 . 故命题得证.
2002 年高考文史类解几试题为: 已知点 P 到两个定点 M ( −1,0) ,N(1,0)距 离的比为 2 ,点 N 到直线 PM 的距离为 1,求 直线 PN 的方程. | PM | = 2也 本题中 ,| MN | =2 为定值 , | PN | 为定值 ,这是一类到定长线段两端点距离之 比为定值的点的轨迹问题. 为了探究这类问题的一般解法 ,本文给 出与此相关的几个定理. 定 理 1 到直线 y = t 上定长为 2a (a > 0) 的线段 M 1M 2 的两个端点 M 1 、 M 2 的距离之 比是一个正数 m( m ≠ 1) 的点的轨迹方程为 2am2 2aλ 2 ) + ( y − t )2 − 1 − m2 1 − λ 4a 2 m 2 = , (1 − m 2 ) 2 M M (其中 λ = 0 1 , λ ≠ 1 M 0 (0, t )) M0M2 (x + 证 明 在给定的直角坐标系里,设 M 1 ( c, t ) , 则 M 2 (2a + c, t ) , 设动点 M (x , y ) ,由题设 ( x − c) 2 + ( y − t ) 2 = m ⋅ [ x − (2a + c )]2 + ( y − t ) 2 化简整理得: (1 − m 2 ) x 2 + (1 − m 2 ) y 2 − 2[c (1 − m 2 ) − 2am 2 ]x −2(1 − m 2 )ty + (1 − m 2 )t 2 − m 2 (2a + c ) 2 + c 2 = 0 ∵ m ≠ 1 , ∴方程可化为: 2am2 (x + − c ) 2 + ( y − t )2 1 − m2 = 4a m 2 (1 − m ) 2
2 2
| MM 1 | =m, 得 | MM 2 |
,
・23・
正锥体的一个性质
+ π cot 2 θ cos2θ 2π = ≥ 8π , 2 tan θ (1 − tan 2 θ ) = π cot θ 当且仅当 θ = arctan( 2/2) 时 , S min = 8π .故存 在θ = arctan( 2/2) ,使 V 、S 同时取得最小值.. 点 评 上述结论对于棱锥是否成立呢？ Vmin 与 S min 有联系吗？ (2) 正三棱锥内切球半径 r = 1 ，侧面与底 面所成角为 2θ . ① 当 θ 取何值时 ,棱锥体积 V 取得最小 值？ ② 当 θ 取何值时 ,棱锥全面积 S 取得最 小值？ 解 ①过棱锥的斜高和高线作截面,设棱 锥斜高为 h ' ,高为 h ,底面边长为 a ,底面内切 圆半径为 R ,则 R = cot θ , h = cot θ tan 2θ , cot θ , h' = cos2θ a = 2 3R = 2 3cot θ . 1 3 2 ∴V = ⋅ a ⋅h 3 4 1 3 = ⋅ (2 3cot θ ) 2 cot θ tan 2θ 3 4 2 3 = ≥8 3, tan 2 θ (1 − tan 2 θ ) ∴当 θ = arctan( 2/2) 时, Vmin = 8 3 . 2)∵ S = 3V / r ，∴当 θ = arctan( 2/2) 时, S min = 3Vmin / r = 24 3 , ∴存在 θ = arctan( 2/2) ,使得 V 、S 同时 取得最小值. (3) 正四棱锥内切球半径 r 为定值 ,侧面 与底面所成角为 2θ . ① 求棱锥体积 V ,全面积 S 的最小值？ ② Vmin 与 S min 有何关系？ 略解 类似前一个问题可解得