2018届高三数学二轮复习课件：专题三三角函数与平面向量3.1三角函数的图像与性质
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第一部分 专题突破——破译命 题密码
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◎ 变式训练
1．已知点 Psin
3π 3π 落在角 θ 的终边上，且 θ∈[0,2π)，则 θ 的值为 ， cos 4 4 3π B. 4 7π D． 4
(
) π A.4 5π C. 4
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解析： (1)由角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称， 可得 β＝(2k＋1)π－α， k∈Z， 1 1 ∵sin α＝3，∴sin β＝sin[(2k＋1)π－α]＝sin α＝3. (2)由 sin α＋2cos α＝0，得 tan α＝－2. 所以 2sin αcos α－cos2α 2sin αcos α－cos2α ＝ sin2α＋cos2α 2tan α－1 －4－1 ＝ 2 ＝ ＝－1. tan α＋1 4＋1 1 答案： (1)3 (2)－1
专题三 三角函数与平面向量 第 1 课时 三角函数的图象与性质
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高考考查主要从以下方面进行： (1)三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析 式问题，主要以选择、填空题的形式考查，有时也会出现大题． (2)三角函数的性质，通常是给出函数解析式，先进行三角变换，将其 转化为 y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究其性质(如单调性、 值域、 对称性)， 或知道某三角函数的图象或性质求其解析式，再研究其他性质，既有 直接考查的客观题，也有综合考查的主观题.
2 11π B．ω＝3，φ＝－ 12 1 7π D．ω＝3，φ＝24
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2 2
kπ (3)诱导公式：在 2 ＋α，k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
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(1)(2017· 北京卷)在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始 1 边，它们的终边关于 y 轴对称．若 sin α＝3，则 sin β＝________； (2) 已 知 sin α ＋ 2cos α ＝ 0 ， 则 2sin αcos α － cos2α 的 值 是 ____________________________________．
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π 2．已知 α 为锐角，且 2tan(π－α)－3cos2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)
＝1，则 sin α 的值是( 3 5 A. 5 3 10 C. 10
) 3 7 B． 7 1 D．3
(2)图象变换： y＝sin x――――――→y＝sin (x＋φ)
平移|φ|个单位 向左φ>0或向右φ<0
――――――――――→y＝sin(ωx＋φ)
纵坐标不变
1 横坐标变为原来的ω ω>0倍
――――――――→y＝Asin(ωx＋φ)．
横坐标不变
纵坐标变为原来的AA>0倍
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(1)(2017· 天津卷)设函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中 ω>0，|φ|<π.
5π 11π 若 f 8 ＝2，f 8 ＝0，且 f(x)的最小正周期大于 2π，则(
)
2 π A．ω＝3，φ＝12 1 11π C．ω＝3，φ＝－ 24
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1.利用公式进行化简求值的策略 (1)利用诱导公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周— 化锐．特别注意函数名称和符号的确定． (2)利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则， 如切化弦、 化异为同、 化高为低、化繁为简等． 2．[警示] 使用三角函数诱导公式常见的错误有两个：一个是函数名称，一个 是函数值的符号.
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高考·题型突破
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题型一 三角函数的概念、诱导公式及基本关系 (1)三角函数：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sin y α＝y，cos α＝x，tan α＝x.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正 切，四余弦． sin α (2)同角关系：sin α＋cos α＝1，cos α＝tan α.
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解析： 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得 tan α＝ 3 10 3，故 sin α＝ 10 . 答案： C
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3 π cos 4π －cos 4 解析： tan θ＝ 3 ＝ π ＝－1， sin 4π sin 4 3π 3π 又 sin 4 >0，cos 4 <0， 7π 所以 θ 为第四象限角且 θ∈[0,2π)，所以 θ＝ 4 . 答案： D
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题型二 三角函数的图象与解析式 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图： π 3π 设 z＝ωx＋φ，令 z＝0，2，π， 2 ，2π，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点、 连线可得．
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2018届高三数学二轮复习课件：专题三三角函数与平面向量3.2三角变换与解三角形
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π 3π 5 10 (1)若 sin 2α＝ 5 ，sin(β－α)＝ 10 ，且 α∈4，π，β∈π， 2 ，则 α
＋β 的值是( 7π A. 4 5π 7π C. 4 或 4
第 2 课时 三角变换与解三角形
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高考对本部分考查主要从以下方面进行： (1)利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角 公式是考查的重点． (2)利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的 判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查.
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题型二 正弦定理、余弦定理 1．正弦定理及其变形 a b c 在△ABC 中，sin A＝sin B＝sin C＝2R(其中 R 是外接圆的半径)．变形：a＝ a 2Rsin A，sin A＝2R，a∶b∶c＝＝sin A∶sin B∶sin C 等． 2．余弦定理及其变形 在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccos A； 2 2 2 b ＋ c － a 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝ 2bc . 3．三角形的面积公式 1 1 1 S＝2absin C＝2acsin B＝2bcsin A.
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2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 2tan α (3)tan 2α＝ . 1－tan2α
2018届高考数学理二轮复习江苏专用课件：专题二 三角函数与平面向量 第1讲 精品
[微题型 2] 三角函数图象与性质的综合应用
【例 2－2】 (2016·苏、锡、常、镇调研)设函数 f(x)＝sin2ωx＋ 2 3sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线 x＝π 对称，其中 ω，λ为常数，且 ω∈12，1.
(1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若 y＝f(x)的图象经过点π4 ，0，求函数 f(x)在 x∈0，π2 上 的值域.
答案 π 38π＋kπ，78π＋kπ(k∈Z)
考点整合 1.常用三种函数的易误性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
在－π2 ＋2kπ， π2 ＋2kπ 单
(k∈Z)上单调递增；在 调 性 π2 ＋2kπ， 3π 2 ＋2kπ
(k∈Z)上单调递减
在[－π＋2k π，2kπ](k∈Z) 在－π2 ＋kπ， 上单调递增；在 [2kπ，π＋2k π2 ＋kπ(k∈Z) π](k∈Z)上单 上单调递增 调递减
2.(2011·江苏卷)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)，(A，ω，
φ是常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，
则 f(0)＝________. 解析 因为由图象可知振幅 A＝ 2，T4＝71π2 －π3 ＝π4 ，
所以周期 T＝π＝2ωπ，解得 ω＝2，将71π2 ，－ 2代入 f(x)
＝ 2sin(2x＋φ)，解得一个符合的 φ＝π3 ，
∴ω＝2Tπ＝21π6 ＝π8 .∴y＝4sinπ8 x＋φ，
把点(6，0)代入得：π8 ×6＋φ＝0，得 φ＝－3π 4 . ∴y＝4sinπ8 x－3π 4 ，又∵|φ|＜π2 .∴y＝－4sinπ8 x＋π4 .
(2)根据图象可知，A＝2，34T＝111π2 －π6 ，所以周期 T＝π，
2018高考数学文二轮复习课件：2-2-2 三角函数、解三角形、平面向量 精品
补救训练15 平面内两个非零向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为135°，则|α|的取值范围是 _(0_，____2_] _．
解析 由题意可知，向量α，β不共线，以|α|，|β|，|β－α|为边构成的三角形OAB如图，则∠OAB＝
45°，在三角形OAB中，由正弦定理可得
|α| sin∠OBA
10 10 .
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝
55×3 1010＋25 5×
1100＝
2 2.
又0<α＋β<π.∴α＋β＝π4或α＋β＝34π.
[错因分析] 错解中没有注意到0<α＋β<π，对于正弦值可能会有两个解，而利用余弦求解，利用正负
关系即可判断．
[正解] 因为α，β为锐角，
→→→
→→→
[错解] ∵△ABC为等边三角形，∴|BC|＝|CA|＝|AB|＝1，向量AB、BC、CA间的夹角均为60°.
∴B→C·C→A＝C→A·A→B＝A→B·B→C＝12.
∴B→C·C→A＋C→A·A→B＋A→B·B→C＝32.
→→ [错因分析] 数量积的定义a·b＝|a|·|b|·cosθ，这里θ是a与b的夹角，本题中BC与CA 夹角不是∠C.两向量的
(1)若C＝π3，求A；
(2)若A＝π6，求b.
[错解] (1)在△ABC中，sianA＝sincC，
∴sinA＝asicnC＝12，∴A＝π6或56π.
(2)由sianA＝sincC，得sinC＝csianA＝
3 2.
∴C＝π3，由C＝π3知B＝π2，
∴b＝ a2＋b2＝2.
[错因分析] 在用正弦定理解三角形时，易出现丢解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c边比a边 大，在求得sinA＝asicnC＝12后，得出角A＝π6或56π；在第(2)问中又因为没有考虑角C有两解，由sinC＝csianA
(江苏专版)2018版高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质课件理
的最小正周期为________.
利用函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 的周期公式求解 . 函数 y ＝ 2π π 3sin2x＋ 的最小正周期为 T＝ 2 ＝π. 4
答案 π
2.(2011· 江苏卷)函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞ 0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________.
π 3 4.(2017· 全国Ⅱ卷)函数 f (x)＝sin x＋ 3cos x－4x∈0， 2 的最大值是________.
2
π 3 解析 f (x)＝sin x＋ 3cos x－4x∈0， ， 2 3 2 f (x)＝1－cos x＋ 3cos x－4，令 cos x＝t 且 t∈[0，1]， 1 3 2 2 y＝－t ＋ 3t＋4＝－t－ ＋1， 2 3 则当 t＝ 时，f (x)取最大值 1. 2
第1讲
三角函数的图象与性质
高考定位
高考对本内容的考查主要有：三角函数的有关
知识大部分是 B 级要求，只有函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 的图象
与性质是A级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答 题中也有考查，经常与向量综合考查，构成低档题.
真题感悟
1.(2013· 江苏卷)函数
解析
π y＝3sin2x＋ 4
3.三角函数的两种常见变换 向左（φ＞0）或向右（φ＜0） (1)y＝sin x―--------------------------―→ 平移|φ|个单位
y＝sin(x＋φ)
纵坐标变为原来的A倍 y＝sin(ωx＋φ)―--------------------------―→ 横坐标不变 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω ＞0).
2018高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质课件文
减后递增，D 选项错误．
答案：D
3．(2017· 全国卷Ⅰ)已知曲线 C1：y＝cos x，C2：y＝
2π sin2x＋ 3 ，则下面结论正确的是(
)
A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐 π 标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲 6 线 C2
B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐 π 标不变， 再把得到的曲线向左平移 个单位长度， 得到曲 12 线 C2
2
令 cos x＝t 且 t∈[0，1]，
1 3 2＋1， y＝－t ＋ 3t＋ ＝－t－ 4 2
2
3 则当 t＝ 时，f(x)取最大值 1. 2 答案：1
【命题透视】 1.以图象为载体，考查三角函数的最 值、单调性、对称性、周期性． 2．考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、 角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必 考点．高考命题以中低档题为主，题型全面．
的解析式为(
)
π A．f(x)＝2sinx－6 π C．f(x)＝2sin2(x)＝2sin2x－6
(2)(2017· 菏泽二模)偶函数 f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A＞0，ω ＞0，0＜φ＜π)的部分图 象如图所示，其中△EFG 是斜边为 4 的等 腰直角三角形(E，F 是函数与 x 轴的交点，点 G 在图象 上)，则 f(1)的值为( )
热点 1 三角函数的图象(多维探究) 1．“五点法”作图(作 y＝Asin(ωx＋φ)的简图) π 3π 设 z＝ωx＋φ，令 z＝0， ，π， ，2π，求出 x 的值 2 2 与相应的 y 的值，描点、连线可得．
2．图象变换
命题视角 1 三角函数的图象及其变换 [ 例 1 － 1] 某同 学用 “ 五 点法 ”画 函数 f(x) ＝
2018年高考数学二轮复习课件 专题二 三角函数、平面 向量 第一讲 三角函数的图象与性质
2018高考二轮总复习 • 数学
方法结论
函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的确定 利用函数图象的最高点和最低点确定A，利用周期确定ω， 利用图象的某一已知点确定φ.
2018高考二轮总复习 • 数学
题组突破
1．(2017· 贵阳模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋ 依题意得f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，结合函数y＝f′(x)的图 φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)，其导数f′(x)的图 2π 3π π 1 象可知，T＝ ω ＝ π 4( 8 － 8 )＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A＝2. 象如图所示，则f( )的值为( D ) 2 3π 3π 7π 3π 3π 因为 ＜φ＜π， ＜ ＋φ＜ A ．2 02 B. 42，且f′( 8 )＝cos( 4 ＋φ)＝ 4 4 2 3π 2 1 π π π 1 C ．－ D ．－ －1，所以 ＋φ＝π，φ＝ ，f(x4 )＝ sin(2x＋ )，f( )＝ 2 4 4 2 4 2 2
专题二
第一讲
三角函数、平面向量
三角函数的图象与性质
2018高考二轮总复习 • 数学
三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质， 考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期 性、对称性、最值作为热点，并常与三角变换交汇命 题，难度为中档偏下.
2018高考二轮总复习 • 数学
年份 卷别
考查角度及命题位置 三角函数的周期求法·T3 三角函数的最值问题·T13 三角函数的最值问题·T6
题组突破
2．(2017· 河西五市联考)将函数 y＝ 3cos x＋sin x(x∈R)的图象 向左平移m(m＞0)个单位长度 后，所得到的图象关于y轴对 称，则m的最小值是( B ) π A. 12 π C. 3 π B. 6 5π D. 6
2018年高三最新 高三数学经典二轮复习专题三---三角函数与平面向量 精品
专知识网络图解考情分析及命题趋势1．三角函数是基本的初等函数．目前，我们对三角函数性质的了解，全面地反映了我们在高中阶段对函数性质的研究所要达到的深度和广度．三角函数自成体系（定义、图象、性质、三角公式及变换等），同时通过它，又与数形紧密地联系在一起．2．平面向量在高中数学体系中独立成章．向量可以和数一样运算，同时向量将数与形统一了起来，以向量为工具可以有效地解决数学和物理学科中的许多问题．要认真体会在正、余弦定理的推理过程中向量所起的作用．3．对于三角函数，应熟练掌握其基础知识，把握住三角函数图象的几何特征，灵活应用（正用、逆用、变用）三角公式；灵活变换角，如α=（α+β）－β；运用7方程与函数思想．对于向量，应理解其运算的深层次意义，比如a·b把长度、角度、数相联结．又比如通过｜a｜=2a可将向量问题转化为数的问题．注意用坐标处理向量．对于解析（立体）几何问题，比如平行、垂直，有时先用向量表达，再通过向量的运算来处理，最后把向量转化为数，这种方法比较简单．从近年《考试说明》和高考试题来看，对三角函数要求并不高．题型多为选择题和解答题．高考对向量的要求也基本如此，但要求有逐渐加强之势．因此，对三角函数的复习应注意基础性，对向量的复习应注意综合性．第12课时三角变换主干知识整合1．三角恒等变换是一种基本技能，从题型上一般表现为对三角式的化简、求值与证明．对所给三角式进行三角恒等变换时，除需使用三角公式外，一般还需运用代数式的运算法则或公式．如平方差公式、立方差公式等．对三角公式不仅要掌握其“原形”，更要掌握其“变形”，解题时才能真正达到运用自如，左右逢源的境界．2．在运用三角公式进行三角变换时，要从三角函数名称和角的差异双角度去综合分析，再从差异的分析中决定三角公式的选取．一般变换的规律是：切割化弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次，无理化有理．3．三角函数式的化简、求值、证明（1）三角函数式的化简、求值、证明三种题型使用的工具是一致的，方法也是相通的； （2）倍角公式和万能公式都建立了2α与α、α与2α的关系，正切函数起主要作用； 真题新题探究【例1】 2018年·湖北已知6sin 2α+sin a cosα－2cos 2 =0，α∈［2π，π），求sin （2α+3π）的值．【分析】 通过已知的条件式，求出角α的一个三角函数值，然后利用同角三角函数公式与两角和等公式求解．【解】 解法一：由已知，有（3sin α+2cos α）（2sin α－cos α）=0得3sin α+2cos α=0或2sin α－cos α=0，由此知cos α≠0，∴α≠2π． 即α∈2π，π，于是tan α＜0，∴tanα=32-．∵sin （2α+3π）=sin2α·cos 3π+cos2αsin 3π=sin αcos α+23（cos 2α－sin 2α） =a a aa a a a a 222222cos sin sin cos 23cos sin cos sin +-⋅++=aa a a 222tan 1tan 1231tan tan +-⋅++将tanα=32-代入得sin （2α+3π）=222)32(1)32(123)32(132-+--⋅+-+-=2635136+-解法二：由已知cosα≠0，∴α≠2π，即α∈（2π，π） ∵6sin 2α+sinαcosα－2cos 2∴6tan 2α+tanα－2=0，即（3tanα+2）（2tanα－1）=0．∴tanα=32- （tanα=21舍去）， 由sin 2α+cos 2α=1，∴cos 2α=a2tan 11+，得cosα=133-，sinα=132． ∴sin （2α+3π）=sin2α·cos 3π+cos2α·sin 3π=sinαcosα+23 （2cos 2α－1）= 1139223136-⨯+-=2635136+-． 【评析】 本题主要考查对三角函数同角关系和两角和及倍角公式的掌握，正确地选用公式并注意题设中角的范围，是解此题关键．【例2】 已知f （θ）=sin 2θ+sin 2（θ+α）+sin 2（θ+β），其中0≤α≤β≤π．试问α，β为何值时，f （θ）为与θ无关的定值．【分析】 若f （θ）为与θ无关的定值，则有f （0）= f （－α）= f （－β）= f （2π），即可求α、β，再把α、β代入，看f （θ）是否为定值．【解】 设f （θ）=sin 2θ+sin 2（θ+α）+sin 2（θ+β）为与θ无关的定值， 则f （0）=f （－α）=f （－β）=f （2π），于是：sin 2α+sin 2β=sin 2a +sin 2（β－α）=sin 2β+sin 2（α－β） =1+cos 2α+cos 2β，∴sin 2α=sin 2β=sin 2（β－α）= 43． ∵0≤α≤β≤π，故0≤β－α≤π，∴α=3π，β=32π．反之，若α=3π，β=32π，则f （θ） =sin 2θ+)32(sin )3(sin 22πθπθ+++=sin 2θ+22)cos 23sin 21()cos 23sin 21(θθθθ+-++=)cos 43sin 41(2sin 222θθθ++=23（定值）． 所以，当α=3π，β=32π时，f （θ）为与θ无关的定值．【评析】 本题是用先特取再反代的方法求解．这种逆向思维的解题过程应值得重视． 【例3】 已知f （x ）=2sin （x +2θ）cos （x +2θ）+23cos 2（x +2θ）-3． （1）试化简f （x）的解析式；（2）若θ∈［0，π］，试求出使f （x ）为偶函数时的θ的值；（3）在（2）成立的条件下，求满足f （x ）≤1且x ∈［－π，π］的集合．【分析】 通过和角公式与降次方法以及辅助角公式可将f （x ）化简为形如A sin （ωx +φ）或A cos （ωx +φ）的函数，再根据题设f （－x ）=f （x ）与θ∈［0，π］可确定θ的值，利用f （x ）的单调性或图象法，可得出简单的不等式f （x ）≤1且x ∈[]ππ，-的解集．【解】 （1）∵f （x ） =sin （2x +θ）+3)]2[cos(3-+θx =sin （2x +θ）+3cos （2x +θ）=2 sin （2x +θ+32π） ∴f （x ）=2 sin （2x +θ+3π）． （2）依题意f （x ）=f （－x ），∴θ+3π=2π+kπ，k ∈Z ，又θ∈［0，π］，∴θ=6π时，f （x ）为偶函数． （3）由（2）即解⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-∈+≤≤+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+πππππππππππx Z k k x k x x x x ,656,,212cos ,,1)22sin(2 满足题意的x 的集合是]656[]665[ππππ，， --． 【评析】 本题主要考查可化为A sin （ωx +φ）的函数的性质，熟练地进行三角函数式的化简，会运用函数的奇偶性、单调性解决问题是此题获解的关键．【例4】 若函数f （x ）=α+b cos x +c sin x 的图象过点A （0，1）和B （2π，1）且x ∈［0，2π］时f （x ）≤2恒成立，试求实数α的取值范围．【分析】 将点A ，B 的坐标代入函数式，求得a ，b ，c 的关系后，通过消元，可得到含参数a 的三角函数式，然后根据f （x ）的值域转化为解关于a 的不等式．【解】 由已知A （0，1）与B （2π，1）在f （x）的图象上， ∴f （0）=a +b =1，f （2π）=a +c =1． ∴b =c =1－a，∴f （x ）=a +（1－a ）（cos x +sin x ） =a +2（1－a ）sin （x +4π） ∵x ∈［0，2π］，∴4π≤x +4π≤43π，∴22≤sin （x +4π）≤1．依题意，只需对f （x ）的最小值与1－a 的正负进行讨论：①当a ≤1时，1≤f （x ）≤a +2（1－a ）．∵｜f （x ）｜≤2恒成立，只要a +2（1－a ）≤2，解得a ≥－2，∴－2≤a ≤1；当a ＞1时，a +2（1－a ）≤f （x ）≤1，∴只要a +2（1－a ）≥－2，解得a ≤4+32， ∴1＜a ≤4+32．综上所述，实数的取值范围是［－2，4+32］．【评析】 本题考查三角函数式的化简与三角函数性质运用的能力，其中代入消元和分类讨论的思想是解题的关键．方法技巧提炼1．三角变换常用的方法技巧有切割化弦法，升幂降幂法、辅助元素法，“1”的代换法等． 2．对于三角公式要记忆准确（在理解基础上），并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性．第13课时 三角函数图象与性质主干知识整合1．三角函数的图象包括：①y =sin x 、y =cos x 、y =tan x 的图象；②“五点法”画出y =A sin （ωx +φ）的简图；③利用平移和伸缩变换画出y =A sin （ωx +φ）的图象．对三角函数图象要从对称轴和有界性双角度去把握，对称性包括对称轴和对称中心两个关键要素，这是高考命题的一个热点．2．三角函数的性质包括：①奇偶性，②单调性，③周期性，④最值．其中对三角函数性质的研究要首先建立在定义域的基础之上．而求三角函数的定义域往往要解三角不等式，解三角不等式的方法一般表现为图象法或三角函数线法．对三角函数性质的考查总是与三角变换相结合．一般解题规律是先对三角函数关系式进行三角变换，使之转化为一个角的三角函数的形式，再利用换元法转化为对基本三角函数性质的研究．真题新题探究【例1】 已知函数f （x ）是定义在（－31，31）上的奇函数且为减函数，又函数满足f （1－sin x ）+f （1－sin 2x ）＜0，求x 的取值范围．【分析】 把题目中的抽象的不等式转化为具体的不等式，再化简． 【解】 由题意得－31＜1－sin x ＜31，∴32＜sin x ≤1．又－31＜1－sin 2x ＜31∴36＜sin x ≤1．从而36＜sin x ≤1．又∵f （1－sin x ）+f （1－sin 2x ）＜0及f （x ）是奇函数，故f （1－sin x ）＜f （sin 2x －1）． 又∵f （x ）是减函数，∴所以1－sin x ＞sin 2x －1，sin 2x +sin x －2＜0，－1≤sin x ＜1． ②由①②得36＜sin x ＜1． 故x 的取值范围是x ∈（2kπ+arcsin36，2kπ+2π）∪（2kπ+2π，2kπ+π－arcsin 36（k ∈Z ）．【例2】 2018年·江苏已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M )043(，π对称，且在区间［0，2π］上是单调函数，求ω和φ的值． 【分析】 抓住函数f （x ）是偶函数，图象关于y 轴对称，且有f （－x ）=f （x ），又图象关于点M )043(，π对称，则有)43()43(x f x f +-=-ππ，这两点是解决本题的关键． 【解】 由f （x ）是偶函数，得f （－x ）=f （x ）．即sin （－ωx +φ）=sin （ωx +φ），∴－cosφsinωx =cosφsinωx 对任意x 都成立，且ω＞0，所以得cosφ=0．依题设0≤φ≤π，所以得φ=2π． 由f （x ）的图象关于点M )043(，π对称，得取得)43()43(x f x f +-=-ππ得x =0，得)43(πf =)43(πf -， ∴)43(πf =0．∵)43(πf =)243sin(πωπ+=43cos ωπ，∴43cos ωπ=0．又ω＞0，得43ωπ=2π+kπ，k =0，1，2，32（2k +1），k =0，1，2，当k =0时，ω=32， f （x ）= )232sin(π+x 在［0，2π］上是减函数；当k =1时，ω=2， f （x ）= )22sin(π+x 在［0，2π］上是减函数；当k ≥2时，ω≥310， f （x ）= )2sin(πω+x 在［0，2π］上不是单调函数．所以，综合得：ω=32或ω=2．【评析】 本小题考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力．解答本题的关键是得到)43(πf =)243sin(πωπ+=43cos ωπ式后，立即联想到点M 的坐标（43π， 0 ），自然43cosωπ=0，最后，对求出的ω分类讨论，验证是否满足题意．【例3】 已知函数f （x ）= )sin 2(cos2x xa ++b （1）当a =1时，求f （x）的单调递增区间；（2）当a ＜0，x ∈［0，π］时，f （x ）的值域是［3，4］，求a ，b 的值， 【分析】 关键是把f （x ）的表达式化成单角的三角函数． 【解】 （1）∵a =1， ∴f （x ） =b x x++sin 2cos 22=sin x +cos x +b=)4sin(2π+x +1+b，∵y =sin x 的单调递增区间是［2kπ2π-， 2kπ+2π］，k ∈Z ．∴当2kπ2π-≤x +4π≤2kπ+2π，即2kπ-43π≤x ≤2kπ+4π，k ∈Z 时f （x）时是增函数，∴f （x ）单调递增区间是［2kπ43π-， 2kπ+43π］，k ∈Z ．（2）由（1）得f （x ）= )4sin(2π+x a +a +b，∵x ∈［0，π］，∴4π≤x +4π≤45π，∴22-≤)4sin(π+x ≤1．∵a <0，2a ≤)4sin(2π+x a ≤-a ，∴2a0+a +b ≤f （x ）≤b ，∵f （x ）的值域是，∴a =1-2，b =4．【评析】 在三角函数中，如求单调区间，值域，周期等问题，大都需要把函数解析式化为A sin （ωx +φ）的形式来处理．【例4】 函数的y =a sin x +b cos x +c 图象上有一个最低点（611π，1）将图象上每点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的π3倍，然后向左平移1个单位，得到y =f （x ）的图象，且f （x ）=3的所有正根依次为一个公差为3的等差数列，求f （x ）的解析式和最小正周期．【分析】 引入辅助角，把函数化为只含一个三角函数的基本形式；再按“横缩”“左移”两步骤，把函数化为f （x ）的形式，然后根据题设条件，求出a 、b 、c ，注意f （x ）的正根是在x 轴正半轴上的点，它们成等差数列，间隔一定相等．【解】 原函数式可化为y =22b a +sin （x +φ）+c 其中φ满足cosφ=22ba a +且sinφ=22ba b +．∵（611π，1）是它的最低点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=++--=+12261122c b a k ππϕπ，解得φ=2kπ-37π（k ∈Z ），且22b a +=c -1．∴y =（c -1）sin （x +2kπ-37π）+c =（c -1）．sin （x -37π）+c =（c -1）sin （x -3π）+c ． 将以上函数图象上的点的横坐标缩小为原来的π3倍，再向左平移1个单位得f （x ） =（c -1）sin ]3)1(3[ππ-+x +c =（c -1）sinc x +3π，周期T =6． 方程f （x ）=3的正根就是直线y =3与y =f （x ）的图象交点在x 轴正半轴的横坐标，它们成等差数列，所以y =3与y =f （x ）相邻交点间的距离都相等．直线y =3满足以上要求只能有三个位置：一是过图象最高点且和x 轴平行的直线l 1；二是过图象最低点且和x 轴平行的直线l 2；三是和l 1、l 2都平行且等距的直线l ．因为图象最低点（611π， 1 ），所以y =3不可能在l 2的位置．若y =3在l 1的位置，此时，交点间隔相当于一个周期6，正根数列公差即为6，与公差为3矛盾，所以y =3不会在l 1位置，y =3只能在l 的位置．当y =3在l 位置时，（c -1）·0+c =3，得c =3．因而f （x ）= 33sin 2+x π．此时T =6，由sin3xπ=0，解得x =3k ，正根可组成一个公差为3的等差数列，符合题意． 所以所求解析式为f （x ）=2sin 3xπ+3，周期为6【评析】 本题易出错的地方是平移、伸缩时，解析式的变化，再是用等差数列的条件时讨论不全．方法技巧提炼1．三角函数图象的对称性和有界性是高考命题的一个热点．2．最基本的三角函数图象的形状和位置特征，要准确掌握，它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键．3．三角函数图象各种变换的实质要熟练掌握，不能从形式上简单判断．第14课时 三角形中的三角函数主干知识整合1．掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形． 2．通过解三角形，提高运用所学知识解决实际问题的能力．3．高考对正余弦定理的考查主要涉及三角形的边角转化，三角形形状判断，三角形内三角函数求值及三角恒等式证明等．以正余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际问题考查应用，这是高考命题的方向，望加以注意．真题新题探究【例1】 2018年·湖南已知在△ABC 中， sin A （sin B +cos B ）－sin C =0，sin B +cos2C =0，求角A 、B 、C 的大小．【解】 解法一：由sin A （sin B +cos B ）－sin C =0得sin A sin B +sin A cos B －sin （A +B ）=0． ∴sin A sin B +sin A cos B －sin A cos B －cos A sin B =0即sin B （sin A －cos A ）=0． ∵B ∈（0，π），∴sin B ≠0，从而cos A =sin A ．由A ∈（0，π），知A =4π，从而B +C =43π．由sin B +cos2C =0，得sin B +cos2)43(B -π=0． 即sin B －sin2B =0，亦即sin B －2sin B cos B =0．由此得cos B =21，B =3π，C =125π．∴A =4π，B =3π，C =125π．【解】 解法二：由sin B +cos2C =0得sin B =－cos2C =sin )223(C -π．由B ＞0，C ＜π，∴(B =C 223-π)或B =2C －2π．即B +2C =23π或2C －B =2π．由sin A （sin B +cos B ）－sin C =0得 sin A sin B +sin A cos B －sin （A +B ）=0．∴sin A sin B +sin A cos B －sin A cos B －cos A sin B =0． 即sin B （sin A －cos A ）=0．∴sin B ≠0，∴cos A =sin A ．由A ∈（0，π），知A =4π． 从而B +C =43π，知B +2C =23π不合要求．再由2C －B =2π，得B =3π，C =125π．所以A =4π，B =3π，C =125π．【评析】 本题主要考查三角形问题等知识，关键是运用代换式sin （A +B ）=sin C ． 【例2】 2018年·湖北在△ABC 中，已知AB =364，cos B =66，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．【解】 解法一：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE ∥AB ，且DE =21AB =362，设BE =x ． 在△BDE 中利用余弦定理可得： BD 2=BE 2+ED 2－2BE·ED cos ∠BED ， 5=x 2+38+2×362×66x ，解得x =1，x =－37 （舍去）．故BC =2，从而AC 2=AB 2+BC 2－2AB·BC cos B =328，即AC =3212． 又sin B =630，故6303212sin 2=A ，sin A =1470． 解法二：以B 为坐标原点，BC→为x 轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A 位于第一象限． 由sin B =630则， BA→=)354,34()sin 364,cos 364(=BB设BC →=（x ，0）则BD →=)352,634(x +，由条件得｜BD →｜=22)352()434(++x =5从而x =2， x =－314 （舍去）．故CA→=)354,32(-， 于是cos A CA BA ＝9809498091698098+++-＝14143∴sin A =A 2cos 1-=1470． 解法三：如图3－14－1所示，过A 作AH ⊥BC 交BC 于H ，延长BD 到P 使BD =DP ，连结AP 、PC过P 作PN ⊥BC 交BC 的延长线于N ，则 图3－14－1HB =AB cos B =34，AH =354， BN =22PN BP － =22A BP H －=22)354()52(-=310，而CN =HB =34∴BC =BN －CN =2，HC =32，AC =22H A C H －=3212． 故由正弦定理得6303212sin 2=A ，∴sin A =1470．【评析】 解法一通过中位线，利用余弦定理和正弦定理求解；解法二通过建立坐标系，利用向量数量积求解；解法三构造图形，通过几何途径求解．【例3】 已知锐角三角形ABC 中，sin （A +B ）= 53，sin （A －B ）= 51． （1）求证：tan A=2tan B ； （2）设AB=3，求AB边上的高．【分析】 利用两角和与两角差的正弦公式，可得到这两个角正切关系式，再根据三角形中内角和定理与平面几何知识，可求出所给角的正切值与已知边上的高．（1）【证明】 由已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A ①+②，得sin A cos B=52，①－②，得cos A·sin B=51．两式相除，得BAtan tan =2，即tan A=2tan B ． （2）∵2π＜A+B ＜π，又sin （A+B ）= 53，∴cos （A+B ）= 54)53(1)(sin 122-=-=+--B A ，∴tan （A +B ）=－43．即B A B A tan tan 1tan tan ⋅-+=－43，将tan A =2tan B 代入此式，整理得，2tan 2B －4tan B －1=0．解得tan B =262±，舍去负值，∴tan B =262+，于是tan A =62+． 设AB 边上的高为CD ，则 AB =AD +DB =623tan tan +=+CDB CD A CD， 由AB =3，得CD =2+6，故AB 边上的高为2+6．【评析】 本题主要考查对两角和与两角差三角公式的掌握及运用能力，注意锐角三角形中隐含的条件，会把已知线段分解为被高线分成的两线段的和，从而得到所求的高的关系式是解决此题的重要一步．【例4】 将一块圆心角为120°，半径为20cm 的扇形钢片裁出一块矩形钢片，如图3－14－2中有两种裁法：使矩形一边在扇形的一条半径OA 上，或者让矩形一边与弦AB 平行，试问哪种裁法能使截得的矩形钢片面积最大？并求出这个最大值．………………①………………②图3－14－2【分析】 依题意，利用平面几何知识与三角函数公式，分别求出两种裁法下所得矩形钢片的面积的最大值，然后比较两个最值的大小后作出结论．【解】 如图甲，要使矩形面积最大，则O 为其一顶点且另一顶点M 在AB 上，设∠MOA =θ，则矩形PMNO 的面积S 1=20·sinθ·20cosθ=200sin2θ，当θ=45°时，S 1有最大值，为200cm 2；如图乙，设∠MOA =θ，在△OMQ 中，由正弦定理得QM =︒⋅120sin sin θOM ．由图形的对称性知，∠AOB 的平分线OC 为其对称轴，于是MN =2OM·sin （60°－θ），∴矩形PQMN 的面积S 2=QM·MN =322OM ⋅2sinθsin （60°－θ）=]60cos )602[cos(338000︒--θ．当θ=30°时，S 2有最大值为33400cm 2， 又∵33400＞故用第二种方法可截得的矩形钢片面积最大，最大面积为33400cm 2． 【评析】 本题主要考查运用三角知识解决实际问题的最值能力，其中依题意，引入参数θ，列出矩形的面积的表达式是解题的关键．方法技巧提炼1．解三角形时，要根据条件正确选择正、余弦定理以及三角变换式． 2．要充分发挥图形的作用，注意三角形外接圆半径在正弦定理中的转化功能．第15课时 三角与平面向量的综合主干知识整合1．平面向量的重点内容包括：①向量的概念；②向量加法及减法的定义及运算法则（三角形法则和平行四边形法则）；③向量共线的充要条件；④平面向量基本定理及应用；⑤平面向量的坐标表示及应用；⑥线段的定比分点坐标公式及应用；⑦平面向量数量积的定义、运算律及应用．2．向量本身具有“数”与“形”的双重身份，因此在解题中应充分运用数形结合的思想方法，三角形法则是向量加法和减法的根本法则，具体运用时要注意和向量与差向量的方向性．平面向量的数量积为“向量”与“数量”之间架起了沟通的桥梁，只有掌握好平面向量数量积的定义及运算律，才能在解题中得心应手．3．利用向量的思想方法解决有关问题，如平行与垂直、夹角及平面几何的相关问题，突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点．真题新题探究【例1】 设函数f （x ）=a·b ，其中向量a =（2cos x ，1），b =（cos x ，3sin2x ），x ∈R ．（1）若f （x ）=1－3，且x ∈［－3π，3π］，求x ； （2）若函数y =2sin2x 的图象按向量c =（m ，n ）⎝⎛⎭⎫|m |＜π2平移后得到函数y =f （x ）的图象，求实数m 、n 的值．【解】 （1）依题设f （x ）=2cos 2x +3sin2x =1+2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6．由1+2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6=1－3，得⎝⎛⎭⎫2x +π6=－32．∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x +π6≤5π6，∴2x +π6=－π3，即x =－π4．（2）函数y =2sin2x 的图象按向量c =（m ，n ）平移后得到函数y =2sin2（x －m ）+n 的图象，即函数y =f （x ）的图象．由（1）得f （x ）=2sin2⎝⎛⎭⎫x +π12∴|m |＜π2，∴m =－π12，n =1．【评析】 本题主要考查平面向量的概念和计算、三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力．【例2】 已知a 、b 是两个向量，且a =（1，3cos x ），b =（cos 2x ，sin x ），x ∈R ，定义：y =a·b（1）求y 关于x 的函数解析式y =f （x ）及其单调递增区间； （2）若x ∈［０，2π］，求函数y =f （x ）的最大值、最小值及其相应的x 的值． 【分析】 利用向量的数量积的坐标运算公式：a·b =x 1x 2+y 1y 2，易求出函数表达式，然后借助三角函数的基本性质来解题．【解】 a =（1，3cos x ），b =（cos 2x ，sin x ）， a·b =cos 2x +3cos x·sin x =cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3+12∴y =cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3+12单调递增区间是［6,3ππππ+-k k ］（k ∈Z ）（2）由x ∈［０，2π］，得－π3≤2x －π3≤2π3∴－12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3∴f （x ）min =0，此时x =π2；f （x ）max =32，此时x =π6．【评析】 关键是抓住向量的基本运算，如用坐标运算表示向量的加、减法，表示向量平行、垂直的条件等．【例3】 设a =（1+cosα，sinα），b =（1－cosβ，sinβ），c =（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2=π6，求的值sin α-β4．【分析】 先由已知找到θ1、θ2与α、β关系，由θ1－θ2=π6，求得α-β2，进而求得sin α-β2的值【解】 由a =)2cos 2sin 2,2cos 2(2ααα=)2cos,2(sin2cos2αααb =)2cos2sin2,2sin2(2βββ=)2cos ,2(sin2sin2βββ∵α∈（0，π），β∈（π，2π）∴α2∈（0， 2π），β2∈（2π，π）， 故|a |=2cos α2，|b |=2sin β2，cosθ1=c a c a ⋅⋅=2cos 2α22cos α2=cos α2，∴θ1=α2cosθ2=c b cb ⋅⋅=2sin 2β22sin β2β2 =cos ⎝⎛⎭⎫β2- π2 ∵0＜β2－π2＜β2，∴θ2= β2－π2，又θ1－θ2=π6，∴α2－β2+π2=π6，∴α-β2 =－π3， ∴sin α-β4=sin ⎝⎛⎭⎫ - π6=－12．【评析】 计算两条向量的夹角问题，与三角函数有关，故向量可与三角函数的运算自然结合，使试题简洁优美．【例4】 已知两点M （－1，0），N （1，0），且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列．（1）点P 的轨迹是什么曲线？（2）若点P 的坐标为（x 0，y 0），θ为PM→与PN →的夹角，求tanθ．【分析】 先求MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →，再由它们成公差小于零的等差数列，求出点P 的轨迹方程；再由PM→与PN →的数量积，求出cosθ；由三角函数公式，最后求得tanθ． 【解】 （1）设P （x ，y ），由M （－1，0），N （1，0）得 PM →=－MP →=（－1－x ，－y ），PN →=－NP →=（1－x ，－y ），MN →=－NM →=（2，0）． ∴MP →·MN →=2（1+x ），PM →·PN →=x 2+y 2－1，NM →·NP→=2（1－x）于是，MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP→是公差小于零的等差数列等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2-1=12[2(1+x )+2(1-x )]2(1-x )-2(1+x )＜0即⎩⎨⎧x 2+y 2=3x ＞所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆． （2）若点P 的坐标为（x 0，y 0）， PM →·PN →=x 20+y 20－1=2． |PM →|·|PN →| =(1+x 0)2+y 20·(1-x 0)2+y 20 =(4+2x 0)(4-2x 0) =24-x 20． ∴cosθ=PN PM =14-x 20． ∵0＜x 0≤3，12＜cosθ≤1，0≤θ＜π3 sinθ=1-cos 2θ=1-14-x 20， ∴tanθ=sinθ=1-14-x 2014-x20=3-x 20=|y 0|．【评析】 本题以向量为主线，将向量、三角函数、数列与解析几何等知识巧妙结合，是一个有一定难度的综合性试题．方法技巧提炼1．以向量作为载体，落脚于考查三角函数的求值、化简等问题，考查三角公式的运用，这是当前高考命题的一个热点，望复习时加以注意．2．对三角函数的复习应注意基础性，对向量的复习应注意综合性．。
2018年高考数学二轮复习 专题03 三角函数与平面向量(讲)(含解析)理
专题三三角函数与平面向量考向一三角恒等变形【高考改编☆回顾基础】1．【同角三角函数、二倍角公式】【2017课标3改编】已知4sin cos3αα-=，则sin2α= .A． B．29-C．29D．79【答案】7 9 -【解析】()2sin cos17 sin22sin cos19ααααα--===--.2. 【三角函数的定义、诱导公式】【2017北京，文9】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sinα=13，则sinβ=_________．【答案】1 3【解析】3. 【三角函数的同角公式、两角和差的三角函数】【2017课标1，文15】已知π(0)2a∈，，tan α=2，则πcos()4α-=__________．【解析】【命题预测☆看准方向】三角部分主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换及解三角形等基本知识.三角函数与解三角形相结合或三角函数与平面向量相结合是考向的主要趋势,试题难度为中低档.三角恒等变换是高考的热点内容,主要考查利用各种三角函数进行求值与化简,其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点,切化弦、角的变换是常考的三角变换思想.（1）预计2018年高考仍将在角的变换、角的范围方面对三角恒等变形进行考查，对两角和与差、二倍角公式将重点考查；（2）对三角恒等变换的考查力度可能会加大，对角的变换的考查，使问题更具有综合性，复习时需加强这方面的训练；（3）通过三角恒等变换，化简三角函数式，进一步研究函数的性质、解三角形等是常考题型.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点，，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为__________．【答案】【解析】设射线OB与轴正半轴的夹角为，有已知有，所以，且，C点坐标为 .P m，sinα=且α为第二象限．【趁热打铁】已知角α的张终边经过点(,（1）求m的值；3（2）若tan β=()()sin cos 3sin sin 2cos cos 3sin sin παβαβπαβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+--的值．【答案】（1）1m =-；（2【解析】（1）由三角函数的定义可得sin α==，解得1m =±，又α为第二象限角，所以1m =-。
高三数学第二轮复习三角函数的图像与性质课件ppt.ppt
则同时具有以下两个性质的函数是( A ) ①最小正周期是π ②图象关于点(π/6，0)对称.
2.已知f(x)=sin(x+π/2)，g(x)=cos(x-π/2)，则下列结论
中正确的是( D) (A)函数y=f(x)·g(x)的周期为2π (B)函数y=f(x)·g(x)的最大值为1 (C)将f(x)的图象向左平移π/2单位后得g(x)的图象 (D)将f(x)的图象向右平移π/2单位后得g(x)的图象
直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点).
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
[2k5.单+ 2调, 性2k:+y=3s2in]x(k在[Z2)k上-单2调, 2递k减+2;
](kZ)上单调递增, 在
6
是 (k ,k ],k z 使 g(x) 0 且递减的区间是
12
6
(k ,k 5 ],k z ，
6
12
∴当 0 a 1时，函数 f (x) 的递增的区间是
(k ,k 5 ],k z ，
6
12
当 a 1时，函数 f (x) 的递增的区间是 (k ,k ],k z .
且f (0) 3 , f ( ) 1 .
2 42
(1)求 f (x) 的最小正周期； (2)求 f (x) 的单调递减区间； (3)函数 f (x) 的图象经过怎样的平移才能 使所得图象对应的函数成为奇函数？
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
专题3 三角函数、解三角形与平面向量 第3讲 平面向量ppt课件 2018届高考数学(理)二轮复习精品
例2
(1)(2017 届湖北省部分重点中学联考)若等边△ABC 的边长为 3， 平
→ 1→ 1→ → → 面内一点 M 满足CM＝3CB＋2CA，则AM· MB的值为
√
A.2
解析
15 15 B.－ 2 C. 2 → → → → → → 因为AM＝CM－CA，MB＝CB－CM，
D. －2
思维升华 解析 答案
数量积的几何意义.
(2)(2017 届河北省衡水中学六调)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a－b ＝( 3， 2)，则|a＋2b|等于 A.2 2
解析
B. 17 √
C. 15
D.2 5
向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝( 3， 2)，
可得|a－b|2＝5，即|a|2＋|b|2－2a· b＝5，解得a· b＝0. |a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a· b＝1＋16＝17，
解析
答案
热点二
平面向量的数量积
1.数量积的定义：a· b＝|a||b|cos θ.
2.三个结论
(1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a· a＝ x2＋y2. → (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ x2－x12＋y2－y12. (3)若非零向量 a＝(x1，y1)，非零向量 b＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角， x1x2＋y1y2 a· b 则 cos θ＝ ＝ 2 2 2 2. |a||b| x1＋y1 x2＋y2
专题三 三角函数、解三角形与平面向量
第3讲
平面向量
热点分类突破
真题押题精练
Ⅰ
热点分类突破
热点一 平面向量的线性运算
1.在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变