五年级奥数：不定方程解应用题讲解2013
小学奥数列不定方程解应用题
3-3-3. 1 5
1、 熟练掌握不定方程的解题技巧
2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程
3、 学会解不定方程的经典例题
一、知识点说明
历史概述
不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．
考点说明
在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、运用不定方程解应用题步骤
1、根据题目叙述找到等量关系列出方程
2、根据解不定方程方法解方程
3、找到符合条件的解
模块一、不定方程与数论
【例 1】 把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求这两个数．
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答
【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答
【巩固】 现有足够多的5角和8角的邮票，用来付4.7元的邮资，问8角的邮票需要多少张？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答
五年级奥数不定方程
五年级奥数 五年级奥数教程与训练 第一讲
不定方程
【知识要点与基本方法】
方程的个数少于未知数的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或不定方程组），它的解是不定的，一般地说，如果没有给不定方程某种制约的条件，那么它就有无限多个解，本讲中所涉及的不定方程根据题目的要求和实际情况局限在一定的范围内，它可能有解，也可能无解，如果有解，也只能是有限个解。
【例题解析】
例1.求下列方程的整数解（x>0,y>0）
11x+3y==89
解：原方程整理得：
y=（89-11x）÷3
因为x和y都是大于零的整数，11x<89,所以x<9,由上式得：
x=1,y=26,或者x=4,y=15,或者x=7,y=4
例2．邮局买了助动车和自行车若干辆，共付出11700元，已知每辆助动车2500元，每辆自行车350元，问：邮局买这两种车各多少辆？
解：设买了x辆助动车，y辆自行车。由题意得：
2500x+350y=11700
y=（11700-2500x）÷350
解得 x=3,y=12
答：邮局买了3辆助动车和12辆自行车。
例3.有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都在10以内，把三张牌洗完后，分别发给甲，乙，丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌，发牌，记数。这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别是13，15，23.问：这三张牌的数字是多少？
解：设三张牌按照从大到小排列为x，y，z，再设共发了n轮（每轮发三张），x+y+z=S则有：n×S=13+15+23=51=3×17
只有n=3，S=17. x+y+z=17，则x>17/3,所以x可取的值为6，7，8，9.
当x=6时，y+z=11，而y+z最多只能是9，所以不符合题意。
当x=7时，y+z=10，而只有y=6，z=4，但是丙三次牌数字之和是23，而23显然不可能表示为（7，6，4）中任意三个数之和。故也不符合题意。
五年级下册数学专项训练 - 奥数第六讲 不定方程解应用题 ｜ 全国版(含答案)
1 第六讲 不定方程解应用题
大家已学过简单的列方程解应用题，一般都是未知数个数与方程的个数一样多，例如中国古代著名的“鸡兔同笼”问题。
如果方程（组）中未知数的个数多于方程的个数，此方程（组）称为不定方程（组）。
小学阶段主要是涉及整系数不定方程的整数解.试看一些例。
例1 有三张扑克牌，牌的数字互不相同，并且都在10以内.把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人.每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数.这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别为13、15、23.请问这三张牌的数字是什么？
分析 设三张牌为x、y、z（x＞y＞z）.再设共发牌n轮（每轮发3张）.记作x+y＋z＝S。
n·S＝13＋15＋23=51。
由于n和S都是整数，51＝3×17.只有n=3，S=17.现在转变为不定方程：x＞y＞z且10＞x＞y＞z≥1的条件下：
x+y＋z＝17
求整数解。
即x≥6.x可能值为6、7、8、9。
第一种情况，x=6＞y＞z，而y+z=17-6=11，而此时y+z最多为5+4.所以x≠6。
第二种情况，x=7＞y＞z，y＋z=17-7=10，只有y=6，z=4.但是丙三次牌数字和为23，而23显然不可能表示为｛7，6，4｝中任意三个（可以重复的，下同）数之和。
第二种情况x=7亦被排除。
第三种情况，x=8＞y＞z，y＋z＝17-8=9，（y，z）可能情况有（7，2）；（6，3）；（5，4）。
2 而13（甲三次牌数字和）不能表示为｛8，7，2｝中任意三个数之和，23不能表示为｛8，6，3｝和｛8，5，4｝中任意三个数之和，故x=8亦被排除。
第四种情况，x=9＞y＞z，y＋z=17-9=8，观察知y=5，z=3.（可排除｛9，7，1｝和｛9，6，2｝.）
综上所述，三张牌为3、5、9。
例2 采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干，又买单价670元的B种物若干，其中B种个数多于A种个数，找回了几张100元和几张10元的（10元的不超过9张）.如把购A种物品和B种物品的个数互换，找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个，B物几个？
五年级下册数学专项练习 奥数第六讲 不定方程解应用题 _ 全国版(含解析)
五年级下册数学专项练习 奥数第六讲 不定方程解应用题 _ 全国版(含解析）
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟专门貌，属句有夙性，说字惊老师。”因此看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一样学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。现在体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。 大伙儿已学过简单的列方程解应用题，一样差不多上未知数个数与方程的个数一样多，例如中国古代闻名的“鸡兔同笼”问题。
要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言进展的障碍。许多幼儿当众说话时显得可怕：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆那个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，排除幼儿恐惧心理，让他能主动的、自由自在地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的适应。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的爱好，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地关心和鼓舞他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清晰，声音响亮，学会用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出夸奖，并要其他幼儿仿照。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆识也在不断提高。 假如方程（组）中未知数的个数多于方程的个数，此方程（组）称为不定方程（组）。
五年级下册数学专项训练 奥数第六讲 不定方程解应用题 _ 全国版(含答案)
第1页/共8页 第六讲 不定方程解应用题
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。 大家已学过简单的列方程解应用题，一般都是未知数个数与方程的个数一样多，例如中国古代著名的“鸡兔同笼”问题。
要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼第2页/共8页 儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。 如果方程（组）中未知数的个数多于方程的个数，此方程（组）称为不定方程（组）。
其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧，“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识，怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广，要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章的写作技巧是远远不够的，必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句，以及丰富的词语、新颖的材料等。这样，就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累，积少成多，从而收到水滴石穿，绳锯木断的功效。 小学阶段主要是涉及整系数不定方程的整数解.试看一些例。
【小学奥数教程】第六讲不定方程解应用题
【小学奥数教程】第六讲 不定方程解应用题
第六讲 不定方程解应用题
大家已经学过简单的列方程解应用题，一般都是未知数个数与方程的个数一样多，例如中国古代著名的“鸡兔同笼”问题。
如果方程(组)中未知数的个数多于方程的个数，此方程(组)称为不定方程(组)。
小学阶段主要是涉及整系数不定方程的整数解，试看一些例子。
例1 有三张扑克牌，牌的数字互不相同，并且都在10以内。把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙一人。每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别为13、15、23。请问这三张牌的数字是什么,
分析 设三张牌为x、y、z(x,y,z)。再设共发牌n轮(每轮发3张)。记作x，y，z=S.
n?S=13，15，23=51
由于n和S都是整数，51=3×17，只有n=3，S=17。现在转变为不定方程:x,y,z且10,x,y,z?1的条件下:
x，y，z=17
求整数解。
12由于x、y、z均为整数，其最大整数x,，即x?6。，,，17533
X可能值为6、7、8、9。
第一种情况，x=6,y,z，而y，z=17,6=11，而此时y，z最多为5，4，所以x?6。 第二种情况，x=7,y,z，y，z=17,7=10，只有y=6，z=4。但是丙三次牌数字和为23，而23显然不可能表示为,7，6，4,中任意三个(可以重复的，下同)数之和。
所以，第二种情况x=7亦被排除。
第三种情况，x=8,y,z，y，z=17,8=9，(y , z)可能情况有(7，2);(6，3);(5，4)。
而13(甲三次牌数字之)不能表示为,8，7，2,中任意三个数之和，23不能表示为,8，6，3,和,8，5，4,中任意三个数之和，故x=8亦被排除。
第四种情况，x=9,y,z，y+z=17,9=8，观察知y=5, z=3.
(可排除,9，7，1,和,9，6，2,)
五年级奥数列不定方程解应用题学生版
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1、 五年级奥数列不定方程解应用题学生版
2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程
3、 学会解不定方程的经典例题
一、知识点说明
历史概述
不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．
考点说明
在各类竞赛考试中,不定方程经常以应用题的形式出现,除此以外,不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中,不定方程也同样有着重要的地位,所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具,并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、运用不定方程解应用题步骤
1、根据题目叙述找到等量关系列出方程
2、根据解不定方程方法解方程
3、找到符合条件的解 知识精讲 教学目标
列不定方程解应用题
2 / 10 模块一、不定方程与数论
【例 1】 把2001拆成两个正整数的和,一个是11的倍数（要尽量小）,一个是13的倍数（要尽量大）,求这两个数．
【巩固】 甲、乙二人搬砖,甲搬的砖数是18的倍数,乙搬的砖数是23的倍数,两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？
【巩固】 现有足够多的5角和8角的邮票,用来付4.7元的邮资,问8角的邮票需要多少张？
【例 2】 用十进制表示的某些自然数,恰等于它的各位数字之和的16倍,则满足条件的所有自然数之和为___________________.
模块二、不定方程与应用题
【例 3】 有两种不同规格的油桶若干个,大的能装8千克油,小的能装5千克油,44千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？
【例 4】 在一次活动中,丁丁和冬冬到射击室打靶,回来后见到同学“小博士”,他们让“小博士”猜他们各命中多少次．“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以5,让冬冬把自己命中的次数乘以4,再把两个得数加起来告诉他,丁丁和冬冬算了一下是31,“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数．你知道丁丁和冬冬各命中几次吗？
小学五年级上学期数学培优奥数讲义(全国通用)-第18讲 不定方程的应用(含答案)
第18讲 不定方程的应用
知识与方法
不定方程在实际应用中十分广泛，当题目中所求问题多于1个，而等量关系式不足时，我们可以通过列不定方程来解决。
解不定方程应用题的步骤：
1、根据题意列出不定方程；
2、确定结果的范围和特征；
3、解不定方程。
初级挑战1
工程队要铺设28米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子。问：可以有多少种不同的取法？
思路引领：题目中涉及两种不同长度的管道，我们不妨设3米长的管子有x根,5米长的管子有y根，根据题意x、y必须是整数，解不定方程得到的每一组解，即是其中的一种取法。
答案：解:设3米的管子有x根,5米的管子有y根，那么列方程为：
2853＝＋yx 解得：51＝＝yx，26＝＝yx。即有2种不同的取法：3米长的管子1根，5米长的管子5根；或3米长的管子6根，5米长的管子2根。
能力探索1
三年级小朋友做投球游戏，把红、黄两种颜色的球投到5米外的小铁筐里，每投进一个红球得10分，投进一个黄球得9分。马小红一共得了64分，她投进了多少个红球？
答案：解:设马小红投进x个红球,投进 y个黄球，（x、y为自然数），那么列方程为：
64910＝＋yx 解得：61＝＝yx，即投进1个红球。
初级挑战2
一个人的出生月份乘以45加上出生日期，和为100，这个人出生在几月几日？
思路引领：根据题意，可以设这个人出生在x月y日，那么可根据题意列出方程。其中x、y均是非零自然数，且x不大于12，y不大于31。
答案： 10045＝＋yx 解得：551＝＝yx，102＝＝yx。因为日期y不大于31，所以只有一组解102＝＝yx符合题意，即这个人出生在2月10日。
能力探索2
已知面包车可以载6个客人，小车可以载4个客人。现有38个客人，若要使每个客人都有座位且没有空位，要求面包车的辆数大于3辆，问小车和面包车各需几辆？
答案：解：设面包车有x辆，小车有y辆，其中x＞3。根据题意列出方程。
五年级下册数学专项练习奥数第六讲不定方程解应用题_全国版(含解析)
五年级下册数学专项练习奥数第六讲不定方程解应用题_全国版(含解析）
大伙儿已学过简单的列方程解应用题，一样差不多上未知数个数与方程的个数一样多，例如中国古代闻名的“鸡兔同笼”问题。
假如方程（组）中未知数的个数多于方程的个数，此方程（组）称为不定方程（组）。
小学时期要紧是涉及整系数不定方程的整数解.试看一些例。
例1 有三张扑克牌，牌的数字互不相同，同时都在10以内.把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人.每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数.如此反复几次后，三人各自记录的数字和分别为13、15、23.请问这三张牌的数字是什么？
分析 设三张牌为x、y、z（x＞y＞z）.再设共发牌n轮（每轮发3张）.记作x+y＋z＝S。
n·S＝13＋15＋23=51。
由于n和S差不多上整数，51＝3×17.只有n=3，S=17.现在转变为不定方程：x＞y＞z且10＞x＞y＞z≥1的条件下：
x+y＋z＝17
求整数解。
即x≥6.x可能值为6、7、8、9。
第一种情形，x=6＞y＞z，而y+z=17-6=11，而现在y+z最多为5+4.因此x≠6。
第二种情形，x=7＞y＞z，y＋z=17-7=10，只有y=6，z=4.然而丙三次牌数字和为23，而23明显不可能表示为｛7，6，4｝中任意三个（能够重复的，下同）数之和。
第二种情形x=7亦被排除。
第三种情形，x=8＞y＞z，y＋z＝17-8=9，（y，z）可能情形有（7，2）；（6，3）；（5，4）。 而13（甲三次牌数字和）不能表示为｛8，7，2｝中任意三个数之和，23不能表示为｛8，6，3｝和｛8，5，4｝中任意三个数之和，故x=8亦被排除。
第四种情形，x=9＞y＞z，y＋z=17-9=8，观看知y=5，z=3.（可排除｛9，7，1｝和｛9，6，2｝.）
综上所述，三张牌为3、5、9。
五年级奥数春季班第5讲 不定方程
不定方程
模块一、解不定方程
例1．（1）自然数x、y满足4x+3y=38的解为 ；
（2）自然数x、y满足12x+34y=572的解为 ；
（3）自然数x、y满足3751155xy的解为 ；
解：（1）方法1：0<4x<38，所以0
y=3843x=2123xx，2−x是3的倍数，所以x=2、5或8，
当x=2时，y=10；当x=5时，y=6；当x=8时，y=2；
方法2：0<4x<38，所以0
对方程4x+3y=38，两边求模3的同余，得x≡2 (mod 3)，
所以得x=2、5或8，
当x=2时，y=10；当x=5时，y=6；当x=8时，y=2；
所以方程的解是210xy，56xy，82xy。
（2）12x+34y=572，余6x+17y=286，
0<17y<286，所以0
两边求模6的同余得 5y≡4 (mod 6)，得y=2、8、14，
当y=2时，解得x=42；当y=8时，解得x=25；当y=14时，解得x=8；
方程的解是422xy，258xy，814xy.
（3）3751155xy，去分母得11x+5y=37，
0<11x<37，所以0
两边求模5的同余，得 x≡2，所以x=2，代入求得y=3，
所以方程的解是23xy。
例2．（1）自然数x、y满足5x−3y=23的解为 ；
（2）自然数x、y满足18x−51y=858的解为 ；
解：（1）方程5x−3y=23，5x>23，x≥5，
方程两边求模3的同余得 2x≡2，x=1、4、7、10，……，因为x≥5，所以
取x=7，10，13，……，x=4+3k，k≥1，k是正整数， 代入求得3y=5×(4+3k)−23=15k−3，y=5k−1，
所以方程的解是3451xkyk，k≥1，k是整数。