高考数学理科二轮复习课件：专题6 第二讲 椭圆双曲线抛物线

所求定值为||MNFF||＝
23＝2 3
3 .
例 3 如图，动点 M 与两定点 A(－1，0)，B(1，0)构成△MAB， 且直线 MA，MB 的斜率之积为 4，设动点 M 的轨迹为 C.
(1)求轨迹 C 的方程． (2)设直线 y＝x＋m(m＞0)与 y 轴相交于点 P，与轨迹 C 相交于 点 Q，R，且|PQ|＜|PR|，求||PPQR||的取值范围．
(2)由(1)知 a＝ 3，则直线 l 的方程为
x30x－y0y＝1(y0≠0)，即 y＝x03xy－0 3.
因为直线 AF 的方程为 x＝2，所以直线 l 与 AF 的交点 M(2，
2x30y－0 3)；
直线 l 与直线 x＝32的交点为 N32，32x30y－0 3.
（2x0－3）2
则
|MF|2 |NF|2
26
故 l 的斜率 k＝
3 2
(1)求椭圆 C1 的方程； (2)平面上的点 N 满足M→N＝M→F1＋M→F2，直线 l∥MN，且与 C1 交于 A，B 两点，若O→A·O→B＝0，求 l 的方程．
解析：(1)由 C2：y2＝4x 知 F2(1，0)． 设 M(x1，y1)，M 在 C2 上， 因为|MF2|＝53，所以 x1＋1＝53，
解析：(1)设 M 的坐标为(x，y)，当 x＝－1 时，直线 MA 的斜率 不存在；
当 x＝1 时，直线 MB 的斜率不存在．于是 x≠1 且 x≠－1.此时， MA 的斜率为x＋y 1，MB 的斜率为x－y 1.
由题意，有x＋y 1·x－y 1＝4. 化简可得，4x2－y2－4＝0. 故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x2－y2－4＝0(x≠±1)．
随堂讲义
专题六 解析几何 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线
对圆锥曲线的方程与性质的考查是高考的重点，一 般是综合题，常用到一元二次方程根与系数的关系、平 面向量等知识，该类试题多以直线与圆锥曲线为背景， 常与函数与方程、不等式、向量知识交汇，形成求方程、 求参数、求面积、定值的证明等综合题．
预测2016年高考多以解答题形式出现，考查学生利 用数学知识分析、解决问题的能力，考查论证、推理、 运算能力，考查数形结合的思想．
例 1 如图，F1、F2 分别是椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0) 的左、右焦点，A 是椭圆 C 的顶点，B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点，∠F1AF2＝60°.
(1)求椭圆 C 的离心率． (2)已知△AF1B 的面积为 40 3，求 a, b 的值．
解析：(1)由题意可知，△AF1F2 为等边三角形，a＝2c，所以 e ＝12.
解析：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2 为等腰直角三角形，所
以有 OA＝OF2，即 b＝c.所以 a＝ 2c，
e＝ac＝
2 2.
(2)由题知 A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
其中，c＝ a2－b2，设 B(x，y)．
由A→F2＝2F→2B，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
(1)已知离心率，就是知道一个a，b，c的等式． (2)与焦点相关的问题注意运用圆锥曲线的定义求解．
1．如图，已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)，F1，F2 分别为椭圆 的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线 AF2 交椭圆于另一点 B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； (2)若A→F2＝2F→2B，A→F1·A→B＝32，求椭圆的方程．
(2)由4yx＝2－x＋y2m－，4＝0消去 y， 可得 3x2－2mx－m2－4＝0.① 对于方程①，其判别式
Δ＝(－2m)2－4×3(－m2－4)＝16m2＋48＞0，
而当 1 或－1 为方程①的根时，m 的值为－1 或 1. 结合题设(m＞0)可知，m＞0 且 m≠1. 设 Q，R 的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，则 xQ，xR 为方程① 的两根．
解得 x＝32c，y＝－b2，即 B(32c，－b2)．
将 B 点坐标代入xa22＋by22＝1，得94ac22＋bb422＝1， 即49ac22＋14＝1，解得 a2＝3c2.① 又由A→F1·A→B＝(－c，－b)·(32c，－32b)＝32，得 b2－c2＝1，即有 a2－2c2＝1.② 由①②解得 c2＝1，a2＝3，从而有 b2＝2. 所以椭圆方程为x32＋y22＝1.
如图，设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 MN 的 中点为 G(x0，y0)，
y＝k（x＋4），
由x82＋y42＝1，
得
(1＋2k2)x2＋16k2x＋32k2－8＝0.①
由Δ＝(16k2)2－4(1＋2k2)(32k2－8)＞0，解得
－ 22＜k＜ 22.②
因为 x1，x2 是方程①的两根，所以 x1＋x2＝－11＋6k2k2 2， 于是 x0＝x1＋2 x2＝－1＋8k22k2， y0＝k(x0＋4)＝1＋4k2k2. 因为 x0＝－1＋8k22k2≤0，所以点 G 不可能在 y 轴的右边， 又直线 F1B2，F1B1 方程分别为 y＝x＋2，y＝－x－2， 所以点 G 在正方形 Q 内(包括边界)的充要条件为
所以 1＜||PPQR||＝xxRQ＜3，且||PPQR||＝xxRQ≠53 .
综上所述，||PPQR||的取值范围是1，53∪53，3.
2
＜
1＋m32－1
与圆锥曲线相关的参数问题是高考考查的热点问题．解决这类问 题常用以下方法：
(1)根据题意建立参数的不等关系式，通过解不等式求出范围． (2)用其他变量表示该参数，建立函数关系，然后利用求值域的 相关方法求解． (3)建立某变量的一元二次方程，利用判别式求该参数的范围． (4)研究该参数所对应的几何意义，利用数形结合法求解．
(1)：设 F(c，0)，因为 b＝1，所以 c＝ a2＋1，直线 OB 方程为 y＝－1ax，直线 BF 的方程为 y＝1a(x－c)，解得 B(2c，－2ca)．
又直线 OA 的方程为 y＝1ax， 则 A(c，ac)，kAB＝ac－（c－－2c2ca）＝3a. 又因为 AB⊥OB，所以3a·(－1a)＝－1，解得 a2＝3， 故双曲线 C 的方程为x32－y2＝1.
＝
（3y0）2 41＋（（32x30y－0）3）2 2
＝
（2x0－3）2 94y20＋94（x0－2）2
＝
43·3y20（＋23x（0－x03－）22）2.
因为 P(x0，y0)是 C 上一点，则x320－y20＝1，代入上式得 ||MNFF||22＝43·x20－（3＋2x30（－x30）－22）2＝43·4（x202－x01－2x30）＋29＝43，
＝40 3，解得 a＝10，b＝5 3.
解法二 设|AB|＝t， 因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a， 由椭圆定义 |BF1|＋|BF2|＝2a 可知，|BF1|＝3a－t. 再由余弦定理 (3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得，t＝58a. 由 S△AF1B＝12a·85a· 23＝2 5 3a2＝40 3知， a＝10，b＝5 3.
因为|PQ|＜|PR|，所以|xQ|＜|xR|.
xQ＝m－2
3m2＋3，xR＝m＋2
m2＋3
3
.
所以||PPQR||＝xxQR
＝2
2
1＋m32＋1 1＋m32－1
＝1＋ 2
2 .
1＋m32－1
此时 1＋m32＞1，且 1＋m32≠2，所以 1＜1＋ 2
3，且 1＋ 2
2
≠5 ，
1＋m3yF)．因为点 A1，23在椭圆上，所以 xE＋1 ＝－4k（3＋3－4k22k）.
所以 xE＝432－3＋k42k－2 12， yE＝kxE＋32－k. 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代 k，可得
xF＝432＋3＋k42k－2 12， yF＝－kxF＋23＋k. 所以直线 EF 的斜率 kEF＝yxFF－－xyEE ＝－k（xxFF＋－xxEE）＋2k ＝12. 即直线 EF 的斜率为定值，其值为12.
解析： (1)依题意，设椭圆 C 的方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)，焦 距为 2c，
由题设条件知，a2＝8，b＝c，所以 b2＝12a2＝4. 故椭圆 C 的方程为x82＋y42＝1. (2)椭圆 C 的左准线方程为 x＝－4， 所以点 P(－4，0)． 显然直线 l 的斜率 k 存在，所以直线 l 的方程为 y＝k(x＋4)．
3．已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，以两个焦点和短 轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为 8 的正方形(记为 Q)．
(1)求椭圆 C 的方程； (2)设点 P 是椭圆 C 的左准线与 x 轴的交点，过点 P 的直线 l 与 椭圆 C 相交于 M，N 两点，当线段 MN 的中点落在正方形 Q 内(包 括边界)时，求直线的斜率的取值范围．
(1)求双曲线 C 的方程； (2)过 C 上一点 P(x0，y0)(y0≠0)的直线 l：xa02x－y0y＝1 与直线 AF 相交于点 M，与直线 x＝32相交于点 N.证明：当点 P 在 C 上移动时， ||MNFF||恒为定值，并求此定值．
分析：(1)结合双曲线的几何性质，利用方程思想求解；(2)先确 定直线方程并求解相应的交点坐标，再代入化简求值．
解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多 样，但最常用的方法有以下几种：
(1)利用函数，尤其是二次函数求最值； (2)利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最 值； (3)利用不等式，尤其是均值不等式求最值； (4)利用判别式法求最值； (5)利用数形结合，尤其是切线的性质求最值．
2．(2014·江西卷)如图，已知双曲线 C：xa22－y2＝1(a＞0)的右焦 点为 F.点 A，B 分别在 C 的两条渐近线上，AF⊥x 轴，AB⊥OB， BF∥OA(O 为坐标原点)．