优化设计-随机方向搜索法和模型安全性
优化设计数学必修一答案
优化设计数学必修一答案【篇一：高中数学作业优化设计】高中数学作业优化设计作者：何萍然摘要：作业是高中数学教学中一个重要的环节，是学生巩固所学知识，学以致用的一个保障，而且也是检测教师课堂教学效果的一个重要手段。
然而传统的高中数学作业以应试为出发点，布置作业就是为了拿题海战术加深学生理解，以达到在考试时取得高分。
试想，这样的题海战术势必会加大学生学习压力，甚至会使他们对数学产生厌倦感，而且千篇一律的作业也达不到让学生举一反三的作用，因此在课程改革不断深入的今天，改革、优化数学作业设计已成为摆在我们每个教师面前亟待解决的问题。
关键词：数学作业优化设计布置改革前言：数学作业是数学教学过程中的最后一个环节，也是比较重要的环节。
学生通过老师布置的作业，可以巩固课堂知识，教师通过学生的作业可以反馈教学的信息和效果。
因此作业在教学中的作用不可小觑，作为高中数学教师，我们应该认真地研究数学作业的优化与改革。
一、高中数学作业优化设计的重要性高中数学作业的重要地位在前文已经提及，想必教师朋友们都了如指掌。
然而传统的高中数学作业布置却存在着很大的弊端。
因为传统的高中数学作业主要是以教材为中心，以高考为参照，所布置的题目大多是统一的，类似的，大量的，试图以题海战术对知识进行轰炸，浪费了很多人力物力和学生的精力。
这样做的结果是学生对数学学习感到厌倦，做题时存在应付、敷衍的心理，甚至出现了大量的抄袭现象，而且对于不同程度的学生来说，统一的题目会让有些学生觉得比登天还难，有的学生觉得是小菜一碟，不值得做。
因此我们数学教师一定要努力研究数学作业的优化设计，改变这种状况，使数学作业达到其最终的目的。
二、如何优化高中数学作业设计1、作业布置要注重趣味性，开放灵活兴趣是最好的老师，学生听课需要兴趣，做作业更是需要兴趣。
因此我们的作业布置一定要注意引起学生的兴趣，注重趣味性，开放性，灵活性，这样才能使学生不至于厌倦数学作业。
那么，如何才能保证作业具有趣味性、开放性和灵活性呢？首先，在作业形式上要注意变化，实现作业形式的多样化，让学生从多种作业的过程中，体会到数学的趣味性，感觉到快乐，从而培养学生对数学作业的兴趣，进而培养数学兴趣。
现代设计方法---优化设计
E=2×105MPa。现要求在满足使用要求的条件下，试设计一个用
料最省的方案。
优化目标
用料最省
V 1 d 2L
4
d
F M
L
强度条件
max
FL 0.1d 3
w
M
0.2d 3
条件 刚度条件
f
FL3 3EJ
64FL3
3Ed 4
f
边界条件 L Lmin 8c14m
例3 设某车间生产A和B两种产品，每种产品各有两道工序，分 别由两台机器完成这两道工序，其工时列于表中。若每台机器每 周至多工作40小时。产品A的单价为200元，产品B的单价为500 元。问每周A、B产品应各生产多少件，可使总产值为最高。 （这是生产规划的最优化问题）
F —弹簧在负荷P作用下所产生的变形量
n —弹簧的有效圈数
d —弹簧材料的直径
G —弹簧材料的切变模量
3
• 根据上式，如己知或先预定 D2、n、d、G 各参数，通过多次试算、
修改，就有可能得到压簧刚度等于或接近于 的设P计参数。
• 刚度公式也可以写成一般的多元函数表达式，即
• 式中 代表性y能指f 标(xi ) ， 是i 设 1计,2参,量,，N分别代 表 、y 、 、 ，所以P xi 。
0 x L
x b
图1－2
这一优化设计问题是具有两个设计变 量(即x和α)的非线性规划问题。
13
例2：有一圆形等截面的销轴，一端固定，一端作用着集中载荷
F=1000N和扭矩M=100N·m。由于结构需要，轴的长度L不得小于
8cm，已知销轴材料的许用弯曲应力[σW]=120MPa，许用扭转切 应力[τ]=80MPa，允许挠度[f]=0.01cm，密度ρ=7.8t/m3，弹性模量
机械优化设计3
若 f xk f xH ，收缩成功，用 xk 取代 xH 构成新的复合形。
4、压缩
若上述方法均无效，还可采用将复合形各顶点向最好点 拢，压缩后各顶点计算公式为：
xL 靠
x j x L 0.5 x L x j
j 1, 2, , k ; j L
约束允差下，按允差中心δ /2作线性内插，得到将 xt 2 调整到 约束面上的步长。
0.5 gk xt1 s 0 gk xt 2 gk xt1
本次迭代步长取为 五、收敛条件 1、设计点
k M t s
x k 及约束允差满足
f x k T d k 2
g x k 与 d k 夹角大于 90 ，则 若 x k 在一个约束面上，
g x k d k 0
T
g x k 与 d k 夹角大于 90 ，则 若 x k 在J个约束面上，
2、下降条件：
g j x d k 0 j 1, 2,, J
xk 1 xk k d k
关键的三要素：
0 初始点 x 、可行搜索方向 d k 、合适步长 ak 。
适用范围：仅含不等式约束的问题。 特点：1会出现多个局部最优解 2目标函数有定义 3在可行域内进行
二、间接解法（惩罚函数法，增广乘子法） 基本思路：
将约束条件中的约束函数进行特别处理后，与目标函数 结合起来构成新的目标函数序列，从而变成一系列的无约束 优化问题。
j 1, 2, , m f xR f xH
R C
2、扩张
若求得反射点
xR 为可行点，且目标函数值下降较多（ f x f x ）
机械优化设计复习总结
1.优化设计问题的求解方法:解析解法和数值近似解法。
解析解法是指优化对象用数学方程（数学模型）描述,用数学解析方法的求解方法.解析法的局限性：数学描述复杂，不便于或不可能用解析方法求解。
数值解法：优化对象无法用数学方程描述，只能通过大量的试验数据或拟合方法构造近似函数式，求其优化解；以数学原理为指导，通过试验逐步改进得到优化解。
数值解法可用于复杂函数的优化解，也可用于没有数学解析表达式的优化问题.但不能把所有设计参数都完全考虑并表达，只是一个近似的数学描述。
数值解法的基本思路:先确定极小点所在的搜索区间,然后根据区间消去原理不断缩小此区间，从而获得极小点的数值近似解。
2.优化的数学模型包含的三个基本要素：设计变量、约束条件（等式约束和不等式约束）、目标函数（一般使得目标函数达到极小值）。
3.机械优化设计中，两类设计方法：优化准则法和数学规划法。
优化准则法：(为一对角矩阵）数学规划法:（分别为适当步长\某一搜索方向——数学规划法的核心）4.机械优化设计问题一般是非线性规划问题,实质上是多元非线性函数的极小化问题。
重点知识点：等式约束优化问题的极值问题和不等式约束优化问题的极值条件.5.对于二元以上的函数，方向导数为某一方向的偏导数。
函数沿某一方向的方向导数等于函数在该点处的梯度与这一方向单位向量的内积。
梯度方向是函数值变化最快的方向（最速上升方向），建议用单位向量表示，而梯度的模是函数变化率的最大值。
6.多元函数的泰勒展开。
海赛矩阵：=（对称方阵）7.极值条件是指目标函数取得极小值时极值点应满足的条件.某点取得极值，在此点函数的一阶导数为零，极值点的必要条件：极值点必在驻点处取得.用函数的二阶倒数来检验驻点是否为极值点。
二阶倒数大于零,取得极小值。
二阶导数等于零时，判断开始不为零的导数阶数如果是偶次,则为极值点，奇次则为拐点。
二元函数在某点取得极值的充分条件是在该点出的海赛矩阵正定。
极值点反映函数在某点附近的局部性质。
机械优化设计
对机械优化设计的认识我们知道机械优化设计就是在给定的载荷或环境条件下，在对机械产品的形态、几何尺寸关系以及其他因素的限制(约束)范围内，以机械系统的功能、强度和经济性等为优化对象，选取设计变量，建立目标函数和约束条件，并使目标函数获得最优值的一种现代设计方法。
而利用计算机进行机械最优化设计，是在70年代发展起来的一门新技术。
随着计算机的运算速度的提高和普及，以及软件设计水平的提高，最优化参量选择将由计算机来完成从而能找到十分接近于理想的最优设计点，这就足机械最优化的设计理念。
因此，我们可以说机械优化设计正在引起机械设计领域里的一场革命。
尽管计算机在机械优化设计中扮演着什么重要的角色，但是它还是必须经历以下四个分析设计阶段。
只要这样或许才可能让我们找到最满意的结果。
接下来我将对机械优化设计的一般过程进行说明，可将其分为四个阶段。
阶段一：确定设计目标、建立数学模型。
在了解机械优化没计的基本概念基础上，设计变量、目标函数、设计约束条件、了解优化设计的数学模型的规格化形式、以及数学模型的分类。
设计变量：相对于设计常量(如材料的机械性能)，在设计域中变量是否连续：连续变量、离散变量(齿轮的齿数)。
设计问题的维数，表征了设计的自由度。
每个设计问题的方案(设计点)为设计空间中的一个对应的点。
设计空间：二维(设计平面)、三维(设计空间)、更高维(超设计审问)。
设计目标函数：如没计变量的函数。
单目标、多目标函数。
等值面的概念：设计目标为常量时形成的曲面(等值线、等值而、超等值面)。
几何意义：等值线(等值线的公共中心既是元约束极小点)、等值面。
约束条件：等式约束(约数个数小于设计问题的维数)，不等式约束，满足约束条件的设计点的集合构成可行域D：可行点、非可行点、边界没计点。
几何意义(二维)：对于设计空间不满足不等式约束的部分，用阴影表示。
至于数学模型的一般形式：寻找一个满足约束条件的没计点。
使得目标函数值最小。
选择或设计算法，如一维搜索法，坐标轮换法。
配气凸轮优化设计的随机方向探索法
收稿 日期 ：２ ０ ．６０ ０６０ —９
基金项 目：湖北省教育厅重点项 目 （ ２ ０ ２ ０ ２） Ｄ ０６５０ 作者简介 ：汪 ￣ （９ ６ ） ：１６ 一 ，女 ，湖北襄樊人 ，襄樊学院机械工程 系教授 ，研究方 向：发动机智能检测与控 制
维普资讯
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２０ ０ ７年 Ｉ 月 １
襄 樊学 院学 报
Ｊ ｒ ａ ａ ｇｆ ｎ Ｕｎｉｅ ｓｔ ｏｕ ｎ ｌ Ｘｉ ｎ ａ ｏｆ ｖ ｒ ｉｙ
Ｎ ｏ ． ０７ ｖ ２０
＂ｏ１２ ＮＯ． ｄ ．８ １
第 ２ 卷 第 ｌ 期 ８ １
配气 凸轮优化设计的随机方 向探 索法
汪 云 ．等 ：配 气凸轮 优 化设 计 的 随 机 方 向探 索 法
ｍｉ （ ＝一 ｎｆ ｘ） ，
ｇ （ ＝ａ 一【～ Ｊ ０ ｌＸ） … ａ
ｇ （ ＝【 】 ２Ｘ） ａ ｉ 一ａ ｎ ｇ （ ＝３ ｌ ０ Ｘ） 一 ３ ｇ （ ＝Ｘ 一２ ０ ４ Ｘ） ｌ ０
２ 配气机构 凸轮优化 设计数学模型 】
为了得到最高的进 、 排气效率 ， 应该力求得到最大的丰满系数 毛 因此 ，凸轮机构的最优化设计 ，应以 ． 得到最大丰满系数为目标 ；以以 ＜［一 ］ Ｉ ＞［Ｉ ］ ≤ｎ ０ ≤ 一 以 ，以ｌ 以Ｔ ，３ ≤２ ，１ ≤２ 以及凸轮轮廓的最小曲 Ｔ ｉ ｎ ｌ ｉ ｎ ０ 率半径 尺 ＞［ ］ 尺 为约束条件．由于它们都是 ｎ 和 的函数 ， 故可将 ｎ 和 作为设计变量． 这样 ， 高次 多项式凸轮最优化设ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的数学模型可表达为
随机方向探索法是约束最优化问题的一种常用的直接求解方法． 它和随机梯度法 、Ｇ ｕｓ Ｓｉ ｌ ａｓ ｅ ｅ － ｄ 法等都 属于约束随机法． 这类方法一般都包括随机选择初始点 ，随机选择探索方 向和随机选取探索步长等几个步骤． 其基本思想是 ，在约束可行域 内选取一个初始点 ，在不破坏约束的条件下以合适的步长以 。 ㈨ 点周 凇 围几个不 同的方 向（ 以某种形式产生的随机方 向） 进行若干次探索 ，并计算各方向上等距离（ 步长ａ） ｏ 点的函数 值， 找出其中的最小 ） 及点 ． 若 ） ㈨ ） 则继续沿方向 ＜ ， 一 ㈨ ） 当的步长以 以适 向前 跨步 ，得到新点 …，若 … ） ． ＜ ） 中 ，其 … ＝ ’ ａ（ ＋ Ｘ… 一 ㈨ ） 则将新的起点移至 …，重 ， 复前面过程． 否则应缩短步长ａ ，直至取得约束好点． 如此循环下去． 当迭代的步长已经很小时，则表明已经 逼近约束最优点． 达到计算精度要求时，即可结束迭代计算．
优化设计：跨领域提升产品性能、效率与创新智慧的利器
优化设计：跨领域提升产品性能、效率与创新智慧的利器优化设计是一种提高产品或系统性能、减少资源消耗、提高效率的方法。
它广泛应用于各种领域，如工程设计、生产计划、物流管理、金融投资等。
优化设计方法是一种系统性的方法，它通过数学建模、计算机模拟等技术手段，对设计参数进行优化，以实现最优的设计方案。
一、优化设计的基本概念优化设计是一种以数学建模为基础，利用计算机科学和工程学理论和方法，通过迭代和数值计算，寻找最优设计方案的技术手段。
它以目标函数的形式表达设计问题的优化目标，并利用约束条件限制设计变量的取值范围，从而找到满足所有约束条件的最优解。
二、优化设计的数学模型优化设计的数学模型通常由目标函数、设计变量和约束条件三部分组成。
目标函数是衡量设计方案优劣的标准，它可以是产品的重量、成本、性能等；设计变量是影响目标函数的参数，如材料的厚度、形状、尺寸等；约束条件是限制设计变量取值的条件，如强度、刚度、稳定性等。
三、优化设计的方法优化设计的方法主要包括传统优化方法、现代优化方法和混合优化方法。
传统优化方法主要包括梯度法、牛顿法、惩罚函数法等；现代优化方法主要包括遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等；混合优化方法则是将传统优化方法和现代优化方法进行结合，以实现更好的优化效果。
四、优化设计的实现步骤优化设计的实现步骤通常包括问题定义、建立模型、选择优化方法、编写程序、运行程序和结果分析。
问题定义是指明确设计问题的目标、约束条件和设计变量；建立模型是指根据问题定义建立数学模型；选择优化方法是指根据问题特点选择合适的优化方法；编写程序是指将优化方法编写成计算机程序；运行程序是指将程序运行得到最优解；结果分析是指对最优解进行分析，以验证其可行性和优越性。
五、优化设计的应用优化设计广泛应用于各种领域，如机械设计、建筑设计、电子设计、金融投资等。
在机械设计中，优化设计可以用于提高机械部件的性能和效率，如发动机、减速器等；在建筑设计中，优化设计可以用于提高建筑物的空间利用率和结构安全性；在电子设计中，优化设计可以用于提高电子产品的性能和降低成本；在金融投资中，优化设计可以用于制定最优的投资策略和风险控制方案。
随机结构可靠性分析和优化设计研究
随机结构可靠性分析和优化设计研究随机结构可靠性分析和优化设计研究随机结构可靠性分析和优化设计是结构工程领域中的一项重要研究内容，它与结构的安全性、可靠性密切相关。
在现代工程设计中，为了确保结构的可靠性和承载能力，必须进行充分的可靠性分析和优化设计。
本文将探讨随机结构可靠性分析和优化设计的基本原理与方法。
一、随机结构可靠性分析在随机结构可靠性分析中，我们首先需要了解随机变量、概率分布和可靠度等基本概念。
1. 随机变量随机变量是描述结构参数的一种数学抽象，如荷载、材料强度等。
它的值是随机的，服从某种概率分布。
2. 概率分布概率分布描述了随机变量的取值情况。
常见的概率分布有正态分布、均匀分布、指数分布等。
通过选取适当的概率分布，我们可以对随机变量进行精确的描述。
3. 可靠度可靠度是描述结构在给定的工作时间内不发生失效的概率。
可靠度分析的目标就是通过对结构参数的概率分布进行分析，确定结构的可靠度。
对于随机结构，我们通过构建数学模型，考虑各个随机变量之间的相互影响，可以得到结构的可靠度评估方法。
1. 单变量可靠性分析单变量可靠性分析是指在考虑一个随机变量的情况下，计算结构的可靠度。
常见的方法有基于分位数和基于极限状态函数的方法。
2. 多变量可靠性分析多变量可靠性分析是指在考虑多个随机变量的情况下，计算结构的可靠度。
常见的方法有蒙特卡洛模拟、极值理论方法和相关向量法等。
二、随机结构优化设计随机结构优化设计是在已知结构函数和可靠度要求的基础上，通过调整结构参数，使结构在满足设计要求的同时具有最佳性能和经济性。
1. 可靠性约束优化设计可靠性约束优化设计是指在满足结构可靠度约束条件的前提下，寻找最优的设计方案。
常见的方法有静态法、动态法和基于遗传算法等。
2. 可靠性敏感性分析与优化可靠性敏感性分析是指在已知结构可靠度要求的情况下，通过对设计参数进行敏感性分析，找到最敏感的参数，从而进行进一步的优化设计。
随机结构可靠性分析和优化设计在工程实践中具有重要的应用。
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随机方向搜索法的计算步骤
• 1选择初始点x0 ，并检验可行性条件（约束条 件），若满足则进行下一步，否则重选初始 点； • 2产生N个随机单位向量ej ，在以x0 为中心， H0 为半径的超球面上产生随机 xj =x0+H0ej (j=1,2,3,……,N) 对可行的随机点计算其目标函数值F（ xj ）， 并选出其中函数最小的点xl ，若F(xl )<F(x0),则 以x0 出发沿方向S= xl -x0 以加大步长1.3 H0进 行搜索，否则应减小试验步长至0.7 H0，以0.7 H0 为半径重复步骤2；
模型安全性
可 靠 性 理 论 组 成
概率论 数理统计 可靠性数学随机过程 运筹学 拓扑学 可靠性理论可靠性物理：研究失效 的物理原因 进行统计分析 对产品失效及发生概率 对产品进行可靠性设计 可靠性预测 可靠性工程 可靠性试验 可靠性评估 可靠性检验 可靠性维修
参考文献
• 祝海林，邹旻，随机方向搜索法的若干问 题[J].淮南矿业学院学报,1991,11(3):57-63
• 3 沿S方向完成一次迭代，若搜索的新点X继 续满足可行性及函数值下降性要求，则令X 0=X，继续加大步长进行搜索;否则以缩短步长 0.7H进行搜索，直至目标函数不再下降而又 不破坏约束条件为止。然后按新的初始点X0重 复步骤2；步骤3作下一轮搜索； • 4当同一次迭代的始点与末点的函数值满足 |(F(xl)-F(x0))/F(x0)|≤ε1, 步长||x-x0|| ≤ε2 , 结束迭代，并取x*=x，F(x*)=F(x),这里ε1， ε2 为给定的收敛精度。
随机方向搜索法和模型安全性
随机方向搜索法基本原理
• 在约束可行域内选取一个初始点x0 ,以初始 点为中心，产生数十个或上百个随机方向， 以相同的试验步长因子求得每个方向上的 试验点及其函数值，找出目标函数值最小 的试验点xl，并以x0与xl 的连线方向取为本 次迭代的搜索方向，沿此方向通过加大或 缩小步长因子随机搜索，找到可行的好点x 再以此点为中心，转入下一次迭代过程。 如此循环下去，当迭代的步长已经很小时 则说明已经逼近约束最优点，当达到计算 精度要求时，即可终止迭代。