高中数学-人教A版-必修2-第二章知识点总结

年级高一学科数学版本人教新课标A版

课程标题必修2 第二章第1节空间点、直线、平面之间的位置关系

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一、学习目标：

1. 掌握平面的表示法及水平放置的直观图；掌握平面的基本性质、作用及公理1-3；

2. 了解空间中两条直线的位置关系；理解异面直线的概念、画法，理解并掌握公理4；理解并掌握等角定理；异面直线所成角的定义、范围及应用．

3. 了解空间中直线与平面的位置关系；了解空间中平面与平面的位置关系。

二、重点、难点：

重点：平面的概念及表示；平面的基本性质，公理1-3中的图形语言及符号语言；异面直线的概念；公理4及等角定理；空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系．难点：平面基本性质的掌握与运用；异面直线所成角的计算；用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系．

三、考点分析：

考纲对这部分知识的要求是：理解空间点、直线和平面的位置关系，掌握平面的基本特性，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。在考试中对点、线、面位置关系的考查经常出现在选择题中，求异面直线所成的角经常出现在选择题和解答题中。

1. 平面的含义、画法及表示

2. 点和面的位置关系

点A在平面α内，记作：A∈α

点B在平面α外，记作：B α

3. 公理1—3

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

符号语言表示为：

A l

B l l A B ααα∈⎫⎪∈⎪

⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭

l

α

B

A

公理1作用：判断直线是否在平面内

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

符号语言表示为：A 、B 、

C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α．

公理2作用：确定一个平面的依据．

推论1：过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：过两条平行直线，有且只有一个平面。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

符号语言表示为：P ∈α∩β⇒α∩β=l 且P ∈l 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 4. 空间中的两条直线的位置关系

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点． 5. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线

c a b c b a //////⇒⎭

⎬⎫

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据． 6. 异面直线所成的角

（1）已知异面直线a 、b ，经过空间中任一点O 作直线a'∥a 、b'∥b ，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）．

（2）注意：

① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置关系来确定，与O 点的选择无关，为了

简便，点O 一般取在两直线中的一条上；

② 两条异面直线所成的角θ∈(0，

2

π]

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤

计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 7. 直线与平面的位置关系

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线与平面平行 —— 没有公共点

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用α⊄a 来表示

a α⊂ a∩α=A a ∥α

8. 两个平面的位置关系

（1）两个平面平行——没有公共点

（2）两个平面相交——有且只有一条公共直线

用类比的方法，可使学生快速地理解与掌握新内容，这两种位置关系用图形语言表示为

β

α

α

β

l

α∥β α∩β=l

知识点一：确定平面

例1. 空间四点可以确定几个平面？三条直线两两相交可确定几个平面？空间四条平行直线可以确定几个平面？一条直线和直线外不在同一条直线上的三点可确定多少个平面？

思路分析：利用公理2可以解决确定平面的问题 解答过程：1. 空间四点可以确定0个、1个、4个平面。 三点确定一个平面，讨论第四个点是否在平面上。 2. 三条直线两两相交可确定1个或3个平面。 3. 空间四条平行直线可以确定1个、4个、6个平面。

4. 一条直线和直线外不在同一条直线上的三点可确定1个、3个、4个平面。 解题后的思考：对于空间中点、线的位置关系要全面分析，不要遗漏。

知识点二：点、线共面

例2. 如图，正方体ABCD ——1111D C B A 中E 、F 为1AA 、1CC 中点。求证：1D 、E 、F 、B 四点共面。

思路分析：利用公理1和2可解决点共面的问题，从而解决确定平面的问题。 解答过程：连接E D 1交DA 延长线于M ∵ E 为A A 1中点

∴ MA=AD

同理，连接F D 1交DC 延长线于N ，CN=CD ∵ 正方体ABCD ——1111D C B A ∴ MA=AB=BC=CN

∴ ︒=∠45MBA ，︒=∠90ABC ，︒=∠45CBN ∴ ︒=∠180MBN ∴ M 、B 、N 三点共线l ∴ l D ∉1，1D 、l 确定平面α

∴D 1、E 、M 、B 、N 、F 六点共面α，从而D 1、E 、F 、B 四点共面 解题后的思考：将几个公理结合起来使用是解决问题的关键

例3. 如图，正方体1111D C B A ABCD -，E 、F 、G 、H 、M 、N 为各棱中点，求证：EFGHMN 为正六边形。

A F

B E D N H G M C

A 1

D 1

C 1

B 1