微分算子概念
微分算子作用
微分算子作用1. 概述微分算子是微积分中的重要概念，用于描述函数的变化率。
它是一个操作，作用于一个函数，生成另一个函数。
微分算子的作用可以理解为对函数进行求导或求微分的过程。
微分算子在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
在数学中，微分算子是微分方程的基础，可以用于研究函数的性质和解析解。
在物理中，微分算子可以描述物体的运动和变化，如速度、加速度等。
在工程中，微分算子可以用于信号处理、图像处理、控制系统等各种应用。
2. 常见的微分算子常见的微分算子有导数算子、偏导数算子和拉普拉斯算子等。
2.1 导数算子导数算子是一种一阶微分算子，用于描述函数的变化率。
对于函数f(x)，导数算子的作用可以表示为：D(f(x))=df(x) dx其中，D表示导数算子，df(x)dx表示函数f(x)的导数。
2.2 偏导数算子偏导数算子是一种多变量函数的微分算子，用于描述函数在各个方向上的变化率。
对于多变量函数f(x1, x2, …, xn)，偏导数算子的作用可以表示为：∂f(x1,x2,...,xn)∂xi其中，∂∂xi 表示偏导数算子，∂f(x1,x2,...,xn)∂xi表示函数f(x1, x2, …, xn)对变量xi的偏导数。
2.3 拉普拉斯算子拉普拉斯算子是一种二阶微分算子，用于描述函数的曲率和变化率。
对于函数f(x1, x2, …, xn)，拉普拉斯算子的作用可以表示为：Δf(x1,x2,...,xn)=∇2f(x1,x2,...,xn)其中，Δ表示拉普拉斯算子，∇2表示梯度算子的平方，∇2f(x1,x2,...,xn)表示函数f(x1, x2, …, xn)的拉普拉斯。
3. 微分算子的性质微分算子具有一些重要的性质，包括线性性、乘积法则和链式法则等。
3.1 线性性微分算子具有线性性，即对于任意函数f(x)和g(x)，以及任意实数a和b，有：D(af(x)+bg(x))=aD(f(x))+bD(g(x))其中，D表示微分算子。
微分几何中的算子理论与应用
微分几何中的算子理论与应用微分几何是数学中的一个重要分支，研究空间中曲线、曲面等几何对象的性质和变换。
在微分几何的研究中，算子理论扮演着重要的角色。
本文将介绍微分几何中的算子理论以及其在实际应用中的意义。
一、算子理论概述算子是指将一个函数映射到另一个函数的操作符。
在微分几何中，算子理论研究的是定义在流形上的算子及其性质。
流形是指具有局部欧几里德空间性质的空间，它可以是曲线、曲面或更高维的对象。
算子理论在微分几何中有广泛的应用，它可用于描述流形上的切空间、联络和度量等概念。
算子的定义和性质可以帮助我们理解曲线和曲面的几何特性，并为微分方程的研究提供了基础。
二、常见的算子1. 梯度算子：梯度算子是微分几何中常见的算子之一。
它表示函数在流形上变化最快的方向。
梯度算子在物理学中也有广泛的应用，可以描述场的变化率和力的方向。
2. 散度算子：散度算子用于描述流体在流形上汇聚或发散的程度。
它可以量化流体的源汇分布，对于流体动力学的研究具有重要意义。
3. 拉普拉斯算子：拉普拉斯算子是微分几何中的重要算子，它可以表示函数的曲率和波动情况。
拉普拉斯算子在图像处理和计算机图形学中有广泛的应用，可用于图像平滑和边缘检测等领域。
4. 线性算子：线性算子表示函数之间的线性映射关系。
在线性算子的研究中，我们可以通过分析其特征向量和特征值来理解流形的几何特性。
三、算子在微分几何中的应用算子理论在微分几何中有许多实际应用，下面将介绍其中几个重要的应用领域。
1. 曲线和曲面的描述：算子可以帮助我们描述曲线和曲面的性质，如曲率、曲率半径等。
通过对算子的计算和分析，我们可以获得曲线和曲面的几何特性，进而研究它们的形状和变形。
2. 流形的切空间：算子可以定义流形上的切空间，切空间描述了流形上每一点的切向量的集合。
通过算子的定义和运算，我们可以获得流形上每个点的切空间的性质，进而研究流形的平滑性和变换规律。
3. 联络的描述：算子理论在流形的联络描述中也有重要应用。
微分算子法 多项式除法
微分算子法多项式除法摘要：一、微分算子法的概念1.微分算子的定义2.微分算子在数学中的应用二、多项式除法的基本原理1.多项式的表示方法2.多项式除法的步骤3.多项式除法的应用三、微分算子法在多项式除法中的应用1.微分算子法的基本思想2.微分算子法在多项式除法中的具体应用3.微分算子法与传统多项式除法的比较四、微分算子法在实际问题中的应用1.微分算子在微分方程求解中的应用2.微分算子在数据处理和机器学习中的应用正文：微分算子法是一种在数学领域广泛应用的方法，它涉及到微分算子的定义及其在各种问题中的应用。
其中，多项式除法是微分算子法的一个重要应用方向。
本文将首先介绍微分算子法的相关概念，然后阐述多项式除法的基本原理，接着分析微分算子法在多项式除法中的应用，最后讨论微分算子法在实际问题中的具体应用。
一、微分算子法的概念微分算子是一种在数学中广泛应用的算子，它可以用于表示各种变化率和导数。
给定一个函数f(x)，我们可以定义微分算子Df(x) 为：Df(x) = f"(x)。
其中，f"(x) 表示函数f(x) 在点x 处的导数。
微分算子可以用于表示各种变化率和导数，例如，一阶导数、二阶导数等。
二、多项式除法的基本原理多项式除法是一种基本的数学运算，它可以用于计算两个多项式相除的结果。
给定两个多项式P(x) 和Q(x)，多项式除法的步骤如下：1.将除数Q(x) 的最高次项与被除数P(x) 的最高次项相除，得到商的常数项。
2.将商的多项式乘以除数Q(x)，并从被除数P(x) 中减去得到一个新的多项式。
3.将新多项式的最高次项与除数的次高次项相除，得到商的次高次项。
4.将商的多项式乘以除数Q(x)，并从新多项式中减去得到一个新的多项式。
5.重复上述过程，直到除数的次数小于被除数的次数，此时多项式除法结束。
三、微分算子法在多项式除法中的应用微分算子法在多项式除法中的应用主要体现在利用微分算子表示多项式的导数，从而简化多项式除法的计算过程。
张宇讲的微分算子法
张宇讲的微分算子法一、引言微分算子法（Operator method）是高等数学中的一种常用求解微分方程的方法。
它由中国著名数学家张宇在其讲授的高等数学课程中提出并详细讲解。
本文将对张宇讲的微分算子法进行全面详细、完整且深入的介绍和解析。
二、微分算子法概述微分算子法是一种将微分方程转化为代数方程求解的方法。
通过引入一个特殊的算子，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化了问题的求解过程。
三、微分算子在微分算子法中，我们首先需要引入一个特殊的算子——微分算子（Differential Operator）。
对于一个函数f(x)，其对应的微分算子为D，表示为D[f(x)]。
常见的微分算子包括一阶导数算子D、二阶导数算子D²等。
对于一阶导数算子D，其定义为：D[f(x)] = f'(x)其中f’(x)表示f(x)对x的一阶导数。
四、微分方程与代数方程转换通过引入微分算子，我们可以将一个n阶线性常系数齐次微分方程转化为一个n次代数方程。
具体的转换方法如下：1.将微分方程中的函数用微分算子表示，例如对于f(x)，用D表示。
2.将微分方程中的导数用微分算子表示，例如对于f’(x)，用D[f(x)]表示。
3.将微分方程中的常数项移至等号右侧。
4.应用微分算子的性质和运算规则，将微分方程转化为代数方程。
5.求解代数方程，得到原微分方程的解。
五、示例下面通过一个具体的例子来演示如何使用微分算子法求解微分方程。
例题：求解二阶线性常系数齐次微分方程：y'' - 3y' + 2y = 0解答：1.首先引入微分算子D，将函数y(x)表示为D[y]。
2.将导数用微分算子表示，将常数项移至等号右侧，得到：(D² - 3D + 2)y = 03.将方程中的D²、D和常数项2应用到函数y上，得到：(D² - 3D + 2)[y] = 04.根据代数方程的性质和运算规则，我们可以将上述代数方程拆分为两个代数方程：(D - 1)(D - 2)[y] = 05.求解上述代数方程，得到两个根：D = 1和D = 2。
微分算子作用(一)
微分算子作用(一)微分算子作用什么是微分算子微分算子是微分运算的符号化表示。
在数学中，微分算子是用来描述函数变化率的一种运算符号。
微分算子的定义微分算子一般由一个或多个变量和导数组成。
常见的微分算子有：•一阶微分算子：常见的一阶微分算子包括一阶导数、梯度和散度等。
•二阶微分算子：常见的二阶微分算子包括二阶混合导数、拉普拉斯算子等。
微分算子的作用微分算子通过作用于函数，可以得到函数的变化率，从而提供关于函数的各种信息。
微分算子的作用可以概括为以下几个方面：1.求导：微分算子可以对函数进行求导运算，得到函数在某一点的切线斜率。
2.求高阶导数：通过多次应用微分算子，可以得到函数的高阶导数信息，进一步揭示函数的变化规律。
3.计算梯度：梯度是一阶微分算子的一种推广，它可以用来描述函数在多维空间中的变化趋势。
4.计算散度：散度是一种描述矢量场源汇性质的微分算子，可以用来判断矢量场的收敛或发散情况。
5.计算拉普拉斯算子：拉普拉斯算子是二阶微分算子的一种常用形式，在物理学中有广泛的应用。
应用举例微分算子的应用非常广泛，以下是一些常见的应用领域：•物理学：微分算子在描述粒子运动、场强分布等物理现象中起到关键作用。
•工程学：微分算子在工程领域中用于描述流体力学、电场分布等问题。
•计算机科学：微分算子在图像处理、计算机视觉等领域中有着重要的应用。
•金融学：微分算子可以用于股价变化的预测和风险分析等方面。
总结微分算子是微分运算的符号化表示，通过作用于函数可以得到函数的变化率和其他重要信息。
它在数学和各个科学领域中都有着广泛的应用，对于研究和理解事物的变化规律具有重要意义。
微分算子的原理
微分算子的原理微分算子是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的变化率。
它是一个作用在函数上的运算符，通过对函数进行微分运算，求得函数在某一点的导数。
微分算子的原理是基于极限的思想，通过无限小的变化来描述函数的性质。
微分算子的核心思想是将函数的变化转化为无穷小的局部变化。
在微积分中，我们研究函数的变化通常是通过求导来实现的。
而微分算子就是求导运算的一种表示方式，它通过作用在函数上将函数转化为导数。
在数学中，微分算子常用符号表示为d/dx，其中d表示微分的操作，dx表示自变量的无穷小变化。
微分算子作用在函数上，可以将函数转化为导数的形式。
例如，对于函数f(x)，它的导数可以表示为df(x)/dx，其中df(x)是函数f(x)的微分，dx表示自变量x的无穷小变化。
微分算子的原理可以通过极限的概念来解释。
当我们求函数在某一点的导数时，实际上是在研究函数在该点附近的局部变化。
我们可以将函数在该点附近进行局部近似，用切线来逼近函数的变化。
这个切线的斜率就是函数在该点的导数。
微分算子的原理还可以通过微分的定义来解释。
微分的定义是函数在某一点的改变量与自变量的改变量的比值，当自变量的改变量趋于零时，这个比值就可以近似地等于导数。
微分算子在这个过程中起到了将函数转化为导数的作用。
微分算子的原理在实际应用中具有重要的意义。
它可以用于解决许多实际问题，如物理中的运动学问题、经济学中的边际分析问题等。
通过微分算子，我们可以对函数的变化进行精确的描述和分析，从而更好地理解和应用数学在实际问题中的作用。
微分算子的原理是基于极限的思想，通过作用在函数上将函数转化为导数的形式。
它是微积分中的重要概念，用于描述函数的变化率。
微分算子的原理在实际应用中具有广泛的应用，对于理解和应用数学起到了重要的作用。
通过深入研究和理解微分算子的原理，我们可以更好地掌握微积分的核心思想，提高数学的应用能力。
微分算子法
微分算子法微分是数学中的一种基本运算，在计算机视觉、自然语言处理、机器学习等领域中有着广泛的应用。
微分算子是一种对函数进行微分的操作符，它是一种线性映射，它接受一个函数并返回它的导数。
在这篇文章中，我们将介绍微分算子及其应用，包括在图像处理中使用的Sobel算子、在自然语言处理中使用的差分算子等。
微分微分是一种基本的数学运算，它是求解函数的变化率的方法。
它通常用符号dy/dx表示。
微分算子是一种对函数进行微分的操作符。
微分的本质是求解函数在一个点处的导数，导数表示函数在这个点附近的变化率。
如果函数在某个点的导数是正的，这意味着函数在这个点附近是上升的。
如果导数是负的，这意味着函数在这个点附近是下降的。
如果导数接近于零，这意味着函数在这个点附近是平稳的。
微分算子是一种对函数进行微分的操作符，它是一种线性映射，它接受一个函数并返回它的导数。
在图像处理中，我们可以使用微分算子来检测像素值的变化，这些变化可能代表着图像中的边缘。
微分算子之所以能够检测到边缘，是因为边缘处的像素值陡然变化，这导致了函数在这个位置的导数的值非常大。
1. 差分算子差分算子是一种顺序差分运算，它可以用来检测一维信号中的变化。
在自然语言处理中，差分算子可以用来检测文本中的单词或词组的出现和排列顺序的变化。
在图像处理中，我们可以使用一维差分算子来分析像素值的变化。
例如，我们可以通过计算某一行或某一列像素值之间的差异来检测边缘。
2. Sobel算子Sobel算子是一种二维微分算子，它可以用来检测图像中的边缘。
Sobel算子的原理是计算图像中每个像素位置的梯度向量。
梯度向量指向图像中像素值变化最大的方向，从而帮助我们找到边缘。
Sobel算子将图像滤波并计算每个像素位置处的梯度向量。
它利用两个矩阵（分别为x 和y方向上的）来计算梯度。
这些矩阵可以根据不同的需求自定义。
图像中每个像素的梯度向量的大小和方向可以通过这些矩阵计算得出。
3. Laplace算子Laplace算子是一种二维微分算子，它可以用来检测图像中的边缘和角点。
微分方程算子法
微分方程算子法微分方程算子法是微分方程求解的一种重要方法。
它通过引入算子的概念，将微分方程转化为代数方程，从而简化了求解过程。
微分方程是描述自然界中各种变化规律的重要数学工具。
它包含了未知函数及其导数之间的关系，一般形式为：F(x, y, y', y'', ...) = 0其中，x是自变量，y是未知函数，y'、y''等表示y的一阶、二阶导数等。
求解微分方程的目标就是找到满足这个方程的未知函数y。
常见的微分方程求解方法有分离变量法、变量替换法、常系数线性微分方程求解法等。
而微分方程算子法是其中的一种，它主要用于求解线性微分方程。
所谓线性微分方程，是指未知函数及其导数之间的关系式为线性关系。
对于形如：L(y) = f(x)的线性微分方程，其中L是一个微分方程算子，f(x)是已知函数。
我们的目标是求解出未知函数y。
微分方程算子法的基本思想是引入一个算子D，使得D(y) = y'。
这样，原微分方程L(y) = f(x)就可以转化为：L(D)(y) = f(x)其中L(D)是一个算子，它作用在y上得到一个新的函数。
通过将微分方程转化为代数方程，我们就可以利用代数方法求解。
具体来说，我们可以将微分方程L(D)(y) = f(x)展开为：a0*y + a1*D(y) + a2*D^2(y) + ... + an*D^n(y) = f(x)其中a0、a1、...、an是常数，D^k表示算子D作用k次。
然后，我们可以将未知函数y表示为算子D的多项式形式：y = c0 + c1*D(y) + c2*D^2(y) + ... + cn*D^n(y)将这个表达式代入原微分方程，我们可以得到关于c0、c1、...、cn的代数方程组。
通过求解这个方程组，我们就可以得到未知函数y的表达式。
微分方程算子法的优势在于，它将微分方程转化为代数方程，避免了直接求解导数的麻烦。
此外，它还可以简化一些复杂的非线性微分方程的求解过程。
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1-16 1-17 1-18
可见
在张量空间梯度和散度可以互相转换
引入二阶张量可以简化一些矢量公式
旋度
r r r ˆ + (∇ × A′ ˆ ′ )x ′ )z ˆ ∇ × A = (∇ × Ax + ∇ × ) ( y A y z r r r r r r ∂Ay ∂Ax ∂Ax ∂Az ∂Az ∂Ay ˆ( ˆ( ˆ( )+ y )+z ) =x − − − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
v
r
s
∫ dv∇ ⋅ A = ∫ ds ⋅ A
v s
r
1-20 1-22 1-24
r
r ∫ dv∇ϕ = ∫ dsϕ
v s
s
∫ dv∇ × A = ∫ ds × A
v
r
r rr ∫ dv∇f = ∫ ds f
v s
s
2
二维变换
∫
s s
r r r r ds ⋅ ∇ × f = dl ⋅ f
∫
l
1-25 1-26 1-27
所以 并矢既可以用矢量表示也可用三阶矩阵表示 但并不是任意三阶矩阵都表示并矢 因为并矢 只有 6 个独立量 而三阶矩阵有 9 个独立量 ˆx ˆ+y ˆy ˆ+z ˆz ˆ 称为单位张量 对应单位矩阵 I=x r r 1-11 I ⋅a =a
!
并矢运算规则 1. 点乘 2. 3. 4. 叉乘 双重点乘 双重叉乘 r r A⋅a ≠ a ⋅ A
1-12 1-13 1-14 1-15
注意一般情况下 ! 微分运算规则 梯度
r r 如果 A ⋅ a = a ⋅ A
r ˆ + (∇f y ) y ˆ + (∇f z ) z ˆ ∇f = (∇f x ) x
散度
r r r r r r ∂Ax ∂Ay ∂Az ˆ + (∇ ⋅ A′ ˆ + (∇ ⋅ A′ ˆ= ∇ ⋅ A = (∇ ⋅ A′ + + x )x y )y z )z ∂x ∂y ∂z
1-29
∇f (R ) =
df ˆ R = −∇ ′f (R ) dR
1-30
其中
∇ ′ 表示对源点求梯度 特别有
ˆ ∇R = R 1 1 ˆ ∇ =− 2 R R R v v v ∇ a ⋅ R = a 其中
1-31 1-32
故
r $ + ay y $ + az z $ [ 1-33 证明 ] 设 a = a x x 直角坐标 则 v v a ⋅ R = a x ( x − x ′) + a y ( y − y ′) + a z ( z − z ′) v r v $ + ay y $ + az z $=a ∇ a ⋅ R = ax x
源 点
r r r R = r − r′
场 点
r r′ r r
O
图 1-1 矢径的定义
四
r 矢径 R
在电磁场理论中许多问题都涉及矢径 R 及其函数
r
因此
研究矢径 R 及其函数的梯度
r
散度和旋
1-4
高等电磁场讲义 • 第 1 讲
度非常有用 其中
r $ 表示 R 方向的单位矢 R
如图 1-1
矢径 R 定义为
1-1
在几种常用坐标系中
h1
h2
h3 的值如表 1-1 所示
表 1-1
h1
直角坐标系 圆柱坐标系 球坐标系 1 1 1
h2
h3
1 1
ρ
r
1
r sin θ
函数 f 的梯度
r ˆ1 + f 2 v ˆ2 + f 3 v ˆ3 的散度和旋度定义如下 矢量函数 f = f1v 1 ∂f 1 ∂f 1 ∂f ˆ1 ˆ2 ˆ3 ∇f = v +v +v h1 ∂v1 h2 ∂v 2 h3 ∂v3 r ∂ ∂ ∂ 1 [ (h2 h3 f1 ) + (h1 h3 f 2 ) + (h1 h2 f 3 )] ∇⋅ f = h1 h2 h3 ∂v1 ∂v 2 ∂v 3 r ∇× f = 1 h1 h2 h3 ˆ1 h1v ∂ ∂v1 h1 f1 ˆ 2 h3 v ˆ3 h2 v ∂ ∂ ∂v 2 ∂v 3 h2 f 2 h3 f 3
rr rr r r r r (ab ) ⋅ (c d ) = a (b ⋅ c )d rr rr r r r r (ab ) × (c d ) = a (b × c )d rr rr r r r r (ab ) : (c d ) = (a ⋅ c )(b ⋅ d ) rr rr r r r r (ab ) × × (c d ) = (a × c )(b × d ) 则称 A 对称
1-5 1-6 1-7
! 利用 得
r r v v v v ∇( f ⋅ g ) = ∇( f ⋅ g c ) + ∇ ( f c ⋅ g )
r r v v r r ∇( f ⋅ g c ) = g × (∇ × f ) + ( g ⋅ ∇) f r r v v r r ∇( f c ⋅ g ) = f × (∇ × g ) + ( f ⋅ ∇) g v v v v v v v v v v 则 ∇( f ⋅ g ) = f × (∇ × g ) + g × (∇ × f ) + ( f ⋅ ∇) g + ( g ⋅ ∇) f (1-10) 在上述推导中 下标 c 表示进行 ∇ 算子运算时保持常量 总结出 ∇ 算子的运算原则 利用矢量公式 1 2 ∇ 算子始终在作用函数的左边 非作用函数的右边
第一部分
第1 讲 第2 讲 第3 讲 第4 讲 第5讲 场论基础 Maxwell 方程 媒质本构关系 电磁能量 电磁动量与张力
高等电磁场讲义 • 第 1 讲
第1讲
场论基础
场论是电磁场分析的基础 在本讲中 简要地介绍了 ∇ 算子 并矢的定义 性质和运算规则 概 括性地给出了积分变换的统一形式 最后 讨论了电磁场理论中常用的矢径的性质 为今后的理论分析 奠定基础
高等电磁场阅读资料
哈工大电子与通信工程系 2003
前言 本阅读资料共分四部分，总计20讲。主要供电磁场与微波技术学科 研究生课外阅读。
第一部分包括： 第1 讲 场论基础 第2 讲 Maxwell 方程 第3 讲 媒质本构关系 第4 讲 电磁能量 第5 讲 电磁动量与张力 第二部分包括： 第6 讲 辅助位函数 第7 讲 无源区域电磁场量的表示 第8 讲 唯一性定理 第9 讲 广义Maxwell 方程和互易定理 第10讲 等效原理与感应定理 第三部分包括： 第11 讲 镜像原理(I) 第12 讲 镜像原理理(II) 第13 章 分离变量法 第14 章 本征函数展开法 第15 讲 Green 函数法I 第四部分包括： 第16 讲 Green 函数法法(II) 第17 讲 并矢Green 函数 第18 讲 Einstein 相对论 第19 讲 电磁场量的Lorentz 变换换(I) 第20 讲 电磁场量的Lorentz 变换换(II)
一
∇ 算子 ∇ 算子与微分形式的 Maxwell 方程密切相关 在曲线坐标中
其中
$1 v
$2 v
ˆ3 分别是坐标轴 v1 v
v2
∇ 算子定义为 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂ ˆ1 ˆ2 ˆ3 ∇=v +v +v h1 ∂v1 h2 ∂ v 2 h3 ∂v3 v3 的单位矢 h1 h2 h3 为坐标系的拉梅系数
ˆ x v ˆ + fyy ˆ + fzz ˆ ˆ = fx f y fz y f = fxx z ˆ
[
]
,
ˆ x v ˆ + gyy ˆ + gzz ˆ ˆ = gx g y gz y g = gxx z ˆ
[
]
则
[
]
1-2
高等电磁场讲义 • 第 1 讲
式中
r r r t t t t r t r t r ′ = fg x , A ′ ′ = fg z , Ax = f x g , A y = f y g , Az = f z g Ax y = fg y , Az
r
r r r ˆ = (x − x ′)x ˆ + ( y − y ′)y ˆ + (z − z ′)z ˆ R = r − r ′ = RR
1-28
$, y $, z $ 分别表示直角坐标的 x, y, z 轴的单位矢 x
r 表示矢径 R 的模
! 梯度
r 2 2 2 R = R = ( x − x ′) + ( y − y ′ ) + ( z − z ′ )
1-2 1-3
1-4
[讨论] 可以看出 ∇ 算子具有算子和矢量双重性 梯度 ∇f 可以看成是矢量算子 ∇ 与函数 f 的乘 积 在直角坐标系 散度 ∇ ⋅ f 和旋度 ∇ × f 可看成矢量算子 ∇ 与矢量函数 f 的点乘和叉乘 但在其他 坐标系则不然
r
r
r
1-1
高等电磁场讲义 • 第 1 讲
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下面给出一些 ∇ 算子常用运算公式及其推导过程 ∇(ϕφ ) = ∇ (ϕφ c ) + ∇(ϕ cφ ) = (∇ϕ )φ + ϕ (∇φ ) ! r r r r r ! ∇ ⋅ (ϕf ) = ∇ ⋅ (ϕf c ) + ∇ ⋅ (ϕ c f ) = (∇ϕ ) ⋅ f + ϕ (∇ ⋅ f ) r r r r r ! ∇ × (ϕf ) = ∇ × (ϕf c ) + ∇ × (ϕ c f ) = (∇ϕ ) × f + ϕ (∇ × f ) r r r r r r ! ∇ ⋅ ( f × g) = ∇ ⋅ ( f × gc ) + ∇ ⋅ ( fc × g) r r r r r r r r r 利用 a ⋅ (b × c ) = b ⋅ (c × a ) = c ⋅ (a × b ) r r r r r r 得 ∇ ⋅ ( f × g ) = (∇ × f ) ⋅ g − f ⋅ (∇ × g ) 1-8 r r v v v r ∇ × ( f × g) = ∇ × ( f × gc ) + ∇ × ( fc × g) r v v v v v r v v r r r r v v 利用 a × (b × c ) = b ( a ⋅ c ) − (b ⋅ a )c = (c ⋅ a )b − c ( a ⋅ b ) r r v v v r 得 ∇ × ( f × g c ) = ( g ⋅ ∇) f − g (∇ ⋅ f ) r r v v r v ∇ × ( f c × g ) = f (∇ ⋅ g ) − ( f ⋅ ∇) g r r v v v v v r v v 1-9 则 ∇ × ( f × g ) = f (∇ ⋅ g ) − ( f ⋅ ∇) g + ( g ⋅ ∇) f − g (∇ ⋅ f )